两角和与差的正切公式导学案

第1页 共4页高一数学【两角和与差的正弦、正切】导学案【学习目标】1.理解两角和与差的正弦公式的推导过程，在推导过程中体验数学抽象、直观想象、逻辑推理、数学运算四大核心素养2．通过观察、分析、类比、联想，体会用两角和与差的正弦公式求值、化简，进行简单的恒等变形;会根据已知点的坐标，求出旋转后的坐标；能熟练地掌握函数()sin cos f x a x b x =+的相关性质和物理意义3.通过特殊角的正切值求一般角的正切值，探究两角和与差的正切公式，并能灵活应用公式。

一、两角和与差的正弦= =尝试用两角和与差的余弦公式推导两角和与差的正弦公式？sin +sin αβαβ-（），（）观察：βα+S ，βα-S 两个公式在结构上有何特点？跟余弦有何区别？学习活动2学习活动1第2页 共8页思考探究怎样将x b x a y cos sin +=化为)sin(ϕ+=x A y 的形式？其中ϕcos ，ϕsin 分别等于什么？二、两角和与差的正切思考探究如何用两角和与差的正弦、余弦推到正切公式？巩固练习A巩固练习B第3页共4页第4页 共8页思考探究1.结合向量数量积的性质和数量积的坐标表达式可知：(1)若),(),,(2211y x b y x a ==，则_________;||________;||==b a第5页 共4页___________,cos >=<b a ;a 在b 方向上的投影的数量b a =.(2)若),(),,(2211y x B y x A ，则__________________||=AB .2.两向量垂直的条件：),(),,(2211y x b y x a ==，则b a ⊥⇔___________________.1.用自己的话归纳出向量的数量积如何进行坐标运算。

2.向量的数量积有那些应用？——探究平面向量数量积的坐标应用例1：已知(3,1),(1,2),a b =-=-求,a b ⋅||,||,,a b a b .例2：已知点(1,2),(3,4),(5,0),A B C 求BAC ∠的余弦值这是一个平面几何中的角度问题，而向量与向量之间也有夹角，将这个角度问题转化为向量夹角的问题，进而用向量夹角的坐标运算来解决。

3.1.3 两角和与差的正切新知初探1．两角和的正切公式T α＋β：tan(α＋β)＝ .2．两角差的正切公式T α－β：tan(α－β)＝ .思考：你能举出几个两角和与差的正切公式的变形式吗？小试身手1．(2019·全国卷Ⅰ)tan 255°＝( )A ．－2－3B ．－2＋3C ．2－3D ．2＋3 2.tan 75°－tan 15°1＋tan 75°tan 15°＝( ) A ．－2 B ．2C ．－ 3D ．33．设tan α＝12，tan β＝13，且角α，β为锐角，则α＋β的值是_________． 题型探究类型一 利用公式化简求值【例1】 求下列各式的值：(1)tan 15°；(2)1－3tan 75°3＋tan 75°； (3)tan 23°＋tan 37°＋3tan 23°tan 37°.[思路探究] 把非特殊角转化为特殊角(如(1))及公式的逆用(如(2))与活用(如(3))，通过适当的变形变为可以使用公式的形式，从而达到化简或求值的目的．规律方法1．公式T α＋β，T α－β是变形较多的两个公式，公式中有tan αtan β，tan α＋tan β(或tan α－tan β)，tan(α＋β)(或tan(α－β))．三者知二可表示或求出第三个．2．一方面要熟记公式的结构，另一方面要注意常值代换．跟踪训练1．求下列各式的值： (1)cos 75°－sin 75°cos 75°＋sin 75°； (2)tan 36°＋tan 84°－3tan 36°tan 84°.类型二 条件求值(角)问题【例2】 如图，在平面直角坐标系xOy 中，以Ox 轴为始边作两个锐角α，β，它们的终边分别与单位圆相交于A ，B 两点，已知A ，B 的横坐标分别为210，255. (1)求tan(α＋β)的值；(2)求α＋2β的值．[思路探究] 先由任意角的三角函数定义求出cos α，cos β，再求sin α，sin β，从而求出tan α，tan β，然后利用T α＋β求tan(α＋β)，最后利用α＋2β＝(α＋β)＋β，求tan(α＋2β)进而得到α＋2β的值．规律方法1．通过先求角的某个三角函数值来求角．2．选取函数时，应遵照以下原则：(1)已知正切函数值，选正切函数；(2)已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数．若角的范围是⎝⎛⎭⎫0，π2，选正、余弦皆可；若角的范围是(0，π)，选余弦较好；若角的范围为⎝⎛⎭⎫－π2，π2，选正弦较好． 3．给值求角的一般步骤：(1)求角的某一三角函数值；(2)确定角的范围；(3)根据角的范围写出所求的角．跟踪训练2．(1)已知α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，sin α＝35，求tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4的值； (2)如图所示，三个相同的正方形相接，试计算α＋β的大小．类型三 公式的变形应用[探究问题]1．判断三角形的形状时，都有哪些特殊三角形？2．在△ABC 中，tan(A ＋B )与tan C 有何关系？【例3】 已知△ABC 中，tan B ＋tan C ＋3tan B tan C ＝3，且3tan A ＋3tan B ＋1＝tan A tan B ，判断△ABC 的形状．[思路探究] 化简条件→求出tan A ，tan C →求出角A ，C →判断形状.(变条件)例题中把条件改为“tan B ＋tan C －3tan B tan C ＝－3，且33tan A ＋33tan B ＋1＝tan A tan B ”，结果如何？规律方法公式T α＋β的逆用及变形应用的解题策略(1)“1”的代换：在T α＋β中，如果分子中出现“1”常利用1＝tan 45°来代换，以达到化简求值的目的， 如1－tan α1＋tan α＝tan ⎝⎛⎭⎫π4－α； 3tan α＋31－tan α＝3tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4. (2)整体意识：若化简的式子中出现了“tan α±tan β”及“tan α·tan β”两个整体，常考虑tan(α±β)的变形公式．课堂小结1．公式T (α±β)的适用范围和结构特征(1)由正切函数的定义可知α、β、α＋β(或α－β)的终边不能落在y 轴上，即不为k π＋π2(k ∈Z )． (2)公式T (α±β)的右侧为分式形式，其中分子为tan α与tan β的和或差，分母为1与tan αtan β的差或和．2．两角和与差的正切公式的变形变形公式如：tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan α tan β)；tan α－tan β＝tan(α－β)(1＋tan α tan β)；tan α tan β＝1－tan α＋tan βtan (α＋ β)等. 当堂达标1．设角θ的终边过点(2,3)，则tan ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝( ) A.15 B ．－15C ．5D ．－52．tan 10°tan 20°＋3(tan 10°＋tan 20°)等于( ) A.33 B ．1C. 3D.63．计算3－tan 15°1＋3tan 15°＝________. 4．已知tan(α＋β)＝25，tan ⎝⎛⎭⎫β－π5＝14，求tan ⎝⎛⎭⎫α＋π5的值．【参考答案】新知初探1．tan α＋tan β1－tan αtan β. 2．tan α－tan β1＋tan αtan β. 思考： [提示] (1)tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)．(2)1－tan αtan β＝tan α＋tan βtan (α＋β). (3)tan α＋tan β＋tan αtan β tan(α＋β)＝tan(α＋β)．(4)tan αtan β＝1－tan α＋tan βtan (α＋β). 小试身手1．D 【解析】tan 255°＝tan(180°＋75°)＝tan 75°＝tan(45°＋30°)＝tan 45°＋tan 30°1－tan 45°tan 30°＝1＋331－33＝2＋ 3.故选D.2. D 【解析】原式＝tan (75°－15°)＝tan 60°＝3.3． π4 [∵tan α＝12，tan β＝13∴tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝12＋131－12×13＝1， 又∵α，β均为锐角，即α，β∈⎝⎛⎭⎫0，π2， ∴0<α＋β<π，则α＋β＝π4.] 题型探究【例1】 解 (1)tan 15°＝tan(45°－30°) ＝tan 45°－tan 30°1＋tan 45°tan 30°＝1－331＋33＝3－33＋3＝2－ 3.(2)1－3tan 75°3＋tan 75°＝3－tan 75°1＋33tan 75° ＝tan 30°－tan 75°1＋tan 30°tan 75°＝tan(30°－75°)＝tan(－45°)＝－tan 45°＝－1. (3)∵tan(23°＋37°)＝tan 60°＝tan 23°＋tan 37°1－tan 23°tan 37°＝3， ∴tan 23°＋tan 37°＝3(1－tan 23°tan 37°)，∴原式＝3(1－tan 23°tan 37°)＋3tan 23°tan 37°＝ 3.跟踪训练1．解 (1)原式＝1－tan 75°1＋tan 75°＝tan 45°－tan 75°1＋tan 45°tan75°＝tan(45°－75°)＝tan(－30°)＝－tan 30°＝－33. (2)原式＝tan 120°(1－tan 36°tan 84°)－3tan 36°tan 84°＝tan 120°－tan 120°tan 36°tan 84°－3tan 36°tan 84°＝tan 120°＝－ 3. 【例2】 解 由条件得cos α＝210，cos β＝255， ∵α，β为锐角，∴sin α＝7210，sin β＝55，∴tan α＝7，tan β＝12. (1)tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝7＋121－7×12＝－3. (2)tan(α＋2β)＝tan[(α＋β)＋β]＝tan (α＋β)＋tan β1－tan (α＋β)·tan β＝－3＋121－(－3)×12＝－1， ∵α，β为锐角，∴0＜α＋2β＜3π2，∴α＋2β＝3π4. 跟踪训练2．解 (1)因为sin α＝35，且α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，所以cos α＝－45，所以tan α＝sin αcos α＝5－45＝－34， 故tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝tan α＋tan π41－tan αtan π4＝－34＋11－⎝⎛⎭⎫－34×1＝17. (2)由题图可知tan α＝13，tan β＝12，且α，β均为锐角， 所以tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝13＋121－13×12＝1. 因为α＋β∈(0，π)，所以α＋β＝π4. [探究问题]1． [提示] 根据三角形的边角关系，常见的特殊三角形有等边三角形、等腰三角形、锐角三角形、直角三角形、钝角三角形等．2． [提示] 根据三角形内角和定理可得A ＋B ＋C ＝π，∴A ＋B ＝π－C ，∴tan(A ＋B )＝tan(π－C )＝－tan C .【例3】解 由tan A ＝tan[π－(B ＋C )]＝－tan(B ＋C )＝tan B ＋tan C tan B tan C －1＝3－3tan B tan C tan B tan C －1＝－ 3. 而0°＜A ＜180°，∴A ＝120°.由tan C ＝tan[π－(A ＋B )]＝tan A ＋tan B tan A tan B －1＝tan A ＋tan B 3tan A ＋3tan B ＝33， 而0°＜C ＜180°，∴C ＝30°，∴B ＝30°.∴△ABC 是顶角为120°的等腰三角形．解 由tan A ＝tan [π－(B ＋C )]＝－tan (B ＋C )＝tan B ＋tan C tan B tan C －1＝3tan B tan C －3tan B tan C －1＝ 3. 又0°<A <180°，所以A ＝60°.由tan C ＝tan [π－(A ＋B )]＝tan A ＋tan B tan A tan B －1＝tan A ＋tan B 33tan A ＋33tan B ＝ 3. 又0°<C <180°，所以C ＝60°，所以B ＝60°.所以△ABC 是等边三角形．当堂达标1．A 【解析】由于角θ的终边过点(2,3)，因此tan θ＝32，故tan ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝tan θ－11＋tan θ＝32－11＋32＝15，选A.2．B 【解析】原式＝tan 10°tan 20°＋3tan 30°(1－tan 10°tan 20°)＝tan 10°tan 20°＋1－tan 10°tan 20°＝1.3． 1 【解析】3－tan 15°1＋3tan 15°＝tan 60°－tan 15°1＋tan 60°tan 15°＝tan 45°＝1.4．解 ∵α＋π5＝(α＋β)－⎝⎛⎭⎫β－π5， ∴tan ⎝⎛⎭⎫α＋π5＝tan ⎣⎡⎦⎤(α＋β)－⎝⎛⎭⎫β－π5 ＝tan (α＋β)－tan ⎝⎛⎭⎫β－π51＋tan (α＋β)tan ⎝⎛⎭⎫β－π5＝25－141＋25×14＝322.。

第五章三角函数《5.5.1两角和与差的正弦、余弦和正切公式》教学设计【教材分析】本节课选自《普通高中课程标准实验教科书数学必修1本（A版）》第五章的5.5.1两角和与差的正弦、余弦和正切公式。

本节的主要内容是由两角差的余弦公式的推导，运用诱导公式、同角三角函数的基本关系和代数变形，得到其它的和差角公式。

让学生感受数形结合及转化的思想方法。

发展学生数学直观、数学抽象、逻辑推理、数学建模的核心素养。

【教学目标与核心素养】【教学重难点】教学重点：掌握由两角差的余弦公式推导出两角和的余弦公式及两角和与差的正弦、正切公式教学难点：两角和与差的正弦、余弦、正切公式的灵活运用。

【教学过程】合，这一性质叫做圆的旋转对称性．连接A1P1，AP．若把扇形分别与点A1,P1重合．根据圆《5.5.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式》导学案【学习目标】1．了解两角差的余弦公式的推导过程．2．掌握由两角差的余弦公式推导出两角和的余弦公式及两角和与差的正弦、正切公式．3．会用两角和与差的正弦、余弦、正切公式进行简单的三角函数的求值、化简、计算等．4．熟悉两角和与差的正弦、余弦、正切公式的灵活运用，了解公式的正用、逆用以及角的变换的常用方法．【重点难点】重点：了解两角差的余弦公式的推导过程．难点：会用两角和与差的正弦、余弦、正切公式进行简单的三角函数的求值、化简、计算等【知识梳理】1两角和与差的余弦公式2 两角和与差的正弦公式3两角和与差的正切公式【学习过程】 问题探究１.两角差的余弦公式如果已知任意角α，β的正弦、余弦，能由此推出α＋β，α－β的正弦、余弦吗？下面，我们来探究cos(α－β)与角α，β的正弦、 余弦之间的关系不妨令α≠2kπ＋β，k ∈Z ． 如图5.5.1，设单位圆与x 轴的正半轴相交于点A （１，０），以x 轴非负半轴为始边作角α，β，α—β， 它们的终边分别与单位圆相交于点A 1（cosα，sinα）， P 1（cosβ，sinβ），P(cos(α－β)，sin(α－β))．任意一个圆绕着其圆心旋转任意角后都与原来的圆重合，这一性质叫做圆的旋转对称性．连接A 1P 1，AP ．若把扇形OAP,绕着点O 旋转β角，则点A ，P 分别与点A 1,P 1重合．根据圆的旋转对称性可知，AP ̂与A 1P 1̂ 重合，从而， 所以AP ＝A 1P 1 根据两点间的距离公式，得[cos (α−β)−1]2+[s in (α−β)]2=(cosα−cosβ)2+(sinα−sinβ)2， 化简得:cos (α−β)=cosαcosβ+sinαsinβ当α=2kπ＋β （k ∈Z ）时，容易证明上式仍然成立． 所以，对于任意角α，β有cos (α−β)=cosαcosβ+sinαsinβ （Ｃ（α－β））此公式给出了任意角α，β的正弦、余弦与其差角α－β的余弦之间的关系，称为差角的余弦公式，简记作Ｃ(α－β).典例解析例１ 利用公式cos (α−β)证明：（１）cos (π2-α)= sinα ; （２）cos (π-α)= cosα．例２ 已知sinα=45，α∈(π2,π), cosβ=−513，β是第三象限角，求cos (α−β)的值．由公式cos (α−β)出发，你能推导出两角和与差的三角函数的其他公式吗？ 下面以公式cos (α−β)为基础来推导其他公式． 例如，比较cos (α−β)与cos (α+β)，并注意到α＋β与 α−β之间的联系：α+β＝α−（−β）则由公式cos (α−β)， 有cos (α+β)=cos[α−(−β)]＝cosαcos (−β)+sinαsin (−β)=cosαcosβ−sinαsinβ于是得到了两角和的余弦公式，简记作C （α＋β）． cos (α+β)=cosαcosβ−sinαsinβ． 问题探究上面得到了两角和与差的余弦公式．我们知道，用诱导公式五（或六）可以实现正弦、余弦的互化．你能根据Ｃ（α＋β），Ｃ（α－β）及诱导公式五（或六），推导出用任意角α，β的正弦、余弦表示sin （α＋β），sin （α－β）的公式吗？通过推导，可以得到：s in (α+β)＝sinαcosβ+cosαsinβ，（S （α＋β）） s in (α−β)＝sinαcosβ−cosαsinβ;（S （α－β））你能根据正切函数与正弦函数、余弦函数的关系，从Ｃ(α±β)，Ｓ(α±β)出发，推导出用任意角α，β的正切表示tan (α+β)，tan (α−β)的公式吗？通过推导，可以得到： tan (α+β)=tan α+tanβ1−tan αtanβT(α+β) tan (α−β)=tan α−tanβ1+tan αtanβT(α−β)和（差）角公式中，α，β都是任意角．如果令α为某些特殊角，就能得到许多有用的公式．你能从和（差）角公式出发推导出诱导公式吗？你还能得到哪些等式公式Ｓ(α＋β)，Ｃ(α＋β)，Ｔ(α＋β)给出了任意角α，β的三角函数值与其和角α＋β的三角函数值之间的关系．为方便起见，我们把这三个公式都叫做和角公式．类似地，Ｓ(α－β)，Ｃ(α－β)，Ｔ(α－β)都叫做差角公式． 典例解析例3.已知sinα=−35，α是第四象限角，求sin (π4−α),cos (π4+α),tan (α−π4)的值．由以上解答可以看到，在本题条件下有sin (π4−α)=cos (π4+α)．那么对于任意角α，此等式成立吗？若成立，你会用几种方法予以证明?例４ 利用和（差）角公式计算下列各式的值： （１）sin72°cos42°－cos72°sin42°; （ ２ ） cos20°cos70°－ sin20°sin70° ; （ 3 ）1+tan 15°1−tan 15°;【达标检测】1． cos 65°cos 35°＋sin 65°sin 35°等于( )A ．cos 100°B ．sin 100°C ．32D ．12 2.已知α是锐角，sin α＝35，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α等于( )A ．－210B ．210C ．－25D ．253．已知锐角α，β满足cos α＝35，cos(α＋β)＝－513，则cos β等于( ) A ．3365 B ．－3365 C ．5475 D ．－5475 4．计算3－tan 15°1＋3tan 15°＝________.5．已知α，β均为锐角，sin α＝55，cos β＝1010，求α－β.参考答案： 知识梳理1.cos αcos β＋sin αsin βcos αcos β－sin αsin β2.sin αcos β＋cos αsin βsin αcos β－cos αsin β3.tan α＋tan β1－tan αtan βtan α－tan β1＋tan αtan β学习过程 典例解析例１证明: (1)cos (π2-α)= cos π2cos α+sin π2sinβsinα=0＋1×sinα=sinα． (2)cos (π-α)== cosπcos α+sinπsinβsinα=(-1)×cosα+o ．＝－ cosα． 例２解：由sinα=45，α∈(π2,π),得cosα=−√1−sinα2=−√1−(45)2=−35 又由cosβ=−513，β是第三象限角，得sinβ=−√1−cosβ2=−√1−(−513)2=−1213．所以cos (α−β)=cosαcosβ+sinαsinβ=(−35) ×(−513)+(45) ×(−1213)=−3365 例3.解 ： 由 sinα=−35，α是第四象限角， 得cosα=√1−sinα2=√1−(−35)2=45 所以 tanα=sin αcosα=−3545= - 34于是有sin (π4−α)=sin π4cos α−cos π4sin α=√22×45−√22×(−35)=7√210;cos (π4+α)=cos π4cos α−sin π4sin α=√22×45−√22×(−35)=7√210;tan (α−π4)=tan α−tanπ41+ tan αtanπ4= tan α−11+ tan α=−34−11+(−34)=−7例 ４ 分析 ： 和 、 差角公式把 α ± β 的三角函数式转化成了 α ， β 的三角函数式 ．如果反过来 ， 从右到左使用公式 ， 就可以将上述三角函数式化简 ． 解 ：（ １ ） 由公式 S （α － β ） ， 得 sin72°cos42°－ cos72°sin42°=Sin(72°－ 42°)=sin30°=12（2） 由公式 C （α +β ） ， 得cos20°cos70°－ sin20°sin70°= cos(20°+70°)=cos90°=0 （3） 由公式 T （α +β ）及tan 45°=1， 得1+tan 15°1−tan 15°=tan 45°+tan 15°tan 45°−tan 15°=tan (45°+15°)=tan 60°=√3三、达标检测1． 【解析】 原式＝cos(65°－35°)＝cos 30°＝32. 【答案】 C2.【解析】 因为α是锐角，sin α＝35，所以cos α＝45，所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝22×45－22×35＝210.故选B ． 【答案】 B3．【解析】 因为α，β为锐角，cos α＝35，cos(α＋β)＝－513， 所以sin α＝45，sin(α＋β)＝1213.所以cos β＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)·cos α＋sin(α＋β)·sin α＝－513×35＋1213×45＝3365.故选A ．【答案】 A 4．【解析】 3－tan 15°1＋3tan 15°＝tan 60°－tan 15°1＋tan 60°tan 15°＝tan 45°＝1.【答案】 15．【解】 ∵α，β均为锐角，sin α＝55，cos β＝1010， ∴sin β＝31010，cos α＝255.∵sin α<sin β，∴α<β，∴－π2<α－β<0，∴sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β＝55×1010－255×31010＝－22，∴α－β＝－π4.《5.5.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式》同步练习一基础巩固1．的值是（ ） A ．B ．C ．D ．2．已知为锐角，为第三象限角，且，，则的值为（ ） A ． B ． C ．D ．3．已知，则为第三象限角，则的值等于（ ） A ．B ．C ．D ． 4．若，，且，均为钝角，则的值为（ ） A ．B ．C ．D ．5．已知，则的值为（ ）ABC ．D ．6．计算：______________7．，且是第四象限角，则______. 8．不用计算器，求值：。

两角和与差的正弦余弦正切公式导学案导学案：两角和与差的正弦、余弦、正切公式导学目标：1.理解两角和与差的概念；2.掌握两角和与差的正弦、余弦、正切公式；3.能够运用两角和与差的公式解决相关问题。

导学思路：1.引入问题：如果要计算两个角的正弦、余弦、正切函数值，我们能用到哪些公式呢？2.引出两角和与差的概念；3.探究两角和与差的正弦、余弦、正切公式；4.运用公式解决相关问题。

一、引入问题在三角函数中，我们学过单个角的正弦、余弦、正切公式，但如果要计算两个角的正弦、余弦、正切函数值，我们能用到哪些公式呢？请思考并回答。

二、两角和与差的概念1.两角和的概念：假设角A和角B是两个角，我们可以定义一个角，使其边分别是角A 和角B的边的延长线，这个角叫做两角和。

用符号表示为：A+B。

2.两角差的概念：假设角A和角B是两个角，我们可以定义一个角，使其边分别是角A 和角B的边的延长线，这个角叫做两角差。

用符号表示为：A-B。

三、两角和与差的正弦、余弦、正切公式1.正弦的两角和与差公式：s in(A + B) = sinA · cosB + cosA · sinBsin(A - B) = sinA · cosB - cosA · sinB2.余弦的两角和与差公式：cos(A + B) = cosA · cosB - sinA · sinBcos(A - B) = cosA · cosB + sinA · sinB3.正切的两角和与差公式：tan(A + B) = (tanA + tanB) / (1 - tanA · tanB)tan(A - B) = (tanA - tanB) / (1 + tanA · tanB)四、运用公式解决问题例题1：已知sinA = 1/5，cosB = 3/5，且角A和角B互余，求sin(A + B)和sin(A - B)的值。

3.1.3 两角和与差的正切公式【学习目标】1.掌握两角和与差的正切公式及其推导方式。

2.通过正式的推导，了解它们的内在联系，培育逻辑推理能力。

3.能正确运用三角公式，进行简单的三角函数式的化简、求值和恒等变形。

【学习重点难点】能按照两角和与差的正、余弦公式推导出两角和与差的正切公式进行简单的三角函数式的化简、求值和恒等变形【学习进程】（一）预习指导：1.两角和与差的正、余弦公式cos(α+β)= cos(α-β)=sin(α+β)=sin(α-β)=2.新知tan(α+β)的公式的推导(α+β)≠0tan(α+β)注意：1°必需在概念域范围内利用上述公式tan α，tan β,tan(α+β)只要有一个不存在就不能利用那个公式，只能用诱导公式。

2°注意公式的结构，尤其是符号。

（二）典型例题选讲：例1：已知tan α= ,tan β=-2 求tan(α+β),tan(α-β), α+β的值，其中0°＜α＜90°，90°＜β＜180° 31例2：求下列各式的值：（1） （2）tan17°+tan28°+tan17°tan28°（3）tan20°tan30°+tan30°tan40°+tan40°tan20°例3：已知sin(2α+β)+2sin β=0 求证tan α=3tan(α+β)例4：已知tan θ和tan( -θ)是方程χ2+p χ+q=0的两个根，证明：p-q+1=0.例5：已知tan α=3(1+m),tan(-β)3(tan αtan β+m),又α，β都是钝角，求α+β的值.︒-︒+75tan 175tan 14π【课堂练习】1.若tan A tan B =tan A +tab B +1，则cos(A +B )的值为 .2.在△ABC 中，若0＜tanA ·tabB ＜1则△ABC 必然是 .3.在△ABC 中，tanA+tanB+tanC=33,tan 2B=tanAtanC,则∠B 等于 . 4. = .5.已知sin(α+β)= ,sin(α-β)= ,求 的值.【课堂小结】︒︒︒+︒+︒40tan 20tan 120tan 40tan 20tan 2131)tan(tan tan tan )tan(2βαββαβα+--+。

导学案年级： 高一 科目： 数学 主备： 审核：课题：两角和与差的正弦、正切公式 课型：新授课 课时 :2 课时 【三维目标】●知识与技能：能利用两角和与差的余弦公式，利用化归思想等推导出两角和与差的正弦、正切公式，体会它们的内在联系并进行简单的应用。

●过程与方法:进一步提高学生运用对比、联系、转化的观点去处理和分析问题的自觉性。

●情感态度与价值观：培养学生积极动手，勇于探索，善于发现，团结协作，独立意识以及不断超越自我的创新品质。

【学习重点】：引导学生通过独立探索和讨论交流，利用已学知识，推导出两角和与差的正弦和正切公式，并体会它们的内在联系。

【学习难点】：掌握两角和与差正弦、余弦、正切公式的逆用和变用。

【教学资源】教师导学过程(导案)学生学习活动(学案) 【导学过程1:】复习式导入：（1）大家首先回顾一下两角和与差的余弦公式：()βαβαβαsin sin cos cos cos =±；（2）()cos sin =α； （3）()()=αtan . 【学生学习活动1:】（1）回忆上节课所学知识，诱导公式和同角的基本关系为本节课学习作铺垫【导学过程2:】 讲授新课怎样由上述知识得到两角和与差的正弦和正切公式呢？活动1、学生动手完成两角和的正弦公式推导()()()诱导公式五βαβαβαπβαπβαπβαπβαsin cos cos sin sin 2sin cos 2cos 2cos 2cos sin +=⎪⎭⎫⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎪⎭⎫⎝⎛-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=+【学生学习活动2:】活动1、学生动手完成两角和的正弦公式推导()()()诱导公式五βαβαβαπβαπβαπβαπβαsin cos cos sin sin 2sin cos 2cos 2cos 2cos sin +=⎪⎭⎫⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎪⎭⎫⎝⎛-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=+ 活动2、怎样继而得到两角差的正弦公式；观察两角和与差的正弦公式的特征()()[]()()()换元的思想βαβαβαβαβαβαsin cos cos sin sin cos cos sin sin sin -=-+-=-+=-活动2、怎样继而得到两角差的正弦公式；观察两角和与差的正弦公式的特征()()[]()()()换元的思想βαβαβαβαβαβαsin cos cos sin sin cos cos sin sin sin -=-+-=-+=-小结1：()βαβαβαsin cos cos sin sin ±=±活动3、学生动手完成两角和的正切公式推导()()()()系同角三角函数的基本关βαβαβαβαβαβαβαβαβαtan tan 1tan tan sin sin cos cos sin cos cos sin cos sin tan -+=-+=++=+ 活动4、怎样继而得到两角差的正切公式；观察两角和与差的 正弦公式的特征()()[]()()()换元的思想－－－－βαβαβαβαβαβαtan tan 1tan tan tan tan 1tan tan tan tan +-=-+=+=小结2：()βαβαβαtan tan 1tan tan tan ±=±其中，,,()222k k k k z πππαβπαπβπ+≠+≠+≠+∈将()βα+S 、()βα+C 、()βα+T 称为和角公式；()βα-S 、()βα-C 、()βα-T 称为差角公式。

3. 1.2两角和与差的正弦、余弦、正切公式一、教材分析本节的主要内容是两角和与差的正弦、余弦和正切公式，为了引起学生学习本章的兴趣，理解以两角差的余弦公式为基础，推导两角和、差正弦和正切公式的方法，体会三角恒等变换特点的过程，理解推导过程，掌握其应用从而激发学生对本章内容的学习兴趣和求知欲。

二、教学目标⒈掌握两角和与差公式的推导过程；⒉培养学生利用公式求值、化简的分析、转化、推理能力；⒊发展学生的正、逆向思维能力，构建良好的思维品质。

三、教学重点难点重点：两角和与差公式的应用和旋转变换公式；难点：两角和与差公式变aSina ＋bCosa 为一个角的三角函数的形式。

四、学情分析五、教学方法1．温故、推新，循序渐进，以学生为主体逐步掌握本节知识要点2．学案导学：见后面的学案。

3．新授课教学基本环节：预习检查、总结疑惑→情境导入、展示目标→合作探究、精讲点拨→反思总结、当堂检测→发导学案、布置预习六、课前准备多媒体课件七、课时安排：1课时八、教学过程（一）复习式导入：大家首先回顾一下两角和与差的余弦公式：()cos cos cos sin sin αβαβαβ+=-；()cos cos cos sin sin αβαβαβ-=+． 这是两角和与差的余弦公式，下面大家思考一下两角和与差的正弦公式是怎样的呢？ 提示：在第一章我们用诱导公式五（或六）可以实现正弦、余弦的互化，这对我们解决今天的问题有帮助吗？让学生动手完成两角和与差正弦和正切公式.()()sin cos cos cos cos sin sin 2222ππππαβαβαβαβαβ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=-+=-+=-+- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦sin cos cos sin αβαβ=+． ()()()()sin sin sin cos cos sin sin cos cos sin αβαβαβαβαβαβ-=+-=-+-=-⎡⎤⎣⎦ 让学生观察认识两角和与差正弦公式的特征，并思考两角和与差正切公式.（学生动手）()()()sin sin cos cos sin tan cos cos cos sin sin αβαβαβαβαβαβαβ+++==+-． 通过什么途径可以把上面的式子化成只含有tan α、tan β的形式呢？（分式分子、分母同时除以cos cos αβ，得到()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ++=-． 注意：,,()222k k k k z πππαβπαπβπ+≠+≠+≠+∈ 以上我们得到两角和的正切公式，我们能否推倒出两角差的正切公式呢？()()()()tan tan tan tan tan tan 1tan tan 1tan tan αβαβαβαβαβαβ+---=+-==⎡⎤⎣⎦--+ 注意：,,()222k k k k z πππαβπαπβπ+≠+≠+≠+∈． （二）例题讲解例1、已知3sin ,5αα=-是第四象限角，求sin ,cos ,tan 444πππααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭的值. 解：因为3sin ,5αα=-是第四象限角，得4cos 5α===， 3sin 35tan 4cos 45ααα-===- ， 于是有43sin sin cos cos sin 4442210πππαα⎛⎫⎛⎫-=-=--= ⎪ ⎝⎭⎝ 43cos cos cos sin sin 444252510πππααα⎛⎫⎛⎫+=-=⨯-⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 两结果一样，我们能否用第一章知识证明？ 3tan tan 144tan 7341tan tan 144παπαπα---⎛⎫-===- ⎪⎛⎫⎝⎭++- ⎪⎝⎭ 例2、利用和（差）角公式计算下列各式的值：（1）、s i n 72c o s 42c o s 72s i n 42-；（2）、c o s 20c o s 70s i n 20s i n 70-；（3）、1t a n 151t a n 15+-． 解：分析：解此类题首先要学会观察，看题目当中所给的式子与我们所学的两角和与差正弦、余弦和正切公式中哪个相象. （1）、()1s i n72c o s 42c o s 72s i n 42s i n7242s i n 302-=-==； （2）、()co s 20c o s 70s i n 20s i n 70c o s 2070c o s 900-=+==； （3）、()1t a n 15t a n 45t a n 15t a n 4515t a n 6031t a n 151t a n 45t a n 15++==+==--．例3x x解：此题与我们所学的两角和与差正弦、余弦和正切公式不相象，但我们能否发现规律呢？)()1cos 30cos cos30sin 22sin 302x x x x x -=-=-思考：余弦分别等于2和2的. （三）反思总结，当堂检测。

5.5.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式（人教A 版）1、能够推导出两角和与差的正弦、余弦、正切公式并能应用;2、掌握二倍角公式及变形公式，能灵活运用二倍角公式解决有关的化简、求值、证明问题．1.数学抽象：两角和与差的正弦、余弦和正切公式；2.逻辑推理： 运用公式解决基本三角函数式的化简、证明等问题；3.数学运算：运用公式解决基本三角函数式求值问题.4.数学建模：学生体会到一般与特殊，换元等数学思想在三角恒等变换中的作用。

重点：两角和与差的正弦、余弦、正切公式的探究及公式之间的内在联系； 难点：求值过程中角的范围分析及角的变换.一、 预习导入阅读课本215-218页，填写。

1．两角和与差的正弦、余弦和正切公式sin(α±β)＝______________________________； cos(α∓β)＝______________________________； tan(α±β)＝______________________________. 2．二倍角的正弦、余弦、正切公式 sin 2α＝________________；cos 2α＝________________＝________________＝________________； tan 2α＝2tan α1－tan 2α. 提醒： 1．必会结论(1)降幂公式：cos 2 α＝1＋cos 2α2，sin 2α＝1－cos 2α2.(2)升幂公式：1＋cos 2α＝2cos 2α，1－cos 2α＝2sin 2α. (3)公式变形：tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan α·tan β)． (4)辅助角公式：asin x ＋bcos x ＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)，其中sin φ＝b a 2＋b2，cos φ＝a a 2＋b2.2．常见的配角技巧2α＝(α＋β)＋(α－β)，α＝(α＋β)－β，β＝α＋β2－α－β2，α＝α＋β2＋α－β2，α－β2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋β2－⎝ ⎛⎭⎪⎫α2＋β等．1．判断下列结论的正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)二倍角的正弦、余弦、正切公式的适用范围是任意角．( ) (2)存在实数α，β，使等式sin(α＋β)＝sin α＋sin β成立．( ) (3)公式tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β可以变形为tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tanαtan β)，且对任意角α，β都成立．( )(4)当α是第一象限角时，sin α2＝1－cos α2.( ) (5)半角的正余弦公式实质就是将倍角的余弦公式逆求而得来的．( )(6)公式a sin x ＋b cos x ＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)中φ的取值与a ，b 的值无关．( ) 2．sin 20°cos 10°－cos160°sin10°＝( )A ．－32B ．32C ．－12D ．123．若sin α2＝33，则cos α＝( )A ．－23B ．－13C ．13D ．234．设tan α，tan β是方程x 2－3x ＋2＝0的两根，则tan(α＋β)的值为( )A ．－3B ．－1C ．1D ．3题型一 给角求值例1 利用和（差）角公式计算下列各式的值.(1)sin 72cos 42cos72sin 42;(2)cos 20cos70sin 20sin 70;1tan15(3).1tan15--+-跟踪训练一 1.cos 50°=( )A.cos 70°cos 20°-sin 70°sin 20°B.cos 70°sin 20°-sin 70°cos 20°C.cos 70°cos 20°+sin 70°sin 20°D.cos 70°sin 20°+sin 70°cos 20° 2.cos 5π12cos π6+cos π12sin π6的值是( ) A.0 B.12C.√22D.√32例2 45sin ,,,cos ,cos().5213πααπββαβ⎛⎫=∈=-- ⎪⎝⎭已知是第三象限角，求的值 例3 3sin ,sin(),cos(),tan().5444πππααααα=--+-已知是第四象限角，求的值 跟踪训练二1.(1)已知α为锐角,sin α=35,β是第四象限角,cos β=45,则sin(α+β)= . (2)若sin(α-β)cos β+cos(α-β)sin β=35,且α∈(π2,π),则tan (α−3π4) = . 题型三 给值求角1.若tan α=12,tan β=13,且α∈(π,3π2),β∈(0,π2),则α+β的大小等于( )A.π4B.5π4 C.7π4D.9π4题型四 二倍角公式应用 例5 5sin 2,,sin 4cos 4tan 4.1342ππααααα=<<已知求，，的值跟踪训练四1． 3cos 10°－1sin 170°＝( )A ．4B ．2C ．－2D ．－42．已知sin α－cos α＝43，则sin 2α＝( )A ．－79B ．－29C ．29D ．793．若α，β都是锐角，且cos α＝55，sin(α－β)＝1010，则cos β＝( ) A ．22B ．210 C ．22或－210D ．22或2104.化简：2cos 4 x －2cos 2x ＋122tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x ＝________.5．已知tan α＝－13，cos β＝55，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，求tan(α＋β)的值，并求出α＋β的值．答案小试牛刀1．(1)× (2)√ (3)× (4)× (5)√ (6)×. 2．D. 3．C. 4. A. 自主探究例1 【答案】（1）12（2）0（3()()1=sin 7242=sin 30=2=cos 2070=cos90=0tan 45tan15=tan 60 3.1tan 45tan15-++==-【解析】（1）原式；（2）原式；（3）原式 跟踪训练一 1.【答案】C【解析】 cos 50°=cos(70°-20°)=cos 70°cos 20°+sin 70°sin 20°. 2.【答案】C【解析】cos 5π12cos π6+cos π12sin π6=cos 5π12cos π6+sin 5π12sin π6=cos (5π12-π6)=cos π4=√22.例2【答案】.65-3cos .512sin ,133512433cos()=cos cos sin sin ==.51313565ααββαβαβαβ=-==-⎛⎫⎛⎫-+-⨯-+-⨯- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【解析】是第二象限角，是第三象限角，则43cos =,tan .5443sin()=sin cos cos sin =44425521043cos()=cos cos sin sin 4445537tan tan 1444tan()=7.3141tan tan 1444αααπππαααπππαααπαπαπα=-⎛⎫----⨯ ⎪⎝⎭⎛⎫+--- ⎪⎝⎭-+-===+⨯-3例【答案】见解析【解析】是第四象限角， 跟踪训练二1.【答案】（1）0；（2）17【解析】 (1)∵α为锐角,sin α=35,∴cos α=45.∵β是第四象限角,cos β=45,∴sin β=-35.∴sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β=35×45+45×(-35)=0. (2)由已知得sin [(α-β)+β]=35,即sin α=35,又因为α∈(π2,π), 所以cos α=-45,于是tan α=-34, 故tan (α−3π4)=tan α−tan 3π41+tan αtan 3π4=-34-(-1)1+(-34)×(−1)=17.∴tan(α＋2β)＝tan α＋β＋tan β1－tan α＋βtan β＝12＋131－12×13＝1.②由①②可得α＋2β＝π4.1.【答案】5π4. 【解析】由已知得tan(α+β)=tan α+tan β1−tan αtan β=12+131−12×13=1.又因为α∈(π,3π2),β∈(0,π2), 所以α+β∈(π,2π),于是α+β=5π4. 例5【答案】见解析.221252,cos 2=,tan 2.4221312512120sin 42sin 2cos 22;131316912119cos 42cos 2121;13169sin 4120tan 4.cos 4119πππααπαααααααααα<<∴<<∴-=-⎛⎫==⨯⨯-=- ⎪⎝⎭⎛⎫=-=⨯--= ⎪⎝⎭==-【解析】，跟踪训练四1. 【答案】（1）－45，35，－43；（2）120169.【解析】 (1)因为α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，sin α＝55，所以cos α＝－255，所以sin2α＝2sin αcos α＝2×55×⎝ ⎛⎭⎪⎫－255＝－45， cos2α＝1－2sin 2α＝1－2×⎝⎛⎭⎪⎫552＝35， tan2α＝sin2αcos2α＝－43，故填－45，35，－43.(2)因为x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4，所以π4－x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4，又因为sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝513，所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝1213，所以cos2x ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝2×513×1213＝120169.当堂检测1-3.DAA 4. 12cos 2x∴tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝－13＋21＋23＝1.∵α∈⎝⎛⎭⎪⎫π2，π，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，∴π2＜α＋β＜3π2，∴α＋β＝5π4.。

1、求︒15tan 的值。

2、两角和的正切公式的推导3、两角差的正切公式例题剖析例1、已知βαtan tan ，是方程0652=-+x x 的两根，求)tan(βα+的值。

例2、求证：（1）︒-︒+15tan 115tan 1=3 （2）2)23tan 1)(22tan 1(=︒+︒+例3、如图：三个相同的正方形相接，求证：4πβα=+。

αβ例4、求︒︒-︒︒︒+︒8sin 15sin 7cos 8sin 15cos 7sin 的值。

巩固练习1、已知3tan =α，求)4tan(πα-2、已知5tan 2tan =-=βα，，求)tan(βα+3、=︒=︒105tan 75tan =︒+︒-75tan 175tan 14、已知2tan ,31)tan(-==+αβα，求βtan 的值5、已知)2,0(2tan 3tan πβαβα∈==、，，，求证：πβα43=+。

课堂小结熟练掌握并灵活运用两角和(差)的正切公式课后训练班级：高一（ ）班 姓名__________一、基础题1、已知βαtan tan ，是方程01532=-+x x 的两根，则=+)tan(βα2、若32tan 1tan 1+=+-A A，则=+︒)45tan(1A 3、︒︒+︒+︒88tan 58tan 192tan 58tan =______________ ； θθθtan 20tan 1tan 2tan +-=________________4、已知3tan 71tan -==y x ，，求=-)tan(y x 5、若2020πβπα<<<<，，且43tan 71tan ==βα，，求βα+的值。

二、提高题6、（1）若︒=+45βα，求证：2)1(tan )1(tan =+⋅+βα；（2）若2)1(tan )1(tan =+⋅+βα且βα、 为锐角, 求βα+的值。

7、证明:：（1）yx y x y x y x 2222tan tan 1tan tan )tan()tan(--=-+ （2）)sin()sin(tan tan tan tan y x y x y x y x -+=-+三、能力题 8、.已知2tan ,31tan -==βα，且︒<<︒ ︒<<︒360270900βα，，求βα+的值。

两角和与差的正弦余弦和正切公式复习导学案一．正弦、余弦、正切公式
1、正弦：正弦函数的定义是：“对于任意在0度到360度之间的角α，其正弦值sinα定义为与α的直角边构成的直角三角形的邻边与斜边的比值”，记做：
sin α=a/c；
2、余弦：余弦函数的定义是：“对于任意在0度到360度之间的角β，其余弦值cosβ定义为与β的斜边构成的直角三角形的邻边与斜边的比值”，记做：
cos β=b/c；
3、正切：正切函数的定义是：“对于任意在0度到360度之间的角γ，其正切值tanγ定义为与γ的直角边构成的直角三角形的邻边与对边的比值”，记做：
tan γ=a/b。

二．两角和与差的正弦、余弦、正切公式复习
1、两角和的正弦公式：
设α、β分别为两角，a、b、c分别为α、β关于c边的对边和邻边，则：
sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ
2、两角和的余弦公式：
cos（α+β）=cosαcosβ-sinαsinβ
3、两角和的正切公式：
tan（α+β）=（tanα+tanβ）/（1-ta nαtanβ）
4、两角差的正弦公式：
sin（α-β）=sinαcosβ-cosαsinβ
5、两角差的余弦公式：
cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ
6、两角差的正切公式：
tan（α-β）=（tanα-tanβ）/（1+tanαtanβ）
三．总结
正弦、余弦、正切公式是三角函数中重要的公式，是有关三角形比例的关系，记住公式对于正确理解、掌握、使用三角函数都有极大的帮助。