改进的euler公式

欧拉法与龙格库塔法比较分析

解微分方程的欧拉法，龙格-库塔法简单实例比较 欧拉方法(Euler method)用以对给定初值的常微分方程(即初值问题)求解分为前EULER法、后退EULER法、改进的EULER法。

缺点:

欧拉法简单地取切线的端点作为下一步的起点进行计算，当步数增多时，误差会因积累而越来越大。因此欧拉格式一般不用于实际计算。

改进欧拉格式(向前欧拉公式):

为提高精度，需要在欧拉格式的基础上进行改进。采用区间两端的斜率的平均值作为直线方程的斜率。改进欧拉法的精度为二阶。

算法:

微分方程的本质特征是方程中含有导数项，数值解法的第一步就是设法消除其导数值。对于常微分方程:

dy,fxy(,)xab,[,] dx

yay(), 0

'可以将区间分成段，那么方程在第点有，再用n[,]abyxfxyx()(,()),xiiii

向前差商近似代替导数则为:

((1)())yxyx，,ii,fxyx(,()) iih

h在这里，是步长，即相邻两个结点间的距离。因此可以根据点和的数xyii值计算出来: yi，1

yyhfxy,，，(,)iL,0,1,2,？ iiii，1

这就是向前欧拉公式。

改进的欧拉公式: 将向前欧拉公式中的导数改为微元两端导数的平均，即上式便是梯形的fxy(,)ii

欧拉公式。

可见，上式是隐式格式，需要迭代求解。为了便于求解，使用改进的欧拉公式:

数值分析中，龙格,库塔法(Runge-Kutta)是用于模拟常微分方程的解的重要的一类隐式或显式迭代法。实际上，龙格-库塔法是欧拉方法的一种推广，向前欧拉公式将导数项简单取为,而改进的欧拉公式将导数项取为两端导数fxy(,)nn

的平均。

龙格-库塔方法的基本思想:

在区间内多取几个点，将他们的斜率加权平均，作为导数的近似。 [,]xxnn，1

龙格库塔法的家族中的一个成员如此常用，以至于经常被称为“RK4”或者就是“龙格库塔法”。

微分方程数值解法

微分方程数值解法

微分方程数值解法【1】

摘要：本文结合数例详细阐述了最基本的解决常微分方程初值问题的数值法，即Euler方法、改进Euler法，并进行了对比，总结了它们各自的优点和缺点，为我们深入探究微分方程的其他解法打下了坚实的基础。

关键词:常微分方程 数值解法 Euler方法 改进Euler法

1、Euler方法

由微分方程的相关概念可知，初值问题的解就是一条过点 的积分曲线 ，并且在该曲线上任一点 处的切线斜率等于函数 的值。

根据数值解法的基本思想，我们取等距节点 ，其中h为步长，在点 处，以 为斜率作直线 交直线 于点 。

如果步长 比较小，那么所作直线 与曲线 的偏差不会太大，所以可用 的近似值，即： ，再从点 出发，以 为斜率作直线 ，作为 的近似值，即：

重复上述步骤，就能逐步求出准确解 在各节点 处的近似值。

一般地，若 为 的近似值，则过点 以 为斜率的直线为：

从而 的近似值为：

此公式就是Euler公式。

因为Euler方法的思想是用折线近似代替曲线，所以Euler方法又称Euler折线法。

Euler方法是初值问题数值解中最简单的一种方法，由于它的精度不高，当步数增多时，由于误差的积累，用Euler方法作出的折线可能会越来越偏离曲线 。

举例说明：

解： ,

精确解为： 1.2 -0.96 -1 0.04

1.4 -0.84 -0.933 0.933

1.6 -0.64 -0.8 0.16

1.8 -0.36 -0.6 0.24

2.0 0 -0.333 0.33

2.2 0.44 0 0.44

通过上表可以比较明显地看出误差随着计算在积累。

2、改进Euler法

方法构造

在常微分方程初值问题 ,对其从 到 进行定积分得:

用梯形公式将右端的定积分进行近似计算得：

--

--

专业、班级 姓 名 学 号

------------------------------密-----------------------------封-------------------------- -线------------------------

一.填空(每空3分,共30分)

1.在数值计算中,通常取2.71e，此时产生的误差称为

误差（填误差的类型）。

2.已知74()3100fxxxx则01[2,2]f ,

017[2,2,2]f 018[2,2,2]f 。

3.已知1[,]()nabfxC,()nLx是函数()fx的n次插值多项式，则其插值余项是 。

4.数值积分公式10()(0.5)fxdxf的代数精度是 次。

5.函数()fx可导,则方程2()xfx根的Newton迭代格式为 。

6.方程1sin0xx在区间(0.1)内 根（填有或无）。

河 南 科 技 大 学

2007 至2008 学年第 一 学期试卷

课程 数值分析 年级、专业 计算机

试

卷

︵

A

︶

第

1

页

︵

共

3

页

︶

河南科技大学

教

务处 题号 一 二 三 四 五 六 七 八 九 十 总分

得分 7．解常微分方程初值问题的Euler法的阶数是 。

8．已知方程组12122311xx，则解此方程组的Jacobi

迭代公式是 。

1. Euler公式

100(,)()iiiiyyhfxyyyx

实例：

，00(,),0,1,01fxyxyxyx

精确解为：1xyxe

程序代码：

DIMENSION x(0:20),y(0:20),z(0:20),k(0:21)

DOUBLE PRECISION x,y,z,k,h,x0,y0,z0,k0,n

f(x,y)=x-y

n=20

h=1/n

x(0)=0

y(0)=0

DO i=0,n-1

y(i+1)=y(i)+f(x(i),y(i))*h

x(i+1)=x(i)+h

ENDDO

k(0)=0

DO i=0,n

z(i)=k(i)+exp(-k(i))-1

k(i+1)=k(i)+h

END DO

open(10,file='1.txt')

WRITE(10,10) (x(i),y(i),z(i),i=0,20)

WRITE(*,10) (x(i),y(i),z(i),i=0,20)

10 FORMAT(1x,f10.8,2x,f10.8,2x,f10.8/)

END

输出结果：

0.00000000 0.00000000 0.00000000

0.05000000 0.00000000 0.00122942

0.10000000 0.00250000 0.00483742

0.15000000 0.00737500 0.01070798

0.20000000 0.01450625 0.01873075

0.25000000 0.02378094 0.02880078 00)(),(yxyyxfy00)(),(yxyyxfy 0.30000000 0.03509189 0.04081822

0.35000000 0.04833730 0.05468809