高等数学B(一三)课程教学大纲
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6 《高等数学B（一～三）》课程教学大纲
课程
编号 01013004～01013006 课程
名称 （中文）高等数学B（一～三）
（英文）Advanced Mathematics B(一～三)
课
程
基
本
情
况
1．学分：6,4,4 学时：6,40,40 （课内学时：140 实验学时： ）
2．课程性质：公共基础必修课
3．适用专业：经济学、管理学
适用对象：本科、专科
4．先修课程：
5．首选教材：《高等数学》（本科少学时）同济大学数学系
高教出版社 2001.05
二选教材：《高等数学》同济大学高等数学教研室编 高教出版社 1996（第四版）
参考书目：《微积分》赵树嫄编 中国人民大学出版社 1988
6．考核形式：考试（闭卷）
7．教学环境：多媒体阶梯教室
课
程
教
学
目
的
及
要
求
教学目的：
高等数学是理工科高等学校最重要的基础理论课之一。通过本课程的学习，使学生系统地获得微积分、级数及常微分方程的基础理论知识和常用的运算方法。通过各教学环节逐渐培养学生具有比较熟练的分析问题和解决问题的能力。为学习后继课程奠定必要的教学基础。
教学要求：
1．要正确理解以下概念：函数、极限、连续性、无穷小（大）、导数、微分、偏导数、全微分、极值、不定积分、定积分、重积分、级数的敛散性、常微分方程和差分方程的基本概念。
2．要掌握下列基本理论、基本定理和公式：函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性。极限的定理。闭区间上连续函数的性质。微分中值定理。Taylor公式。变限积分及其导数。Newton-Leibniz公式。偏导数的几何意义。全微分存在的必要条件和充分条件。极值存在的必要条件。级数敛散性的判定条件。二阶线性常微分方程解的结构。
3．熟练掌握下列运算法则和方法：极限的运算法则，导数和微分的运算法则。复合函数求导法。隐函数求导法。由参数方程所确定函数的求导法。用导数讨论函数性态（增减性、凸性、极值、拐点和渐近线），换元积分法与分部积分法。正项级数的比值审敛法，求幂级数的收敛半径。函数展开成幂级数（间接展开法）。一阶可分离微分方程与线性微分方程求解。二阶常系数线性微分方程求解。一阶差分方程求解。
4．应用方面：掌握用元素法和常微分方程的方法解决一些简单的几何、物理问题，会解最大值最小值的应用问题。
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课
程
内
容
及
学
时
分
配
（一）函数、极限、连续（ 18学时 ）
1．理解函数的慨念，掌握函数的表示方法。
2．了解函数的奇偶性、单调性、周期性和有界性。
3．理解复合函数、反函数、隐函数和分段函数的概念，会建立简单函数关系式。
4．了解极限的概念（对ε -N，ε – δ 证明中，仅掌握一次不等式放大（缩小）的应用），了解分段函数的极限。
5．掌握极限四则运算法则，会用两个重要极限求极限。
6．了解无穷小、无穷大以及无穷小的阶的概念，会用等价无穷小求极限。
7．理解函数连续性的概念，会判别函数间断点的类型。
8．了解初等函数的连续性和闭区间上连续函数的性质，并会应用这些性质。
（二）导数与微分（ 14学时 ）
1．理解导数的概念(包括左、右导数)导数的几何意义和经济意义(含边际与弹性的慨念)，函数的可导性与连续性之间关系。
2．掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法，掌握基本初等函数的导数公式。会求分段函数的导数。
3．了解高阶导数的概念，掌握初等函数的二阶导数及较简单函数的n阶导数的求法。
4．掌握求隐函数的一阶、二阶导数。
5．了解微分的概念和四则运算。
（三）不定积分（ 14学时 ）
1．理解原函数概念，理解不定积分的概念及性质。
2．掌握不定积分的基本公式、换元法、分部积分法（对有理函数的待定系数法分解，不作过高要求。）
（四）定积分及其应用（ 14学时 ）
1．理解定积分的基本概念、定积分中值定理。
2．理解变限函数及其求导定理，掌握牛顿---莱布尼兹公式。
3．掌握定积分的性质及换元积分法和分部积分法。
4．会用定积分计算一些几何量(平面图形的面积、平面曲线的弧长、旋转体的体积)，会用定积分求解一些简单的经济应用题。
5．了解广义积分的概念。了解广义积分收敛与发散的概念，掌握计算广义积分的基本方法。
（五）中值定理及导数的应用（ 18学时 ）
1．理解罗尔定理、拉格朗日定理和了解柯西定理，会用单调性证明不等式。
2．理解函数的极值概念，掌握用导数判别函数的单调性和求函数极值的方法。
3．会用导数描绘图形（包括水平、垂直渐近线）（利用凸性证明不等式不作要求）。
4．会求最大值、最小值问题，会解决经济上的简单应用问题。
5．掌握洛必达法则求不定式极限的方法。
（六）微分方程与差分方程（ 22学时 ）
1．了解微分方程及其解、通解、初始条件和特解等概念。
2．掌握变量可分离的方程及一阶线性方程的解法。会解齐次方程。
3．会用降阶法解下列方程：y (n)= f (x)，y″= f (x , y′)，y″= f (y , y′)
4．知道线性微分方程解的性质及解的结构定理。
5．掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法。
6．会求二阶常系数非齐次线性微分方程的特解(自由项由多项式、指数函数、正弦函数、余弦函数及它们的和、积构成)。
7．了解差分与差分方程及其通解与特解的概念。 8
课
程
内
容
及
学
时
分
配 8．掌握一阶常系数线性差分方程的求解方法。
9．会用微分方程和差分方程求解一些简单的经济应用问题。
（七）多元函数微分学（ 18学时 ）
1．理解多元函数的概念。
2．了解二元函数的极限与连续的概念。
3．了解偏导数与全微分的概念。
4．掌握复合函数一阶、二阶偏导数的求法。
5．会求隐函数的偏导数。
6．理解多元函数极值和条件极值的概念，掌握多元函数极值存在的必要条件，了解二元函数极值存在的充分条件，会求二元函数的极值，会用拉格朗日乘数法求条件极值，会解决一些简单的应用问题。
（八）二重积分（ 8学时 ）
1．了解二重积分的概念，了解二重积分的性质。
2．掌握二重积分（直角坐标、极坐标）的计算方法。
3．会计算无界区域上的较简单的二重积分。
（九）级数（ 18学时 ）
1．理解常数项级数收敛与发散的慨念、收敛级数和的概念，掌握级数的基本性质及收敛的必要条件。
2．掌握几何级数、P-级数的敛散性。
3．掌握正项级数的判别法(比较法、比值法)。
4．掌握交错级数的莱布尼兹判别法。
5．了解无穷级数绝对收敛与条件收敛的慨念及二者之间的关系。
6．掌握幂级数的收敛半径及收敛域的求法。
7．了解幂级数在收敛区间内的一些基本性质，会求一些简单幂级数的收敛区间内的和函数。
8．了解泰勒级数，掌握ex、sin x、cos x、ln(1+ x )、(1+ x )a的麦克劳林展开式，会用它们将一些简单函数展开成幂级数。
配套
实践
环节
说明
大纲
编写
责任
人 高等数学 （教研组） 唐一鸣、俞国胜 （签名）
2001 年06 月 30 日
系
审核
意见 数学 （系） 顾桂定 （签名）
2001 年 06 月 30 日
学院
审核
意见 张金仓 （签名） 上海大学理学院 （公章）
年 月 日
