知识点36 锐角三角函数2019中考真题分类汇编

一、锐角三角函数：在直角三角形ABC 中，∠C 是直角，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为a ，b ，c1.正弦：把锐角A 的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦，记作ca A =sin 2.余弦：把锐角A 的邻边与斜边的比叫做∠A 的余弦，记作cb A =cos 3.正切：把锐角A 的对边与邻边的比叫做∠A 的正切，记作ba A =tan 二、一些特殊角的三角函数值三、解直角三角形1.由直角三角形中，除直角外的已知元素，求出所有未知元素的过程，叫做解直角三角形.若直角三角形ABC 中，∠C ＝90°，那么A 、B 、C ，a ，b ，c 中除∠C ＝90°外，其余5个元素之间有关系：（l ）222c b a =+；（2）∠A 十∠B ＝90°；（3）c a A =sin ；c b A =cos ；ba A =tan ； 只要知道其中的2个元素（至少有一个是边），就可以求出其余3个未知数.2..仰角和俯角：这两种角均为水平线与观测线所夹的角，当观测线在水平线上方时，夹角为“仰角”，当观测线在水平线下方时，夹角为“俯角”.3.坡度和坡角：如图所示h如图，坡面的高度h和水平距离L的比叫坡度（或坡比），即i=tanα=Lα是坡角为坡面与水平面的夹角4. 方向角：从南北方向线较近的一端起，到目标方向线的夹角，如图所示：射线OA为北偏东60°，射线OB为南偏西30°，此外，东、南、西、北四个方向角平分线分别是东北、东南、西南、西北.注：解直角三角形中“双直角三角形”的基本模型：（1）叠合式（2）背靠式典例选讲考点1 锐角三角函数例1 （2018·贵阳）如图，A、B、C是小正方形的顶点，且每个小正方形的边长为1，则tan∠BAC的值为（ ）A ．B ．1C ．D ．【答案】B方法归纳 锐角三角函数定义的理解和运用，要结合图形分析找出Rt △中与“已知元素和所求元素”有关的边、角关系.考点2 特殊角的三角函数值例2 （2018兰州模拟）点M （-sin60°，con60°）关于x 轴对称的点的坐标是（ ）A. ， 12）B. （12-）C. （， 12）D. （12-， 【答案】B【解析】 由sin60°=23，cos60°=21，得M （12），关于x 轴对称，则只是纵坐标变为原来的相反数即可，故选 B .方法归纳 只有对特殊角的三角函数值特别熟悉，才能迅速解决问题.考点3 解直角三角形例3（2018•江苏无锡•2分）已知△ABC中，AB=10，AC=2，∠B=30°，则△ABC的面积等于．【答案】15或10【解析】作AD⊥BC交BC（或BC延长线）于点D，①如图1，当AB、AC位于AD异侧时，②如图2，当AB、AC在AD的同侧时，由①知，BD=5，CD=，则BC=BD﹣CD=4，∴S△ABC=•BC•AD=×4×5=10．综上，△ABC的面积是15或10，故答案为15或10．方法归纳：本题主要考查解直角三角形，解题的关键是熟练掌握三角函数的运用、分类讨论思想的运算及勾股定理．考点4 解直角三角形实际应用例4 （2018·湖北随州）随州市新㵐水一桥（如图1）设计灵感来源于市花﹣﹣兰花，采用蝴蝶兰斜拉桥方案，设计长度为258米，宽32米，为双向六车道，2018年4月3日通车．斜拉桥又称斜张桥，主要由索塔、主梁、斜拉索组成．某座斜拉桥的部分截面图如图2所示，索塔AB和斜拉索（图中只画出最短的斜拉索DE和最长的斜拉索AC）均在同一水平面内，BC在水平桥面上．已知∠ABC=∠DEB=45°，∠ACB=30°，BE=6米，AB=5BD．（1）求最短的斜拉索DE的长；（2）求最长的斜拉索AC的长．【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质计算DE的长；（2）作AH⊥BC于H，如图2，由于BD=DE=3，则AB=3BD=15，在Rt△ABH中，根据等腰直角三角形的性质可计算出BH=AH=15，然后在Rt△ACH中利用含30度的直角三角形三边的关系即可得到AC的长．（2）作AH⊥BC于H，如图，∵BD=DE=3，∴AB=3BD=5×3=15，在Rt△ABH中，∵∠B=45°，∴BH=AH=AB=×15=15，在Rt△ACH中，∵∠C=30°，∴AC=2AH=30．答：最长的斜拉索AC的长为30m．方法归纳：本题考查了解直角三角形的应用：将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，构造出直角三角形转化为解直角三角形问题）．当堂练习1．（2018·黑龙江大庆·3分）2cos60°=（）A．1 B．C．D．【答案】A2.（2018•柳州）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=4，AC=3，则sinB==（）A．B．C．D．【答案】A【解析】∵∠C=90°，BC=4，AC=3，∴AB=5，∴sinB==，故选：A．3.（2018•宜昌）如图，要测量小河两岸相对的两点P，A的距离，可以在小河边取PA的垂线PB上的一点C，测得PC=100米，∠PCA=35°，则小河宽PA等于（）A．100sin35°米B．100sin55°米C．100tan35°米D．100tan55°米【答案】C4.（2018·黑龙江哈尔滨）如图，在菱形ABCD中，对角线AC.BD相交于点O，BD=8，tan∠ABD=，则线段AB的长为（）A．B．2C．5 D．10【答案】C【解析】∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，AO=CO，OB=OD，∴∠AOB=90°，∵BD=8，∴OB=4，∵tan∠ABD==，∴AO=3，在Rt△AOB中，由勾股定理得：AB===5，故选：C．5.（2018•金华）如图，两根竹竿AB和AD斜靠在墙CE上，量得∠ABC=α，∠ADC=β，则竹竿AB与AD 的长度之比为（）A．B．C．D．【答案】B6.（2018•绵阳）一艘在南北航线上的测量船，于A点处测得海岛B在点A的南偏东30°方向，继续向南航行30海里到达C点时，测得海岛B在C点的北偏东15°方向，那么海岛B离此航线的最近距离是（）（结果保留小数点后两位）（参考数据：≈1.732，≈1.414）A．4.64海里 B．5.49海里 C．6.12海里 D．6.21海里【答案】B【解析】如图所示，由题意知，∠BAC=30°、∠ACB=15°，作BD⊥AC于点D，以点B为顶点、BC为边，在△ABC内部作∠CBE=∠ACB=15°，则∠BED=30°，BE=CE，设BD=x，则AB=BE=CE=2x，AD=DE=x，∴AC=AD+DE+CE=2x+2x，∵AC=30，∴2x+2x=30，解得：x=≈5.49，故选：B．7.（2018•滨州）在△ABC中，∠C=90°，若tanA=，则sinB=．【答案】8.（2018•德州）如图，在4×4的正方形方格图形中，小正方形的顶点称为格点，△ABC的顶点都在格点上，则∠BAC的正弦值是．【答案】【解析】∵AB2=32+42=25、AC2=22+42=20、BC2=12+22=5，∴AC2+BC2=AB2，∴△ABC为直角三角形，且∠ACB=90°，则sin∠BAC==9.（2018•眉山）如图，在边长为1的小正方形网格中，点A、B、C、D都在这些小正方形的顶点上，AB、CD相交于点O，则tan∠AOD=．【答案】2【解析】如图，连接BE，10.（2018•宁波）如图，某高速公路建设中需要测量某条江的宽度AB，飞机上的测量人员在C处测得A，B两点的俯角分别为45°和30°．若飞机离地面的高度CH为1200米，且点H，A，B在同一水平直线上，则这条江的宽度AB为米（结果保留根号）．【答案】1200（﹣1）11.（2018•贵阳）如图①，在Rt△ABC中，以下是小亮探究与之间关系的方法：∵sinA=，sinB=∴c=，c=∴=根据你掌握的三角函数知识．在图②的锐角△ABC中，探究、、之间的关系，并写出探究过程．12.（2018•上海）如图，已知△ABC中，AB=BC=5，tan∠ABC=．（1）求边AC的长；（2）设边BC的垂直平分线与边AB的交点为D，求的值．【解析】：（1）作A作AE⊥BC，在Rt△ABE中，tan∠ABC==，AB=5，∴AE=3，BE=4，∴CE=BC﹣BE=5﹣4=1，在Rt△AEC中，根据勾股定理得：AC==；13.（2018•绍兴）如图1，窗框和窗扇用“滑块铰链”连接，图3是图2中“滑块铰链”的平面示意图，滑轨MN 安装在窗框上，托悬臂DE安装在窗扇上，交点A处装有滑块，滑块可以左右滑动，支点B，C，D始终在一直线上，延长DE交MN于点F．已知AC=DE=20cm，AE=CD=10cm，BD=40cm．（1）窗扇完全打开，张角∠CAB=85°，求此时窗扇与窗框的夹角∠DFB的度数；（2）窗扇部分打开，张角∠CAB=60°，求此时点A，B之间的距离（精确到0.1cm）．（参考数据：≈1.732，≈2.449）【解析】：（1）∵AC=DE=20cm，AE=CD=10cm，∴四边形ACDE是平行四边形，∴AC∥DE，∴∠DFB=∠CAB，∵∠CAB=85°，∴∠DFB=85°；。

专题10 锐角三角函数1．（2019•广州）如图，有一斜坡AB，坡顶B离地面的高度BC为30 m，斜坡的倾斜角是∠BAC，若tan∠BAC25=，则此斜坡的水平距离AC为A．75 m B．50 m C．30 m D．12 m 【答案】A【解析】∵∠BCA=90°，tan∠BAC25=，BC=30 m，∴tan∠BAC2305BCAC AC===，解得，AC=75 m，故选A．【名师点睛】本题考查解直角三角形的应用-坡度坡角问题，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．2．（广东省惠州市博罗县2019届九年级中考一模数学试卷）如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC的三个顶点均在格点上，则tan A的值为A．35B．45C．13D．43【答案】D【解析】根据网格得：Rt△ABC中，BC=4，AB=3，则tan A=43BCAB=，故选D．【名师点睛】此题属于解直角三角形题型，熟练掌握锐角三角函数定义是解本题的关键．3．（2019年广东省深圳市罗湖区中考数学二模试卷）如图，小山岗的斜坡AC的坡度是tanα=34，在与山脚C距离200米的D处，测得山顶A的仰角为26.6°，则小山岗的高AB是（结果取整数，参考数据：sin26.6°=0.45，cos26.6°=0.89，tan26.6°=0.50）A ．300米B ．250米C ．400米D ．100米【答案】A【解析】设AB =3x 米， ∵斜坡AC 的坡度是tan α=34， ∴BC =4x ，在Rt △ADB 中，tan ∠ADB =AB BD， ∴BD =tan ABADB∠≈6x ，由题意得，6x -4x =200， 解得，x =100， 则AB =3x =300米， 故选A ．【名师点睛】本题考查的是解直角三角形的应用-仰角俯角问题、坡度坡角问题，掌握仰角俯角的概念、坡度的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．4．（2019年广东省深圳市二十三校联考中考数学4月份模拟试卷）定义：在等腰三角形中，底边与腰的比叫做顶角的正对，顶角A 的正对记作sad A ，即sad A =底边∶腰．如图，在△ABC 中，AB =AC ，∠A =4∠B ．则cos B ·sad A =A ．1B ．32C ．2D ．4【答案】B【解析】∵在△ABC 中，AB =AC ，∠A =4∠B ， ∴∠B =∠C ，∵∠A +∠B +∠C =180°， ∴6∠B =180°， 解得，∠B =30°，如图，作AD ⊥BC 于点D ，设AD =a ，则AB =2a ，BD ， ∵BC =2BD ，∴BC ，∴sad A =BC AB ==cos B =BD AB ==∴cos B ·sad A 32=， 故选B ．【名师点睛】本题考查新定义、解直角三角形、等腰三角形的性质，解答本题的关键是明确题意，找到sad A 的计算，利用数形结合的思想解答．5．（广东省深圳市罗湖区2019届九年级第二学期一模质量检测数学试卷）如图，某中学九年级数学兴趣小组测量校内旗杆AB 的高度，在C 点测得旗杆顶端A 的仰角∠BCA =30°，沿旗杆方向向前走了20米到达D 点，在D 点测得旗杆顶端A 的仰角∠BDA =60°，则旗杆AB 的高度是A ．10米B ．C ．3米D ．【答案】B【解析】由题意得，∠ADB =60°，∠C =30°，CD =20， ∴∠DAC =∠ADB −∠C =30°，∴∠DAC =∠C ， ∴AD =CD =20，∴AB =AD ·sin ∠ADB 故选B ．【名师点睛】本题考查的是解直角三角形的应用−仰角俯角问题，掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．6．（广东省广州市增城区2019届九年级综合测试一模数学试题）如图，是用一把直尺、含60°角的直角三角板和光盘摆放而成，点A 为60°角与直尺交点，点B 为光盘与直尺唯一交点，若3AB =，则光盘的直径是A ．B ．C ．6D ．3【答案】A【解析】设三角板与圆的切点为C ，连接OA 、OB ，如下图所示：由切线长定理知3AB AC ==，OA 平分BAC ∠， ∴60OAB ∠︒＝，在Rt ABO V 中，tan OBOAB AB∠=，∴tan 3OB AB OAB =⋅∠==∴光盘的直径为 故选A ．【名师点睛】本题主要考查切线的性质，掌握切线长定理和解直角三角形的应用是解题关键．7．（2019•广东）如图，某校教学楼AC与实验楼BD的水平间距CD B点测得教学楼顶部A点的仰角是30°，底部C点的俯角是45°，则教学楼AC的高度是________米（结果保留根号）．【答案】【解析】过点B作BE⊥AB于点E，在Rt△BEC中，∠CBE=45°，BE；可得CE=BE×tan45°在Rt△ABE中，∠ABE=30°，BE，可得AE=BE×tan30°=15米．故教学楼AC的高度是AC15米．故答案为：15．【名师点睛】本题考查了解直角三角形的应用，正确构建直角三角形是解题的关键．8．（2019年广东省汕头市潮南区胪岗镇中考数学三模试卷）已知Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，则tan∠B=__________．【答案】3 4【解析】tan∠B=ACBC=34．故答案为：34．【名师点睛】此题考查了锐角三角函数的定义，掌握在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边是解题的关键．9．（广东省佛山市禅城区2019届九年级下学期中考科研测试二模数学试题）如图，已知l1∥l2∥l3，相邻两条平行直线间的距离相等，若等腰直角△ABC的三个顶点分别在这三条平行直线上，斜边AC与l3所夹的锐角为α，则tanα的值等于__________．【答案】1 3【解析】如图1所示，过点A作l1的垂线，垂足为D，过点C作l1、l3的垂线，垂足为E、F，设l1、l2之间的距离为a，则l2与l3之间的距离也为a，∵∠ABC=90°，∴∠DBA+∠EBC=90°，∵∠DBA+∠DAB=90°，∴∠EBC=∠DAB，∵∠ADB=∠BEC，AB=BC，∴△ADB≌△BEC，∴AD=BE=2a，DB=EC=a，∴AF=DE=3a，∵CF=a，∴tanα=13．故答案为：13．【名师点睛】此题考查了全等三角形的判定及性质，锐角三角函数的定义，构造“K”字形转换线段长度之间的关系为解题关键．10．（2019•深圳）如图所示，某施工队要测量隧道长度BC，AD=600米，AD⊥BC，施工队站在点D处看向B ，测得仰角为45°，再由D 走到E 处测量，DE ∥AC ，ED =500米，测得仰角为53°，求隧道BC 长．（sin53°45≈，cos53°35≈，tan53°43≈）．【解析】在Rt △ABD 中，AB =AD =600， 作EM ⊥AC 于M ， 则AM -DE =500， ∴BM =100，在Rt △CEM 中，tan53°46003CM CM EM ===， ∴CM =800，∴BC =CM -BM =800-100=700（米）． 答：隧道BC 长为700米．【名师点睛】本题考查了解直角三角形的应用—仰角俯角问题，熟知锐角三角函数的定义是解答此题的关键．11．（2019年广东省惠州市惠阳区中考数学二模试卷）如图，在△ABC 中，∠C =90°，AB =10，sin B =35，点D 为边BC 的中点． （1）求BC 的长． （2）求∠BAD 的正切值．【解析】（1）∵3sin 5B =， ∴35AC AB =， 设5AB k =，3AC k =，则4BC k =，∵ABC △的周长为24， ∴34524k k k ++=， ∴1224k =， ∴2k =，∴10AB =，6AC =，8BC =．（2）如图，过点D 作DE AB ⊥，垂足为E ，∵AD 为中线， ∴1242ABD ABC S S ==△△， ∴110122DE ⨯=， ∴125DE =，在Rt ACD △中，222AD CD AC =+，∴AD =，∴345AE ==， ∴6tan 17DE BAD AE ∠==． 【名师点睛】本题考查了解直角三角形，掌握勾股定理以及三角函数的定义是解题的关键． 12．（2019年广东省中考数学一模试卷）如图，九年级学生在一次社会实践活动中参观了具有深厚文化底蕴的观音山后感概万千，这座观音多高呢？为了测量这座观音像的高度AB ，数学兴趣小组在C 处用高为1.5米的测角仪CE ，测得塔顶A 角为42°，再向观音像方向前进12米，又测得观音像的顶端A 的仰角为61°，求这座观音像的高度AB ．（参考数据：sin42°≈0.67，tan42°≈0.90，sin61°≈0.87，tan 61°≈1.80，结果保留整数）【解析】如图，记EF 的延长线交CD 于H ，根据题意得：BH =CE =DF =1.5 m ，EF =CD =12 m ， 设AH =x ，在Rt △AEH 中，∠AEH =42°，AH =x ， ∴EH =tan42AH ︒=tan42x︒，在Rt △AFH 中，∠AFH =61°，AH =x ，∴FH =tan61AH ︒=tan61x︒，∵EF =EH -FH =0.9 1.8x x-=12， ∴x =21.6，∴AB =1.5+21.6≈23 m ，答：这座观音像的高度AB 是23 m ．【名师点睛】本题考查解直角三角形的应用-仰角俯角问题，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，本题的突破点是证明AB =BM =40，属于中考常考题型．13．（广东省汕头市潮阳区金灶镇2019届九年级中考数学一模试卷）如图，小明站在河岸上的G 点，利用测角仪器DG 测量小船C 到岸边的距离，此时，测得小船C 的俯角是∠FDC =30°，若测角仪器DG 的高度是2米，BG =1米，BG 平行于AC 所在的直线，迎水坡AB 的坡度i =4∶3，坡高BE =8米，求小船C 到岸边的距离CA 的长？（结果保留根号）【解析】∵坡AB 的坡度i =4∶3，坡高BE =8，∴AE =6， 由题意得，四边形BEHG 为矩形， ∴GH =BE =8，EH =BG =2， ∴DH =DGDG +GH =9，在Rt △DCH 中，tan C =DHCH，则CH =tan DH C ，∴AC =CH -AE -EH 8，答：小船C 到岸边的距离CA 的长为（-8）米．【名师点睛】本题考查的是解直角三角形的应用-仰角俯角问题、坡度坡角问题，掌握仰角俯角的概念、坡度坡角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．14．（广东省广州市番禺区2019届九年级中考一模数学试题）如图，某同学要测量海河某处的宽度AB ，该同学使用无人机在C 处测得A ，B 两点的俯角分别为45°和30°，若无人机此时离地面的高度CH 为1000米，且点A ，B ，H 在同一水平直线上，求这处海河的宽度AB （结果取整数）．参考数据：1.732≈≈．【解析】∵CD HB ∥，∴45CAH ∠=︒，30CBH ∠=︒． 在Rt ACH △中，tan 1CHCAH AH∠==，CH =1000米， ∴1000AH CH ==（米）．在Rt BCH △中，tan CH CBH BH ∠==，∴BH ==（米）．∴1)732AB BH AH =-=≈（米）．答：这处海河的宽度AB 约为732米．【名师点睛】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题．题目难度不大，解决本题的关键是用含CH 的式子表示出AH 和BH ．15．（广东省广州市从化区2019届九年级初中毕业班综合测试一模数学试题）如图，某货船以24海里/时的速度将一批货物从A 处运往正东方向的M 处，在点A 处测得某岛C 在北偏东60°的方向上．该货船航行30分钟后到达B 处，此时再测得该岛在北偏东30°的方向上，（1）求ACB ∠的度数；（2）已知在C 岛周围9海里的区域内有暗礁．若继续向正东方向航行，该货船有无触礁危险？试说明1.414≈ 1.732≈）【解析】（1）∵30CAB ∠=︒，120ABC ∠=︒，∴18030ACB CAB ABC ∠=-∠-=︒∠︒．（2）如图，过点C 作CD AB ⊥于D ，由题意30CAB ∠=︒，30BCD ∠=︒，30ACB ∠=︒，∴ACB CAB ∠=∠，∴BC AB =， ∴124122BC AB ==⨯=（海里）， 在Rt BCD △中，cos CD BCD BC ∠=，∴cos301210.392CD BC =⋅==≈︒， ∵10.3929>．所以货船继续向正东方向行驶无触礁危险．【名师点睛】本题考查的是解直角三角形的应用-方向角问题，正确根据题意画出图形、准确标注方向角、熟练掌握锐角三角函数的概念是解题的关键．16．（2019年广东省深圳市二十三校联考中考数学4月份模拟试卷）如图所示，要在某东西走向的A 、B两地之间修一条笔直的公路，在公路起点A 处测得某农户C 在A 的北偏东68°方向上．在公路终点B 处测得该农户c 在点B 的北偏西45°方向上．已知A 、B 两地相距2400米．（1）求农户c 到公路B 的距离；（参考数据：sin22°≈38，cos22°≈1516，tan22°≈25） （2）现在由于任务紧急，要使该修路工程比原计划提前4天完成，需将该工程原定的工作效率提高20%，求原计划该工程队毎天修路多少米？【解析】（1）如图，过C 作CH ⊥AB 于H ．设CH =x ，由已知有∠EAC =68°，∠FBC =45°，则∠CAH =22°，∠CBA =45°．在Rt △BCH 中，BH =CH =x ，在Rt △HAC 中，tan ∠HAC =CH HA ， ∴HA =5tan 222CH x =︒， ∵AH +HB =AB ，∴x+52x=2400，解得x=48007，∴农户C到公路的距离48007米．（2）设原计划完成这项工程需要y天，则实际完成工程需要（y-4）天．根据题意得：14y=（1+20%）×1y，解得：y=24．经检验知：y=24是原方程的根，2400÷24=100（米）．答：原计划该工程队毎天修路100米．【名师点睛】考查了构造直角三角形通过解直角三角形的方法解决问题，通过找到等量关系利用分式方程解决问题．。

三角函数专项复习锐角三角函数知识点总结1、勾股定理：直角三角形两直角边 a 、 b 的平方和等于斜边 c 的平方。

a 2 b 2c 22、以以下列图，在Rt △ABC 中，∠ C 为直角，则∠ A 的锐角三角函数为 ( ∠A 可换成∠ B)：定 义 表达式取值范围关系正A 的对边 a 0 sin A 1sin A 斜边sin A(∠A 为锐角 )sin A cosB 弦ccos Asin B余A 的邻边 b 0 cos A 1sin 2 A cos 2 A 1cos A 斜边cos A(∠A 为锐角 )弦c正A 的对边atan A 0tan Atan A(∠A 为锐角 )切A 的邻边b3、随意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值； 随意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值。

由 A B 90 B得 B90A斜边c对a 边sin A cosBsin Acos(90A)bcos A sin Bcos A sin(90A)AC邻边4、 0°、 30°、 45°、 60°、 90°特别角的三角函数值 (重要 )三角函数0° 30°45°60°90°sin0 1 2 3 1 222cos13 2 1 02 22tan0 3 13-35 、正弦、余弦的增减性：当 0°≤≤ 90°时， sin 随 的增大而增大， cos 随的增大而减小。

6 、正切的增减性：当 0° < <90°时， tan随的增大而增大，7、解直角三角形的定义：已知边和角（两个，此中必有一边）→全部未知的边和角。

依照：①边的关系：a2b2c2；②角的关系：A+B=90°；③边角关系：三角函数的定义。

( 注意：尽量防范使用中间数据和除法)8、应用举例：(1)仰角：视野在水平线上方的角；俯角：视野在水平线下方的角。

锐角三角函数与特殊角一、选择题1. （2018•四川巴中，第8题3分）在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=，则tanB的值为（）A．B．C．D．考点：锐角三角函数．分析：根据题意作出直角△ABC，然后根据sinA=，设一条直角边BC为5x，斜边AB为13x，根据勾股定理求出另一条直角边AC的长度，然后根据三角函数的定义可求出tan∠B．解答：∵sinA=，∴设BC=5x，AB=13x，则AC==12x，故tan∠B==．故选D．点评：本题考查了互余两角三角函数的关系，属于基础题，解题的关键是掌握三角函数的定义和勾股定理的运用．2. （2018•山东威海，第8题3分）如图，在下列格中，小正方形的边长均为1，点A、B、O都在格点上，则∠AOB 的正弦值是（），==2sin∠AOB==，则∠C的度数是（）的值等于（）AB=cosA=的小正方形组成的格中，的三个顶点均在格点上，则（）．（A）（B）（C）（D）【考点】正切的定义．【分析】．【答案】 D5.6.7.8.二、填空题1. (2019年贵州黔东南11．（4分）)cos60°=．考点：特殊角的三角函数值．分析：根据特殊角的三角函数值计算．解答：解：cos60°=．点评：本题考查特殊角三角函数值的计算，特殊角三角函数值计算在中考中经常出现，要掌握特殊角度的三角函数值．2. （2018•江苏苏州,第15题3分）如图，在△ABC中，AB=AC=5，BC=8．若∠BPC=∠BAC，则tan∠BPC= ．分析：先过点A作AE⊥BC于点E，求得∠BAE=∠BAC，故∠BPC=∠BAE．再在Rt△BAE中，由勾股定理得AE的长，利用锐角三角函数的定义，求得tan∠BPC=tan∠BAE=．解答：解：过点A作AE⊥BC于点E，∵AB=AC=5，∴BE=BC=×8=4，∠BAE=∠BAC，∵∠BPC=∠BAC，∴∠BPC=∠BAE．在Rt△BAE中，由勾股定理得AE=，∴tan∠BPC=tan∠BAE=．故答案为：．点评：求锐角的三角函数值的方法：利用锐角三角函数的定义，通过设参数的方法求三角函数值，或者利用同角（或余角）的三角函数关系式求三角函数值．是．考点：含30度角的直角三角形；勾股定理；矩形的判定与性质．专题：计算题．分析：延长CP，与OA交于点Q，过P作PD⊥OA，利用角平分线定理得到PD=PC，在直角三角形OQC中，利用锐角三角函数定义求出QC的长，在直角三角形QDP中，利用锐角三角函数定义表示出PQ，由QP+PC=QC，求出PC的长即可．解答：解：延长CP，与OA交于点Q，过P作PD⊥OA，∵OP平分∠AOB，PD⊥OA，PC⊥OB，∴PD=PC，在Rt△QOC中，∠AOB=30°，OC=2，∴QC=OCtan30°=2×=，∠APD=30°，在Rt△QPD中，cos30°==，即PQ=DP=PC，∴QC=PQ+PC，即PC+PC=，解得：PC=．故答案为：点评：此题考查了含30度直角三角形的性质，锐角三角函数定义，熟练掌握直角三角形的性质是解本题的关键．据此判断下列等式成立的是②③④ （写出所有正确的序号）①cos（﹣60°）=﹣；②sin75°=；③sin2x=2sinx•cosx；④sin（x﹣y）=sinx•cosy﹣cosx•si ny．=sin30°•cos45°+cos30°•sin45°=××+=5．（2018•甘肃白银、临夏,第15题4分）△ABC中，∠A、∠B都是锐角，若sinA=，cosB=，则∠C=．，3.4.5.6.7.8.三、解答题1. （2018•上海，第22题10分）如图，已知Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是斜边AB上的中线，过点A作AE⊥CD，AE分别与CD、CB相交于点H、E，AH=2CH．（1）求sinB的值；（2）如果CD=，求BE的值．考点：解直角三角形；直角三角形斜边上的中线．分析：（1）根据∠ACB=90°，CD是斜边AB上的中线，可得出CD=BD，则∠B=∠BCD，再由AE⊥CD，可证明∠B=∠CAH，由AH=2CH，可得出CH：AC=1：，即可得出sinB的值；（2）根据sinB的值，可得出AC：AB=1：，再由AB=2，得AC=2，则CE=1，从而得出BE．解答：解：（1）∵∠ACB=90°，CD是斜边AB上的中线，∴CD=BD，∴∠B=∠BCD，∵AE⊥CD，∴∠CAH+∠ACH=90°，∴∠B=∠CAH，∵AH=2CH，∴由勾股定理得AC=CH，∴CH：AC=1：，∴s inB；（2）∵sinB，∴AC：AB=1：，∵CD=，∴AB=2，由勾股定理得AC=2，则CE=1，在Rt△ABC中，AC2+BC2=AB2，∴BC=4，∴BE=BC﹣CE=3．点评：本题考查了解直角三角形，以及直角三角形斜边上的中线，注意性质的应用，难度不大．为点B，点D在PC上．设∠PCB=α，∠POC=β．求证：tanα•tan=．考点：圆的基本性质，相似三角形的判定，锐角三角函数.分析：连接AC先求出△PBD∽△PAC，再求出=，最后得到tanα•tan=．解答：证明：连接AC，则∠A=∠POC=，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∴tanα=，BD∥AC，∴∠BPD=∠A，∵∠P=∠P，∴△PBD∽△PAC，∴=，∵PB=0B=OA，∴=，∴tana•tan=•==．点评：本题主要考查了相似三角形的判定与性质及圆周角的知识，本题解题的关键是求出△PBD∽△PAC，再求出tanα•tan=．3. （2018•江苏徐州,第19题5分）（1）计算：（﹣1）2+sin30°﹣；考点：实数的运算；特殊角的三角函数值．专题：计算题．分析：（1）原式第一项利用乘方的意义化简，第二项利用特殊角的三角函数值计算，最后一项利用立方根定义化简，计算即可得到结果；解答：解：（1）原式=1+﹣2=﹣；点评：此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则解本题的关键．4. ．(2018•年山东东营,第19题7分)（1）计算：（﹣1）2018+（sin30°）﹣1+（）0﹣|3﹣|+83×（﹣0.125）3考点：实数的运算；零指数幂；负整数指数幂；特殊角的三角函数值．专题：计算题．分析：（1）原式第一项利用乘方的意义化简，第二项利用负指数幂法则计算，第三项利用零指数幂法则计算，第四项利用绝对值的代数意义化简，最后一项利用积的乘方逆运算法则变形，计算即可得到可结果；（2）解答：解：（1）原式=1+2+1﹣3+3﹣1=6﹣3；点评：此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．5. （2018•山东临沂,第20题7分）计算：﹣sin60°+×．考点：二次根式的混合运算；特殊角的三角函数值分析：根据特殊角的三角函数、二次根式的化简进行计算即可．解答：解：原式=﹣+4×=﹣+2=+2=．点评：本题考查了二次根式的混合运算以及特殊角的三角函数值，在二次根式的混合运算中，要掌握好运算顺序及各运算律．6．（2018•四川南充，第17，6分）计算：（﹣1）0﹣（﹣2）+3tan30°+（）﹣1．分析：本题涉及零指数幂、负整指数幂、特殊角的三角函数值、二次根式化简四个考点．针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果解：原式=1﹣+2++3=6．点评：本题考查实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关键是熟记特殊角的三角函数值，熟练掌握负整数指数幂、零指数幂、二次根式、绝对值等考点的运算．7、（2018•广州,第23题12分）如图6，中，，．（1）动手操作：利用尺规作以为直径的，并标出与的交点，与的交点（保留作图痕迹，不写作法）：（2）综合应用：在你所作的圆中，①求证：；②求点到的距离．【考点】（1）尺规作图；（2）①圆周角、圆心角定理；②勾股定理，等面积法【分析】（1）先做出中点，再以为圆心，为半径画圆.（2）①要求，根据圆心角定理，同圆中圆心角相等所对的弧也相等，只需证出即可，再根据等腰三角形中的边角关系转化.②首先根据已知条件可求出，依题意作出高，求高则用勾股定理或面积法，注意到为直径，所以想到连接，构造直角三角形，进而用勾股定理可求出，的长度，那么在中，求其高，就只需用面积法即可求出高.【答案】（1）如图所示，圆为所求（2）①如图连接，设,又则②连接,过作于,过作于cosC=, 又,又为直径设，则，在和中，有即解得：即又即8.（2018•福建福州,第16题11分）如图，在△ABC中，∠B=45°，∠ACB=60°，AB D为BA延长线上的一点，且∠D=∠ACB ，⊙O 为△ABC 的外接圆. （1）求BC 的长； （2）求⊙O 的半径.【答案】（1）3.（2）2. 【解析】∴BC 3=（2）由（1）得，在Rt △ACE 中，∵∠EAC=30°，AC=.∵∠D=∠ACB ，∠B=∠B ，∴△BAC ∽△BCD. ∴AB ACCB CD ==.∴DM=4.∴⊙O的半径为2.考点：1. 锐角三角函数定义；2.特殊角的三角函数值；3.相似三角形的判定和性质；4.圆周角定理；5.圆内接四边形的性质；6.含30度角直角三角形的性质；7.勾股定理.。

2019全国各地中考数学试题分类汇编-锐角三角函数与特殊角注意事项：认真阅读理解，结合历年的真题，总结经验，查找不足！重在审题，多思考，多理解！一.选择题1、〔2018无锡〕sin45°的值等于〔 〕 A 、B 、C 、D 、1考点：特殊角的三角函数值。

分析：根据特殊角度的三角函数值解答即可、 解答：解：sin45°=、应选B 、 2、〔2018兰州〕sin60°的相反数是( ) A 、B 、C 、D 、考点： 特殊角的三角函数值。

分析： 根据特殊角的三角函数值和相反数的定义解答即可、 解答： 解：∵sin60°＝， ∴sin60°的相反数是－，应选C 、 点评： 此题考查特殊角的三角函数值和相反数的定义，要求学生牢记并熟练运用、 3.〔2018·哈尔滨〕如图，在Rt △ABC 中，∠C=900，AC=4，AB=5，那么sinB 的值是( )、(A)23(B)35(C)34(D)45【解析】此题考查了锐角三角函数的意义、解题思路：在直角三角形中，锐角的正弦等于对边比邻边，故sinB=54,选D.【答案】D【点评】解直角三角形是历年中考中的重要内容，考题灵活多变，考查方法多种多样, 此题要求同学们掌握锐角三角函数的定义，并能熟练地根据它们与直角三角形的三边关系求直角三角形的锐角三角函数值4、〔2018•乐山〕如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=2BC，那么sinB的值为〔〕A、B、C、D、1考点：特殊角的三角函数值。

分析：根据AB=2BC直接求sinB的值即可、解答：解：∵Rt△ABC中，∠C=90°，AB=2BC，∴sinA===；∴∠A=30°∴∠B=60°∴sinB=应选B、点评：此题考查了锐角三角函数的定义，解决此题时，直接利用正弦的定义求解即可、5.〔2018山东省〕把△ABC三边的长度都扩大为原来的3倍，那么锐角A的正弦函数值〔〕C、扩大为原来的3倍D、不能确定A、不变B、缩小为原来的13【解析】因为△ABC三边的长度都扩大为原来的3倍所得的三角形与原三角形相似，所以锐角A的大小没改变，所以锐角A的正弦函数值也不变、【答案】选A、【点评】此题考查锐角三角函数的定义，三角函数值只与角的大小有关，与角的边没有关系、6. 〔2018•宁波〕如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=6，cosB=，那么BC的长为〔〕A、4B、2C、D、考点：锐角三角函数的定义。

锐角三角函数与特殊角一.选择题1. （2019•天津•3分）︒60sin 2的值等于A. 1B. 2C. 3D. 2【答案】B【解析】锐角三角函数计算，︒60sin 2=2×23=3，故选A .2.（2019•四川自贡•4分）如图，在由10个完全相同的正三角形构成的网格图中，∠α、∠β如图所示，则cos （α+β）＝．【分析】给图中各点标上字母，连接DE ，利用等腰三角形的性质及三角形内角和定理可得出∠α＝30°，同理，可得出：∠CDE ＝∠CED ＝30°＝∠α，由∠AEC ＝60°结合∠AED ＝∠AEC +∠CED 可得出∠AED ＝90°，设等边三角形的边长为a ，则AE ＝2a ，DE ＝a ，利用勾股定理可得出AD 的长，再结合余弦的定义即可求出cos （α+β）的值． 【解答】解：给图中各点标上字母，连接DE ，如图所示． 在△ABC 中，∠ABC ＝120°，BA ＝BC ， ∴∠α＝30°．同理，可得出：∠CDE ＝∠CED ＝30°＝∠α． 又∵∠AEC ＝60°，∴∠AED ＝∠AEC +∠CED ＝90°．设等边三角形的边长为a ，则AE ＝2a ，DE ＝2×sin 60°•a ＝a ，∴AD ＝＝a ， ∴cos （α+β）＝＝．故答案为：．【点评】本题考查了解直角三角形、等边三角形的性质以及规律型：图形的变化类，构造出含一个锐角等于∠α+∠β的直角三角形是解题的关键．3.（2019•浙江杭州•3分）如图，一块矩形木板ABCD斜靠在墙边（OC⊥OB，点A，B，C，D，O在同一平面内），已知AB＝a，AD＝b，∠BCO＝x，则点A到OC的距离等于（）A．asinx+bsinx B．acosx+bcosxC．asinx+bcosx D．acosx+bsinx【分析】根据题意，作出合适的辅助线，然后利用锐角三角函数即可表示出点A到OC 的距离，本题得以解决．【解答】解：作AE⊥OC于点E，作AF⊥OB于点F，∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC＝90°，∵∠ABC＝∠AEC，∠BCO＝x，∴∠EAB＝x，∴∠FBA＝x，∵AB＝a，AD＝b，∴FO＝FB+BO＝a•cosx+b•sinx，故选：D．【点评】本题考查解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题、矩形的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．4.二.填空题1. （2019•江苏宿迁•3分）如图，∠MAN＝60°，若△ABC的顶点B在射线AM上，且AB＝2，点C在射线AN上运动，当△ABC是锐角三角形时，BC的取值范围是＜BC ＜．【分析】当点C在射线AN上运动，△ABC的形状由钝角三角形到直角三角形再到钝角三角形，画出相应的图形，根据运动三角形的变化，构造特殊情况下，即直角三角形时的BC的值．【解答】解：如图，过点B作BC1⊥AN，垂足为C1，BC2⊥AM，交AN于点C2在Rt△ABC1中，AB＝2，∠A＝60°∴∠ABC1＝30°∴AC1＝AB＝1，由勾股定理得：BC1＝，在Rt△ABC2中，AB＝2，∠A＝60°∴∠AC2B＝30°∴AC2＝4，由勾股定理得：BC2＝2，当△ABC是锐角三角形时，点C在C1C2上移动，此时＜BC＜2．故答案为：＜BC＜2．【点评】本题考查解直角三角形，构造直角三角形，利用特殊直角三角形的边角关系或利用勾股定理求解．考察直角三角形中30°的角所对的直角边等于斜边的一半，勾股定理等知识点．2. （2019•浙江杭州•4分）在直角三角形ABC中，若2AB＝AC，则cosC＝或．【分析】讨论：若∠B＝90°，设AB＝x，则AC＝2x，利用勾股定理计算出BC＝x，然后根据余弦的定义求cosC的值；若∠A＝90°，设AB＝x，则AC＝2x，利用勾股定理计算出BC＝x，然后根据余弦的定义求cosC的值．【解答】解：若∠B＝90°，设AB＝x，则AC＝2x，所以BC＝＝x，所以cosC＝＝＝；若∠A＝90°，设AB＝x，则AC＝2x，所以BC＝＝x，所以cosC＝＝＝；综上所述，cosC的值为或．故答案为或．【点评】本题考查了锐角三角函数的定义：熟练掌握锐角三角函数的定义，灵活运用它们进行几何计算．3. （2019•浙江湖州•12分）如图1，已知在平面直角坐标系xOy中，四边形OABC是矩形，点A，C分别在x轴和y轴的正半轴上，连结AC，OA＝3，tan∠OAC＝，D是BC的中点．（1）求OC的长和点D的坐标；（2）如图2，M是线段OC上的点，OM＝OC，点P是线段OM上的一个动点，经过P，D，B三点的抛物线交x轴的正半轴于点E，连结DE交AB于点F．①将△DBF沿DE所在的直线翻折，若点B恰好落在AC上，求此时BF的长和点E的坐标；②以线段DF为边，在DF所在直线的右上方作等边△DFG，当动点P从点O运动到点M时，点G也随之运动，请直接写出点G运动路径的长．【分析】（1）由OA＝3，tan∠OAC＝＝，得OC＝，由四边形OABC是矩形，得BC＝OA＝3，所以CD＝BC＝，求得D（，）；（2）①由易知得ACB＝∠OAC＝30°，设将△DBF沿DE所在的直线翻折后，点B恰好落在AC上的B'处，则DB'＝DB＝DC，∠BDF＝∠B'DF，所以∠BDB'＝60°，∠BDF＝∠B'DF＝30°，所以BF＝BD•tan30°＝，AF＝BF＝，因为∠BFD＝∠AEF，所以∠B＝∠F AE＝90°，因此△BFD≌△AFE，AE＝BD＝，点E的坐标（，0）；②动点P在点O时，求得此时抛物线解析式为y＝﹣x2+x，因此E（，0），直线DE：y＝﹣x+，F1（3，）；当动点P从点O运动到点M时，求得此时抛物线解析式为y＝﹣x2+x+，所以E（6，0），直线DE：y＝﹣x+，所以F2（3，）；所以点F运动路径的长为F1F2＝＝，即G运动路径的长为．【解答】解：（1）∵OA＝3，tan∠OAC＝＝，∴OC＝，∵四边形OABC是矩形，∴BC＝OA＝3，∵D是BC的中点，∴CD＝BC＝，∴D（，）；（2）①∵tan∠OAC＝，∴∠OAC＝30°，∴∠ACB＝∠OAC＝30°，设将△DBF沿DE所在的直线翻折后，点B恰好落在AC上的B'处，则DB'＝DB＝DC，∠BDF＝∠B'DF，∴∠DB'C＝∠ACB＝30°∴∠BDB'＝60°，∴∠BDF＝∠B'DF＝30°，∵∠B＝90°，∴BF＝BD•tan30°＝，∵AB＝，∴AF＝BF＝，∵∠BFD＝∠AEF，∴∠B＝∠F AE＝90°，∴△BFD≌△AFE（ASA），∴AE＝BD＝，∴OE＝OA+AE＝，∴点E的坐标（，0）；②动点P在点O时，∵抛物线过点P（0，0）、D（，）、B（3，）求得此时抛物线解析式为y＝﹣x2+x，∴E（，0），∴直线DE：y＝﹣x+，∴F1（3，）；当动点P从点O运动到点M时，∵抛物线过点P（0，）、D（，）、B（3，）求得此时抛物线解析式为y＝﹣x2+x+，∴E（6，0），∴直线DE：y＝﹣x+，∴F2（3，）；∴点F运动路径的长为F1F2＝＝，∵△DFG为等边三角形，∴G运动路径的长为．【点评】本题考查了二次函数，熟练掌握二次函数的性质、特殊三角函数以及三角形全等的判定与性质是解题的关键．三.解答题1. （2019•贵阳•8分）如图所示是我国古代城市用以滞洪或分洪系统的局部截面原理图，图中OP为下水管道口直径，OB为可绕转轴O自由转动的阀门．平时阀门被管道中排出的水冲开，可排出城市污水；当河水上涨时，阀门会因河水压迫而关闭，以防河水倒灌入城中．若阀门的直径OB＝OP＝100cm，OA为检修时阀门开启的位置，且OA＝OB．（1）直接写出阀门被下水道的水冲开与被河水关闭过程中∠POB的取值范围；（2）为了观测水位，当下水道的水冲开阀门到达OB位置时，在点A处测得俯角∠CAB ＝67.5°，若此时点B恰好与下水道的水平面齐平，求此时下水道内水的深度．（结果保留小数点后一位）（＝1.41，sin67.5°＝0.92，cos67.5°＝0.38，tan67.5°＝2.41，sin22.5°＝0.38，cos22.5°＝0.92，tan22.5°＝0.41）【分析】（1）根据题意即可得到结论；（2）根据余角的定义得到∠BAO＝22.5°，根据等腰三角形的性质得到∠BAO＝∠ABO＝22.5°，由三角形的外角的性质得到∠BOP＝45°，解直角三角形即可得到结论．【解答】解：（1）阀门被下水道的水冲开与被河水关闭过程中∠POB的取值范围为：90°≤∠POB≤0°；（2）如图，∵∠CAB＝67.5°，∴∠BAO＝22.5°，∵OA＝OB，∴∠BAO＝∠ABO＝22.5°，∴∠BOP＝45°，∵OB＝100，∴OE＝OB＝50，∴PE＝OP﹣OE＝100﹣50≈29.5cm，答：此时下水道内水的深度约为29.5cm．【点评】此题考查了考查俯角的定义，要求学生能借助俯角构造直角三角形并解直角三角形．注意方程思想与数形结合思想的应用．2. （2019•铜仁•10分）如图，A、B两个小岛相距10km，一架直升飞机由B岛飞往A岛，其飞行高度一直保持在海平面以上的hkm，当直升机飞到P处时，由P处测得B岛和A 岛的俯角分别是45°和60°，已知A、B、P和海平面上一点M都在同一个平面上，且M 位于P的正下方，求h（结果取整数，≈1.732）【解答】解：由题意得，∠A＝30°，∠B＝45°，AB＝10km，在Rt△APM和Rt△BPM中，tanA＝＝，tanB＝＝1，∴AM＝＝h，BM＝h，∵AM+BM＝AB＝10，∴h+h＝10，解得：h＝15﹣5≈6；答：h约为6km．3. （2019•海南•10分）如图是某区域的平面示意图，码头A在观测站B的正东方向，码头A的北偏西60°方向上有一小岛C，小岛C在观测站B的北偏西15°方向上，码头A到小岛C 的距离AC为10海里．（1）填空：∠BAC＝30度，∠C＝45度；（2）求观测站B到AC的距离BP（结果保留根号）．【分析】（1）由题意得：∠BAC＝90°﹣60°＝30°，∠ABC＝90°+15°＝105°，由三角形内角和定理即可得出∠C的度数；（2）证出△BCP是等腰直角三角形，得出BP＝PC，求出P A＝BP，由题意得出BP+BP＝10，解得BP＝5﹣5即可．【解答】解：（1）由题意得：∠BAC＝90°﹣60°＝30°，∠ABC＝90°+15°＝105°，∴∠C＝180°﹣∠BAC﹣∠ABC＝45°；故答案为：30，45；（2）∵BP⊥AC，∴∠BP A＝∠BPC＝90°，∵∠C＝45°，∴△BCP是等腰直角三角形，∴BP＝PC，∵∠BAC＝30°，∴P A＝BP，∵P A+PC＝AC，∴BP+BP＝10，解得：BP＝5﹣5，答：观测站B到AC的距离BP为（5﹣5）海里．【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题，通过解直角三角形得出方程是解题的关键．4. （2019•江苏扬州•8分）计算或化简：（1）错误！不能通过编辑域代码创建对象。

1.（2019年四川省眉山市）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝5，BC＝12，将△ABC绕点A逆时针旋转得到△ADE，使得点D落在AC上，则tan∠ECD的值为．【分析】在Rt△ABC中，由勾股定理可得AC＝13．根据旋转性质可得AE＝13，AD＝5，DE＝12，所以CD＝8．在Rt△CED中根据tan∠ECD＝计算结果．【解答】解：在Rt△ABC中，由勾股定理可得AC＝13．根据旋转性质可得AE＝13，AD＝5，DE＝12，∴CD＝8．在Rt△CED中，tan∠ECD＝＝．故答案为．【点评】本题主要考查了旋转的性质以及解直角三角形，难度较小，求出所求三角函数值的直角三角形的对应边长度，根据线段比就可解决问题．2.（2019年湖北省孝感市）如图，在P处利用测角仪测得某建筑物AB的顶端B点的仰角为60°，点C的仰角为45°，点P到建筑物的距离为PD＝20米，则BC＝（20﹣20）米．【分析】根据正切的定义求出BD，根据等腰直角三角形的性质求出CD，结合图形计算，得到答案．【解答】解：在Rt△PBD中，tan∠BPD＝，则BD＝PD•tan∠BPD＝20，在Rt△PBD中，∠CPD＝45°，∴CD＝PD＝20，∴BC＝BD﹣CD＝20﹣20，故答案为：（20﹣20）．【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．3.（2019年湖北省江汉油田）如图，为测量旗杆AB的高度，在教学楼一楼点C处测得旗杆顶部的仰角为60°，在四楼点D处测得旗杆顶部的仰角为30°，点C与点B在同一水平线上．已知CD＝9.6m，则旗杆AB的高度为14.4m．【分析】作DE⊥AB于E，则∠AED＝90°，四边形BCDE是矩形，得出BE＝CD＝9.6m，∠CDE＝∠DEA＝90°，求出∠ADC＝120°，证出∠CAD＝30°＝∠ACD，得出AD＝CD＝9.6m，在Rt△ADE中，由直角三角形的性质得出AE＝AD＝4.8m，即可得出答案．【解答】解：作DE⊥AB于E，如图所示：则∠AED＝90°，四边形BCDE是矩形，∴BE＝CD＝9.6m，∠CDE＝∠DEA＝90°，∴∠ADC＝90°+30°＝120°，∵∠ACB＝60°，∴∠ACD＝30°，∴∠CAD＝30°＝∠ACD，∴AD＝CD＝9.6m，在Rt△ADE中，∠ADE＝30°，∴AE＝AD＝4.8m，∴AB＝AE+BE＝4.8m+9.6m＝14.4m；故答案为：14.4．【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题、矩形的判定与性质、等腰三角形的判定；正确作出辅助线是解题的关键．4.（2019年贵州省毕节市）三角板是我们学习数学的好帮手．将一对直角三角板如图放置，点C在FD的延长线上，点B在ED上，AB∥CF，∠F＝∠ACB＝90°，∠E＝45°，∠A＝60°，AC＝10，则CD的长度是15﹣5．【分析】过点B作BM⊥FD于点M，根据题意可求出BC的长度，然后在△EFD中可求出∠EDF＝45°，进而可得出答案．【解答】解：过点B作BM⊥FD于点M，在△ACB中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，AC＝10，∴∠ABC＝30°，BC＝10×tan60°＝10 ，∵AB∥CF，∴BM＝BC×sin30°＝＝5，CM＝BC×cos30°＝15，在△EFD中，∠F＝90°，∠E＝45°，∴∠EDF＝45°，∴MD＝BM＝5 ，∴CD＝CM﹣MD＝15﹣5 ．故答案是：15﹣5．【点评】本题考查了解直角三角形的性质及平行线的性质，难度较大，解答此类题目的关键根据题意建立三角形利用所学的三角函数的关系进行解答．5.（2019年广东省）如图，某校教学楼AC与实验楼BD的水平间距CD＝15米，在实验楼顶部B点测得教学楼顶部A点的仰角是30°，底部C点的俯角是45°，则教学楼AC 的高度是（15+15）米（结果保留根号）．【分析】首先分析图形：根据题意构造直角三角形．本题涉及到两个直角三角形△BEC、△ABE，进而可解即可求出答案．【解答】解：过点B作BE⊥AB于点E，在Rt△BEC中，∠CBE＝45°，BE＝15；可得CE＝BE×tan45°＝15米．在Rt△ABE中，∠ABE＝30°，BE＝15，可得AE＝BE×tan30°＝15米．故教学楼AC的高度是AC＝15米．答：教学楼AC的高度是（15）米．【点评】本题考查俯角、仰角的定义，要求学生能借助俯角、仰角构造直角三角形并结合图形利用三角函数解直角三角形．6.（2019年湖南省株洲市）如图所示，在平面直角坐标系xOy中，在直线x＝1处放置反光镜Ⅰ，在y轴处放置一个有缺口的挡板Ⅱ，缺口为线段AB，其中点A（0，1），点B在点A上方，且AB＝1，在直线x＝﹣1处放置一个挡板Ⅲ，从点O发出的光线经反光镜Ⅰ反射后，通过缺口AB照射在挡板Ⅲ上，则落在挡板Ⅲ上的光线的长度为 1.5．【分析】当光线沿O、G、B、C传输时，由tan∠OGH＝tan∠CGE，即：，即：，解得：a＝1，求出y C＝1+2＝3，同理可得：y D＝1.5，即可求解．【解答】解：当光线沿O、G、B、C传输时，过点B作BF⊥GH于点F，过点C作CE⊥GH于点E，则∠OGH＝∠CGE＝α，设GH＝a，则GF＝2﹣a，则tan∠OGH＝tan∠CGE，即：，即：，解得：a＝1，则α＝45°，∴GE＝CE＝2，y C＝1+2＝3，当光线反射过点A时，同理可得：y D＝1.5，落在挡板Ⅲ上的光线的长度＝CD＝3﹣1.5＝1.5，故答案为1.5．【点评】本题考查的是坐标与图形的变化，涉及到一次函数、解直角三角形等知识，本题关键是弄懂题意，正确画图．7.（2019年浙江省杭州市）在直角三角形ABC中，若2AB＝AC，则cos C＝或．【分析】讨论：若∠B＝90°，设AB＝x，则AC＝2x，利用勾股定理计算出BC＝x，然后根据余弦的定义求cos C的值；若∠A＝90°，设AB＝x，则AC＝2x，利用勾股定理计算出BC＝x，然后根据余弦的定义求cos C的值．【解答】解：若∠B＝90°，设AB＝x，则AC＝2x，所以BC＝＝x，所以cos C＝＝＝；若∠A＝90°，设AB＝x，则AC＝2x，所以BC＝＝x，所以cos C＝＝＝；综上所述，cos C的值为或．故答案为或．【点评】本题考查了锐角三角函数的定义：熟练掌握锐角三角函数的定义，灵活运用它们进行几何计算．8.（2019年浙江省湖州市）有一种落地晾衣架如图1所示，其原理是通过改变两根支撑杆夹角的度数来调整晾衣杆的高度．图2是支撑杆的平面示意图，AB和CD分别是两根不同长度的支撑杆，夹角∠BOD＝α．若AO＝85cm，BO＝DO＝65cm．问：当α＝74°时，较长支撑杆的端点A离地面的高度h约为120cm．（参考数据：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，sin53°≈0.8，cos53°≈0.6．）【分析】过O作OE⊥BD，过A作AF⊥BD，可得OE∥AF，利用等腰三角形的三线合一得到OE为角平分线，进而求出同位角的度数，在直角三角形AFB中，利用锐角三角函数定义求出h即可．【解答】解：过O作OE⊥BD，过A作AF⊥BD，可得OE∥AF，∵BO＝DO，∴OE平分∠BOD，∴∠BOE＝∠BOD＝×74°＝37°，∴∠F AB＝∠BOE＝37°，在Rt△ABF中，AB＝85+65＝150cm，∴h＝AF＝AB•cos∠F AB＝150×0.8＝120cm，故答案为：120【点评】此题考查了解直角三角形的应用，弄清题中的数据是解本题的关键．9.（2019年四川省乐山市）如图，在△ABC中，∠B＝30°，AC＝2，cos C＝．则AB边的长为．【分析】如图，作AH⊥BC于H．解直角三角形求出AH，再根据AB＝2AH即可解决问题．【解答】解：如图，作AH⊥BC于H．在Rt△ACH中，∵∠AHC＝90°，AC＝2，COSC＝，∴＝，∴CH＝，∴AH＝＝＝，在Rt△ABH中，∵∠AHB＝90°，∠B＝30°，∴AB＝2AH＝，故答案为．【点评】本题考查解直角三角形，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．10.（2019年甘肃省天水市）如图，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝5，点E在DC上，将矩形ABCD沿AE折叠，点D恰好落在BC边上的点F处，那么sin∠EFC的值为．【分析】先根据矩形的性质得AD＝BC＝5，AB＝CD＝3，再根据折叠的性质得AF＝AD ＝5，EF＝DE，在Rt△ABF中，利用勾股定理计算出BF＝4，则CF＝BC﹣BF＝1，设CE＝x，则DE＝EF＝3﹣x，然后在Rt△ECF中根据勾股定理得到x2+12＝（3﹣x）2，解方程即可得到x，进一步得到EF的长，再根据正弦函数的定义即可求解．【解答】解：∵四边形ABCD为矩形，∴AD＝BC＝5，AB＝CD＝3，∵矩形ABCD沿直线AE折叠，顶点D恰好落在BC边上的F处，∴AF＝AD＝5，EF＝DE，在Rt△ABF中，∵BF＝＝4，∴CF＝BC﹣BF＝5﹣4＝1，设CE＝x，则DE＝EF＝3﹣x在Rt△ECF中，∵CE2+FC2＝EF2，∴x2+12＝（3﹣x）2，解得x＝，∴EF＝3﹣x＝，∴sin∠EFC＝＝．故答案为：．【点评】本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．也考查了矩形的性质和勾股定理．11.（2019年浙江省丽水市）图2，图3是某公共汽车双开门的俯视示意图，ME、EF、FN是门轴的滑动轨道，∠E＝∠F＝90°，两门AB、CD的门轴A、B、C、D都在滑动轨道上，两门关闭时（图2），A、D分别在E、F处，门缝忽略不计（即B、C重合）；两门同时开启，A、D分别沿E→M，F→N的方向匀速滑动，带动B、C滑动：B到达E时，C恰好到达F，此时两门完全开启，已知AB＝50cm，CD＝40cm．（1）如图3，当∠ABE＝30°时，BC＝90﹣45cm．（2）在（1）的基础上，当A向M方向继续滑动15cm时，四边形ABCD的面积为2256 cm2．【分析】（1）先由已知可得B、C两点的路程之比为5：4，再结合B运动的路程即可求出C运动的路程，相加即可求出BC的长；（2）当A向M方向继续滑动15cm时，AA'＝15cm，由勾股定理和题目条件得出△A'EB'、△D'FC'和梯形A'EFD'边长，即可利用割补法求出四边形四边形ABCD的面积．【解答】解：∵A、D分别在E、F处，门缝忽略不计（即B、C重合）且AB＝50cm，CD＝40cm．∴EF＝50+40＝90cm∵B到达E时，C恰好到达F，此时两门完全开启，∴B、C两点的路程之比为5：4（1）当∠ABE＝30°时，在Rt△ABE中，BE＝AB＝25cm，∴B运动的路程为（50﹣25）cm∵B、C两点的路程之比为5：4∴此时点C运动的路程为（50﹣25）×＝（40﹣20）cm∴BC＝（50﹣25）+（40﹣20）＝（90﹣45）cm故答案为：90﹣45；（2）当A向M方向继续滑动15cm时，设此时点A运动到了点A'处，点B、C、D分别运动到了点B'、C'、D'处，连接A'D'，如图：则此时AA'＝15cm∴A'E＝15+25＝40cm由勾股定理得：EB'＝30cm，∴B运动的路程为50﹣30＝20cm∴C运动的路程为16cm∴C'F＝40﹣16＝24cm由勾股定理得：D'F＝32cm，∴四边形A'B'C'D'的面积＝梯形A'EFD'的面积﹣△A'EB'的面积﹣△D'FC'的面积＝﹣30×40﹣24×32＝2256cm2．∴四边形ABCD的面积为2256cm2．故答案为：2256．【点评】本题考查解直角三角形，解题的关键是熟练运用锐角三角函数的定义，本题属于中等题型．12.（2019年浙江省丽水市）如图，在量角器的圆心O处下挂一铅锤，制作了一个简易测倾仪．量角器的0刻度线AB对准楼顶时，铅垂线对应的读数是50°，则此时观察楼顶的仰角度数是40°．【分析】过A点作AC⊥OC于C，根据直角三角形的性质可求∠OAC，再根据仰角的定义即可求解．【解答】解：过A点作AC⊥OC于C，∵∠AOC＝50°，∴∠OAC＝40°．故此时观察楼顶的仰角度数是40°．故答案为：40°．【点评】考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，仰角是向上看的视线与水平线的夹角，关键是作出辅助线构造直角三角形求出∠OAC的度数．13.（2019年浙江省宁波市）如图，某海防哨所O发现在它的西北方向，距离哨所400米的A处有一艘船向正东方向航行，航行一段时间后到达哨所北偏东60°方向的B处，则此时这艘船与哨所的距离OB约为456米．（精确到1米，参考数据：≈1.414，≈1.732）【分析】通过解直角△OAC求得OC的长度，然后通过解直角△OBC求得OB的长度即可．【解答】解：如图，设线段AB交y轴于C，在直角△OAC中，∠ACO＝∠CAO＝45°，则AC＝OC．∵OA＝400米，∴OC＝OA•cos45°＝400×＝200（米）．∵在直角△OBC中，∠COB＝60°，OC＝200米，∴OB＝＝＝400≈456（米）故答案是：456．【点评】考查了解直角三角形的应用﹣方向角的问题．此题是一道方向角问题，结合航海中的实际问题，将解直角三角形的相关知识有机结合，体现了数学应用于实际生活的思想．14.（2019年浙江省衢州市）如图，人字梯AB，AC的长都为2米，当α＝50°时，人字梯顶端离地面的高度AD是 1.5米（结果精确到0.1m．参考数据：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.19）．【分析】根据锐角三角函数的定义即可求出答案．【解答】解：∵sinα＝，∴AD＝AC•sinα≈2×0.77＝1.5，故答案为：1.5【点评】本题考查锐角三角函数，解题的关键是熟练运用锐角三角函数的定义，本题属于基础题型．15.（2019年四川省绵阳市）在△ABC中，若∠B＝45°，AB＝10，AC＝5，则△ABC的面积是75或25．【分析】过点A作AD⊥BC，垂足为D，通过解直角三角形及勾股定理可求出AD，BD，CD的长，进而可得出BC的长，再利用三角形的面积公式可求出△ABC的面积．【解答】解：过点A作AD⊥BC，垂足为D，如图所示．在Rt△ABD中，AD＝AB•sin B＝10，BD＝AB•cos B＝10；在Rt△ACD中，AD＝10，AC＝5，∴CD＝＝5，∴BC＝BD+CD＝15或BC＝BD﹣CD＝5，∴S△ABC＝BC•AD＝75或25．故答案为：75或25．【点评】本题考查了解直角三角形、勾股定理以及三角形的面积，通过解直角三角形及勾股定理，求出AD，BC的长度是解题的关键．16.（2019年甘肃省）在△ABC中∠C＝90°，tan A＝，则cos B＝．【分析】本题可以利用锐角三角函数的定义求解，也可以利用互为余角的三角函数关系式求解．【解答】解：利用三角函数的定义及勾股定理求解．∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，tan A＝，设a＝x，b＝3x，则c＝2x，∴cos B＝＝．故答案为：．【点评】此题考查的知识点是特殊角的三角函数值，关键明确求锐角的三角函数值的方法：利用锐角三角函数的定义，通过设参数的方法求三角函数值，或者利用同角（或余角）的三角函数关系式求三角函数值．17.（2019年江苏省盐城市）如图，在△ABC中，BC＝+，∠C＝45°，AB＝AC，则AC的长为2．【分析】过点A作AD⊥BC，垂足为点D，设AC＝x，则AB＝x，在Rt△ACD中，通过解直角三角形可得出AD，CD的长，在Rt△ABD中，利用勾股定理可得出BD的长，由BC＝BD+CD结合BC＝+可求出x的值，此题得解．【解答】解：过点A作AD⊥BC，垂足为点D，如图所示．设AC＝x，则AB＝x．在Rt△ACD中，AD＝AC•sin C＝x，CD＝AC•cos C＝x；在Rt△ABD中，AB＝x，AD＝x，∴BD＝＝．∴BC＝BD+CD＝x+x＝+，∴x＝2．故答案为：2．【点评】本题考查了解直角三角形、勾股定理以及解一元一次方程，通过解直角三角形及勾股定理，找出BC与AC之间的关系是解题的关键．18.（2019年浙江省温州市）图1是一种折叠式晾衣架．晾衣时，该晾衣架左右晾衣臂张开后示意图如图2所示，两支脚OC＝OD＝2019年浙江省温州市米，展开角∠COD＝60°，晾衣臂OA＝OB＝2019年浙江省温州市米，晾衣臂支架HG＝FE＝2019年浙江省温州市米，且HO＝FO＝2019年浙江省温州市米．当∠AOC＝90°时，点A离地面的距离AM 为（5+5）分米；当OB从水平状态旋转到OB'（在CO延长线上）时，点E绕点F随之旋转至OB'上的点E'处，则B'E'﹣BE为4分米．【分析】如图，作OP⊥CD于P，OQ⊥AM于Q，FK⊥OB于K，FJ⊥OC于J．解直角三角形求出MQ，AQ即可求出AM，再分别求出BE，B′E′即可．【解答】解：如图，作OP⊥CD于P，OQ⊥AM于Q，FK⊥OB于K，FJ⊥OC于J．∵AM⊥CD，∴∠QMP＝∠MPO＝∠OQM＝90°，∴四边形OQMP是矩形，∴QM＝OP，∵OC＝OD＝10，∠COD＝60°，∴△COD是等边三角形，∵OP⊥CD，∴∠COP＝∠COD＝30°，∴QM＝OP＝OC•cos30°＝5（分米），∵∠AOC＝∠QOP＝90°，∴∠AOQ＝∠COP＝30°，∴AQ＝OA＝5（分米），∴AM＝AQ+MQ＝5+5．∵OB∥CD，∴∠BOD＝∠ODC＝60°在Rt△OFK中，KO＝OF•cos60°＝2（分米），FK＝OF•sin60°＝2（分米），在Rt△PKE中，EK＝＝2（分米）∴BE＝10﹣2﹣2＝（8﹣2）（分米），在Rt△OFJ中，OJ＝OF•cos60°＝2（分米），FJ＝2（分米），在Rt△FJE′中，E′J＝＝2，∴B′E′＝10﹣（2﹣2）＝12﹣2，∴B′E′﹣BE＝4．故答案为5+5，4．【点评】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．19.（2019年山东省德州市）如图，一架长为6米的梯子AB斜靠在一竖直的墙AO上，这时测得∠ABO＝70°，如果梯子的底端B外移到D，则梯子顶端A下移到C，这时又测得∠CDO＝50°，那么AC的长度约为 1.02米．（sin70°≈0.94，sin50°≈0.77，cos70°≈0.34，cos50°≈0.64）【分析】直接利用锐角三角函数关系得出AO，CO的长，进而得出答案．【解答】解：由题意可得：∵∠ABO＝70°，AB＝6m，∴sin70°＝＝≈0.94，解得：AO＝5.64（m），∵∠CDO＝50°，DC＝6m，∴sin50°＝≈0.77，解得：CO＝4.62（m），则AC＝5.64﹣4.62＝1.02（m），答：AC的长度约为1.02米．故答案为：1.02．【点评】此题主要考查了解直角三角形的应用，正确得出AO，CO的长是解题关键．20.（2019年四川省自贡市）如图，在由10个完全相同的正三角形构成的网格图中，∠α、∠β如图所示，则cos（α+β）＝．【分析】给图中各点标上字母，连接DE，利用等腰三角形的性质及三角形内角和定理可得出∠α＝30°，同理，可得出：∠CDE＝∠CED＝30°＝∠α，由∠AEC＝60°结合∠AED＝∠AEC+∠CED可得出∠AED＝90°，设等边三角形的边长为a，则AE＝2a，DE＝a，利用勾股定理可得出AD的长，再结合余弦的定义即可求出cos（α+β）的值．【解答】解：给图中各点标上字母，连接DE，如图所示．在△ABC中，∠ABC＝120°，BA＝BC，∴∠α＝30°．同理，可得出：∠CDE＝∠CED＝30°＝∠α．又∵∠AEC＝60°，∴∠AED＝∠AEC+∠CED＝90°．设等边三角形的边长为a，则AE＝2a，DE＝2×sin60°•a＝a，∴AD＝＝a，∴cos（α+β）＝＝．故答案为：．【点评】本题考查了解直角三角形、等边三角形的性质以及规律型：图形的变化类，构造出含一个锐角等于∠α+∠β的直角三角形是解题的关键．21.（2019年山东省枣庄市）如图，小明为了测量校园里旗杆AB的高度，将测角仪CD竖直放在距旗杆底部B点6m的位置，在D处测得旗杆顶端A的仰角为53°，若测角仪的高度是1.5m，则旗杆AB的高度约为9.5m．（精确到0.1m．参考数据：sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，tan53°≈1.33）【分析】根据三角函数和直角三角形的性质解答即可．【解答】解：过D作DE⊥AB，∵在D处测得旗杆顶端A的仰角为53°，∴∠ADE＝53°，∵BC＝DE＝6m，∴AE＝DE•tan53°≈6×1.33≈7.98m，∴AB＝AE+BE＝AE+CD＝7.98+1.5＝9.48m≈9.5m，故答案为：9.5【点评】此题考查了考查仰角的定义，要求学生能借助俯角构造直角三角形并解直角三角形．注意方程思想与数形结合思想的应用．。

中考数学真题汇编:锐角三角函数一、选择题1.的值等于（）A. B.C.1 D.【答案】B2.如图，过点，，，点是轴下方上的一点，连接，，则的度数是（）A. B.C.D.【答案】B3.如图，一把直尺，的直角三角板和光盘如图摆放，为角与直尺交点，,则光盘的直径是( )A.3B.C.D.【答案】D4.如图，旗杆及升旗台的剖面和教学楼的剖面在同一平面上，旗杆与地面垂直，在教学楼底部E点处测得旗杆顶端的仰角，升旗台底部到教学楼底部的距离米，升旗台坡面CD的坡度，坡长米，若旗杆底部到坡面CD的水平距离米，则旗杆AB的高度约为（）（参考数据：，，）A. 12.6米B. 13.1米 C. 14.7米 D. 16.3米【答案】B5.一艘在南北航线上的测量船，于A点处测得海岛B在点A的南偏东30°方向，继续向南航行30海里到达C点时，测得海岛B在C点的北偏东15°方向，那么海岛B离此航线的最近距离是（结果保留小数点后两位）（参考数据：）（）A. 4.64海里B. 5.49海里 C. 6.12海里 D. 6.21海里【答案】B6.如图，两根竹竿AB和AD斜靠在墙CE上，量得∠ABC=α，∠ADC=β，则竹竿AB与AD的长度之比为（）A. B.C.D.【答案】B7. 如图，已知在中，，，，则的值是（ ）A.B.C.D.【答案】A8. 如图，电线杆CD 的高度为h ，两根拉线AC 与BC 相互垂直，∠CAB=α，则拉线BC 的长度为（A 、D 、B 在同一条直线上）（ ）A. B.C.D. h•cos α 【答案】B 二、填空题9.如图．一-艘渔船正以60海里/小时的速度向正东方向航行,在 处测得岛礁 在东北方向上，继续航行1．5小时后到达 处此时测得岛礁 在北偏东 方向,同时测得岛礁 正东方向上的避风港在北偏东方向为了在台风到来之前用最短时间到达处,渔船立刻加速以75海里/小时的速度继续航行________小时即可到达 (结果保留根号)【答案】10.如图，旗杆高AB=8m，某一时刻，旗杆影子长BC=16m，则tanC=________。

2018-2019年湖南省各市中考复习数学真题汇编解答题综合练：《锐角三角函数》1．（2019•资阳）如图，南海某海域有两艘外国渔船A、B在小岛C的正南方向同一处捕鱼．一段时间后，渔船B沿北偏东30°的方向航行至小岛C的正东方向20海里处．（1）求渔船B航行的距离；（2）此时，在D处巡逻的中国渔政船同时发现了这两艘渔船，其中B渔船在点D的南偏西60°方向，A渔船在点D的西南方向，我渔政船要求这两艘渔船迅速离开中国海域．请分别求出中国渔政船此时到这两艘外国渔船的距离．（注：结果保留根号）2．（2019•永州）为了测量某山（如图所示）的高度，甲在山顶A测得C处的俯角为45°，D处的俯角为30°，乙在山下测得C，D之间的距离为400米．已知B，C，D在同一水平面的同一直线上，求山高AB．（可能用到的数据：≈1.414，≈1.732）3．（2019•湘潭）我国于2019年6月5日首次完成运载火箭海上发射，这标志着我国火箭发射技术达到了一个崭新的高度．如图，运载火箭从海面发射站点M处垂直海面发射，当火箭到达点A处时，海岸边N处的雷达站测得点N到点A的距离为8千米，仰角为30°．火箭继续直线上升到达点B处，此时海岸边N处的雷达测得B处的仰角增加15°，求此时火箭所在点B处与发射站点M处的距离．（结果精确到0.1千米）（参考数据：≈1.41，≈1.73）4．（2019•娄底）如图，某建筑物CD高96米，它的前面有一座小山，其斜坡AB的坡度为i＝1：1．为了测量山顶A的高度，在建筑物顶端D处测得山顶A和坡底B的俯角分别为α、β．已知tanα＝2，tanβ＝4，求山顶A的高度AE（C、B、E在同一水平面上）．5．（2019•邵阳）某品牌太阳能热水器的实物图和横断面示意图如图所示．已知真空集热管DE与支架CB所在直线相交于点O，且OB＝OE；支架BC与水平线AD垂直．AC＝40cm，∠ADE＝30°，DE＝190cm，另一支架AB与水平线夹角∠BAD＝65°，求OB的长度（结果精确到1cm；温馨提示：sin65°≈0.91，cos65°≈0.42，tan65°≈2.14）6．（2019•张家界）天门山索道是世界最长的高山客运索道，位于张家界天门山景区．在一次检修维护中，检修人员从索道A处开始，沿A﹣B﹣C路线对索道进行检修维护．如图：已知AB＝500米，BC＝800米，AB与水平线AA1的夹角是30°，BC与水平线BB1的夹角是60°．求：本次检修中，检修人员上升的垂直高度CA1是多少米？（结果精确到1米，参考数据：≈1.732）7．（2019•常德）图1是一种淋浴喷头，图2是图1的示意图，若用支架把喷头固定在点A 处，手柄长AB＝25cm，AB与墙壁DD′的夹角∠D′AB＝37°，喷出的水流BC与AB形成的夹角∠ABC＝72°，现在住户要求：当人站在E处淋浴时，水流正好喷洒在人体的C处，且使DE＝50cm，CE＝130cm．问：安装师傅应将支架固定在离地面多高的位置？（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，sin72°≈0.95，cos72°≈0.31，tan72°≈3.08，sin35°≈0.57，cos35°≈0.82，tan35°≈0.70）．8．（2019•郴州）如图所示，巡逻船在A处测得灯塔C在北偏东45°方向上，距离A处30km．在灯塔C的正南方向B处有一渔船发出求救信号，巡逻船接到指示后立即前往施救．已知B处在A处的北偏东60°方向上，这时巡逻船与渔船的距离是多少？（精确到0.01km．参考数据：≈1.414，≈1.732，≈2.449）9．（2019•岳阳）慈氏塔位于岳阳市城西洞庭湖边，是湖南省保存最好的古塔建筑之一．如图，小亮的目高CD为1.7米，他站在D处测得塔顶的仰角∠ACG为45°，小琴的目高EF为1.5米，她站在距离塔底中心B点a米远的F处，测得塔顶的仰角∠AEH为62.3°．（点D、B、F在同一水平线上，参考数据：sin62.3°≈0.89，cos62.3°≈0.46，tan62.3°≈1.9）（1）求小亮与塔底中心的距离BD；（用含a的式子表示）（2）若小亮与小琴相距52米，求慈氏塔的高度AB．10．（2019•怀化）如图，为测量一段笔直自西向东的河流的河面宽度，小明在南岸B处测得对岸A处一棵柳树位于北偏东60°方向，他以每秒1.5米的速度沿着河岸向东步行40秒后到达C处，此时测得柳树位于北偏东30°方向，试计算此段河面的宽度．11．（2019•株洲）小强的爸爸准备驾车外出．启动汽车时，车载报警系统显示正前方有障碍物，此时在眼睛点A处测得汽车前端F的俯角为α，且tanα＝，若直线AF与地面l1相交于点B，点A到地面l1的垂线段AC的长度为1.6米，假设眼睛A处的水平线l2与地面l1平行．（1）求BC的长度；（2）假如障碍物上的点M正好位于线段BC的中点位置（障碍物的横截面为长方形，且线段MN为此长方形前端的边），MN⊥l1，若小强的爸爸将汽车沿直线l1后退0.6米，通过汽车的前端F1点恰好看见障碍物的顶部N点（点D为点A的对应点，点F1为点F 的对应点），求障碍物的高度．12．（2019•衡阳）如图，在一次综合实践活动中，小亮要测量一楼房的高度，先在坡面D 处测得楼房顶部A的仰角为30°，沿坡面向下走到坡脚C处，然后向楼房方向继续行走10米到达E处，测得楼房顶部A的仰角为60°．已知坡面CD＝10米，山坡的坡度i＝1：（坡度i是指坡面的铅直高度与水平宽度的比），求楼房AB高度．（结果精确到0.1米）（参考数据：≈1.73，≈1.41）13．（2018•湘西州）如图，某市郊外景区内一条笔直的公路l经过A、B两个景点，景区管委会又开发了风景优美的景点C．经测量，C位于A的北偏东60°的方向上，C位于B的北偏东30°的方向上，且AB＝10km．（1）求景点B与C的距离；（2）为了方便游客到景点C游玩，景区管委会准备由景点C向公路l修一条距离最短的公路，不考虑其他因素，求出这条最短公路的长．（结果保留根号）14．（2018•郴州）小亮在某桥附近试飞无人机，如图，为了测量无人机飞行的高度AD，小亮通过操控器指令无人机测得桥头B，C的俯角分别为∠EAB＝60°，∠EAC＝30°，且D，B，C在同一水平线上．已知桥BC＝30米，求无人机飞行的高度AD．（精确到0.01米．参考数据：≈1.414，≈1.732）15．（2018•邵阳）某商场为方便消费者购物，准备将原来的阶梯式自动扶梯改造成斜坡式自动扶梯．如图所示，已知原阶梯式自动扶梯AB长为10m，坡角∠ABD为30°；改造后的斜坡式自动扶梯的坡角∠ACB为15°，请你计算改造后的斜坡式自动扶梯AC的长度，（结果精确到0．lm，温馨提示：sin15°≈0.26，cos l5°≈0.97，tan15°≈0.27）16．（2018•湘潭）随着航母编队的成立，我国海军日益强大．2018年4月12日，中央军委在南海海域隆重举行海上阅兵，在阅兵之前我军加强了海上巡逻，如图，我军巡逻舰在某海域航行到A处时，该舰在观测点P的南偏东45°的方向上，且与观测点P的距离PA为400海里；巡逻舰继续沿正北方向航行一段时间后，到达位于观测点P的北偏东30°方向上的B处，问此时巡逻舰与观测点P的距离PB为多少海里？（参考数据：≈1.414，≈1.732，结果精确到1海里）．17．（2018•常德）图1是一商场的推拉门，已知门的宽度AD＝2米，且两扇门的大小相同（即AB＝CD），将左边的门ABB1A1绕门轴AA1向里面旋转37°，将右边的门CDD1C1绕门轴DD1向外面旋转45°，其示意图如图2，求此时B与C之间的距离（结果保留一位小数）．（参考数据：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，≈1.4）18．（2018•长沙）为加快城乡对接，建设全域美丽乡村，某地区对A、B两地间的公路进行改建．如图，A、B两地之间有一座山，汽车原来从A地到B地需途经C地沿折线ACB 行驶，现开通隧道后，汽车可直接沿直线AB行驶．已知BC＝80千米，∠A＝45°，∠B＝30°．（1）开通隧道前，汽车从A地到B地大约要走多少千米？（2）开通隧道后，汽车从A地到B地大约可以少走多少千米？（结果精确到0.1千米）（参考数据：≈1.41，≈1.73）19．（2018•衡阳）一名徒步爱好者来衡阳旅行，他从宾馆C出发，沿北偏东30°的方向行走2000米到达石鼓书院A处，参观后又从A处沿正南方向行走一段距离，到达位于宾馆南偏东45°方向的雁峰公园B处，如图所示．（1）求这名徒步爱好者从石鼓书院走到雁峰公园的途中与宾馆之间的最短距离；（2）若这名徒步爱好者以100米/分的速度从雁峰公园返回宾馆，那么他在15分钟内能否到达宾馆？参考答案1．解：（1）由题意得，∠CAB＝30°，∠ACB＝90°，BC＝20，∴AB＝2BC＝40海里，答：渔船B航行的距离是40海里；（2）过B作BE⊥AE于E，过D作DH⊥AE于H，延长CB交DH于G，则四边形AEBC和四边形BEHG是矩形，∴BE＝GH＝AC＝20，AE＝BC＝20，设BG＝EH＝x海里，∴AH＝x+20，由题意得，∠BDG＝60°，∠ADH＝45°，∴x，DH＝AH，∴20+x＝x+20，解得：x＝20，∴BG＝20，AH＝20+20，∴BD＝＝40，AD＝AH＝20+20，答：中国渔政船此时到外国渔船B的距离是40海里，到外国渔船A的距离是（20+20）海里．2．解：设AB＝x，由题意可知：∠ACB＝45°，∠ADB＝30°，∴AB＝BC＝x，∴BD＝BC+CD＝x+400，在Rt△ADB中，∴tan30°＝，∴＝，解得：x＝≈546.4，经检验，x≈546.4是原分式方程的解，∴山高AB为546.4米．3．解：如图所示：连接MN，由题意可得：∠AMN＝90°，∠ANM＝30°，∠BNM＝45°，AN ＝8km，在直角△AMN中，MN＝AN•cos30°＝8×＝4（km）．在直角△BMN中，BM＝MN•tan45°＝4km≈6.9km．答：此时火箭所在点B处与发射站点M处的距离约为6.9km．4．解：如图，作AF⊥CD于F．设AE＝x米．∵斜坡AB的坡度为i＝1：1，∴BE＝AE＝x米．在Rt△BDC中，∵∠C＝90°，CD＝96米，∠DBC＝∠β，∴BC＝＝＝24（米），∴EC＝EB+BC＝（x+24）米，∴AF＝EC＝（x+24）米．在Rt△ADF中，∵∠AFD＝90°，∠DAF＝∠α，∴DF＝AF•tanα＝2（x+24）米，∵DF＝DC﹣CF＝DC﹣AE＝（96﹣x）米，∴2（x+24）＝96﹣x，解得x＝16．故山顶A的高度AE为16米．5．解：设OE＝OB＝2xcm，∴OD＝DE+OE＝190+2x，∵∠ADE＝30°，∴OC＝OD＝95+x，∴BC＝OC﹣OB＝95+x﹣2x＝95﹣x，∵tan∠BAD＝，∴2.14＝，解得：x≈9.4cm，∴OB＝2x≈19cm．6．解：如图，过点B作BH⊥AA1于点H．在Rt△ABH中，AB＝500，∠BAH＝30°，∴BH＝AB＝（米），∴A1B1＝BH＝250（米），在Rt△BB1C中，BC＝800，∠CBB1＝60°，∴，∴B1C＝＝400（米），∴检修人员上升的垂直高度CA1＝CB1+A1B1＝400+250≈943（米）答：检修人员上升的垂直高度CA1为943米．7．解：过点B作BG⊥D′D于点G，延长EC、GB交于点F，∵AB＝25，DE＝50，∴sin37°＝，cos37°＝，∴GB≈25×0.60＝15，GA≈25×0.80＝20，∴BF＝50﹣15＝35，∵∠ABC＝72°，∠D′AB＝37°，∴∠GBA＝53°，∴∠CBF＝55°，∴∠BCF＝35°，∵tan35°＝，∴CF≈＝50，∴FE＝50+130＝180，∴GD＝FE＝180，∴AD＝180﹣20＝160，∴安装师傅应将支架固定在离地面160cm的位置．8．解：延长CB交过A点的正东方向于D，如图所示：则∠CDA＝90°，由题意得：AC＝30km，∠CAD＝90°﹣45°＝45°，∠BAD＝90°﹣60°＝30°，∴AD＝CD＝AC＝15，AD＝BD，∴BD＝＝5，∴AB＝＝＝10≈10×2.449≈24.49（km）；答：巡逻船与渔船的距离约为24.49km．9．解：（1）由题意得，四边形CDBG、HBFE为矩形，∴GB＝CD＝1.7，HB＝EF＝1.5，∴GH＝0.2，在Rt△AHE中，tan∠AEH＝，则AH＝HE•tan∠AEH≈1.9a，∴AG＝AH﹣GH＝1.9a﹣0.2，在Rt△ACG中，∠ACG＝45°，∴CG＝AG＝1.9a﹣0.2，∴BD＝1.9a﹣0.2，答：小亮与塔底中心的距离BD为（1.9a﹣0.2）米；（2）由题意得，1.9a﹣0.2+a＝52，解得，a＝18，则AG＝1.9a﹣0.2＝34，∴AB＝AG+GB＝34+1.7＝35.7，答：慈氏塔的高度AB为35.7米．10．解：如图，作AD⊥BC于D．由题意可知：BC＝1.5×40＝60米，∠ABD＝30°，∠ACD＝60°，∴∠BAC＝∠ACD﹣∠ABC＝30°，∴∠ABC＝∠BAC，∴BC＝AC＝60米．在Rt△ACD中，AD＝AC•sin60°＝60×＝30（米）．答：这条河的宽度为30米．11．解：（1）由题意得，∠ABC＝∠α，在Rt△ABC中，AC＝1.6，tan∠ABC＝tanα＝，∴BC＝＝＝4.8m，答：BC的长度为4.8m；（2）过D作DH⊥BC于H，则四边形ADHC是矩形，∴AD＝CH＝BE＝0.6，∵点M是线段BC的中点，∴BM＝CM＝2.4米，∴EM＝BM﹣BE＝1.8，∵MN⊥BC，∴MN∥DH，∴△EMN∽△EHD，∴＝，∴＝，∴MN＝0.6，答：障碍物的高度为0.6米．12．解：过D作DG⊥BC于G，DH⊥AB于H，交AE于F，作FP⊥BC于P，如图所示：则DG＝FP＝BH，DF＝GP，∵坡面CD＝10米，山坡的坡度i＝1：，∴∠DCG＝30°，∴FP＝DG＝CD＝5，∴CG＝DG＝5，∵∠FEP＝60°，∴FP＝EP＝5，∴EP＝，∴DF＝GP＝5+10+＝+10，∵∠AEB＝60°，∴∠EAB＝30°，∵∠ADH＝30°，∴∠DAH＝60°，∴∠DAF＝30°＝∠ADF，∴AF＝DF＝+10，∴FH＝AF＝+5，∴AH＝FH＝10+5，∴AB＝AH+BH＝10+5+5＝15+5≈15+5×1.73≈23.7（米），答：楼房AB高度约为23.7米．13．解：（1）如图，由题意得∠CAB＝30°，∠ABC＝90°+30°＝120°，∴∠C＝180°﹣∠CAB﹣∠ABC＝30°，∴∠CAB＝∠C＝30°，∴BC＝AB＝10km，即景点B、C相距的路程为10km．（2）过点C作CE⊥AB于点E，∵BC＝10km，C位于B的北偏东30°的方向上，∴∠CBE＝60°，在Rt△CBE中，CE＝km．14．解：∵∠EAB＝60°，∠EAC＝30°，∴∠CAD＝60°，∠BAD＝30°，∴CD＝AD•tan∠CAD＝AD，BD＝AD•ta n∠BAD＝AD，∴BC＝CD﹣BD＝AD＝30，∴AD＝15≈25.98．15．解：在Rt△ABD中，∠ABD＝30°，AB＝10m，∴AD＝AB sin∠ABD＝10×sin30°＝5，在Rt△ACD中，∠ACD＝15°，sin∠ACD＝，∴AC＝＝≈≈19.2m，即：改造后的斜坡式自动扶梯AC的长度约为19.2米．16．解：在△APC中，∠ACP＝90°，∠APC＝45°，则AC＝PC．∵AP＝400海里，∴由勾股定理知，AP2＝AC2+PC2＝2PC2，即4002＝2PC2，故PC＝200海里．又∵在直角△BPC中，∠PCB＝90°，∠BPC＝60°，∴PB＝＝2PC＝400≈566（海里）．答：此时巡逻舰与观测点P的距离PB约为566海里．17．解：作BE⊥AD于点E，作CF⊥AD于点F，延长FC到点M，使得BE＝CM，如图所示．∵AB＝CD，AB+CD＝AD＝2，∴AB＝CD＝1．在Rt△ABE中，AB＝1，∠A＝37°，∴BE＝AB•sin∠A≈0.6，AE＝AB•cos∠A≈0.8．在Rt△CDF中，CD＝1，∠D＝45°，∴CF＝CD•sin∠D≈0.7，DF＝CD•cos∠D≈0.7．∵BE⊥AD，CF⊥AD，∴BE∥CM，又∵BE＝CM，∴四边形BEMC为平行四边形，∴BC＝EM，CM＝BE．在Rt△MEF中，EF＝AD﹣AE﹣DF＝0.5，FM＝CF+CM＝1.3，∴EM＝≈1.4，∴B与C之间的距离约为1.4米．18．解：（1）过点C作AB的垂线CD，垂足为D，∵AB⊥CD，sin30°＝，BC＝80千米，∴CD＝BC•sin30°＝80×（千米），AC＝（千米），AC+BC＝80+40（千米），答：开通隧道前，汽车从A地到B地要走80+40千米；（2）∵cos30°＝，BC＝80（千米），∴BD＝BC•cos30°＝80×（千米），∵tan45°＝，CD＝40（千米），∴AD＝（千米），∴AB＝AD+BD＝40+40≈40+40×1.73＝109.2（千米），∴汽车从A地到B地比原来少走多少路程为：AC+BC﹣AB＝136.4﹣109.2＝27.2（千米）．答：汽车从A地到B地比原来少走的路程为27.2千米．19．解：（1）作CP⊥AB于P，由题意可得出：∠A＝30°，AP＝2000米，则CP＝AC＝1000米；（2）∵在Rt△PBC中，PC＝1000，∠PBC＝∠BPC＝45°，∴BC＝PC＝1000米．∵这名徒步爱好者以100米/分的速度从雁峰公园返回宾馆，∴他到达宾馆需要的时间为＝10＜15，∴他在15分钟内能到达宾馆．。