2017年秋季学期新版青岛版七年级数学上学期7.2、一元一次方程《认识一元一次方程》典型例题1素材
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青岛版数学七年级上册《7.2 一元一次方程》教学设计一. 教材分析《7.2 一元一次方程》是青岛版数学七年级上册的一个重要内容。
本节内容主要让学生了解一元一次方程的概念、性质和解法,培养学生解决实际问题的能力。
教材通过引入实际问题,引导学生认识一元一次方程,并通过对方程的变形和求解,使学生掌握一元一次方程的解法。
二. 学情分析七年级的学生已具备了一定的数学基础,对代数知识有一定的了解。
但部分学生对代数式的运算和方程的解法还不够熟练。
因此,在教学过程中,教师需要关注学生的个体差异,引导学生逐步掌握一元一次方程的解法,并能够运用到实际问题中。
三. 教学目标1.理解一元一次方程的概念,掌握一元一次方程的解法。
2.能够运用一元一次方程解决实际问题。
3.培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
四. 教学重难点1.重难点:一元一次方程的概念、性质和解法。
2.难点:一元一次方程的解法和实际问题的运用。
五. 教学方法1.情境教学法:通过引入实际问题,激发学生的学习兴趣,引导学生主动参与课堂。
2.讲授法:教师讲解一元一次方程的概念、性质和解法,引导学生理解和掌握。
3.实践操作法:让学生通过实际操作,巩固一元一次方程的解法。
4.小组合作学习:学生分组讨论,共同解决问题,培养学生的团队协作能力。
六. 教学准备1.课件:制作课件,展示一元一次方程的相关概念、性质和解法。
2.练习题:准备一些一元一次方程的实际问题,用于巩固所学知识。
3.教学工具:黑板、粉笔、投影仪等。
七. 教学过程1.导入(5分钟)利用课件展示一些实际问题,引导学生思考如何用数学方法解决问题。
例如,某商场举行打折活动,原价100元的商品现价80元,问打几折?2.呈现(10分钟)介绍一元一次方程的概念、性质和解法。
通过示例,讲解一元一次方程的解法步骤:去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1。
3.操练(10分钟)让学生分组讨论,解决一些实际问题。
教师巡回指导,解答学生的疑问。
初识一元一次方程用方程的方法来解决比较复杂的数量问题比算术的方法思路更清晰,解法也会更简便。
现在我们一起来认识方程和一元一次方程。
一、初识方程:1.方程的概念:含有未知数的等式叫做方程。
解读:方程的概念,包含两层意思:一是方程必须是等式,即用等号连接而成的式子;二是方程中至少含有一个未知数,二者缺一不可。
2.方程的解与解的检验:使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的解。
解读:检验一个数〔或一组数〕是不是某个方程的解只需看两点:〔1〕它〔或它们〕是不是方程中未知数的值〔也即是否符合题意〕;〔2〕将它〔或它们〕代入方程的左右两边,假设左边等于右边,那么它们是方程的解,否那么不是。
二者缺一不可。
3.一元一次方程的概念:在一个方程中,只含有一个未知数〔也称元〕,未知数的次数是1,这样的方程叫做一元一次方程。
解读:认识一元一次方程必须注意:①将方程化成最简形式后是形如(,,0)ax b a b a =≠为常数的形式。
②一元一次方程的分母中不含未知数;③一元一次方程只含有一个未知数,而且未知数的次数是1。
二、学会一元一次方程的解法一元一次方程是最简单、最根本的方程,是以后学习其它方程或方程组的根底,其解法十分重要。
1.解方程的理论依据—方程的同解原理:同解原理1:方程的两边都加上或减去同一个数或同一个整式,方程的解不变。
同解原理2:方程的两边都乘或除以同一个不为0的数,方程的解不变。
解读:⑴方程的同解原理可以表示为:a b =,那么;,(0)a ba cbc ad bd d d d±=±==≠⑵在运用方程的同解原理1时,一定注意方程两边都加上或都减去同一个数或同一个整式,才能保证方程的解不变,这里要注意“都〞和“同一个〞。
运用方程的同解原理2时,除了要注意方程两边都乘以或除以同一个数外,还要保证这个数不为0。
2.解一元一次方程的两种变形方式:〔1〕移项:将方程中的一项改变符号后从一边移到另一边叫做移项。
学习目标一、考点突破正确理解方程和一元一次方程的概念,会判断一个方程是不是一元一次方程,能根据等式的基本性质解简单的一元一次方程。
二、重难点提示重点:一元一次方程的定义和一般形式。
难点:解答与一元一次方程定义有关的问题。
考点精讲一元一次方程(1)如果一个方程只含有一个未知数,且未知数的次数都是1,这样的方程叫做一元一次方程。
任何一个一元一次方程变形后都可以化为ax+b=0(其中a≠0,a、b为常数)的形式,我们就把ax+b=0(其中a≠0,a、b为常数)叫做一元一次方程的标准形式,其中ax叫一次项,a叫一次项系数,b叫常数项。
(2)识别一元一次方程时,应注意以下三点:①分母中不含未知数;②方程中只能含有一个未知数;③未知数的次数是1。
如3m-6,3m-n=5,6x2-34=0,1-=5+x等都不是一元一次方程。
(3)一元一次方程的解也叫一元一次方程的根。
典例精析例题1若方程(m2-1)x2-mx-x+2=0是关于x的一元一次方程,则代数式|m-1|的值为()A. 0B. 2C. 0或2D. -2思路分析:根据一元一次方程的定义知m2-1=0,且-m-1≠0,据此可以求得代数式|m-1|的值。
答案:由已知方程,得(m2-1)x2-(m+1)x+2=0。
因为方程(m2-1)x2-mx-x+2=0是关于x的一元一次方程,所以m2-1=0,且-(m+1)≠0,解得m=1,则|m-1|=0。
故选A。
技巧点拨:本题考查了一元一次方程的概念和解法。
解题关键是一元一次方程的未知数的指数为1。
例题2已知关于x的方程mx+2=2x的解满足︱x-︱=0,求m的值。
思路分析:先由︱x-︱=0求出x的值,再代入mx+2=2x,求得m的值。
答案:由︱x-︱=0得x-=0,解得x=。
把x=代入mx+2=2x得m+2=1,两边减2得m=-1,两边乘2得m=-2。
所以m的值为-2。
技巧点拨:本题考查了一元一次方程的解,方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值。
《认识一元一次方程》典型例题
例1 把下面式子中的一元一次方程找出来,写在下面的括号里.
2+3=5,02,32,034
,152=+=+=-x x x x 一元一次方程:{ }
例2 根据下列条件列方程:
(l )某数的3倍比7大2;
(2)某数的3
1比这个数小1; (3)某数与3的和是这个数平方的2倍;
(4)某数的2倍加上9是这个数的3倍;
(5)某数的4倍与3的差比这个数多1.
例3 据2001年中国环境状况公报,我国水蚀和风蚀造成的水土流失面积达356万平方公里,其中风蚀造成的水土流失面积比水蚀造成的水土流失面积多26万平方公里,问水蚀与风蚀造成的水土流失面积各是多少平方公里?请列出解决这个问题的方程.
例4 判断下列各式是不是方程,如果是指出已知数和未知数;如果不是,说明为什么?
(1)023=-x ; (2)01=-xy ; (3)4352+=+;
(4)1=-y x ; (5)1232--x x ; (6).2312+=-x x
例5 己知2=x 是方程m x x +=-213的解,求m 的值.
例6 根据下列条件列出方程
(1)某数的平方比它的5倍小-3,求这个数;
(2)某数的5
3与15的差的一半比这个数大20%,求这个数; (3)一根铁丝,第一次用去了它的一半,第二次用了剩下的一半多1米,结果还剩2.5米,求这根铁丝的长;
(4)有两个运输队,第一队32人,第二队有28人,现因任务需要,要求第一队人数是第二队人数的2倍,需林第二队抽调多少人到第一队?
例7 某工程队每天安排120人修建水库,平均每天每人能挖去53m 或运土33
m ,为了使挖出的土及时运走,问应如何安排挖土和运土的人数?
例8 若2=x 是关于x 的方程052
=++-k kx x 的一个解,则常数.____=k
参考答案
例1 分析: 判断是否是一元一次方程应注意以下几个方面:(1)必须是等式;(2)等式中必须含有一个未知数,且未知数的指数是1.
解: 一元一次方程:⎭
⎬⎫⎩⎨⎧
==+=-02,034,152x x x 说明:2+3=5和32+x ,都不是一元一次方程,因为前者无未知数,后者不是等式. 分析:要列方程,首先要认真审题,明确未知数,并设未知数,然后根据题中的条件,找出相等关系,列出方程,
例2 解:(1)设某数为x ,则有:273=-x ;或 273+=x ;或723=-x ;
(2)设某数为x ,则有:x x =+131;或 131=-x x ;或13
1-=x x ; (3)设某数为x ,则有:223x x =+;或322-=-x x ;或322-=x x ;
(4)设某数为x ,则有:x x 392=+;或 932-=-x x ;或 923=-x x ;
(5)设某数为x ,则有 134-=-x x ;或 x x =+-134;或 314+-=x x
说明:此题条件中的大(小)、多(少)、和(差)、倍等实际上说的是相等关系:
大数-小数=差;
小数十差=大数;
大数一差=小数.
例3 分析: 根据已知条件,我们可以知道,我国水蚀与风蚀造成水土流失的总面积,又知道,风蚀造成的水土流失面积比水位造成的水土流失面积多,那么即使我们没学过本节知识,利用小学学过的关于和差问题的公式,我们仍然能够计算出本题的正确答案.
风蚀造成的水土流失面积=(风蚀、水蚀造成的水土流失之和+风蚀、水性造成的水土流失之差)+2
水蚀造成的水土流失面积=(风蚀、水蚀造成的水土流失之和-风蚀、水蚀造成的水土流失之差)÷2
但是,和差公式需要死记硬背/
如果利用这一节学过的知识来解本题,要简便很多.
(1)水蚀与风蚀造成的水土流失总面积为356万平方公里,即水蚀造成的水土流失面
积+风蚀造成的水土流失面积=356万平方公里.
(2)可以设水蚀造成的水土流失面积为x 平方公里,又知“风蚀造成的水土流失面积比水蚀造成的水土流失面积多26万平方公里”,所以风蚀造成的水土流失面积为(26+x )万平方公里.
(3)把x 与(26+x )代入①中的等式并省略不参与计算的单位名称,就得到方程。
解: 设水蚀造成的水土流失面积为x 平方公里,则有
356)26(=++x x
说明 (1)这个方程并不难解,同学们在学习下一节之后,将会有更深的体会。
(2)对题目中出现的表示同一种量的数(在本题中是表示水土流失面积的数)要注意分清哪个数大、哪个数小,要仔细分析列式时该用加号、还是该用减号。
初学者要尽量避免在这些地方发生错误。
例4 分析: 判断一个式子是不是方程,主要根据方程的概念;一是等式,二是含有未知数,二者缺一不可。
解:(1)是。
3,-2,0是已知数,x 是未知数。
(2)是:-1,0是已知数,x 、y 是未知数。
(3)不是。
因为它不含未知数。
(4)是。
-1,0是已知数,x 、y 是未知数。
(5)不是。
因为它不是等式。
(6)是。
-1,3,2是已知数,x 是未知数。
说明: 未知数的系数如果是1,这个省略是1也可看作已知数,但可以不说,已知数应该包括它的符号在内。
例5 分析:欲求m 的值,由己知条件2=x 是方程m x x +=-213的解,也就是 将2=x 代入方程后左、右两边的值相等,即左边123-⨯=,右边m +⨯=22。
∵ 左边=右边,∴m +⨯=--22123,即可求出m .
解:∵2=x 是方程m x x +=-213的解,
∴ 将2=x 代入方程得:
m +⨯=-⨯22123
∴ .1=m
例6 解: (1)设某数为x ,
根据题意,得.352-=-x x
(2)设某数为x , 根据题意,得.%20)155
3(21x x x =-- (3)设这根铁丝的长为x ,
根据题意,得 .5.21212121=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎪⎭⎫ ⎝
⎛---x x x x (4)设需从第二队抽调x 人到第一队.
根据题意,得).28(232x x -=+
说明:本题要求根据条件列方程,解题关键在于找到数量之间的有关运算和等量关系.列式时要根据不同的问题,适时添加括号以体现运算的顺序.对没有给出未知数的问题,列方程前先要正确设出未知数.
例7 解: 设安排x 人挖土,则运土人数为)120(x -人,依题意得
).120(35x x -=
解得45=x ,则.75120=-x
答:应安排45人挖土,75人运土.
说明:本题中有一句重要的话体现了等量关系,即“使挖出的土及时运走”,这就是说挖土与运土的总数应相等.本例中人数分配的目的是使挖土与运土的体积相同,实际上隐含的是人数分配中挖土人数:运土人数=3:5,依据这个等量关系也可以列出方程来.
例8 解: 因为2=x 是关于x 的方程052=++-k kx x 的一个解,所以
05222=++-k k ,即09=-k ,故9=k ,填9.
说明:本题解法中利用了“方程的解”的概念求解.。