高一数学下册单元复习检测试题3

辽宁省葫芦岛市建昌县高级中学2024届高一数学第二学期期末复习检测模拟试题考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。

2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。

3．考生必须保证答题卡的整洁。

考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．已知ABC ∆中，10AB =，6AC =，8,BC M =为AB 边上的中点，则CM CA CM CB ⋅+⋅= ( )A ．0B ．25C ．50D ．1002．已知集合，则A ．B ．C ．D ．3．已知向量(),2m a =，()1,1n a =+，若//m n ，则实数a 的值为( ) A ．23-B ．2或1-C ．2-或1D ．2-4．如图所示，在边长为2的正方形中有一封闭曲线围成的阴影区域，向该正方形中随机撒一粒豆子，它落在阴影区域的概率是38，则该阴影区域的面积是（ ）A ．3B ．32C ．2D ．345．若直线过点()(1,2,4,23，则此直线的倾斜角是（ ） A ．30B ．45C ．60D ．90。

6．若向量()()1,3,3,MN NP m =-=，且//MN NP ，则MP 等于（ ） A ．()1,3B ．()2,6-C ．()3,2-D ．()3,27．如图，四棱锥P ABCD -的底面ABCD 为平行四边形，2=NB PN ，则三棱锥-N PAC 与三棱锥D PAC -的体积比为( )A ．1:2B ．1:8C ．1:3D ．1:68．已知134sin cos 225αα+=,则4sin 3απ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值为( )A ．235-B ．235C ．45-D ．459．己知函数()sin()f x A x ωϕ=+（x ∈R ，0A >，0>ω，2πϕ<）的图象（部分）如图所示，则()f x 的解析式是（）A ．()2si 3n ()f x x x R ππ⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭B ．()2sin 2()6f x x R ππ⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭C ．()2sin ()6f x x x R ππ⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭D ．()2sin 2()3f x x x R ππ⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭10．已知函数()()203f x x πωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭的最小正周期为π，若()()122f x f x ⋅=-，则12x x -的最小值为（ ）A ．2πB ．3π C ．πD ．4π 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。

2018-2019学年度下学期第三次检测卷高一数学一、选择题(共12小题,每小题5分,共60分) 1.数列11111,2,3,4,24816前n 项的和为（ ） A.2122n n n ++ B. 21122n n n +-++ C. 2122n n n+-+ D.21122n n n+--+2.已知平面向量a 与b 的夹角为60o ,且满足()0a b a -⋅=,若1a =, 则b =（）A. 3B. 1C. 2D.33.设00sin14cos14a =+, 00sin16cos16b =+, 6c =,则,,a b c 的大小关系是（ ）A. a b c <<B. a c b <<C. b c a <<D. b a c <<4.在各项都为正数的等比数列 中,,前三项的和为,则（ ）A. B. C. D.5.在ABC ∆中, 2a =, π3B =,其ABC ∆的面积等于32,则b 等于（ ） A. 32B. 1C. 3D.66.已知等比数列 中, , ,则的值为（ ）A.2B.4C.8D.167.已知函数()()sin 0,0,2f x A x A πωφωφ⎛⎫=+>><⎪⎝⎭,在一个周期内图像如图所示,若()()12f x f x =,且125,,126x x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦, 12x x ≠,则()12f x x +=( )A. 3B. 2C. 3-D. 2-8.等比数列{}n a ,若1221n n a a a ++⋯+=-,则22212n a a a ++⋯+= ( ) A.()1413n- B. ()11413n -- C. ()1213n-D. 41n - 9.若()()2cos f x x k ωϕ=++,对任意实数t 都有33f t f t ππ⎛⎫⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭成立,且13f π⎛⎫=- ⎪⎝⎭,则实数k 的值等于( ) A. -3或1 B. 1 C. -1或3 D. -310.设平面向量()1,2a =, ()2,b y =-,若//a b ,则2a b -=（ ） A. 4 B. 5 C. 35D. 4511. 设偶函数()f x 的定义域为R,当[0,)x ∈+∞时,()f x 是增函数,则(2)f -,()f π,(3)f -的大小关系是( )A.()(3)(2)f f f π>->-B.()(2)(3)f f f π>->-C.()(3)(2)f f f π<-<- D.()(2)(3)f f f π<-<-12. 设为等比数列的前n 项和,已知 ,则公比( )A.3B.4C.5D.6 二、填空题(共4小题,每小题5分,共20分) 13.如图,在中,,以O 为圆心、OB 为半径作圆弧交OP于A点．若圆弧等分的面积,且AOB α∠=弧度,则tan αα=________.14.已知等差数列{}n a 的前n项和为n S ,且2718a a =-,8S =__________．15.如图在平行四边形ABCD 中, ,,3,AB a AD b AN NC M ===为BC 中点, MN =__________． (用,a b 表示)16.已知,则__________．三、解答题(共6小题,共70分) 17.已知向量a ()1,3=, b ()3,x =． （1）如果a //b ,求实数x 的值； （2）如果1x =-,求向量a 与b 的夹角． 18.已知（1）化简；（2）若是第三象限角,且求的值.19.已知函数()2sin cos 3cos 333xxx f x =+. （1）求()f x 的最小正周期和单调递增区间；（2）当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时,求()f x 的最小值及取得最小值时x 的集合. 20.等差数列的前项和记为,已知.（1）求数列的通项公式；（2）求的最大值.21.已知ABC ∆的外接圆的半径为1, A 为锐角,且3sin 5A =. （1）若2AC =,求AB 的长；（2）若()1tan 3A B -=-,求tan C 的值. 22.已知数列 是等比数列,首项 ,公比 ,其前n 项和为 ,且 ,,成等差数列．（1）求数列 的通项公式； （2）若数列满足,求数列的前n 项和 ．答案1.B2.C3.B4.C5.C6.A7.A8.A9.A 10.D 11. A 12. B 13.1214.72 15.1144a b -+ 16.17.试题分析：（1）根据向量平行的坐标运算可以得到1330x ⨯-⨯=；（2）根据向量点积的坐标运算,可得到cos < a , 0a bb a b⋅>==⨯. （1）向量a ()1,3=, b ()3,x =, 当a b 时, 1330x ⨯-⨯=,解得9x =；（2）当1x =-时, b ()3,1=-； 所以a ⋅ b ()13310=⨯+⨯-=, 所以cos < a , 0a bb a b⋅>==⨯, 因为< a , b []0,π>∈, 所以a 与b 的夹角为π2． 18.（1）；（2）.解析：（1）（2）19.（1）3T π=.递增区间为53,344k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦（k Z ∈）.（2）()min 3f x =, x 的集合为0,2π⎧⎫⎨⎬⎩⎭.解析：（1）()1232323sincos sin 23333x x x f x π⎛⎫=++=++ ⎪⎝⎭. ∴()f x 的最小正周期为2323T ππ==. 由2222332x k k πππππ-≤+≤+,得53344k x k ππππ-≤≤+, ∴()f x 的单调递增区间为53,344k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦（k Z ∈）. （2）由（1）知()f x 在0,4π⎛⎤⎥⎝⎦上递增,在,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上递减；又()032f f π⎛⎫== ⎪⎝⎭,∴()min 3f x =,此时x 的集合为0,2π⎧⎫⎨⎬⎩⎭.20.(1) ;(2) .解析：（1）由题意,故； （2）21.（1）85；（2）793. 解析：（1）在ABC ∆中,由正弦定理2sin sin sin a b c R A B C===得, 362sin 2155a R A ==⨯⨯=,因为3sin ,0,42A A π⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭,所以2234cos 1sin 155A A ⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭,在ABC ∆中,由余弦定理222cos 2b c a A bc +-=得, 2226245522c c⎛⎫+- ⎪⎝⎭=⨯⨯,解得85c =,所以AB 的长为85；（2）由（1）知, 3sin 35tan 4cos 45A A A ===, 所以()()()31tan tan 1343tan tan 311tan tan 9143A AB B A A B A A B +--⎡⎤=--===⎣⎦+--⨯． 在ABC ∆中, A B C π++=,所以()313tan tan 7949tan tan 313tan tan 13149A B C A B A B ++=-+===-⨯-． 22.解：（1）因为 , , 成等差数列,所以 , 所以 ,所以,因为数列是等比数列,所以 ,又 ,所以 ,所以数列的通项公式（2）解：由（1）知 ,,,所以．故。

2019-2020年高一数学第二学期复习试卷一、选择题（本大题共12小题，每题5分，共60分，请将正确答案填入答题卷） 1．已知)20(παα<<的正弦线与余弦线相等，且符号相同，那么α的值为A ．ππ434或 B ．ππ4745或 C ．ππ454或 D ．ππ474或 2．若θ为第二象限角，那么)cos(sin )sin(cos θθ⋅的值为A ．正值B ．负值C ．零D ．为能确定 3．下列各组角中，终边相同的角是A ．π2k 与)(2Z k k ∈+ππB ．)(3k3Z k k ∈±πππ与C ．ππ)14()12(±+k k 与 )(Z k ∈D ．)(66Z k k k ∈±+ππππ与4．已知A={第一象限角}，B={锐角}，C={小于90°的角}，那么A 、B 、C 关系是A ．B=A ∩CB ．B ∪C=CC ．A ⊂CD ．A=B=C 5．将分针拨慢10分钟，则分钟转过的弧度数是A ．3π B ．－3π C ．6π D ．－6π 6．已知角α的终边在函数||x y -=的图象上，则αcos 的值为A ．22 B ．－22 C ．22或－22 D ．217．若,cos 3sin 2θθ-=那么2θ的终边所在象限为A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 8．1sin 、1cos 、1tan 的大小关系为A ．1tan 1cos 1sin >>B ．1cos 1tan 1sin >>C ．1cos 1sin 1tan >>D ．1sin 1cos 1tan >> 9．下列说法正确的是A ．1弧度角的大小与圆的半径无关B ．大圆中1弧度角比小圆中1弧度角大C ．圆心角为1弧度的扇形的弧长都相等D ．用弧度表示的角都是正角10．若α是第一象限角，则ααααα2cos ,2tan ,2cos ,2sin ,2sin 中能确定为正值的有A ．0个B ．1个C ．2个D ．2个以上11．化简1csc 2csc csc 1tan 1sec 22+++++ααααα（α是第三象限角）的值等于A ．0B ．－1C ．2D ．－2≠12．设α角的终边上一点P 的坐标是)5sin ,5(cos ππ，则α等于A ．5πB ．5cotπC ．)(1032Z k k ∈+ππ D ．)(592Z k k ∈-ππ二．填空题：(本大题共4小题，每小题4分，共16分．)13．某扇形的面积为12cm ，它的周长为4cm ，那么该扇形圆心角的度数为 . 14．函数y x x =-+162sin 的定义域是_________ . 15．已知βαπβαππβαπ-2,3,34则-<-<-<+<的取值范围是 . 16．已知α是第二象限角，且,4|2|≤+α则α的范围是 . 三、解答题：（本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 17. （本题满分12分）写出角的终边在下图中阴影区域内角的集合（这括边界）．（1） （2） （3）18．（本题满分12分）若αααααtan 2cos 1cos 1cos 1cos 1-=+---+, 求角α的取值范围．19．（本题满分12分）一扇形周长为40cm ，当扇形的圆心角α等于多少弧度时，这个扇形的面积最大？并求此扇形的最大面积？20．（本题满分12分）角α的终边上的点P 和点A （b a ,）关于x 轴对称（0≠ab ）角β的终边上的点Q 与A 关于直线x y =对称. 求βαβαβαcsc sec cot tan sec sin ⋅+⋅+⋅的值.21．（本题满分12分）已知长方形的四个项点A （0，0），B （2，0），C （2，1）和D （0，1），一质点从AB 的中点P 0沿与AB 夹角为θ的方向射到BC 上的点P 1后，依次反射到CD 、DA 和AB 上的点P 2、P 3和P 4（入射解等于反射角），设P 4坐标为（θtan ,2x 1),0,44求若<<x 的取值范围．22．（本题满分14分）单位圆上两个动点M 、N ，同时从P （1，0）点出发，沿圆周运动，M 点按逆时针方向旋转6π弧度/秒，N 点按顺时针转3π弧度/秒，试求它们出发后第三次相遇时的位置和各自走过的弧度 ．参考答案一、1．C 2．B 3．C 4．B 5．A 6．C 7．C 8．C 9．A 10．C 11．A 12．D 二、13．2 14．[][]--40，，ππ 15．)6,(ππ- 16．]2,2(),23(πππ⋃--三、17．．（1）}1359013545|{Z k k k ∈︒⋅+︒≤≤︒⋅+︒αα；（2）}904590|{Z k k k ∈︒⋅+︒≤≤︒⋅αα；； （3）}360150360120|{Z k k k ∈︒⋅+︒≤≤︒⋅+︒-αα．.18．在角α的终边上取一异于原点的点),(y x P ，22y x r +=，则左=))(()())(()(111122x r x r x r x r x r x r rx r xr x r x -+--+-+=+---+y xy x r y x r x r x r x r x r 2)()(222222=--+=----+=右=y xxy 22-=-).(222,0sin Z k k x k x ∈+<<+<∴ππππ19． 222021,240r r r S r -=⋅⋅=-=αα，当2,10==αr 时，)(1002max cm S =．． 20．由已知P （),(),,a b Q b a -，a b a b b b a b a b=-=+=+-=βαβαcot ,tan ,sec ,sin 2222，a b a a b a 2222csc ,sec +=+=βα , 故原式=－1－022222=++a b a a b ．． 21． 解得∈θtan )21,52(，22．设从P （1，0）出发，t 秒后M 、N 第三次相遇，则πππ636=+t t ，故t =12（秒）．故M 走了ππ2126=⨯（弧度），N 走了ππ4123=⨯（弧度）．。

一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.在n次重复进行的试验中,事件A发生的频率为,当n很大时,P(A)与的关系是( )A.P(A)≈B.P(A)<C.P(A)>D.P(A)=【解析】选A.根据概率的统计定义可知,当试验次数n不断增大时,事件A发生的频率会趋于一个稳定值,该值的大小反映了事件A发生的可能性的大小,所以事件A发生的概率近似等于该频率的稳定值.2.从一批产品(其中正品、次品都多于2件)中任取2件,观察正品件数和次品件数,下列事件是互斥事件的是( )(1)恰好有1件次品和恰好有两件次品.(2)至少有1件次品和全是次品.(3)至少有1件正品和至少有1件次品.(4)至少1件次品和全是正品.A.(1)(2)B.(1)(3)C.(3)(4)D.(1)(4)【解析】选D.互斥事件是两个事件不可能同时发生.3.(2020·广东高考)已知5件产品中有2件次品,其余为合格品.现从这5件产品中任取2件,恰有一件次品的概率为( )A.0.4B.0.6C.0.8D.1【解题指南】先对产品标号,然后列举出可能出现的结果,根据古典概型概率公式求出所求的概率.【解析】选B.5件产品中有2件次品,记为a,b,有3件合格品,记为c,d,e,从这5件产品中任取2件,有10种,分别是(a,b),(a,c),(a,d),(a,e),(b,c),(b,d),(b,e),(c,d),(c,e),(d,e),恰有一件次品,有6种,分别是(a,c),(a,d),(a,e),(b,c),(b,d),(b,e),设事件A=“恰有一件次品”,则P(A)==0.6.4.(2020·临沂高一检测)在区域内任意取一点P(x,y),则x2+y2<1的概率是( )A.0B.-C.D.1-【解题指南】本题为几何概型,首先画出所有可能构成的区域,再画出事件所满足的区域,根据几何概型的概率公式计算. 【解析】选C.所有基本事件构成的区域为边长为1的正方形,而满足条件的点构成的区域为圆心在原点,半径为1的圆在第一象限的部分即的圆,所以P=×=.5.从一批羽毛球产品中任取一个,其质量小于 4.8g的概率为0.3,质量小于 4.85g的概率为0.32,那么质量在[4.8,4.85)(g)范围内的概率是( )A.0.62B.0.38C.0.02D.0.68【解析】选 C.质量在[4.8,4.85)(g)范围内的概率为0.32-0.3=0.02.6.(2020·全国卷Ⅰ)为美化环境,从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种花种在一个花坛中,余下的2种花种在另一个花坛中,则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是( )A. B. C. D.【解析】选C.将4种颜色的花任选2种种在花坛中,余下的2种花种在另一个花坛中,有6种种法,其中红色和紫色的花不在同一花坛的种数有4种,故概率为.【补偿训练】(2020·杭州高一检测)从{1,2,3,4,5}中随机选取一个数为a,从{1,2,3}中随机选取一个数为b,则b>a的概率是( )A. B. C. D.【解析】选 D.设Ω={(a,b)|a∈{1,2,3,4,5},b∈{1,2,3}},包含的基本事件数为5×3=15,事件“b>a”可表示为{(1,2),(1,3),(2,3)},包含的基本事件数m=3,所以P==.7.设一元二次方程x2+bx+c=0,若b,c是一枚质地均匀的骰子连续投掷两次出现的点数,则方程有实数根的概率为( )A. B. C. D.【解析】选D.因为b,c是一枚质地均匀的骰子连续投掷两次出现的点数,所以一共有36种情况.由方程有实数根知,Δ=b2-4c≥0,显然b≠1.当b=2时,c=1(1种);当b=3时,c=1,2(2种);当b=4时,c=1,2,3,4(4种);当b=5时,c=1,2,3,4,5,6(6种);当b=6时,c=1,2,3,4,5,6(6种).故方程有实数根共有19种情况,所以方程有实数根的概率是.【补偿训练】把一枚骰子投掷两次,观察出现的点数,记第一次出现的点数为a,第二次出现的点数为b,则方程组只有一个解的概率为( )A. B. C. D.【解析】选B.点(a,b)取值的集合共有6×6=36个元素.方程组只有一个解等价于直线ax+by=3与x+2y=2相交,即≠,即b≠2a,而满足b=2a的点只有(1,2),(2,4),(3,6),共3个,故方程组只有一个解的概率为=.8.已知直线y=x+b的横截距在[-2,3]范围内,则直线在y轴上的截距b大于1的概率是( )A. B. C. D.【解析】选 A.由题意知b∈[-3,2],所以P(b大于1)==.9.(2020·全国卷Ⅱ)从区间[0,1]随机抽取2n个数x1,x2,…,x n,y1,y2,…,y n,构成n个数对(x1,y1),(x2,y2),…,(x n,y n),其中两数的平方和小于1的数对共有m个,则用随机模拟的方法得到的圆周率π的近似值为( )A. B. C. D.【解析】选 C.由题意得:(x i,y i)(i=1,2,…,n)在如图所示的正方形中,而平方和小于1的点均在如图所示的阴影中,由几何概型概率计算公式知=,所以π=.10.(2020·石家庄高一检测)在5件产品中,有3件一等品和2件二等品,从中任取2件,以为概率的事件是( )A.恰有2件一等品B.至少有一件一等品C.至多有一件一等品D.都不是一等品【解析】选C.将3件一等品编号为1,2,3;2件二等品编号为4,5,从中任取2件有10种取法:(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,3),(2,4),(2,5),(3,4),(3,5),(4,5).其中恰含有1件一等品的取法有:(1,4),(1,5),(2,4),(2,5),(3,4),(3,5),恰有1件一等品的概率为P1=,恰有2件一等品的取法有:(1,2),(1,3),(2,3).故恰有2件一等品的概率为P2=,其对立事件是“至多有一件一等品”,概率为P3=1-P2=1-=.11.一只猴子任意敲击电脑键盘上的0到9这十个数字键,则它敲击两次(每次只敲击一个数字键)得到的两个数字恰好都是3的倍数的概率为( )A. B. C. D.【解析】选A.任意敲击0到9这十个数字键两次,其得到的所有结果为(0,i)(i=0,1,2,...,9);(1,i)(i=0,1,2,...,9);(2,i)(i=0,1,2, (9);…;(9,i)(i=0,1,2,…,9).故共有100种结果.两个数字都是3的倍数的结果有(3,3),(3,6),(3,9),(6,3),(6,6),(6,9),(9,3),(9,6),(9,9).共有9种.故所求概率为.12.运行如图的程序框图,设输出数据构成的集合为A,从集合A中任取一个元素α,则函数y=xα,x∈[0,+∞)是增函数的概率为( )A. B. C. D.【解析】选C.当x依次取值-3,-2,-1,0,1,2,3时,对应的y 的值依次为:3,0,-1,0,3,8,15,所以集合A={-1,0,3,8,15},因为α∈A,所以使y=xα在x∈[0,+∞)上为增函数的α的值为3,8,15,故所求概率P=.二、填空题(本大题共4个小题,每小题5分,共20分.把答案填在题中的横线上)13.从1,2,3,4这四个数中一次随机地取两个数,则其中一个数是另一个的两倍的概率为________.【解析】基本事件为(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4)6个;其中一个数是另一个两倍的有(1,2),(2,4)两个事件,故概率为=.答案:14.(2020·潍坊高一检测)口袋内装有100个大小相同的红球、白球和黑球,其中有45个红球,从中摸出1个球,摸出白球的概率为0.23,则摸出黑球的概率为________.【解析】由题可知,白球的个数为100×0.23=23,所以黑球的个数为100-23-45=32,所以概率为P==0.32.答案:0.3215.(2020·山东高考)在[-1,1]上随机地取一个数k,则事件“直线y=kx与圆(x-5)2+y2=9相交”发生的概率为. 【解析】若直线y=kx与圆(x-5)2+y2=9相交,则有圆心到直线的距离d=<3,即-<k<,所以所求概率P==.答案:【补偿训练】已知函数f(x)=log2x,x∈[1,3],若在区间x∈[1,3]上随机取一点,则使得-1≤f(x0)≤1的概率为________. 【解题指南】本题需要根据对数函数的图象准确解出简单的对数不等式,并结合函数的定义域求出不等式的正确解集. 【解析】由函数-1≤f(x0)≤1得-1≤log2x0≤1,解得x0∈,又函数f(x)的定义域为x∈[1,3],所以不等式的最终解集为x0∈[1,2],所以-1≤f(x0)≤1的概率为P==.答案:【误区警示】本题易忽略函数的定义域而导致不等式的解集出错,从而导致结果错误.16.已知集合A={-1,0,1,3},从集合A中有放回地任取两个元素x,y作为点M的坐标,则点M落在x轴上的概率为.【解题指南】先列出所有基本事件,再看点M落在x轴上包括哪几个基本事件,根据古典概型概率公式求解.【解析】所有基本事件构成的集合为{(-1,-1),(-1,0),(-1,1),(-1,3),(0,-1),(0,0),(0,1),(0,3),(1,-1),(1,0),(1,1),(1,3),(3,-1),(3,0),(3,1),(3,3)},其中“点M落在x轴上”的事件所含基本事件有(-1,0),(0,0),(1,0),(3,0),所以P==.答案:三、解答题(本大题共6个小题,共70分,解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17.(10分)已知盒子中有散落的棋子15粒,其中6粒是黑子,9粒是白子,已知从中取出2粒都是黑子的概率是,从中取出2粒都是白子的概率是,现从中任意取出2粒恰好是同一色的概率是多少?【解析】从中取出2粒都是黑子与都是白子互斥,因而从盒子中任意取出2粒恰好是同一色的概率恰为取2粒白子的概率与2粒黑子的概率的和,即为+=.18.(12分)同时抛掷1角、5角和1元的三枚硬币,计算:(1)恰有一枚出现正面的概率.(2)至少有两枚出现正面的概率.【解析】基本事件有(正,正,正),(正,正,反),(正,反,正),(正,反,反),(反,反,反),(反,正,反),(反,反,正),(反,正,正)共8个.(1)用A表示“恰有一枚出现正面”这一事件:则A={(正,反,反),(反,反,正),(反,正,反)}.因此P(A)=.(2)用B表示“至少有两枚出现正面”这一事件,则B={(正,正,反),(正,反,正),(反,正,正),(正,正,正)},因此P(B)==. 19.(12分)在区间(0,1)上随机取两个数m,n,求关于x的一元二次方程x2-x+m=0有实根的概率.【解析】在平面直角坐标系中,以x轴和y轴分别表示m,n 的值,因为m,n在(0,1)内与图中正方形内的点一一对应,即正方形内的所有点构成全部试验结果的区域.设事件A表示方程x2-x+m=0有实根,则事件A=,所对应的区域为图中的阴影部分,且阴影部分的面积为,故P(A)==,即关于x的一元二次方程x2-x+m=0有实根的概率为.20.(12分)(2020·天津高考)设甲、乙、丙三个乒乓球协会的运动员人数分别为27,9,18,先采用分层抽样的方法从这三个协会中抽取6名运动员参加比赛.(1)求应从这三个协会中分别抽取的运动员人数.(2)将抽取的6名运动员进行编号,编号分别为A1,A2,A3,A4,A5,A6,从这6名运动员中随机抽取2名参加双打比赛.①用所给编号列出所有可能的结果;②设A为事件“编号为A5,A6的两名运动员至少有一人被抽到”,求事件A发生的概率.【解题指南】(1)由分层抽样方法可知应从甲、乙、丙这三个协会中抽取的运动员人数分别为3,1,2.(2)①一一列举,共15种;②符合条件的结果有9种,所以P==.【解析】(1)应从甲、乙、丙这三个协会中抽取的运动员人数分别为3,1,2.(2)①从这6名运动员中随机抽取2名参加双打比赛,所有可能的结果为{A1,A2},{A1,A3},{A1,A4},{A1,A5},{A1,A6},{A2,A3},{A2,A},{A2,A5},{A2,A6},{A3,A4},{A3,A5},{A3,A6},{A4,A5},{A4 4,A6},{A5,A6},共15种.②编号为A5,A6的两名运动员至少有一人被抽到的结果为{A1,A5},{A1,A6},{A2,A5},{A2,A6},{A3,A5},{A3,A6},{A4,A5},{A4,A6},{A5,A},共9种,所以事件A发生的概率P==.621.(12分)(2020·武汉高一检测)2020年全国两会期间,某报刊媒体要选择两名记者去进行专题采访,现有记者编号分别为1,2,3,4,5的五名男记者和编号分别为6,7,8,9的四名女记者.要从这九名记者中一次随机选出两名,每名记者被选到的概率是相等的,用符号(x,y)表示事件“抽到的两名记者的编号分别为x,y,且x<y”.(1)共有多少个基本事件?并列举出来.(2)求所抽取的两名记者的编号之和小于17但不小于11或都是男记者的概率.【解析】(1)共有36个基本事件,列举如下:(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(1,7),(1,8),(1,9),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(2,7),(2,8),(2,9),(3,4),(3,5),(3,6),(3,7),(3,8),(3,9),(4,5),(4,6),(4,7),(4,8),(4,9),(5,6),(5,7),(5,8),(5,9),(6,7),(6,8),(6,9),(7,8),(7,9),(8,9),共36个.(2)记事件“所抽取的记者的编号之和小于17但不小于11”为事件A,即事件A为“x,y∈{1,2,3,4,5,6,7,8,9},且11≤x+y<17,其中x<y”,由(1)可知事件A共含有15个基本事件,列举如下:(2,9),(3,8),(3,9),(4,7),(4,8),(4,9),(5,6),(5,7),(5,8),(5,9),(6,7),(6,8),(6,9),(7,8),(7,9),共15个.“都是男记者”记作事件B,则事件B为“x<y≤5”,包含:(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,3),(2,4),(2,5),(3,4),(3,5),(4,5),共10个.故P(A)+P(B)=+=.【误区警示】用列举法列出基本事件时,必须做到不重不漏,且要注意题中要求(x,y)表示事件“抽到的两名记者的编号分别为x,y且x<y”,所以列举时易因忽略题中所给关键条件导致出错.22.(12分)(2020·黑龙江高一检测)从某校高三年级800名男生中随机抽取50名学生测量其身高,据统计被测学生的身高全部在155cm到195cm之间.将测量结果按如下方式分成8组:第一组[155,160),第二组[160,165),…,第八组[190,195],如图是按上述分组得到的频率分布直方图的一部分.已知第一组与第八组的人数相同,第六组、第七组和第八组的人数依次成等差数列.频率分布直方图:(1)求下列频率分布表中所标字母的值,并补充完整频率分布直方图.频率分布表:分组频数频率频率/组距……………[180,185) x y z[185,190) m n p ……………(2)若从身高属于第六组和第八组的所有男生中随机抽取2名男生,记他们的身高分别为x,y,求满足:|x-y|≤5的事件的概率.【解析】(1)由频率分布直方图可得前5组的频率是(0.008+0.016+0.04+0.04+0.06)×5=0.82,第八组的频率是0.04,所以第六、七组的频率是1-0.86=0.14,所以样本中第六、七组的总人数为7人.由已知得:x+m=7.①因为x,m,2成等差数列,所以x=2m-2,②由①②得:m=3,x=4,所以y=0.08,n=0.06,z=0.016,p=0.012.频率分布直方图如图所示.(2)由(1)知,身高在[180,185)内的有4人,设为a,b,c,d,身高在[190,195]内的有2人,设为A,B.若x,y∈[180,185),则有ab,ac,ad,bc,bd,cd共6种情况;若x,y∈[190,195],则有AB共1种情况;若x∈[190,195],y∈[180,185)或x∈[180,185),y∈[190,195],则有aA,bA,cA,dA,aB,bB,cB,dB共8种情况. 所以基本事件总数为6+1+8=15种.又事件“|x-y|≤5”所包含的基本事件总数为6+1=7种,所以P(|x-y|≤5)=.。

高一数学下学期其中考试复习（必修3.必修4 1.1-1.4）一、选择题1.某社区有400个家庭，其中高等收入家庭120户，中等收入家庭180户，低收入家庭100户为了调查社会购买力的某项指标，要从中抽取一个容量为100的样本记作；某校高一年级有12名女排球运动员，要从中选出3人调查学习负担情况，记作；那么，完成上述2项调查应采用的抽样方法是A. 用随机抽样法，用系统抽样法B. 用分层抽样法，用随机抽样法C. 用系统抽样法，用分层抽样法D. 用分层抽样法，用系统抽样法2.已知扇形的半径为2，面积为4，则这个扇形圆心角的弧度数为A. B. C. D. 23.若且，则的终边在A. 第一象限B. 第二象限C. 第一象限或第三象限D. 第三象限或第四象限4.若，则ααcosαcos2+( )sin4A. B. C. 1 D.5.把红，黄，蓝，白4张纸牌随机地分发给甲，乙，丙，丁四个人，每人一张，则事件“甲分得红牌“与事件“丁分得红牌“是A. 不可能事件B. 互斥但不对立事件C. 对立事件D. 以上答案都不对6.，两名同学在5次数学考试中的成绩统计如下面的茎叶图所示，若，两人的平均成绩分别是，，观察茎叶图，下列结论正确的是A. ，比A成绩稳定B. ，比A成绩稳定C. ，比B成绩稳定D. ，比B成绩稳定7.用秦九韶算法计算多项式在时的值时，的值为A. B. 220 C. D. 348.表中提供了某厂节能降耗技术改造后生产A产品过程中记录的产量吨与相应的生产能耗吨标准煤的几组对应数据根据下表提供的数据，求出y关于x的线性9.200辆汽车通过某一段公路时的时速的频率分布直方图如图所示，则时速在，的汽车大约A. 60辆B. 80辆C. 100辆D. 120辆10.如果数据，，，的平均数为2，方差为3，则数据，，的平均数和方差分别为A. ，B. ，C. ，D. ，11.执行如图所示的程序框图，若输出的S为4，则输入的x应为A.B. 16C. 或8D. 或1612.某程序框图如图所示，若输出的，则判断框内为A. ？B. ？C. ？D. ？13.已知角的终边过点，，则的值是A. B. C. 0 D. 与a的取值有关14.一只蚂蚁在三边长分别为，，的三角形内爬行，则此蚂蚁距离三角形三个顶点的距离均超过1的概率为A. B. C. D.二、填空题15.把“二进制”数化为“六进制”数是______ ．16.已知某运动员每次投篮命中的概率都为，现采用随机模拟的方法估计该运动员四次投篮恰有两次命中的概率：先由计算器算出0到9之间取整数值的随机数，指定，，，，表示命中，，，，，表示不命中；再以每四个随机数为一组，代表四次投篮的结果经随机模拟产生了20组随机数：9075 9660 1918 9257 2716 9325 8121 4589 5690 68324315 2573 3937 9279 5563 4882 7358 1135 1587 4989据此估计，该运动员四次投篮恰有两次命中的概率为______ ．17.将参加数学竞赛的1000名学生编号如下：，，，，，打算从中抽取一个容量为50的样本，按系统抽样的办法分成50个部分如果第一部分编号为，，，，从中随机抽取一个号码为0015，则第40个号码为______ ．18.在任意三角形ABC内任取一点Q，使的概率为______ ．三、解答题19.已知，求；．20.已知化简若是第二象限角，且，求的值．21.上周某校高三年级学生参加了数学测试，年部组织任课教师对这次考试进行成绩分析现从中随机选取了40名学生的成绩作为样本，已知这40名学生的成绩全部在40分至100分之间，现将成绩按如下方式分成6组：第一组，；第二组，；；第六组，，并据此绘制了如图所示的频率分布直方图．Ⅰ估计这次月考数学成绩的平均分和众数；Ⅱ从成绩大于等于80分的学生中随机选2名，求至少有1名学生的成绩在区间，内的概率．22.如表提供了某厂生产甲产品过程中记录的产量吨与相应的生产能耗吨标准煤Ⅰ请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程；Ⅱ根据求出的线性回归方程，预测生产20吨甲产品的生产能耗是多少吨标准煤？参考公式：，参考数值：23.先后随机投掷2枚正方体骰子，其中x表示第1枚骰子出现的点数，y表示第2枚骰子出现的点数，求点，在直线上的概率；求点，满足的概率．24.在物理实验中，为了研究所挂物体的重量x对弹簧长度y的影响某学生通过实验测利用公式公式见卷首求y对x的回归直线方程；预测所挂物体重量为8g时的弹簧长度．25.若点，，在，中按均匀分布出现试求方程有两个实数根的概率．26.某校高一举行了一次数学竞赛，为了了解本次竞赛学生的成绩情况，从中抽取了部分学生的分数得分取正整数，满分为100分作为样本样本容量为进行统计，按照，，，，，，，，，的分组作出频率分布直方图，并作出样本分数的茎叶图图中仅列出了得分在，，，的数据．求样本容量n和频率分布直方图中的，的值；估计本次竞赛学生成绩的中位数和平均分；在选取的样本中，从竞赛成绩在80分以上含80分的学生中随机抽取2名学生，求所抽取的2名学生中至少有一人得分在，内的频率．27.求年推销金额y关于工作年限x的线性回归方程；若某推销员工作年限为11年，试估计他的年推销金额．答案和解析【答案】1. B2. D3. C4. A5. B6. A7. C8. A9. D10. B11. D12. A13. A14. B15.16.17. 079518.19. 解：，；，，解得，，或，，．20. 解：．是第二象限角，且，，是第二象限角，．21. 解：因各组的频率之和为1，所以成绩在区间，内的频率为，所以平均分分，众数的估计值是分设A表示事件“在成绩大于等于分的学生中随机选2名，至少有1名学生的成绩在区间，内”，由题意可知成绩在区间，内的学生所选取的有：，记这4名学生分别为，，，，成绩在区间，内的学生有人，记这2名学生分别为，，则从这6人中任选2人的基本事件事件空间为：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，共15种，事件“至少有1名学生的成绩在区间，内”的可能结果为：，，，，，，，，，，，，，，，，，，共九种，所以．故所求事件的概率为：．22. 解：，，，，，．线性回归方程为．当时，．答：预测生产20吨甲产品的生产能耗吨标准煤．23. 解：由题意知本题是一个古典概型，试验发生包含的总事件数每颗骰子出现的点数都有6种情况，基本事件总数为个，记“点，在直线上”为事件A，A有5个基本事件：，，，，，，，，，，；由题意知本题是一个古典概型，试验发生包含的总事件数每颗骰子出现的点数都有6种情况，基本事件总数为个，记“点，满足”为事件B，事件B有17个基本事件：当时，；当时，，；当时，，，；当时，，，；当时，，，，；当时，，，，，．24. 解：散点图，如图所示，，，，，；当时，．预测所挂物体重量为8g时的弹簧长度为10cm．25. 解：方程有两个实数根，即有：，如图所示：圆的面积为：，正方形的面积为：36，方程有两个实数根的概率：．26. 解：由题意可知，样本容量，，；设本次竞赛学生成绩的中位数为m，平均分为，则，解得，，由题意可知，分数在，内的学生有5人，记这5人分别为，，，，，分数在，内的学生有2人，记这2人分别为，抽取的2名学生的所有情况有21种，分别为：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，其中2名同学的分数都不在，内的情况有10种，分别为：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，所抽取的2名学生中至少有一人得分在，内的概率27. 解：根据表中数据，画出散点图如图所示；由知y与x具有线性相关关系，计算，，，，回归系数为，，关于x的线性回归方程是；由知，当时，，即推销员工作年限为11年时，估计他的年推销金额为百万元．【解析】1. 解：社会购买力的某项指标，受到家庭收入的影响而社区中各个家庭收入差别明显用分层抽样法，而某校高一年级有12名女排球运动员，要从中选出3人调查学习负担情况的调查中个体之间差别不大，且总体和样本容量较小，用随机抽样法故选B由于中，某社区有400个家庭，其中高等收入家庭120户，中等收入家庭180户，低收入家庭100户，其收入差别较大，故要用分层抽样，而中总体和样本容量较小，且无明显差别，可用随机抽样．本题考查的知识点是收集数据的方法，其中分别个体之间是否有明显的差别，及样本及总体容量的大小以确定抽样方法是解答本题的关键．2. 解：设扇形圆心角的弧度数为，则扇形面积为解得：故选：D．半径为r的扇形圆心角的弧度数为，则它的面积为，由此结合题中数据，建立关于圆心角的弧度数的方程，解之即得该扇形的圆心角的弧度数．本题在已知扇形的面积和半径的情况下，求该扇形圆心角的弧度数着重考查了弧度制的定义和扇形面积公式等知识，属于基础题．3. 解；且，位于第二象限．，，则当k为奇数时它是第三象限，当k为偶数时它是第一象限的角角的终边在第一象限或第三象限，故选：C．利用象限角的各三角函数的符号，将且，得出所在的象限，进而得出结果．本题考查象限角中各三角函数的符号，属于基础题．4. 解：，．故选：A．将所求的关系式的分母“1”化为，再将“弦”化“切”即可得到答案．本题考查三角函数的化简求值，“弦”化“切”是关键，是基础题．5. 解：根据题意可得，事件“甲分得红牌“与事件“丁分得红牌”不可能同时发生，故他们是互斥事件．但由于这两个事件的和事件不是必然事件，故这两个事件不是对立事件，故选B．由于事件“甲分得红牌“与事件“丁分得红牌”不可能同时发生，故他们是互斥事件但由于这两个事件的和事件不是必然事件，故这两个事件不是对立事件．本题主要考查互斥事件和对立事件的定义，以及它们之间的关系，属于基础题．6. 解：由茎叶图知，可知道甲的成绩为96、91、92、103、128，平均成绩为102；乙的成绩为99、108、107、114、112、，平均成绩为106；从茎叶图上可以看出B的数据比A的数据集中，B比A成绩稳定，故选A．根据所给的茎叶图，看出甲和乙的成绩，算出两个人的平均分，结果平均分甲大于乙，再算出两个人的成绩单方差，乙的方差大于甲的方差，得到结果．本题考查茎叶图，考查平均数和方差，是一个统计问题，茎叶图的优点是可以保存数据的原始状态，没有数据损失，从茎叶图上可以看出两组数据的稳定程度．7. 解：多项式，当时，，，，．故选：C．由于多项式，可得当时，，，，即可得出．本题考查了秦九韶算法计算多项式的值，考查了计算能力，属于基础题．8. 解：由回归方程知，解得，故选A．先求出这组数据的样本中心点，样本中心点是用含有t的代数式表示的，把样本中心点代入变形的线性回归方程，得到关于t的一次方程，解方程，得到结果．本题考查回归分析的初步应用，考查样本中心点的性质，考查方程思想的应用，是一个基础题，解题时注意数字计算不要出错．9. 解：由直方图可知，时速在，的频率为，时速在，的频率为所以时速在，的汽车大约有辆．故选：D需根据直方图中求出各个矩形的面积，即为各组频率，再由总数乘以频率即得各组频数．本题考查频率分布直方图的相关知识直方图中的各个矩形的面积代表了频率，所以各个矩形面积之和为1．10. 解：，，，，的平均数为2，数据，，的平均数是：，，，，，的方差为3，，，，，的方差是．故选：B．由平均数和方差的性质得数据，，，，的平均数为，方差为．本题考查一组数据的平均数、方差的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意平均数、方差性质的合理运用．11. 解；由程序框图知：算法的功能是求的值，当时，输出的；当时，输出的．故选：D．算法的功能是求的值，分当时和当时两种情况，求输出时的x值．本题考查了选择结构的程序框图，根据框图的流程判断算法的功能是关键．12. 解：程序在运行过程中各变量值变化如下表：K S是否继续循环循环前1第一圈2 4 是第二圈3 11 是第三圈 4 26 是第四圈 5 57 否故退出循环的条件应为故答案选A．分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是累加并输入S的值，条件框内的语句是决定是否结束循环，模拟执行程序即可得到答案．算法是新课程中的新增加的内容，也必然是新高考中的一个热点，应高度重视程序填空也是重要的考试题型，这种题考试的重点有：分支的条件循环的条件变量的赋值变量的输出其中前两点考试的概率更大此种题型的易忽略点是：不能准确理解流程图的含义而导致错误．13. 解：由角的终边过点，，可得，，，故，，，故选A．由题意可得，，，根据任意角的三角函数的定义求出和的值，即可求得的值．本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于基础题．14. 解：三角形ABC的面积为，离三个顶点距离都不大于1的地方的面积为，所以其恰在离三个顶点距离都大于1的地方的概率为，故选：B求出三角形的面积；再求出据三角形的三顶点距离小于等于1的区域为三个扇形，三个扇形的和是半圆，求出半圆的面积；利用对理事件的概率公式及几何概型概率公式求出恰在离三个顶点距离都大于1的地方的概率．本题考查几何概型概率公式、对立事件概率公式、三角形的面积公式、扇形的面积公式．15. 解：先将“二进制”数化为十进制数为然后将十进制的89化为六进制：余，余，余2所以，结果是故答案为：．先将“二进制”数化为十进制数，然后将十进制的89化为六进制，即可得到结论．本题考查的知识点是二进制、十进制与六进制之间的转化，其中熟练掌握“除k取余法”的方法步骤是解答本题的关键，属于基础题．16. 解：由题意得20组机数中，该运动员四次投篮恰有两次命中的有：，，，，，，，共7个，据此估计，该运动员四次投篮恰有两次命中的概率为．故答案为：．由题意得20组机数中，该运动员四次投篮恰有两次命中的有7个，据此能求出该运动员四次投篮恰有两次命中的概率．本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意列举法的合理运用．17. 解：系统抽样是先将总体按样本容量分成段，再间隔k取一个．又现在总体的个体数为1000，样本容量为，若第一个号码为0015，则第40个号码为故答案为0795因为系统抽样是先将总体按样本容量分成段，再间隔k取一个，所以只需找到k的值，就可计算第40个号码为多少．本题考查了抽样方法中的系统抽样，掌握系统抽样的规律．18. 解：分别取CA、CB点D、E，且，连接DE上一点到AB的距离等于C到AB距离的，设C到AB的距离为h，则当动点P位于线段DE上时，的面积因此，当点Q位于内部，且位于线段DE上方时，的面积大于 ∽ ，且相似比：由此可得的面积大于的概率为．故答案为：．设DE是平行于AB，且，可得当Q点位于内部的线段DE上方时，能使因此所求的概率等于的面积与的面积比值，根据相似三角形的性质求出这个面积比即可．本题给出三角形ABC内部一点P，求三角形PBC面积大于或等于三角形ABC面积的一半的概率，着重考查了相似三角形的性质和几何概型的计算等知识，属于基础题．19. 由已知式子可得的值，变形要求的式子代值计算可得答案；由条件利用同角三角函数的基本关系求得，的值，然后代值计算可得答案．本题考查同角三角函数基本关系的应用，弦化切是解决问题的关键，属基础题．20. 由题意利用诱导公式化简的解析式．利用同角三角函数的基本关系、诱导公式，求得的值．本题主要考查同角三角函数的基本关系、诱导公式的应用，以及三角函数在各个象限中的符号，属于基础题．21. Ⅰ由各组的频率和等于1直接列式计算成绩在，的学生频率，再估计这次月考数学成绩的平均分和众数；Ⅱ用列举法求出从成绩大于等于80分的学生中随机选2名学生的事件个数，查出至少有1名学生成绩在，的事件个数，然后直接利用古典概型概率计算公式求解．本题考查了频率分布直方图，考查了古典概型及其概率计算公式，解答的关键是对事件的列举做到不重不漏，是基础题．22. 根据回归系数公式计算回归系数，得出回归方程；把代入回归方程计算．本题考查了线性回归方程的求解及数值预测，属于基础题．23. 由题意知本题是一个古典概型，试验发生包含的总事件数每颗骰子出现的点数都有6种情况，基本事件总数为个，再验证满足条件的事件数．由题意知本题是一个古典概型，试验发生包含的基本事件总数为，满足条件的事件当，，，，，挨个列举出基本事件的结果，满足条件的事件有17个基本事件．将数形结合和分类讨论的思想渗透到具体问题中来，用列举法列举基本事件的个数，不仅能让学生直观的感受到对象的总数，而且还能使学生在列举的时候作到不重不漏，解决了求古典概型中基本事件总数这一难点．24. 利用所给数据，可得散点图；利用公式计算，，可得y对x的回归直线方程；利用的结论，可以预测所挂物体重量为8g时的弹簧长度．本题考查回归分析的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．25. 欲求方程有两个实数根的概率，先根据二次方程根的判别式求出，必须满足的条件，再在坐标系中画出相应的封闭曲线，最后求出它们的面积比即可．本题主要考查了几何概型，简单地说，如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度面积或体积成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称为几何概型．26. 由样本容量和频数频率的关系易得答案；根据平均数的定义和中位数的定义即可求出．由题意可知，分数在，内的学生有5人，记这5人分别为，，，，，分数在，内的学生有2人，记这2人分别为，，列举法易得本题考查列举法求古典概型的概率，涉及频率分布直方图，属基础题．27. 根据表中数据，画出散点图即可；由知y与x具有线性相关关系，计算、，求出回归系数，写出线性回归方程；由回归方程计算时的值即可．本题考查了散点图以及线性回归方程的应用问题，是中档题．。

立体几何单元复习一知识结构图二.学法指导1.空间几何体的表面积与体积的求法：(1)多面体的表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积注意衔接部分的处理．(2)旋转体的表面积问题注意其侧面展开图的应用．(3)求复杂几何体的体积常用割补法、等积法求解．2. 与球相关问题的解题策略：(1)作适当的截面(如轴截面等)时，对于球内接长方体、正方体，则截面一要过球心，二要过长方体或正方体的两条体对角线，才有利于解题．(2)对于“内切”和“外接”等问题，首先要弄清几何体之间的相互关系，主要是指特殊的点、线、面之间的关系，然后把相关的元素放到这些关系中来解决．3．空间平行、垂直关系的转化：(1)平行、垂直关系的相互转化(2)证明空间线面平行或垂直需注意三点①由已知想性质，由求证想判定．②适当添加辅助线(或面)是解题的常用方法之一．③用定理时要先明确条件，再由定理得出相应结论．4.空间角的求法：求空间各种角的大小一般都转化为平面角来计算，空间角的计算步骤：一作，二证，三计算． (1)求异面直线所成的角常用平移转化法(转化为相交直线的夹角)． (2)求直线与平面所成的角常用射影转化法(即作垂线、找射影)． (3)二面角的平面角的作法常有三种：①定义法；②垂线法；③垂面法．5.求集合并集的两种基本方法：（1）定义法：若集合是用列举法表示的，可以直接利用并集的定义求解；（2）数形结合法：若集合是用描述法表示的由实数组成的数集，则可以借助数轴分析法求解. 6.求集合交集的方法为：(1).定义法，(2)数形结合法．（2）．若A ，B 是无限连续的数集，多利用数轴来求解．但要注意，利用数轴表示不等式时，含有端点的值用实点表示，不含有端点的值用空心点表示．三.知识点贯通知识点1 空间几何体的表面积与体积 1.圆柱、圆锥、圆台的表面积2.棱柱、棱锥、棱台的体积：棱柱的体积公式V ＝Sh (S 为底面面积，h 为高)； 棱锥的体积公式V ＝13Sh (S 为底面面积，h 为高)；棱台的体积公式V ＝13h (S ′＋S ′S ＋S )．其中，台体的上、下底面面积分别为S ′、S ，高为h .例题1.如图所示的三棱锥O ­ABC 为长方体的一角．其中OA ，OB ，OC 两两垂直，三个侧面OAB ，OAC ，OBC 的面积分别为1.5 cm 2, 1 cm 2, 3 cm 2，求三棱锥O ­ABC 的体积．【解析】 设OA ，OB ，OC 的长依次为x cm ，y cm ，z cm ，则由已知可得12xy ＝1.5，12xz ＝1，12yz ＝3.解得x ＝1，y ＝3，z ＝2.将三棱锥O ­ABC 看成以C 为顶点，以OAB 为底面． 易知OC 为三棱锥C ­OAB 的高．于是V O ­ABC ＝V C ­OAB ＝13S △OAB ·OC ＝13×1.5×2＝1(cm 3)．知识点二 与球有关的切、接问题 1．球的表面积设球的半径为R ，则球的表面积S ＝4πR 2，即球的表面积等于它的大圆面积的4倍． 2．球的体积设球的半径为R ，则球的体积V ＝43πR 3.例题2：(1)正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为6，底面边长为4，则该球的表面积为( )A.443πB.4849πC.814π D ．16π (2)一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面都相切，如果这个球的体积是323π，那么这个三棱柱的体积是( )A ．96 3B ．16 3C ．24 3D ．483 （1）【答案】B【解析】如图，设PE 为正四棱锥P ­ABCD 的高，则正四棱锥P ­ABCD 的外接球的球心O 必在其高PE 所在的直线上，延长PE 交球面于一点F ，连接AE ，AF .由球的性质可知△P AF 为直角三角形且AE ⊥PF ，又底面边长为4, 所以AE ＝22， PE ＝6, 所以侧棱长P A ＝PE 2＋AE 2＝62＋(2 2 )2＝44＝211. 设球的半径为R, 则PF ＝2R . 由三角形相似得P A 2＝PF ·PE ，即44＝2R ×6，解得R ＝113，所以S ＝4πR 2＝4π×⎝⎛⎭⎫1132＝484π9，故选B. (2)【答案】D【解析】由球的体积公式可求得球的半径R ＝2.设球的外切正三棱柱的底面边长为a ，高即侧棱长，为h ，则h ＝2R ＝4.在底面正三角形中，由正三棱柱的内切球特征，有13·32a ＝R ＝2，解得a ＝4 3.故此三棱柱的体积V ＝12×32×(43)2×4＝48 3.知识点三 空间点、线、面位置关系的判断与证明直线与平面平行的判定及性质2.平面与平面平行的判定(1)文字语言：如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行． (2)符号语言：a ⊂β，b ⊂β，a ∩b ＝P ，a ∥α，b ∥α⇒β∥α. 3.平面与平面平行的性质定理(1)文字语言：两个平面平行，如果另一个平面与这两个平面相交，那么两条交线平行．(2)符号语言：α∥β，α∩γ＝a ，β∩γ＝b ⇒a ∥b .例题3 .如图所示，正方形ABCD 和四边形ACEF 所在的平面互相垂直，EF ∥AC ，AB ＝2，CE ＝EF ＝1.(1)求证：AF ∥平面BDE ； (2)求证：CF ⊥平面BDE .【证明】(1)设AC 与BD 交于点O ，连接EO ，如图所示，∵EF ∥AC ，且EF ＝1，AO ＝12AC ＝1，∴四边形AOEF 为平行四边形，∴AF ∥OE .∵OE ⊂平面BDE ，AF ⊄平面BDE ，∴AF ∥平面BDE .(2)连接FO ，如图所示．∵EF ∥CO ，EF ＝CO ＝1，且CE ＝1，∴四边形CEFO 为菱形，∴CF ⊥EO . ∵四边形ABCD 为正方形，∴BD ⊥AC .又平面ACEF ⊥平面ABCD ，且平面ACEF ∩平面ABCD ＝AC ， ∴BD ⊥平面ACEF ，∴CF ⊥BD .又BD ∩EO ＝O ，∴CF ⊥平面BDE . 知识点四 空间角的计算问题例题4．如图，正方体的棱长为1，B ′C ∩BC ′＝O ，求：(1)AO 与A ′C ′所成角的度数；(2)AO 与平面ABCD 所成角的正切值； (3)平面AOB 与平面AOC 所成角的度数．【解析】 (1)∵A ′C ′∥AC ，∴AO 与A ′C ′所成的角就是∠OAC .∵AB ⊥平面BC ′，OC ⊂平面BC ′，∴OC ⊥AB ，又OC ⊥BO ，AB ∩BO ＝B .∴OC ⊥平面ABO . 又OA ⊂平面ABO ，∴OC ⊥OA .在Rt △AOC 中，OC ＝22，AC ＝2，sin ∠OAC ＝OC AC ＝12， ∴∠OAC ＝30°，即AO 与A ′C ′所成角的度数为30°.(2)如图，作OE ⊥BC 于E ，连接AE .∵平面BC ′⊥平面ABCD ，∴OE ⊥平面ABCD ， ∴∠OAE 为OA 与平面ABCD 所成的角． 在Rt △OAE 中，OE ＝12，AE ＝12＋⎝⎛⎭⎫122＝52，∴tan ∠OAE ＝OE AE ＝55.(3)∵OC ⊥OA ，OC ⊥OB ，OA ∩OB ＝O ，∴OC ⊥平面AOB .又∵OC ⊂平面AOC ，∴平面AOB ⊥平面AOC . 即平面AOB 与平面AOC 所成角的度数为90°. 五 易错点分析易错一 证明面面垂直例题5.如图，在直三棱柱ABC ­A 1B 1C 1中，A 1B 1＝A 1C 1，D ，E 分别是棱BC ，CC 1上的点(点D 不同于点C )，且AD ⊥DE ，F 为B 1C 1的中点．求证：(1)平面ADE ⊥平面BCC 1B 1； (2)直线A 1F ∥平面ADE .【证明】 (1)因为ABC ­A 1B 1C 1是直三棱柱，所以CC 1⊥平面ABC .又AD ⊂平面ABC ，所以CC 1⊥AD .又因为AD ⊥DE ，CC 1，DE ⊂平面BCC 1B 1，CC 1∩DE ＝E ， 所以AD ⊥平面BCC 1B 1.又AD ⊂平面ADE ，所以平面ADE ⊥平面BCC 1B 1. (2)因为A 1B 1＝A 1C 1，F 为B 1C 1的中点，所以A 1F ⊥B 1C 1. 因为CC 1⊥平面A 1B 1C 1，且A 1F ⊂平面A 1B 1C 1，所以CC 1⊥A 1F .又因为CC 1，B 1C 1⊂平面BCC 1B 1，CC 1∩B 1C 1＝C 1，所以A 1F ⊥平面BCC 1B 1. 由(1)知AD ⊥平面BCC 1B 1，所以A 1F ∥AD .又AD ⊂平面ADE ，A 1F ⊄平面ADE ，所以A1F∥平面ADE.误区警示证明面面垂直，利用到线面垂直的判定定理，证明线面垂直，应证明直线和平面内的两条相交直线垂直。

HY 吴起高级中学2021-2021学年高一数学下学期第三次质量检测试题〔含解析〕满分是150分答题时间是120分钟一、选择题〔本大题一一共12小题，每一小题5分，一共计60分.在每一小题给出的四个选项里面只有一项是哪一项符合题目要求的.〕 1.以下是第三象限角的是〔 〕 A. －110° B. －210°C. 80°D. －13°【答案】A 【解析】 【分析】 把所给角转化到0360上，即可作出判断.【详解】110360250-=-+，∴－1 10°是第三象限角，正确；210360150-=-+，∴－210°是第二象限角，不正确；80°是第一象限角，不正确；13360347-=-+，∴－13°是第四象限角，不正确；应选：A【点睛】此题考察象限角概念，考察终边一样角的表示，属于根底题. 2.假设向量()1,2AB =,()3,4BC =,那么AC =〔 〕 A. ()4,6 B. ()4,6-C. ()2,2--D. ()2,2【答案】A 【解析】 【分析】直接根据AC AB BC =+,将坐标代入运算即可得出结果.【详解】解:()()()1,23,44,6AC AB BC =+=+=.应选:A【点睛】此题是一道最根本的向量坐标运算题,直接按照运算法那么计算即可,属于简单题. 3.气象台预报“本明天降雨概率是70%〞，以下说法正确的选项是〔 〕 A. 本明天将有70%的地区降雨B. 本有天将有70%的时间是降雨C. 明天出行不带雨具淋雨的可能性很大D. 明天出行不带雨具肯定要淋雨【答案】C 【解析】 【分析】根据概率的意义,可判断各选项.【详解】气象台预报“本明天降雨概率是70%〞,那么本明天降雨的可能性比拟大.与降水地区面积和降水时间是无关,所以A,B 错误.降水概率是事件发生的可能,不是一定会发生的事情,所以D 错误.而由降水概率是70%,可知降水概率较大,所以明天出行不带雨具淋雨的可能性很大,所以C 正确. 应选:C.【点睛】此题考察了概率的概念和意义,属于根底题.4.从四件正品、两件次品中随机取出两件，记“至少有一件次品〞为事件A ，那么A 的对立事件是〔 〕 A. 至多有一件次品 B. 两件全是正品C. 两件全是次品D. 至多有一件正品【答案】B【解析】【分析】根据对立事件的概念，选出正确选项.【详解】从四件正品、两件次品中随机取出两件，“至少有一件次品〞的对立事件为两件全是正品.应选：B【点睛】本小题主要考察对立事件的理解，属于根底题.5.某公司在甲、乙、丙、丁四个地区分别有150，120，180，150个销售点．公司为了调查产品销售情况，需从这600个销售点中抽取一个容量为100的样本．记这项调查为①；在丙地区有20个大型销售点，要从中抽取7个调查其销售收入和售后效劳等情况，记这项调查为②，那么完成①，②这两项调查宜采用的抽样方法依次是( )A. 分层抽样法，系统抽样法B. 分层抽样法，简单随机抽样法C. 系统抽样法，分层抽样法D. 简单随机抽样法，分层抽样法【答案】B【解析】【分析】此题为抽样方法的选取问题．当总体中个体较少时宜采用简单随机抽样法；当总体中的个体差异较大时，宜采用分层抽样；当总体中个体较多时，宜采用系统抽样．【详解】根据题意，第①项调查中，总体中的个体差异较大，应采用分层抽样法；第②项调查总体中个体较少，应采用简单随机抽样法．应选B．【点睛】此题考察随机抽样知识，属基此题型、根本概念的考察． 6.某城2021年的空气质量状况如下表所示：其中污染指数50T ≤时，空气质量为优；50100T <≤时，空气质量为良；100150T <≤时，空气质量为细微污染，该城2021年空气质量到达良或者优的概率为〔 〕 A.35B.1180C.119D.56【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，分析表格可得空气污染指数为30、60、100的概率，又由题意，结合互斥事件概率的加法公式，将其概率相加即可得答案．【详解】解：根据题意可得，空气污染指数30T =的概率为110，空气污染指数60T =的概率为16，空气污染指数100T =的概率为13， 又由污染指数50T 时，空气质量为优；50100T <时，空气质量为良； 那么城2021年空气质量到达良或者优的概率为111310635++=； 应选：A ．【点睛】此题考察互斥事件概率的加法公式，注意根据题意，从表格中得解题的信息． 7.如图的折线图为某小区小型超今年一月份到五月份的营业额和支出数据〔利润=营业额-支出〕，根据折线图，以下说法中正确的选项是〔 〕A. 该超这五个月中，利润随营业额的增长在增长B. 该超这五个月中，利润根本保持不变C. 该超这五个月中，三月份的利润最高D. 该超这五个月中的营业额和支出呈正相关【答案】D【解析】【分析】根据折线图，分析出超五个月中利润的情况以及营业额和支出的相关性.【详解】对于A选项，五个月的利润依次为：0.5,0.7,0.8,0.5,1，其中四月比三月是下降的，故A选项错误.对于B选项，五月的月份是一月和四月的两倍，说明利润有比拟大的波动，故B选项错误. 对于C选项，五个月的利润依次为：0.5,0.7,0.8,0.5,1，所以五月的利润最高，故C选项错误.对于D选项，根据图像可知，超这五个月中的营业额和支出呈正相关，故D选项正确.应选：D【点睛】本小题主要考察折线图的分析与理解，属于根底题.8.如图，边长为2的正方形内有一内切圆.在图形上随机撒一粒黄豆，那么黄豆落到圆内的概率是〔 〕A.4π B.4πC.44π- D.4ππ-【答案】A 【解析】 【分析】分别计算正方形与内切圆的面积，根据几何概型求解. 【详解】224S =⨯=正方形,21S ππ=⨯=内切圆, 4S P S π∴==内切圆正方形,应选：A【点睛】此题主要考察了面积比型的几何概型，属于容易题.9.总体由编号为01，02，…，19，20的20个个体组成，利用下面的随机数表选取6个个体，选取方法从随机数表第1行的第5列和第6列数字开场由左到右依次选取两个数字，那么选出来的第6个个体的编号为〔 〕A. 07B. 04C. 02D. 01【答案】B 【解析】 【分析】利用随机数表选满足条件的数据时，不在编号范围内的数据不能选，重复的编号应舍去． 【详解】解：根据题意，从随机数表第1行的第5列和第6列数字65开场，由左到右依次选取两个数字，那么选出来的6个个体的编号是：08，02，14，07， 0 1，04,； 所以第6个个体编号是：04． 应选：B ．【点睛】此题考察了利用随机数表法进展简单随机抽样的应用问题，属于根底题． 10. 以下茎叶图记录了甲、乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩〔单位：分〕．甲组数据的中位数为15，乙组数据的平均数为16.8，那么x ，y 的值分别为〔 〕A. 2，5B. 5，5C. 5，8D. 8，8【答案】C 【解析】试题分析：由题意得5x =，116.8(915101824)85y y =+++++⇒=，选C. 考点：茎叶图11.假设函数()2sin(2)f x x ϕ=+的图象向右平移6π个单位以后关于y 轴对称，那么ϕ的值可以是〔 〕A.56π B.2π C.3π D. 2π-【答案】A 【解析】 【分析】根据相位变换原那么可求得平移后的解析式，根据图象对称性可知32k ππϕπ-+=+，k Z ∈，从而求得ϕ；依次对应各个选项可知A 为一个可能的取值.【详解】()f x 向右平移6π得：2sin 23x πϕ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭此时图象关于y 轴对称 32k ππϕπ∴-+=+，k Z ∈56k πϕπ∴=+，k Z ∈ 当0k =时，56πϕ=此题正确选项：A【点睛】此题考察三角函数的左右平移变换、根据三角函数性质求解函数解析式的问题，关键是可以通过对称关系构造出方程.12.P 为三角形ABC 内部任一点〔不包括边界〕，且满足20PB PA PB PA PC →→→→→⎛⎫⎛⎫-⋅+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，那么ABC 的形状一定为〔 〕 A. 等边三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 等腰三角形 【答案】D 【解析】【分析】设AB 中点为M ，由题意可知0AB CM →→⋅=,可得三角形的形状.【详解】设AB 中点为M , 那么2PB PA PM →→→+=，又2(22)20PB PA PB PA PC AB PM PC AB CM →→→→→→→→→→⎛⎫⎛⎫-⋅+-=⋅-=⋅= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,\ 所以AB CM ⊥， 故三角形为等腰三角形， 应选：D【点睛】此题主要考察了向量的加法、减法运算，向量垂直，数量积的性质，属于中档题. 二、填空题〔本大题一一共4小题，每一小题5分，一共计20分.请将正确答案直接填在答题卡的相应位置.〕13.向量(1,2)a =，(,4)b x =-，假设//a b ，那么x =________ 【答案】2- 【解析】 【分析】根据向量一共线，得到1(4)20⨯--=x ，求解，即可得出结果. 【详解】因为向量(1,2)a =，(,4)b x =-，假设//a b ， 那么1(4)20⨯--=x ，解得：2x =-. 故答案为2-【点睛】此题主要考察由向量一共线求参数的问题，熟记向量一共线的坐标表示即可，属于根底题型.14.从编号为01，02，…，50的50个产品中用系统抽样的方法抽取一个样本，样本中的前两个编号分别为03，08〔编号按从小到大的顺序排列〕，那么样本中最大的编号是__________．【答案】48 【解析】分析：根据系统抽样的定义得到，编号之间的关系，即可得到结论. 详解：样本中的前两个编号分别为03，08，∴样本数据组距为835-=，那么样本容量为50105=， 那么对应的号码数()351x n =+-，那么当10n =时，x 获得最大值为max 35948x =+⨯=. 故答案为48.点睛：此题主要考察系统抽样的应用，根据条件确定组距是解决此题的关键. 15.函数2cos y x =定义域为[,]3ππ，值域为[,]a b ，那么b a -=______．【答案】3 【解析】 【分析】根据定义域和值域，结合余弦函数的图像与性质即可求得,a b 的值，进而得解. 【详解】因为[]3,x ππ∈，由余弦函数的图像与性质可得1cos [1,]2x ∈-， 那么[]2cos 2,1y x =∈-， 由值域为[,]a b 可得2,1a b =-=， 所以()123b a -=--=， 故答案为：3.【点睛】此题考察了余弦函数图像与性质的简单应用，属于根底题.16.向量,a b 满足()()28a b a b +⋅-=-，且||1,||2a b ==，那么a 与b 的夹角为____.【答案】23π 【解析】 【分析】利用向量的数量积，求出1a b =-，得到1cos ,2a b <>=-求解即可． 【详解】解：向量,a b 满足1,2a b ==，()()28a b a b +⋅-=-， 可得2228a a b b +-=-，可得1a b =-，所以1cos ,2a b a b a b<>==-， 所以a 与b 的夹角为：23π． 故答案为：23π． 【点睛】此题考察向量的数量积的应用，向量的夹角的求法，属于根底题．三、解答题〔本大题一一共6小题，一共计70分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或者演算步骤.〕17.甲、乙两机床同时加工直径为100cm 的零件，为检验质量，各从中抽取6件测量，数据如下.〔1〕分别计算两组数据的平均数及方差；〔2〕根据计算结果判断哪台机床加工零件的质量更稳定. 【答案】〔1〕 100x =甲，100x =乙，273S =甲，21S =乙.〔2〕乙机床 【解析】 【分析】〔1〕利用平均数及方差公式求值，即可求得答案； 〔2〕由〔1〕中的数据比拟得到谁的质量好，即可求得答案. 【详解】〔1〕 99100981001001031006x +++++==甲99100102991001001006x +++++==乙2222(99100)(100100)(103100)763S -+-+⋯+-==甲2222(99100)(100100)(100100)16S -+-+⋯+-==乙〔2〕两台机床所加工的零件的直径的平均值一样，但22 S S >甲乙∴乙机床加工的零件的质量更好．【点睛】此题解题关键是掌握平均数和方差的计算公式，考察了分析才能和计算才能，属于根底题.18.1tan 3α=-，cos 5β=，,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，0,2πβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭.〔1〕求sin()αβ+的值； 〔2〕求出αβ+的值.【答案】〔1〕2-〔2〕54παβ+=【解析】 【分析】〔1〕由三角函数的根本关系式，求得sin ,cos ,sin ααβ，再两角和的正弦公式，即可求解；〔2〕由,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，0,2πβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，得到322ππαβ<+<，结合sin()αβ+=可求解.【详解】解：〔1〕由1tan3α=-，,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，可得sinα=，cosα=，由cos5β=，0,2πβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，可得sin5β=，所以sin()sin cos cos sin2αβαβαβ+=+=-〔2〕因为,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，0,2πβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以322ππαβ<+<，又由sin()αβ+=54παβ+=.【点睛】此题主要考察了三角函数的化简、求值、求角，其中解答中熟记三角函数的根本关系式，以及两角和的正弦公式，准确运算是解答的关键，着重考察了推理与计算才能. 19.据统计,某5家鲜花店今年4月的销售额和利润额资料如下表：〔1〕用最小二乘法计算利润额y关于销售额x的回归直线方程ˆy=ˆb x+ˆa；〔2〕假如某家鲜花店的销售额为8千元时,利用(1)的结论估计这家鲜花店的利润额是多少. 参考公式：回归方程ˆˆˆy bx a=+中斜率和截距的最小二乘法估计值公式分别为n ni i i ii1i1n n222i ii1i1(x x)(y y)x y nxyb,a y bx(x x)x nx====---===---∑∑∑∑【答案】〔1〕ˆy=05x+0.4.〔2〕千元.【解析】【分析】(1)根据回归直线方程的计算方法,分别计算x ,y 以及b 与a 即可. (2)代入8x =到(1)中所求得的回归方程估算即可.【详解】解：(1)设回归直线方程是ˆy=ˆb x +ˆa . 由题中的数据可知y ,x =6.∴121()()()niii nii x x y y b x x ==--=-∑∑(3)( 1.4)(1)(0.4)0(0.4)10.63 1.691019-⨯-+-⨯-+⨯-+⨯+⨯=++++100.520==, a y bx =-,∴利润额y 关于销售额x 的回归直线方程为ˆy x +0.4. (2)由(1)知,当x =8时,ˆy, 即当销售额为8千万元时,可以估计该鲜花店的利润额为千元.【点睛】此题主要考察了根据线性回归方程的求解方法以及实际意义与估算的问题.属于根底题.20.袋子中装有除颜色外其他均一样的编号为a ,b 的两个黑球和编号为c ,d ,e 的三个红球，从中任意摸出两个球.〔1〕求恰好摸出1个黑球和1个红球的概率： 〔2〕求至少摸出1个黑球的概率． 【答案】〔1〕35；〔2〕710. 【解析】 【分析】〔1〕记事件:A 恰好摸出1个黑球和1个红球，列举出所有的根本领件，确定所有的根本领件数和事件A 所包含的根本领件数，再利用古典概型的概率公式求出事件A 的概率； 〔2〕记事件:B 至少摸出1个黑球，确定事件B 所包含的根本领件数，再利用古典概型的概率公式求出事件B 的概率.【详解】〔1〕记事件:A 恰好摸出1个黑球和1个红球，所有的根本领件有：(),a b 、(),a c 、(),a d 、(),a e 、(),b c 、(),b d 、(),b e 、(),c d 、(),c e 、(),d e ，一共10个，事件A 所包含的根本领件有：(),a c 、(),a d 、(),a e 、(),b c 、(),b d 、(),b e ，一共6个， 由古典概型的概率公式可知，()63105P A ==； 〔2〕事件:B 至少摸出1个黑球，那么事件B 所包含的根本领件有：(),a b 、(),a c 、(),a d 、(),a e 、(),b c 、(),b d 、(),b e ，一共7个，由古典概型的概率公式可知，()710P B =. 【点睛】此题考察古典概型概率的计算，解题的关键在于列举出根本领件，常见的列举方法有枚举法与树状图法，列举时应遵循不重不漏的根本原那么，考察计算才能，属于中等题． 21.某微信公众号收到非常多的精彩留言,从众多留言者中抽取了100人参加“满意度调查〞,其留言者年龄集中在[]25,85之间,根据统计结果,做出频率分布直方图如下:(1)求这100位留言者年龄的平均数和中位数;(2)从参加调查的年龄在[)35,45和[)65,75的留言者中,按照分层抽样的方法,抽出了6人参加“精彩留言〞经历交流会,赠与年龄在[)35,45的留言者每人一部价值1000元的手机,年龄在[)65,75的留言者每人一套价值700元的书,现要从这6人中选出3人作为代表发言,求这3位发言者所得纪念品价值超过2300元的概率. 【答案】(1)60,5607;(2)45.【解析】 【分析】〔1〕直接利用频率分布直方图求得平均数和中位数即可；〔2〕利用分层抽样可得6人中年龄在[]35,45内有2人，设为a 、b ，在[]65,86内有4人,设为1,2,3,4，写出根本领件，利用古典概型即可. 【详解】(1)这100位留言者年龄的样本平均数,300.05400.1500.15600.35700.2800.1560⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=,年龄在[)25,55中的频率为:0.050.100.150.30++=, 年龄在[)25,65中的频率为:0.050.100.150.350.65+++=, 中位数在区间[)55,65中, 中位数为0.500.3055510600.357-+⨯=.(2)根据分层抽样原理,可知这6人中年龄在[]35,45内有2人,设为a ､b , 在[]65,86内有4人,设为1､2､3､4.设事件A 为“这3位发言者所得纪念品价值超过2300元〞.从这6人中选3人的所有根本领件有:1ab ､2ab ､3ab ､4ab ､12a ､13a ､14a ､23a ､24a ､34a ､12b ､13b ､14b ､23b ､24b ､34b ､123､124､134､234,一共20个.其中事件A 的对立事件即3个人都是年龄[]65,75内, 包含的有123､124､134､234,一共4个. (写出事件A 的根本领件个数也可以)所以()441205P A =-=., 【点睛】此题考察平均数、中位数，古典概型，在解题过程中要求学生算数要准确，频率分布直方图不要混淆各组数据的值，属于根底题. 22.函数22()(sin cos )2cos 2f x x x x =++-. 〔I 〕求函数()f x 的单调递增区间； 〔II 〕当3,44x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，求函数()f x 的最大和最小值.【答案】(Ⅰ)3,88k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，k Z ∈；(Ⅱ)函数()f x 的最大值是1，最小值是. 【解析】 【分析】〔I 〕利用同角三角函数的根本关系式、二倍角公式和辅助角公式，化简()f x 的解析式，然后利用正弦型函数的单调增区间的求法，求得函数的单调递增区间.〔II 〕根据x 的取值范围，求得24x π+的取值范围，由此求得函数()f x 的最大值和最小值.【详解】〔I 〕易得()2sin cos cos2f x x x x =+ sin2cos224x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭令222242k x k πππππ-≤+≤+，k Z ∈，所以388k x k ππππ-≤≤+，k Z ∈. 故所求函数()f x 的单调递增区间为3,88k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，k Z ∈. 〔Ⅱ〕因为3,44x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以372444x πππ≤+≤，所以1sin 242x π⎛⎫-≤+≤ ⎪⎝⎭所以214x π⎛⎫≤+≤ ⎪⎝⎭，即()1f x ≤.故当3,44x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，函数()f x 的最大值是1，最小值是. 【点睛】本小题主要考察同角三角函数的根本关系式、二倍角公式和辅助角公式，考察三角函数单调区间和值域的计算，属于中档题.励志赠言经典语录精选句；挥动**，放飞梦想。

第三章函数的概念与性质过关测试（时间： 120分钟分值： 150分）一、选择题：共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

1．已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)=ln(x+1)+x2，则不等式f(2x−1)<9+ln4的解集为（）A．(0,2)B．(−∞,2)C．(−2,2)D．(−1,2)【答案】B【解析】因为f(x)是R上的奇函数，且在[0,+∞)上为增函数，所以f(x)是R上的增函数，由f(2x−1)<9+ln4，得f(2x−1)<f(3)，得2x−1<3，即x<2．故选：B．2．定义在R上的函数f(x)是偶函数，且f(x)=f(2−x)，若f(x)在区间[1,2]上是减函数，则函数f(x)（）.A．在区间[0,1]上是增函数，在区间[−2,−1]是减函数B．在区间[0,1]上是增函数，在区间[−2,−1]是增函数C．在区间[0,1]上是减函数，在区间[−2,−1]是减函数D．在区间[0,1]上是减函数，在区间[−2,−1]是增函数【答案】B【解析】∵f(x)=f(2−x)，∴f(x)关于直线x=1对称，∵f(x)在区间[1,2]上是减函数，∴f(x)在区间[0,1]上是增函数，又∵f(x)是偶函数，∴f(x)=f(−x)，∴f(2−x)=f(−x)，∴f(x)是周期为2的函数，∴f(x)在区间[−2,−1]也是增函数.故选：B3．若函数f (x )=√x +1+1x−3的定义域是（ ）A ．[−1,3)B ．[−1,+∞)C ．[−1,3)∪(3,+∞)D ．(3,+∞)【答案】C 【解析】解：要使函数有意义，则需满足不等式{x +1≥0x −3≠0， 解得：x ≥−1且x ≠3，故选：C ．4．已知函数y ={x 2+1,x ≤0−2x,x >0，则使函数值为5的x 的值是（ ）A ．−2或2B ．2或−52C ．−2D ．2或−2或−52【答案】C 【解析】若x 2+1=5, 则x 2=4, 又因为x ≤0, 所以x =−2; 若−2x =5, 则x =−52, 而x >0, 不符合题意，舍. 所以x =−2. 故选：C.5．下列各组函数中为同一函数的是（ ） A ．f(x)=√(x −1)2，g(x)=x −1 B ．f(x)=x −1，g(t)=t −1C ．f(x)=√x 2−1，g(x)=√x +1⋅√x −1D ．f(x)=x ，g(x)=x 2x【答案】B 【解析】选项A, f(x)=√(x −1)2=|x −1|的定义域是R , g(x)=x −1的定义域是R , 两个函数对应关系不相同, 所以不是同一个函数, 选项A 错误;选项B, f(x)=x −1的定义域是R , g(t)=t −1的定义域是R , 两个函数对应关系也相同, 所以是同一个函数, 选项B 正确;选项C, f(x)=√x 2−1的定义域是(−∞,−1]⋃[1,+∞), g(x)=√x +1⋅√x −1的定义域是[1,+∞), 定义域不同, 不是同一个函数, 选项C 错误;选项D, f(x)=x 的定义域是R , g(x)=x 2x的定义域是{x|x ≠0}, 定义域不同, 不是同一个函数, 选项D 错误. 故选：B.6．函数y =f(x)的定义域为(0,+∞)，且对于定义域内的任意x,y 都有f(xy)=f(x)+f(y)，且f(2)=1，则f (√22)的值为（ ）.A ．1B ．12C ．−2D ．−12【答案】D 【解析】f(2)=f(√2×√2)=f(√2)+f(√2)=2f(√2)=1， ∴f(√2)=12，又f(1)=2f(1)， ∴f(1)=0，∴f(1)=f (√2×√22)=f(√2)+f (√22)，∴0=f(√2)+f (√22)， ∴f (√22)=−12.故选：D7．若函数y =(m 2−3m +3)x m 2+2m−4为幂函数，且在(0,+∞)单调递减，则实数m 的值为（ ）A ．0B ．1或2C ．1D ．2【答案】C 【解析】由于函数y =(m 2−3m +3)x m2+2m−4为幂函数，所以m 2−3m +3=1，解得m =1或m =2， m =1时，y =x −1=1x ，在(0,+∞)上递减，符合题意. m =2时，y =x 4，在(0,+∞)上递增，不符合题意. 故选：C8．设函数f(x)=(x +1)(x +a )在区间(1−b,2)上为偶函数，则2a +b 的值为（ ） A ．-1 B ．1 C ．2 D ．3【答案】B【解析】因为函数f(x)=(x +1)(x +a )在区间(1−b,2)上为偶函数， 所以1−b =−2，解得b =3.又f(x)=x 2+(a +1)x +a 为偶函数，所以f(−12)=f(12)，即14−a+12+a =14+a+12+a ，解得：a =-1.所以2a +b =1. 故选：B二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

第三单元 指数函数与对数函数一.选择题.(1)已知 函数⎩⎨⎧>≤=)0(log )0(3)(2x x x x f x ，那么)]41([f f 的值为( )A ． 9B ．91C ．9-D ．91-(2)b x a x f -=)(的图象如图，其中a 、b 为常数，则下列结论正确的是 （ ） A ．0,1<>b aB ．0,1>>b aC ．0,10><<b aD ．0,10<<<b a (3)已知0<x<y<a<1，则有（ ） A ．log a (xy)<0B ．0< log a (xy)<1C ．1< log a (xy)<2D ．log a (xy)>2(4)若函数m y x +=-|1|)21(的图象与x 轴有公共点，则m 的取值范围是 （ ） A ．m ≤－1B ．－1≤m<0C ．m ≥1D ．0<m ≤1(5)若定义在（－1，0）内的函数0)1(log )(2>+=x x f a ，则a 的取值范围是 （ ）A ．)21,0( B ．⎥⎦⎤ ⎝⎛21,0 C ．),21(+∞ D ．),0(+∞(6)若函数x a y )(log 21=在R 上为增函数，则a 的取值范围是（ ）A ．)21,0(B ．)1,21(C ．),21(+∞D ．),1(+∞(7)函数y=log a x 在[)+∞∈,2x 上总有|y|>1，则a 的取值范围是（ ）A ．210<<a 或21<<a B ．121<<a 或21<<aC ． 21<<aD ．210<<a 或2>a(8)已知f(x)=ax 2+bx+c (a>0)，α，β为方程f(x)=x 的两根，且0<α<β，当0<x<α时，给出下列不等式，成立的是（ ） A ．x<f(x)B ．x ≤f(x)C ．x>f(x)D ．x ≥f(x)(9)方程x x 2)4(log 2=+的根的情况是（ ） A ．仅有一根B ．有两个正根C ．有一正根和一个负根D ．有两个负根(10)若方程083492sin sin =-+⋅+⋅a a a x x 有解，则a 的取值范围是（ ） A ．a>0或a ≤－8 B ．a>0C ．3180≤<aD ．2372318≤≤a 二填空题:(11)若f(10x )= x , 则f(5) = .(12)方程a x x =-+)1(log 221有解，则实数a 的取值范围是_________________(13)关于x 的方程aa x -+=535有负根，则a 的取值范围是_______________(14) 函数f(x)=a x (a>0, a ≠1)在[1, 2]中的最大值比最小值大2a , 则a 的值为 . 三.解答题:(15)求25lg 50lg 2lg )2(lg 2+⋅+的值.(16)设A 、B 是函数y= log 2x 图象上两点, 其横坐标分别为a 和a+4, 直线l : x=a+2与函数y= log 2x 图象交于点C, 与直线AB 交于点D. (Ⅰ)求点D 的坐标;(Ⅱ)当△ABC 的面积大于1时, 求实数a 的取值范围.(17)设函数x x f x f x x 22)(,2)(|1||1|≥=--+求使的取值范围.(18)设a>0且a ≠1，)1(log )(2-+=x x x f a (x ≥1)(Ⅰ)求函数f(x)的反函数f －1(x)及其定义域；(Ⅱ)若*)(233)(1N n n f nn ∈+<--，求a 的取值范围。