高三数学一轮复习 专题3 高考数列核心考点解密课件 文 新人教版

[解] (1)由 S2＝43a2 得 3(a1＋a2)＝4a2， 解得 a2＝3a1＝3. 由 S3＝53a3 得 3(a1＋a2＋a3)＝5a3，
解得 a3＝32(a1＋a2)＝6.
(2)由题设知 a1＝1. 当 n>1 时，有 an＝Sn－Sn－1＝n＋3 2an－n＋3 1an－1， 整理得 an＝nn＋－11an－1. 于是 a2＝31a1，a3＝42a2，…，an－1＝n－n 2an－2，an＝nn＋ －11an－1. 将以上 n－1 个等式中等号两端分别相乘，整理得 an＝nn2＋1. 综上可知，{an}的通项公式 an＝nn2＋1.
当n＝1时，4×1＋1＝5＝a1，故an＝4n＋1. (2)当n＝1时，a1＝S1＝3＋1＝4，
当n≥2时，
an＝Sn－Sn－1＝(3n＋1)－(3n－1＋1)＝2×3n－1. 当n＝1时，2×31－1＝2≠a1，
故an＝42，×3n－1，
n＝1， n≥2.
已知数列{an}的前n项和Sn，求数列的通项公式， 其求解过程分为三步：
[例 1] (2013·天津南开中学月考)下列公式可作为
数列{an}：1,2,1,2,1,2，…的通项公式的是
()
A．an＝1
B．an＝－12n＋1
C．an＝2－sinn2π
D．an＝－1n2－1＋3
[自主解答]
由an＝2－
nπ
sin
2
可得a1＝1，
a2＝2，
a3＝1，a4＝2，….
[答案] C
教师备选题（给有能力的学生加餐）
1．下列说法中，正确的是
()
A．数列1,3,5,7可表示为{1,3,5,7}
B．数列1,0，－1，－2与数列－2，－1,0,1是相同的

1 9
1 1 2 1 1 + + =81,则 + 等于 ( 2 a4 a6 a2 a4 a4 a3 a5
(B)3.
(C)6.
(D)9.
【分析】(1)根据等比数列的性质可以解决问题. (2)若m+n=p+q(m,n,p,q∈N+),则am· an=ap· aq;由已知: +
n
4.三个数或四个数成等比数列且又知道乘积时,则三个数可
a a a 设为 ,a,aq,四个数可设为 , ,aq,aq . 3 q
3
q
q
三、等比中项 如果a,G,b成等比数列,那么G叫做a与b的等比中项.
即:G是a与b的等比中项⇔a,G,b成等比数列⇒G =a· b. 四、等比数列的判定方法
2
1.定义法:
n 变式:q= nm (n,m∈N+,n≥m).
n-1
n-m
a am
na1 (q 1), 2.前n项和Sn公式:Sn= a1 (1 q n ) a1 an q (q 1). 1 q 1 q
3.若数列{an}是等比数列,则其前n项和为Sn=a· q +c,且a+c=0.
列,即an,an+k,an+2k,an+3k,…为等比数列,公比为q ; 3.若m+n=p+q(m,n,p,q∈N+),则am· an=ap· aq; 4.若等比数列{an}的前n项和为Sn,则Sk,S2k-Sk,S3k-S2k,S4k-S3k,…是
k
等比数列(q≠-1).
1.已知x,2x+2,3x+3是一个等比数列的前三项,则其第4项等于
4 1

则数列{an＋bn}是首项为 1，公比为12的等比数列； 由①与②相减得 4(an＋1－bn＋1)＝4(an－bn)＋8， 即(an＋1－bn＋1)－(an－bn)＝2(其中 n∈N*)， 又 a1－b1＝1－0＝1，则数列{an－bn}是以 1 为首项，
以 2 为公差的等差数列.
(2)解：由(1)知，an＋bn＝1×12n－1(其中 n∈N*)， ③ an－bn＝1＋(n－1)×2＝2n－1(其中 n∈N*)， ④ ③＋④得 an＝1×12n－21＋2n－1＝21n＋n－21，(n∈N*)， 即 bn＝12n－1－an＝12n－n＋12，(n∈N*).
[例 2]在①2Sn＝3n＋1－3，②an＋1＝2an＋3，a1＝1 这两 个条件中任选一个，补充在下列问题中并解答.
设数列{an}的前 n 项和为 Sn，若________，bn＝2na－n 6， 求数列{bn}的最大值.
解：若选择条件①，∵2Sn＝3n＋1－3， ∴2Sn＋1＝3n＋2－3， 则 2Sn＋1－2Sn＝3n＋2－3n＋1，得 2an＋1＝3·3n＋1－3n＋1＝ 2×3n＋1，则 an＋1＝3n＋1，an＝3n(n≥2)， 故当 n＝1 时，2S1＝31＋1－3 即 a1＝S1＝3，满足 an＝ 3n，∴an＝3n，bn＝2na－n 6＝2n3－n 6. 令 2n－6>0，得 n>3，bn>0，令 2n－6<0，又 n∈N*， ∴0<n<3，bn<0.
①－②得34
n k 1
c
2k＝41＋422＋423＋…＋42n－24nn－＋11，
∴
n k 1
c
2k ＝
5 9
－
6n＋5 9×4n
，
因
此

▪ (4)倒序相加法 ▪ 这是推导等差数列前n项和时所用的方法．将
一个数列倒过来排序，它与原数列相加时， 若有公因式可提，并且剩余的项的和易于求 得，则这样的数列可用倒序相加法求和． ▪ (5)分组求和法 ▪ 一个数列既不是等差数列，也不是等比数列， 若将这个数列适当拆开，重新组合，就会变 成几个可以求和的部分，即能分别求和，然 后再合并.
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解 由题意，2Sn＝nan＋1－13n3－n2－23n， 所以，当 n≥2 时，2Sn－1＝(n－1)an－13(n－1)3－(n－1)2－23(n－1)， 两式相减得 2an＝nan＋1－(n－1)an－13(3n2－3n＋1)－(2n－1)－23， 整理得(n＋1)an＝nan＋1－n(n＋1)， 即na＋n＋11－ann＝1，又a22－a11＝1， 故数列ann是首项为a11＝1，公差为 1 的等差数列， 所以ann＝1＋(n－1)×1＝n，所以 an＝n2， 所以数列{an}的通项公式为 an＝n2，n∈N*.
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(3)裂项相消法
把数列和式中的各项分别裂开后，消去一部分从而计算和的方
法，适用于求通项为 1 的数列的前 anan＋1
n
项和．其中{an}
若为等
差数列，则ana1n＋1＝1da1n－an1＋1.
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[微题型 2] 已知 an 与 an＋1 的递推关系式求 an 【例 1－2】 已知正项数列{an}满足 a1＝1，(n＋2)a2n＋1－(n＋1)a2n