2021新高考数学二轮复习专题练：小题满分限时练
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限时练(一)
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合M＝{x|x2－2x＜0}，N＝{－2，－1，0，1，2}，则M∩N＝( )
A.∅ B.{1}
C.{0，1} D.{－1，0，1}
解析 ∵M＝{x|0＜x＜2}，N＝{－2，－1，0，1，2}，∴M∩N＝{1}.
答案 B
2.设(2＋i)(3－xi)＝3＋(y＋5)i(i为虚数单位)，其中x，y是实数，则|x＋yi|等于( )
A.5 B.13 C.22 D.2
解析 易得6＋x＋(3－2x)i＝3＋(y＋5)i(x，y∈R).
∴6＋x＝3，3－2x＝y＋5，∴x＝－3，y＝4，故|x＋yi|＝|－3＋4i|＝5.
答案 A
3.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且a2＋a8＝0，S11＝33，则公差d的值为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
解析 ∵a2＋a8＝2a5＝0，∴a5＝0，
又S11＝（a1＋a11）×112＝11a6＝33，
∴a6＝3，从而公差d＝a6－a5＝3.
答案 C
4.设a，b是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则α∥β的一个充分条件是( )
A.存在一条直线a，a∥α，a∥β
B.存在一条直线a，a⊂α，a∥β
C.存在两条平行直线a，b，a⊂α，b⊂β，a∥β，b∥α
D.存在两条异面直线a，b，a⊂α，b⊂β，a∥β，b∥α
解析 对于A，a∥α，a∥β，则平面α，β可能平行，也可能相交，所以A不是α∥β的一个充分条件.对于B，a⊂α，a∥β，则平面α，β可能平行，也可能相交，所以B不是α∥β的一个充分条件.对于C，由a∥b，a⊂α，b⊂β，a∥β，b∥α可得α∥β或α，β相交，所以C不是α∥β的一个充分条件.对于D，存在两条异面直线a，b，a⊂α，b⊂β，a∥β，b∥α，如图，在β内过b上一点作c∥a，则c∥α，所以β内有两条相交直线平行于α，则有α∥β，所以D是α∥β的一个充分条件.
答案 D
5.设双曲线的一条渐近线为方程y＝2x，且一个焦点与抛物线y2＝4x的焦点相同，则此双曲线的方程为( )
A.54x2－5y2＝1 B.5y2－54x2＝1
C.5x2－54y2＝1 D.54y2－5x2＝1
解析 抛物线y2＝4x的焦点为点(1，0)，则双曲线的一个焦点为(1，0)，设双曲线的方程为x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)，由题意得ba＝2，a2＋b2＝1，解得a＝55，b＝255，所以双曲线方程为5x2－54y2＝1.
答案 C
6.甲、乙、丙、丁四名同学报名参加假期社区服务活动，社区服务活动共有关怀老人、环境监测、教育咨询、交通宣传等四个项目，每人限报其中一项，记事件A为“4名同学所报项目各不相同”，事件B为“只有甲同学一人报关怀老人项目，则P(A|B)的值为( )
A.14 B.34 C.29 D.59
解析
∵P(B)＝3344，P(AB)＝A3344，
由条件概率P(A|B)＝P（AB）P（B）＝A3333＝29.
答案 C
7.在如图所示的△ABC中，点D，E分别在边AB，CD上，AB＝3，AC＝2，∠BAC＝60°，BD＝2AD，CE＝2ED，则向量BE→·AB→＝( )
A.9 B.4 C.－3 D.－6
解析 根据题意，AB＝3，BD＝2AD，则AD＝1，
在△ADC中，又由AC＝2，∠BAC＝60°，
则DC2＝AD2＋AC2－2AD·ACcos∠BAC＝3，
即DC＝3，所以AC2＝AD2＋DC2，
则CD⊥AB，
故BE→·AB→＝(BD→＋DE→)·AB→＝BD→·AB→＋DE→·AB→＝BD→·AB→＝3×2×cos 180°＝－6.
答案 D
8.设定义在R上的偶函数f(x)满足：f(x)＝f(4－x)，且当x∈[0，2]时，f(x)＝x－ex＋1，若a＝f(2 022)，b＝f(2 019)，c＝f(2 020)，则a，b，c的大小关系为( )
A.c
C.c
解析 因为f(x)是偶函数，
所以f(－x)＝f(x)＝f(4－x)，则f(x)的周期为4，
则a＝f(2 022)＝f(2)，b＝f(2 019)＝f(3)＝f(4－3)＝f(1)，c＝f(2 020)＝f(0).
又当x∈[0，2]时，f(x)＝x－ex＋1，知f′(x)＝1－ex<0.
∴f(x)在区间[0，2]上单调递减，
因此f(2)
答案 B
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.
9.(2020·聊城模拟)已知双曲线C过点(3，2)且渐近线为y＝±33x，则下列结论正确的是( )
A.C的方程为x23－y2＝1
B.C的离心率为3
C.曲线y＝ex－2－1经过C的一个焦点
D.直线x－2y－1＝0与C有两个公共点
解析 ∵双曲线的渐近线为y＝±33x，∴设双曲线C的方程为x23－y2＝λ(λ≠0).又双曲线C过点(3，2)，∴323－(2)2＝λ，解得λ＝1，故A正确.此时C的离心率为3＋13＝233，故B错误.双曲线C的焦点为(－2，0)，(2，0)，曲线y＝ex－2－1经过点(2，0)，故C正确.把直线方程代入双曲线C的方程并整理，得x2－6x＋9＝0，所以Δ＝0，故直线x－2y－1＝0与双曲线C只有一个公共点，所以D错误.故选AC.
答案 AC
10.(2020·青岛质检)已知函数f(x)＝sin2x＋23sin xcos x－cos2x，x∈R，则( )
A.－2≤f(x)≤2
B.f(x)在区间(0，π)上只有1个零点
C.f(x)的最小正周期为π
D.直线x＝π3为函数f(x)图象的一条对称轴
解析 已知函数f(x)＝sin2x＋23sin xcos x－cos2x＝3sin 2x－cos 2x＝2sin2x－π6，x∈R，则－2≤f(x)≤2，A正确；令2x－π6＝kπ，k∈Z，则x＝kπ2＋π12，k∈Z，则f(x)在区间(0，π)上有2个零点，B错误；f(x)的最小正周期为π，C正确；当x＝π3时，fπ3＝2sin(2×π3－π6)＝2，所以直线x＝π3为函数f(x)图象的一条对称轴，
D正确.故选ACD.
答案 ACD
11.在某次高中学科竞赛中，4 000名考生的竞赛成绩(单位：分)统计如图所示，60分以下视为不及格，若同一组中的数据用该组区间的中点值为代表，则下列说法中正确的是( )
A.成绩在[70，80)的考生人数最多
B.不及格的考生人数为1 000
C.考生竞赛成绩的平均数约为70.5
D.考生竞赛成绩的中位数约为75
解析 由频率分布直方图可知，成绩在[70，80)的考生人数最多，所以A正确.不及格的人数为4 000×(0.01＋0.015)×10＝1 000，所以B正确.考生竞赛成绩的平均数约为(45×0.01＋55×0.015＋65×0.02＋75×0.03＋85×0.015＋95×0.01)×10＝70.5，所以C正确.设考生竞赛成绩的中位数约为x0，因为(0.01＋0.015＋0.02)×10＝0.45<0.5，(0.01＋0.015＋0.02＋0.03)×10＝0.75>0.5，所以0.45＋(x0－70)×0.03＝0.5，解得x0≈71.7，D错误.故选ABC.
答案 ABC
12.下列结论正确的是( )
A.若a>b>0，cad
B.若x>y>0，且xy＝1，则x＋1y>y2x>log2(x＋y)
C.设{an}是等差数列，若a2>a1>0，则a2>a1a3
D.若x∈[0，＋∞)，则ln(1＋x)≥x－18x2
解析 对于A，由c－d>0，则－1d>－1c>0，又a>b>0，所以－ad>－bc，则bc>ad，故A正确.对于B，取x＝2，y＝12，则x＋1y＝4，y2x＝18，log2(x＋y)
＝log252>1，故B不正确.对于C，由题意得a1＋a3＝2a2且a1≠a3，所以a2＝12(a1＋a3)>12×2a1a3＝a1a3，故C正确.对于D，设h(x)＝ln(1＋x)－x＋18x2，则h′(x)＝11＋x－1＋x4＝x（x－3）4（x＋1），当0
答案 AC
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.请把正确的答案填写在各小题的横线上.
13.已知圆C：(x－2)2＋y2＝r2(r＞0)与双曲线E：x2－y2＝1的渐近线相切，则r＝________.
解析 ∵双曲线x2－y2＝1的渐近线为x±y＝0.依题意，得r＝21＋1＝1.
答案 1
14.已知等差数列{an}，其前n项和为Sn.若a2＋a5＝24，S3＝S9，则a6＝________，Sn的最大值为________.(本小题第一空2分，第二空3分)
解析 由S3＝S9，得a4＋a5＋…＋a9＝0，则a6＋a7＝0.又a2＋a5＝24，所以设等差数列{an}的公差为d，可得a1＋5d＋a1＋6d＝0，a1＋d＋a1＋4d＝24，解得a1＝22，d＝－4，所以a6＝a1＋5d＝2，Sn＝－2n2＋24n＝－2(n－6)2＋72，故当n＝6时，Sn取得最大值72.
答案 2 72
15.若(x＋a)(1＋2x)5的展开式中x3的系数为20，则a＝________.
解析 由已知得C25·22＋a·C35·23＝20，解得a＝－14.
答案 －14
16.(2020·河南百校大联考)魏晋时期数学家刘徽在他的著作《九章算术注》中，称一个正方体内两个互相垂直的内切圆柱所围成的几何体为“牟合方盖”(如图所示)，刘徽通过计算得知正方体的内切球的体积与“牟合方盖”的体积之比应为π∶4.若“牟合方盖”的体积为163，则正方体的外接球的表面积为________.
