2020年苏教版高一数学必修1课后练习题：2.2函数的奇偶性(含答案)
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函数的奇偶性练习
1．奇函数f(x)在区间［3,7］上为单调增函数，最小值为5，那么函数f(x)在区间［－7，－3］上为单调__________函数，且最__________值为__________．
2．函数f(x)是R上的偶函数，且在［0，＋∞)上单调递增，则下列各式成立的是__________．
①f(－2)＞f(0)＞f(1)；②f(－2)＞f(1)＞f(0)；
③f(1)＞f(0)＞f(－2)；④f(1)＞f(－2)＞f(0)．
3．下列函数中是奇函数且在(0,1)上单调递增的函数是__________．
①f(x)＝x＋1x；②f(x)＝x2－1x；
③2()=1fxx；④f(x)＝x|x|．
4．下列函数是奇函数的是__________．
①(1)1xxyx；②y＝－3x2；③y＝－|x|；④y＝πx3－35x；⑤y＝x3·|x|．
5．若φ(x)，g(x)都是奇函数，f(x)＝aφ(x)＋bg(x)在(0，＋∞)上有最大值5，则f(x)在(－∞，0)上有__________．(填最值情况)
6．设函数(1)()xxafxx为奇函数，则a＝__________．
7．若f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝x2－2x，则在R上f(x)的表达式为__________．
8．已知f(x)＝x3＋1x，且f(a)＝1，则f(－a)＝____．
9．判断函数22(5)4,6,1,(5)4,1,6xxfxxx＝的奇偶性．
10．已知函数f(x)＝x2＋ax(x≠0)，常数a∈R，讨论函数f(x)的奇偶性并说明理由．
11．若函数22,0,,0,xxxfxaxxx当a为何值时，f(x)是奇函数？
12．已知f(x)是定义在R上的奇函数，且当x＞0时，f(x)＝x2－4x＋3．
(1)求f［f(－1)］的值；
(2)求函数f(x)的解析式；
(3)求函数f(x)在区间［t，t＋1］(t＞0)上的最小值．
参考答案
1．解析：根据题意作出如图所示的草图即可知．
答案：增 大 －5
2．解析：由条件得f(－2)＝f(2)，
因为f(x)在［0，＋∞)上单调递增，
所以f(0)＜f(1)＜f(2)，
即f(－2)＞f(1)＞f(0)．
答案：②
3．解析：由定义可知①④是奇函数，
但对于函数f(x)＝x＋1x来说，
当x＝12时，1()2f＝52，
当x＝13时，1()3f＝103，
所以①不是递增函数．
答案：④
4．解析：先判断定义域关于原点是否对称，再确定f(－x)与－f(x)的关系．①中定义域为(－∞，1)∪(1，＋∞)关于原点不对称，所以排除①；②③均是偶函数；④⑤中函数的定义域是R，可得f(－x)＝－f(x)，则它们是奇函数．
答案：④⑤
5．解析：由条件得f(－x)＝aφ(－x)＋bg(－x)＝－aφ(x)－bg(x)＝－f(x)，
所以f(x)为奇函数，它的图象关于原点对称．
答案：最小值－5
6．解析：由f(－x)＋f(x)＝0得(1)()(1)()xxaxaxxx＝0，解得a＝－1．
答案：－1
7．解析：当x＜0时，－x＞0，
f(－x)＝(－x)2－2(－x)＝x2＋2x，
∵f(x)为奇函数，
∴f(x)＝－f(－x)＝－x2－2x．
综上所述，222,0,2,0xxxfxxxx
答案：222,0,2,0xxxfxxxx
8．解析：f(x)＝x3＋1x的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称，且f(－x)＝(－x)3＋1x＝31xx＝－f(x)，所以f(x)为奇函数．
因此f(－a)＝－f(a)＝－1．
答案：－1
9．解：f(x)的定义域为(－6，－1］∪［1,6)，关于原点对称．
当x∈(－6，－1］时，－x∈［1,6)，
f(－x)＝(－x－5)2－4＝(x＋5)2－4＝f(x)；
当x∈［1,6)时，－x∈(－6，－1］，
f(－x)＝(－x＋5)2－4＝(x－5)2－4＝f(x)．
综上可知，对于x∈(－6，－1］∪［1,6)，
都有f(－x)＝f(x)，
所以f(x)为偶函数．
10．解：当a＝0时，f(x)＝x2对任意的x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，f(－x)＝(－x)2＝f(x)，
所以f(x)为偶函数．
当a≠0时，f(x)＝x2＋ax(x≠0)，不妨取x＝±1，
f(－1)＋f(1)＝2≠0，f(－1)－f(1)＝－2a≠0，
所以f(－1)≠－f(1)，f(－1)≠f(1)．
所以函数既不是奇函数又不是偶函数．
11．解：假设f(x)是奇函数，则有f(－x)＝－f(x)．
当x＞0时，－x＜0，
则f(－x)＝a(－x)2＋(－x)＝ax2－x．
又∵x＞0时，f(x)＝－x2＋x，
∴－f(x)＝x2－x．
∵f(－x)＝－f(x)，
即ax2－x＝x2－x，
∴a＝1．
下面证明22,0,,0xxxfxxxx是奇函数．
证明：当x＞0时，－x＜0，
则f(－x)＝(－x)2＋(－x)
＝x2－x＝－(－x2＋x)＝－f(x)；
当x≤0时，－x≥0，
则f(－x)＝－(－x)2＋(－x)＝－x2－x＝－(x2＋x)＝－f(x)，
于是22(),0,()(),0.xxxfxxxx－
∴f(－x)＝－f(x)．
∴假设成立，a＝1．
12．解：(1)因为f(－1)＝－f(1)＝0，故f［f(－1)］＝f(0)，
由奇函数的性质知f(0)＝0，
从而有f［f(－1)］＝0．
(2)当x＝0时，由奇函数的性质知f(0)＝0；
当x＜0时，－x＞0，
故f(x)＝－f(－x)
＝－［(－x)2－4(－x)＋3］
＝－x2－4x－3．
综上所述，2243,0,()=0,0,43,0.xxxfxxxxx
(3)当x＞0时，f(x)＝x2－4x＋3＝(x－2)2－1，对称轴为x＝2．
当0＜t≤1时，区间［t，t＋1］(t＞0)在对称轴的左侧，此时f(x)min＝f(t＋1)＝t2－2t；
当1＜t≤2时，对称轴在区间［t，t＋1］(t＞0)内部，此时f(x)min＝f(2)＝－1；
当t＞2时，区间［t，t＋1］(t＞0)在对称轴的右侧，此时f(x)min＝f(t)＝t2－4t＋3．
综上所述，2min22,01,1,12,43,2.tttfxtttt＝
