高等数学辅助函数的构造方法及应用

浅析辅助函数在高等数学中的应用作者：陈开宇来源：《学习导刊》2014年第05期摘要：为了分析辅助函数在高等数学的应用，本文通过对辅助函数在全局优化分析问题的应用，以及其他的辅助函数构造应用分析，从而辅助函数构造提供了方法，提高解决问题的能力。

关键词：辅助函数，全局优化，应用，构造引言在高等数学的学习中，辅助函数作为一元函数微分中值定理的数学问题的解决具有重要的作用。

辅助函数的构造方法相当丰富，没有一定的方法与模式，其构造需要具有对问题的良好的分析能力，构造出适合问题解决的方法，使得一元微分问题得到很好地解决。

如何对辅助函数进行合适的构造，成为高等数学学习的重点。

对于辅助函数来讲，主要应用在证明中值存在性问题、证明不等式、恒等式证明，以及辅助函数求极限问题的分析等，这些问题在一些研究中已经得到了很好研究。

而对于函数来讲，全局最优化最为重要的一个方面的内容，本文通过辅助函数的构造的过程中，对其提出具体的辅助函数构造的思想与方法。

1. 全局优化的辅助函数应用分析无约束函数全局最优化设计中，利用填充函数法或拟填充函数法可以对问题进行解决，但是该方法存在一定的不足。

对于全局优化来讲，点x不能够直接的从拟填充函数来设计，必须将该点设定为x的附近点作为填充函数，为了解决该问题，进行如下新的全局优化辅助函数的构造。

如果 f （ x ）满足强制性条件，即是limf（x）=+∞。

在此的条件下极小化问题（1）等价于下面的极小化问题：（PΩ）min f（x）（x∈Ω）（1）取c={ c1，c2，…，cn }T，d={ d1，d2，…，dn }T，x0={ c1-1，c2-1，…，cn -1}T，x0∈Rn/Ω，且对任意的 x∈Ω有|x –x0|≥1，而且d是Ω中离点x0最远的顶点。

设L={x∈Y|f（x）（1）对任意的点x∈Ω 满足f （ x ）≥ f （ x*）， x 都不是函数px（x）的平稳点；（2）设 x∈ intΩ是函数px（x）的任意局部极小点，那么一定有f （ x ） < f （ xx*）（3）如果x*不是极小化问题（1）的全局极小点，即L ≠ φ。

浅析辅助函数的构造及应用陈小亘(湛江师范学院信息科学与技术学院 广东 湛江524048)摘要：本文阐述了辅助函数的基本特征与构造辅助函数的原则，并介绍几种较为典型的构造辅助函数的方法应用.关键词：辅助函数；原函数法；参数变易法；常数k 值法中图分类号：O13;O17;O172;O174;O174.4 文献标识码： A1 引言辅助函数法是数学证明中经常使用的一种非常有用的方法，是数学解题中构造的辅助问题的一种.它是依据数学问题所提供的信息而构造的函数，再利用这个函数的特性进行求解.构造辅助函数是将原来的数学间题转化为容易解决的辅助函数问题.这就要求我们在所掌握的数学知识基础上，全面把握数学问题所提供的信息即问题本身的特点、背景以及与其它问题之间的关系，运用基本的数学思想，经过认真的观察，深入的思考，才能构造出所需要的辅助函数.这个构造过程是一个从特殊到一般的过程，而运用辅助函数返回去解决原数学问题又是一个从一般到特殊的过程.这是一种创造性的思维过程，具有较大的灵活性，需要技巧.如何才能找到合适的辅助函数？这是教学过程中的难点之一，教师难教，学生难学.许多教科书和教学参考书中常常是直接给出辅助函数，使学生感到突然，遇到难题无从下手.2 辅助函数的基本特点及构造原则所谓构造法，就是按一定方式，经有限步骤能够实现的方法，在解题时常表现的是不对问题本身求解，而是构造一个与问题有关的辅助函数问题进行求解.它具有两个显著的特征：直观性和可行性.正是这两个特性，在数学解题中经常运用它，但是如何构造辅助函数，始终是一个难点，因此应重视这种思想方法的引导和渗透，多做归纳总结.辅助函数有许多基本特点.首先，辅助函数题设中没有，结论中也没有，仅是解题中间过程中构造出来的，类似于平面几何中的辅助线，起辅助解题的作用.其次，同一个命题可构造多个辅助函数用于解题.再次，构造辅助函数的思想较宽广. 然而，不同的辅助函数直接关系到解题的难易，因此构造最恰当的辅助函数是关键.如何构造辅助函数？事实上，我们在构造辅助函数时，必须遵循一定的原则.这是因为辅助函数的构造是有一定规律的，当某些数学问题使用通常办法按定势思维去考虑很难奏效时，可根据题设条件和结论的特征、性质展开联想，进而构造出解决问题的特殊模式.构造辅助函数的第一原则是：将未知化为已知.在一元微积分学中许多定理的证明都是在分析所给命题的条件、结论的基础上构造一个函数，将要证的问题转化为可利用的已知结论来完成. 其次，将复杂化为简单.一些命题较为复杂，直接构造辅助函数往往较困难，可通过恒等变形,由复杂转化为简单，从中探索辅助函数的构造，以达到解决问题的目的.再次，利用几何特征.在许多教科书中，微分中值定理的证明是利用对几何图形的分析，探索辅助函数的构造，然后加以证明.本文给出几种常用构造辅助函数的方法应用. 3 几种构造辅助函数的方法应用3.1 原函数法 (亦称积分法或逆推法)原函数法是指从所要证明的结论出发,如欲证0)(='ξF ，则可通过倒推，分析了原函数)(x F 的形式，从而构造出辅助函数的方法.这一方法适用于“证明至少存在一点ξ，使得 关于ξ及其函数的代数式成立”这类命题的证明.构造辅助函数的步骤：第一步：将命题中的ξ换成x ；第二步：通过恒等变形将结论化为易消除导数符号的形式；第三步：用观察法或积分法求出原函数，为方便积分常数常常取为零；第四步：移项使等式一边为零，则另一边即是所求辅助函数)(x F .例3.1 设函数)(),(x g x f 在],[b a 上二阶可导，且0)()()()(====b g a g b f a f ，0)(≠x g ,0)(≠''x g ，证明：至少存在一点),(b a ∈ξ，使得)()()()(ξξξξg f g f ''''=. 分析：令x =ξ，则)()()()(ξξξξg f g f ''''=⇒)()()()(x g x f x g x f ''''= ⇒)()()()(x f x g x g x f ''=''⇒dt t g t f dt t g t f xx o ⎰⎰''=''0)()()()(⇒dt t g t f x g x f dt t g t f x g x f xx o ⎰⎰''-'=''-'0)()()()()()()()( ⇒)()()()(x g x f x g x f '='⇒0)()()()(='-'x g x f x g x f .证明：令x =ξ，=)(x F )()()()(x g x f x g x f '-'，依条件，)(x F 在],[b a 上连续，在),(b a 内可导，且0)()(==b F a F ，由罗尔中值定理可知，至少存在一点),(b a ∈ξ，使得0)(='ξF ，即 0)()()()(='-'ξξξξg f g f . 由于0)(≠ξg ,0)(≠''ξg ，故)()()()(ξξξξg f g f ''''=. 如下的命题也可以用这一方法来证明： 如果函数)(),(x g x f 在],[b a 上可导，且0)(≠'x g ，则至少存在一点),(b a ∈ξ，使得)()()()()()(ξξξξg f b g g f a f ''=--.3.2 参数变易法参数变易法是指把命题中的某个参数“变易”为变量x ,从而构造出相应的辅助函数的方法. 命题的证明思路：第一步：将命题中的某一参数(a 或b )换成x ；第二步：移项使等式一边为零，则另一边即是所求辅助函数)(x F ；第三步：根据有关定理完成命题的证明.例3.2 设)(),(t g t f 是在],[b a 上连续增加函数，0,>b a ，证明：⎰⎰⎰-≤b ab a ba dt t g t f ab dt t g dt t f )()()()()( 证明：把上式中的b 换成x ，移项，然后作辅助函数 ⎰⎰⎰--=x ax a xa dt t g t f a x dt t g dt t f x F )()()()()()(. 由于)()()()()()()()()()(x g x f a x dt t g t f dt t f x g dt t g x f x F x a x a x a ---+='⎰⎰⎰ ))()()()()()()()(⎰⎰⎰⎰--+=xa x a x ax a dt x g x f dt t g t f dt t f x g dt t g x f ⎰---=xa dt t g x g t f x f )]()()][()([. 又)(),(t g t f 均为连续增加函数，因此，0)(<'x F ，)(x F 为减少函数.0)()(=≤a Fb F . 即0)()()()()(≤--⎰⎰⎰ba b a ba dt t g t f ab dt t g dt t f . 所以⎰⎰⎰-≤b ab a ba dt t g t f ab dt t g dt t f )()()()()(. 如下的命题也可以用这一方法来证明： 如果)(x f 是在],[b a 上连续函数，且0)(>x f ，则2)()(1)(a b dx x f dx x f b a b a -≥⎰⎰. 3.3 泰勒公式法泰勒公式法是指利用泰勒公式来构造辅助函数的方法. 这一方法适用于“含有被积函数)(x f 有二阶或二阶以上连续导数”这类命题的证明.命题的证明思路：第一步：令辅助函数⎰=xa dt t f x F )()(；第二步：将)(x F 在所需点处进行泰勒展开；第三步：对泰勒余项作适当处理(可考虑用介值定理).例 3.3设函数)(x f 在],[b a 上具有连续的二阶导数，证明在),(b a 内存在一点ξ，使得⎰ba dx x f )(=)2()(b a f a b +-+()(2413f a b ''-ξ) 证明：令⎰=xa dt t f x F )()(，则有0)(=a F ，)()(x f x F ='，)()(x f x F '=''，)()(x f x F ''='''，)(x F 在0x 2b a +=处的二阶泰勒公式为 2)2)(2(!21)2)(2()2()(b a x b a F b a x b a F b a F x F +-+''++-+'++=+3)2)((!31b a x F +-'''ξ F =)2(b a ++f )2(b a +-x (2b a +）f '+!21)2(b a +-x (2b a +2)+)(!31ξf ''-x (2b a +3) 其中ξ在x 与2b a +之间. 分别将b x =，a x =代入上式，并相减，则得 2)()()(241)2()()()(213ξξf f a b b a f a b a F b F +''-++-=-， 其中1ξ，2ξ分别在2b a +与b ，a 与2b a +之间. 不妨设)()(21ξξf f ''≤''，则2)()()(211ξξξf f f ''+''≤'')(2ξf ''≤，考虑到)(x f ''的连续性及介值定理，可知在1ξ，2ξ之间至少存在一个),(b a ∈ξ使2)()()(21ξξξf f f ''+''=''. 故 )()()(a F b F dx x f ba -=⎰=)2()(b a f a b +-+()(2413f a b ''-ξ). 3.4常数k 值法在要证明的命题中，把常数分离，然后用以下步骤求辅助函数：第一步：将常数部分记作k ；第二步：恒等变形,使等式一端为a 的代数式，另一端为b 的代数式；第三步：分析关于端点的表达式是否为对称式，若果是，只要把端点a 改成x ，则换变量后的端点表达式就是所求的辅助函数.这样的方法就是常数k 值法.例3.4 设)(x f ''在],[b a 上存在，b c a <<，证明：至少存在一点),(b a ∈ξ，使得)(21))(()())(()())(()(ξf b c a c c f c b a b b f c a b a a f ''=--+--+--. 分析：令k b c a c c f c b a b b f c a b a a f =--+--+--))(()())(()())(()(. ⇒))()(()()()()()()(c b c a b a k c f b a b f a c a f c b ---=-+-+-，这是关于端点c b a ,,的轮换对称式，令x b =(可以令x a =或x c =)，于是))()(()()()()()()()(c x c a x a k c f x a x f a c a f c x x F -----+-+-=.证明：令))()(()()()()()()()(c x c a x a k c f x a x f a c a f c x x F -----+-+-=,则)(x F 在],[],,[b c c a 上满足罗尔定理，于是分别存在),(),,(21b c c a ∈∈ξξ使得0)()(21='='ξξF F ，又))(())(()()()()()(c a x a k c x c a k x f a c c f a f x F -----+'-+-='.)(2)()()(c a k x f a c x F -+''-=''. 由罗尔中值定理，至少存在),(),(21b a ⊂∈ξξξ，使得0)(=''ξF ，即0)(2)()(=-+''-c a k f a c ξ. 从而)(21ξf k ''=. 命题得证. 3.5 微分方程法微分方程法是指通过求一个常微分方程的通解而构造辅助函数的方法.构造出辅助函数的步骤：第一步：将命题中的ξ换成x ；第二步：移项使等式一边为零，得一个常微分方程；第三步：求得常微分方程的通解，在通解中的常数令为零可得辅助函数.例3.5 设函数)(x f 在]1,0[上可导，且满足关系 )1()(2210f dx x xf ⎰=. 证明：至少存在一点)1,0(∈ξ，使得 0)()(=+'ξξξf f .分析：令x =ξ，0)()(=+'ξξξf f ⇒0)()(=+'x x f x f ⇒xx f x f 1)()(-='，积分得c x x f ln ln )(ln +-=⇒xc x f =)(⇒c x xf =)(. (令0=c ). 令)()(x xf x F =. 证明：由条件知)()(x xf x F =在]1,0[上连续，在)1,0(可导. 于是由积分中值定理，至少存在一点),0(21∈η，使得 )()(2)(2)1(210210ηηηηf dx f dx x xf f ⎰⎰===.可见)()()1()1(ηηηf F f F ===. 对)()(x xf x F =，由罗尔中值定理，至少存在一点)1,(ηξ∈，使得0)(=ξF ，即0)()(='+ξξξf f . 也就是0)()(=+'ξξξf f .总之，构造辅助函数有许多方法(见[1],[2],[3],[4],[5],[6]). 对于不同的命题，我们必须根据实际情况灵活地选择不同的构造辅助函数的方法. 有时，对于一个命题，可以同时利用不同的方法来完成命题的证明.这就要求我们在教与学的过程中不断去探索新的方法.参考文献:[1 ] 同济大学. 高等数学(第五版) [M ]. 北京: 高等教育出版社, 2002.[2 ] 刘玉琏,付沛仁. 数学分析讲义[M]. 北京: 高等教育出版社, 1997.[3 ] 龚冬保. 高等数学典型题解法、技巧、注释[M ]. 西安:西安交通大学出版社, 2000.[4 ] 陈文灯. 考研数复习指南[M] . 北京: 世界图书出版公司,2009.[5 ] 李君士. 两个微分中值定理证明中辅助函数的多种作法[ J ]. 数学的实践与认识, 2004, 34 (10) : 165 - 169.[6 ] 郭乔. 如何作辅助函数解题[J ]. 高等数学研究, 2002, 3 (5) , 48- 49.A Brief of the Construct Method and Its Application for Auxiliary FunctionChen Xiaogen(School of Information Science and Technology , Zhanjiang Normal College Zhanjiang Guangdong 524048) Abstract: This paper elaborate the basic characteristic of the auxiliary function and the principle of coustructing the auxiliary function, meanwhile, introduce the several typical applications of methods for coustructing the auxiliary function.Key words: Auxiliary function; Primary function mothod; the method of variation of parameters; Constant -k- value methnod附加公文一篇，不需要的朋友可以下载后编辑删除，谢谢(关于进一步加快精准扶贫工作意)为认真贯彻落实省委、市委扶贫工作文件精神，根据《关于扎实推进扶贫攻坚工作的实施意见》和《关于进一步加快精准扶贫工作的意见》文件精神，结合我乡实际情况，经乡党委、政府研究确定，特提出如下意见：一、工作目标总体目标：“立下愚公志，打好攻坚战”，从今年起决战三年，实现全乡基本消除农村绝对贫困现象，实现有劳动能力的扶贫对象全面脱贫、无劳动能力的扶贫对象全面保障，不让一个贫困群众在全面建成小康社会进程中掉队。

简析导数问题中构造辅助函数的常用方法作者：杨光关键来源：《新课程·中旬》2013年第09期导数在函数中的应用是现今高考的一大热点问题，年年必考，在这道压轴的大题中，解答时常涉及构造函数，我简单谈一下常用的构造方法.一、作差法（直接构造法）这是最常用的一种方法，通常题目中以不等式形式给出，我们可以作差构造新的函数，通过研究新函数的性质从而得出结论.当然，适合用这个方法解的题目中，构造的函数要易于求导，易于判断导数的正负.例1.设x∈R，求证ex≥1+x构造函数f （x）=ex-1-x，对函数求导可得f ′ （x）≥ex-1，当x≥0时，f ′ （x）≥0，f （x）在[0，+∞）上是增函数，f （x）≥f （0）=0，当xf （0）=0，因此，当x∈R，f （x）≥f （0）=0，即ex≥1+x例2.x>-1，求证1-■≤ln（x+1）≤x以证明右侧为例，设f （x）=x-ln（x+1），f ′ （x）=1-■（x>-1）令f ′ （x）=0，x=0，当x∈（-1，0）时，f ′ （x）0，函数递增，所以x=0时，函数取最小值f （0）=0，∴f （x）≥0.二、先去分母再作差有的问题直接作差构造函数后，求导非常麻烦，不具有可操作性，可先去分母再作差.例3.x>1，求证■分析：设f （x）=■-lnx，f （x）=■-■-lnx，f ′ （x）=■x-■+■x-■-■，f ′ （x）=■≥0，f （x）≥f （1），f （1）=0，∴f （x）>0三、先分离参数再构造例4.（哈三中2012期末试题21）已知函数f （x）=xlnx，g （x）=-x2+ax-3（1）求f （x）在[t，t+2]（t>0）上的最小值；（2）对一切x∈（0，+∞），2f （x）≥g （x）恒成立，求实数a的取值范围；（3）证明对一切x∈（0，+∞），都有lnx>■-■成立.分析：（1）略（2）2xlnx≥-x2+ax-3恒成立，∵x>0，原不等式等价于a≤2lnx+x+■.令g （x）=2lnx+x+■，则g′ （x）=■，所以g （x）的最小值为g （1）=4，即a≤4（3）利用前面提到的第二种方法，先去分母再构造，目的就是使得构造的函数易于求导，易于分析.原不等式等价于xlnx>■-■，令F （x）=xlnx，G （x）=■-■则可求F （x）的最小值为F （■）=-■；G （x）的最大值为G （1）=-■，所以原不等式成立.四、从条件特征入手构造函数证明例5.若函数y=f （x）在R上可导且满足不等式xf ′ （x）>-f （x）恒成立，且常数a，b 满足a>b，求证：af （a）>bf （b）分析：由条件移项后xf ′ （x）+f （x），可以构造函数F （x）=xf （x），求导即可完成证明.若题目中的条件改为xf ′ （x）>f （x），则移项后xf ′ （x）-f （x），要想到是一个商的导数的分子，构造函数F （x）=■，求导去完成证明.五、由高等数学中的结论构造利用泰勒公式，可以把任意一个函数用幂函数近似表示.f （x）=f （x0）+f ′ （x0）（x-x0）+■（x-x0）2+…+■（x-x0）n+…当f （x）=lnx，取x=1，则lnx=x-1-■+…lnx≈x-1例6.数列{an}，a1=1，an+1=lnan+an+2，求证an≤2n-1分析：设f （x）=lnx-（x-1），f ′ （x）=■-1=■，当x∈（0，1），f ′ （x）>0当x∈（1，+∞），f ′ （x）lnan≤an-1，an+1=lnan+an+2≤2an+1，∴an+1+1≤2（an+1）迭代，1+an≤2（1+an-1）≤…≤2n-1（1+a1）=2n∴an≤2n-1例7.（2008年山东理21）已知函数f （x）=■+aln（x-1）其中n∈N*，a为常数.（1）当n=2时，求函数f （x）的极值；（2）当a=1时，证明：对任意的正整数n，当x≥2时，有f （x）≤x-1分析（2）：当a=1时，f （x）=■+ln（x-1）.当x≥2时，对任意的正整数n，恒有■≤1，故只需证明1+ln（x-1）≤x-1.令h （x）=x-1-[1+ln（x-1）]=x-2-ln（x-1），x∈[2，+∞），则h ′ （x）=1-■=■，当x≥2时，h ′ （x）≥0，故，h （x）在[2，+∞）上单调递增，因此x≥2时，当h （x）≥h （2）=0，即1+ln（x-1）≤x-1成立.故当x≥2时，有■+ln（x-1）≤x-1.即f （x）≤x-1.另外，高等数学中有一个极限结论：■■=1由以上极限不难得出，当x>0时，sinx所以函数 f （x）在（0，+∞）上单调递增，f （x）>f （0）=0.所以x-sinx>0，即sinx导数问题中构造辅助函数还有其他的方法，例如变更主元法，二次求导再构造，难度偏大，这里先不做详解.（作者单位杨光：黑龙江省哈尔滨师范大学数学系关键：黑龙江省大庆市第四中学）？誗编辑谢尾合。

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罗尔定理中辅助函数的构造与应用
作者：郭欣红
来源：《消费导刊·理论版》2008年第14期
[摘要]构造辅助函数是解决罗尔定理问题的一种重要方法，本文介绍了几种巧妙构造辅助函数的有效方法。

[关键词]罗尔定理辅助函数
微分中值定理中的罗尔定理是高等数学中的一个重要内容，因为它的应用非常广泛，而构造辅助函数是解决罗尔定理问题的最主要的方法。

若辅助函数构造得合理巧妙,满足定理的三
个条件，则问题很快就能迎刃而解。

本文将主要讨论几种构造辅助函数的常用方法。

一、归纳法构造辅助函数
参考文献
[1] 汪诚义. 高等数学与微积分[M]. 群言出版社
[2] 微积分辅导.[M].华中科技大学高等数学教研室.华中科技大学出版社
“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文”。

数学证明中的构造辅助函数方法摘要数学中运用辅助函数就像是在几何中添加辅助线，其应用是非常广泛的. 构造辅助函数是数学命题推证的有效方法，是转化问题的一种重要手段。

遇到特殊的问题时，用常规方法可能比较复杂.这时就需要构造辅助函数，就如同架起一座桥梁，不需要大量的算法就可以得到结果.如何构造辅助函数是数学分析解题中的难点，看似无章可循，但仔细研究不失基本方法和一般规律。

文章通过对微分中值定理证明中，关于构造辅助函数方法的总结和拓展，给出了多种形式的辅助函数；通过详尽的实例，讲明了辅助函数在不等式、恒等式、函数求极限、讨论方程的根及非齐次线性微分方程求解中的运用，尝试找出如何构造辅助函数的几种方法，并通过这些方法在一些具体实例中的运用归纳出构造函数法的一些思路.关键词辅助函数；中值定理；恒等式与不等式；函数表达式；极值1.引言数学中，不等式与等式的证明、微分中值定理、拉格朗日条件极值、线性微分方程求解公式等，都是通过构造一个辅助函数来完成推证的，有时候构造辅助函数也是求证数学命题的简便而有效的方法之一，掌握构造辅助函数证明数学命题的方法的关键是要对“数学现象”善于观察，联想和发现问题，根据直观的结论倒推构造什么样的辅助函数.基本思路是从一个目标出发，联想起某种曾经遇到过的方法、手段，而后借助于这些方法和手段去接近目标，或者从这些方法和手段出发，去联想别的通向目标的方法和手段，这样继续下去，直到达到把问题归结到一个明显成立的结构上为止.构造辅助函数实质上就是分析法的一种技巧，也是数学中的一个难点，值得重视的是，在证明命题的过程中要不断研究问题的本质，从而寻求构造辅助函数的方法，文章重点分析了微分中值定理的证明中辅助函数的构造方法与技巧，进而应用到其他一般命题的证明中.2.微分中值定理证明中构造辅助函数的方法与技巧2.1 拉格朗日（Lagrange ）中值定理辅助函数的作法定理1（Rolle ）：若函数()f x 满足如下条件：（i ）()f x 在闭区间[,]a b 上连续； （ii ）()f x 在开区间(,)a b 内可导； （iii ）()()f a f b =；则在(,)a b 内至少存在一点ξ，使得()0f ξ'=.定理2（Lagrange ）：若函数()f x 满足如下条件：（i ）()f x 在闭区间[,]a b 上连续；（ii ）()f x 在开区间(,)a b 内可导；则在(,)a b 内至少存在一点ξ，使得 ()()()f b f a f b aξ-'=- 显然，特别当()()f a f b =时，本定理的结论即为Rolle 定理的结论。

关于中值定理证明中辅助函数的构造张芝华（上海师范大学商学院，上海201199）摘要：构造辅助函数是高等数学证明中常用的技巧，它起着化难为易、化未知为已知的桥梁作用，特别是在应用中值定理证明问题时，需要构造辅助函数。

如何才能找出合适的辅助函数，在教学实践中人们总结出了多种方法，本文通过几个实例着重介绍如何使用原函数法构造辅助函数的方法。

关键词：中值定理；辅助函数；构造方法中图分类号：G642.0文献标志码：A文章编号：1674-9324（2015）45-0153-02一、引例例1：设f（x）在[a，b]上连续，在（a，b）内可导，证明在（a，b）内至少存在一点ξ使bf（b）-af（a）b-a=f（ξ）+ξf′（ξ）证明：令φ（x）=x·f（x）φ（x）满足拉格朗日中值定理条件，∴在（a，b）内至少存在一点ξ，使φ′（ξ）=φ（b）-φ（a）b-a⇒f（ξ）+ξf′（ξ）=bf（b）-af（a）b-a上题结论中要证明f（ξ）+ξf′（ξ）=0，那么对于这类题目有没有方法来构造辅助函数？我们可以用下面思路来构造辅助函数。

1°将ξ改写成x，f（x）+xf′（x）=02°将上式化为f′（x）f（x）+1x=03°上式又可以改写成（lnf（x））′+（lnx）′=04°上式又可以改写成[lnx·f（x）]′=0所以我们可以令φ（x）=x·f（x）上面构造辅助函数的方法就是原函数法。

二、证明的结论中含有ξf′（ξ）+kf（ξ）=0可以令φ（x）=x k·f（x）1°将ξ改写成x，xf′（x）+kf（x）=02°将上式化为f′（x）f（x）+kx=03°上式又可以改写成（lnf（x））′+（lnx k）′=04°上式又可以改写成[lnx k·f（x）]′=0我们可以令φ（x）=x k·f（x）例2：设f（x）在[0，1]上连续，x 0∫f（x）dx=0，证明存在ξ∈（0，1）使ξf（ξ）=-2x∫f（t）dt分析：按上述思路1°将ξ改写成x，xf（x）+2x∫f（t）dt=02°将上式化为f（x）x∫f（t）dt+2x=03°上式又可以改写成（lnx∫f（t）dt）′+（lnx2）′=04°上式又可以改写成[lnx2·x∫f（f）dt]′=0我们可以令φ（x）=x∫x2·x0∫f（t）dt证明：令φ（x）=x∫x2·f（t）dtφ（0）=φ（1）=0∃ξ∈（0，1）使φ′（ξ）=0φ′（x）=2x·x∫f（t）dt+x2f（x）φ′（ξ）=2ξ·ξ∫f（t）dt+ξ2f（ξ）=0即：ξf（ξ）=-2ξ∫f（t）dt三、证明的结论中含有f′（ξ）+kf（ξ）=0可以令φ（x）=e kx·f（x）1°将ξ改写成x，f′（x）+kf（x）=02°将上式化为f′（x）f（x）+k=03°上式又可以改写成（lnf（x））′+（lne kx）′=04°上式又可以改写成[lne kx·f（x）]′=0我们可以令φ（x）=e kx·f（x）例3：设f（x）在[a，b]上连续，在（a，b）内二阶可导，f（a）=f（b）=0，. All Rights Reserved.f ′+（a ）·f ′-（b ）＞0.证明（1）∃c ∈（a ，b ）使f （c ）=0（2）∃ξ1，ξ2∈（a ，b ）使f ′（ξ1）-f （ξ1）=0和f ′（ξ2）-f （ξ2）=0证明：（1）不妨设f ′+（a ）＞0，f ′-（b ）＞0由f ′+（a ）＞0⇒∃x 1∈（a ，b ）使f （x 1）＞f （a ）=0由f ′-（b ）＞0⇒∃x 2∈（a ，b ）使f （x 2）＜f （b ）=0⇒f （x 1）·f （x 2）＜0由零点定理得∃c ∈（a ，b ）使f （c ）=0（2）令φ（x ）=e -x·f （x ）∵φ（a ）=φ（c ）=φ（b ）=0∴∃ξ1∈（a ，c ），∃ξ2∈（c ，b ）使φ′（ξ1）=φ′（ξ2）=0而φ′（x ）=e -x·（f ′（x ）-f （x ））=0且e -x≠0f ′（ξ1）-f （ξ1）=0f ′（ξ2）-f （ξ2）=0四、证明的结论中可以化为以上两种形式，我们可以用原函数法构造辅助函数例4：设f （x ）在[a ，b]上连续，在（a ，b ）内二阶可导，f （a ）=f （b ）=0，f ′+（a ）·f ′-（b ）＞0.证明∃η∈（a ，b ）使f ″（η）-4f ′（η）+3f （η）=0分析：1°将ξ改写成x ，f ″（x ）-4f ′（x ）+3f （x ）=02°将上式化为（f ′（x ）-f （x ））-3（f ′（x ）-f （x ））=03°将（f ′（x ）-f （x ））看成f ′（x ）+kf （x ）=0中的f （x ）4°我们可以令φ（x ）=e -3x·（f ′（x ）-f （x ））证明：令φ（x ）=e -3x·（f ′（x ）-f （x ））∃η1，η2∈（a ，b ）使φ（η1）=φ（η2）=0∃η∈（a ，b ）使φ′（η）=0φ′（x ）=-3e -3x·（f ′（x ）-f （x ））+e -3x（f ″（x ）-f ′（x ））=e -3x（f ″（x ）-4f ′（x ）+3f （x ））∵e -3x≠0⇒f ″（η）-4f ′（η）+3f （η）=0从以上例子我们可以看到用原函数法构造辅助函数的步骤为：1°将要证的结论中ξ改写成x 2°移项使等式一边为零3°用观察法或积分法求出原函数4°这个原函数就是我们要找的辅助函数. All Rights Reserved.。

浅谈定积分不等式证明中辅助函数的构造方法构造辅助函数法是高等数学中解决问题的一种重要方法，在解决实际问题中有着广泛的应用，通过研究微积分学中辅助函数的构造法，构造与问题相关的辅助函数，从而得出欲证明的结论。

尤其关于定积分不等式的证明在近几年的研究生数学考试中又频繁出现。

借助适当的辅助函数来证明定积分不等式是一种非常重要且行之有效的方法。

本文对某些定积分不等式中辅助函数的构造方法简单探讨。

标签：定积分不等式；构造；辅助函数；变限法当某些数学问题使用通常办法去考虑而很难奏效时，可根据题设条件和结论特征、性质展开联想，进而构造出解决问题的特殊模式——构造辅助函数。

辅助函数构造法是高等数学中一个重要的思想方法，在高等数学中广泛应用。

构造辅助函数是把复杂问题转化为已知的容易解决问题的一种方法，在解题时，常表现为不对问题本身求解，而是构造一个与问题有关的辅助问题进行求解。

微积分学中辅助函数的构造是在一定条件下利用微积分中值定理求解数学问题的方法。

可以解决高等数学中众多难题，尤其是在微积分证明题中应用颇广，可达到事半功倍的效果。

特别是定积分不等式的证明，往往需要借助恰当的辅助函数才能顺利完成，然而，对基础一般的学生来说，构造恰当的辅助函数是相当有难度的。

笔者在教学中进行探索，找到一些可行的方法，在此与广大读者进行交流。

一、构造辅助函数的原则辅助函数的构造是有一定规律的。

当某些数学问题使用通常的方法按定势思维去考虑很难奏效时，可根据题设条件和结论的特征、性质展开联想，进而构造出解决问题的特殊模式，这就是构造辅助函数解题的一般思路。

二、构造辅助函数方法探讨1.仅告知被积函数连续的命题的证法一般来说，这类命题的证明要做辅助函数（或者说用辅助函数法更简便）。

在定积分不等式中，辅助函数φ（x）的构造方法是将定积分不等式中，积分上限（或下限）及相同字母换成x，移项使不等式一端为0，则另一端即为所设的辅助函数φ（x）。

这类命题的证明思路：（1）做辅助函数φ（x）；（2）求φ（x）的导数φ’（x），并判别φ（x）的单调性；（3）求φ（x）在积分区间[a，b]的端点值φ（a），φ（b），其中必有一个值为“0”，由第2条思路可推出φ（b）>φ（a）（或φ（b）<φ（a）），从而得出命题的证明。