【简单经典】高二文科数学选修1-1《导数及其应用》练习题

描述：例题：高中数学选修1-1(人教A版)知识点总结含同步练习题及答案第三章 导数及其应用 3.3 导数在研究函数中的应用一、学习任务1. 了解函数的单调性与导数的关系；能利用导数研究函数的单调性；会求不超过三次的多项式函数的单调区间．2. 了解函数的极大（小）值、最大（小）与导数的关系；会求函数的极大（小）值，以及在指定区间上函数的最大（小）值．二、知识清单导数与函数的图象 利用导数研究函数的单调性 利用导数求函数的极值利用导数求函数的最值三、知识讲解1.导数与函数的图象（1）导数 表示函数 在点 处的切线斜率．当切线斜率为正值时，切线的倾斜角小于 ，函数曲线呈上升状态；当切线的斜率为负值时，切线的倾斜角大于 且小于 ，函数曲线呈下降状态．（2）如果在区间 内恒有 ，那么函数 在区间 内是常函数．()f ′x 0y =f (x )(,f ()x 0x 090∘90∘180∘(a ,b )(x )=0f′y =f (x )(a ,b ) 是函数 的导函数， 的图象如图所示，则 的图象最有可能是下列选项中的（ ）解：C导函数的图象在 轴的上方，表示导函数大于零，原函数的图象呈上升趋势；导函数的图象在 轴的下方，表示导函数小于零，原函数的图象呈下降趋势．由 时导函数图象在 轴的上方，表示在此区间上，原函数图象呈上升趋势，可排除 B、D 选项；由 时导函数图象在 轴的下方，表示在此区间上，原函数的图象呈下降趋势，可排除 A 选项．(x )f ′f (x )y =(x )f ′f (x )x x x ∈(−∞,0)x x ∈(0,1)xy=f(x)已知函数 的图象如图所示，则导函数f(x)(a,b)则函数 在开区间答案：解析：3. 已知函数 ， 的导函数的图象如下图，那么 ， 的图象可能是．A．B ．C ．D ．D 和 都是单调递增的，但 增长的越来越慢， 增长的越来越快，并且在 处， 的切线的斜率应该相等．y =f (x )y =g (x )y =f (x )y =g (x )()f (x )g (x )f (x )g (x )x 0f (x ),g (x)高考不提分，赔付1万元，关注快乐学了解详情。

一、选择题1．定义在R 上的偶函数()f x 的导函数为(),f x '若对任意的0x >的实数，都有：()()22f x xf x '+<恒成立，则使()()2211x f x f x -<-成立的实数x 的取值范围为（ ）A ．{}1xx ≠±∣ B ．(-1，1) C ．()(),11,-∞-+∞D ．(-1，0)()0,1⋃2．已知函数()()22ln x x t f x x+-=，若对任意的[]2,3x ∈，()()0f x f x x '+>恒成立，则实数t 的取值范围是（ ）A ．(),2-∞B ．5,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭C ．103⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭,D ．()2,+∞3．已知函数21()ln 2f x x x a =--，若0x ∃>，()0f x ≥，则a 的取值范围是（ ） A ．1,2⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦B ．1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦C ．(],1-∞D ．(],e -∞4．若关于x 的方程2lnx ax x -=在0,上有两个不等的实数根，则实数a 的取值范围为（ ） A ．(],1-∞-B ．(),1-∞-C ．[)1,-+∞D ．()1,-+∞5．已知函数2()sin f x x x x =+，,22x ππ⎛⎫∈-⎪⎝⎭，则下列式子成立的是（ ） A ．13(1)22f f f ⎛⎫⎛⎫-<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B ．13(1)22f f f ⎛⎫⎛⎫<-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．13(1)22f f f ⎛⎫⎛⎫<<-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ D ．31(1)22f f f ⎛⎫⎛⎫<-<⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭6．对任意0x >，若不等式2e ln e xa x ax x++≥恒成立(e 为自然对数的底数)，则正实数a 的取值范围是（ ）A ．(0,e]B ．2(0,e ]C ．2[,e]eD ．22[,e ]e7．已知函数()f x 定义域为R ，其导函数为f x ，且()()30f x f x '->在R 上恒成立，则下列不等式定成立的是（ ） A ．()()310f e f <B ．()()210f e f < C ．()()310f e f >D ．()()210f e f >8．已知函数()ln f x x =，若对任意的12,(0,)x x ∈+∞，都有()()()()2221212122f x f x x x k x x x -->+⎡⎤⎣⎦恒成立，则实数k 的最大值是（ ）A ．1-B ．0C ．1D ．29．已知函数,0(),0x e x f x x x ⎧≥=⎨-<⎩（其中e 为自然对数的底数），若函数2()y f x ax =-恰有三个零点，则（ ）A ．24e a >B ．24e aC ．22e a >D．2e a >10．已知函数()()22,02ln ,0x x f x a x x x x -⎧<⎪=⎨++>⎪⎩，若恰有3个互不相同的实数1x ，2x ，3x ，使得()()()1232221232f x f x f x x x x ===，则实数a 的取值范围为（ ） A ．1a e>-B ．10a e-<< C ．0a ≥ D ．0a ≥或1a e=-11．若曲线()11xmy e x x =+<-+上存在两条垂直于y 轴的切线，则m 的取值范围是（ ）A ．34,1e ⎛⎫⎪⎝⎭B ．34,e ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭C ．340,e ⎛⎫⎪⎝⎭D ．341,e ⎛⎫- ⎪⎝⎭ 12．已知函数22(1)2,0()log 0x x f x x x ⎧-++≤⎪=⎨>⎪⎩，，若方程()f x a =有四个不同的解1x ，2x ，3x ，4x ，且1234x x x x <<<，则23423121()x x x x x +⋅+⋅的取值范围是（ ） A ．71(,]42-- B ．37[,]24--C ．71[,)42--D ．313(,]42-- 二、填空题13．函数()y f x =的导函数的图像如图所示，给出下列判断：①函数()y f x =在区间(3)5，内单调递增； ②函数()y f x =在区间1(3)2-，内单调递减； ③函数()y f x =在区间(22)-，内单调递增； ④当12x =-时，函数()y f x =有极大值；⑤当2x =时，函数()y f x =有极大值； 则上述判断中正确的是________．14．若对任意a ，b 满足0<a <b <m ，都有ln ln a a b b >，则实数m 的最大值为_____________________.15．若a 是区间[]0,3e 上任意选取的一个实数，则xea x>对()0,x ∈+∞恒成立的概率为______.16．已知函数()()()3ln 06x f x a x x x a =-->，当0x >时，()0f x '≥（()f x '为函数()f x 的导函数），则实数a 的取值范围为______.17．若函数3y x ax =-+在[)1,+∞上是单调函数，则a 的最大值是______. 18．已知函数()f x 定义在R 上的函数，若2()()0x f x e f x --=，当0x ≤时，()()0f x f x '+<，则不等式21()(1)x f x e f x -≥-的解集为__________19．函数3()126f x x x =-++，1,33x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦的零点个数是________. 20．已知函数()()31f x x ax b =---，x ∈R ，其中a 、b ∈R ，若()f x 存在极值点0x ，且()()10f x f x =，其中10x x ≠，则102x x +=_______.三、解答题21．已知函数()()23xf x m e x =-+，且()03f '=.（1）求()f x 的解析式；（2）设()22g x x ax a =+-，若对任意2x ≥，()()f x g x ≥，求实数a 的取值范围.22．已知函数()2ln 2f x x x =-，函数()212g x x a x=--+. （1）求函数()f x 的单调区间；（2）若对任意1,2x ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭，函数()()f x g x ≥恒成立，求实数a 的取值范围. 23．已知()()2log 1f x x =+.（1）若()()0121f x f x <--<，求x 的取值范围；（2）若关于x 的方程()40xf x m -+=有解，求实数m 的取值范围.24．“既要金山银山，又要绿水青山”.滨江风景区在一个直径AB 为100米的半圆形花园中设计一条观光线路（如图所示）.在点A 与圆弧上的一点C （不同于A ，B 两点）之间设计为直线段小路，在直线段小路的两侧（注意是两侧）种植绿化带；再从点C 到点B 设计为沿弧的弧形小路，在弧形小路的内侧（注意是一侧）种植绿化带（注：小路及绿化带的宽度忽略不计）.（1）设BAC θ∠= (弧度)，将绿化带总长度表示为θ的函数()S θ；（2）试确定θ的值，使得绿化带总长度最大.(弧度公式：l r α=⋅，其中α为弧所对的圆心角)25．已知函数())ln f x a x x a =∈R ． （1）当1a =-时，求()f x 的单调区间； （2）求()f x 在[1,4]上的最小值． 26．已知函数32113f xx ax ，0a >． （1）当1a =时，求曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积；（2）是否存在实数a ，使得()f x 在[]0,2上的最小值为56？若存在，求出a 的值；若不存在，说明理由．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【分析】根据已知构造合适的函数，对函数求导，根据函数的单调性，求出函数的取值范围，并根据偶函数的性质的对称性，求出0x <的取值范围． 【详解】当0x >时，由2()()20f x xf x +'-<可知：两边同乘以x 得：22()()20xf x x f x x +'-< 设：22()()g x x f x x =-则2()2()()20g x xf x x f x x '=+'-<，恒成立：()g x ∴在(0,)+∞单调递减，由()()21x f x f -21x <-()()2211x f x x f ∴-<-即()()1g x g < 即1x >；当0x <时，函数是偶函数，同理得：1x <-综上可知：实数x 的取值范围为(-∞，1)(1-⋃，)+∞， 故选：C 【点睛】关键点点睛：主要根据已知构造合适的函数，函数求导，并应用导数法判断函数的单调性，偶函数的性质，属于中档题．2．B解析：B 【分析】求导函数()f x '，化简()()0f x f x x'+>得10x t x+->在[]2,3x ∈恒成立，参变分离即可求参数范围. 【详解】∵()2222ln 2x x t f x x-+-'=， ∴对任意的[]2,3x ∈，()()0f x f x x'+>恒成立⇔对任意的[]2,3x ∈，()()0xf x f x '+>恒成立， ⇔对任意的[]2,3x ∈，10x t x+->恒成立, ⇔1x t x+>恒成立， 又()1g x x x =+在[]2,3上单调递增,∴()()225min g x g ==， ∴52t <.则实数t 的取值范围是5,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭.故选：B 【点睛】对于恒成立问题，常用到以下两个结论： （1）()a f x ≥ 恒成立()max a f x ⇔≥； （2） ()a f x ≤ 恒成立()min a f x ⇔≤.3．A解析：A 【分析】 由()f x 得21ln 2a x x ≤-，设21()ln 2g x x x =-，利用导数求()g x 的最大值可得答案. 【详解】 由21()ln 2f x x x a =--，得21ln 2a x x ≤-．设21()ln 2g x x x =-，则211()x g x x x x-'=-=．令()0g x '>，得01x <<；令()0g x '<，得1x >， 则()g x 在(0,1)上单调递增，在(1,)+∞上单调递减，从而1()(1)2g x g ≤=-， 故12a ≤-． 故选：A. 【点睛】本题考查了能成立求参数的问题，关键点是构造函数利用导数求最值，考查了分析问题、解决问题的能力.4．B解析：B 【分析】通过分离参数变成ln x a x x=-，构造函数()ln x f x xx =-，利用导数求其单调区间和值域，数形结合写出a 的取值范围. 【详解】2lnx ax x -=故ln xa x x=- 则()ln x f x xx=- ()2'221ln 1ln 1x x x f x x x ---=-=设()21ln g x x x =--，0x >故()'120g x x x=--<()21ln g x x x =--在0,上为减函数，10g .故()0,1∈x 时()'0f x >；()1,∈+∞x 时()'0f x <.故()ln x f x xx=-在0,1上为增函数，在1,上为减函数.()()max 11f x f ==-，且0,x →时()f x →-∞；,x →+∞时()f x →-∞y a =与()ln x f x x x=-的图象要有两个交点则a 的取值范围为(),1-∞-. 故选：B 【点睛】方程在某区间上有解的问题，可通过分离参数，构造函数，利用导数求该区间上单调区间和值域，得出参数的取值范围.5．B解析：B 【分析】由奇偶性的定义得到函数()f x 为偶函数，求导数得到函数()f x 在(0,)2π上为增函数，则函数在(,0)2π-上为减函数．结合单调性和奇偶性即可判断出答案．【详解】函数2()sin f x x x x =+， 22x ππ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，，定义域关于原点对称，且()()()()()22sin sin f x x x x x x x f x -=-+--=+=．所以函数()f x 为偶函数，所以()()11f f -=又当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()2sin cos 0f x x x x x '=++>． ()f x ∴在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭上为增函数，则()f x 在,02π⎛⎫- ⎪⎝⎭上为减函数．13π1222<<<，所以()13122f f f ⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 则()13122f f f ⎛⎫⎛⎫<-<⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 故选：B ． 【点睛】关键点睛：本题考查利用函数的奇偶性和单调性比较函数值大小，解答本题的关键是先得出函数为偶函数，再由0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()2sin cos 0f x x x x x '=++>利用单数判断出单调性，属于中档题.6．B解析：B 【分析】将不等式化简并换元，构造函数2()ln e (e)f t t a t t =-+≥，则min ()0f t ≥即可，对函数求导，判断导函数零点与区间端点的关系，分类讨论得出函数的单调性和最小值，代入求解可得正实数a 的取值范围． 【详解】22e e e ln e ln e 0x x x a x ax a x x x ++≥⇔-+≥，令e x t x=(由e e x x ≥可知e t ≥)， 则2ln e 0t a t -+≥，设2()ln e (e)f t t a t t =-+≥，则min ()0f t ≥即可，易得()1(e)a t a f t t t t-'=-=≥， ①当0e a <≤时，()0f t '≥，所以此时()(e)y f t t =≥是增函数，故2min ()(e)e e 0f t f a ==-+≥，解得2e e a ≤+，又0e a <≤，所以0e a <≤；②当e a >时，则()y f t =在[,)e a 上递减，在(,)a +∞上递增，故min ()()f t f a =，min ()0()0f t f a ≥⇔≥，所以2ln e 0a a a -+≥，设2()ln e (e)g a a a a a =-+>，故()0g a ≥即可，而()ln (e)g a a a '=->，显然()0g a '<，即()y g a =在(e,)+∞上递减，又2(e )0g =，而()0g a ≥，所以2()(e )g a g ≥，所以2e a ≤，又e a >，因此2e e a <≤.综上所述，0e a <≤或2e e a <≤，即2(0,e ]a ∈. 故选：B 【点睛】方法点睛：本题考查不等式的恒成立问题，考查导数在单调性和最值中的应用，考查分类讨论思想，关于恒成立问题的几种常见解法总结如下： 1.参变分离法，将不等式恒成立问题转化为函数求最值问题；2.主元变换法，把已知取值范围的变量作为主元，把求取值范围的变量看作参数；3.分类讨论，利用函数的性质讨论参数，分别判断单调性求出最值；4.数形结合法，将不等式两端的式子分别看成两个函数，作出函数图象，列出参数的不等式求解．7．A解析：A 【分析】构造函数()()3xf xg x e=，由()()30f x f x '->得0g x ，进而判断函数()g x 的单调性，判断各选项不等式. 【详解】()()3x f x g x e =，则()()()()()()3323333x x x xf x e f x e f x f xg x e e ⋅--=='''， 因为()()30f x f x '->在R 上恒成立， 所以0g x在R 上恒成立，故()g x 在R 上单调递减， 所以()()10g g <，即()()3010f f e e<，即()()310f e f <， 故选：A. 【点睛】函数的单调性是函数的重要性质之一，它的应用贯穿于整个高中数学的教学之中.某些数学问题从表面上看似乎与函数的单调性无关，但如果我们能挖掘其内在联系，抓住其本质，那么运用函数的单调性解题，能起到化难为易、化繁为简的作用.因此对函数的单调性进行全面、准确的认识，并掌握好使用的技巧和方法，这是非常必要的.根据题目的特点，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧.许多问题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效.8．B解析：B 【分析】首先代入函数，变形为1221ln1x kx x x >-，再通过换元设12x t x =(1t >)，则ln 1k t t >-，利用参变分离转化为(1)ln k t t <-，设()()1ln g t t t =-(1t >)，转化为求函数()g t 的最小值. 【详解】 设12x x >，因为()()()()2221212122f x f x x x k x x x -->+⎡⎤⎣⎦，变形为()()()()121212212ln ln x x x x x x kx x x -+->+，即12212lnx kx x x x >-， 等价于1221ln1x k x x x >-，因为120x x >>，令12x t x =(1t >)，则ln 1k t t >-，即(1)ln k t t <-.设()()1ln g t t t =-(1t >)，则min ()k g t <.当1t >时1()ln 10g t t t'=+->恒成立，故()g t 在()1,+∞上单调递增，()(1)0g t g >=. 所以0k ≤，k 的最大值为0. 故选：B . 【点睛】关键点点睛：本题的关键是将条件变形为12212lnx kx x x x >-，并进一步变形为1221ln1x k x x x >-，再通过换元，参变分离后转化为求函数的最值.9．A解析：A 【分析】由(0)1f =，故0不是函数()2y f x ax =-的零点，则由2()0f x ax -=，得2()(0)f x a x x =≠，令2()()f x g x x =2,01,0xe x x x x⎧>⎪⎪=⎨⎪-<⎪⎩，则题目转化为y a =与()y g x =有三个零点，利用导数研究函数()y g x =的性质并作出示意图可求得答案. 【详解】由(0)1f =，故0不是函数()2y f x ax =-的零点，则由2()0f x ax -=，得2()(0)f x a x x =≠， 令2()()f x g x x =2,01,0xe x x x x⎧>⎪⎪=⎨⎪-<⎪⎩，则题目转化为y a =与()y g x =有三个零点， 当0x >时，2()x e g x x =，则4(2)()x xe x g x x -'=，则()g x 在(0,2)上递减，在(2,)+∞上递增，当2x =时，()g x 有最小值为2(2)4e g =，当0x →时，()g x →+∞，作出()y g x =的示意图如图所示：由图知，若函数()2y f x ax =-恰有三个零点，则24e a >. 故选：A. 【点睛】方法点睛：求函数()f x 的零点个数的方法如下： 直接解方程()0f x =，求出零点可得零点个数.； 数形结合法：转化为两个函数的交点；参变分离法：将参数分离出来，再作函数的图像进而转化为y a =与()y g x =（分离后的函数）的交点问题.10．D解析：D 【分析】根据题意，令()()221,02ln 2,0x x f x x g x x x a x x ⎧<⎪⎪⋅==⎨⎪++>⎪⎩，得到函数()()2f x g x x =与直线2y =共有三个不同的交点；根据导数的方法，分别判断0x <和0x >时，函数的单调性，以及最值，结合题中条件，即可得出结果. 【详解】因为()()22,02ln ,0xx f x a x x x x -⎧<⎪=⎨++>⎪⎩，令()()221,02ln 2,0x x f x x g x x x a x x ⎧<⎪⎪⋅==⎨⎪++>⎪⎩， 由题意，函数()()2f x g x x=与直线2y =共有三个不同的交点； 当0x <时，()212x g x x =⋅，则()()()()222232222ln 222ln 22222x x x x xxx x xx g x xx x '-⋅⋅+⋅+'==-=-⋅⋅⋅， 由()3ln 2202x x g x x +'=-=⋅解得222log ln 2x e =-=-；所以()2,2log x e ∈-∞-时，()0g x '<，即函数()212x g x x =⋅单调递减； ()22log ,0x e ∈-时，()0g x '>，即函数()212x g x x =⋅单调递增； 所以()()()()222222min 2log 2212log 2422log 4log ee e g x g e e e -=-==<<⋅-，又2121122122g -⎛⎫-==> ⎪⎝⎭⎛⎫⋅- ⎪⎝⎭，()()271128724927g --==>⋅-， 所以()212x g x x =⋅与直线2y =有且仅有两个不同的交点； 当0x >时，()ln 2xg x a x =++，则()21ln x g x x-'=， 由()21ln 0xg x x-'==得x e =， 所以当()0,x e ∈时，()0g x '>，则函数()ln 2xg x a x=++单调递增； 当(),x e ∈+∞时，()0g x '<，则函数()ln 2xg x a x=++单调递减； 所以()()max 12g x g e a e==++， 又当1≥x 时，()ln 22xg x a a x=++≥+；当01x <<时，()2g x a <+； 当x e ≥时，()ln 22xg x a a x=++>+， 所以为使()ln 2xg x a x=++与直线2y =只有一个交点， 只需122a e ++=或22a +≥，即1a e=-或0a ≥. 故选：D. 【点睛】本题主要考查由方程根的个数求参数，转化为函数交点个数问题求解即可，属于常考题型.11．C解析：C 【分析】先求出原函数的导函数，令0y '=，得到2(1)x m x e =+，然后将问题转化为2(1)x m x e =+在(,1)-∞-上有两个不同的解，再构造函数2()(1)(1)x f x x e x =+<-，求出()f x 的取值范围，即可得到m 的取值范围．【详解】由(1)1xm y e x x =+<-+，得2(1)xm y e x '=-+，令0y '=，则2(1)x m x e =+，曲线(1)1xmy e x x =+<-+存在两条垂直于y 轴的切线， 2(1)x m x e ∴=+在(,1)-∞-上有两个不同的解．令2()(1)x f x x e =+，则22()2(1)(1)(43)x x x f x x e x e x x e '=+++=++．∴当3x <-时，()0f x '>，当31x -<<-时，()0f x '<，()f x ∴在(,3)-∞-上单调递增，在(3,1)--上单调递减， ∴34()(3)max f x f e =-=， 又当3x <-时，()0f x >，(1)0f -=．m ∴的取值范围为34(0,)e．故选：C ． 【点睛】本题考查了利用导数研究曲线上某点处切线斜率，训练了利用导数研究函数的单调性、零点，考查数学转化思想方法，属中档题．12．D解析：D 【分析】画出图形，数形结合解答．注意到122x x +=-，2324log log x x -=，化简结论得32312x x -，311,42x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，构造函数21()2f x x x =-，11,42x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，利用导数判断出函数的单调性即可． 【详解】已知函数图象如下：方程()f x a =有四个不同的解1x ，2x ，3x ，4x ，且1234x x x x <<<， 则122x x +=-，2324log log x x -=，所以341x x ⋅=，且311,42x ⎛⎤∈⎥⎝⎦，所以234322312311()2x x x x x x x ⋅=+⋅+-， 令21()2f x x x =-，11,42x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦， 则31()1f x x =+'在11,42⎛⎤ ⎥⎝⎦上恒大于0， 故()f x 在11,42x ⎛⎤∈⎥⎝⎦上单调递增， 所以313(),42f x ⎡⎫∈--⎪⎢⎣⎭， 故选:D ． 【点评】本题考查了函数的图像运用，利用数形结合判断函数交点问题，属于中档题．二、填空题13．③⑤【分析】根据导函数图像得出导数正负根据导数正负判定单调区间根据左正右负和左负有正判定极值【详解】解：对于①当时单调递减当时单调递增所以①错；对于②当时单调递增当时单调递减所以②错；对于③当时单调解析：③⑤ 【分析】根据导函数图像得出导数正负，根据导数正负判定单调区间，根据左正右负和左负有正判定极值. 【详解】解：对于①，当(34)x ∈，时()0f x '<，()f x 单调递减， 当(4,5)x ∈时()0f x '>，()f x 单调递增，所以①错；对于②，当1(2)2x ∈-，时()0f x '>，()f x 单调递增， 当(23)x ∈，时()0f x '<，()f x 单调递减，所以②错； 对于③，当(22)x ∈-，时()0f x '>，()f x 单调递增，所以③对； 对于④，当(22)x ∈-，时()0f x '>，()f x 单调递增，故当12x =-时()f x 不是极大值，所以④错；对于⑤，当1(2)2x ∈-，时()0f x '>，()f x 单调递增， 当(23)x ∈，时()0f x '<，()f x 单调递减，故2x =时函数()y f x =取得极大值，所以⑤对．故答案为：③⑤. 【点睛】求函数的极值或极值点的步骤：（1）求导数()'f x ，不要忘记函数()f x 的定义域；（2）求方程()0f x '=的根；（3）检查在方程的根的左右两侧()'f x 的符号，确定极值点或函数的极值．14．【分析】根据0<a<b<m 都有令则在上是减函数由求解【详解】因为0<a<b<m 都有令所以在上是减函数所以解得所以的最大值为故答案为：【点睛】本题主要考查导数与函数的单调性及其应用还考查了分析求解问题解析：1e【分析】根据0<a <b <m ，都有ln ln a a b b >，令()ln f x x x =，则()f x 在()0,m 上是减函数，由()0f x '<求解.【详解】因为0<a <b <m ，都有ln ln a a b b >， 令()ln f x x x =，所以()f x 在()0,m 上是减函数， 所以()1ln 0f x x '=+<， 解得10x e<<， 所以m 的最大值为1e， 故答案为：1e【点睛】本题主要考查导数与函数的单调性及其应用，还考查了分析求解问题的能力，属于中档题.15．【分析】由对恒成立可知只要小于的最小值所以构造函数利用导数求出从而得然后利用区间长度比求出概率即可【详解】设则当时；当时在递减在递增∴∴当时对恒成立故所求概率为故答案为：【点睛】此题考查的是几何概型解析：13【分析】由x e a x >对()0,x ∈+∞恒成立，可知只要a 小于xe x的最小值，所以构造函数()xe f x x=，利用导数求出()()min 1f x f e ==，从而得()0,a e ∈，然后利用区间长度比求出概率即可. 【详解】设()x e f x x =，则()()'21x e x f x x-=，0x >.当01x <<时，()'0f x <；当1x >时，()'0f x >，()f x 在()0,1递减，在()1,+∞递增∴()()min 1f x f e ==，∴当a e <时，xe a x>对()0,x ∈+∞恒成立.故所求概率为1303e e =-. 故答案为：13【点睛】此题考查的是几何概型，不等式恒成立问题，属于基础题.16．【分析】转化条件得设求导后求出函数的最小值令即可得解【详解】由题意得由于时故设则由于所以当时单调递减；当时单调递增于是所以即故实数的取值范围是故答案为：【点睛】本题考查了利用导数解决不等式恒成立问题 解析：(]0,e【分析】转化条件得()min 0f x '≥，设()()g x f x '=，求导后求出函数()g x 的最小值()min g x ，令()min 0g x ≥即可得解. 【详解】由题意得()2ln 2x f x a x '=-.由于0x >时，()0f x '≥，故()min 0f x '≥.设()()g x f x '=，则()(2x x x a g x x x+-'==. 由于0x >，所以当(x ∈时，()0g x '<，()g x 单调递减；当)x ∈+∞时，()0g x '>，()g x 单调递增.于是()()()min min 1ln 022a af xg x ga a '===-=-≥， 所以ln 1a ≤即0a e <≤，故实数a 的取值范围是(]0,e . 故答案为：(]0,e 【点睛】本题考查了利用导数解决不等式恒成立问题，考查了推理能力，属于中档题.17．3【分析】首先求解导函数然后利用导函数研究函数的性质确定实数a 的最大值即可【详解】由题意可得：由题意导函数在区间上的函数值要么恒非负要么恒非正很明显函数值不可能恒非负故即在区间上恒成立据此可得：即的解析：3 【分析】首先求解导函数，然后利用导函数研究函数的性质确定实数a 的最大值即可. 【详解】由题意可得：2'3y x a =-+，由题意导函数在区间[)1,+∞上的函数值要么恒非负，要么恒非正，很明显函数值不可能恒非负，故230x a -+≤， 即23a x ≤在区间[)1,+∞上恒成立，据此可得：3a ≤， 即a 的最大值是3. 故答案为3． 【点睛】本题主要考查导函数研究函数的单调性，恒成立问题的处理方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.18．【分析】令根据题中条件得到为偶函数；对其求导根据题中条件判定在上单调递减；则在上单调递增；化所求不等式为求解即可得出结果【详解】令则因为所以即所以函数为偶函数；又当时所以即函数在上单调递减；则在上单解析：12x x ⎧⎫≥⎨⎬⎩⎭【分析】令()()xg x f x e =，根据题中条件，得到()g x 为偶函数；对其求导，根据题中条件，判定()g x 在(),0-∞上单调递减；则()g x 在()0,∞+上单调递增；化所求不等式为1x x ≥-，求解，即可得出结果.【详解】令()()xg x f x e =，则()()xg x f x e --=-，因为2()()0xf x ef x --=，所以()()x x f x e f x e -=-，即()()g x g x =-，所以函数()g x 为偶函数；又()[]()()()()xxxg x f x e f x e f x f x e '''=+=+，当0x ≤时，()()0f x f x '+<，所以()[]()()0xg x f x f x e ''=+<，即函数()g x 在(),0-∞上单调递减；则()g x 在()0,∞+上单调递增； 又不等式21()(1)x f x ef x -≥-可化为1()(1)x x f x e f x e -≥-，即()()1g x g x ≥-，所以只需1x x ≥-，则()221x x ≥-，解得12x ≥. 故答案为：12x x ⎧⎫≥⎨⎬⎩⎭. 【点睛】本题主要考查由函数单调性与奇偶性解不等式，考查导数的方法判定函数单调性，涉及绝对值不等式的解法，属于常考题型.19．0【分析】求得函数的导数求得函数在上单调递增在上单调递减再根据即可判定得到答案【详解】由题意函数可得令即解得所以函数在上单调递增；令即解得或所以函数在上单调递减；又由所以函数图象与轴没有交点即函数没解析：0 【分析】求得函数的导数()3(2)(2)f x x x '=-+-，求得函数()f x 在1[,2)3-上单调递增，在(2,3]上单调递减，再根据1()0,(2)0,(3)03f f f ->>>，即可判定，得到答案.【详解】由题意，函数3()126f x x x =-++，1,33x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，可得22()3123(4)3(2)(2)f x x x x x '=-+=--=-+-， 令()0f x '>，即(2)(2)0x x +-<，解得22x -<<，所以函数()f x 在1[,2)3-上单调递增； 令()0f x '<，即(2)(2)0x x +->，解得2x <-或2x >，所以函数()f x 在(2,3]上单调递减； 又由11()460,(2)220,(3)130327f f f -=--+>=>=>， 所以函数图象与x 轴没有交点，即函数()f x 没有零点， 所以函数()f x 的个数为0个. 故答案为：0. 【点睛】本题主要考查了函数零点的个数的判定，以及利用导数研究函数的单调性与极值，其中解答中利用导数求得函数的单调性与极值是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.20．【分析】根据得出再根据利用作差因式分解可得出的值【详解】由题意可得则即即故答案为：【点睛】本题考查利用极值点求代数式的值主要考查因式分解考查计算能力属于中等题解析：3【分析】根据()00f x '=得出()2031a x =-，再根据()()10f x f x =利用作差因式分解可得出102x x +的值.【详解】()()31f x x ax b =---，()()231f x x a '∴=--，由题意可得()()200310f x x a '=--=，则()2031a x =-，10x x ≠，100x x ∴-≠，()()10f x f x =，()()33110011x ax b x ax b ∴---=---，()()()33101011x x a x x ∴---=-，()()()()()()22101100101111x x x x x x a x x ⎡⎤∴--+--+-=-⎣⎦，()()()()()22211000111131x x x x a x ∴-+--+-==-，()()()()221100111210x x x x ∴-+----=，()()()()1010111210x x x x ∴---⋅-+-=⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦，即()()1010230x x x x -+-=，10230x x ∴+-=，即1023x x +=.故答案为：3. 【点睛】本题考查利用极值点求代数式的值，主要考查因式分解，考查计算能力，属于中等题.三、解答题21．（1）()23x f x e x +=；（2）(3,3e ⎤-∞⎦.【分析】（1）求得()f x '，利用()03f '=求出m 的值，即可得出函数()f x 的解析式； （2）分2x =、2x >两种情况讨论，在2x =时可得出a R ∈；在2x >时，由参变量分离法得出32x e a x ≤-，利用导数求出函数()32x e h x x =-在区间()2,+∞上的最小值，综合可得出实数a 的取值范围. 【详解】（1）()()23x f x m e x =-+，()()32x f x m e x '∴=-+，则()033f m '=-=，解得6m =，因此，()23xf x e x +=；（2）①当2x =时，则()()223xf x e x xg x =+≥=成立，此时a R ∈；②当2x >时，由题意得32xe a x ≤-恒成立，令()32xe h x x =-，其中2x >，得()min a h x ≤，以下只需求()min h x .()()()2332x e x h x x -'=-，当23x <<时，()0h x '<，()h x 单调递减；当3x >时，()0h x '>，()h x 单调递增. 所以()()3min 33h x h e ==，所以33a e ≤.综上所述，实数a 的取值范围是(3,3e ⎤-∞⎦.【点睛】结论点睛：利用参变量分离法求解函数不等式恒（能）成立，可根据以下原则进行求解： （1）x D ∀∈，()()min m f x m f x ≤⇔≤； （2）x D ∀∈，()()max m f x m f x ≥⇔≥； （3）x D ∃∈，()()max m f x m f x ≤⇔≤； （4）x D ∃∈，()()min m f x m f x ≥⇔≥. 22．（1）单调递增区间是10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，单调递减区间是1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭；（2）(],1-∞. 【分析】（1）求导，判断导函数正负，进而判断函数单调区间； （2）()()f x g x ≥恒成立，可转化为不等式1ln a x x ≤+对于1,2x ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭恒成立，设()1ln h x x x=+，求导，判断单调性并求得最小值，()min a h x ≤. 【详解】（1）函数()2ln 2f x x x =-的定义域为0,，则()()()21212114'4x x x f x x x x x-+-=-==， 由题意120x +>，得 当10,2⎛⎫∈ ⎪⎝⎭x 时，()()'0,f x f x >递增， 当1,2⎛⎫∈+∞⎪⎝⎭x 时，令()()'0,f x f x <递减， 所以()f x 的单调递增区间是10,2⎛⎫⎪⎝⎭，单调递减区间是1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭；（2）对任意1,2x ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭，函数()()f x g x ≥恒成立， 即不等式1ln a x x ≤+对于1,2x ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭恒成立， 令()1ln h x x x =+， 则()22111'x h x x x x-=-=， 当1,12x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，()'0h x <，函数()h x 单调递减，当时()1,∈+∞x ，()'0h x >，函数()h x 单调递增，所以当1x =时，()h x 有最小值()1ln111h =+=，从而a 的取值范围是(],1-∞.【点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行： (1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系． (2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数． (3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题． (4)考查数形结合思想的应用．23．（1）10,3⎛⎫ ⎪⎝⎭；（2）(],1-∞-.【分析】（1）利用对数的运算法则化简，求解对数不等式.注意化简前保证真数大于零.（2）分离参数，利用方程()2log 41x x m +-=-有解，构造函数()()2log 41x g x x =+-，求导，分析函数单调性，求出最值，得到m 的取值范围.【详解】（1）()()212log 22f x x -=-()()()()222lo 2212log 22g 1log 11f x x x x x x f ----+-=<+=1220110222x x x x ⎧⎪->⎪+>⎨⎪-<+⎩<⎪ 则103x << 故x 的取值范围为10,3⎛⎫ ⎪⎝⎭. （2）()40x f x m -+=则()()2log 4104x x f x m m x =+-++=-()2log 41x x m +-=-设()()2log 41xg x x =+- ()()'ln 444111441ln 2x x x x g x ⋅-=-=++⋅ 当(),0x ∈-∞时，'0gx 当()0,x ∈+∞时，()'0g x >且x →-∞时，()g x →+∞()2min log 21g x ==故1m -≥则1m ≤-故m 的取值范围为：(],1-∞-【点睛】利用导数求函数值域时，一种是利用导数判断函数的单调性，进而根据单调性求函数的值域；一种是利用导数与极值、最值的关系求函数的值域.24．（1）()200cos 100,0,2S πθθθθ⎛⎫⎛⎫=+∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（2）6πθ=. 【分析】（1）在直角三角形ABC 中，求出AC ，在扇形COB 中利用弧长公式求出弧BC 的长度，则可得函数()S θ；（2）利用导数可求得结果.【详解】（1）如图，连接,BC OC ，在直角三角形ABC 中，100,,AB BAC θ=∠=所以100cos ,AC θ=由于22,BOC BAC θ∠=∠=则弧BC 的长为250100,l r αθθ=⋅=⋅=()22100cos 100200cos 100,0,2S AC l πθθθθθθ⎛⎫⎛⎫∴=+=⨯+=+∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（2）由（1）可知()200sin 100S θθ'=-+， 令()0,S θ'= 得1sin 2θ=，因为(0,)2πθ∈所以6πθ=，当0,,()0,()6S S πθθθ'⎛⎫∈> ⎪⎝⎭单调递增， 当,,()0,()62S S ππθθθ'⎛⎫∈< ⎪⎝⎭单调递减， 所以当6πθ=时，使得绿化带总长度()S θ最大.【点睛】关键点点睛：仔细审题，注意题目中的关键词“两侧”和“一侧”是解题关键.25．（1）单调递增区间为(4,)+∞；单调递减区间为(0,4)；（2）min 2ln 22,11()2ln(2)2,1211,2a a f x a a a a a ⎧⎪+≤-⎪⎪=---<<-⎨⎪⎪≥-⎪⎩. 【分析】 （1）当1a =-时，2()x f x -'=，进而得4x >时，()0f x '>， 04x <<时，()0f x '<，进而得函数的单调区间；（2）2()2x a f x x +'=，故分1a ≤-，112a -<<-，12a ≥-三种情况讨论即可得答案. 【详解】解：（1）()f x 的定义域为(0,)+∞，当1a =-时，12()2x f x x x -'=-= 当4x >时，()0f x '>，则()f x 的单调递增区间为(4,)+∞；当04x <<时，()0f x '<，则()f x 的单调递减区间为(0,4).（2）()a f x x '== 当1a ≤-时，()0,()f x f x '≤在[1,4]上单调递减，此时，()min (4)2ln 22f x f a ==+ 当12a ≥-时，()0,()f x f x '≥在[1,4]上单调递增， 此时，()min (1)1f x f == 当112a -<<-时，若214x a <<，则()0,()f x f x '<单调递减； 若244a x <<，则()0,()f x f x '>单调递增此时，()()22min ()4ln 42ln(2)2f x f a a a a a a ==+=--． 综上所述：min 2ln 22,11()2ln(2)2,1211,2a a f x a a a a a ⎧⎪+≤-⎪⎪=---<<-⎨⎪⎪≥-⎪⎩【点睛】本题考查利用导数求解函数的最小值问题，考查分类讨论思想和运算求解能力，其中第二问解题的关键在于求导得()f x '=1a ≤-，112a -<<-，12a ≥-三种情况讨论求解，是中档题.26．（1）89；（2）存在，12a =. 【分析】（1）由1a =，求导()22f x x x '=-，利用导数的几何意义求得曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程，再求得切线的x 轴、y 轴上的截距，代入三角形的面积公式求解. （2）求导()()222f x x ax x x a '=-=-，令()0f x '=，得0x =或2x a =，然后分022a <<，22a ≥，由()f x 在[]0,2上的最小值为56求解. 【详解】（1）当1a =时，()32113f x x x =-+，()22f x x x '=-， 所以()11f '=-，又()113f =，所以曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程为()113y x -=--， 即3340x y +-=，直线3340x y +-=在x 轴、y 轴上的截距均为43， 所以三角形的面积为14482339S =⨯⨯=． （2）()()222f x x ax x x a '=-=-，令()0f x '=，得0x =或2x a =．当022a <<，即01a <<时，当[]0,2x a ∈时，()0f x '≤，()f x 单调递减；当[]2,2x a ∈时．()0f x '≥，()f x 单调递增．则()()33min 8524136f x f a a a ==-+=，解得12a =， 当22a ≥，即1a ≥时，当[]0,2x ∈时，()0f x '≤，()f x 单调递减，则()()min 8524136f x f a ==-+=，解得17124a =<，舍去． 综上：存在12a =，使得()f x 在[]0,2上的最小值为56． 【点睛】方法点睛：（1）求解函数的最值时，要先求函数y ＝f (x )在[a ，b ]内所有使f ′(x )＝0的点，再计算函数y ＝f (x )在区间内所有使f ′(x )＝0的点和区间端点处的函数值，最后比较即得．（2）已知函数的最值求参数，一般先用参数表示最值，列方程求解参数．。

一、选择题1．已知,a b ∈R ，若函数()e =-x f x a bx 存在两个零点1x ，2x ，且210x x >>，则下列结论可能成立的是（ ）．A ．0ae b >>B ．0ae b >>C ．0b ae >>D ．0ae b >> 2．已知()f x 是可导函数，且()()ln f x x x f x '<⋅对于0x ∀>恒成立，则（ ） A ．()()()283462f f f <<B ．()()()623428f f f <<C ．()()()346229f f f <<D ．()()()286234f f f << 3．已知函数()23ln f x x ax x =-+在其定义域内为增函数，则a 的最大值为（ ）A ．4B ．26C ．27D ．6 4．已知函数()1ln 1f x x x =--，则()y f x =的图象大致为（ ） A ． B ．C ．D ． 5．已知函数21ln 22y x a x x =--在1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上单调递增，则实数a 的取值范围为（ ） A ．34a ≤- B ．1a ≤- C ．1a ≤ D ．01a ≤≤ 6．已知函数()f x 的导函数是'()f x ，'()f x 的图象如图所示，下列说法正确的是（ ）A ．函数()f x 在(2,1)--上单调递减B ．函数()f x 在3x =处取得极大值C ．函数()f x 在(1,1)-上单调递减D ．函数()f x 共有4个极值点7．若定义在R 上的函数()f x 满足()()1f x f x '+>，(0)4f =，则不等式()3x x e f x e ⋅>+ (其中e 为自然对数的底数)的解集为（ ）A ．(0)(0)-∞+∞，， B ．(0)(3)-∞⋃+∞，， C ．(0)+∞， D ．(3)+∞，8．已知实数2343a e =，4565b e =，6787c e =，那么a ，b ，c 大小关系为（ ） A ．a b c >> B ．b a c >> C ．c b a >> D ．a c b >> 9．某企业拟建造一个容器(不计厚度，长度单位：米)，该容器的底部为圆柱形，高为l ，底面半径为r ，上部为半径为r 的半球形，按照设计要求容器的体积为283π立方米.假设该容器的建造费用仅与其表面积有关，已知圆柱形部分每平方米建造费用为3万元，半球形部分每平方米建造费用为4万元，则该容器的建造费用最小时，半径r 的值为（ ） A ．1 B ．32 C ．34D ．210．对于R 上可导的任意函数()f x ，若当2x ≠时满足()02f x x '≤-，则必有（ ） A ．()()()1322f f f +<B ．()()()1322f f f +≤C ．()()()1322f f f +≥D ．()()()1322f f f +> 11．已知函数321()13f x x ax x =+++在(,0)-∞，(3,)+∞上为增函数，在()1,2上为减函数，则实数a 的取值范围为（ ）A ．(,1]-∞-B ．55,34⎡⎤--⎢⎥⎣⎦C ．5,13⎛⎤-- ⎥⎝⎦D ．55,34⎛⎫-- ⎪⎝⎭ 12．某生产厂家的年利润y （单位：万元）与年产量x （单位：万件）的函数关系式为31812863y x x =-+-，则该生产厂家获取的最大年利润为（ ） A ．300万元 B ．252万元 C ．200万元 D ．128万元二、填空题13．对于函数22,0()12,02x x e x f x x x x ⎧⋅≤⎪=⎨-+>⎪⎩有下列命题： ①在该函数图象上一点（﹣2，f （﹣2））处的切线的斜率为22e -； ②函数f (x )的最小值为2e-； ③该函数图象与x 轴有4个交点；④函数f (x )在（﹣∞，﹣1]上为减函数，在（0，1]上也为减函数.其中正确命题的序号是_____.14．已知函数()f x 与()f x '的图象如图所示，则函数()()x f x g x e=的单调递减区间为___________．15．已知函数3223,01()21,1x x m x f x mx x ⎧-+≤≤=⎨-+>⎩，若函数()f x 的图象与x 轴有且只有两个不同的交点，则实数m 的取值范围为________．16．已知函数()()()3ln 06x f x a x x x a =-->，当0x >时，()0f x '≥（()f x '为函数()f x 的导函数），则实数a 的取值范围为______.17．已知a R ∈，设函数232,1()1,1x x a x f x x a nx x ⎧-+=⎨->⎩，若关于x 的不等式()0f x ≥在R 上恒成立，则a 的取值范围是_________.18．已知函数()()ln ,11,1x x x f x x e x ≥⎧=⎨-<⎩，若函数()()()2g x f x f x a =--⎡⎤⎣⎦有6个零点，则实数a 的取值范围是______.19．已知函数()()21a x x xf x x ++=≥，若()0f x '≥恒成立，则a 的取值范围为______. 20．已知函数()x f x e x =-，()22g x x mx =-，若对任意1x ∈R ，存在[]21,2x ∈，满足()()12f x g x ≥，则实数m 的取值范围为______．三、解答题21．已知函数22()1ln f x x ax a x =++-．（1）当1a =时，求()f x 的单调区间；（2）若0a =，且(0,1)x ∈，求证：2()2ln 122x f x x x e x-+-<． 22．已知函数()xae f x x=，0a ≠，0x >，若函数()f x 的最小值为e （e 为自然对数的底数）．（1）求实数a 的值；（2）方程1()0f x m x x ⎛⎫++= ⎪⎝⎭在[]1,2有解，求m 的取值范围． 23．已知函数32()691f x x x x =-++．（1）求曲线()y f x =在点()0,1处的切线方程．（2）证明：()()1ln 2cos x x f x x +->对1()2,x ∈+∞恒成立．24．已知函数32()24,1f x x ax x =-+=是函数()f x 的一个极值点. （1）求函数()f x 的单调递增区间；（2）当[1,2]x ∈-，求函数()f x 的最小值.25．已知函数3()f x x x =-.（Ⅰ）求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程；（Ⅱ）求函数()f x 的单调区间和极值；（Ⅲ）设函数()()2sin f x t x x x =-，(0,)x ∈π，试判断()t x 的零点个数，并证明你的结论. 26．已知函数32113f x x ax ，0a >． （1）当1a =时，求曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积；（2）是否存在实数a ，使得()f x 在[]0,2上的最小值为56？若存在，求出a 的值；若不存在，说明理由．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．D 解析：D【分析】根据题意将问题转化为方程x b e a x =在0,上有两个实数根，进而令()(),0,xe g x x x=∈+∞，再研究函数()g x 的单调性得0b e a >>，进而分0a >和0a <讨论即可得答案.【详解】解:当0a =时，函数()f x 只有一个零点，故0a ≠，因为函数()e =-x f x a bx 存在两个零点1x ，2x ，且210x x >>所以方程x b e a x =在0,上有两个不相等的实数根.令()(),0,x e g x x x =∈+∞，()()21'x x e g x x-=， 所以当()1,∈+∞x 时()'0g x >，()0,1∈x 时()'0g x <，故函数()(),0,xe g x x x =∈+∞在1,上单调递增，在0,1上单调递减；所以()()min 1g x g e ==，所以0b e a>>， 当0a >时，0b ae >>，当0a <时，0b ae <<.故选：D.【点睛】 本题考查利用导数研究函数零点问题，解题的关键在于将问题转化为方程xb e a x =在0,上有两个不相等实数根，进而令()g x 研究函数的单调性即可.考查运算求解能力与化归转化思想，是中档题.2．B解析：B 【分析】构造函数()()ln f x g x x=，利用导数判断出函数()y g x =在区间()1,+∞上为增函数，可得出()()()248g g g <<，进而可得出结论.【详解】令()()ln f x g x x=，则()()()()2ln ln xf x x f x g x x x '-'=． 当1x >时，由()()ln f x x x f x '<⋅得()0g x '>，所以函数()()ln f x g x x=在()1,+∞上是增函数， 于是()()()248g g g <<，即()()()248ln 2ln 4ln 8f f f <<，即()()()248ln 22ln 23ln 2f f f <<. 化简得，()()()623428f f f <<，故选：B.3．B解析：B【分析】求导，则由题意导函数在0,上恒大于等于0，分参求a 范围. 【详解】由题意可得()160f x x a x '=-+≥对()0,x ∈+∞恒成立，即16a x x ≤+，对()0,x ∈+∞恒成立因为16x x +≥16x x =即6x =时取最小值所以a ≤故选：B【点睛】(1)利用导数研究函数的单调性的关键在于准确判定导数的符号．关键是分离参数k ，把所求问题转化为求函数的最小值问题．(2)若可导函数f (x )在指定的区间D 上单调递增(减)，求参数范围问题，可转化为f ′(x )≥0(或f ′(x )≤0)恒成立问题，从而构建不等式，要注意“＝”是否可以取到．4．A解析：A【分析】利用导数分析函数ln 1y x x =--的单调性以及函数值符号，由此可得出函数()y f x =的图象.【详解】对于函数ln 1y x x =--，该函数的定义域为()0,∞+，求导得111x y x x -'=-=. 当01x <<时，0y '<，此时函数ln 1y x x =--单调递减；当1x >时，0y '>，此时函数ln 1y x x =--单调递增.所以，函数ln 1y x x =--的最小值为min 1ln110y =--=，即对任意的0x >，ln 10x x --≥.所以，函数()y f x =的定义域为()()0,11,+∞，且()0f x >，函数()y f x =的单调递增区间为()0,1，递减区间为()1,+∞.所以，函数()y f x =的图象如A 选项中函数的图象.故选：A.【点睛】思路点睛：函数图象的辨识可从以下方面入手：（1）从函数的定义域，判断图象的左右位置；（2）从函数的值域，判断图象的上下位置．（3）从函数的单调性，判断图象的变化趋势；（4）从函数的奇偶性，判断图象的对称性；（5）函数的特征点，排除不合要求的图象.5．B解析：B【分析】 由函数21ln 22y x a x x =--在1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上单调递增，知'0y ≥在1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上恒成立，分离参数，求最值得答案.【详解】因为函数21ln 22y x a x x =--在1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上单调递增， 所以22'20a x x a y x x x--=--=≥在1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上恒成立， 所以222(1)1a x x x ≤-=--在1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上恒成立， 所以1a ≤-，故选：B.【点睛】方法点睛：该题考查的是有关根据函数在给定区间上单调增求你参数的取值范围的问题，解题方法如下：（1）利用函数在给定区间上单调递增，得到其导数大于等于零在给定区间上恒成立； （2）求导；（3）分离参数，求最小值，得结果.6．C解析：C【分析】对于选项A ，函数()f x 在(2,1)--上单调递增，故A 错误；对于选项B ，函数()f x 在(1,3)上单调递增，在(3,)+∞上单调递增，所以3x =不是()f x 的极值点，故B 错误；对于选项C ，函数()f x 在(1,1)-上单调递减，故C 正确；对于选项D ，由导函数的图象得函数()f x 共有3个极值点，故D 错误.【详解】对于选项A ，由导函数的图象得函数()f x 在(2,1)--上单调递增，故A 错误； 对于选项B ，由导函数的图象得函数()f x 在(1,3)上单调递增，在(3,)+∞上单调递增，所以3x =不是()f x 的极值点，故B 错误；对于选项C ，由导函数的图象得函数()f x 在(1,1)-上单调递减，故C 正确；对于选项D ，由导函数的图象得函数()f x 共有3个极值点，3,1x x =-=是极小值点，1x =-是极大值点，故D 错误.故选：C.【点睛】结论点睛：（1）函数()f x 的()0f x '>在(,)a b 上恒成立，则函数()f x 在(,)a b 上单调递增；函数()f x 的()0f x '<在(,)a b 上恒成立，则函数()f x 在(,)a b 上单调递减.（2）如果函数()f x 的极值点是0x ，则0x 附近左右两边的导数符号相反.7．C解析：C【分析】构造函数()()3x x g x e f x e =⋅--，解不等式()0g x >即可，对()g x 求导得()[()()1]0x g x e f x f x ''=+->，可得()g x 在R 上单调递增，且(0)0g =，根据单调性可得0x >，即得正确答案.【详解】令()()3x xg x e f x e =⋅--，则()()()[()()1]0x x x x g x e f x e f x e e f x f x '''=⋅+⋅-=+->，所以()g x 在R 上单调递增，又因为00(0)(0)30g e f e =⋅--=，所以()0>g x ⇒0x >， 即不等式的解集是(0)+∞，， 故选：C【点睛】关键点点睛：本题的关键点是构造函数()()3x xg x e f x e =⋅--，所要解的不等式等价于 ()0g x >，且(0)0g =，所以()()0g x g >，因此需要对()g x 求导判断单调性即可. 8．C解析：C【分析】根据所给实数的表达式进行构造函数，然后利用导数判断出函数的单调性，最后利用函数的单调性进行判断即可.【详解】构造函数'()(2)()(1)x x f x x e f x x e =-⇒=-，当1x >时，'()0,()f x f x <单调递减， 当1x <时，'()0,()f x f x >单调递增. 因为2342()33a e f ==，4564()55b e f ==，6786()77c e f ==，246357<<， 所以642()()()753f f f >>，即c b a >>. 故选：C【点睛】 关键点睛：根据几个实数的特征构造函数，利用导数判断其单调性是解决此类问题的关键. 9．C解析：C【分析】根据体积公式用r 表示出l ，得出费用关于r 的函数，利用导数求出函数的极小值点即可.【详解】 解：由题意知2323142282333V r l r r l r πππππ=+⨯=+=，故33322222282282282333333V r r r l r r r r r πππππ---===-=， 由0l >可知r <.∴ 建造费用()3222221282562344611723r y rl r r r r r r r πππππππ-=+⨯+⨯⨯=⨯+=+，(0r <<， 则()3221445614r y r r rπππ-'=-=.当(r ∈时，0y '<，r ∈时，0y '>.当r =.故选：C .【点睛】本题考查数学建模能力，利用导数求解最值问题，考查运算能力，是中档题. 10．B解析：B【分析】 根据()02f x x '≤-，得到2x >时，()f x 单调非递增函数，2x <时，()f x 单调非递减函数求解.【详解】 因为()02f x x '≤-， 所以当20x ->，即2x >时，()0f x '≤，则()f x 单调非递增函数，所以()()32f f ≤；当20x -<，即2x <时，()0f x '≥，()f x 单调非递减函数， 所以()()12f f ≤；由不等式的性质得：()()()1322f f f +≤.故选：B【点睛】本题主要考查导数与函数的单调性以及不等式的基本性质，属于中档题. 11．B解析：B【分析】求导得到2()21'=++f x x ax ，然后根据()f x 在(,0)-∞，(3,)+∞上为增函数，在()1,2上为减函数，由(0)0(1)0(2)0(3)0f f f f ''≥⎧⎪≤⎪⎨''≤⎪⎪≥⎩求解.【详解】 已知函数321()13f x x ax x =+++， 则2()21'=++f x x ax ，因为()f x 在(,0)-∞，(3,)+∞上为增函数，在()1,2上为减函数，所以(0)0(1)0(2)0(3)0f f f f ''≥⎧⎪≤⎪⎨''≤⎪⎪≥⎩，即10121044109610a a a ≥⎧⎪++≤⎪⎨++≤⎪⎪++≥⎩，解得 5534a -≤≤-， 所以实数a 的取值范围为55,34⎡⎤--⎢⎥⎣⎦故选：B 【点睛】本题主要考查导数与函数的单调性以及二次函数与根的分布，还考查了逻辑推理和运算求解的能力，属于中档题.12．C解析：C 【分析】求得函数的导数，得到函数的单调性，进而求解函数的最大值，即可得到答案. 【详解】由题意，函数31812863y x x =-+-，所以281y x '=-+，当09x <<时，0y '>，函数()f x 为单调递增函数； 当9x >时，0y '<，函数()f x 为单调递减函数，所以当9x =时，y 有最大值，此时最大值为200万元，故选C. 【点睛】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性与最值问题，其中解答中熟记函数的导数在函数中的应用，准确判定函数的单调性是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.二、填空题13．①②④【分析】求出导数代入-2可得判断①；利用函数的单调性求出极值可判断②④；分别求函数等于零的根可判断③【详解】x≤0时f(x)＝2xexf′(x)＝2（1+x ）ex 故f′（﹣2）＝①正确；且f(解析：①②④ 【分析】求出导数代入-2可得判断①；利用函数的单调性求出极值可判断②④；分别求函数等于零的根可判断③. 【详解】x ≤0时，f (x )＝2xe x ，f ′(x )＝2（1+x ）e x ，故f ′（﹣2）＝22e -，①正确； 且f (x )在（﹣∞，﹣1）上单调递减，在（﹣1，0）上单调递增，故x ≤0时，f (x )有最小值f （﹣1）＝2e-， x ＞0时，f (x )＝2122x x -+在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，故x ＞0时，f (x )有最小值f （1）＝122e->-故f (x )有最小值2e-，②④正确；令20x x e ⋅=得0x =，令21202x x -+=得22x =，故该函数图象与x 轴有3个交点，③错误； 故答案为：①②④ 【点睛】本题考查导数的几何意义，考查利用导数判断函数的单调性、求函数的最值一定注意定义域.14．【分析】利用图象得出不等式的解集再利用导数可求得函数的单调递减区间【详解】由图象可知不等式的解集为由可得解得因此函数的单调递减区间为故答案为：【点睛】思路点睛：利用导数求函数单调区间的步骤：（1）求解析：()0,1、()4,+∞ 【分析】利用图象得出不等式()()0f x f x '-<的解集，再利用导数可求得函数()()xf xg x e =的单调递减区间. 【详解】由图象可知，不等式()()0f x f x '-<的解集为()()0,14,+∞，()()x f x g x e =，()()()()()()()2x x x x f x e f x e f x f x g x e e ''-⋅'-=='， 由()0g x '<，可得()()0f x f x '-<，解得()()0,14,x ∈+∞.因此，函数()()x f x g x e=的单调递减区间为()0,1、()4,+∞． 故答案为：()0,1、()4,+∞. 【点睛】思路点睛：利用导数求函数单调区间的步骤： （1）求函数()f x 的定义域； （2）求导数()f x '；（3）解不等式()0f x '>，并与定义域取交集得到的区间为函数()f x 的单调增区间； （4）解不等式()0f x '<，并与定义域取交集得到的区间为函数()f x 的单调减区间.15．【分析】利用导数求得在区间上的单调性和最值对分成三种情况进行分类讨论由此求得的取值范围【详解】当时所以在区间上递减最大值为最小值为当时在区间上没有零点在区间上递增而所以在区间上没有零点所以不符合题意解析：1(0,)2【分析】利用导数求得()f x 在区间[]0,1上的单调性和最值，对m 分成0,0,0m m m <=>三种情况进行分类讨论，由此求得m 的取值范围. 【详解】当01x ≤≤时，()()'26661fx x x x x =-=-，所以()f x 在区间[]0,1上递减，最大值为()0f m =，最小值为()11f m =-.当0m <时，()f x 在区间[]0,1上没有零点，在区间()1,+∞上递增， 而2110m -⨯+>，所以()f x 在区间()1,+∞上没有零点.所以0m <不符合题意.当0m =时，3223,01()1,1x x x f x x ⎧-≤≤=⎨>⎩，所以()f x 在区间[)0,+∞上有唯一零点()00f =，所以0m =不符合题意.当0m >时，()f x 在区间[]0,1和区间()1,+∞上递减，要使()f x 的图象与x 轴有且只有两个不同的交点，则需0102110m m m >⎧⎪-≤⎨⎪-⨯+>⎩，解得102m <<.综上所述，m 的取值范围是10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭. 故答案为：1(0,)2【点睛】本小题主要考查利用导数研究函数的零点，考查分类讨论的数学思想方法，属于中档题.16．【分析】转化条件得设求导后求出函数的最小值令即可得解【详解】由题意得由于时故设则由于所以当时单调递减；当时单调递增于是所以即故实数的取值范围是故答案为：【点睛】本题考查了利用导数解决不等式恒成立问题 解析：(]0,e【分析】转化条件得()min 0f x '≥，设()()g x f x '=，求导后求出函数()g x 的最小值()min g x ，令()min 0g x ≥即可得解. 【详解】由题意得()2ln 2x f x a x '=-.由于0x >时，()0f x '≥，故()min 0f x '≥.设()()g x f x '=，则()(2x x x a g x x x+-'==. 由于0x >，所以当(x ∈时，()0g x '<，()g x 单调递减；当)x ∈+∞时，()0g x '>，()g x 单调递增.于是()()()min min 1ln 022a af xg x ga a '===-=-≥， 所以ln 1a ≤即0a e <≤，故实数a 的取值范围是(]0,e . 故答案为：(]0,e 【点睛】本题考查了利用导数解决不等式恒成立问题，考查了推理能力，属于中档题.17．【分析】根据分段函数当时将恒成立转化为恒成立令利用二次函数的性质求得其最大值当时将转化为恒成立令用导数法求得其最小值然后两种情况取交集【详解】当时等价于恒成立令其中则所以当时等价于恒成立令则当时递增 解析：[]1,e【分析】根据分段函数，当1x ≤时，将()2320f x x x a =-+≥恒成立，转化为232x x a -恒成立，令23()2x x g x -=，利用二次函数的性质求得其最大值，当1x >时，将()ln 0f x x a x =-≥，转化为1xanx 恒成立，令()ln x h x x=，用导数法求得其最小值，然后两种情况取交集. 【详解】当1x ≤时，()2320f x x x a =-+≥等价于232x x a -恒成立，令()22231139()322228x x g x x x x -⎛⎫==--=--+ ⎪⎝⎭，其中1x ≤，则()max 1g x =， 所以1a ≥，当1x >时，()ln 0f x x a x =-≥等价于1xanx恒成立， 令()ln xh x x=，则221ln ln 1()(ln )(ln )x x x x h x x x -⋅-'==， 当x e >时，()()0,h x h x '>递增， 当1x e <<时，()()0,h x h x '<递减， ∴x e =时，()h x 取得最小值()h e e =， ∴()min a h x e ≤=， 综上：a 的取值范围是[]1,e . 故答案为：[]1,e . 【点睛】本题主要考查二次函数的最值，函数的最值与导数以及导数与不等式恒成立问题，还考查了运算求解的能力，属于中档题.18．【分析】当时利用导数法得到函数的单调性与极值再由时作出函数的大致图象令将问题转化为方程有两个不等根且即各有3个根求解【详解】当时所以当时递增当时递减所以当时取得最大值1又当时所以的大致图象如图所示：解析：1,04⎛⎫- ⎪⎝⎭【分析】当1x <时，()()1xf x x e =-，利用导数法得到函数的单调性与极值，再由1≥x 时，()ln f x x =，作出函数()f x 的大致图象，令()f x t =，将问题转化为方程20t t a --=有两个不等根12,t t ，且12,(0,1)t t ∈即()()12,f x t f x t ==各有3个根求解.【详解】当1x <时，()()1xf x x e =-，所以()xf x xe '=-，当0x <时，()0f x '>，()f x 递增，当01x <<时，()0f x '<，()f x 递减， 所以当0x =时， ()f x 取得最大值1， 又当1≥x 时，()ln f x x =， 所以()f x 的大致图象如图所示：令()f x t =，则转化为方程20t t a --=有两个不等根12,t t ， 且()()2121,(0,1),,t f x t f t x t ==∈各有3个根， 方程20t t a --=在(0,1)有两个不同的解，设2()g t t t a =--，所以(0)0140(1)0g a a g a =->⎧⎪∆=+>⎨⎪=->⎩，解得104a -<<. 故答案为：1,04⎛⎫- ⎪⎝⎭【点睛】本题主要方程的根与函数的零点问题，利用导数研究函数的单调性与极值，还考查了转化化归思想、数形结合思想和运算求解的能力，属于中档题.19．【分析】求函数的导数根据利用参数分离法进行转化然后构造函数转化为求函数的最值即可【详解】解：函数的导数由在上恒成立得在上恒成立即得在上恒成立设则当时恒成立即在上是增函数则当时取得最小值则即实数的取值 解析：(],3-∞【分析】求函数的导数，根据()0f x '，利用参数分离法进行转化，然后构造函数()g x ，转化为求函数的最值即可． 【详解】解：函数的导数2()21f a x x x '=+-， 由()0f x '在1x 上恒成立得2210ax x +-在1x 上恒成立， 即221a x x +， 得322x x a +在1x 上恒成立， 设32()2g x x x =+，则2()622(31)g x x x x x '=+=+，当1x 时，()0g x '>恒成立，即()g x 在1x 上是增函数， 则当1x =时，()g x 取得最小值()1213g =+=， 则3a ，即实数a 的取值范围是(],3-∞， 故答案为：(],3-∞ 【点睛】本题主要考查函数恒成立问题，求函数的导数，利用参数分离法以及构造函数，利用导数研究函数的最值是解决本题的关键．属于中档题．20．【分析】首先对进行求导利用导数研究函数的最值问题根据题意对任意存在使只要的最小值大于等于在指定区间上有解【详解】由得当时当时∴在上单调递减在上单调递增∴在上有解在上有解函数在上单调增故答案为:【点睛 解析：[)0,+∞【分析】首先对()f x 进行求导，利用导数研究函数()f x 的最值问题，根据题意对任意1x R ∈，存在[]21,2x ∈，使12()()f x g x ，只要()f x 的最小值大于等于()g x 在指定区间上有解 . 【详解】由()xf x e x =-，得()1xf x e '=-，当()1,0x ∈-时，()0f x '<，当()0,1x ∈时，()0f x '>， ∴()f x 在()1,0-上单调递减，在()0,1上单调递增，∴()()min 01f x f ==()1g x ≤在[]1,2上有解，21212x mx m x x -≤⇔≥-在[]1,2上有解，函数1y x x =-在[]1,2上单调增，1101min y ∴=-=，20,0m m ≥≥.故答案为: [)0,+∞ 【点睛】不等恒成立与能成立的等价转换:任意1x A ∈，存在2x B ∈，使()()12min min ()()f x g x f x g x ⇔≥ 任意1x A ∈，任意2x B ∈，使()()12min max ()()f x g x f x g x ⇔= 存在1x A ∈，存在2x B ∈，使()()12max min ()()f x g x f x g x ⇔⇔三、解答题21．（1）单调递增区间为(]0,1，单调递减区间为[1,)+∞；（2）证明见解析. 【分析】（1）先求出函数的定义域，再对函数求导，然后分别令0f x 和0f x ，解不等式可求出函数的单调区间； （2）22()2ln 11ln 12222x xf x x x x x e x e x--+-<⇔+-<，即()3(1ln )221(01)x x x e x x x -<-++<<，然后构造函数()(1ln )(01)g x x x x =-<<和()3()221x h x e x x =-++，利用导数分别求出()()11g x g <=，()1h x >，从而可得结论【详解】（1）当1a =时，2()1ln f x x x x =++-，定义域为(0,)+∞，∴1(1)(21)()12x x f x x x x--+'=+-=， 令0fx ，得01x <<；令0f x ，得1x >，∴()f x 的单调递增区间为(]0,1，单调递减区间为[1,)+∞． （2）当0a =时，()1ln f x x =+， ∴22()2ln 11ln 12222x xf x x x x x e x e x--+-<⇔+-<， 即()3(1ln )221(01)xx x exx x -<-++<<，令()(1ln )(01)g x x x x =-<<，∴()ln 0g x x '=->， ∴()g x 在0,1上单调递增，∴()()11g x g <=．令()3()221xh x ex x =-++（01x <<），∴()32()2623xh x e x x x '=--++，令32()2623x x x x ϕ=--++，∴2()6122x x x ϕ'=--+在0,1上递减， 又(0)20ϕ'=>，(1)160ϕ'=-<，∴0(0,1)x ∃∈使()00x ϕ'=，且()00,x x ∈时，()0x ϕ'>，()ϕx 递增，()0,1x x ∈时，()0x ϕ'<，()ϕx 递减，而(0)30ϕ=>，(1)30ϕ=-<， ∴1(0,1)x ∃∈使()10x ϕ=，即()10h x '=，()10,x x ∈时()0h x '>，()h x 单调递增，()1,1x x ∈时()0h x '<，()h x 单调递减，而(0)1h =，(1)h e =，∴()1h x >恒成立，∴()()g x h x <，即()3(1ln )221(01)x x x e x x x -<-++<<，即2()2ln 122x f x x x e x-+-<．【点睛】关键点点睛：此题考查导数的应用，利用导数求函数的单调区间，利用导数求函数的最值，第2问解题的关键是把2()2ln 122xf x x x e x-+-<等价转化为()3(1ln )221(01)x x x e x x x -<-++<<，然后构造函数()(1ln )(01)g x x x x =-<<，()3()221x h x e x x =-++，分别求出两个函数的最值即可，考查数学转化思想，属于中档题22．（1）1；（2）2[,]52--e e；【分析】（1）求导然后分类讨论0a <与0a >两种情况，求出最小值即可计算a 的值；（2）参变分离将等式转化为21-=+x e m x ，设2()1=+xe g x x ，然后求导判断单调性，求解最值，即可得m 的取值范围. 【详解】（1）22(1)()x x x axe ae ae x f x x x'--==，当0a <时，函数在(0,1)上单调递增，在(1,)+∞上单调递减，此时函数有最大值，与题意不符；当0a >时，函数在(0,1)上单调递减，在(1,)+∞上单调递增，所以()min (1)===f x f ae e ，可得1a =；（2）1()0f x m x x ⎛⎫++= ⎪⎝⎭在[]1,2有解，即2(1)0++=x e m x 在[]1,2有解，即21-=+x e m x 在[]1,2有解，设2()1=+xe g x x ，()()2221()01-'=≥+x x e g x x 恒成立，所以()g x 在[]1,2上单调递增，2minmax ()(1),()(2)25====e e g x g g x g ，所以225≤-≤e e m ，得252-≤≤-e em ，所以m 的取值范围为2[,]52--e e.【点睛】（1）利用导数研究函数的单调性的关键在于准确判定导数的符号，关键是分离参数k ，把所求问题转化为求函数的最小值问题．（2）若可导函数()f x 在指定的区间D 上单调递增(减)，求参数范围问题，可转化为()0f x '≥ （或()0f x '≤）恒成立问题，从而构建不等式，要注意“＝”是否可以取到．23．（1）91y x =+；（2）证明见解析. 【分析】（1）求出函数在0x =处的导数后可得切线方程.（2）设函数()1ln g x x x =+-，利用导数可证明在1(,)2+∞上有()()1,1f x g x ≥≥，但等号不同时成立，结合余弦函数的性质可证明()()1ln 2cos x x f x x +->在1()2,x ∈+∞恒成立.【详解】（1）解：2()3129f x x x -'=+，则()09f =，故曲线()y f x =在点()0,1处的切线方程为91y x =+． （2）证明：当1(,1)(3,)2x ∈⋃+∞时，()0f x '>， 则()f x 在1(,1),(3,)2+∞上单调递增；当()1,3x ∈时，()0f x '<，则()f x 在()1,3上单调递减． 因为133()(3)128f f =>=， 所以()f x 在1(,)2+∞上的最小值为()31f =． 设函数()1ln g x x x =+-．则1()(0)x g x x x-'=>．当1(,1)2x ∈时，()0g x '<，则()g x 在1(,1)2上单调递减； 当(1,)x ∈+∞时，()0g x '>，则()g x 在(1,)+∞上单调递增． 故()()12g x g ≥=．从而()()1ln 2x x f x +-≥，但由于()1f x ≥与()2g x ≥的取等条件不同， 所以()()1ln 2x x f x +->． 因为2cos 2x ≤，所以()()1ln 2cos x x f x x +->对1()2,x ∈+∞恒成立． 【点睛】方法点睛：对于不等式的恒成立的问题，如果该不等式中含有三角函数，那么可以利用三角函数的有界性把前者转化为与三角函数无关的不等式，这样便于问题的讨论与处理. 24．（1）(,0)-∞和(1,)+∞；（2）1-. 【分析】（1）由极值点求出参数3a =，再代入，解不等式()0f x '>求递增区间 （2）求()f x 在[1,2]-上的极值，与端点值比较得出最小值. 【详解】（1）由题意2()62f x x ax '=-()01f '=，则3a =32()234,()6(1)f x x x f x x x '=-+=-，当(,0)x ∈-∞时，()0f x '>；当(0,1)x ∈时，()0f x '<；当(1,)x ∈+∞时，()0f x '>. 所以，函数()f x 的单调递增区间为(,0)-∞和(1,)+∞ （2）当[1,2]x ∈-时，(),()f x f x '的变化情况如下表当1,(1)2343x f ==-+=.所以当[1,2]x ∈-时，函数()f x 的最小值为1-.【点睛】用导数法求最值方法：先求导，然后求出在给定区间上的极值，最后结合端点值，求出最值；25．（Ⅰ）22y x =-；（Ⅱ）()f x 的单调递减区间是(，单调递增区间是(,-∞，)+∞9-；（Ⅲ）一个，证明见解析. 【分析】（Ⅰ）利用导数的几何意义求切线方程；（Ⅱ）根据()0f x '>和()0f x '<，求函数的单调递增和递减区间，根据极值的定义求极值；（Ⅲ）首先方程等价于212sin 0x x --=，设函数2()12sin ,(0,)g x x x x π=--∈，求函数的导数()22cos g x x x '=-，分0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭和,2x ππ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭两个区间讨论函数的单调性，并结合零点存在性定理说明函数的零点个数. 【详解】（Ⅰ）由3()f x x x =-，得 2()31x f x '=-.因为(1)0f =，(1)2f '=，所以曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为22y x =-.（Ⅱ）令()0f x '=，得2310x -=，解得3x =-或3x =. 当x 变化时，()f x 和()'f x 变化情况如下表：)+∞；()f x 在x =3x =处取得极小值9-. （Ⅲ）(0,)x π∈,()0t x =，即2120sin x x--=， 等价于212sin 0x x --=. 设2()12sin ,(0,)g x x x x π=--∈，则()22cos g x x x '=-.①当,2x ππ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，()0r g x >，()g x 在区间,2上单调递增.又2()3024g ππ=-<，2()10g π=π->，所以()g x 在区间,2上有一个零点.②当(0,)2x π∈时,设()()22cos h x g x x x '==-.()22sin 0h x x '=+>，所以()'g x 在区间(0,)2π上单调递增.又(0)20g '=-<，()02g π'=π>，所以存在0(0,)2x π∈，使得00()g x '=.所以，当0(0,)x x ∈时，()0g x '<，()g x 单调递减； 当0(,)2x x π∈时，()0g x '>，()g x 单调递增.又(0)10g =-<，2()3024g ππ=-<， 所以()g x 在区间(0,)2π上无零点.综上所述，函数()t x 在定义域内只有一个零点. 【点睛】关键点点睛：本题第三问判断零点个数，首先要构造函数，当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，利用二次导数判断()g x '单调递增，存在0(0,)2x π∈，使得00()g x '=，再判断零点个数时，需结合函数的单调性和端点值共同判断. 26．（1）89；（2）存在，12a =. 【分析】（1）由1a =，求导()22f x x x '=-，利用导数的几何意义求得曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程，再求得切线的x 轴、y 轴上的截距，代入三角形的面积公式求解.（2）求导()()222f x x ax x x a '=-=-，令()0f x '=，得0x =或2x a =，然后分022a <<，22a ≥，由()f x 在[]0,2上的最小值为56求解.【详解】（1）当1a =时，()32113f x x x =-+，()22f x x x '=-，所以()11f '=-，又()113f =，所以曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程为()113y x -=--， 即3340x y +-=，直线3340x y +-=在x 轴、y 轴上的截距均为43， 所以三角形的面积为14482339S =⨯⨯=． （2）()()222f x x ax x x a '=-=-， 令()0f x '=，得0x =或2x a =． 当022a <<，即01a <<时，当[]0,2x a ∈时，()0f x '≤，()f x 单调递减； 当[]2,2x a ∈时．()0f x '≥，()f x 单调递增． 则()()33min 8524136f x f a a a ==-+=，解得12a =， 当22a ≥，即1a ≥时，当[]0,2x ∈时，()0f x '≤，()f x 单调递减， 则()()min 8524136f x f a ==-+=，解得17124a =<，舍去． 综上：存在12a =，使得()f x 在[]0,2上的最小值为56． 【点睛】方法点睛：（1）求解函数的最值时，要先求函数y ＝f (x )在[a ，b ]内所有使f ′(x )＝0的点，再计算函数y ＝f (x )在区间内所有使f ′(x )＝0的点和区间端点处的函数值，最后比较即得．（2）已知函数的最值求参数，一般先用参数表示最值，列方程求解参数．。

第3章 导数及其应用（苏教版选修1-1） 建议用时实际用时 满分 实际得分 120分钟160分一、填空题（每小题5分，共70分）1.函数()2π2)(x x f =的导数是 . 2．函数x x x f -⋅=e )(的单调递增区间是 .3.已知直线10x y --=与抛物线2y ax =相切，则a = .4．若32()(0)f x ax bx cx d a =+++>在R 上是增函数，则,,a b c 的关系式为 .5．曲线y =－2－4x +2在点（1，－3）处的切线方程是 . 6．函数y =x +2cos x 在[0,]上取得最大值时，x 的值为 .7．函数f(x)＝，已知f(x)有两个极值点，则等于 .8．用长为18 cm 的钢条围成一个长方体形状的框架，要求长方体的长与宽之比为2∶1，则该长方体的长、宽、高各为 时，其体积最大.9．函数f (x )的定义域为开区间（a ,b ），导函数f ′(x )在(a ,b )内的图象如图所示，则函数f (x )在开区间(a ,b )内的极值点的个数是 .10．已知sin (ππ)1cos x y x x=∈-+，，，当2y '=时， x = .11．对正整数n ，设曲线)1(x x y n -=在x ＝2处的切线与y 轴交点的纵坐标为n a ，则数列1n a n ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的前n 项和的公式是 . 12.已知函数y ＝f(x)是定义在R 上的奇函数，且当x ∈(－∞，0)时，不等式恒成立. 若，，，则a 、b 、c 的大小关系 是 .13. 设f (x )，g (x )分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，当x ＜0时，，且g (－3)＝0，则不等式的解集是 . 14.已知函数f(x)＝12x 3－x 2－72x ，则f(－a 2)与f(－1)的大小关系为 . 二、解答题（共90分）15．（14分）求下列函数的导数：(1)y =5－4；(2)y =3+x cos x ；(3)y =tan x ；(4)y =x ；(5)y =lg x －.16．（14分）已知c bx ax x f ++=24)( 的图象经过点(0,1)，且在1x =处的切线方程是2y x =-.（1）求)(x f y =的解析式；（2）求)(x f y =的单调递增区间.17．（14分）已知函数cbx x ax x f -+=44ln )(在处取得极值，其中cb a ,,为常数.（1）试确定b a ,的值；（2）讨论函数)(x f 的单调区间；（3）若对任意x，不等式22)(c x f -≥恒成立，求c 的取值范围.18．（16分）已知函数2()ln (0).f x x ax x a =-->（1）若曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线斜率为-2，求a 的值以及切线方程；（2）若()f x 是单调函数，求a 的取值范围.19．（16分）已知函数f (x )=a ln x ++1． （1）当a =－时，求f (x )在区间上的最值；（2）讨论函数f (x )的单调性.20．（16分）已知函数()2a f x x x=+，()ln g x x x =+，其中0a >． （1）若1x =是函数()()()h x f x g x =+的极值点，求实数a 的值；（2）若对任意的[]12,1e x x ∈，（e 为自然对数的底数）都有()1f x ≥()2g x 成立，求实数a 的取值范围．第3章 导数及其应用 答题纸（苏教版选修1-1）得分：一、填空题1． 2． 3． 4． 5．6． 7． 8． 9． 10．11． 12． 13． 14．二、解答题15.16．17.18.19.20.第3章 导数及其应用 参考答案（苏教版选修1-1）一、填空题1．x x f 2π8)(=' 解析：∵()∴==,π4π2)(222x x x f =⋅='x x f 2π42)(x 2π8.2．解析：∵ ()e ex x x f x x -=⋅=∴，21e e ()e x xx x f x ⋅-⋅'=（）0,1x >∴<. ∴ 函数xx x f -⋅=e)(的单调递增区间是.3.41 解析：设切点为),(00y x P .因为2ax y =，所以y ′=2ax . 由题意知解得41=a ． 4．23b ac ≤ 解析：由题意知'2()320f x ax bx c =++≥恒成立，已知则，即5．5x +y －2=0 解析：∵y ′=3－4x －4，∴曲线在点（1，－3）处的切线斜率k =y ′=－5，∴切线方程为y +3=－5(x －1)，即5x +y －2=0. 6．解析：y ′=1－2sin x ，令1－2sin x =0，得sin x =.∵x ∈[0,]，∴x =.当x ∈[0,)时，y ′＞0；当x ∈[,]时，y ′≤0，∴f (). 7．1 解析：，由，得的两个解，则＝1.8．2 cm,1 cm, cm 解析：设长方体的宽为x cm ，则长为2x cm ，高为181293(3)(c m)0422x h x x -⎛⎫==- ⎪⎝⎭＜＜. 故长方体的体积为223393()2(3)(96(cm )(0).22V x x x x x x =-=-）＜＜ 从而).1(181818)(2x x x x x V -=-='令0)(='x V ，解得x =0（舍去）或x =1，因此x =1. 当0＜x ＜1时，0)(>'x V ；当1＜x ＜32时，0)(<'x V ， 故在x =1处()V x 取得极大值，并且这个极大值就是()V x 的最大值. 从而体积最大时长方体的长为2 cm ，宽为1 cm ，高为32cm. 9． 3 解析：根据导函数图象，导数值异号的分界点有3个，故原函数有3个极值点. 10．解析：11．122n n S +=- 解析：()()11222,:222(2)n n n x y n y n x --='=-++=-+-切线方程为，令x =0，求出切线与y 轴交点的纵坐标为()012n y n =+，所以21n na n =+， 则数列1n a n ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的前n 项和()12122212n n n S +-==--. 12. 解析：设g(x)＝xf(x)，由y ＝f(x)为R 上的奇函数，可知g(x)为R 上的偶函数．而g ′(x)＝[xf(x)]′＝f(x)＋xf ′(x).由已知得，当x ∈(－∞，0)时，g ′(x)>0，故函数g(x)在(－∞，0)上单调递增. 由偶函数的性质可知，函数g(x)在(0，＋∞)上单调递减． 因为＝g(－2)＝g(2)，且，故.13.(－∞，－3)∪(0，3) 解析：因为，则在x ＜0时递增.又因为分别是定义在R 上的奇函数和偶函数， 所以为奇函数，关于原点对称，所以在x ＞0时也是增函数．因为所以当时，可转化为，即；当时，可转化为，即.14.f(－a 2)f(－1) 解析：由题意可得.由＝12(3x －7)(x ＋1)＝0，得x ＝－1或x ＝73. 当时，为增函数；当时，为减函数；当x ＞时，为增函数.所以f(－1)是函数f(x)在(－∞，0]上的最大值. 又因为－a 2≤0，故f(－a 2)≤ f(－1)．二、解答题 15．解：(1)y ′=－12.(2)y ′=(3+x cos x )′=6x +cos x －x sin x .(3)y ′=()′==.(4)y ′ln x .(5)y ′=+.16．解：（1）因为c bx ax x f ++=24)(的图象经过点(0,1)，所以1c =. ①'3'()42,(1)421f x ax bx k f a b =+==+=. ②由题意得切点为(1,1)-，则c bx ax x f ++=24)(的图象经过点(1,1)-，得. ③联立①②③得所以（2）令得当x 变化时，x 0－ 0 ＋ 0 － 0 ＋由上表可知，函数的单调递增区间为17．解：（1）由题意知(1)3f c =--，因此3b c c -=--，从而3b =-．又对()f x 求导得3431()4ln 4f x ax x ax bx x'=+⋅+3(4ln 4)x a x a b =++． 由题意(1)0f '=，因此40a b +=，解得12a =．（2）由（1）知3()48ln f x x x '=（0x >），令()0f x '=，解得1x =． 当01x <<时，()0f x '<，此时()f x 为减函数； 当1x >时，()0f x '>，此时()f x 为增函数．因此()f x 的单调递减区间为(01)，，而()f x 的单调递增区间为(1)+，∞．（3）由（2）知，()f x 在1x =处取得极小值(1)3f c =--，此极小值也是最小值， 要使2()2f x c -≥（0x >）恒成立，只需232c c ---≥． 即2230c c --≥，从而(23)(1)0c c -+≥，解得32c ≥或1c -≤． 所以c 的取值范围为3(1]2⎡⎫-∞-+∞⎪⎢⎣⎭，，. 18. 解：(1)由题设，f '(1)＝－2a ＝－2，所以a ＝1，此时f(1)＝0，切线方程为y ＝－2(x －1)，即2x ＋y －2＝0． (2)，令＝1－8a ．当a ≥18时，≤0，f '(x)≤0，f(x)在(0，＋∞)上单调递减． 当0＜a ＜ 18时，＞0，方程＋1＝0有两个不相等的正根，不妨设，则当时，f '(x)＜0，当时，f '(x)＞0，这时f(x)不是单调函数．综上，a 的取值范围是[ 18，＋)． 19．解:（1）当a =－时，f (x )=－ln x ++1，∴ f ′(x )=+=．∵ f (x )的定义域为(0,+∞)，∴ 由f ′(x )=0,得x =1．∴ f (x )在区间上的最值只可能为f (1)，或f (e)，而f (1)，+，f (e)=+，∴ =f (e)=+,=f (1)=．（2）f ′(x )=，x ∈(0,+∞)．①当a +1≤0，即a ≤－1时，f ′(x )<0,∴ f (x )在(0,+∞)上单调递减； ②当a ≥0时，f ′(x )>0,∴ f (x )在(0,+∞)上单调递增；③当－1<a <0时，由f ′(x )>0,得>,∴ x >或x <－（舍去）,∴ f (x )在上单调递增，在上单调递减.综上，当a ≥0时，f (x )在(0,+∞)上单调递增；当－1<a <0时，f (x )在上单调递增，在上单调递减；当a ≤－1时，f (x )在(0,+∞)上单调递减.20．解：（1）方法1：∵ ()22ln a h x x x x =++，其定义域为()0 +∞，，∴ ()2212a h x x x'=-+． ∵1x =是函数()hx 的极值点，∴ ()10h '=，即230a -=．∵ 0a >，∴ 3a =经检验当3a =1x =是函数()h x 的极值点，∴ 3a =方法2：∵ ()22ln a h x x x x =++，其定义域为()0+∞，，∴ ()2212a h x x x '=-+． 令()0h x '=，即22120a x x-+=，整理，得2220x x a +-=．∵ △2180a =+>，∴ ()0h x '=的两个实根为1x =（舍去），2x =，当x 变化时，()hx ，()h x '的变化情况如下表：依题意，114-+=，即23a =，∵ 0a >，∴ a = （2）对任意的[]12,1e x x ∈，都有()1f x ≥()2g x 成立等价于对任意的[]12,1e x x ∈，都有()min f x ⎡⎤⎣⎦≥()max g x ⎡⎤⎣⎦． 当x ∈［1，e ］时，()110g x x'=+>．∴ 函数()ln g x x x =+在[]1e ，上是增函数． ∴ ()()maxe e 1g x g ==+⎡⎤⎣⎦．∵ ()()()2221x a x a a f x x x +-'=-=，且[]1,e x ∈，0a >．①01a <<且x ∈［1，e ］时，()()()20x a x a f x x +-'=>，∴ 函数()2a f x x x=+在［1，e ］上是增函数，∴ ()()2min 11f x f a ==+⎡⎤⎣⎦.由21a +≥e 1+，得a 又01a <<，∴a 不合题意． ②当1≤a ≤e 时， 若1≤x ＜a ，则()()()20x a x a f x x +-'=<，若a ＜x ≤e ，则()()()20x a x a f x x +-'=>．∴ 函数()2a f x x x=+在[)1,a 上是减函数，在(]e a ，上是增函数．∴ ()()min 2f x f a a ==⎡⎤⎣⎦. 由2a ≥e 1+，得a ≥e 12+.又1≤a ≤e ，∴e 12+≤a ≤e ．③当e a >且x ∈［1，e ］时，()()()20x a x a f x x +-'=<，∴ 函数()2a f x x x =+在[]1e ，上是减函数．∴ ()()2min e e e a f x f ==+⎡⎤⎣⎦.由2e ea +≥e 1+，得a ≥，又e a >，∴ e a >．综上所述，a 的取值范围为e 1,2+⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭．。