高中大学数学微分与积分公式(全集)
(高中大学数学)
一、0
101101
lim 0n n n m
m x m a n m
b a x a x a n m b x b x b n m
--→∞?=??++
+?
=+++?
∞>??
?
(系数不为 的情况) 二、重要公式( )0sin lim 1x x
x
→=
( )()1
0lim 1x x x e →+= ( ))1n a o >=
( )1n = ( )limarctan 2
x x π
→∞
= ( )lim tan 2
x arc x π
→-∞
=-
( )limarccot 0x x →∞
= ( )lim arccot x x π→-∞
= ( )lim 0x x e →-∞
= ( )lim x x e →+∞
=∞ ( )0lim 1x x x +
→=
三、下列常用等价无穷小关系(0x →)
sin x
x tan x x arcsin x x arctan x
x 2
11cos 2
x
x -
()
ln 1x x + 1x e x - 1ln x a x a - ()11x x ?
+-?
四、导数的四则运算法则
()u v u v '''±=± ()uv u v uv '''=+ 2u u v uv v v '''-??= ???
五、基本导数公式
⑴()0c '= ⑵1x x μμμ-= ⑶()sin cos x x '=
⑷()cos sin x x '=- ⑸()2tan sec x x '= ⑹()2cot csc x x '=- ⑺()sec sec tan x x x '=? ⑻()csc csc cot x x x '=-? ⑼()x x e e '= ⑽()ln x x a a a '= ⑾()1ln x x
'= ⑿()1
log ln x a x a '=
⒀(
)arcsin x '= ⒁(
)arccos x '= ⒂()21arctan 1x x '=
+ ⒃()
2
1arccot 1x x '=-+⒄()1x '=
⒅
'
=
六、高阶导数的运算法则
( )()()()()()()()n n
n
u x v x u x v x ±=±???? ( )()()
()
()n n cu x cu x =????
( )()()
()
()n n n
u ax b a u ax b +=+????
( )()()()
()()()()
n
n n k k k n k u x v x c u x v x -=?=????∑
七、基本初等函数的 阶导数公式
( )()()!n n x n = ( )()()n ax b n ax b e a e ++=? ()()
ln n x x n a a a =
()()sin sin 2n n
ax b a ax b n π??+=++??? ???
?
?
()()cos cos 2n n ax b a ax b n π??+=++??? ???
?
?
()
()
()
1
1!
1n n n
n a n ax b ax b +???=- ?
+??
+ ()()
()
()()
1
1!
ln 1n n n n
a n ax
b ax b -?-+=-????+
八、微分公式与微分运算法则
⑴()0d c = ⑵()1d x x dx μμμ-= ⑶()sin cos d x xdx = ⑷()cos sin d x xdx =- ⑸()2tan sec d x xdx = ⑹()2cot csc d x xdx =- ⑺()sec sec tan d x x xdx =? ⑻()csc csc cot d x x xdx =-? ⑼()x x d e e dx = ⑽()ln x x d a a adx = ⑾()1
ln d x dx x
= ⑿()1
log
ln x a d dx x a =
⒀()arcsin d x =
⒁()arccos d x = ⒂()21arctan 1d x dx x =
+ ⒃()2
1
arccot 1d x dx x
=-+
九、微分运算法则
⑴()d u v du dv ±=± ⑵()d cu cdu =
⑶()d uv vdu udv =+ ⑷2
u
vdu udv
d v v -??
=
???
十、基本积分公式
⑴kdx kx c =+? ⑵11x x dx c μμ
μ+=++? ⑶ln dx
x c x
=+? ⑷ln x
x
a a dx c a
=+? ⑸x x e dx e c =+? ⑹cos sin xdx x c =+? ⑺sin cos xdx x c =-+? ⑻2
21sec tan cos dx xdx x c x
==+?
?
⑼2
21csc cot sin xdx x c x ==-+?? ⑽21arctan 1dx x c x =++? ⑾
arcsin x c =+
十一、下列常用凑微分公式
十二、补充下面几个积分公式
tan ln cos xdx x c =-+? cot ln sin xdx x c =+? sec ln sec tan xdx x x c =++? csc ln csc cot xdx x x c =-+?
22
11arctan x
dx c a x a a
=++? 22
11ln 2x a
dx c x a a x a
-=+-+?
arcsin
x
c a
=+ ln x c =++
十三、分部积分法公式
⑴形如n ax x e dx ?,令n u x =,ax dv e dx = 形如sin n x xdx ?令n u x =,sin dv xdx = 形如cos n x xdx ?令n u x =,cos dv xdx =
⑵形如arctan n x xdx ?,令arctan u x =,n dv x dx = 形如ln n x xdx ?,令ln u x =,n dv x dx =
⑶形如sin ax e xdx ?,cos ax e xdx ?令,sin ,cos ax u e x x =均可。
十四、第二换元积分法中的三角换元公式
sin x a t =tan x a t =sec x a t =
【特殊角的三角函数值】
( )sin 00= ( )1sin 6
2
π
= ( )sin
3
2π
=
( )sin 12
π
=) ( )sin 0π=
( )cos01= ( )cos
6
2π
=
( )1cos 32π= ( )cos 02
π
=) ( )cos 1π=-
( )
tan 00= ( )tan
6
π
=
( )tan 3π=( )tan 2
π
不存在 ( )tan 0π=
( )
cot 0不存在 ( )cot
6
π
=( )cot
3
3π
=
( )cot 02
π
=( )cot π不存在
十五、三角函数公式
两角和公式
sin()sin cos cos sin A B A B A B +=+ sin()sin cos cos sin A B A B A B -=- cos()cos cos sin sin A B A B A B +=- cos()cos cos sin sin A B A B A B -=+
tan tan tan()1tan tan A B A B A B ++=
- tan tan tan()1tan tan A B
A B A B --=+
cot cot 1cot()cot cot A B A B B A ?-+=
+ cot cot 1
cot()cot cot A B A B B A ?+-=-
二倍角公式
sin 22sin cos A A A = 2222cos 2cos sin 12sin 2cos 1A A A A A =-=-=-
2
2tan tan 21tan A
A A
=
-
半角公式
sin
2A =
cos 2A =
sin tan
21cos A A A ==+
sin cot 21cos A A A
==-
和差化积公式
sin sin 2sin
cos 22a b a b a b +-+=? sin sin 2cos sin
22a b a b
a b +--=? cos cos 2cos cos 22a b a b a b +-+=? cos cos 2sin sin
22a b a b
a b +--=-? ()sin tan tan cos cos a b a b a b
++=
?
积化和差公式
()()1sin sin cos cos 2a b a b a b =-+--???? ()()1
cos cos cos cos 2
a b a b a b =++-???? ()()1sin cos sin sin 2a b a b a b =++-???? ()()1
cos sin sin sin 2
a b a b a b =+--????
万能公式
22tan
2sin 1tan 2
a
a a
=
+ 2
2
1tan 2cos 1tan 2a a a -=+ 2
2tan
2tan 1tan 2
a
a a
=-
平方关系
22sin cos 1x x += 22sec n 1x ta x -= 22csc cot 1x x -=
倒数关系
tan cot 1x x ?= sec cos 1x x ?= c sin 1cs x x ?=
商数关系
sin tan cos x x x =
cos cot sin x
x x
=
十六、几种常见的微分方程 可分离变量的微分方程:()()dy
f x
g y dx
= , ()()()()11220f x g y dx f x g y dy += 齐次微分方程:
dy y f dx x ??= ???
一阶线性非齐次微分方程:
()()dy
p x y Q x dx
+= 解为: ()()()p x dx p x dx y e Q x e dx c -????=+????
?
微分积分公式全集 The pony was revised in January 2021
高中大学数学微分与积分公式(全集) (高中大学数学) 一、0 101101 lim 0n n n m m x m a n m b a x a x a n m b x b x b n m --→∞?=??++ +? =+++? ∞>?? ? (系数不为0的情况) 二、重要公式(1)0sin lim 1x x x →= (2)()1 0lim 1x x x e →+= (3))1n a o >= (4)1n = (5)limarctan 2 x x π →∞ = (6)lim tan 2 x arc x π →-∞ =- (7)limarccot 0x x →∞ = (8)lim arccot x x π→-∞ = (9)lim 0x x e →-∞ = (10)lim x x e →+∞ =∞ (11)0 lim 1x x x + →= 三、下列常用等价无穷小关系(0x →) 四、导数的四则运算法则 五、基本导数公式 ⑴()0c '= ⑵1x x μμμ-= ⑶()sin cos x x '= ⑷()cos sin x x '=- ⑸()2tan sec x x '= ⑹()2cot csc x x '=- ⑺()sec sec tan x x x '=? ⑻()csc csc cot x x x '=-? ⑼()x x e e '= ⑽()ln x x a a a '= ⑾()1 ln x x '=
⑿()1 log ln x a x a '= ⒀( )arcsin x '= ⒁( )arccos x '= ⒂()21arctan 1x x '= + ⒃() 2 1arccot 1x x '=-+⒄()1x '= ⒅ ' = 六、高阶导数的运算法则 (1)()()() () () () () n n n u x v x u x v x ±=±???? (2)()() ()()n n cu x cu x =???? (3)()()() ()n n n u ax b a u ax b +=+???? (4)()()() () ()()()0 n n n k k k n k u x v x c u x v x -=?=????∑ 七、基本初等函数的n 阶导数公式 (1)() () !n n x n = (2)() () n ax b n ax b e a e ++=? (3)() () ln n x x n a a a = (4)()() sin sin 2n n ax b a ax b n π? ?+=++??? ??? ? ? (5) ()() cos cos 2n n ax b a ax b n π? ?+=++??? ??? ? ? (6)() () () 1 1! 1n n n n a n ax b ax b +??? =- ? +?? + (7) ()() () ()() 1 1! ln 1n n n n a n ax b ax b -?-+=-???? + 八、微分公式与微分运算法则 ⑴()0d c = ⑵()1d x x dx μμμ-= ⑶()sin cos d x xdx = ⑷()cos sin d x xdx =- ⑸()2tan sec d x xdx = ⑹()2cot csc d x xdx =-
高中大学数学微分与积分公式(全集) (高中大学数学) 一、001 01101lim 0 n n n m m x m a n m b a x a x a n m b x b x b n m --→∞?=??+++? =+++?∞ >??? L L (系数不为0的情况) 二、重要公式(1)0sin lim 1x x x →= (2)()1 0lim 1x x x e →+= (3 ))1n a o >= (4 )1n = (5)limarctan 2 x x π →∞ = (6)lim tan 2 x arc x π →-∞ =- (7)limarccot 0x x →∞ = (8)lim arccot x x π→-∞ = (9)lim 0x x e →-∞ = (10)lim x x e →+∞ =∞ (11)0 lim 1x x x + →= 三、下列常用等价无穷小关系(0x →) sin x x : tan x x : arcsin x x : arctan x x : 2 11cos 2 x x -: ()ln 1x x +: 1x e x -: 1ln x a x a -: ()11x x ? +-?: 四、导数的四则运算法则 ()u v u v '''±=± ()uv u v uv '''=+ 2u u v uv v v '''-??= ??? 五、基本导数公式
⑴()0c '= ⑵1x x μμμ-= ⑶()sin cos x x '= ⑷()cos sin x x '=- ⑸()2tan sec x x '= ⑹()2cot csc x x '=- ⑺()sec sec tan x x x '=? ⑻()csc csc cot x x x '=-? ⑼()x x e e '= ⑽()ln x x a a a '= ⑾()1 ln x x '= ⑿()1 log ln x a x a '= ⒀( )arcsin x '= ⒁( )arccos x '= ⒂()21arctan 1x x '= + ⒃() 2 1arccot 1x x '=-+⒄()1x '= ⒅ '= 六、高阶导数的运算法则 (1)()()() () () ()()n n n u x v x u x v x ±=±???? (2)()() ()()n n cu x cu x =???? (3)()()() ()n n n u ax b a u ax b +=+???? (4)()()() () ()()()0 n n n k k k n k u x v x c u x v x -=?=????∑ 七、基本初等函数的n 阶导数公式 (1)() () !n n x n = (2)() () n ax b n ax b e a e ++=? (3)() () ln n x x n a a a = (4)()() sin sin 2n n ax b a ax b n π? ?+=++??? ??? ? ? (5) ()() cos cos 2n n ax b a ax b n π? ?+=++??? ??? ? ?
高等数学微分和积分数学公式(集锦) (精心总结) 一、0 101101lim 0n n n m m x m a n m b a x a x a n m b x b x b n m --→∞?=??+++? =+++?∞>??? L L (系数不为0的情况) 二、重要公式(1)0sin lim 1x x x →= (2)()1 0lim 1x x x e →+= (3 ))1n a o >= (4 )1n = (5)limarctan 2 x x π →∞ = (6)lim tan 2 x arc x π →-∞ =- (7)limarccot 0x x →∞ = (8)lim arccot x x π→-∞ = (9)lim 0x x e →-∞ = (10)lim x x e →+∞ =∞ (11)0 lim 1x x x + →= 三、下列常用等价无穷小关系(0x →) sin x x : tan x x : arcsin x x : arctan x x : 2 11cos 2 x x -: ()ln 1x x +: 1x e x -: 1ln x a x a -: ()11x x ? +-?: 四、导数的四则运算法则 ()u v u v '''±=± ()uv u v uv '''=+ 2u u v uv v v '''-??= ??? 五、基本导数公式 ⑴()0c '= ⑵1 x x μ μμ-= ⑶()sin cos x x '= ⑷()cos sin x x '=- ⑸()2 tan sec x x '= ⑹()2 cot csc x x '=- ⑺()sec sec tan x x x '=? ⑻()csc csc cot x x x '=-? ⑼()x x e e '= ⑽()ln x x a a a '= ⑾()1 ln x x '= ⑿( )1 log ln x a x a '= ⒀( )arcsin x '= ⒁( )arccos x '=
高等数学微分和积分数学公式(集锦) (精心总结) 一、 1 01 1 01 lim0 n n n m m x m a n m b a x a x a n m b x b x b n m - - →∞ ? = ? ? +++? =< ? +++? ∞> ? ?? (系数不为0的情况) 二、重要公式(1 ) sin lim1 x x x → =(2)( )1 lim1x x x e → +=(3))1 n a o >= (4)1 n =(5)limarctan 2 x x π →∞ =(6)lim tan 2 x arc x π →-∞ =- (7)limarccot0 x x →∞ =(8)lim arccot x xπ →-∞ =(9)lim0 x x e →-∞ = (10)lim x x e →+∞ =∞(11) lim1 x x x + → = 三、下列常用等价无穷小关系(0 x→) sin x x tan x x arcsin x x arctan x x2 1 1cos 2 x x - () ln1x x +1 x e x -1ln x a x a -() 11 x x ? +-? 四、导数的四则运算法则 () u v u v ''' ±=±()uv u v uv ''' =+ 2 u u v uv v v ''' - ?? = ? ?? 五、基本导数公式 ⑴()0 c'=⑵1 x x μμ μ- =⑶() sin cos x x '= ⑷() cos sin x x '=-⑸()2 tan sec x x '=⑹()2 cot csc x x '=- ⑺() sec sec tan x x x '=?⑻() csc csc cot x x x '=-? ⑼()x x e e '= ⑽()ln x x a a a '= ⑾() 1 ln x x '=
有关高等数学计算过程中所涉及到的数学公式(集锦) 一、0 101101lim 0n n n m m x m a n m b a x a x a n m b x b x b n m --→∞?=??+++? =+++?∞>??? (系数不为0的情况) 二、重要公式(1)0sin lim 1x x x →= (2)()1 0lim 1x x x e →+= (3 ))1n a o >= (4 )1n = (5)lim arctan 2x x π→∞= (6)lim tan 2 x arc x π →-∞=- (7)lim arc cot 0x x →∞ = (8)lim arc cot x x π→-∞ = (9)lim 0x x e →-∞ = (10)lim x x e →+∞ =∞ (11)0 lim 1x x x + →= 三、下列常用等价无穷小关系(0x →) sin x x tan x x a r c s i n x x arctan x x 2 11c o s 2 x x - ()ln 1x x + 1x e x - 1l n x a x a - ()11x x ? +-? 四、导数的四则运算法则 ()u v u v '''±=± ()uv u v uv '''=+ 2u u v uv v v '''-??= ??? 五、基本导数公式 ⑴()0c '= ⑵1 x x μμμ-= ⑶()sin cos x x '= ⑷()cos sin x x '=- ⑸()2 tan sec x x '= ⑹()2 cot csc x x '=- ⑺()sec sec tan x x x '=? ⑻()csc csc cot x x x '=-? ⑼()x x e e '= ⑽()ln x x a a a '= ⑾()1 ln x x '=
x 高中大学数学微分与积分公式(全集) (高中大学数学) 二 _ 、 重要公式(1) sin x lim 1 1 (2) lim 1 x 匸 e (3) lim : a(a o) 1 x 0 x x 0 n (4) lim n n 1 (5) limarctan x — (6) lim arc tan x — n x 2 x 2 (7) limarccot x x 0 (8) lim arccot x x (9) lim e x 0 x (10) lim e x x (11) lim x x 1 x 0 三、 下列常用等价无穷小关系 (x 0) 四、 导数的四则运算法则 五、 基本导数公式 ⑴c 0 ⑵x ⑷ cosx sinx (5) tan x (7) secx secx tan x ⑻ cscx cscx cotx 1 x (3) sin x cosx 2 sec x ⑹ cot x 2 csc x ⑼e x ⑽ a x a x lna 1 (11) In x n n 1 j a o x a 1x a n i m - m 1 b o x b ^x 1 b m a 。 b o (系数不为0的情况) lim x 0 n m
1 1 (12) loga x (13) arcsinx (14) arccosx xln a 1 (15) arcta nx 2 1 x arccot x (17) 1 (18) 1 2 「 x 六、高阶导数的运算法则 (1) u x V x (2) cu cu n (3) u ax b ax (4) k c n u (k) 七、基本初等函数的 n 阶导数公式 (1) (2) ax e ax e x n ln a sin ax n . a sin ax cos ax n a cos ax ax b n i n a n! n 1 ax b In ax n ax b 八、 微分公式与微分运算法则 x 1dx (3) d sin x cosxdx cosx sin xdx ⑸ d tanx sec xdx (6) d cot x csc 2 xdx
导数公式: 基本积分表: 三角函数的有理式积分: 2222 212sin cos 1121u u x du x x u tg dx u u u -==== +++, , , 22(tan )sec (cot )csc (sec )sec tan (csc )csc cot ()ln ()(ln 1)1(log )ln x x x x a x x x x x x x x x x a a a x x x x x a '='=-'=?'=-?'='=+' = 2 2 2 (arcsin )(arccos )1 (arctan )11 (arc cot )11 ()x x x x x x thx ch '= '='= +'=- +' = 2 22 2sec tan cos csc cot sin sec tan sec csc cot csc ln ln(x x dx xdx x C x dx xdx x C x x xdx x C x xdx x C a a dx C a shxdx chx C chxdx shx C x C ==+==-+?=+?=-+=+=+=+=+????????? 222222tan ln cos cot ln sin sec ln sec tan csc ln csc cot 1arctan 1ln 21ln 2arcsin xdx x C xdx x C xdx x x C xdx x x C dx x C a x a a dx x a C x a a x a dx a x C a x a a x x C a =-+=+=++=-+=++-=+-++=+--=+???????? ????++-=-+-+--=-+++++=+-= ==-C a x a x a x dx x a C a x x a a x x dx a x C a x x a a x x dx a x I n n xdx xdx I n n n n arcsin 22ln 22)ln(221 cos sin 22 2222222 2222222 22 2 22 2 π π
常 用 积 分 公 式 (一)含有ax b +的积分(0a ≠) 1. d x ax b +?=1 ln ax b C a ++ 2.()d ax b x μ +? = 11 ()(1) ax b C a μμ++++(1μ≠-) 3. d x x ax b +?=21 (ln )ax b b ax b C a +-++ 4.2d x x ax b +? =22311()2()ln 2ax b b ax b b ax b C a ?? +-++++???? 5. d ()x x ax b +?=1ln ax b C b x +-+ 6. 2 d () x x ax b +? =21ln a ax b C bx b x +-++ 7. 2 d ()x x ax b +?=21(ln )b ax b C a ax b ++++ 8.22 d ()x x ax b +?=2 31(2ln )b ax b b ax b C a ax b +-+-++ 9. 2d ()x x ax b +? = 2 11ln ()ax b C b ax b b x +-++ 的积分 10. x C + 11.x ?=2 2(3215ax b C a - 12.x x ?=2223 2(15128105a x abx b C a -+ 13. x ? =22 (23ax b C a -
14 . 2x ? =2223 2 (34815a x abx b C a -+ 15 .? (0) (0) C b C b ?+>< 16 . ? 2a b - 17. d x x ? =b ?18. 2d x x ? =2a + (三)含有2 2 x a ±的积分 19. 22d x x a +?=1arctan x C a a + 20. 22d ()n x x a +?=2221222123d 2(1)()2(1)()n n x n x n a x a n a x a ---+-+-+? 21. 22d x x a -?=1ln 2x a C a x a -++ (四)含有2 (0)ax b a +>的积分 22.2d x ax b +? =(0) (0) C b C b ?+>+< 23. 2d x x ax b +?=2 1ln 2ax b C a ++
常用微积分公式大全 Company number:【0089WT-8898YT-W8CCB-BUUT-202108】
常用微积分公式 基本积分公式均直接由基本导数公式表得到,因此,导数运算的基础好坏直接影响积分的能力,应熟记一些常用的积分公式. 因为求不定积分是求导数的逆运算,所以由基本导数公式对应可以得到基本积分公式.。 (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10) (11)
对这些公式应正确熟记.可根据它们的特点分类来记. 公式(1)为常量函数0的积分,等于积分常数. 公式(2)、(3)为幂函数的积分,应分为与. 当时,, 积分后的函数仍是幂函数,而且幂次升高一次. 特别当时,有. 当时, 公式(4)、(5)为指数函数的积分,积分后仍是指数函数,因为 ,故(,)式右边的是在分母,不在分子,应记清. 当时,有. 是一个较特殊的函数,其导数与积分均不变. 应注意区分幂函数与指数函数的形式,幂函数是底为变量,幂为常数;指数函数是底为常数,幂为变量.要加以区别,不要混淆.它们的不定积分所采用的公式不同. 公式(6)、(7)、(8)、(9)为关于三角函数的积分,通过后面的学习还会增加其他三角函数公式.
公式(10)是一个关于无理函数的积分 公式(11)是一个关于有理函数的积分 下面结合恒等变化及不定积分线性运算性质,举例说明如何利用基本积分公式求不定积分. 例1 求不定积分. 分析:该不定积分应利用幂函数的积分公式. 解: (为任意常数) 例2 求不定积分. 分析:先利用恒等变换“加一减一”,将被积函数化为可利用基本积分公式求积分的形式. 解:由于,所以 (为任意常数) 例3 求不定积分.
微积分公式与运算法则 1.基本公式 (1)导数公式(2)微分公式 (xμ)ˊ=μxμ-1d(xμ)=μxμ-1dx (a x)ˊ=a x lnad(a x)=a x lnadx (loga x)ˊ=1/(xlna)d(loga x)=1/(xlna)dx (sinx)ˊ=cosxd(sinx)=cosxdx (conx)ˊ=-sinxd(conx)=-sinxdx (tanx)ˊ=sec2xd(tanx)=sec2xdx (cotx)ˊ=-csc2xd(cotx)=-csc2xdx (secx)ˊ=secx·tanxd(secx)=secx·tanxdx (cscx)ˊ=-cscx·cotxd(cscx)=-cscx·cotxdx (arcsinx)ˊ=1/(1-x2)1/2d(arcsinx)=1/(1-x2)1/2dx (arccosx)ˊ=-1/(1-x2)1/2d(arccosx)=-1/(1-x2)1/2dx (arctanx)ˊ=1/(1+x2)d(arctanx)=1/(1+x2)dx (arccotx)ˊ=-1/(1+x2)d(arccotx)=-1/(1+x2)dx (sinhx)ˊ=coshxd(sinhx)=coshxdx (coshx)ˊ=sinhxd(coshx)=sinhxdx 2.运算法则(μ=μ(x),υ=υ(x),α、β∈R)(1)函数的线性组合积、商的求导法则 (αμ+βυ)ˊ=αμˊ+βυˊ(μυ)ˊ=μˊυ+μυˊ(μ/υ)ˊ=(μˊυ-μυˊ)/υ2
(2)函数和差积商的微分法则 d(αμ+βυ)=αdμ+βdυ d(μυ)=υdμ+μdυ d(μ/υ)=(υdμ-μdυ)/υ2 3.复合函数的微分法则 设y=f(μ),μ=ψ(x),则复合函数y=f[ψ(x)]的导数为 dy/dx=fˊ[ψ(x)]·ψˊ(x) 所以复合函数的微分为 dy=fˊ[ψ(x)]·ψˊ(x)dx 由于fˊ[ψ(x)]=fˊ(μ),ψˊ(x)dx=dμ,因此上式也可写成dy=fˊ(μ)dμ 由此可见,无论μ是自变量,还是另一变量的可微函数,微分形式dy=fˊ(μ)dμ保持不变,这一性质称为微分形式不变性。
高中大学数学微分与积分公式(全集) ⑵ lim 1 x e (3) lim n a(a o) 1 x 0 n (11) lim x x 1 x 0 三、下列常用等价无穷小关系(X 0) sinx: x tanx: x arcsinx: x arctanx: x 1 cosx : 1 2 x 2 ln 1 x : x e x 1: x a x 1 : xln a 1 x 1 : x 四、导数的四则运算法则 a 。 b 。 n m 0 n m (系数不为0的情况) n m n n 1 [ ..a °x a i x L a . lim —- — x b o x b 1x L b m (高中大学数学) 1 _ 二、重要公式(i )lim Si — x x 0 ⑷lim 折 1 n (7) limarccot x (5) limarctan x (8) lim arccot x (6) lim arc tanx x (10) lim e x x ⑼ e x e x ⑽ a x a x ln a (ii) In x - x (12) log a x (13) arcsinx (14) arccosx (15) arctanx 1 2 (16) arccot x 2 (17) x 1 (18) \ x 1 2、 1 1 1
u v u v uv u v uv u u v uv v 2 v 五、基本导数公式 ⑴c 0 / \ 1 ⑵x x ⑶s in x cosx ⑷ cosx sin x 2 ⑸ tanx sec x ⑹cot x 2 csc x ⑺ secx secx tan x ⑻ cscx cscx cot x 六、高阶导数的运算法则
第一讲函数、连续与极限 一、理论要求 1.函数概念与性质函数的基本性质(单调、有界、奇偶、周期) 几类常见函数(复合、分段、反、隐、初等函数) 2.极限极限存在性与左右极限之间的关系 夹逼定理和单调有界定理 会用等价无穷小和罗必达法则求极限 3.连续函数连续(左、右连续)与间断 理解并会应用闭区间上连续函数的性质(最值、有界、介值) 二、题型与解法 A.极限的求法(1)用定义求 (2)代入法(对连续函数,可用因式分解或有理化消除零因子) (3)变量替换法 (4)两个重要极限法 (5)用夹逼定理和单调有界定理求 (6)等价无穷小量替换法 (7)洛必达法则与Taylor级数法 (8)其他(微积分性质,数列与级数的性质) 1.(等价小量与洛必达) 2.已知
(洛必达) 3.(重要极限) 4.已知a、b为正常数, (变量替换) 5. 解:令 6.(变量替换) 7.已知在x=0连续,求a 解:令(连续性的概念) 三、补充习题(作业) 1.(洛必达) 2.(洛必达或Taylor) 第二讲导数、微分及其应用 一、理论要求
1.导数与微分导数与微分的概念、几何意义、物理意义 会求导(基本公式、四则、复合、高阶、隐、反、参数方程求导) 会求平面曲线的切线与法线方程 2.微分中值定理理解Roll、Lagrange、Cauchy、Taylor定理 会用定理证明相关问题 3.应用会用导数求单调性与极最值、凹凸性、渐进线问题,能画简图 会计算曲率(半径) 二、题型与解法 A.导数微分的计 算 基本公式、四则、复合、高阶、隐函数、参数方程求导 1.决定,求 2.决定,求 解:两边微分得x=0时,将x=0代入等式得y=1 3.决定,则 B.曲线切法线问题5.f(x)为周期为5的连续函数,它在x=1可导,在x=0的某邻域内满足f(1+sinx)-3f(1-sinx)=8x+o(x)。求f(x)在(6,f(6))处的切线方程。 解:需求,等式取x->0的极限有:f(1)=0 C.导数应用问题 6.已知,
微分积分公式大全
高等数学微分和积分数学公式(集锦) (精心总结) 一、0 101101lim 0n n n m m x m a n m b a x a x a n m b x b x b n m --→∞?=??+++? =+++?∞>??? L L (系数不为0的情况) 二、重要公式(1)0sin lim 1x x x →= (2)()1 0lim 1x x x e →+= (3 ) )1n a o >= (4 )1n = (5)limarctan 2 x x π →∞ = (6)lim tan 2 x arc x π →-∞ =- (7)limarccot 0x x →∞ = (8)lim arccot x x π→-∞ = (9)lim 0x x e →-∞ = (10)lim x x e →+∞ =∞ (11)0 lim 1x x x + →= 三、下列常用等价无穷小关系(0x →) sin x x : tan x x : arcsin x x : arctan x x : 2 11cos 2 x x -: ()ln 1x x +: 1x e x -: 1ln x a x a -: ()11x x ? +-?: 四、导数的四则运算法则 ()u v u v '''±=± ()uv u v uv '''=+ 2u u v uv v v '''-??= ??? 五、基本导数公式 ⑴()0c '= ⑵1x x μμμ-= ⑶()sin cos x x '= ⑷()cos sin x x '=- ⑸()2tan sec x x '= ⑹()2cot csc x x '=-
常用微积分公式 基本积分公式均直接由基本导数公式表得到,因此,导数运算的基础好坏直接影响积分的能力,应熟记一些常用的积分公式. 因为求不定积分是求导数的逆运算,所以由基本导数公式对应可以得到基本积分公式.。 (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10) (11)
对这些公式应正确熟记.可根据它们的特点分类来记. 公式(1)为常量函数0的积分,等于积分常数. 公式(2)、(3)为幂函数的积分,应分为与. 当时,, 积分后的函数仍是幂函数,而且幂次升高一次. 特别当时,有. 当时, 公式(4)、(5)为指数函数的积分,积分后仍是指数函数,因为, 故(,)式右边的是在分母,不在分子,应记清. 当时,有. 是一个较特殊的函数,其导数与积分均不变. 应注意区分幂函数与指数函数的形式,幂函数是底为变量,幂为常数;指数函数是底为常数,幂为变量.要加以区别,不要混淆.它们的不定积分所采用的公式不同. 公式(6)、(7)、(8)、(9)为关于三角函数的积分,通过后面的学习还会增加其他三角函数公式. 公式(10)是一个关于无理函数的积分 公式(11)是一个关于有理函数的积分
下面结合恒等变化及不定积分线性运算性质,举例说明如何利用基本积分公式求不定积分. 例1 求不定积分. 分析:该不定积分应利用幂函数的积分公式. 解: (为任意常数) 例2 求不定积分. 分析:先利用恒等变换“加一减一”,将被积函数化为可利用基本积分公式求积分的形式. 解:由于,所以 (为任意常数) 例3 求不定积分.
分析:将按三次方公式展开,再利用幂函数求积公式. 解: (为任意常数) 例4 求不定积分. 分析:用三角函数半角公式将二次三角函数降为一次. 解: (为任意常数) 例5 求不定积分. 分析:基本积分公式表中只有 但我们知道有三角恒等式: 解:
微积分公式
cos (α±β)=cos α cos β μsin α sin β 2 sin α cos β = sin (α+β) + sin (α-β) 2 cos α sin β = sin (α+β) - sin (α-β) 2 cos α cos β = cos (α-β) + cos (α+β) 2 sin α sin β = cos (α-β) - cos (α+β) sin α - sin β = 2 cos ?(α+β) sin ?(α-β) cos α + cos β = 2 cos ?(α+β) cos ?(α-β) cos α - cos β = -2 sin ?(α+β) sin ?(α-β) tan (α±β)=βαβαtan tan tan tan μ±, cot (α±β)=β αβ αcot cot cot cot ±μ e x =1+x+!22x +!33x +…+! n x n + … sin x = x-!33x +!55x -!77 x +…+)!12()1(12+-+n x n n + … cos x = 1-!22x +!44x -!66 x +…+)!2()1(2n x n n -+ … ln (1+x) = x-22x +33x -44 x +…+)!1()1(1+-+n x n n + … tan -1 x = x-33x +55x -7 7 x +…+)12()1(12+-+n x n n + … (1+x)r =1+r x+ !2)1(-r r x 2+! 3)2)(1(--r r r x 3 +… -1 高数微积分公式大全(总4页) -CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1 -CAL-本页仅作为文档封面,使用请直接删除 高等数学微积分公式大全 一、基本导数公式 ⑴()0c '= ⑵1x x μμμ-= ⑶()sin cos x x '= ⑷()cos sin x x '=- ⑸()2tan sec x x '= ⑹()2cot csc x x '=- ⑺()sec sec tan x x x '=? ⑻()csc csc cot x x x '=-? ⑼()x x e e '= ⑽()ln x x a a a '= ⑾()1 ln x x '= ⑿( )1 log ln x a x a '= ⒀( )arcsin x '= ⒁( )arccos x '= ⒂()21arctan 1x x '= + ⒃()2 1arccot 1x x '=-+⒄()1x '= ⒅ '= 二、导数的四则运算法则 三、高阶导数的运算法则 (1)()()() () () ()()n n n u x v x u x v x ±=±???? (2)()() ()()n n cu x cu x =???? (3)()()() ()n n n u ax b a u ax b +=+???? (4)()()() () ()()()0 n n n k k k n k u x v x c u x v x -=?=???? ∑ 四、基本初等函数的n 阶导数公式 (1)() () !n n x n = (2)() () n ax b n ax b e a e ++=? (3)() () ln n x x n a a a = (4)()() sin sin 2n n ax b a ax b n π??+=++??? ??? ?? (5) ()()cos cos 2n n ax b a ax b n π??+=++??? ???? ? (6)() () () 1 1! 1n n n n a n ax b ax b +??? =- ?+?? + (7) ()() () ()() 1 1! ln 1n n n n a n ax b ax b -?-+=-???? + 五、微分公式与微分运算法则 ⑴()0d c = ⑵()1d x x dx μμμ-= ⑶()sin cos d x xdx = ⑷()cos sin d x xdx =- ⑸()2tan sec d x xdx = ⑹()2cot csc d x xdx =- ⑺()sec sec tan d x x xdx =? ⑻()csc csc cot d x x xdx =-? ⑼()x x d e e dx = ⑽()ln x x d a a adx = ⑾()1 ln d x dx x = 导数公式: (tan x) sec 2 x (cot x) csc 2 x (sec x) sec x tan x (csc x) csc x cot x ( a x ) a x ln a ( x x ) x x (ln x 1) 1 (log a x) x ln a (arcsin x ) 1 1 x 2 (arccos x ) 1 1 x 2 (arctan x) 1 2 1 x (arc cot x ) 1 1 x 2 (thx ) 1 ch 2 tanxdx ln cosx C cot xdx ln sin x C secxdx ln secx tan x C cscxdx ln cscx cot x C dx 2 cos 2 x sec xdx tan x C dx csc 2 xdx cot x C sin 2 x secx tan xdx secx C csc x cot xdx csc x C dx 2 2 a x x 2 a 2 dx 2 2 a x a 2 x 2 1 arctan x C a a 1 ln x a C 2a x a 1 a x C 2a ln x a arcsin x C a a x dx a x C ln a shxdx chx C chxdx shx C dx ln( x x 2 a 2 ) C x 2 a 2 2 sin n xdx 2 cos n xdx n 1 I n I n 2 n x 2 a 2 dx x x 2 a 2 a 2 x 2 a 2 ) C 2 ln( x 2 x 2 a 2 dx x x 2 a 2 a 2 ln x x 2 a 2 C 2 2 a 2 x 2 dx x a 2 x 2 a 2 x C 2 arcsin a 2 基本积分表: 三角函数的有理式积分: sin x 2u , cos x 1 u 2 , u tg x , dx 2du 1 u 2 1 u 2 2 1 u 2高数微积分公式大全
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