《高等数学B》课程教学大纲

《高等数学B》课程教学大纲

《高等数学B》课程教学大纲

Advanced Mathematics, Calculus

课程编号：16199002

学 分：10

学 时：160 （其中：讲课学时：160 实验学时：0 上机学时：0 ）

先修课程：高中数学、物理

后续课程：线性代数、概率论与数理统计、微分方程、复变函数、大学物理等

适用专业：非数学类一般理工科专业本科生

开课部门：理学院

一、 课程教学目的和课程性质

数学是研究客观数量关系和空间形式的科学。随着现代科学技术和数学科学的发展，"数量关系"和"空间形式"具备了更丰富的内涵和更广泛的外延。现代数学内容更加在一定历史条件下，方法更加综合，应用更加广泛。数学不仅是一种科学，而且是一种思维模式；不仅是一种知识，而且是一种素养仅是一种科学，而且是一种文化，能否运用数学观念定量思维是衡量民族科学文化素质的一个重要标志。数学教育在培养高素质科学技术人才中具有独特的、不可替代的重要作用。

而《高等数学B》是全校一般理工科专业本科生的必修课。通过该课程的学习，应使学生获得一元函数微积分及其应用、多元函数微积分及其应用、无穷级数与常微分方程、向量代数与空间解析几何等方面的基本概念、基本理论、基本方法和运算技能，为今后学习各类后继课程和进一步扩大数学知识面奠定必要的连续量、离散量和随机量方面的数学基础。在传授知识的同时，要努力培养学生的抽象思维和逻辑推理的理性思维能力，综合运用所学的知识分析问题和解决问题的能力以及较强的自主学习能力，逐步培养学生的创新精神和创新能力。

二、课程的主要内容及基本要求 第一单元 函数、极限、连续 (12学时)

[知 识 点]

映射与函数、数列及函数极限定义和性质、无穷小与无穷大、极限运算及两个存在准则、无穷小的比较、函数的连续性与间断点、连续函数的运算、闭区间上连续函数的性质。

[重 点]

函数概念、函数极限、函数的连续性。

[难 点]

极限定义、无穷小量的性质、两个重要极限、间断点及其分类。

[基本要求]

1、识 记：函数、极限及连续的基本概念。

2、领 会：极限和连续的性质及意义。

3、简单应用：能计算一般数列及函数的极限、判断简单函数的连续性。

4、综合应用：能利用极限及闭区间上连续函数性质证明较复杂的问题。

[实践与练习]

结合教学合理布置课后练习。

[考核要求]

1、理解函数及复合函数的概念、了解函数性质及反函数的概念；

2、理解极限的概念、了解极限的定义及性质和两个存在准则、会用两个重要极限求极限、掌握极限的有理运算法则、会用变量代换求某些简单复合函数的极限；

3、了解无穷小、无穷大、高阶无穷小和等价无穷小的概念、会用等价无穷小求极限；

4、理解函数在一点连续和在区间上连续的概念、了解函数间断点的概念、会判别间断点的类型、了解初等函数的连续性；

5、了解闭区间上连续函数的性质、会用闭区间上连续函数的性质证明问题。

第二单元 一元函数微分学及其应用 (30学时) [知 识 点]

导数定义及几何意义、函数连续与可导的关系、导数的四则运算法则、复合函数及反函数求导法则、隐函数求导法则、对数求导法、用参数方程表示的函数的求导法则、相关变化率；微分的定义与几何意义、微分公式及四则运算法则、一阶微分形式的不变性；三大微分中值定理、洛必达法则、泰勒公式、函数的单调性、函数曲线的凹凸性、函数的极值及其求法、最大值及最小值问题、水平与垂直渐近线、弧微分、曲率。

[重 点]

导数概念、计算及应用、中值定理、洛必达法则求极限。

[难 点]

复合函数求导、隐函数求导、高阶导数及中值定理的应用。

[基本要求]

1、识 记：导数及微分的概念及其基本公式。

2、领 会：导数及微分的定义、几何意义和运算法则；中值定理及泰勒公式。

3、简单应用：会计算函数的导数与微分，会求相关变化率；

4、综合应用：会判断函数的单调性和凹凸性；会求函数的极值和最值；

会用洛必达法则求未定式极限；会利用中值定理证明一些问题；会求水平与垂直渐近线；会求曲率。

[实践与练习]

结合教学合理布置课后练习。

[考核要求]

1、理解导数的概念及其几何意义、了解函数连续与可导的关系、了解导数作为函数变化率的实际意义、会用导数表达科学技术中一些量的变化率、掌握导数的有理运算法则和复合函数的求导法、掌握基本初等函数的导数公式

2、理解微分的概念、了解微分的有理运算法则和一阶微分形式不变性、了解相关变化率 ； 3、理解罗尔中值定理和拉格朗日中值定理、了解柯西中值定理、了解泰勒定理以及用；

4、会用洛必达法则求未定式极限；

5、掌握函数的单调性判别法、函数的极值及其求法、函数图形的凹凸性及其判别法、拐点及其求法、水平与垂直渐近线、最大值、最小值问题、了解弧微分、曲率及曲率半径。

第三单元 一元函数积分学及其应用 (28学时)

[知 识 点]

不定积分概念与性质、基本积分公式表、第一换元积分法、第二换元积分法、分部积分法、有理函数积分、三角有理式积分、积分表的使用；定积分概念及性质、积分上限函数及其导数、积分中值定理、牛顿-莱布尼兹公式、定积分的换元积分法和分部积分法；反常积分；定积分在几何学上的应用。

[重 点]

不定积分的计算、定积分的计算及牛顿-莱布尼兹公式。

[难 点]

积分的计算及应用。

[基本要求]

1、识 记：不定积分的概念及性质、定积分的概念及性质；

2、领 会：不定积分与定积分的联系及区别；

3、简单应用：会计算常见函数的不定积分和定积分、反常积分；

4、综合应用：会求平面曲线围成图形的面积、旋转体体积、平面曲线的弧长。

[实践与练习]

结合教学合理布置课后练习。

[考核要求]

1、理解定积分的概念和几何意义、了解定积分的性质和积分中值定理；

2、理解原函数与不定积分的概念、理解变上限的积分及其求导定理、掌握牛顿一莱布尼兹公式、掌握不定积分的基本公式以及求不定积分、定积分的换元法与分部积分法；

3、了解两类反常积分及其收敛性的概念；

4、掌握科学技术问题中建立定积分表达式的元素法、掌握定积分在几何上的应用。 第四单元 多元函数微分学及其应用 (22学时)

[知 识 点]

多元函数的基本概念、二元函数的极限、连续性；偏导数定义和求法、高阶偏导数、全微分及全微分存在定理的叙述、多元复合函数的偏导数、隐函数的偏导数；空间曲线的切线与法平面、曲面的切平面与法线；方向导数与梯度；多元函数的极值及最值、条件极值与拉格朗日乘数法。

[重 点]

偏导数与全微分计算、多元函数的极值、多元函数微分学的几何应用。

[难 点]

多元函数连续、可偏导及可微之间的关系、复合函数及隐函数的求导法则。

[基本要求]

1、识 记：多元函数极限的定义、偏导数和全微分的概念；

2、领 会：多元函数连续、可偏导及可微之间的关系；

3、简单应用：会计算简单多元函数的极限、判断连续性、多元函数的偏导数和全微分的计算；

4、综合应用：会求空间曲线的切线与法平面、曲面的切平面与法线、方向导数与梯度、多元函数的极值及最值、会用拉格朗日乘数法求条件极值。

[实践与练习]

结合教学合理布置课后练习。

[考核要求]

1、理解二元函数的概念、了解多元函数的概念、了解二元函数的极限与连续性的概念、了解有界闭区域上连续函数的性质；

2、理解二元函数偏导数与全微分的概念、了解全微分存在的必要条件与充分条件、掌握复合函数一阶偏导数的求法，会求复合函数的二阶偏导数、会求隐函数的一阶偏导数和二阶偏导数；

3、了解曲线的切线和法平面以及曲面的切平面与法线、并会求出它们的方程表达式；

4、了解方向导数与梯度的概念及其计算方法；

5、理解二元函数极值与条件极值的概念、会求二元函数的极值、了解求条件极值的拉格朗日乘数法、会求解一些比较简单的最大值与最小值的应用问题。

第五单元 多元函数积分学及其应用(30学时)

[知 识 点]

二重积分的概念、性质及计算(直角坐标系下和极坐标系下)；三重积分的概念、性质及计算(直角坐标系下和柱坐标系下)；利用重积分求空间曲面的面积及立体的体积；两类

曲线积分的计算、两类曲线积分的性质及关系、格林（Green）公式、积分与路径无关的条件、全微分求积；两类曲面积分的计算、两类曲面积分的关系及性质、高斯（Gauss）公式。

[重 点]

二重积分和三重积分的计算、格林（Green）公式、高斯（Gauss）公式。

[难 点]

二重积分和三重积分化为累次积分、积分区域对应的积分限的确定、曲面

积分化为二重积分。

[基本要求]

1、识 记：各种积分的概念、性质（二重积分、三重积分、两类曲线积分、两类曲面积分）；

2、领 会：各种积分的意义和区别（二重积分、三重积分、两类曲线积

分、两类曲面积分）；

3、简单应用：会计算二重积分（直角坐标、极坐标）、简单的三重积分（直角坐标、柱面坐标）、两类曲线积分和两类曲面积分；

4、综合应用：会求空间曲面的面积、立体的体积、掌握格林（Green）公式的各种应用、平面曲线积分与路径无关的条件及应用、全微分方程求解、了解高斯（Gauss）公式的应用；

[实践与练习]

结合教学合理布置课后练习。

[考核要求]

1、理解二重积分的概念、了解三重积分的概念、了解重积分的性质；

2、掌握二重积分的计算方法（直角坐标、极坐标）、会计算简单的三重积分（直角坐标、柱面坐标）；

3、理解两类曲线积分的概念、了解两类曲线积分的性质及两类曲线积分的关系、会计算两类曲线积分、掌握格林（Green）公式，会使用平面曲线积分与路径无关的条件；了解二元函数的全微分求积；

4、了解两类曲面积分的概念及其计算方法、了解高斯（Gauss）公式。

第六单元 无穷级数 (16学时)

[知 识 点]

常数项级数的概念及收敛级数的基本性质；正项级数的比较判别法、比值判别法、极限判别法；交错级数的莱布尼兹判别法、绝对收敛及条件收敛的概念；幂级数的收敛半径、收敛区间及其求法、幂级数的运算、幂级数求和；泰勒级数、麦克劳林级数展开式。 [重 点]

正项级数收敛判别法、幂级数收敛半径的求法。

[难 点]

常数项级数的收敛性、幂级数求和、初等函数展成泰勒级数。

[基本要求]

1、识 记：无穷级数收敛、发散及和的概念、正项级数的比较判别法、比值判别法以及几何级数与p-级数的敛散性、交错级数的莱布尼兹定理、函数项级数的收敛域与和函数的概念；

2、领 会：无穷级数的基本性质及收敛的必要条件、正项级数的