快速傅里叶变换FFT

fft、ifft原理
FFT（快速傅里叶变换）和IFFT（逆快速傅里叶变换）是数字信号处理中的重要算法，用于在频域和时域之间进行转换。

FFT的基本原理是将一个信号的离散傅里叶变换（DFT）转化为更快速的计算形式。

通过一系列的数学变换，FFT将一个长度为N的离散信号在频域上的表示从O(N^2)的计算复杂度降低到了O(NlogN)。

FFT的主要思路是将长序列的DFT分解为几个短序列的DFT，然后利用短序列DFT的快速计算性质，避免了直接计算长序列DFT的高复杂度。

IFFT则是FFT的反过程，即将频域的信号转换为时域的信号。

其原理与FFT类似，只不过是将频域的表示通过一系列数学变换转化为时域的表示。

在实际应用中，FFT和IFFT常用于信号处理、图像处理、通信等领域。

例如，在通信中，FFT常用于频域信号的解调，而IFFT则用于信号的调制。

在图像处理中，FFT和IFFT可以用于图像的滤波、频域分析等操作。

快速傅里叶变换推导摘要：1.快速傅里叶变换的概念与意义2.傅里叶变换的定义与性质3.快速傅里叶变换的算法原理4.快速傅里叶变换的实际应用正文：一、快速傅里叶变换的概念与意义快速傅里叶变换（Fast Fourier Transform，FFT）是一种高效的计算离散傅里叶变换（Discrete Fourier Transform，DFT）及其逆变换的算法。

DFT 是一种将时间域信号转换到频率域的方法，常用于信号处理、图像处理等领域。

然而，当信号长度很长时，DFT 的计算复杂度较高，因此，为了加速计算，提出了快速傅里叶变换算法。

二、傅里叶变换的定义与性质傅里叶变换是一种将信号从时域转换到频域的方法。

对于一个信号f(t)，其傅里叶变换结果为频谱F(ω)，可以通过以下公式计算：F(ω) = ∫[f(t) * e^(-jωt) dt]，其中积分范围为-∞到∞。

傅里叶变换具有以下性质：1.傅里叶变换是线性的，即满足线性性质的信号可以通过傅里叶变换分开。

2.傅里叶变换是可逆的，即频域信号可以通过傅里叶逆变换转换回时域信号。

3.傅里叶变换具有时域与频域之间的帕斯卡三角关系，即频谱的幅度与相位分别对应时域信号的幅度与相位。

三、快速傅里叶变换的算法原理快速傅里叶变换算法的原理是将DFT 分解成更小的子问题，并重复利用子问题的计算结果。

具体来说，如果将信号长度为N 的DFT 表示为：X_k = ∑[x_n * e^(-j2πnk/N)]，其中n 为时域索引，k 为频域索引。

那么，如果将信号长度分解为2 的幂次方形式（如N = 2^m），则可以将DFT 分解为两个较短的DFT 的加权和，即：X_k = ∑[x_n * e^(-j2πnk/N)] = ∑[x_n * e^(-j2πn(k-m)/2^m)] + e^(-j2πkm/2^m) * ∑[x_n * e^(-j2πn(k+m)/2^m)]其中，第一个和式计算偶数项的DFT，第二个和式计算奇数项的DFT。

一、概述傅里叶变换是信号处理和数据压缩中常用的数学工具，它可以将时域信号转换为频域信号，从而便于分析和处理。

而快速傅里叶变换（FFT）则是一种高效的计算傅里叶变换的方法，可以大大提高计算效率，广泛应用于信号处理、图像处理、通信系统等领域。

二、傅里叶变换原理傅里叶变换的基本思想是将一个时域信号分解为不同频率的正弦和余弦函数的叠加，从而得到该信号的频谱图。

具体来说，对于一个连续信号x(t)，它的傅里叶变换X(ω)定义为：X(ω) = ∫[0,∞]x(t)e^(-jωt)dt其中，ω为频率变量，X(ω)表示在频率ω处的信号能量。

而对于离散信号x[n]，它的傅里叶变换X[k]则定义为：X[k] = ∑[n=0,N-1]x[n]e^(-j2πkn/N)其中，N为信号的采样点数，k为频率域的序号。

上述公式称为离散傅里叶变换（DFT），计算复杂度为O(N^2)。

而快速傅里叶变换则通过巧妙的算法设计，将计算复杂度降低到O(NlogN)。

三、快速傅里叶变换算法概述快速傅里叶变换的算法最早由Cooley和Tukey在1965年提出，它的基本思想是将一个长度为N的DFT分解为两个长度为N/2的DFT的组合，通过递归地分解和合并，最终实现对整个信号的快速计算。

下面我们来介绍一种常用的快速傅里叶变换算法：递归式分治法。

四、递归式分治法递归式分治法是一种高效的计算DFT的方法，它的基本思想是将长度为N的DFT分解为两个长度为N/2的DFT，并通过递归地调用自身，最终实现对整个信号的傅里叶变换。

具体来说，假设有一个长度为N的信号x[n]，对其进行快速傅里叶变换的过程可以分为如下几个步骤：1. 将长度为N的信号x[n]分为长度为N/2的偶数序号和奇数序号的两个子信号x_even[n]和x_odd[n]；2. 对子信号x_even[n]和x_odd[n]分别进行快速傅里叶变换，得到它们的频域表示X_even[k]和X_odd[k]；3. 结合X_even[k]和X_odd[k]，计算原信号的频域表示X[k]。

快速傅里叶变换FFT算法及其应用快速傅里叶变换（Fast Fourier Transform, FFT）是一种高效的计算离散傅里叶变换（Discrete Fourier Transform, DFT）的算法，它可以将一个时间域上的信号转换为频域上的表示。

FFT算法的提出改变了信号处理、图像处理、音频处理等领域的发展，广泛应用于各种科学与工程领域。

FFT算法的基本思想是将一个N点的DFT分解为多个较小规模的DFT，然后再通过合并子问题的解来得到原问题的解。

这种分治思想使得FFT算法的时间复杂度从O(N^2)降低到了O(NlogN)，大大提高了计算效率。

FFT算法主要利用了DFT的对称性和周期性质，通过递归和迭代的方式，以分离出DFT的实部和虚部的形式计算出频域上的信号。

FFT算法的应用非常广泛。

在通信领域中，FFT算法常被用于信号的频谱分析、频域滤波、信号调制解调等方面。

在图像处理中，FFT算法可用于图像增强、滤波、噪声去除等。

在音频处理中，FFT算法可以用于音频压缩、声音合成等。

此外，FFT算法还广泛应用于科学计算、数字信号处理、雷达信号处理、语音识别、生物信息学等领域。

以音频处理为例，使用FFT算法可以将音频信号从时域转换到频域表示，使得我们可以对音频信号进行频谱分析。

通过FFT计算，我们可以获取音频信号的频率分量、频谱特征、能量分布等信息。

这对于音频的压缩、降噪、音频增强、音频特征提取等操作非常有帮助。

例如，在音频压缩中，我们可以根据音频信号的频谱特性，选择性地保留主要的频率成分，从而实现压缩效果。

而在音频增强中，我们可以通过FFT计算，去除或减弱一些频率上的噪声，提高音频的质量。

在实际应用中，为了提高计算效率和减少计算量，通常会使用基于FFT算法的快速卷积、快速滤波等技术。

这些技术可以利用FFT算法的高效性质，实现更快速、更准确的计算。

此外，也可以采用多线程、并行计算等技术，进一步提高FFT算法的性能。

fft函数
FFT（快速傅里叶变换）是一种实现DFT（离散傅里叶变换）的快速算法，是利用复数形式的离散傅里叶变换来计算实数形式的离散傅里叶变换，matlab中的fft()函数是实现该算法的实现。

MATLAB它将数值分析、矩阵计算、科学数据可视化以及非线性动态系统的建模和仿真等诸多强大功能集成在一个易于使用的视窗环境中，为科学研究、工程设计以及必须进行有效数值计算的众多科学领域提供了一种全面的解决方案，并在很大程度上摆脱了传统非交互式程序设计语言（如C、Fortran）的编辑模式，代表了当今国际科学计算软件的先进水平。

快速傅里叶变换, 即利用计算机计算离散傅里叶变换（DFT)的高效、快速计算方法的统称，简称FFT。

快速傅里叶变换是1965年由J.W.库利和T.W.图基提出的。

采用这种算法能使计算机计算离散傅里叶变换所需要的乘法次数大为减少，特别是被变换的抽样点数N越多，FFT算法计算量的节省就越显著。

快速傅⾥叶变换快速傅⾥叶变换快速傅⾥叶变换（FFT ）是根据计算量的最⼩化原理来设计和实施离散傅⾥叶变换(DFT)计算的⽅法。

1965年，库利（T.W.Cooley ）和图基（J.W.tukey ）发表了著名的《计算机计算傅⾥叶级数的⼀种算法》论⽂。

从此掀起了快速傅⾥叶变换计算⽅法研究的热潮。

快速傅⾥叶变换（FFT ）的出现，实现了快速、⾼效的信号分析和信号处理，为离散傅⾥叶变换(DFT)的⼴泛应⽤奠定了基础。

1.1离散傅⾥叶变换(DFT)的计算设x(n)是⼀个长度为M 的有限长序列，则定义x(n)的N 点离散傅⾥叶变换为∑-===10)()]([)(N n kn NW n x n x DFT k X 其中由于计算⼀个X(k)值需要N 次复乘法和(N-1)次复数加法，因⽽计算N 个X(k)值，共需N2次复乘法和N(N-1)次复加法。

每次复乘法包括4次实数乘法和2次实数加法，每次复加法包括2次实数加法，因此计算N 点的DFT 共需要4N2次实数乘法和(2N2+2N ·(N-1))次实数加法。

当N 很⼤时，这是⼀个⾮常⼤的计算量。

1.2减少DFT 计算量的⽅法减少DFT 的计算量的主要途径是利⽤k N W 的性质和计算表达式的组合使⽤，其本质是减少DFT 计算的点数N 以便减少DFT 的计算量。

k N W 的性质：（1）对称性： (2)周期性： (3) 可约性： (4) 特殊点：选择其中⼀个证明N N j k N j N k N j N k N e e e W 222)2(22πππ--+-+==ππj k N j e e --=2k N j e π2--=k N W -=FFT 算法是基于可以将⼀个长度为N 的序列的离散傅⾥叶变换逐次分解为较短的离散傅⾥叶变换来计算这⼀基本原理的。

这⼀原理产⽣了许多不同的算法，但它们在计算速度上均取得了⼤致相当的改善。

0,1,,1k N =-()*nk nk N N W W -=()()nk N n k n N k N N NW W W ++==nk mnk N mN W W =//nk nk m N N mW W =01N W =/21N N W =-(/2)k N k N NW W +=-在这⾥讨论两类基本的FFT 算法。

fft与傅里叶变换的区别FFT（快速傅里叶变换）与傅里叶变换是两个在信号处理和频谱分析中广泛使用的数学工具。

尽管它们都与傅里叶变换有关，但它们在计算效率和应用方式上有一些区别。

傅里叶变换是一种将一个信号或函数分解成频率分量的数学方法。

它将时域信号转换为频域信号，可以用来分析信号的频谱特性。

傅里叶变换的定义是在整个时间范围内计算连续信号的积分，这样的计算过程需要较长的时间，特别是对于大数据量的信号处理任务。

FFT是一种计算傅里叶变换的快速算法。

它通过利用傅里叶变换的对称性和周期性，将计算量从O(n^2)减少到O(nlogn)，大大提高了计算速度。

FFT使用了分治法的思想，将一个大的傅里叶变换问题分解为多个小的傅里叶变换问题，并通过递归地计算这些小问题来得到最终结果。

由于FFT算法的高效性，它在数字信号处理、图像处理、音频处理等领域得到了广泛应用。

虽然FFT是傅里叶变换的一种算法，但它并不适用于所有的信号处理问题。

FFT要求输入信号的长度是2的幂次方，当信号长度不满足这个条件时，需要进行数据填充或截断。

另外，FFT对信号的采样率和频谱分辨率有一定的要求，如果信号的采样率过低或频谱分辨率过高，可能会导致结果的失真。

在实际应用中，需要根据具体情况选择合适的采样率和频谱分辨率。

傅里叶变换和FFT的应用场景也有一些差异。

傅里叶变换更适用于对连续信号的频谱分析，例如音频信号的频谱分析。

而FFT更适用于对离散信号的频谱分析，例如数字信号的频谱分析。

由于计算复杂度的差异，傅里叶变换通常用于离线分析或实时性要求不高的场景，而FFT更适用于实时信号处理或需要高速计算的场景。

傅里叶变换和FFT在算法实现上也有一些差别。

傅里叶变换在计算过程中直接使用积分求解，需要对信号进行数值积分操作。

而FFT 则是通过将信号分解为子问题进行计算，利用了傅里叶变换的周期性和对称性，避免了复杂的积分计算。

总结起来，FFT是一种计算傅里叶变换的快速算法，通过分治法的思想将计算复杂度从O(n^2)降低到O(nlogn)，提高了计算效率。