专题17 圆锥曲线的综合应用一、知识速览二、考点速览知识点1 直线与椭圆的位置关系 1、直线与椭圆的位置判断设直线方程为y kx m =+，椭圆方程为22221(0)x ya b a b+=>>联立2222,1,y kx m x y a b =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 得一个关于x 的一元二次方程222222222()20b k a x a kmx a m a b +++-=①0∆>⇔直线和椭圆相交⇔直线和椭圆有两个交点(或两个公共点）； ②0∆=⇔直线和椭圆相切⇔直线和椭圆有一个切点(或一个公共点)； ③0∆<⇔直线和椭圆相离⇔直线和椭圆无公共点． 2、直线与椭圆相交的弦长公式（1）定义：连接椭圆上两个点的线段称为椭圆的弦． （2）求弦长的方法①交点法：将直线的方程与椭圆的方程联立，求出两交点的坐标，然后运用两点间的距离公式来求． ②根与系数的关系法：如果直线的斜率为k ，被椭圆截得弦AB 两端点坐标分别为(x 1，y1)，(x 2，y 2)，则弦长公式为：=AB 知识点2 直线与双曲线的位置关系 1、直线与双曲线的位置关系判断将双曲线方程22221x y a b-=与直线方程:l y kx b =+联立消去y 得到关于x 的一元二次方程()22222222220ba k x a mkx a m ab ----=，（1）当2220b a k -=，即bk a=±，直线l 与双曲线的渐近线平行，直线l 与双曲线只有一个交点； （2）当2220b a k -≠，即b k a≠±，设该一元二次方程的判别式为∆，若0∆>，直线与双曲线相交，有两个公共点； 若0∆=，直线与双曲线相切，有一个公共点； 若∆<0，直线与双曲线相离，没有公共点；注意：直线与双曲线有一个公共点时，可能相交或相切. 2、直线与双曲线弦长求法若直线:l y kx m =+与双曲线22221x ya b-=（0a >，0b >）交于()11,A x y ，()22,B x y 两点，则12A B x =-或12AB y =-（0k ≠）．（具体同椭圆相同） 知识点3 直线与抛物线的位置关系1、直线与抛物线的位置关系有三种情况相交（有两个公共点或一个公共点）； 相切（有一个公共点）； 相离（没有公共点）.2、以抛物线22(0)y px p =>与直线的位置关系为例：（1）直线的斜率k 不存在，设直线方程为x a =，若0a >，直线与抛物线有两个交点；若0a =，直线与抛物线有一个交点，且交点既是原点又是切点； 若0<a ，直线与抛物线没有交点. （2）直线的斜率k 存在.设直线:l y kx b =+，抛物线22(0)y px p =>，直线与抛物线的交点的个数等于方程组22y kx by px=+⎧⎨=⎩，的解的个数，即二次方程2222()0k x kb p x b +-+=（或22220k y py bp -+=）解的个数. ①若0k ≠，则当0∆>时，直线与抛物线相交，有两个公共点； 当0∆=时，直线与抛物线相切，有个公共点； 当0∆<时，直线与抛物线相离，无公共点.②若0k =，则直线y b =与抛物线22(0)y px p =>相交，有一个公共点. 3、直线与抛物线相交弦长问题 （1）一般弦长设AB 为抛物线22(0)y px p =>的弦，11(,)A x y ，22(,)B x y ，弦AB 的中点为00(,)M x y . ①弦长公式：212122111AB k x y k +-+-（k 为直线AB 的斜率，且0k ≠）. ②0AB p k y =, 推导：由题意，知2222y px =，① 2112y px = ② 由①-②，得121212()(=2()y y y y p x x +--），故1212122y y py y x x -=+-，即0AB p k y =. ③直线AB 的方程为000()py y x x y -=-. （2）焦点弦长如图，AB 是抛物线22(0)y px p =>过焦点F 的一条弦， 设11(,)A x y ，22(,)B x y ，AB 的中点00(,)M x y ，过点A ，M ，B 分别向抛物线的准线l 作垂线，垂足分别为点1A ，1B ，1M ， 根据抛物线的定义有1AF AA =，1BF BB =，11AB AF BF AA BB =+=+ 故11AB AF BF AA BB =+=+.又因为1MM 是梯形11AA B B 的中位线，所以1112AB AA BB MM =+=， 从而有下列结论；①以AB 为直径的圆必与准线l 相切.②022p AB x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭(焦点弦长与中点关系)③12AB x x p =++.④若直线AB 的倾斜角为α，则22sin pAB α=. ⑤A ，B 两点的横坐标之积，纵坐标之积均为定值，即2124p x x =，212y y p =-.⑥11AF BF +为定值2P.一、直线与圆锥曲线位置关系1、直线与圆锥曲线有两个不同的公共点的判定：通常的方法是直线与圆锥曲线方程联立方程消元后得到一元二次方程，其中0∆>；另一方面就是数形结合，如直线与双曲线有两个不同的公共点，可通过判定直线的斜率与双曲线渐近线的斜率的大小得到．2、直线与圆锥曲线只有一个公共点则直线与双曲线的一条渐近线平行，或直线与抛物线的对称轴平行，或直线与圆锥曲线相切．【典例1】（2023·全国·高三专题练习）直线l ：()()211740+++--=m x m y m 与椭圆C ：2211812x y +=的位置关系是（ ）A ．相交B ．相切C ．相离D ．不能确定 【答案】A【解析】将直线l ：()()211740+++--=m x m y m 变形为l ：(27)40m x y x y +-++-=，由27040x y x y +-=⎧⎨+-=⎩得31x y =⎧⎨=⎩，于是直线l 过定点()3,1，而223171181212+=<，于是点()3,1在椭圆C ：2211812x y +=内部， 因此直线l ：()()211740+++--=m x m y m 与椭圆C ：2211812x y +=相交．故选：A ．【典例2】（2023·高三课时练习）直线()12y k x =-+与抛物线24x y =的位置关系为（ ） A ．相交 B ．相切 C ．相离 D ．不能确定 【答案】A【解析】直线()12y k x =-+过定点()1,2，∵2142<⨯，∴()1,2在抛物线24x y =内部，∴直线()12y k x =-+与抛物线24x y =相交，故选：A ．【典例3】（2023·四川成都·高三模拟预测）已知命题p ：1k <，命题q ：直线10kx y -+=与抛物线24y x =有两个公共点，则p 是q 的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】B【解析】由10kx y -+=和24y x =可得()214kx x +=，整理得到：()222410k x k x +-+=，因为直线与抛物线有两个不同的交点，故()22Δ2440k k k ≠⎧⎪⎨=-->⎪⎩， 故1,0k k <≠，故命题q 成立能推出命题p 成立；反之，若1k <，取0k =，此时()222410k x k x +-+=仅有一个实数根14x =， 故此时直线与抛物线仅有一个不同的交点， 故命题p 成立不能推出命题q 成立， 故p 是q 的必要不充分条件，故选：B.【典例4】（2023上·江西南昌·高三校考阶段练习）已知直线1y kx =-与双曲线224x y -=，若直线与双曲线左支交于两点，求实数k 的取值范围.【答案】1⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭【解析】因为直线与双曲线224x y -=左支交于两点，所以两点横坐标皆小于2-，把1y kx =-代入224x y -=得：()221250k x kx -+-=，所以()()22125f x k x kx =-+-有两个小于2-的零点，因为()050f =-<，所以210k -<，所以()()()()()()22222210Δ4201022212122250k k k k k f k k ⎧-<⎪=+->⎪⎪⎨-<-⎪-⎪⎪-=--+⨯--<⎩，解得1k <<-，则实数k 的范围为1⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭.二、直线与圆锥曲线的弦长问题设11()M x y ，，22()N x y ，根据两点距离公式||MN =．（1）若M N 、在直线y kx m =+上，代入化简，得12||MN x -；（2）若M N 、所在直线方程为x ty m =+，代入化简，得12||MN y =-（3）构造直角三角形求解弦长，||MN 2121|||||cos ||sin |x x y y αα--==．其中k 为直线MN 斜率，α为直线倾斜角． 【典例1】（2023·全国·高三对口高考）已知椭圆2219x y +=，过左焦点F 作倾斜角为π6的直线交椭圆于A 、B两点，则弦AB 的长为 ． 【答案】2【解析】在椭圆2219x y +=中，3a =，1b =，则c ()F -，设点()11,A x y 、()22,B x y ，由题意可知，直线AB 的方程为3223yx ，即x =-联立2299x x y ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩可得21210y --=，1664121440∆=⨯+⨯=>，由韦达定理可得12y y +=，12112y y =-，所以，2AB =. 故答案为：2.【典例2】（2023·四川乐山·高三统考二模）已知直线()():20l y k x k =+>与抛物线24y x =交于点A 、B ，以线段AB 为直径的圆经过定点()2,0D ，则AB =（ ） A ．4 B ．6 C ．8 D ．10 【答案】C 【解析】记10m k=>，则直线l 的方程可表示为2x my =-，设点()11,A x y 、()22,B x y ， 联立224x my y x=-⎧⎨=⎩可得2480y my -+=，216320m ∆=->，可得22m >，由韦达定理可得124y y m +=，128y y =，()()11112,4,DA x y my y =-=-，()()22222,4,DB x y my y =-=-，由已知可得DA DB ⊥，则()()()()212121212441416DA DB my my y y m y y m y y ⋅=--+=+-++()2228116162480m m m =+-+=-=，可得23m =， 所以，()22221212141163213163328AB m y y y y m m ++-+-=+⨯-=.故选：C.【典例3】（2023·新疆喀什·高三校考模拟预测）已知双曲线C 两条准线之间的距离为1，离心率为2，直线l 经过C 的右焦点，且与C 相交于A 、B 两点. （1）求C 的标准方程；（2）若直线l 与该双曲线的渐近线垂直，求AB 的长度.【答案】（1）223y x -=1；（2）3 【解析】（1）因为直线l 经过C 的右焦点，所以该双曲线的焦点在横轴上， 因为双曲线C 两条准线之间的距离为1，所以有222112a a a c c c ⎛⎫--=⇒= ⎪⎝⎭， 又因为离心率为2，所以有122c a a c =⇒=代入212a c =中，可得2221,2413a cbc a ==⇒=-=-=，∴C 的标准方程为：2213y x -=；（2）由上可知：该双曲线的渐近线方程为3y x =，所以直线l 的斜率为3 由于双曲线和两条直线都关于y 轴对称， 所以两条直线与双曲线的相交弦相等.又因为直线斜率的绝对值小于渐近线斜率的绝对值， 所以直线与双曲线交于左右两支， 因此不妨设直线l 3方程为)32y x -与双曲线方程联立为： )222138413032y x x x y x ⎧-=⎪⎪⇒+-=⎨⎪=-⎪⎩，设()()1122,,,A x y B x y ，则有1212113,28x x x x +=-=-，()()222121212123232323113144 3.348AB x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫=+-=-=+--⨯- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭三、求解圆锥曲线中的定点问题的两种方法1、特殊推理法：先从特殊情况入手，求出定点，再证明定点与变量无关．2、直接推理法：①选择一个参数建立直线系方程，一般将题目中给出的曲线方程(包含直线方程)中的常量当成变量，将变量x ，y 当成常量，将原方程转化为kf (x ，y )＋g (x ，y )＝0的形式(k 是原方程中的常量)；②根据直线过定点时与参数没有关系(即直线系方程对任意参数都成立)，得到方程组⎩⎨⎧f (x ，y )＝0，g (x ，y )＝0；③以②中方程组的解为坐标的点就是直线所过的定点，若定点具备一定的限制条件，可以特殊解决．【典例1】（2022·江苏泰州·高三统考模拟预测）已知1l ，2l 是过点()0,2的两条互相垂直的直线，且1l 与椭圆22:14x y Γ+=相交于A ，B 两点，2l 与椭圆Γ相交于C ，D 两点． （1）求直线1l 的斜率k 的取值范围；（2）若线段AB ，CD 的中点分别为M ，N ，证明直线MN 经过一个定点，并求出此定点的坐标． 【答案】（1）⎛⋃ ⎝⎭⎝；（2）证明见解析；定点20,5⎛⎫⎪⎝⎭. 【解析】（1）根据题意直线1l ，2l 的斜率均存在且不为0直线1l ，2l 分别为2y kx =+，12y x k=-+，联立22214y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得()224116120k x kx +++=， 由()()2216412410k k ∆=-⨯+>得243k >，则k <或k > 同理2143k ⎛⎫-> ⎪⎝⎭，则k < 所以k的取值范围为⎛⋃ ⎝⎭⎝． （2）设()11,A x y ，()22,B x y ，由（1）得()224116120k kx +++=，所以1221641k x x k +=-+，则1228241Mx x k x k +==-+， 所以22282224141M M k y kx k k =+=-+=++，则2282,4141k M k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭，同理22282,44k k N k k ⎛⎫⎪++⎝⎭，则直线MN 的方程为22222222228441884141441k k k k y x k k k k k k -⎛⎫++-=+ ⎪++⎝⎭+++， 化简整理得21255k y x k -=+因此直线MN 经过一个定点20,5⎛⎫⎪⎝⎭．【典例2】（2023·吉林·通化一中高三校联考模拟预测）已知曲线E 上任意一点Q到定点F 的距离与Q到定直线:m x =（1）求曲线E 的轨迹方程；（2）斜率为k k ⎛> ⎝⎭的直线l 交曲线E 于B ，C 两点，线段BC 的中点为M ，点M 在x 轴下方，直线OM交曲线E 于点N ，交直线=1x -于点D ，且满足2||||||ON OD OM =（O 为原点）．求证：直线l 过定点．【答案】（1）22195x y -=；（2）证明见解析 【解析】（1）设曲线E 上任意一点(,)Q x y=化简整理得22195x y -=，所以曲线E 的轨迹方程为22195x y -=；（2）设()11,B x y ，()22,C x y ，直线l的方程为y kx t k ⎛=+> ⎝⎭，联立22195y kx tx y =+⎧⎪⎨-=⎪⎩，得()22259189450k x ktx t ----=，因为有两个交点，所以2590Δ0k ⎧-≠⎨>⎩，即22259095k k t ⎧-≠⎨<+⎩，所以1221859kt x x k +=-，()()22121222182591025959k t t k t y y k x x t k k +-+=++==--， 即2295,5959ktt M k k ⎛⎫ ⎪--⎝⎭，因为点M 在x 轴下方，所以25059t k <-，又k >0t >， 所以直线OM 的斜率59OMk k =，则直线OM 的直线方程为59y x k=， 将其代入双曲线E 的方程，整理得2228195Nk x k =-，所以2222222258125||18195NNNk ON x y x k k +⎛⎫=+=+= ⎪-⎝⎭， 将59y x k =代入直线=1x -，解得51,9D k ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，又因为2295,5959kt t M k k ⎛⎫ ⎪--⎝⎭，所以有||OD ==||OM ==． 由2||||||ON OD OM =，解得9t k =±，因为k >0t >，所以9t k =， 因此直线l 的方程为9(9)y kx k k x =+=+，故直线l 过定点(9,0)-．【典例3】（2022上·江苏苏州·苏州中学高三校联考阶段练习）在平面直角坐标系xOy 中，已知点P 在抛物线21:4C y x =上，圆2222:(2)(02).C x y r r -+=<<（1）若1r =，Q 为圆2C 上的动点，求线段PQ 长度的最小值；（2）若点P 的纵坐标为4，过P 的直线,m n 与圆2C 相切，分别交抛物线1C 于,A B （异于点P ），求证：直线AB 过定点． 【答案】（1）1；（2）证明见解析【解析】（1）设()2,2P t t ，则21111PQ PC ≥-=≥，当()0,0P ，Q 为2PC 线段与圆2C 的交点时，min 1PQ = （2）题意可知()4,4P ，过P 点直线()44y k x -=-与圆2C 相切，r =，即()222416160r k k r --+-=，①设直线AB 为：()()441m x n y -+-=， 则与抛物线C 的交点方程可化为：()()()()()()24844444(4)4y y m x n y x m x n y -+--+-=--+-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦，令44y z x -=-，则：()()2188440n z m n z m ++--=，② 题意有，①②方程同解，故有()()()[]()2233164164818444y r r m n m n -⎡⎤⎣=---+⨯=--+-⎦-， 即：2111m n -=，所以直线AB 为：()()1114412n x n y +-+-=，即6(11252)0x n x y -++-=， 由60112520x x y -=⎧⎨+-=⎩，解得67x y =⎧⎨=-⎩，直线AB 恒过()6,7-．四、圆锥曲线中的定值问题的常见类型及解题策略1、求代数式为定值：依题意设条件，得出与代数式参数有关的等式，代入代数式，化简即可得出定值；2、求点到直线的距离为定值：利用点到直线的距离公式得出距离的解析式，再利用题设条件化简变形求得；3、求某线段长度为定值：利用长度公式求得解析式，再依据条件对解析式进行化简变形即可求得． 【典例1】（2023上·四川·南江中学高三校联考阶段练习）以坐标原点为对称中心，坐标轴为对称轴的椭圆过点()830,1,(,)55C D ---．（1）求椭圆的方程． （2）设P 是椭圆上一点（异于,C D ），直线,PC PD 与x 轴分别交于,M N 两点．证明在x 轴上存在两点,A B ，使得MB NA ⋅是定值，并求此定值．【答案】（1）2214x y +=；（2）证明见解析，定值为12-.【解析】（1）设椭圆方程为221px qy +=，则164912525q p q =⎧⎪⎨+=⎪⎩，解得141p q ⎧=⎪⎨⎪=⎩， 所以椭圆的方程为2214x y +=．（2）设()()()00,,,0,,0P x y A m B n ，(,0),(,0)M N M x N x ，则00(,1),(,1)M CM x CP x y ==+，由//CM CP ，得00(1)M x y x +=，而010y +≠，于是001M x x y =+，008383(,),(,)5555N DN x DP x y =+=++，同理008338()()()5555N x y x ++=+，而0305y +≠，于是000385535N x y x y -=+， 则000003855(,0),(,0)315x y x NA m MB n y y -=-=-++，00000000000038(583355()()31(1)(53))()5x y x ny n x my y m x MB NA n m y y y y -+-++-⋅=--=++++， 令00058333my y m ny n ++=--，而00(,)P x y 是椭圆上的动点，则583,33m n m n +=-=-，得4,4n m ==-，于是()()()2222200000020000003443(44)(4412(583)12]1533[1)(5)58)3(y x y y y y MB NA y y y y y y ⎡⎤-+--+---++⎣⎦⋅====-++++++， 所以存在()4,0A -和()4,0B ，使得MB NA ⋅是定值，且定值为12-.【典例2】（2023上·广东深圳·高三统考期末）点M 是平面直角坐标系xOy 上一动点，两直线1:l y x =，2:l y x =-，已知1MA l ⊥于点A ，A 位于第一象限；2MB l ⊥于点B ，B 位于第四象限.若四边形OAMB 的面积为2.（1）若动点M 的轨迹为C ，求C 的方程.（2）设(),M s t ，过点M 分别作直线MP ，MQ 交C 于点P ，Q .若MP 与MQ 的倾斜角互补，证明直线PQ 的斜率为一定值，并求出这个定值.【答案】（1）()2240x y x -=>；（2）证明见解析，定值为s t-.【解析】（1）设(),M x y ，依题意得0x >且x y x >>-，即0x y ->且0x y +>，设(),A n n ，则(),MA x n y n =--， 因为直线1l 的方向向量为()1,1， 所以()1,10MA x n y n ⋅=-+-=，2x y n +=，即,22x y x y A ++⎛⎫⎪⎝⎭，所以)2x y x OA +⎛==， ),2x y x MA -⎛== 所以四边形OAMB 的面积为2222x y OA MA -⋅==，即动点M 的轨迹方程为()2240x y x -=>.（2）设直线():MP y t k x s -=-（1k <-或1k >），则():MQ y t k x s -=--，联立()224,,x y y t k x s ⎧-=⎪⎨-=-⎪⎩得()224x kx ks t ⎡⎤---=⎣⎦， 整理得()()()2221240k x k ks t x ks t -+----=，所以()221P k ks t s x k -+=-，即222222211P k s kt k s kt sx s k k --+=-=--，所以()22221P P k t ksy k x s t t k -+=-+=+-，同理得22221Q k s kt x s k +=--，22221Q k t ksy t k --=+-，所以直线PQ 的斜率44Q P Q P y y ks sk x x kt t--===--，得证.【典例3】（2023·河北衡水·高三模拟预测）已知点(1,2)M -在抛物线2:2(0)C y px p =>上，过点(0,1)N -的直线l 与C 相交于,A B 两点，直线,MA MB 分别与y 轴相交于点,D E . （1）当弦AB 的中点横坐标为3时，求l 的一般方程;（2）设O 为原点，若,DN mON EN nON ==，求证:mnm n+为定值. 【答案】（1）10x y --=或2330x y ++=；（2）证明见解析【解析】（1）由点(1,2)M -在抛物线2:2C y px =上，所以2p =，所以抛物线C 的方程为24y x =.设直线l 的方程为()()11221(0),,,,y kx k A x y B x y =-≠.由241y xy kx ⎧=⎨=-⎩，得22(24)10k x k x -++=. 依题意22(24)410k k ∆=+-⨯⨯>，解得1k >-且0k ≠. 且121222241,k x x x x k k ++==. 因为弦AB 的中点横坐标为3，所以126x x +=，即2246k k +=，解得1k =或23k =-， 所以l 的一般方程为10x y --=或2330x y ++=.（2）直线MA 的方程为1122(1)1y y x x ++=--， 又111y kx =-，令0x =，得点D 的纵坐标为111(2)1D k x y x -+=-.所以111(2)0,1k x D x ⎛⎫-+ ⎪-⎝⎭，同理得点E 的坐标为221(2)0,1k x E x ⎛⎫-+ ⎪-⎝⎭.由,DN mON EN nON ==，得11(1)11D k x m y x +=+=--，22(1)11E k x n y x +=+=--. 所以12121111(1)(1)x x m n k x k x --+=+++1212112(242)211x x k k x x k ⎛⎫+=-=+-= ⎪++⎝⎭. 所以11112mn m n m n==++，即mn m n +为定值12.五、圆锥曲线中的范围、最值问题的解题方法（1）利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围；（2）利用已知参数的范围，求新的参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系； （3）利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围； （4）利用已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；（5）利用求函数值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围. 【典例1】（2022上·江苏宿迁·如东中学高三校考期中）已知12,F F 为椭圆C 的左､右焦点，点3P ⎛ ⎝⎭为其上一点，且124PF PF +=. （1）求椭圆C 的标准方程；（2）已知直线y kx m =+与椭圆C 相交于,A B 两点，与y 轴交于点M ，若存在m ，使得34OA OBOM ，求m 的取值范围.【答案】（1）2214x y +=；（2）111,,122⎛⎫⎛⎫--⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【解析】（1）由题意设椭圆的标准方程为22221(0)x y a b a b+=>>，因为点3P ⎛ ⎝⎭为椭圆上一点，且124MF MF +=， 所以22241314a a b =⎧⎪⎨+=⎪⎩，解得2241a b ⎧=⎨=⎩， 所以椭圆的标准方程为2214x y +=.（2）设()()1122,,,,A x y B x y 又()0,M m ， 由34OA OBOM 得，12123,30,4x x y y m ，123x x =-联立2214y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩可得()222418440k x kmx m +++-= 222(8)4(41)(4m 4)0km k ∆=-⨯+⨯->，即226416160k m -+>，22410k m ∴-+>，且12221228414441km x x k m x x k -⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩， 又123x x =-22441kmx k ，则222122224443()4141km m x x x k k -⋅=-==++222216410k mkm，2221416m km ，代入22410k m -+>得22211014m m m -+->-， 2114m <<，解得111,,122m ⎛⎫⎛⎫∈-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.m ∴的取值范围是111,,122⎛⎫⎛⎫--⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.【典例2】（2023·河北秦皇岛·高三校联考二模）已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>实轴的一个端点是P ，虚轴的一个端点是Q ，直线PQ 与双曲线的一条渐近线的交点为11,22⎛⎫⎪⎝⎭.（1）求双曲线的方程；（2）若直线1(01)y kx k k=+<<与曲线C 有两个不同的交点,A B O 、是坐标原点，求OAB的面积最小值.【答案】（1）221x y -=；（2）【解析】（1）设点(),0P a ，点()0,Q b ，则直线PQ 的方程为1x y a b+=，与渐近线b y x a =联立，得1x ya b b y x a ⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解之得22a x b y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即直线PQ 与双曲线的一条渐近线交点为,22a b ⎛⎫⎪⎝⎭，又直线PQ 与双曲线的一条渐近线的交点为11,22⎛⎫⎪⎝⎭，所以122122a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即1a b ==，因此双曲线方程为221x y -=.（2）设()()1122,,,A x y B x y ，把1y kx k =+代入221x y -=，得()22211210k x x k----=，则()()422122224112Δ44110,1k k k x x k k k -+⎛⎫=+-+=>+= ⎪-⎝⎭ ，2122111k x x k--=-，12AB x =-==点O 到直线1y kx k=+的距离211k d k =+所以OAB 的面积为()()242422222242111111212222111k k k k kS AB d k k k k k k +-+-==⨯+=⨯+--()242241k k k k +-=-令24t k k =-，所以22111t S t t t+⎛⎫==+ ⎪⎝⎭ 令1s t=，则2S s s =+因为01k <<，所以201k <<， 由221124t k ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭，得104t <≤，由1s t=，得4s ≥，由221124S s s s ⎛⎫=++- ⎪⎝⎭16425S ≥+=即当21124,,,42s t k k ====时，等号成立，此时满足Δ0>，所以OAB 面积的最小值为5【典例3】（2023·全国·高三模拟预测）已知F 是抛物线()2:20C y px p =>的焦点，过点F 的直线交抛物线C于A 、B 两点，且112AF BF+=． （1）求抛物线C 的方程；（2）若O 为坐标原点，过点B 作y 轴的垂线交直线AO 于点D ，过点A 作直线DF 的垂线与抛物线C 的另一交点为E ，AE 的中点为G ，求GB DG的取值范围．【答案】（1）22y x =；（2）1,12⎛⎫⎪⎝⎭【解析】（1）抛物线C 的焦点为,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭，若直线AB 与x 轴重合，则直线AB 与抛物线C 只有一个公共点，不合乎题意，设直线AB 的方程为2px my =+，设点()11,A x y 、()22,B x y ， 联立222y px p x my ⎧=⎪⎨=+⎪⎩可得2220y pmy p --=，222440p m p ∆=+>，由韦达定理可得122y y pm +=，212y y p =-，()()()12121212211111122m y y p p p AF BF my p my p my p my p x x +++=+=+=++++++()()()()22122222222221212212222221p m m y y p pm pm y y mp y y p m p m p p pp m ++++=====+++-+++，解得1p =， 所以，抛物线C 的方程为22y x =. （2）设点()11,A x y 、()22,B x y ，则10x >，由（1）可得122y y m +=，121y y =-，又因为直线AO 的方程为11211122y y y x x x y x y ===， 将2y y =代入直线AO 的方程可得212y x y =， 可得12122y y x ==-，即点21,2D y ⎛⎫- ⎪⎝⎭， 所以，221122DF y k y ==---， 因为AE DF ⊥，则211AE DF k k y =-=， 所以，直线AE 的方程为()1121y y x x y -=-， 联立()112212y y x x y y x ⎧-=-⎪⎨⎪=⎩可得2212220y y y x ---=，则122E y y y +=，故212E y y y =-，则()22122111212121212142E E x y y x y y y x x y y y x x =++=-++=+-+=++，由AE 的中点为G ，可得()12221,G x x y ++， 故G 、B 、D 三点共线，则1221212122111321222GB x x x x x GDx x x x ++-++==+++++．又由121y y =-，知221212144y y x x ==，故()()2111111221111111111141221411131346221222222x x x GB x x x GD x x x x x x x x ++++++===-=-++++++++1111,1222x ⎛⎫=-∈ ⎪+⎝⎭. 故GB GD的取值范围为1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭．六、圆锥曲线中的证明问题1、圆锥曲线中的证明问题，常见的有位置关系方面的，如证明相切、垂直、过定点等；数量关系方面的，如存在定值、恒成立、值相等、角相等、三点共线等．在熟悉圆锥曲线的定义和性质的前提下，要多采用直接法证明，但有时也会用到反证法．【典例1】（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>过3(1,)2和两点.（1）求椭圆C 的方程；（2）如图所示，记椭圆的左、右顶点分别为A ，B ，当动点M 在定直线4x =上运动时，直线AM ，BM 分别交椭圆于两点P 和Q （不同于B ，A ）.证明：点B 在以PQ 为直径的圆内.【答案】（1）22143x y +=；（2）证明见解析. 【解析】（1）依题意，将点3(1,)2和的坐标代入椭圆22221x y a b +=，得222219142312a b ab ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得2243a b ⎧=⎨=⎩，所以椭圆方程为22143x y +=（2）由（1）知()()2,0,2,0A B -，显然点M 不在x 轴上，设()4,,0M t t ≠，()(),,,P P Q Q P x y Q x y ，直线,AM BM 斜率分别为,62AM BM t tk k ==，直线AM 的方程为()26ty x =+，BM 的方程为()22t y x =-，由()2226143t y x x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，消去y 得()222227441080t x t x t +++-=，显然0∆>， 于是224108227P t x t --=+，解得2254227P t x t -=+，则()2182627P P t ty x t =+=+，由()2222143t y x x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，消去y 得()2222344120t x t x t +-+-=，显然0'∆>，于是2241223Q t x t -=+，解得22263Q t x t -=+，则()26223Q Q t ty x t =-=-+，因此22222254218418(2,)(,)27272727t t t t BP t t t t --=-=++++，22222266126(2,)(,)3333t t tBQ t t t t--=--=-++++， 则()()2222222241218660()()027*******t t t t BP BQ t t t t t t --⋅=⨯-+⨯-=++++++<， 则有PBQ ∠为钝角， 所以点B 在以PQ 为直径的圆内.【典例2】（2023上·福建泉州·高三校考阶段练习）点F 是抛物线Γ：22y px =（0p >）的焦点，O 为坐标原点，过点F 作垂直于x 轴的直线l ，与抛物线Γ相交于A ，B 两点，AB 4=，抛物线Γ的准线与x 轴交于点K ．（1）求抛物线Γ的方程；（2）设C 、D 是抛物线Γ上异于A 、B 两点的两个不同的点，直线AC 、BD 相交于点E ，直线AD 、BC 相交于点G ，证明：E 、G 、K 三点共线． 【答案】（1）24y x =；（2）详见解析.【解析】（1）抛物线Γ：22y px =（0p >）的焦点坐标为：,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭过点F 作垂因为直于x 轴的直线l ，与抛物线Γ相交于A ，B 两点，且AB 4=， 不妨设,2,,222p p A B ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则2222p p =⋅，解得2p =或2p =-（舍去），所以抛物线Γ的方程为24y x =； （2）如图所示：由（1）知()()1,2,1,2A B -，设()22121212,,,2,244y y C y D y y y ⎛⎫⎛⎫≠≠- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则直线AC 的方程为：()()12112421,21214y y x y x y y --=--=-+-，直线BD 的方程为：()()22222421,21214y y x y x y y ++=-+=---，联立得()()1242124212y x y y x y ⎧-=-⎪+⎪⎨⎪+=-⎪-⎩，解得()1212121212424y y y y x y y y y y y y -+⎧=⎪-+⎪⎨+⎪=⎪-+⎩，则()12121212122,44y y y y y y E y y y y +⎛⎫-+ ⎪-+-+⎝⎭，所以()()()()1212121212121212121212122224441144EKy y y y y y y y y y k y y y y y y y y y y y y y y +++-+-+===-+-++--+-+-+， 则直线BC 的方程为：()()12112421,21214y y x y x y y ++=-+=---，直线AD 的方程为：()()22222421,21214y y x y x y y --=--=-+-，联立得()()1242124212y x y y x y ⎧+=-⎪-⎪⎨⎪-=-⎪+⎩，解得()1221211221424y y y y x y y y y y y y -+⎧=⎪-+⎪⎨+⎪=⎪-+⎩，则()12122121212,44y y y y y y G y y y y +⎛⎫-+ ⎪-+-+⎝⎭，所以()()()()1212122121122112211221212224441144GKy y y y y y y y y y k y y y y y y y y y y y y y y +++-+-+===-+-++--+-+-+，则EK GK k k =， 所以E ，K ，G 三点共线.七、圆锥曲线中的探索性问题“肯定顺推法”解决探索性问题，即先假设结论成立，用待定系数法列出相应参数的方程，倘若相应方程有解，则探索的元素存在(或命题成立)，否则不存在(或不成立)．【典例1】（2023下·河南开封·通许一中高三校考阶段练习）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>过点⎛- ⎝⎭和2⎛ ⎝⎭． （1）求C 的方程；（2）不过原点O 的直线l 与C 交于不同的,P Q 两点，且直线,,OP PQ OQ 的斜率成等比数列．在C 上是否存在一点M ，使得四边形OPMQ 为平行四边形？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由．【答案】（1）2212x y +=；（2）存在；)12y x =+或)12y x =-或)12y x =-+或)12y x =-.【解析】（1）由题意可得2222112113241a ba b ⎧⎪+=⎪⎪⎨⎪⎪+=⎪⎩，解得2221a b ⎧=⎨=⎩，故C 的方程为2212x y +=；（2）由题意知直线l 的斜率一定存在，设直线的l 方程为0),(0y kx m k m ≠+≠=，设())(1122,,,P x y Q x y ，由2212x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，得()222214220k x kmx m +++-=， 需满足228(21)0k m ∆=-+>，则()2121222214,2121-+=-=++m km x x x x k k ， 所以()()()2222121212122221m k y y kx m kx m k x x km x x m k -=++=+++=+，故()2212212221y y m k x x m -=-；由于直线,,OP PQ OQ 的斜率成等比数列，即2()PQ OP OQ k k k =，即21212y y k x x =， 故()2222221m k k m -=-，解得212k =， 存在点M ，使得四边形OPMQ 为平行四边形，理由如下：四边形OPMQ 为平行四边形，则())(1122,,OM OP OQ x y x y =+=+, 故()1212,M x x y y ++，又点M 在椭圆C 上，故()()22121212x x y y +++=，因为()()2222122216221k m x x m k+==+，()()()()22222212121212244y y k x x m k x x km x x m m +=++=++++=⎡⎤⎣⎦所以221m m +=，即212m =， 当2211,22==k m ，满足228(21)0k m ∆=-+>，所以直线l 的方程为)21y x =+或)21y x =-或)21y x =+或)21y x =-.【典例2】（2023上·重庆·高三统考阶段练习）已知抛物线2:2C y px =经过点(2,6-，直线1:(0)l y kx m km =+≠与C 交于A ，B 两点（异于坐标原点O ）．（1）若0OA OB ⋅=，证明：直线1l 过定点．（2）已知2k =，直线2l 在直线1l 的右侧，12//l l ，1l 与2l 之间的距离5d =2l 交C 于M ，N 两点，试问是否存在m ，使得||||10MN AB -=？若存在，求m 的值；若不存在，说明理由．24【解析】（1）证明：将点(2,26-代入22y px =，得244p =，即6p ．联立212,,y x y kx m ⎧=⎨=+⎩得212120ky y m -+=，由0km ≠，设()11,A x y ，()22,B x y ，则1212m y y k =，()222212121221212144y y y y m x x k =⋅==．因为0OA OB ⋅=，所以212122120m mx x y y k k+=+=恒成立，则12m k =-，所以1l 的方程为(12)y k x =-， 故直线1l 过定点(12,0)．（2）联立212,2,y x y x m ⎧=⎨=+⎩得224(412)0x m x m +-+=，则122123,,4x x m m x x +=-+⎧⎪⎨=⎪⎩且22(412)1648(32)0m m m ∆=--=->，即32m <， ()222121212||12124596AB x x x x x m =+-=++--设2:2l y x n =+，同理可得||596MN n =- 因为直线2l 在1l 的右侧，所以n m <， 则55d ==5n m =-． 所以||||596(5)9610MN AB m m ⎡-=---=⎣， 3962596m m --3124m =，因为313242<，所以满足条件的m 存在，3124m =.【典例3】（2023上·重庆·南开中学高三校考阶段练习）已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右顶点分别为A 、B ，渐近线方程为12y x =±，焦点到渐近线距离为1，直线:l y kx m =+与C 左右两支分别交于P ，Q ，且点2323m k ⎝⎭在双曲线C 上.记APQ △和BPQ 面积分别为1S ，2S ，AP ，BQ 的斜率分别为1k ，2k（1）求双曲线C 的方程；（2）若12432S S =，试问是否存在实数λ，使得1k -，k λ，2k .成等比数列，若存在，求出λ的值，不存在说明理由.4【解析】（1）由题可得222121b a c a b ⎧=⎪⎪==+⎪⎩，解得21a b =⎧⎨=⎩，所以双曲线C 的方程为2214x y -=； （2）由点⎝⎭在22:14x C y -=上可得：2243m k -=. 联立y kx m =+和22:14x C y -=整理得：()()222148410k x kmx m ---+=，设11(,)P x y ，22(,)Q x y ，则有：122814km x x k +=-，21224(1)14m x x k -+⋅=-， ()22Δ1641640m k =-+=>，又由直线交左右两支各一点可得：21224(1)014m x x k -+⋅=<-，所以2140k ->，即214k <，所以12PQ x =-==， 又()2,0A -到直线:l y kx m =+的距离1d =()2,0B 到直线:l y kx m =+的距离2d =所以2212224311m k d d k k -==++，所以()12122211484322214S S PQ d PQ d k ⎛⎫⎛⎫=== ⎪⎪⎝⎭⎝⎭-， 所以23(14)1k -=（2140k ->），解得216k =， 又121212121221222()4y y y y k k x x x x x x =⋅=+-+--， 其中2222121212122243()()()1414m k y y kx m kx m k x x km x x m k k -=++=+++==--， 212212224(1)842()424141414m x x x x k k k -+-+--=+-=---， 所以1212122132()44y y k k x x x x ==-+--，假设存在实数λ，使得1k -，k λ，2k 成等比数列， 则有2212k k k λ=-，所以21364λ=，解得λ=λ=.易错点2 忽视直线与双曲线相交的特殊性点拨：直线与双曲线的位置关系分为：相交、相离、相切三种。
