euler法

Euler积分

2009-08-20 09:58

一. Gamma函数

考虑无穷限含参积分

, 时积分收敛 . 称该积分为Euler第二型积分. Euler第二型积分定义了内的一个函数, 称该函数为Gamma函数, 记为, 即

= , .

函数是一个很有用的特殊函数 .作类似地讨论, 可得积分也在区间内闭一致收敛. 于是

可得如下结论:

的连续性: 在区间内连续 .

的可导性: 在区间内可导, 且

.

同理可得: 在区间内任意阶可导, 且

.

的递推公式 函数表: 的递推公式 : .

证

.

.

于是, 利用递推公式得:

,

,

, …………, ,

一般地有 .

可见 , 在上, 正是正整数阶乘的表达式 . 倘定义 ,

易见对,该定义是有意义的. 因此, 可视为内实数的阶乘. 这样一来, 我们很自然地把正整数的阶乘延拓到了内的所有实数上, 于是, 自然就有

, 可见在初等数学中规定 是很合理的.函数表:

很多繁杂的积分计算问题可化为函数来处理. 人们仿三角函数表、对数表等函数表, 制订了函数表供查. 由函数的递推公式可见, 有了函数在内的值, 即可对, 求得的值. 通常把内函数的某些近似值制成表, 称这样的表为函数表 . 5. 函数的延拓:

时, 该式右端在时也有

意义 . 用其作为时的定义, 即把延拓到了内.

时, 依式 , 利用延拓后的, 又可把延拓到

内 .

依此 , 可把延拓到内除去的所有点.

经过如此延拓后的的图象如[1] P347图表

常见变形有:ⅰ> 令, 有 =,

－专业实践・　１７３　

Ｅｕｌｅｒ法在求非线性系统数值解中的应用　

余丽　

（广东省肇庆医学高等专科学校，广东肇庆５２６０２０）　

［摘要］在数学研究中，我们常常遇到关于非线性系统的数值解问题。本文将对非线性系统里的一阶非　线性方程组的数值解法进行介绍。对比多种求一阶非线性系统数值解方法之后，本文选出了一种适合的简单的　方法Ｅｕｌｅｒ方法解决非线性系统初值问题，并运用了Ｍａｔｌａｂ编程，通过编程画图显示结果，Ｍａｔｌａｂ编程简单直　观且求解方便。　［关键词］Ｅｕｌｅｒ求解法非线性Ｍａｔｌａｂ数值解　

在许多物理、力学、空间科学和其他科学技术　

问题的研究中．建立数学模型往往以非线性微分　

方程组的形式表示。求非线性微分方程组解析解　的方法虽然多种多样，但是利用这些方法，人们只　

能对若干特殊类型的非线性微分方程组求解。要　

给出一般方程解析解的表达式是十分困难。而在　实际问题中。人们遇到的非线性微分方程组要获　

得它们的解析解是非常难的。因此，笔者通过另一　

简单稳定的方法数值解方求解非线性微分方程　组。欧拉（Ｅｕｌｅｒ）求解方法是求解一阶非线性微分　

方程初值问题的较为简单的数值方法。同时，Ｅｕｌｅｒ　

方法比较清楚地显示出一些特点。而这些特点也　反映了其他更复杂方法的特征，在求非线性系统　

的数值问题中也常常被推荐。　

１　Ｅｕｌｅｒ求解　

１．１　Ｅｕｌｅｒ公式算法描述如下［’］　对常微分方程初始问题　

』　ｄｘ　）　（１）　

（　ｏ）＝Ｙｏ　用数值方法求解时，人们总是认为（１）的解存　

在且唯一。　Ｅｕｌｅｒ法是解初值问题的最简单的数值方法。　

在点（　。，ｙ０）有Ｙ　（　。）＝ｆ（ｘ。，ｙｏ）　

设　＝ｈ充分小，则近似地有：　

ｙ，（ｘｏ）：，（Ｘｏ，ｙｏ）　（２）　

记Ｙｉ＝ｙ（ｘ　），　＝０，１，…，ｎ　从而，我们可以取：Ｙ　＝Ｙｏ＝　，Ｙｏ）　

作为Ｙ（　）的近似值，人们可以利用Ｙ　及＿厂　（　。，Ｙ　）又可以算出ｙ（　：）的近似值：Ｙ２：Ｙ。＋　

究　镪镰　

◎赵希武刘海波（内蒙古师范大学计算机与信息工程学院０１００２２）　【摘要】本文通过对凸多面体的Ｅｕｌｅｒ公式与平面连　通图中Ｅｕｌｅｒ公式的对照分析．给出平面图的Ｅｕｌｅｒ公式另　一证明方法和这一公式在不是连通平面图中的推广．　【关键词】Ｅｕｌｅｒ公式；连通平面图；连通分支　１．引言　我们在中学课本中已经见到过关于凸多面体的Ｅｕｌｅｒ　公式，这个公式是由瑞士数学家欧拉（Ｅｕｌｅｒ）在１７５０年写　信给他的好友哥德巴赫（Ｇｏｌｄｂａｃｈ）时提出来的．Ｅｕｌｅｒ指出　任何一个凸多面体的顶点数　、棱数Ｅ和面数Ｆ之间存在　着以下关系式：　＋，一Ｅ：２．　事实上．欧拉公式不仅限于凸多面体，在平面连通图　中也有欧拉公式，即任何一个连通平面图Ｇ的顶点数　，　边数Ｅ和面数Ｆ之间也存在着关系式：　＋Ｆ—Ｅ＝２．　本文主要给出这个公式的另一证明方法和这一公式　在不是连通平面图中的推广．　２．Ｅｕｌｅｒ公式的另一证明方法　为了证明方便。我们给出如下引理．　引理若Ｇ是树，则Ｅ＝Ｖ一１（Ｅ，　分别表示树Ｇ的　边数和顶点数）．　证明对　用归纳法．当Ｖ＝１时，Ｇ　Ｋ。，且ｓ＝０：　—１．假设对少于　个顶点的所有树都成立，并设Ｇ是有　Ｔ，≥２个顶点的树．设　是Ｇ的一条边，因为　是Ｇ中　唯一的　，　）路，所以Ｇ一　不包含　，　）路．从而Ｇ一　不连通且ｇｏ（Ｇ一　）＝２．Ｇ一　的分支Ｇｌ和Ｇ２是无圈且　连通的，因此是树，并且　（Ｇ　），　（Ｇ。）＜Ｖ．所以，Ｅ（Ｇ　）＝　（Ｇ　）一１，对ｉ＝１，２成立．　从而Ｅ（Ｇ）＝Ｅ（Ｇ１）．４－Ｅ（Ｇ２）＋１＝Ｖ（Ｇ１）＋Ｖ（Ｇ２）一ｌ＝　Ｖ（Ｇ）一１，即Ｅ＝Ｖ一１．　定理１（Ｅｕｌｅｒ公式）若Ｇ是连通平面图，则平面图Ｇ　的顶点数　、边数Ｅ和面数Ｆ有如下关系：　＋，一Ｅ＝２．　下面给出Ｅｕｌｅｒ公式的一个新的证明方法．　证明设　＋，一Ｅ＝　．这里我们只要证明　恒不变，　且　＝２就可以了．若Ｆ＝１，则Ｇ是一棵树，这时有Ｅ＝　—　１．故　＋Ｆ—Ｅ＝２．　若Ｆ≥２，则Ｇ必然含有圈，那么我们打掉其中一个圈　上的一条边，则面数减少一个，边的条数也减少一条，这样　便有　＋（Ｆ一１）一（Ｅ一１）＝Ｖ＋Ｆ—Ｅ：　．　如此继续下去，每次图中的顶点数、面数和边数总是　保持如下关系：　顶点数＋面数一边数：　．　这样经过有限步之后，就得到了图Ｇ的一棵生成树，　这时，顶点数＝Ｖ，面数＝１，而边数＝Ｖ一１．于是得　＝２．　证毕．　３．Ｅｕｌｅｒ公式的推广　利用定理ｌ，我们便很容易推得下面结论：　定理２（Ｅｕｌｅｒ公式的推广）设平面图Ｇ的连通分支　数为ｇｏ，则有　＋Ｆ—Ｅ一　：１．　证明设平面图Ｇ的连通分支分别为Ｇ。，Ｇ：，…，Ｇ　由于Ｇ　，Ｇ：，…，Ｇ　都是连通的平面图，则根据定理１，若　设Ｇ　（　１，２，…，ｃｃ，）的顶点数为　边数Ｅ　，面数为　，就有　１＋　—Ｅ　＝２；Ｑ　２＋　—Ｅ２＝２；　②　＋　一　＝２．　⑧　而Ｖ＝Ｖ１十　２＋・－・＋　，Ｅ＝Ｅ１＋Ｅ２＋…十Ｅ　．　又Ｇ　，Ｇ　，…，Ｇ　公共的外界面，　故Ｆ＝　＋（Ｆ２—１）＋（Ｆ３—１）＋…＋（　一１）＝　＋　＋…＋　一（　一１）．　即　＋　＋…＋　＝Ｆ＋（ｏ３—１），　所以把①，②，…，　③个等式两边分别对应相加应有　ｌ十　２＋・・・＋　十　＋　＋・－・＋　一（Ｅｌ＋Ｅ２＋…＋　）＝２ｘｏ．　即得　＋Ｆ＋（　＋１）一Ｅ＝２ｗ，亦即　＋Ｆ—Ｅ一　＝１．　【参考文献】　［１］Ｊ．Ａ．帮迪，Ｕ．Ｓ＿Ａ．默蒂著．图论及其应用．吴望名，李　组念等译．北京：科学出版社，１９８７．　［２］胡美琛，邱伟德编著．组合与图．北京：人民邮电出　版社。１９８６．　

微分方程数值解课程设计题目

1（30分）分别用Euler法、改进的Euler法及四阶的龙格库塔法求解初值问题：1)0(2'uutuu10t

h分别取0.1和0.2，要求计算并绘出图形，最后比较三种算法的精度。

（1）.先构建初值问题的函数

M文件：

function z=fun(x,y)

z=y-2*x/y;

（2）.Euler法

M文件：

function E=Euler(fun,x0,y0,h,N)

x=zeros(1,N+1);y=zeros(1,N+1);

x(1)=x0;y(1)=y0;

for n=1:N

x(n+1)=x(n)+h;

y(n+1)=y(n)+h*feval(fun,x(n),y(n));

end

T=[x;y]

① .当h=0.1时

>> Euler('fun',0,1,0.1,10)

T = Columns 1 through 10

0 0.1000 0.2000 0.3000 0.4000 0.5000 0.6000 0.7000

0.8000 0.9000

1.0000 1.1000 1.1918 1.2774 1.3582 1.4351 1.5090 1.5803

1.6498 1.7178

Column 11

1.0000

1.7848

②.当h=0.2时

>> Euler('fun',0,1,0.2,5)

T = 0 0.2000 0.4000 0.6000 0.8000 1.0000

1.0000 1.2000 1.3733 1.5315 1.6811 1.8269

（3）.改进的Euler法：