文件来自数学教研QQ 群545423319 第三期精品微专题共享计划合理构造函数 巧解导数难题郑州市第四十四中学 苏明亮近几年高考数学压轴题，多以导数为工具来证明不等式或求参数的范围，这类试题具有结构独特、技巧性高、综合性强等特点，而构造函数是解导数问题的最基本方法，但在平时的教学和考试中，发现很多学生不会合理构造函数，结果往往求解非常复杂甚至是无果而终．因此笔者认为解决此类问题的关键就是怎样合理构造函数，本文以近几年的高考题和模考题为例，对在处理导数问题时构造函数的方法进行归类和总结，供大家参考．一、作差构造法作差构造法，是处理导数问题的最基本、最常用的方法．此法一般构造函数()()()F x f x g x =-，进而转化为求函数min ()0F x ≥（或max ()0F x ≤）即求函数的最值问题．1．直接作差构造 例1（2013年高考全国新课标Ⅰ卷理科第21题）已知函数()2f x x ax b =++， ()()x g x e cx d =+．若曲线()y f x =和曲线()y g x =都过点()0,2P ，且在点P 处有相同的切线42y x =+．（Ⅰ）求,,,a b c d 的值；（II ）若2x ≥-时，()()f x kg x ≤，求k 的取值范围．解：（Ⅰ）4,2,2,2a b c d ==== ．（II ）由（1）知，()242f x x x =++，()2(1)x g x e x =+．设函数()2()()2(1)42x F x kg x f x ke x x x =-=+---，则()'2(2)242(2)(1)x x F x ke x x x ke =+--=+-，有题设知()00F ≥且()20F -≥， 从而得21k e ≤≤．令()'120ln ,2F x x k x ==-=-得．（i ） 若211,20.k e x ≤<-<≤则从而当1(2,)x x ∈-时，()'0F x <；当1(,)x x ∈+∞时，()'0F x >，即()F x 在1(2,)x -上单调递减，在1(,)x +∞上单调递增， 故()F x 在[2,)-+∞上的最小值为()1F x ．而()21111112242(2)0F x x x x x x =+---=-+≥．故当2,()0,()()x F x f x kg x ≥-≥≤时即恒成立.（ii ） 若2'22,()2(2)()x k e x e x e e -==+-则F ．从而当'2,()0,()(2,)x F x F x >->-+∞时即在上单调递增，而(-2)=0,2()0,()()F x F x f x kg x ≥-≥≤故当时，即恒成立.综上，k 的取值范围为21,e ⎡⎤⎣⎦．评注：本题采用直接作差法构造函数，通过特殊值缩小参数范围后，再对参数进行分类讨论来求解．2．变形作差构造例2（山西省2015届高三第三次四校联考理科第21题（Ⅱ））设函数1()x e f x x-=.证明：对任意正数a ，存在正数x ，使不等式()1f x a -<成立. 证明：1()1x e x f x x---=，不等式()1f x a -<可化为(1)10x e a x -+-<. 令()(1)1x G x e a x =-+-，'()(1)x G x e a =-+，由'()0G x =得：ln(1)x a =+，当0ln(1)x a <<+时，'()0G x <，当ln(1)x a >+时，'()0G x >，所以min ()(ln(1))(1)ln(1)G x G a a a a =+=-++.令()ln 1t t t t ϕ=--，其中11t a =+>，易证()ln 10(1)t t t t t ϕ=--<>，即min ()(1)ln(1)0G x a a a =-++<.故存在正数ln(1)x a =+，使不等式()1f x a -<成立.评注：本题首先对()1f x a -<进行等价变形转化，构造函数()(1)1x G x e a x =-+-求其最小值，从而转化为仅仅关于字母a 的函数，再构造函数()ln 1t t t t ϕ=--（1t a =+），把一个复杂的函数不等式转化为求两个简单函数的最值问题.二、分离参数构造法分离参数是指对已知恒成立的不等式在能够判断出参数系数正负的情况下，根据不等式的性质将参数分离出来，得到一个一端是参数，另一端是变量的不等式，只要研究变量不等式的最值就可以解决问题．例3（山西省太原市2015年高三模拟理科第21题（Ⅰ)）已知函数1()(2)(1)2,()(,x f x a x lnx g x xe a R e -=---=∈为自然对数的底数），若不等式 ()0f x >对于一切1(0,)2x ∈恒成立，求实数a 的最小值． 解：有题意得(2)(1)2n 0a x l x --->在1(0,)2上恒成立， 即221lnx a x >--在1(0,)2上恒成立．设2()21lnx h x x =--，1(0,)2x ∈， 则'2222()(1)lnx x h x x +-=-．设2()22x lnx x ϕ=+-，1(0,)2x ∈，则'222()0x x xϕ=-<， 所以1()(0,)2x ϕ在上是减函数，从而1()()22202x ln ϕϕ>=->，所以'()0h x >， 则1()(0,)2h x 在上为增函数，所以1()()2422h x h ln <=-，即242a ln ≥-．故实数a 最小值为242ln -．评注：在用此法求解问题的关键是过好双关：第一关是转化关，即通过分离参数，先转化为()()f x g a ≥（或()()f x g a ≤）对x D ∀∈恒成立，再转化为min ()()f x g a ≥（或max ()()f x g a ≤）对x D ∀∈恒成立；第二关是求最值关，即求函数()f x 在区间D 上的最小值（或最大值）．三、局部构造法若函数()F x 比较复杂，直接求导会更复杂，使解题无法进行下去，这时可将函数()F x 化成()= f ()()(f ()())F x x g x x g x +或，其中f ()()x g x 或有一个可明显判断出是否大于零，而另一个函数式又远比()F x 简单，这样就可以做局部处理，对这个函数进行求导，判断其单调性，使问题迎刃而解．1．化和局部构造例4（2014年高考全国新课标Ⅱ卷文科第21题）已知函数32()32f x x x ax =-++，曲线()y f x =在点(0,2)处的切线与x 轴交点的横坐标为2-．（Ⅰ）求a ；（Ⅱ）证明：当1k <时，曲线()y f x =与直线2y kx =-只有一个交点．分析：由曲线()y f x =与直线2y kx =-只有一个交点可以转化为函数32()()23(1)4g x f x kx x x k x =-+=-+-+有且只有一个零点．一般思路往 往利用导数求函数的单调区间和极值点，从而判断函数大致图像，再说明与x 轴只有一个交点即可．本题中由1k <易得'()0g x >且(1)10g k -=-<，(0)40g =>，所以()0g x =在(,0]-∞上有唯一实根．则接下来只需说明当0x >时()0g x =无实根即可，记32()3(1)4()g x x x k x h x x ϕ=-+-+=+（）， 而()(1)0x k x ϕ=->，因此只需证明32()340(0)h x x x x =-+≥>即可．2．化积局部构造例5（2012年高考山东卷理科第22题)已知函数ln ()xx k f x e +=（k 为常数， 2.71828e =⋅⋅⋅是自然对数的底数），曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线与x 轴平行.（Ⅰ）求k 的值；（Ⅱ）求()f x 的单调区间；（Ⅲ）设2()()'()g x x x f x =+,其中'()f x 为()f x 的导函数，证明：对任意20,()1x g x e -><+.解（Ⅰ）1k =.（Ⅱ）()f x 的单调递增区间为(0,1)，单调递减区间为(1,)+∞.（Ⅲ）221ln 1()()'()()(1ln )(0)x x x x x x g x x x f x x x x x x x xe e --+=+=+=-->. 令()1ln h x x x x =--，1()(0)x x k x x e +=>，从而()()()g x h x k x =. 易求得()h x 在2(0,)e -内单调递增，在2(,)e -+∞内单调递减，所以22max ()()1h x h e e --=+；易证1(0)x e x x >+>，即101x x e +<<. 故对任意210,()(1ln )()()()1x x x g x x x x h x k x h x e e-+>=--=<≤+. 评注：本题第（Ⅲ）问的常规思路是对函数()g x 求导进而求其最大值，但求导后发现导函数'()g x 表达式非常复杂，很难找出零点，进而无法确定单调区间，于是构造函数()()()g x h x k x =，即将()g x 转化为两个函数的乘积，分别求出()()h x k x 和的上限，这样大大降低了问题的求解难度，使问题迎刃而解.化积局部构造法在处理较复杂的导数问题时应用较多，平时应注意总结.四、换元构造法换元构造法在处理多变元函数问题中应用较多，就是用新元去代替该函数中的部分（或全部）变元．通过换元可以使变量化多元为少元，即达到减元的目的．换元构造法是求解多变元导数压轴题的常用方法．例6（2013年高考陕西卷理科第21题（Ⅲ））已知函数()e ,x f x x =∈R ．设a b <, 比较()()2f a f b +与()()f b f a b a --的大小, 并说明理由． 解法1：()()()()22b a b af a f b f b f a e e e e b a b a+-+--=--- 22[()22]2()2()b a b a b a ab a b a be be ae ae e e e b a e b a e b a b a --+---+==-+--+--， 设函数()22(0)x x g x xe x e x =+-+≥，则'()1x x g x xe e =+-．令()'()h x g x =，则'()0x x x x h x xe e e xe =+-=≥（当且仅当0x =时等号成立），所以'()g x 单调递增，所以当0x >时，'()'(0)0g x g >=，所以()g x 单调递增．当0x >时，()(0)0g x g >=．令x b a =-，则得()220b a b a b a eb a e ---+--+>，所以02b a b a e e e e b a +-->-， 所以()()()()2f a f b f b f a b a+->-． 解法2：可以证明()()()()2f a f b f b f a b a +->-．事实上，()()()()2f a f b f b f a b a+->⇔- 1()2221a b b a b a b a a b b a e e e e b a e e b a e b a b a e e e --+----->⇔>⇔>>-++． 令(0)x b a x =->，设函数1()(0)12x x e x x x e ϕ-=->+， 由于22221(1)'()0(1)22(1)x x x x e e x e e ϕ-=-=-<++，所以()x ϕ在(0,)+∞上递减． 因此，当0x >时，()(0)0x ϕϕ<=，即112x x e x e -<+，亦即112b a b a e b a e ----<+， 所以2a b b a e e e e b a +->-，即()()()()2f a f b f b f a b a+->-． 评注：本题的两种解法通过将待解决的式子进行恰当的变形，将二元字母,a b 变出统一的一种结构b a -（或b a e -），然后用辅助元t 将其代替，从而将两个变元问题转化一个变元问题，再以辅助元t 为自变量构造函数，利用导数来来求解，其中解法1、解法2还分别体现了化积局部构造法和变形作差构造法．五、主元构造法主元构造法，就是将多变元函数中的某一个变元看作主元（即自变量），将其它变元看作常数，来构造函数，然后用函数、方程、不等式的相关知识来解决问题的方法.例7（2004年高考全国卷理科第22题（Ⅱ））已知函数()ln(1)f x x x =+-，()ln g x x x =．设0a b <<,证明 ：0()()2()()ln 22a b g a g b g b a +<+-<-. 分析：所证不等式中有两个变量,a b ，从中选一个为自变量，另一个看成常数，构造相应函数，通过求解函数最值证明原不等式．证明：对()ln g x x x =求导,则()ln 1g x x =+.在()()2()2a b g a g b g ++-中以b 为主元构造函数, 设()()()2()2a x F x g a g x g +=+-,则''()'()2[()]ln ln 22a x a x F x g x g x ++=-=-. 当0x a <<时，'()0F x <,因此()F x 在(0,)a 内为减函数，当x a >时,'()0F x >,因此()F x 在(,)a +∞上为增函数，从而当x a =时, ()F x 有极小值()F a .因为()0,F a b a =>，所以()0F b >,即()()2()02a b g a g b g ++->. 设()()()ln 2G x F x x a =--，则'()ln ln ln 2ln ln()2x a G x x x x a +=--=-+， 当0x >时,'()0G x <.因此()G x 在(0,)+∞上为减函数.因为()0,G a b a =>，所以()0G b <,即()()2()()ln 22a b g a g b g b a ++-<-. 评注：本题以b 为主元构造函数，当然也可以以a 为主元构造函数，方法类似，读者不妨一试.对于例6我们也可以用主元策略进行求解，解法如下：例6另解： ()()()()22b a b a f a f b f b f a e e e e b a b a +-+--=---222()b a b a b abe be ae ae e e b a +---+=- ()22b a b a b a a be be ae ae e e ϕ=+---+，()a b <，则'()(1)2(1)a b a a a ba be e a e eb a e e ϕ=--++=-+-，又''()()a a b a e ϕ=-，由b a >，有''()0a ϕ>，从而函数'()a ϕ在(,)b -∞上为增函数，所以'()'()0b b a b e e ϕϕ<=-=，故函数()a ϕ在(,)b -∞上为减函数.因此()()0a b ϕϕ>=，即()()()()2f a f b f b f a b a +->-.. 六、特征构造法1．根据条件特征构造例8（2014年高考陕西卷文科第21题（Ⅲ））设函数()ln ,m f x x m R x=+∈． 若对任意()()0,1f b f a b a b a->><-恒成立，求m 的取值范围．解：对任意的()()0,1f b f a b a b a ->><-恒成立，等价于()()f b b f a a -<-恒成立．（＊） 设()()ln (0)m h x f x x x x x x=-=+->， 所以（＊）等价于()h x 在(0,)+∞上单调递减． 由21'()10m h x x x =--≤在(0,)+∞上恒成立， 得2211()(0)24m x x x x ≥-+=--+>恒成立， 所以14m ≥（对14m =，'()0h x =仅在12x =时成立）， 所以m 的取值范围是1[,)4+∞．评注：本题通过对()()1f b f a b a-<-进行等价变形为()()f b b f a a -<-，该不等式两边有相似的结构特征，于是构造函数()()h x f x x =-，从而转化为我们熟悉的已知函数单调性求参数的范围问题，使问题轻松得以解决．2．根据结论特征构造例9（河南八校2015届高三一联理科第21题）己知函数2()(1)ln 1f x a x ax =+++ ．（Ⅰ）讨论函数f （x ）的单调性；（Ⅱ）设2a ≤-，证明：对任意12,(0,)x x ∈+∞，1212()()4f x f x x x -≥-．（Ⅰ） 略 解：当0a ≥时，()f x 在(0,)+∞单调递增，当1a ≤-时，()f x 在(0,)+∞单调递减，当10a -<<时，()f x 在10,2a a ⎛⎫+- ⎪ ⎪⎝⎭单调递增，在1,2a a ⎛⎫+-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭单调递减． （Ⅱ）证明：不妨设12x x ，而2a ≤-，由（1）知()f x 在(0,)+∞单调递减，从而对任意12(0,)x x ∈+∞、，1212()()4f x f x x x --⇔1221()()4()f x f x x x --⇔1122()4()4f x x f x x ++，令()()4g x f x x =+， （＊）2221241441(21)'()240a ax x a x x x g x ax x x x x++++-+---=++=≤=≤则． 故()g x 在(0,)+∞单调递减，有（＊）式成立，得证．评注：本题中观察到待证不等式1122()4()4f x x f x x ++两边有相似结构，于是构造函数()()4g x f x x =+，然后利用此函数的单调性来寻求突破口．在根据特征构造函数时，需要有较强的观察和联想能力，灵活地针对不同的特征构造出相应的函数，这也需要我们平时注意积累，掌握一些常见解题模式，再如2014年高考江苏卷第19题：比较1a e -与1e a -的大小，只需比较1a -与(1)ln e a -的大小（根据特征同时取对数），然后构造函数()(1)ln 1g x e x x =--+，研究其最值即可．七、放缩构造法如若待求的函数式较复杂（或含有参数），可先将该函数式的一部分，利用函数单调性、基本不等式、已证不等式等进行放缩（或消参），使之简化，即要证()g()f x x <⇔()()g()f x h x x <<（或()g()f x x >⇔()()g()f x h x x >>）． 1．由基本不等式放缩构造例10（2012年高考辽宁卷理科第21题）设()ln(1)1(,,,)f x x x ax b a b R a b =+++++∈为常数，曲线()y f x =与直线32y x =在(0，0)点相切. (Ⅰ)求,a b 的值；(Ⅱ)证明：当02x <<时，9()6x f x x <+. 解：(Ⅰ)0,1a b ==-.(Ⅱ)由均值不等式，当0x >时，2(1)12x x +<+112x x ++. 所以()ln(1)11ln(1)2x f x x x x =++<++ 记9()ln(1)26x x h x x x =++-+， 则2221154(1536)'()12(6)2(1)(6)x x x h x x x x x +-=+-=++++. 当02x <<时，'()0h x <，所以()h x 在(0,2)内是减函数.故又由()(0)0h x h <=，所以9ln(1)26x x x x ++<+，即9ln(1)116x x x x +++<+， 故当02x <<时，9()6x f x x <+. 评注：本题第(Ⅱ)问若直接构造函数9()()6x h x f x x =-+，对()h x 进行求导，由于'()h x 中既有根式又有分式，因此'()h x 的零点及相应区间上的符号很难确定，而通过对1x +解决.112x x +<+，亦即是将抛物线弧1y x =+直线段12x y =+，而该线段正是抛物线弧1y x =+(0,1)处的切线，这种“化曲为直”的方法是我们用放缩法处理函数问题的常用方法，当然本题也可以先构造函数求导，再用基本不等式放缩.2．由已证不等式放缩构造例11（2013年高考辽宁卷理科第21题）．已知函数()()()321,12cos .2x x f x x e g x ax x x -=+=+++ 当[]0,1x ∈时，（I ）求证：()111x f x x-≤≤+ ； （II ）若()()f x g x ≥ 恒成立，求参数 a 的取值范围．解：（I ）略．（II ）()()()3321(12cos )112cos 22x x x f x g x x e ax x x x ax x x --=+-+++≥----- 2(12cos )2x x a x =-+++． 设2()2cos 2x G x x =+，则'()2sin G x x x =-．记()2sin H x x x =-， 则'()12cos H x x =-．当(0,1)x ∈时，'()0H x <，于是'()G x 在[]0,1上是减函数，从而当(0,1)x ∈时，''()(0)0G x G <=，故()G x 在[]0,1上是减函数．于是()(0)2G x G ≤=，从而1()3a G x a ++≤+．所以，当3a ≤-时，()()f x g x ≥ 在[]0,1上恒成立．下面证明，当3a >-时，()()f x g x ≥ 在[]0,1上不恒成立．()()3112cos 12x f x g x ax x x x -≤----+ 32cos 12x x ax x x x -=---+ 21(2cos )12x x a x x =-++++， 记211()2cos ()121x I x a x a G x x x =+++=++++，则''21()()(1)I x G x x -=++，当(0,1)x ∈时，'()0I x <，故()I x 在[]0,1上是减函数，于是()I x 在[]0,1上的值域[12cos1,a 3]a +++．因为当3a >-时，30a +>，所以存在0(0,1)x ∈，使得0()0I x >，此时()()00f x g x <，即()()f x g x ≥ 在[]0,1上不恒成立．综上，实数a 的取值范围是(,3]-∞．评注：本题第二问是一道典型且难度比较大的求参问题，这类题目很容易让考生想到用分离参数的方法，但分离参数后利用高中所学知识无法解决（笔者研究发现不能解决的原因是分离参数后，出现了“0 0型”的式子，解决这类问题的有效方法就是高等数学中的洛必达法则）；若直接构造函数，里面涉及到指数函数、三角函数及高次函数，处理起来难度很大．本题解法中两次巧妙利用第一问的结论，通过分类讨论和假设反正，使问题得到解决，本题也让我们再次体会了化积局部构造法的独特魅力．(《数学通讯》2015年第6期)。
