几种高等数学中的构造函数法1汇总

构造函数的八种方法
1、响应式构造函数：响应式构造函数是指针对某种特定的对象实例而定义的构造函数，它能够根据参数的不同，生成不同的对象实例。

2、工厂模式构造函数：工厂模式构造函数是一种构造函数的实现方式，它使用一种工厂函数来简化创建对象的操作，使代码更加简洁，更容易维护。

3、函数构造函数：函数构造函数是指使用函数来构造对象实例的方式，它能够通过传入参数，创建出特定类型的对象实例。

4、构建对象构造函数：构建对象构造函数是指使用一个对象来构造另一个对象的方式，它可以动态地构造一个指定类型的实例，也可以复用已有的对象实例。

5、构造函数派生：构造函数派生是指从一个基础类型派生出另一个更加具体的子类型的方式，它可以使用基类的构造函数在子类中定义对象实例。

6、运行时参数构造函数：运行时参数构造函数是指在运行时传入参数，动态构造出一个指定类型的实例。

7、仿函数构造函数：仿函数构造函数是指使用仿函数的方式来构造对象实例，它可以更加简洁地实现一些比较复杂的对象构造操作。

8、多态构造函数：多态构造函数是指通过指定一个类型参数，在运行时执行特定的构造函数，从而实现多种类型的对象的。

高中数学6种构造函数法1、几何体构造法：几何体构造法是高中数学中常见的构造函数，即根据给定的条件，从原点出发，通过叠加若干条定义运算，利用实际工具画出题目要求构造的图形或者要求构造的几何体。

例如：根据给定的定义三角形ABC，在其外接圆上构造一个直角，使得构造出的四边形的一条边和三角形的一条边等长。

2、用线段构造法：用线段构造法是高中数学中常见的构造函数，是根据给定的条件，几何体和直线的位置，及题目要求的其他条件，按照一定的步骤和规律来画出要构造的几何体或其他东西。

例如：依据给定的线段AB，在其上端点A处构造一个半径等于原线段AB一半长度的圆，使得线段AB的端点A和圆的交点坐标相同；并在构造出的圆上构造一个到线段AB 端点B距离等于原线段AB一半长度的直线段。

3、从原点构造法：从原点构造法是高中数学中常见的构造函数，是指从某一原点出发，根据给定的情况，经过若干步的构造，建立若干定义关系，确定一个几何体的形状和大小，并与给定的几何体完全相同或满足给定条件的几何体。

例如：在原点构造一个半径等于原点O到给定点A的距离的圆，从这个圆上构造与 OA 相等的直线段，在这个直线段依次画上给定的点B、C。

4、标准图形构造法：标准图形构造法是在高中数学中学习的构造函数，即根据给定的它定义的图形和要求画出的图形之间的规律，采用实际的工具画出要求的图形。

例如：构造出与正方形相等的长方形(15cm×20cm)，方法为：在一根边长15cm的尺子上划分出4等分点，然后再在另一根尺子上划分出5等分点，将它们相互链接，即可构造出长方形。

5、参数方程构造法：参数方程构造法是高中数学中学习的构造函数，即根据给定的参数条件所决定的几何体的特征，可利用参数方程的技巧，根据参数条件用参数方程来求出构造出几何体的函数，并且利用函数求出相应的构造过程，或者利用参数方程既定的几何图形，求出给定点的位置。

例如：求出构造出半径为 2 的半圆的函数，可以用参数方程 x = 2cos t，其中x 为构造出的半圆的横坐标，t 为角度参数。

2013-09教学实践导数在函数中的应用是现今高考的一大热点问题，年年必考，在这道压轴的大题中，解答时常涉及构造函数，我简单谈一下常用的构造方法.一、作差法（直接构造法）这是最常用的一种方法，通常题目中以不等式形式给出，我们可以作差构造新的函数，通过研究新函数的性质从而得出结论.当然，适合用这个方法解的题目中，构造的函数要易于求导，易于判断导数的正负.例1.设x ∈R ，求证e x ≥1+x构造函数f （x ）=e x -1-x ，对函数求导可得f ′（x ）≥e x -1，当x ≥0时，f ′（x ）≥0，f （x ）在［0，+∞）上是增函数，f （x ）≥f （0）=0，当x <0时，f ′（x ）<0，f （x ）在（-∞，0）上为减函数，f （x ）>f （0）=0，因此，当x ∈R ，f （x ）≥f （0）=0，即e x≥1+x例2.x >-1，求证1-1x +1≤ln （x +1）≤x以证明右侧为例，设f （x ）=x -ln （x +1），f ′（x ）=1-1x +1（x >-1）令f ′（x ）=0，x =0，当x ∈（-1，0）时，f ′（x ）<0，函数递减，当x ∈（0，+∞）时，f ′（x ）>0，函数递增，所以x =0时，函数取最小值f （0）=0，∴f （x ）≥0.二、先去分母再作差有的问题直接作差构造函数后，求导非常麻烦，不具有可操作性，可先去分母再作差.例3.x >1，求证ln x x -1<1x√分析：设f （x ）=x -1x √-ln x ，f （x ）=x √-1x√-ln x ，f ′（x ）=12x-12+12x-32-1x ，f ′（x ）=（x √-1）22x x√≥0，f （x ）≥f （1），f （1）=0，∴f （x ）>0三、先分离参数再构造例4.（哈三中2012期末试题21）已知函数f （x ）=x ln x ，g （x ）=-x 2+ax -3（1）求f （x ）在［t ，t +2］（t >0）上的最小值；（2）对一切x ∈（0,+∞），2f （x ）≥g （x ）恒成立，求实数a 的取值范围；（3）证明对一切x ∈（0,+∞），都有ln x >1e x -2e x 成立.分析：（1）略（2）2x ln x ≥-x 2+ax -3恒成立，∵x >0，原不等式等价于a ≤2ln x +x +3x.令g （x ）=2ln x +x +3x ，则g ′（x ）=（x +3）（x -1）x 2，所以g （x ）的最小值为g （1）=4，即a ≤4（3）利用前面提到的第二种方法，先去分母再构造，目的就是使得构造的函数易于求导，易于分析.原不等式等价于x ln x >x e x -2e ，令F （x ）=x ln x ，G （x ）=x e x -2e则可求F （x ）的最小值为F （1e ）=-1e；G （x ）的最大值为G （1）=-1e，所以原不等式成立.四、从条件特征入手构造函数证明例5.若函数y =f （x ）在R 上可导且满足不等式xf ′（x ）>-f （x ）恒成立，且常数a ，b 满足a>b ，求证：af （a ）>bf （b ）分析：由条件移项后xf ′（x ）+f （x ），可以构造函数F （x ）=xf （x ），求导即可完成证明.若题目中的条件改为xf ′（x ）>f （x ），则移项后xf ′（x ）-f （x ），要想到是一个商的导数的分子，构造函数F （x ）=f （x ）x ，求导去完成证明.五、由高等数学中的结论构造利用泰勒公式，可以把任意一个函数用幂函数近似表示.f （x ）=f （x 0）+f ′（x 0）（x-x 0）+f ″（x 0）2！（x-x 0）2+…+f n（x 0）n ！（x-x 0）n+…当f （x ）=ln x ，取x =1，则ln x =x -1-（x -1）22！+…ln x ≈x -1例6.数列{a n }，a 1=1，a n +1=ln a n +a n +2，求证a n ≤2n -1分析：设f （x ）=ln x -（x -1），f ′（x ）=1x -1=1-x x，当x ∈（0，1），f ′（x ）>0当x ∈（1，+∞），f ′（x ）<0，f （x ）≤f （1）=0∴ln x ≤x -1ln a n ≤a n -1，a n +1=ln a n +a n +2≤2a n +1，∴a n +1+1≤2（a n +1）迭代，1+a n ≤2（1+a n -1）≤…≤2n -1（1+a 1）=2n∴a n ≤2n -1例7.（2008年山东理21）已知函数f （x ）=1（1-x ）n +a ln （x -1）其中n ∈N*，a 为常数.（1）当n =2时，求函数f （x ）的极值；（2）当a =1时，证明：对任意的正整数n ，当x ≥2时，有f （x ）≤x -1分析（2）：当a =1时，f （x ）=1（1-x ）n +ln（x -1）.当x ≥2时，对任意的正整数n ，恒有1（1-x ）n ≤1，故只需证明1+ln （x -1）≤x -1.令h （x ）=x -1-［1+ln （x -1）］=x -2-ln （x -1），x ∈［2，+∞），则h ′（x ）=1-1x -1=x -2x -1，当x ≥2时，h ′（x ）≥0，故，h （x ）在［2，+∞）上单调递增，因此x ≥2时，当h （x ）≥h （2）=0，即1+ln （x -1）≤x -1成立.故当x ≥2时，有1（1-x ）n +ln （x -1）≤x -1.即f （x ）≤x -1.另外，高等数学中有一个极限结论：lim x →0sin x x =1由以上极限不难得出，当x >0时，sin x <x ，构造函数f （x ）=x -sin x ，则f ′（x ）=1-cos x ≥0，所以函数f （x ）在（0，+∞）上单调递增，f （x ）>f （0）=0.所以x -sin x >0，即sin x <x .导数问题中构造辅助函数还有其他的方法，例如变更主元法，二次求导再构造，难度偏大，这里先不做详解.（作者单位杨光：黑龙江省哈尔滨师范大学数学系关键：黑龙江省大庆市第四中学）•编辑谢尾合简析导数问题中构造辅助函数的常用方法文/杨光关键104--. All Rights Reserved.。

构造函数证明不等式的八种方法一、移项法构造函数1例：1、已知函数 f (x) ln( x 1) x ，求证：当x 1时，但有x x1 ln( 1)1 x2、已知函数f1x 2(x) ae x2（1）若 f (x) 在R 上为增函数，求 a 的取值范围。

（2）若a=1，求证：x 0时，f (x) 1 x二、作差法构造函数证明12例：1、已知函数 f x x ln x( )223g( x) x 的图象下方。

3，求证：在区间(1,) 上，函数 f (x) 的图象在函数思想：抓住常规基本函数，利用函数草图分析问题- 1 -2、已 知 函 数 f (x) n ln x 的 图 象 在 点 P( m , f ( x)) 处 的 切 线 方 程 为 y=x ， 设ng( x) mx2ln x ，（1）求证：当 x 1时， g(x) 0恒成立；（2）试讨论关于 x的方x n32 2程g xxex txmx( )根的个数。

x3、换元法构造函数证明例：1、证明：对任意的正整数n ，不等式ln( 1 n1) 1 2n1 3n，都成立。

2、证明：对任意的正整 n ，不等式 ln( 1 n1)1 2n1 3n都成立。

3 23、已知函数 f (x) ln( ax 1) x x ax ，（1）若2 3为 yf ( x) 的极值点，求实数a的值；（2）若 y f (x) 在[1, ) 上增函数，求实数 a 的取值范围。

（3）若 a=-1 时，方程fb3(1 x) (1 x)有实根，求实数 b 的取值范围。

x- 2 -4、从条件特征入手构造函数证明例 1 若函数y f (x) 在R 上可导且满足不等式xf '(x) f ( x) 恒成立，且常数a,b 满足a b，求证：af (a) bf (b)5、主元法构造函数例 1.已知函数 f (x) ln(1 x) x ，g(x) xln x ，（1）求函数 f (x) 的最大值；（2）设a b0 a b，证明：0 g(a) g( b) 2g( ) (b a) ln 226、构造二阶导数函数证明导数的单调性例1：已知函数 f1x 2( x) ae x2，（1）若 f ( x) 在R 上为增函数，求 a 的取值范围；（2）若a=1，求证：x 0时，f (x) 1 x7、对数法构造函数（选用于幂指数函数不等式）1 x1 1例1：证明当x 0 时，x e 2(1 x)- 3 -8、构造形似函数例1：证明当b a e，证明 b b aa2、已知m、n 都是正整数，且 1 m n ，证明：(1 n n mm) (1 ) 思维挑战21、设a 0 ，f ( x) x 1 ln x 2a ln x ，求证：当x 1时，恒有x ln 2 ln1 2 x a x2 x a x122、已知定义在正实数数集上的函数 f ( x) x 2ax2 2 ，其中a 0，，g (x) 3a ln x b5 2 2且b a 3a ln a2，求证： f (x) g(x)3、已知函数 fx(x) ln(1 x) ，求证：对任意的正数a、b恒有1 xln a ln b 1ba4、f (x) 是定义在(0, ) 上的非负可导数，且满足xf ( ) ( ) 0，对任意正数a、b ，' x f x若a b，则必有（）A. af (x) bf (a)B. bf (a) af (b)C. af (a) f (b)D. bf (b) f (a)- 4 -。

高中数学：构造函数常见构造函数方法：1.利用和差函数求导法则构造（1）)()()()0(0)()(x g x f x F x g x f 或；（2）)(-)()()0(0)(-)(x g x f x F x g x f 或；（3）kx x f x F k x f )()()(k )(或；2.利用积商函数求导法则构造（1）)()()()0(0)()()(g )(x g x f x F x g x f x x f 或；（2）)0)(()(g )()()0(0)()(-)(g )(x g x x f x F x g x f x x f 或；（3）)()()0(0)()(x x xf x F x f x f 或；（4）)0(x)()()0(0)(-)(x x x f x F x f x f 或；（5）)()()0(0)(n )(x x f x x F x f x f n或;(6))0(x)()()0(0)(n -)(x nxx f x F x f x f 或;(7))(e )()0(0)()(x f x F x f x f x或;(8))0(e)()()0(0)(-)(xxx f x F x f x f 或;(9))(e )()0(0)(k )(x f x F x f x f kx或;(10))0(e)()()0(0)(k -)(kxxx f x F x f x f 或;(11))(sin )()0(0tanx )()(x xf x F x f x f 或; (12))0(sin sinx )()()0(0tan )(-)(xx f x F xx f x f 或;(13))0(cos cos )()()0(0)(tanx )(xxx f x F x f x f 或;(14))(cos )()0(0)(tanx -)(x f x F x f x f 或;(15)()+lna ()0(0)()()xf x f x F x a f x 或;(16)()()lna ()0(0)()xf x f x f x F x a或;考点一。

必须掌握的7种构造函数方法——巧解导数难题文：郑州市第四十四中学苏明亮近几年高考数学压轴题，多以导数为工具来证明不等式或求参数的范围，这类试题具有结构独特、技巧性高、综合性强等特点，而构造函数是解导数问题的最基本方法，但在平时的教学和考试中，发现很多学生不会合理构造函数，结果往往求解非常复杂甚至是无果而终．因此笔者认为解决此类问题的关键就是怎样合理构造函数，本文以近几年的高考题和模考题为例，对在处理导数问题时构造函数的方法进行归类和总结，供大家参考．一、作差构造法1．直接作差构造评注：本题采用直接作差法构造函数，通过特殊值缩小参数范围后，再对参数进行分类讨论来求解．2．变形作差构造二、分离参数构造法分离参数是指对已知恒成立的不等式在能够判断出参数系数正负的情况下，根据不等式的性质将参数分离出来，得到一个一端是参数，另一端是变量的不等式，只要研究变量不等式的最值就可以解决问题．三、局部构造法1．化和局部构造2．化积局部构造四、换元构造法换元构造法在处理多变元函数问题中应用较多，就是用新元去代替该函数中的部分（或全部）变元．通过换元可以使变量化多元为少元，即达到减元的目的．换元构造法是求解多变元导数压轴题的常用方法．评注：本题的两种解法通过将待解决的式子进行恰当的变形，将二元字母变出统一的一种结构，然后用辅助元将其代替，从而将两个变元问题转化一个变元问题，再以辅助元为自变量构造函数，利用导数来来求解。

其中解法1、解法2还分别体现了化积局部构造法和变形作差构造法．五、主元构造法主元构造法，就是将多变元函数中的某一个变元看作主元（即自变量），将其它变元看作常数，来构造函数，然后用函数、方程、不等式的相关知识来解决问题的方法.六、特征构造法1．根据条件特征构造2．根据结论特征构造七、放缩构造法1．由基本不等式放缩构造2．由已证不等式放缩构造评注：本题第二问是一道典型且难度比较大的求参问题，这类题目很容易让考生想到用分离参数的方法，但分离参数后利用高中所学知识无法解决，笔者研究发现不能解决的原因是分离参数后，出现了“0/0型”的式子，解决这类问题的有效方法就是高等数学中的洛必达法则；若直接构造函数，里面涉及到指数函数、三角函数及高次函数，处理起来难度很大．本题解法中两次巧妙利用第一问的结论，通过分类讨论和假设反正，使问题得到解决，本题也让我们再次体会了化积局部构造法的独特魅力．。

高中数学：构造函数常见构造函数方法：1.利用和差函数求导法则构造（1）)()()()0(0)()(x g x f x F x g x f +=⇒<>'+'或；（2）)(-)()()0(0)(-)(x g x f x F x g x f =⇒<>''或；（3）kx x f x F k x f -=⇒<>')()()(k )(或；2.利用积商函数求导法则构造（1）)()()()0(0)()()(g )(x g x f x F x g x f x x f =⇒<>'+'或；（2）)0)(()(g )()()0(0)()(-)(g )(≠=⇒<>''x g x x f x F x g x f x x f 或；（3）)()()0(0)()(x x xf x F x f x f =⇒<>+'或；（4）)0(x)()()0(0)(-)(x ≠=⇒<>'x x f x F x f x f 或；（5）)()()0(0)(n )(x x f x x F x f x f n =⇒<>+'或;(6))0(x)()()0(0)(n -)(x n ≠=⇒<>'x x f x F x f x f 或;(7))(e )()0(0)()(x f x F x f x f x =⇒<>+'或;(8))0(e )()()0(0)(-)(x≠=⇒<>'x x f x F x f x f 或;(9))(e )()0(0)(k )(x f x F x f x f kx =⇒<>+'或;(10))0(e )()()0(0)(k -)(kx≠=⇒<>'x x f x F x f x f 或;(11))(sin )()0(0tanx )()(x xf x F x f x f =⇒<>'+或;(12))0(sin sinx)()()0(0tan )(-)(≠=⇒<>'x x f x F x x f x f 或;(13))0(cos cos )()()0(0)(tanx )(≠=⇒<>+'x xx f x F x f x f 或;(14))(cos )()0(0)(tanx -)(x f x F x f x f =⇒<>'或;(15)()+lna ()0(0)()()x f x f x F x a f x '><⇒=或;(16)()()lna ()0(0)()x f x f x f x F x a '-><⇒=或;考点一。

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构造函数法证明不等式的八种方法一、构造函数法是一种常用的数学证明方法，通过巧妙地构造函数，并对其性质进行分析，可以证明各种数学不等式。

下面就列举八种常用的构造函数法证明不等式的方法。

1.构造平方函数法：对于形如x^2≥0的不等式，可以构造f(x)=x^2，然后通过分析f(x)的性质，来证明不等式的成立。

2.构造递增函数法：对于形如a≥b的不等式，可以构造f(x)=x，然后通过分析f(x)的性质，来证明不等式的成立。

3.构造递减函数法：对于形如a≤b的不等式，可以构造f(x)=-x，然后通过分析f(x)的性质，来证明不等式的成立。

4.构造两个函数之差法：对于形如a-b≥0的不等式，可以构造f(x)=x^2和g(x)=(x-a)(x-b)，然后通过分析f(x)和g(x)的性质，来证明不等式的成立。

5. 构造函数的和法：对于形如(a+b)^2≥0的不等式，可以构造f(x)=x^2和g(x)=a^2+b^2+2ab，然后通过分析f(x)和g(x)的性质，来证明不等式的成立。

6.构造函数的积法：对于形如(a·b)^2≥0的不等式，可以构造f(x)=x^2和g(x)=a^2·b^2，然后通过分析f(x)和g(x)的性质，来证明不等式的成立。

7.构造函数的倒数法：对于形如1/(a·b)≥0的不等式，可以构造f(x)=1/x和g(x)=a·b，然后通过分析f(x)和g(x)的性质，来证明不等式的成立。

8.构造指数函数法：对于形如e^x≥1的不等式，可以构造f(x)=e^x 和g(x)=1，然后通过分析f(x)和g(x)的性质，来证明不等式的成立。

以上就是八种常用的构造函数法证明不等式的方法。

在实际证明过程中，需要注意选择合适的函数，并结合函数的性质进行分析，以确定不等式的成立情况。

此外，还需要注意构造的函数在给定范围内是否满足所要求的性质，以确保证明的正确性。

构造函数的八种方法
1. 默认构造函数：没有参数的构造函数，用于创建对象的初始状态。

2. 带参数构造函数：接受一个或多个参数，用于初始化对象的属性。

3. 拷贝构造函数：接受一个同类型对象的引用，创建一个新对象并进行属性的深拷贝。

4. 移动构造函数：接受一个右值引用，将传入的对象的资源转移到新对象，通常用于提高效率。

5. 复制构造函数：用于在对象的值传递时调用，创建一个新对象并进行属性的复制。

6. 复制赋值构造函数：接受一个同类型对象的引用，将传入对象的属性复制给当前对象。

7. 移动赋值构造函数：接受一个右值引用，将传入对象的资源移动给当前对象。

8. 转换构造函数：可以将其他类型的对象转换为当前类型的对象，通常使用单个参数的构造函数实现。

必须掌握的7种构造函数方法——合理构造函数，巧解导数难题近几年高考数学压轴题，多以导数为工具来证明不等式或求参数的范围，这类试题具有结构独特、技巧性高、综合性强等特点，而构造函数是解导数问题的最基本方法，但在平时的教学和考试中，发现很多学生不会合理构造函数，结果往往求解非常复杂甚至是无果而终．因此笔者认为解决此类问题的关键就是怎样合理构造函数，本文以近几年的高考题和模考题为例，对在处理导数问题时构造函数的方法进行归类和总结，供大家参考．一、作差构造法1．直接作差构造评注：本题采用直接作差法构造函数，通过特殊值缩小参数范围后，再对参数进行分类讨论来求解．2．变形作差构造二、分离参数构造法分离参数是指对已知恒成立的不等式在能够判断出参数系数正负的情况下，根据不等式的性质将参数分离出来，得到一个一端是参数，另一端是变量的不等式，只要研究变量不等式的最值就可以解决问题．三、局部构造法1．化和局部构造2．化积局部构造四、换元构造法换元构造法在处理多变元函数问题中应用较多，就是用新元去代替该函数中的部分（或全部）变元．通过换元可以使变量化多元为少元，即达到减元的目的．换元构造法是求解多变元导数压轴题的常用方法．评注：本题的两种解法通过将待解决的式子进行恰当的变形，将二元字母变出统一的一种结构，然后用辅助元将其代替，从而将两个变元问题转化一个变元问题，再以辅助元为自变量构造函数，利用导数来来求解。

其中解法1、解法2还分别体现了化积局部构造法和变形作差构造法．五、主元构造法主元构造法，就是将多变元函数中的某一个变元看作主元（即自变量），将其它变元看作常数，来构造函数，然后用函数、方程、不等式的相关知识来解决问题的方法.六、特征构造法1．根据条件特征构造2．根据结论特征构造七、放缩构造法1．由基本不等式放缩构造2．由已证不等式放缩构造评注：本题第二问是一道典型且难度比较大的求参问题，这类题目很容易让考生想到用分离参数的方法，但分离参数后利用高中所学知识无法解决，笔者研究发现不能解决的原因是分离参数后，出现了“0/0型”的式子，解决这类问题的有效方法就是高等数学中的洛必达法则；若直接构造函数，里面涉及到指数函数、三角函数及高次函数，处理起来难度很大．本题解法中两次巧妙利用第一问的结论，通过分类讨论和假设反正，使问题得到解决，本题也让我们再次体会了化积局部构造法的独特魅力．。

高等数学构造函数技巧构造函数技巧是高等数学中非常重要的一种问题解决方法。

很多数学问题都可以通过构造函数的方法得到解决。

本文将详细介绍构造函数技巧的相关知识。

一、什么是构造函数在高等数学中，构造函数指的是通过已知函数构造出新的函数。

常见的构造函数方法有数列的递推法、函数的复合法、函数的反函数法、拉格朗日插值等。

二、数列的递推法数列的递推法是构造函数的一种常见方法。

在数列中，每一项都可以通过前面的项推导出来。

例如斐波那契数列：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233，377，610，987，……这个数列中，第一个和第二个数都是1，后面的每一项都是前面两项的和。

可以通过递推公式来表示：$F_1=1,F_2=1,F_n=F_{n-1}+F_{n-2}(n\ge 3)$通过这个递推公式，就可以构造出斐波那契数列。

在实际问题中，也可以通过递推法来解决一些问题，例如概率问题、组合问题等。

三、函数的复合法函数的复合法是通过将多个已知函数进行复合，构造出一个新的函数。

例如，已知函数$y=f(x)$和$z=g(y)$，则可以将函数$z=g(f(x))$构造出来。

另外，函数的复合法还可以用来证明一些解析式之间的等式。

例如，要证明$\tan\left(\frac{\pi}{4}+\theta\right)=\frac{1+\tan\theta}{1-\tan\theta}$，可以通过函数的复合法来证明。

四、函数的反函数法在一些函数中，反函数的存在和性质可以帮助我们解决问题。

例如，对于单调函数$f(x)$，反函数$f^{-1}(x)$可以帮助我们将$x$转换为$y$，进而解决问题。

例如，已知函数$y=\sin x$，求$x=1$对应的$y$值。

可以将函数变形为$x=\sin^{-1}y$，然后求出$x$的解。

另外，函数的反函数还可以帮助我们求出一些函数的导数。

例如，对于非常规函数$y=\sqrt{x^2+1}$，可以通过函数的反函数法来求出导数：$y^2=x^2+1$$\frac{dy^2}{dx}=2x$$\frac{dy^2}{dx}=2\sqrt{x^2+1}\cdot\frac{d\sqrt{x^2+1}}{dx}$五、拉格朗日插值拉格朗日插值是一种通过已知点的坐标来构造出整个函数的方法。

编号几种高等数学中的构造函数法摘要构造函数法在高等数学中是一种重要的思想方法,它体现了数学发现、类比、化归、猜想、实验和归纳等思想,对于开阔思路,培养分析问题、解决问题和创新的能力是有益的.本文结合实例简单的介绍这一方法及其应用.关键词构造;分析;数形结合法;作差法;观察法中图分类号 O172The constructor of higher mathematicsChengyan Instructor Wang Renhu(N. O. 06, Class 1 of 2009. Specialty of Mathematics and Applied Mathematics, Department ofMathematics, Hexi University, Zhangye, Gansu, 734000, China)Abstract The constructor method in higher mathematics is an important way of thinking,Study found, analogy, and guess, experiment and induction, etc,To widen, training analysis problem, problem-solving ability and the innovation is beneficial.This paper briefly introduced the method and its application.Key words tectonic;analysis;Several form combination;For poor method;observation 1 分析法分析法即从结论出发,从后向前一步一步的进行分析,通过对条件和结论的分析,构造出辅助函数,架起一座连接条件和结论的桥梁,最后获得证明.例1.1[1] 拉格朗日中值定理如果函数f(x)在闭区间上连续,在开区间内可导,那么在内至少有一点使等式成立.分析由于罗尔定理是这一定理的特例,于是定理的证明归结为利用罗尔定理.这里关键是要引进一个满足罗尔定理条件的新的函数F(x).欲证需证f(ξ)-'f(b)-f(a)b-af(b)-f(a)⎡=0,而等式左边可转化为⎢f(x)-b-a⎣⋅x⎤,于是,可取函数x⎥⎦x=ξ'F(x)=f(x)-f(b)-f(a)b-a,容易验证F(x)满足罗尔定理的条件,顺此思路,即可证本定理.例1.2[3] 设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续,在开区间(a,b)内可导,又f(x)不是线性函数,且f(b)>f(a).试证ξ∈(a,b),使得f'(ξ)>f(b)-f(a)b-a.f(b)-f(a)b-a(x-a)分析过点(a,f(a))与(b,f(b))的线性函数为y=f(a)+是线性函数,则F(x)≡f(x)-f(a)-f(b)-f(a)b-a,因f(x)不(x-a)≠0,只要证明F'(ξ)=f'(ξ)-f(b)-f(a)b-a>0即可.f(b)-f(a)b-a(x-a)证明设辅助函数F(x)=f(x)-f(a)-,则F(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,F(a)=F(b).由于F(x)≠0,存在x0∈(a,b),使F(x0)≠0.当F(x0)>0时,由Lagrange中值定理,∃ξ∈(a,x0)使F'(ξ)=即f'(ξ)>F(b)-F(a)b-aF(x0)-F(a)x0-a>0,.F(b)-F(x0)b-x0>0,即f(ξ)>'当F(x0)<0时,同理, ∃ξ∈(x0,b),使F'(ξ)=F(b)-F(a)b-a.例1.3[5] 计算n阶行列式a+x1D=a+x1a+x1na+x2a+x2a+x2na+xna+xna+xnn.分析该题直接利用行列式“两项和性质”显然无法实现,如果后一列乘(-1)加到前一列,虽然每一列有公因式可提,但行列式中的元素却变得更复杂,无法进行计算.但从行列式D中可以捕捉到“范德蒙行列式的影子”,所以,应想办法构造一个行列式,既让它等于D,又能转化为范德蒙行列式.于是,有下列解法.解构造行列式,即先将原n阶行列式D加边成一个n+1阶行列式,100 0n21a+x1a+x1a+x1n2221a+x2a+x2a+x2n221a+xna+xn, a+xn2n2然后将此n+1阶行列式第一行乘-ai(i=1,2,…,n)加到第i+1行,再将所得行列式按第一列拆成两个n+1阶行列式相减,并根据范德蒙行列式可得,1-a1x1x1x11x1x1x1221x2x2x21x2x2x2221xn21xnxn xnn2D=-a2-a20nnn1a21x1x1x121x2x2x221xnxn xnn2=0xn--a xnnnnannn=2x1x2 xn∏(x1≤i≤j≤ni-xj)-∏(xi-a)⋅i=1n∏(x1≤i≤j≤ni-xj)n⎡⎤=∏(xi-xj)⎢2x1x2 xn-∏(xi-a)⎥.1≤i≤j≤ni=1⎣⎦2 数形结合法建立在数形结合基础上的几何图像常能引导人们去获得解决问题的方法,通过对几何图像的观察,构造出符合条件的辅助函数,使问题得以解决.例2.1[2] 设f(x)在[a,+∞)内连续、可导,且当x>a时f'(x)>k>0(k为常数),如果f(a)⎤⎡f(a)<0,则方程f(x)=0在⎢a,a-k⎥⎣⎦内有且仅有一个根,如图2.线段AB的斜率刚好为k,y=f(x)在AB的上方,因此很容易找到辅助函数(曲线与直线之差)证明 (1)存在性.作辅助函数F(x)=f(x)-[k(x-a)+f(a)],则F(a)=0,f(a)⎤f(a)⎤⎡⎡, F⎢a-=fa-⎥⎢⎥kk⎣⎦⎣⎦因为F'(x)=f'(x)-k>0,所以F(x)单调增加,故f(a)⎤f(a)⎤⎡⎡F⎢a-=fa->F(a)=0, ⎥⎢⎥k⎦k⎦⎣⎣因此,由f(a)<0,f⎢a-⎣根.(2)唯一性. ⎡f(a)⎤>0k⎥⎦及连续函数的性质,f(x)在⎢a,a-⎣⎡f(a)⎤k⎥⎦内至少有一个由f'(x)>0,f(x)单调增加,所以f(x)在⎢a,a-⎣⎡f(x)⎤k⎥⎦内至少有一个根,问题得证.例2.2[4] 某人身高1.5米,站立在离河岸3米处往水中看去恰好看到对岸河边一根电线杆在水中的倒影,已知水面低于河岸0.5米,河宽15米,求电线杆的高度.解我们如下构造图形,河宽为FD,离河岸CB处身高为AB的人从A点往河中看,正好看到电线杆GH在水中整个倒影FM.F,E,D点在水面所处的直线上, H,C,B在河岸所处的直线上. 其中AB=1.5m,BC=3m,FE+ED=15m,HF=CD=0.5m,求GH.易证∆ABC∽∆CDE,∆ABC∽∆GEF.因此 EDCD=BCAB⇒ED=1m,GH+HFEF=ABBC⇒GH=6.5m,即电线杆的高为6.5m.例2.3[4] 设x,y,z都在(0,1)内,求证:x(1-y)+y(l-z)+z(1-x)<1.分析证明代数不等式,直接从条件人手难达目的,注意结论并考虑条件可知:x,y,z,1-y,1-z,1-x均为正数,且似两线段积之和,给每个正数赋予线性形象,从线性联想三角形面积公式S=12absinc构造一边长为1的正三角形ABC.在AB,BC,CD上各取一点P,Q,E使得AP=x,BQ=z,CD=y,则BP=1-x,CQ=1-z,AE=1-y,由图易知S∆ABC=S∆APE+S∆BPQ+S∆CQE不等式成立.3 作差法通过作差的方法构造辅助函数对于形如f(x)>g(x)(或f(x)<g(x))的函数不等式,常构造辅助函数F(x)=f(x)-g(x)(或F(x)=g(x)-f(x))用单调性证之,其步骤为:1.构造函数F(x)=f(x)-g(x);2.证F'(x)>0(或<0)得出单调性;3.求出f(x)在区间端点之一处的函数值或极限值;4.最后根据函数单调性及区间端点的函数值得出所证的不等式. 例3.1[2] 证明当x>0时,x>ln(1+x).证明令F(x)=x-ln(1+x), x≥0,当x>0时F'(x)=1-11+x=x1+x>0,所以F(x)在(0,∞)上单调递增.又x>ln(1+x).F(0)=0,故当x>0时,F(x)>F(0)=0,即x-ln(1+x)>0,所以例3.2[2] 设f(x)在[a,b]上连续且单调增加,求证⎰baxf(x)dx≥a+b2⎰baf(x)dx分析将要证明的不等式中的b换成x,构造变上限定积分F(x)=⎰xatf(t)dt-a+x2⎰xaf(t)dt,然后证明F(b)≥0.证明令F(x)=F(x)=xf(x)-'⎰xatf(t)dt-a+x2a+x2⎰xaf(t)dt,则F(a)≥0,且对任意的x∈[a,b],有1212⎰xaf(t)dt-f(x)=x-a2f(x)-⎰xaf(t)dt=12⎰[f(x)-axf(t)]dt≥0因此,f(x)在[a,b]上单调递增,又a≤t≤x,所以f(x)≥f(t). 可见F(x)单调递增,从而F(b)≥F(x)=0,即得⎰xf(x)dx≥aba+b2⎰baf(x)dx.例3.3[3] 设f(x)在[a,b]上连续且a<b<c<d,证明在(a,b)内至少存在一点ξ使得pf(c)+qf(d)=(p+q)f(ξ)（p,q）为正常数.证明作辅助函数F(x)=(p+q)f(x)-pf(c)-qf(d),因为F(x)在[c,d]⊂[a,b]上连续,又F(c)=q[f(c)-f(d)],F(d)=p[f(d)-f(c)], 且p,q为正常数,所以F(c)⋅F(d)=-pq[f(c)-f(d)]≤0.2(1)当f(c)=f(d)时，F(c)=F(d)=0,则当ξ取c或d时,F(ξ)=0. 即pf(c)+qf(d)=(p+q)f(ξ).(2)当f(c)≠f(d)时，F(c)⋅F(d)<0,由零点定理,至少存在一点ξ∈(c,d)⊂(a,b),使F(ξ)=0,即pf(c)+qf(d)=(p+q)f(ξ)此方法在证明函数单调性、证明不等式等等证明题中经常用到.4 观察法将欲证结果适当等价变形;替换;找原函数;作辅助函数.关键是适当"等价变形". 例4.1[2] 设f(x)在[a,b](0<a<b)上连续在(a,b)内可导,且f'(x)>0(a<x<b), af(b)-bf(a)=0,证明在(a,b)内至少存在一点ξ,使'f(ξ)f(ξ)'=ξ.分析 (1)变形f(ξ)f(ξ)''=ξ,ξf(ξ)-f(ξ)=0,'ξf(ξ)-f(ξ)ξ2=0,(2)替换 xf(x)-f(x)x2=0,⎡f(x)⎤ (3)找原函数⎢=0, ⎥⎣x⎦'(4)作辅助函数 F(x)=证明作辅助函数F(x)=F(a)=f(a)a,F(b)=f(b)bf(x)x. ,因为F(x)在[a,b]上连续,在（a,b）内可导,又f(x)x,且af(b)-bf(a)=0,所以F(a)=F(b),F(x)满足罗尔定理,可得存在ξ∈(a,b),使F'(ξ)=0.因此F(ξ)='ξf(ξ)-f(ξ)'ξ2=0,即ξf(ξ)-f(ξ)=0,所以'f(ξ)f(ξ)'=ξ.例4.2[3] 设函数f(x)在[0,1]上连续,在(0,1)内可导,且f(0)=0,f(1)=1,试证对任意的λ∈R,必存在ξ∈(0,1),使得f'(ξ)-λ(f(ξ)-ξ)=1.分析由f'(ξ)-λ(f(ξ)-ξ)=1得到f'(x)-λf(x)=1-λx,由一阶非齐次微分方程的通解公式得λdx⎡-λdx⎰dx+c⎤=eλxxe-λx+c=ceλx+x, ()f(x)=e⎰1-λxe⎰⎢⎥⎣⎦[]即(f(x)-x)e-λx=c,于是便得到要找的辅助函数F(x)=(f(x)-x)e-λx.证明设F(x)=(f(x)-x)e-λx,则F(x)在[0,1]上连续,在(0,1)内可导,且F(0)=F(1)=0,所以满足罗尔定理,即对任意的λ∈R,必存在ξ∈(0,1),使得F(ξ)=f(ξ)-1-λ(f(ξ)-ξ)e'[']-λξ=0,即f'(ξ)-λ(f(ξ)-ξ)=1.总之,通过构造辅助函数,我们可以利用知道的结论和定理来解决目前的题目,需要注意的是原题和辅助题目应是等价的,构造辅助函数的方法是多种多样的,具体问题应具体分析,只要我们仔细分析各类数学问题与函数的直接或间接联系,大胆联想、猜测、推理,就可以构造出合适的函数,恰当地使用构造函数法在高等数学解题中往往能起到事半功倍的功效.参考文献[1]袁继红.浅析构造思想在高等数学中的应用[J].数学的实践与认识, 1997, 27 (4): 367~371.[2]黄光谷,余尚智.高等数学方法导论[M].第2版.武汉:武汉测绘科技大学出版社,1996. 86~93.[3]杜先能,孙国正.高等数学[M],合肥:安徽大学出版社,2003.[4]西北工业大学高等数学教研室编.高等数学专题指导[M].上海:同济大学出版社,1999.[5]李兆强.“辅助函数法”在数学分析中的应用[J].漯河职业技术学院学报,2009.。

必须掌握的7种构造函数方法——合理构造函数，巧解导数难题近几年高考数学压轴题，多以导数为工具来证明不等式或求参数的范围，这类试题具有结构独特、技巧性高、综合性强等特点，而构造函数是解导数问题的最基本方法，但在平时的教学和考试中，发现很多学生不会合理构造函数，结果往往求解非常复杂甚至是无果而终．因此笔者认为解决此类问题的关键就是怎样合理构造函数，本文以近几年的高考题和模考题为例，对在处理导数问题时构造函数的方法进行归类和总结，供大家参考．一、作差构造法1．直接作差构造评注：本题采用直接作差法构造函数，通过特殊值缩小参数范围后，再对参数进行分类讨论来求解．2．变形作差构造二、分离参数构造法分离参数是指对已知恒成立的不等式在能够判断出参数系数正负的情况下，根据不等式的性质将参数分离出来，得到一个一端是参数，另一端是变量的不等式，只要研究变量不等式的最值就可以解决问题．三、局部构造法1．化和局部构造2．化积局部构造四、换元构造法换元构造法在处理多变元函数问题中应用较多，就是用新元去代替该函数中的部分（或全部）变元．通过换元可以使变量化多元为少元，即达到减元的目的．换元构造法是求解多变元导数压轴题的常用方法．评注：本题的两种解法通过将待解决的式子进行恰当的变形，将二元字母变出统一的一种结构，然后用辅助元将其代替，从而将两个变元问题转化一个变元问题，再以辅助元为自变量构造函数，利用导数来来求解。

其中解法1、解法2还分别体现了化积局部构造法和变形作差构造法．五、主元构造法主元构造法，就是将多变元函数中的某一个变元看作主元（即自变量），将其它变元看作常数，来构造函数，然后用函数、方程、不等式的相关知识来解决问题的方法.六、特征构造法1．根据条件特征构造2．根据结论特征构造七、放缩构造法1．由基本不等式放缩构造2．由已证不等式放缩构造评注：本题第二问是一道典型且难度比较大的求参问题，这类题目很容易让考生想到用分离参数的方法，但分离参数后利用高中所学知识无法解决，笔者研究发现不能解决的原因是分离参数后，出现了“0/0型”的式子，解决这类问题的有效方法就是高等数学中的洛必达法则；若直接构造函数，里面涉及到指数函数、三角函数及高次函数，处理起来难度很大．本题解法中两次巧妙利用第一问的结论，通过分类讨论和假设反正，使问题得到解决，本题也让我们再次体会了化积局部构造法的独特魅力．。

构造函数法证明不等式的八种方法.doc构造函数法是一种证明不等式的有效方法。

构造函数法是通过构造函数来证明不等式的真实性。

构造函数是函数的一种特殊形式，它是根据不等式中的条件和限制而构造出来的函数。

构造函数法的基本思路是，通过构造函数将原不等式转化为更容易证明的形式，进而通过对构造函数的研究来证明原不等式的真实性。

本文将介绍构造函数法证明不等式的八种方法。

一、线性函数法线性函数法是基于线性函数的构造函数法，它是构造函数法中最简单的方法之一。

线性函数法的思路是，构造一个线性函数，使得该函数在不等式限制下达到最大值或最小值。

例如，证明如下不等式：$$\frac{a}{b+1}+\frac{b}{c+1}+\frac{c}{a+1}\geq\frac{3}{2}$$将不等式两边都乘以$2(b+1)(c+1)(a+1)$得：$$2a(c+1)(b+1)+2b(a+1)(c+1)+2c(b+1)(a+1)\geq 3(a+1)(b+1)(c+1)$$此时，可以构造如下的线性函数$f(x,y,z)$:容易发现，$f(x,y,z)$在限制条件$x,y,z\geq 0$，$xy+yz+zx=3$下，达到最大值$\frac{3}{2}$。

因此，原不等式成立。

二、对数函数法对数函数法是基于对数函数的构造函数法，它常用于证明形如$a^x+b^y+c^z\geq k$的不等式，其中$a,b,c,x,y,z,k$均为正实数。

对数函数法的思路是，构造一个对数函数，使得该函数满足$g(x,y,z)\leq\ln(a^x+b^y+c^z)$，进而证明$g(x,y,z)\leq\ln k$，从而得到原不等式的证明。

例如，证明如下不等式：考虑构造如下的对数函数：$$g(x)=\ln\left(\frac{4a^3x+6}{5a^2x+2ax+5}\right)-\frac{3}{4}\ln x$$不难证明，$g(x)$在$x\geq 1$时单调递减且$g(1)=0$，因此$g(x)\leq 0$。

构造函数常见构造函数方法：1.利用和差函数求导法则构造（1）)()()()0(0)()(x g x f x F x g x f +=⇒<>'+'或； （2）)(-)()()0(0)(-)(x g x f x F x g x f =⇒<>''或； （3）kx x f x F k x f -=⇒<>')()()(k )(或； 2.利用积商函数求导法则构造（1）)()()()0(0)()()(g )(x g x f x F x g x f x x f =⇒<>'+'或； （2）)0)(()(g )()()0(0)()(-)(g )(≠=⇒<>''x g x x f x F x g x f x x f 或； （3）)()()0(0)()(x x xf x F x f x f =⇒<>+'或； （4）)0(x)()()0(0)(-)(x ≠=⇒<>'x x f x F x f x f 或； （5）)()()0(0)(n )(x x f x x F x f x f n=⇒<>+'或; (6))0(x)()()0(0)(n -)(x n ≠=⇒<>'x x f x F x f x f 或; (7))(e )()0(0)()(x f x F x f x f x=⇒<>+'或; (8))0(e )()()0(0)(-)(x≠=⇒<>'x x f x F x f x f 或; (9))(e )()0(0)(k )(x f x F x f x f kx=⇒<>+'或; (10))0(e)()()0(0)(k -)(k x≠=⇒<>'x x f x F x f x f 或; (11))(sin )()0(0tanx )()(x xf x F x f x f =⇒<>'+或;(12))0(sin sinx )()()0(0tan )(-)(≠=⇒<>'x x f x F x x f x f 或; (13))0(cos cos )()()0(0)(tanx )(≠=⇒<>+'x xx f x F x f x f 或; (14))(cos )()0(0)(tanx -)(x f x F x f x f =⇒<>'或;(15)()+lna ()0(0)()()xf x f x F x a f x '><⇒=或;(16)()()lna ()0(0)()x f x f x f x F x a '-><⇒=或;考点一。

构造函数的⼏种⽅式⼯⼚模式使⽤⼯⼚模式构造函数，系统会在函数内部⾃动帮你定义⼀个对象，如：var obj = new Object();1函数构建完成后系统还会⾃动帮你返回⼀个对象，如：return this;1⼯⼚模式分为三个步骤构造函数：1.原料：原料这个步骤其实就是上⾯所说的构造对象，系统会⾃动帮你解决这个问题；2.加⼯：这个步骤需要⾃⼰动⼿完成！这个过程就是创建这个构造函数中的⽅法：obj.showQQ=function (){alert('我的QQ号：'+this.qq);};1233.出⼚：这个步骤就是返回⼀个this（obj）对象，当然这个步骤也是系统完成的；函数构造完成后在外部就可以直接定义⼀个变量，这个变量可以直接调⽤函数的中的⽅法。

混合模式混合模式构造函数，就是将⼯⼚⽅式细化，使⽤构造函数创建属性，使⽤原型创建⽅法。

1使⽤混合模式，对构造函数的命名有⼀定的要求,最好是函数名⾸字母⼤写。

下⾯举个例⼦说明混合模式的写法：// 构造函数加属性function Fn(id){this.box = document.getElementById(id);this.init();}// 原型创建⽅法Fn.prototyopr.init = function(){this.box.style.backgroundColor = 'green';}// 通过调⽤init⽅法将div的背景⾊改成绿⾊window.onload = function(){var oDiv = new Fn('box');oDiv.init();}。