全国卷数学高考模拟试题精编六

课标全国卷数学高考模拟试题精编六【说明】 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，满分150分．考试时间120分钟．请将第Ⅰ卷的答案填入答题栏内，第Ⅱ卷可在各题后直接作答.一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1．集合P ＝{y |y ＝ln x ，x ∈[e －1，e]}，集合M ＝{a }，若P ∪M ＝P ，则a 的取值范围是( )A ．[－1,1]B ．[1，＋∞)C ．(－∞，－1]D ．(－∞，－1]∪[1，＋∞)2．若复数z ＝m (m －1)＋(m －1)i 是纯虚数，其中m 是实数，则1z ＝( ) A ．i B ．－i C ．2i D ．－2i3．变量U 与V 相对应的一组样本数据为(1,1.4)，(2,2.2)，(3,3)，(4,3.8)，由上述样本数据得到U 与V 的线性回归分析，R 2表示解释变量对于预报变量变化的贡献率，则R 2＝( ) A.35 B.45 C ．1 D ．3 4.若一个底面是等腰直角三角形(C 为直角顶点)的三棱柱的正视图如图所示，则该三棱柱的体积等于( )A.13 B ．1 C.33 D. 35．已知a (a ≠0)是实数，则函数f (x )＝a cos ax 的图象可能是( )6．设m ，n 是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，有以下四个命题 ① ⎭⎬⎫α∥βα∥γ⇒β∥γ ② ⎭⎬⎫α⊥βm ∥α⇒m ⊥β ③ ⎭⎬⎫m ⊥αm ∥β⇒α⊥β ④⎭⎬⎫m ∥n n ⊂α⇒m ∥α 其中正确的命题是( ) A ．①④ B ．②③ C ．①③ D ．②④ 7.某班有24名男生和26名女生，数据a 1，a 2，…，a 50是该班50名学生在一次数学学业水平模拟考试中的成绩(成绩不为0)，如图所示的程序用来同时统计全班成绩的平均数：A ，男生平均分：M ，女生平均分：－W .为了便于区别性别，输入时，男生的成绩用正数，女生的成绩用其成绩的相反数，那么在图中空白的判断框和处理框中，应分别填入下列四个选项中的( ) A ．T ＞0？，A ＝M ＋W 50 B ．T ＜0？，A ＝M ＋W50 C ．T ＜0？，A ＝M －W 50 D ．T ＞0？，A ＝M －W508．实数x ，y 满足⎩⎨⎧2x －y ≥0y ≥xy ≥－x ＋b，则z ＝2x ＋y 的最小值为3，则实数b 的值为( )A.49 B ．－49 C.94 D ．－949．(理) 已知a ＝∫π20(sin 2x 2－12)d x ，则⎝ ⎛⎭⎪⎫ax ＋12ax 9展开式中，关于x 的一次项的系数为( ) A ．－6316 B .6316 C ．－638 D .638(文)若α是第四象限角，tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α＝－512，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝( ) A .15 B ．－15 C .513 D ．－51310．(理)如果(3＋2x)11＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 11x 11，那么(a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 11)2－(a 0＋a 2＋a 4＋…＋a 10)2的值是( ) A ．－1 B ．0 C ．3 D ．1(文)当0＜x ＜3时，则下列大小关系正确的是( ) A ．x 3＜3x ＜log 3x B ．33＜x x ＜log 3xC ．log x 3＜x 3＜3xD ．log x3＜3x ＜x 311．已知数列{a n }满足a n ＋1＝a n －a n －1(n ≥2)，a 1＝1，a 2＝3，记S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ，则下列结论正确的是( )A ．a 100＝－1，S 100＝5B ．a 100＝－3，S 100＝5C ．a 100＝－3，S 100＝2D ．a 100＝－1，S 100＝212．过双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左焦点F(－c,0)(c ＞0)，作倾斜角为π6的直线FE 交该双曲线右支于点P ，若OE →＝12(OF →＋OP →)，且OE →·EF→＝0，则双曲线的离心率为( ) A .105 B .3＋1 C .102 D . 2 答题栏二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填写在题中的横线上)13．(理)观察以下等式：C 15＋C 55＝23－2，C 19＋C 59＋C 99＝27＋23C 113＋C 513＋C 913＋C 1313＝211－25 C 117＋C 517＋C 917＋C 1317＋C 1717＝215＋27由此推测：C 12013＋C 52013＋…＋C 20132013＝________.(文)某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了5次试验．根据收集到的数据(如下表)，由最小二乘法求得回归直线方程y ∧＝0.67x ＋54.9.表中有一个数据模糊不清，请你推断出该数据的值为________．14．(理)随机变量ξ～N(10,100)，若P(ξ＞11)＝a ，则P(9＜ξ≤11)＝________. (文)甲、乙两名同学在5次数学测验中的成绩统计如茎叶图所示，则甲、乙两人5次数学测验的平均成绩依次为________．15．a ＝(0,1)，b ＝(1,0)且(a －c )·(b －c )＝0，则|c |的最大值为________．16．(理)已知函数f (x )＝e x －a e －x ，若f ′(x )≥23恒成立，则实数a 的取值范围是________． (文)函数y ＝1x 2＋1在x ＝1处的切线方程是________． 三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程及演算步骤)17．(本题满分12分)在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边为a 、b 、c ，且满足cos 2A －cos 2B ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－A cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋A(1)求角B 的值；(2)若b ＝3且b ≤a ，求a －12c 的取值范围．18.(理)(本小题满分12分)已知长方体的长、宽、高分别为3、3、4，从长方体的12条棱中任取两条．设ξ为随机变量，当两条棱相交时，ξ＝0；当两条棱平行时，ξ的值为两条棱之间的距离；当两条棱异面时，ξ＝3. (1)求概率P (ξ＝0)；(2)求ξ的分布列及数学期望E (ξ)．(文)(本小题满分12分)气象部门提供了某地区今年六月份(30天)的日最高气温的统计表如下：显示，六月份的日最高气温不高于32 ℃的频率为0.9. (1)若把频率看作概率，求Y ，Z 的值；(2)把日最高气温高于32 ℃称为本地区的“高温天气”，根据已知条件完成下面2×2列联表，并据此推测是否有95%的把握认为本地区的“高温天气”与西瓜“旺销”有关？说明理由.附：K 2＝n (a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )19．(在几何体ABCDE 中，AB ＝AD ＝BC ＝CD ＝2，AB ⊥AD ，且AE ⊥平面ABD ，平面BCD ⊥平面ABD .(1)当AB ∥平面CDE 时，求AE 的长；(2)当AE ＝2＋2时，求二面角A －EC －D 的大小．(文)(本小题满分12分)如图，在几何体ABCDE 中，AB ＝AD ＝2，AB ⊥AD ，AE ⊥平面ABD ，M 为线段BD 的中点，MC ∥AE ，且AE ＝MC ＝ 2. (1)求证：平面BDC ⊥平面CDE ；(2)若N 为线段DE 的中点，求证：平面AMN ∥平面BEC .20．(本小题满分12分)已知平面内与两定点A (2,0)，B (－2,0)连线的斜率之积等于－14的点P 的轨迹为曲线C 1，椭圆C 2以坐标原点为中心，焦点在y 轴上，离心率为55.(1)求C1的方程；(2)若曲线C1与C2交于M、N、P、Q四点，当四边形MNPQ面积最大时，求椭圆C2的方程及此四边形的最大面积．21．(理)(本小题满分12分)设函数f(x)＝x2＋a ln(x＋1)有两个极值点x1，x2，且x1＜x2.(1)求实数a的取值范围；(2)讨论函数f(x)的单调性；(3)若对任意的x∈(x1，＋∞)，都有f(x)＞m成立，求实数m的取值范围．(文)(本小题满分12分)已知函数f(x)＝(ax2＋x－1)e x，其中e是自然对数的底数，a∈R.(1)若a＝1，求曲线f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；(2)若a＜0，求f(x)的单调区间；(3)若a＝－1，函数f(x)的图象与函数g(x)＝13x3＋12x2＋m的图象有3个不同的交点，求实数m的取值范围．请考生在第22、23、24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分． 22．(本小题满分10分)选修4－1：几何证明选讲如图，已知P A 与圆O 相切于点A ，直径BC ⊥OP ，连接AB 交PO 于点D . (1)求证：P A ＝PD ； (2)求证：AC ·AP ＝AD ·OC .23．(本小题满分10分)选修4－4：坐标系与参数方程如图，在极坐标系中，圆C 的圆心坐标为(1,0)，半径为1. (1)求圆C 的极坐标方程；(2)若以极点O 为原点，极轴所在直线为x 轴建立平面直角坐标系．已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋t cos π6y ＝t sin π6(t 为参数)，试判断直线l 与圆C 的位置关系．24．(本小题满分10分)选修4－5：不等式选讲 设函数f (x )＝|x －1|＋|x －a |，x ∈R . (1)当a ＝4时，求不等式f (x )≥6的解集； (2)若f (x )≥2a 对x ∈R 恒成立，求a 的取值范围． 课标全国卷高考模拟试题精编六1．A 集合P ＝{y |y ＝ln x ，x ∈[e －1，e]}＝{y |－1≤y ≤1}，因为P ∪M ＝P ，所以－1≤a ≤1，因此选A.2．A 依题意⎩⎨⎧m (m －1)＝0m －1≠0，得m ＝0，z ＝－i ，1z ＝－1i ＝i ，选A.3．C 依题意，注意到点(1,1.4)，(2,2.2)，(3,3)，(4,3.8)均位于直线y －1.4＝2.2－1.42－1(x －1)，即y ＝0.8x ＋0.6上，因此解释变量对于预报变量变化的贡献率R 2＝1，选C.4．B 由正视图知：该几何体的底面为等腰直角三角形，且斜边长为2，所以两直角边为2，三棱柱的高为1，所以该三棱柱的体积为V ＝12×2×2×1＝1. 5．C 对于A 、D ，注意到当x ＝0时，f (x )＝a cos 0＝a ≠0，因此结合选项知，选项A 、D 不正确；对于B ，注意到其最小正周期T ＝2πa ＝π，a ＝2，此时相应的最大值是2，这与所给的图象不相吻合，因此选项B 不正确．综上所述，选C. 6．C 对于②，直线m 与平面β可能平行或相交；对于④，直线m 可能也在平面α内．而①③都是正确的命题，故选C.7．D 依题意得，全班成绩的平均数应等于班级中所有的学生的成绩总和除以总人数，注意到当T ＞0时，输入的成绩表示的是某男生的成绩；当T ＜0时，输入的成绩表示的是某女生的成绩的相反数．因此结合题意得，选D.8．C画出约束条件⎩⎨⎧2x －y ≥0y ≥xy ≥－x ＋b的可行域，由可行域知：目标函数z ＝2x ＋y过点⎝ ⎛⎭⎪⎫b 3，2b 3时取最小值，此时3＝2×b 3＋2b 3，所以b ＝94.9．(理) A a ＝∫π20(sin 2x 2－12)d x ＝∫π20⎝ ⎛⎭⎪⎫1－cos x 2－12d x ＝∫π20⎝ ⎛⎭⎪⎫－cos x 2d x ＝－12.此时二项式的展开式的通项为T r ＋1＝C r 9⎝ ⎛⎭⎪⎫－12x 9－r ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x r ＝C r 9⎝ ⎛⎭⎪⎫－129－r ·(－1)r x 9－2r，令9－2r ＝1，r ＝4，所以关于x 的一次项的系数为C 49⎝ ⎛⎭⎪⎫－129－4·(－1)4＝－6316. (文)D 由题意知，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α＝－513，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α＝－513.10．(理)D 令x ＝1，得a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 11＝(3＋2)11，令x ＝－1，得a 0－a 1＋a 2－…－a 11＝(3－2)11，两式相加，得a 0＋a 2＋a 4＋…＋a 10＝(3＋2)11＋(3－2)112；两式相减，得a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 11＝(3＋2)11－(3－2)112，所以(a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 11)2－(a 0＋a 2＋a 4＋…＋a 10)2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤(3＋2)11－(3－2)1122－⎣⎢⎡⎦⎥⎤(3＋2)11＋(3－2)1122＝1.(文)C 不妨设x ＝2，则x 3＝8,3x ＝9，log 3x ＝log 32＜1，所以log x 3＜x 3＜3x，因此选C .11．A 依题意a n ＋2＝a n ＋1－a n ＝－a n －1，即a n ＋3＝－a n ，a n ＋6＝－a n ＋3＝a n ，故数列{a n }是以6为周期的数列，a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＋a 6＝(a 1＋a 4)＋(a 2＋a 5)＋(a 3＋a 6)＝0.注意到100＝6×16＋4，因此有a 100＝a 4＝－a 1＝－1，S 100＝16(a 1＋a 2＋…＋a 6)＋(a 1＋a 2＋a 3＋a 4)＝a 2＋a 3＝a 2＋(a 2－a 1)＝2×3－1＝5，故选A .12．B 由OE →＝12(OF →＋OP →)可知点E 是线段FP 的中点，由OE →·EF→＝0可知OE →⊥EF →，再结合∠PFO ＝30°，令|OE|＝m ，则有|PF ′|＝2m(F ′为双曲线的右焦点)，|OF|＝2m ，|FP|＝2|FE|＝23m ，再由双曲线的定义可知2a ＝|FP|－|PF ′|＝2(3－1)m,2c ＝2|OF|＝4m ，所以离心率e ＝2c 2a ＝4m2(3－1)m＝3＋1.13．(理)解析：观察等式的规律可得：C 14n ＋1＋C 54n ＋1＋……＋C 4n ＋14n ＋1＝24n －1＋(－1)n ·22n －1，所以当4n ＋1＝2013时，n ＝503，所以C 12013＋C 52013＋……＋C 20132013＝22011－21005. 答案：22011－21005(文)解析：设模糊不清部分的数据为m ，x ＝10＋20＋30＋40＋505＝30，由y ∧＝0.67x ＋54.9过(x ，y )得，y ＝0.67×30＋54.9＝75， ∴62＋m ＋75＋81＋895＝75，故m ＝68.答案：6814．(理)解析：由题意知，x ＝10是对称轴，P(9＜ξ≤11)＝2P(10＜ξ≤11)＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤12－P (ξ＞11)＝1－2a.答案：1－2a (文)解析：x 甲＝74＋72＋85＋88＋965＝83，x 乙＝77＋79＋81＋93＋905＝84. 答案：83 8415．解析：设c ＝(x ，y )，则a －c ＝(－x,1－y )，b －c ＝(1－x ，－y )，因为(a －c )·(b－c )＝0，所以x 2＋y 2－(x ＋y )＝0，又由不等式x 2＋y 22≥⎝⎛⎭⎪⎫x ＋y 22得：x ＋y ＝x 2＋y 2≤2x 2＋y 22，解得0≤x 2＋y 2≤2，所以|c |的最大值为 2. 答案： 216．(理)解析：由题意可知，f ′(x )＝e x ＋a e －x ≥23恒成立，分离参数可得，a ≥(23－e x )e x 恒成立，令e x ＝t (t ＞0)，问题等价于a ≥(－t 2＋23t )max ＝3.所以a ∈[3，＋∞)．答案：[3，＋∞)(文)解析：当x ＝1时，y ＝12，y ′|x ＝1＝⎪⎪⎪－2x (x 2＋1)2x ＝1＝－12，所以函数在x ＝1处的切线方程为y ＝－12(x －1)＋12＝－12x ＋1.答案：y ＝－12x ＋117．解：(1)由已知cos 2A －cos 2B ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－A cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋A 得2sin 2B －2sin 2A ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫34cos 2A －14sin 2A ，化简得sin B ＝32，故B ＝π3或2π3.(2)由正弦定理a sin A ＝c sin C ＝b sin B ＝2，得a ＝2sin A ，c ＝2sin C ，故a －12c ＝2sin A －sin C ＝2sin A －sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－A ＝32sin A －32cos A ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A －π6因为b ≤a ，所以π3≤A ＜2π3，π6≤A －π6＜π2，所以a －12c ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A －π6∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，3.18．(理)解：(1)若两条棱相交，则交点必为长方体8个顶点中的一个，过任意1个顶点恰有3条棱，所以共有8C 23对相交棱，因此P (ξ＝0)＝8C 23C 212＝2466＝411.(2)若两条棱平行则它们的距离为3,4,5,32， P (ξ＝4)＝4C 212＝466＝233，P (ξ＝5)＝4C 212＝466＝233，P (ξ＝32)＝2C 212＝266＝133P (ξ＝3)＝1－P (ξ＝4)－P (ξ＝5)－P (ξ＝32)－P (ξ＝0)＝1－466×2－266－2466＝3266＝1633所以随机变量ξ的分布列为：E (ξ)＝3×1633＋4(文)解：(1)由已知得：P (t ≤32)＝0.9， ∴P (t ＞32)＝1－P (t ≤32)＝0.1，∴Z ＝30×0.1＝3，Y ＝30－(6＋12＋3)＝9. (2)由题意得到如下2×2列联表：K 2＝n (ad (a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )＝30×(1×6－2×21)23×27×22×8≈2.727，∵2.727＜3.841，∴没有95%的把握认为本地区的“高温天气”与西瓜“旺销”有关．19．(理)解析：(1)设AE ＝a ，如图，建立空间直角坐标系，则A (0,0,0)，B (2,0,0)，D (0,2,0)，E (0,0，a )，取BD 的中点T ，连接CT ，AT ， 则CT ⊥BD .又∵平面BCD ⊥平面ABD ， ∴CT ⊥平面ABD ， ∴CT ∥AE .∵AB ＝AD ＝CD ＝BC ＝2，AB ⊥AD ， ∴CD ⊥CB ， ∴CT ＝2， ∴C (1,1，2)，∴AB→＝(2,0,0)，DE →＝(0，－2，a )， DC→＝(1，－1，2)． 设平面CDE 的法向量为n ＝(x ，y ，z )， 则有－2y ＋az ＝0，x －y ＋2z ＝0， 取z ＝2，则y ＝a ，x ＝a －22， ∴n ＝(a －22，a,2)． ∵AB ∥平面CDE ， ∴AB →·n ＝0，∴a －22＝0， ∴a ＝22，即AE 的长为2 2. (2)连接AC ，当AE ＝2＋2时，由(1)易知平面CDE 的一个法向量n ＝(2－2，2＋2，2)， 又BD ⊥AT ，BD ⊥AE ，∴BD ⊥平面ACE .∴平面ACE 的一个法向量为BD →＝(－2,2,0)，∴cos 〈n ，BD →〉＝12，∴二面角A －EC －D 的大小为π3. (文)解：(1)∵AB ＝AD ＝2，AB ⊥AD ，M 为线段BD 的中点， ∴AM ＝12BD ＝2，AM ⊥BD ，∵AE ＝MC ＝2，∴AE ＝MC ＝12BD ＝2， ∴BC ⊥CD ，BD ⊥CM .∵AE ⊥平面ABD ，MC ∥AE ，∴MC ⊥平面ABD ， ∴MC ⊥AM ，∴AM ⊥平面CBD . 又MC ∥AE ，AE ＝MC ＝2，∴四边形AMCE 为平行四边形，∴EC ∥AM ， ∴EC ⊥平面CBD ，∴BC ⊥EC ， ∵EC ∩CD ＝C ，∴BC ⊥平面CDE ， ∴平面BCD ⊥平面CDE .(2)∵M 为BD 的中点，N 为DE 的中点， ∴MN ∥BE .由(1)知EC ∥AM 且AM ∩MN ＝M ， 又BE ∩EC ＝E ， ∴平面AMN ∥平面BEC . 20．解析：(1)设P (x ，y )，则k P A ·k PB ＝－14， 即y x －2·y x ＋2＝－14，∴C 1的方程为x 24＋y 2＝1(x ≠±2)．(2)如图，设椭圆C 2的方程为y 2m 2＋x 2n 2＝1(m ＞n ＞0)，设N (x 1，y 1)，由对称性得四边形MNPQ 的面积S ＝4x 1y 1， ∵x 214＋y 21＝1，∴S ＝4×2×x 12×y 1≤8×x 214＋y 212＝4. 当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧x 12＝y 1x 214＋y 21＝1时等号成立，解得⎩⎨⎧x 1＝2y 1＝22.∴⎩⎪⎨⎪⎧12m 2＋2n 2＝1e ＝1－n 2m 2＝55，解得⎩⎪⎨⎪⎧m 2＝3n 2＝125，∴椭圆C 2的方程为y 23＋x 2125＝1，四边形MNPQ 的最大面积为4.21．(理)解：(1)由f (x )＝x 2＋a ln(x ＋1)可得 f ′(x )＝2x ＋ax ＋1＝2x 2＋2x ＋a x ＋1(x ＞－1)．令g (x )＝2x 2＋2x ＋a (x ＞－1)，则其对称轴为x ＝－12，故由题意可知x 1，x 2是方程g (x )＝0的两个均大于－1的不相等的实数根，其充要条件为⎩⎨⎧Δ＝4－8a ＞0g (－1)＝a ＞0，解得0＜a ＜12.(2)由(1)可知f ′(x )＝2x 2＋2x ＋a x ＋1＝2(x －x 1)(x －x 2)x ＋1，其中－1＜x 1＜x 2，故①当x ∈(－1，x 1)时，f ′(x )＞0，即f (x )在区间(－1，x 1)上单调递增； ②当x ∈(x 1，x 2)时，f ′(x )＜0，即f (x )在区间(x 1，x 2)上单调递减；③当x ∈(x 2，＋∞)时，f ′(x )＞0，即f (x )在区间(x 2，＋∞)上单调递增． (3)由(2)可知f (x )在区间(x 1，＋∞)上的最小值为f (x 2)．又由于g (0)＝a ＞0，因此－12＜x 2＜0.又由g (x 2)＝2x 22＋2x 2＋a ＝0可得a ＝－(2x 22＋2x 2)，从而f (x 2)＝x 22＋a ln(x 2＋1)＝x 22－(2x 22＋2x 2)ln(x 2＋1)．设h (x )＝x 2－(2x 2＋2x )ln(x ＋1)，其中－12＜x ＜0， 则h ′(x )＝2x －2(2x ＋1)ln(x ＋1)－2x ＝－2(2x ＋1)ln(x ＋1)．由－12＜x ＜0知2x ＋1＞0，ln(x ＋1)＜0，故h ′(x )＞0，故h (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0上单调递增．所以，f (x 2)＝h (x 2)＞h (－12)＝1－2ln 24.所以，实数m 的取值范围为m ≤1－2ln 24.(事实上，当a →12时，x 2→－12，此时f (x 2)→1－2ln 24.即“m ≤1－2ln 24”是其充要条件．)(文)解：(1)a ＝1时，f (x )＝(x 2＋x －1)e x ，所以f ′(x )＝(2x ＋1)e x ＋(x 2＋x －1)e x ＝(x 2＋3x )e x ， 所以曲线f (x )在点(1，f (1))处的切线斜率为k ＝f ′(1)＝4e. 又因为f (1)＝e ，所以所求切线方程为y －e ＝4e(x －1)，即4e x －y －3e ＝0. (2)f ′(x )＝(2ax ＋1)e x ＋(ax 2＋x －1)e x ＝[ax 2＋(2a ＋1)x ]e x ， ①若－12＜a ＜0，当x ＜0或x ＞－2a ＋1a 时，f ′(x )＜0； 当0＜x ＜－2a ＋1a 时，f ′(x )＞0.所以f (x )的单调递减区间为(－∞，0]，⎣⎢⎡⎭⎪⎫－2a ＋1a ，＋∞； 单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，－2a ＋1a .②若a ＝－12，则f ′(x )＝－12x 2e x≤0，所以f (x )的单调递减区间为(－∞，＋∞)． ③若a ＜－12，当x ＜－2a ＋1a 或x ＞0时，f ′(x )＜0； 当－2a ＋1a ＜x ＜0时，f ′(x )＞0.所以f (x )的单调递减区间为⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－2a ＋1a ，[0，＋∞)； 单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2a ＋1a ，0. (3)由(2)知，f (x )＝(－x 2＋x －1)e x 在(－∞，－1]上单调递减，在[－1,0]上单调递增，在[0，＋∞)上单调递减．所以f (x )在x ＝－1处取得极小值f (－1)＝－3e ，在x ＝0处取得极大值f (0)＝－1. 由g (x )＝13x 3＋12x 2＋m ，得g ′(x )＝x 2＋x .当x ＜－1或x ＞0时，g ′(x )＞0；当－1＜x ＜0时，g ′(x )＜0.所以g (x )在(－∞，－1]上单调递增，在[－1,0]上单调递减，在[0，＋∞)上单调递增．故g (x )在x ＝－1处取得极大值g (－1)＝16＋m ，在x ＝0处取得极小值g (0)＝m . 因为函数f (x )与函数g (x )的图象有3个不同的交点， 所以⎩⎨⎧f (－1)＜g (－1)f (0)＞g (0)，即⎩⎪⎨⎪⎧－3e ＜16＋m －1＞m.所以－3e －16＜m ＜－1.22．解：(1)∵P A 与圆O 相切于点A ， ∴∠P AB ＝∠ACB ， ∵BC 是圆O 的直径，∴∠BAC ＝90°， ∴∠ACB ＝90°－∠B ，∵OB ⊥OP ，∴∠BDO ＝90°－∠B ， 又∠BDO ＝∠PDA ，∴∠P AD ＝∠PDA ＝90°－∠B ， ∴P A ＝PD .(2)连接OA ，由(1)得，∠P AD ＝∠PDA ＝∠ACO ， 又∠OAC ＝∠OCA ， ∴△P AD ∽△OCA ，∴P A OC ＝ADAC ，∴AC ·AP ＝AD ·OC . 23．解：(1)如图，设M (ρ，θ)为圆C 上除点O ，B 外的任意一点，连接OM ，BM ，在Rt △OBM 中，|OM |＝|OB |cos ∠BOM ， 所以ρ＝2cos θ.可以验证点O ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，B (2,0)也满足ρ＝2cos θ， 故ρ＝2cos θ为所求圆的极坐标方程． (2)由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋t cos π6y ＝t sin π6(t 为参数)，得直线l 的普通方程为y ＝33(x ＋1)，即直线l 的普通方程为x －3y ＋1＝0.由ρ＝2cos θ，得圆C 的直角坐标方程为(x －1)2＋y 2＝1. 因为圆心C 到直线l 的距离d ＝|1×1－3×0＋1|2＝1，所以直线l 与圆C 相切．24．解：(1)依题意得|x －1|＋|x －4|≥6等价于⎩⎨⎧ x ＜1－2x ＋5≥6或⎩⎨⎧1≤x ≤43≥6或⎩⎨⎧x ＞42x －5≥6， 解得x ≤－12或x ≥112.故不等式f (x )≥6的解集为{x |x ≤－12或x ≥112}． (2)因为f (x )＝|x －1|＋|x －a |≥|(x －1)－(x －a )|＝|a －1|， 所以f (x )min ＝|a －1|.由题意得|a －1|≥2a ，解得a ≤13，所以a 的取值范围为⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，13.。

2017年普通高等学校招生全国统一考试模拟试题数学(理科)(六)第丨卷(选择题共60分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.1.已知集合A = {xI(x-2)(x +1) <0},5 = {x G ZI-1 <^< 1},则=A. {—1,0}B. {0,1}C. {—1,0,1}D. {—1,2} 2•方程〃 + 6x +13 = 0的一个根是A. —3 + 2i B・ 3 + 2/ C. —2 + 3/ D・ 2 + 3z3.已知f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间(-co,0)上单调递增，若实数"满足/(2M)>/(-V2),实数"的取值范围是A. B.4.如图，设区域Z) = {(^.y)IO<A：<l,O<y<l},向区域内随机投一点，且投入到区域内任一点都是等可能的，则点落到由曲线y = ^与y =X2所围成阴影区域内的概率是A. -B. -C.丄D.-6 3 2 35.执行如图所示的程序框图，若输出的5 = 86,则判断框内的正整数的值为A.7B. 6,7C. 6,7,8D. &95=1*=■0.6.向量讥满足p +片=2辰，且(方―可门=0,则方』的夹角的余弦值为j=r+2*A. 0B. -C. -D.—3 2 2G古束)第II 卷 (非选择题共90分)二.填空题：本大题共4小题,每小题5分，共20分.10.在体积为*的三棱锥S 一 ABC 中.AB = BC = 2.ZABC = 120 ,SA = SC 9且平面 SAC 丄平面ABC 9若该三棱锥的四个顶点都在同一球面上，则该球的体积为2 211.已知点人迅是双曲线C$-计=1(“>0小>0)的左、右焦点，0为坐标原点，点P 在双曲线C 的右支上，且满足再鸟= 引13|啓则双曲线C 的离心率的取值范围为A. (1,+co)B.1 — 11 — xL X G (—2 ),则函数 g(X)= f(X)-COS7TX 在区间[0,8] 3/(x-2),xe[2,+oo) 内所有零点的和为 A. 16 B. 30 C. 327. 已知等差数列｛©｝中，S “为其前"项和，若= an 2+4“+a—4(d w R),记数列、孑、n “的前项和为人，则心=&已知aj^c 均为正数，且(d+c)(Z? + c) = 2,则a + 2b+3c 的最小值是A. y/2B. 2>/2C. 4D. 89•某几何体的三视图如下图所示，且该几何体的体积为 芈则正视图和的值为A” B. 2 亦C. £2D.- 320逅兀A. -----------3B.芈C. 20龙 D&12•已知函数/(兀)=彳D. 40C.D.\+y-2<013.已知满足约束条件x-2y-2<0,若2x+y + A:>0恒成立，则实数斤的取值范2x-y+2>0围为________________ .14.若(1 — 2x) = a()+ ciyX + • • • +(x € R) 9则q + 2d? + …+ 201 厶勺仍= _______ •2 215.已知点A,F分别是椭圆C:-^- + p- = l(«>/7>0)的上顶点和左焦点，若AF与圆O:x2+y2=4相切于点T,且点T是线段AF靠近点A的三等分点，则椭圆C的标准方程为________________ .16.若数列｛①｝满足a2一% > a3 -①> 5 -佝> …〉冷+1 -则称数列｛。

绝密★启用前高考模拟试题（六）数学时间：120分钟分值：150分注意事项：1、本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在答题卡上。

2、回答第Ⅰ卷时，选出每小题的答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

写在试卷上无效。

3、回答第Ⅱ卷时，将答案填写在答题卡上，写在试卷上无效。

4、考试结束，将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.命题：“012<+-∈∃ax x R x ，”的否定为()01.2≥+-∈∃ax x R x A ，01.2≥+-∈∀ax x R x B ，01.2<+-∈∀ax x R x C ，01.2>+-∈∃ax x R x D ，2.抛物线x y 22=的准线方程是()1.-=x A 1.=x B 21.-=x C 21.=x D 3.若点2,2(在幂函数αx x f =)(的图像上，则=)41(f ()21.A 1.B 2.C 4.D 4.在10)(a x +的展开式中，7x 的系数为15，则=a ()21.-A 21.B 1.-C 1.D 5.已知函数4(sin 31)(2π+-=x x f ，则)(x f 的最小正周期为()2.πA π.B 23.πC π2.D 6.已知点C 在直线AB 上运动，O 为平面上任意一点，且)(4+∈+=R y x OB y OA x OC ，，则y x ⋅的最大值是()41.A 81.B 161.C 321.D 7.我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有金箠，长五尺，斩本一尺，重四斤，斩末一尺，重二斤，问次一尺各重几何?”意思是：“现有一根金杖，长5尺，一头粗，一头细，在粗的一端截下1尺，重4斤；在细的一端截下1尺，重2斤；问依次每一尺各重多少斤?”设该金杖由粗到细是均匀变化的，其重量为M ，现将该金杖截成长度相等的10段，记第i 段的重量为)10,,2,1(⋅⋅⋅=i a i ，且⋅⋅⋅<<21a a 10a <，若M a i 548=，则=i ()4.A 5.B 6.C 7.D 8.在ABC △中，角C B A ，，的对应边分别为c b a ，，，已知222==c b ，，且4π=C ，则ABC △的面积为()31.+A 431.+B 62.+C 462.+D 9.设椭圆1222=+y x 的右焦点是F ，右准线为L ，点L A ∈，线段AF 交C 于点F .若FB FA 3=，=()2.A 3.B 2.C 3.D 10.将函数)32sin()(π+=x x f 向右平移32π个单位，再将所得的函数图象上的各点纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，得到函数)(x g y =的图象，则函数)(x g y =与x x x ，32ππ=-=轴围成的图形面积为为()21.A 23.B 231.+C 231.-D 11.已知直三棱柱111C B A ABC -的各棱长均为1，棱1BB 所在直线上的动点M 满足1BB BM λ=，AM 与侧面C C BB 11所成的角为θ，若]2,22[∈λ，则θ的取值范围是()]6,12[.ππA 4,6[.ππB 3,4[.ππC ]125,3[.ππB 12.已知x a y =（0>a 且1≠a ）是定义在R 上的单调递减函数，记a 的所有可能取值构成集合A ；),(y x P 是椭圆191622=+y x 上一动点，点),(111y x P 与点P 关于直线1+=x y 对称，记411-y 的所有可能取值构成集合B ，若随机地从集合B A ，中分别抽出一个元素1λ，2λ，则21λλ>的概率是()21.A 31.B 32.C 43.D 第Ⅱ卷（非选择题共100分）二、填空题：把答案填在相应题号后的横线上（本大题共4小题，每小题5分，共20分）．13.已知iibi a R b a 21711--=+∈，，(i 是虚数单位)，则=+b a ________.14.已知双曲线经过点22,1(，其一条渐近线方程为x y 2=，则该双曲线的标准方程为________.15.如框图所示，若13)(2-=x x f ，取1.0=ε，则输出的值为_______.16.已知{}]4,3[sin 2)(|上是增函数在ππ-==ax x f a M ，}013|{|1|有实数解方程=+-=--b b N x 有实数，设N M D =，且定义在R 上的奇函数mx nx x f ++=2)(在D 内没有最小值，则m 的取值范围是________.三、解答题：共70分。

2024年高考数学全真模拟试卷六（新高考、新结构）一、选择题：本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1．已知a b ∈R ，，i (3i )i a b -=-（i 为虚数单位），则（）A ．1a =，3b =-B ．1a =-，3b =C ．1a =-，3b =-D ．1a =，3b =【答案】A【解析】因为3i (i)i 1i a b b -=-=+，所以1,3a b ==-.故选A2．已知{}n a 为等差数列，n S 为其前n 项和.若122a a =，公差0,0m d S ≠=，则m 的值为（）A ．4B ．5C ．6D ．7【答案】B【解析】由已知()12122a a a d ==+，得12a d =-，又()()1112022m m m m m S ma d md d --=+=-+=，又0d ≠，所以()1202m m m --+=，解得5m =或0m =（舍去），故选B.3．纯电动汽车是以车载电源为动力，用电机驱动车轮行驶，符合道路交通、安全法规各项要求的车辆，它使用存储在电池中的电来发动．因其对环境影响较小，逐渐成为当今世界的乘用车的发展方向．研究发现电池的容量随放电电流的大小而改变，1898年Peukert 提出铅酸电池的容量C 、放电时间t 和放电电流I 之间关系的经验公式：C I t λ=，其中λ为与蓄电池结构有关的常数（称为Peukert 常数），在电池容量不变的条件下，当放电电流为7.5A 时，放电时间为60h ；当放电电流为25A 时，放电时间为15h ，则该蓄电池的Peukert 常数λ约为（参考数据：lg 20.301≈，lg 30.477≈）（）A ．1.12B ．1.13C ．1.14D ．1.15【答案】D【解析】由题意知7.5602515C λλ=⨯=⨯，所以410325607.515λλ⎛⎫= ⎪⎝⎭⎛⎫== ⎪⎝⎭，两边取以10为底的对数，得10lg2lg 23λ=，所以2lg 220.301 1.151lg310.477λ⨯=≈≈--，故选D.4．已知向量,a b 满足||2,(2,0)a b ==，且||2a b += ，则,a b 〈〉= （）A ．π6B ．π3C ．2π3D ．5π6【答案】C【解析】由已知||2,2a b == ，所以()22224222cos ,44a ba b a b a b +=+⋅+=+⨯⨯⨯〈〉+=r r r r r r r r，得1cos ,2a b 〈〉=- ，又[],0,πa b 〈〉∈ ，所以2π,3a b 〈〉= .故选C.5．在平面直角坐标系xOy 中，已知()()3,0,1,0,A B P -为圆22:(3)(3)1C x y -+-=上动点，则22PA PB +的最小值为（）A ．34B ．40C ．44D ．48【答案】B【解析】设(),P x y ，则()()222222223122410PA PB x y x y x y x +=+++-+=+++()22218x y ⎡⎤=+++⎣⎦，即22PA PB +等价于点P 到点()1,0Q -的距离的平方的两倍加8，又1PQ QC PC ≥-=514=-=，即22224840PA PB +≥⨯+=.故选B.6．如图，四棱锥A BCDE -是棱长均为2的正四棱锥，三棱锥A CDF -是正四面体，G 为BE 的中点，则下列结论错误的是（）A ．点,,,ABC F 共面B ．平面ABE 平面CDF C ．FG CD ⊥D ．FG ⊥平面ACD【答案】D【解析】选项A ：如图，取CD 中点H ，连接GH ，FH ，AG ，AH ，因为A BCDE -是正四棱锥，A CDF -是正四面体，G 为BE 的中点，所以CD GH ⊥，CD AH ⊥，CD FH ⊥，因为GH AH H = ，,GH AH ⊂平面AGH ，所以CD ⊥平面AGH ，因为AH FH H = ，,AH FH ⊂平面AFH ，所以CD ⊥平面AFH ，所以,,,A G H F 四点共面，由题意知3AG HF ==2GH AF ==，所以四边形AGHF是平行四边形，所以GH AF ∥，因为BC GH ∥，所以BC AF ∥，所以,,,A B C F 四点共面，故A 说法正确；选项B ：由选项A 知AG FH ∥，又AG ⊄平面CDF ，FH ⊂平面CDF ，所以AG 平面CDF ，因为CD BE ∥，且BE ⊄平面CDF ，CD ⊂平面CDF ，所以BE 平面CDF ，又AG ⊂平面ABE ，BE ⊂平面ABE ，且AG BE G = ，所以平面ABE 平面CDF ，故B 说法正确；C 选项：由选项A 可得CD ⊥平面AGHF ，又FG ⊂平面AGHF ，所以FG CD ⊥，故C 说法正确；D 选项：假设FG ⊥平面ACD ，因为AH ⊂平面ACD ，则FG AH ⊥，由选项A 知四边形AGHF 是平行四边形，所以四边形AGHF 是菱形，与3AG =2GH =矛盾，故D 说法错误;故选D7．甲､乙两人进行一场友谊比赛，赛前每人记入3分．一局比赛后，若决出胜负，则胜的一方得1分，负的一方得1-分；若平局，则双方各得0分．若干局比赛后，当一方累计得分为6时比赛结束且该方最终获胜．令i P 表示在甲的累计得分为i 时，最终甲获胜的概率，若在一局中甲获胜的概率为0.5，乙获胜的概率为0.3，则1P =（）A ．555535-B ．666535-C ．5662553⨯-D ．677553-【答案】C【解析】由题意可知：i 的取值集合为{}0,1,2,3,4,5,6，且060,1P P ==，在甲累计得分为1时，下局甲胜且最终甲获胜的概率为20.5P ，在甲累计得分为1时，下局平局且最终甲获胜的概率为10.2P ，在甲累计得分为1时，下局甲败且最终甲获胜的概率为00.3P ，根据全概率公式可得12100.50.20.3P P P P =++，整理得2108355P P P =-，变形得()211035P P P P -=-，因为100P P ->，则211035P P P P -=-，同理可得324354652132435435P P P P P P P P P P P P P P P P ----====----，所以{}()10,1,2,,5i i P P i +-= 是公比为35的等比数列，所以()()11030,1,2,,55i i i P P P P i +⎛⎫-=-= ⎪⎝⎭ ，各项求和得()()551101135i i i i i P P P P +==⎡⎤⎛⎫-=-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦∑∑，则()661103355315P P P P ⎛⎫- ⎪⎝⎭-=-⋅-，即61133551315P P ⎛⎫- ⎪⎝⎭-=⋅-，解得51662553P ⨯=-．故选C.8．已知0,2a b c <<>，且12212,e (1),2ln2bab c c a==+=，则（）A ．b a c <-<B ．a b c -<<C ．c a b <-<D ．b c a<<-【答案】B 【解析】令1t a=，则22t t =，令()22,0t f t t t =-<，则()2ln 220t f t t '=->在(),0t ∈-∞上恒成立，故()22t f t t =-在(),0t ∈-∞上单调递增，且()11102f -=-<，110224f ⎛⎫-=-> ⎪⎝⎭，故112t -<<-，故()1,2a -∈，令()()2e 1x g x x =-+，0x >，则()()e 21x g x x '=-+，令()()e 21x q x x =-+，则()e 2x q x '=-，令()0q x '>得ln 2x >，令()0q x '<得0ln 2x <<，故()()e 21xq x x =-+在()0,ln 2上单调递减，在()ln 2,+∞上单调递增，则()()ln 222ln 210q =-+<，()22e 60q =->，由零点存在性定理可得，存在()0ln 2,2x ∈，使得()00q x =，且()()2e 1x g x x =-+在()00,x 上单调递减，在()0,x +∞上单调递增，又()00g =，故()()000g x g <=，又()22e 90g =-<，()33e 160g =->，故()2,3b ∈，令()2ln 2,2h x x x x =->，则()21h x x'=-，当2x >时，()0h x '>，故()2ln 2h x x x =-在()2,+∞上单调递增，又因为()446ln 20h =-<，()552ln100h =->，故()4,5c ∈，综上，a b c -<<.故选B二、选择题：本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.9．已知()()1,1,2,1AB AC =-= ,则下列结论正确的是（）A ．()3,0BC =B ．()25AB BC AC ⋅-=C．cos ,AB AC = D ．若()3,1AB AC λμμλ+=+,则2μλ-=【答案】ACD【解析】对于A ，()3,0BC AC AB =-= ,故A 正确;对于B ，因为()24,1BC AC -=-,所以()25AB BC AC ⋅-=- ,故B 错误;对于C，因为1,AB AC AB AC ⋅=-==所以cos ,10AB AC ==,故C 正确;对于D ，()()2,3,1AB AC λμμλμλμλ+=-+=+ ,所以231μλμμλλ-=⎧⎨+=+⎩,解得1,1λμ=-=,则2μλ-=,故D 正确.故选ACD.10．关于方程[]()22cos 10,πx y αα+=∈表示的曲线Γ，下列说法正确的是（）A ．Γ可以表示两条平行的直线，且这两条直线的距离为2B ．若Γ为双曲线，则α为钝角C ．若α为锐角，则Γ为焦点在y 轴上的椭圆D ．若Γ为椭圆，P 为椭圆Γ上不与长轴顶点,A B 重合的点，则cos PA PB k k α⋅=-【答案】AD【解析】对于A 项，当cos 0α=，即π2α=时，方程为21y =，解得1y =±，因此Γ可以表示两条平行的直线，且这两条直线的距离为2，故A 选项正确；对于B 项，若Γ为双曲线，则cos 0α<，即ππ2α<≤，故α为钝角或平角，故B 选项错误；对于C 项，若α为锐角，则0cos 1α<<，即11cos α>.将原方程化为标准方程为2211cos x y α+=⎛⎫⎪⎝⎭，因此Γ为焦点在x 轴上的椭圆，故C 选项错误；对于D 项，若Γ为椭圆，则α为锐角，设椭圆方程为()222210x y a b a b+=>>，则221,1cos a b α==，不妨设()()()00,0,,0,,A a B a P x y -，将点P 的坐标代入椭圆方程得2200cos 1x y α+=，即22001cos y x α=-，故22000022200001cos cos 1cos PA PBy y y x k k x a x a x a x ααα-⋅=⋅===-+---，故D 选项正确.故选AD ．11．对于集合A 中的任意两个元素,x y ，若实数(),d x y 同时满足以下三个条件：①“(),0d x y =”的充要条件为“x y =”；②()(),,d x y d y x =；③z A ∀∈，都有()()(),,,d x y d x z d y z ≤+．则称(),d x y 为集合A 上的距离，记为A d ．则下列说法正确的是（）A ．(),d x y x y =-为d RB ．(),sin sin d x y x y =-为d RC ．若()0,A =+∞，则(),ln ln d x y x y =-为Ad D ．若d 为R d ，则1e d -也为R d （e 为自然对数的底数）【答案】AC【解析】对于A ，(),d x y x y =-，即x y =，①，(),0d x y =，即(),0d x y x y =-=，即x y =，若x y =，则(),0d x y x y x x =-=-=，所以“(),0d x y =”的充要条件为“x y =”.②，()(),,d x y x y y x d y x =-=-=，成立，③，,,R x y z ∀∈，()()x y x z z y x z z y -=-+-≤-+-，故A 正确；对于B ，(),sin sin d x y x y =-，①，(),0d x y =，即(),sin sin 0d x y x y =-=，即sin sin x y =，此时若0,πx y ==，则x y ≠，故B 错误；对于C ，(),ln ln d x y x y =-，①，(),0d x y =即ln ln ln0xx y y-==，即1x y =，得x y =，若x y =，则(),ln ln ln ln 0d x y x y x x =-=-=，所以“(),0d x y =”的充要条件为“x y =”.②，()(),ln ln ln ln ,d x y x y y x d y x =-=-=，成立；③，()()(),ln ln ln ln ln ln d x y x y x z z y =-=-+-()()ln ln ln ln ,,x z z y d x z d y z ≤-+-=+，故成立，故C 正确；对于D ，设,x y ∀∈R ，(),d x y x y =-，则()1,1e e x y d x y ---=，①,若(),0d x y =，则0x y -=，即x y =，111e e 0x y d e ----==≠，故D 错误.故选AC.三、填空题：本题共3小题,每小题5分,共15分.12．函数()()2312(2)log 22x f x x a +=+-+是偶函数，则=a .【答案】38【解析】因为()()2312(2)log 22x f x x a +=+-+是偶函数，可得()()()31231228log 83022x x f x f x ax a x +-++--=-=-=+，所以38a =.13．《九章算术》中记录的“羡除”是算学和建筑学术语，指的是一段类似隧道形状的几何体，如图，羡除ABCDEF 中，底面ABCD 是正方形，//EF 平面ABCD ，ADE V 和BCF △均为等边三角形，且26EF AB ==．则这个几何体的外接球的体积为．【答案】36π【解析】连接BD ，分别取EF 、BD 、AD 中点G 、H 、I ，连接GH 、HI 、EI ，由底面ABCD 是正方形，//EF 平面ABCD ，ADE V 和BCF △均为等边三角形，故//EG IH ，GH ⊥底面ABCD ，又26EF AB ==，故3EG AD AB ===，则22EI AD ==，故2GH ==，由H 为底面正方形中心，HG IH ⊥，故羡除ABCDEF 外接球球心O 在直线GH 上，连接OI 、OE 、OA ，设半径为r ，OH a =，则==OA OE r ,由GH ⊥底面ABCD ，AD ⊂平面ABCD ，故GH AD ⊥，又AD IH ⊥，IH 、GH Ì平面IOH ，故AD ⊥平面IOH ，又IO ⊂平面IOH ，故AD IO ⊥，故2222232IO r AI r ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，又222223+2IO OH IH a ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，故有222233+22r a ⎛⎫⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即229+2r a =，又2222227322EO r a a ⎛⎫==-+=-+ ⎪ ⎪⎝⎭，故有22279+22a a -+=，解得2a =，故22999+9222r a ==+=，即3r =，则这个几何体的外接球的体积为34π36π3V r ==.14．已知函数π2cos (0)4y x ωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭在区间ππ,42⎛⎫⎪⎝⎭上有且仅有一个零点，则ω的取值范围为．【答案】371115(3)(][7]2222,,, 【解析】由题意知函数π2cos (0)4y x ωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭在区间ππ,42⎛⎫⎪⎝⎭上有且仅有一个零点，故函数的最小正周期πππ2ππ082444T ,,ωω≥-=∴≥∴<≤,又ππ,42x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则πππππ44424x ωωω-<-<-，而πππ7π4444ω-<-≤，当ππππ4442ω-<-<时，即03ω<<时，需有πππ3π2242ω<-≤，即3722ω<≤，此时3(3)2,ω∈；当πππ442ω-=时，即3ω=时，ππ5π244ω-=，此时函数在π5π(,24)上无零点，不合题意；当πππ3π2442ω<-<时，即37ω<<时，需有3πππ5π2242ω<-≤，即71122ω<≤，此时711(]22,ω∈；当ππ3π442ω-=时，即7ω=时，ππ13π244ω-=，此时函数在3π13π(,)24上有一零点5π2，符合题意；当3πππ7π2444ω<-≤时，即78ω<≤时，需有5πππ7π2242ω<-≤，即111522ω<≤，此时15(7]2,ω∈；综合上述，得ω的取值范围为371115(3)(][7]2222,,, 三、解答题：本题共5小题,共77分,解答应写出文字说明,证明过程和解题步骤.15.（13分）近年来“天宫课堂”受到广大中小学生欢迎，激发了同学们对科学知识的探索欲望和对我国航天事业成就的自豪．为领悟航天精神，感受中国梦想，某校组织了一次“寻梦天宫”航天知识竞赛（满分100分），各年级学生踊跃参加．校团委为了比较高一、高二学生这次竞赛的成绩，从两个年级的答卷中各随机选取了50份，将成绩进行统计得到以下频数分布表：成绩[)60,70[)70,80[)80,90[]90,100高一学生人数1551515高二学生人数10102010试利用样本估计总体的思想，解决下列问题：(1)从平均数与方差的角度分析哪个年级学生这次竞赛成绩更好（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）？(2)校后勤部决定对参与这次竞赛的学生给予一定的奖励，奖励方案有以下两种：方案一：记学生得分为x ，当70x <时，奖励该学生10元食堂代金券；当7090x ≤<时，奖励该学生25元食堂代金券；当90x ≥时，奖励该学生35元食堂代金券；方案二：得分低于样本中位数的每位学生奖励10元食堂代金券；得分不低于中位数的每位学生奖励30元食堂代金券．若高一年级组长希望本年级学生获得多于高二年级的奖励，则他应该选择哪种方案？解：（1）设高一年级学生竞赛成绩的平均数为x ，方差为21s .高二年级学生竞赛成绩的平均数为y ，方差为22s .则6515755851595158150x ⨯+⨯+⨯+⨯==，（1分）2222211[15(6581)5(7581)15(8581)15(9581)]144,50s =⨯-+⨯-+⨯-+⨯-=（3分）1(6510751085209510)8150y =⨯+⨯+⨯+⨯=，（4分）2222221[10(6581)10(7581)20(8581)10(9581)]161.650s =⨯-+⨯-+⨯-+⨯-=，（6分）因x y =2212s s <，故高一年级学生这次竞赛成绩比较稳定集中，成绩更好；（7分）（2）按照方案一，高一年级学生获得奖励为：1510(515)2515351175⨯++⨯+⨯=元，而高二年级学生获得奖励为：1010(1020)2510351200⨯++⨯+⨯=元，即按照方案一，高一年级获得奖励少于高二；（9分）按照方案二，依题意，所抽取的100名参加竞赛学生的成绩中位数为90806801082357-+⨯=，则样本中，高一年级学生成绩低于中位数的人数约为682807155152410-++⨯≈人，则高一年级获得奖励为：241026301020⨯+⨯=元；高二年级学生成绩低于中位数的人数约为6828071010202610-++⨯≈人，则高二年级获得奖励为：26102430980⨯+⨯=元.（11分）因1020980>，即按照方案二，高一年级获得奖励多于高二.故若高一年级组长希望本年级学生获得多于高二年级的奖励，则他应该选择方案二.（13分）16．（15分）已知在四边形ABCD 中，ABD △为锐角三角形，对角线AC 与BD 相交于点O，π2,4,4AD AC BD ABD ∠====．(1)求AB ；(2)求四边形ABCD 面积的最大值．解：（1）由余弦定理可得2222πcos 42AB BD AD AB BD +-=⋅，化简为220AB -+=，解得1AB =1，（4分）当1=AB时，因为2146cos 0BAD +-∠=<，与ABD △为锐角三角形不符合，故1AB =.（7分）（2）作,AE CF 垂直BD 于,E F ，设1AOB ∠=∠，（9分）则()1111sin 1sin 1sin 12222ABCD ABD CBD S S S BD AE BD CF BD AO CO BD AC =+=⋅+⋅=∠+∠=⋅∠ ，当sin 11190AC BD ∠=⇒∠=︒⇒⊥，四边形面积最大，最大面积为146262⨯=（15分）17．（15分）如图，在几何体111B C D ABCD -中，平面111//B C D 平面ABCD ，四边形ABCD 为正方形，四边形11BB D D 为平行四边形，四边形11D DCC 为菱形，112,22,120,DC AC D DC E ︒==∠=为棱11C D 的中点，点F 在棱1CC 上，//AE 平面BDF .(1)证明DE ⊥平面ABCD ；(2)求平面1AB D 与平面BDF 夹角的余弦值.解：（1）如图，连接DC 1，因为四边形11D DCC 为菱形，1120︒∠=D DC ，所以160DCC ︒∠=，所以12DC =，因为12,22AD DC AC ===22211AD DC AC +=，所以1AD DC ⊥，又11,,,AD DC DC DC D DC DC ⊂⊥= 平面11CDD C ，所以AD ⊥平面11CDD C ，所以,AD DE AD DC ⊥⊥，（3分）因为四边形11D DCC 为菱形，且1120︒∠=D DC ，所以1111DD DC D C ==，因为E 为棱11C D 的中点，所以11DE C D ⊥，又11//C D CD ，所以DE CD ⊥，（5分）因为,,,DE AD AD DC D AD DC ⊥=⊂ 平面ABCD ，所以DE ⊥平面ABCD .（7分）（2）以D 为坐标原点，,,DA DC DE分别为x 轴、y 轴、z 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系D xyz -.易知3DE =所以()0,0,0,(2,0,0),(2,2,0),(0,2,0),3)D A B C E ，113),(0,3)C D -，所以1(0,3),(0,2,0),(2,0,3),(2,2,0),(2,0,0)CC DC AE DB DA =-==-== ，1(0,3)DD -= ，设()10,3(01)CF tCC t t t ==-≤≤ ，则(0,2,3)DF DC CF t t =+=- ，（9分）因为//AE 平面BDF ，所以存在唯一的,R λμ∈，使得(2,2,0)(0,2,3)(2,22,3)AE DB DF t t t λμλμλλμμμ=+=+-=+- .所以22,220,33t t λλμμμ=-+-==23t =，所以111114230,,,(2,1,3)33DF DB DD D B DD DB ⎛⎫==+=+= ⎪ ⎪⎝⎭，（11分）设平面BDF 的法向量为()111,,x n y z = ，则00DF n DB n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ，所以1111423033220y x y ⎧=⎪⎨⎪+=⎩，取13y =-，则113,23x z ==，故(3,3,23)n =- ，设平面1AB D 的法向量为()222,,m x y z = ，则100DA m DB m ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ，所以222220230x x y z =⎧⎪⎨+=⎪⎩，取23y =，则220,3x z ==-(0,3,3)m =- ，（13分）设平面1AB D 与平面BDF 的夹角为θ，则10cos cos ,43023m n m n m nθ⋅=〈〉===⨯ ，故平面1AB D 与平面BDF 104（15分）18．（17分）已知抛物线C ：()2205y px p =<<上一点M 的纵坐标为3，点M 到焦点距离为5.(1)求抛物线C 的方程：(2)过点()1,0作直线交C 于A ，B 两点，过点A ，B 分别作C 的切线1l 与2l ，1l 与2l 相交于点D ，过点A 作直线3l 垂直于1l ，过点B 作直线4l 垂直于2l ，3l 与4l 相交于点E ，1l 、2l 、3l 、4l 分别与x 轴交于点P 、Q 、R 、S .记DPQ V 、DAB 、ABE 、ERS △的面积分别为1S 、2S 、3S 、4S .若3412S S S S λ=，求实数λ的取值范围.解：（1）设(),3M t ，由题意可得9252pt p t =⎧⎪⎨+=⎪⎩，即9522p p +=，（2分）解得1p =或9p =（舍去），所以抛物线C 的方程为22y x =.（4分）（2）如图，设经过()11,A x y ，()22,B x y 两点的直线方程为AB l ：1x my =+（m ∈R ，0m ≠），与抛物线方程22y x =联立可得222y my =+，即2220y my --=，2480m ∆=+>∴122y y m +=，122y y =-.∵22y x =，则y =∴'1y y=，（6分）∴过点A 作C 的切线1l 方程为()11111112y y x x y x y y =-+=+，令0y =，得212y x =-，即21,02y P ⎛⎫- ⎪⎝⎭.同理，过点B 作C 的切线2l 方程为2212y y x y =+，令0y =，得222y x =-，即22,02y Q ⎛⎫- ⎪⎝⎭.∴222122y y PQ =-.（8分）联立两直线方程11221212y y x y y y x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，解得1212122y y x y y y m ⎧==-⎪⎪⎨+⎪==⎪⎩，即()1,D m -，则D 到直线AB l的距离2D AB d -==又∵过点A 作直线3l 垂直于1l ，直线3l 的方程为311111112y y y x x y y y x y =-++=-++，令0y =，得2112y x =+，即211,02y R ⎛⎫+ ⎪⎝⎭.（10分）同理，直线4l 的方程为32222y y y x y =-++，令0y =，得2212y x =+，即221,02y S ⎛⎫+ ⎪⎝⎭.∴222122y y RS =-.联立两直线方程3111322222y y y x y y y y x y ⎧=-++⎪⎪⎨⎪=-++⎪⎩，解得()2212121212122y y y y x y y y y y ⎧++=+⎪⎪⎨+⎪=-⎪⎩，整理后可得2222x m y m⎧=+⎨=⎩，即()222,2E m m +，则E 到直线AB l的距离E AB d -==.（13分）由上可得22211112222D y y S PQ y m =⋅=-，212d AB S AB d -=⋅=，312E AB S AB d -=⋅=，222141122222E y y S RS y m =⋅=-，（15分）∴2123422S S m S S +==，得2212m λ=<+，故λ的取值范围为()0,1.（17分）19．（17分）超越数得名于欧拉，它的存在是法国数学家刘维尔（Joseph Liouville ）最早证明的．一个超越数不是任何一个如下形式的整系数多项式方程的根：11100n n n n a x a x a x a --++++= （0a ，1a ，…，n a ∈Z ，0n a ≠）．数学家证明了自然对数的底数e 与圆周率π是超越数．回答下列问题：已知函数()e x n n n f x b x =-（*n ∈N ）只有一个正零点．(1)求数列{}n b 的通项公式；(2)（ⅰ）构造整系数方程00n n a x a +=，证明：若N m ∈，则e m 为有理数当且仅当0m =．（ⅱ）数列{}n b 中是否存在不同的三项构成等比数列？若存在，求出这三项的值；否则说明理由．解：（1）若()e x n n n f x b x =-只有一个正零点，可得e ,e 1,x n n x n n b x b x -==（1分）令()e n x g x x -=，()11()e e e n x n x n x g x nx x x n x -----=-=-'，令()0g x '<，(,)x n ∈+∞，令()0g x '>，(0,)x n ∈，故()g x 在(0,)n 上单调递增，在(,)n +∞上单调递减，可得()g x 在x n =处取得最大值，且最大值为()e n n g n x -=，（4分）而当0x →时，()0g x →，当x →+∞时，()0g x →，由题意得，当()g x 最大时，符合题意，故e 1n n n b n -=，即e n n n b n -=⋅.（6分）（2）（ⅰ）若0m =，则e 1m =为有理数；若m 正整数，假设e m 为有理数，则e ,,,0m p y p q q q==∈≠Z ，则方程0q y p ⋅-=的根中有有理数，又在方程0m q x p ⋅-=中，发现e x =是它的根，（8分）而已知e 是超越数，故e 不是方程的根，与0q y p ⋅-=矛盾，即e m 不为有理数；综上所述：m ∈N ，e m 为有理数当且仅当0m =；（10分）（ⅱ）若数列{}n b 中存在不同的三项构成等比数列，则()2e e e e m m n n l l m n ---⋅⋅⋅=⋅，可得22e m n l m n l m n l +--=⋅⋅，由方程右边是有理数知左边是有理数，由上问知当且仅当2m n l +=时成立，故2m n l m n m n l l l ⋅==⋅，则()()1m n m n l l ⋅=，设1m x l-=，则(1)m l x =-，(1)n l x =+，则()()111m n x x -⋅+=，将(1)m l x =-，(1)n l x =+代入进行化简，可得()()(1)111l x l x x x -+-⋅+=，故()()11111l x x x x -+⎡⎤-⋅+=⎣⎦，故()()11111x x x x -+-⋅+=，（14分）构造函数()()()()()1ln 11ln 1f x x x x x =--+++，而()()2ln 10f x x ='-<，知()f x 在其定义域内单调递减，又()00f =，故若()()11111x x x x -+-⋅+=，则有0x =，即2m n l m n l ⋅=成立，当且仅当m n l ==时成立.即数列{}n b 中不存在不同的三项构成等比数列.（17分）。

2023年高考押题卷数学(六)一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设全集U ＝{2，4，a 2}，集合A ＝{4，a ＋3}，∁U A ＝{1}，则a 的取值为( )A ．－3B ．3C ．－1D ．12．已知a ∈R ，i 为虚数单位，若a －3i2＋4i为实数，则a 的值为( )A ．32B ．23C ．－23D ．－323．为了得到函数y ＝sin (4x ＋π6)的图象，只要将y ＝sin x 的图象( )A ．向左平移π6 个单位长度，再把所得图象上各点的横坐标缩短到原来的14 ，纵坐标不变B ．向左平移π3 个单位长度，再把所得图象上各点的横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变C ．向左平移π3 个单位长度，再把所得图象上各点的横坐标缩短到原来的14 ，纵坐标不变D ．向左平移π6个单位长度，再把所得图象上各点横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变4．为了解某地高三学生的期末数学考试成绩，研究人员随机抽取了100名学生对其进行调查，根据所得数据制成如图所示的频率分布直方图，则这100名学生期末数学成绩的中位数约为( )A ．92.5B ．95C ．97.5D ．1005．若x 6＝a 0＋a 1(x ＋1)＋a 2(x ＋1)2＋a 3(x ＋1)3＋…＋a 6(x ＋1)6，则a 3＝( ) A ．20 B ．－20 C ．15 D ．－156. 若m 、n 是两条不同的直线，α、β、γ是三个不同的平面，则下列命题中的真命题是( ) A ．若m ⊂β，α⊥β，则m ⊥α B ．若α∩γ＝m ，β∩γ＝n ，m ∥n ，则α∥β C ．若m ⊥β，m ∥α，则α⊥β D ．若α⊥γ，α⊥β，则β⊥γ7．若正实数a ，b 满足a ＋b ＝1，且a ＞b ，则下列结论正确的是( ) A ．ln (a －b )＞0 B ．a b ＜b aC ． a ＋ b >2D ．1a ＋1b >48．已知M 是圆C ：x 2＋y 2＝1上一个动点，且直线l 1：mx －ny －3m ＋n ＝0与直线l 2：nx ＋my －3m －n ＝0(m ，n ∈R ，m 2＋n 2≠0)相交于点P ，则|PM |的取值范围是( )A ．[3 －1，23 ＋1] B. [2 －1，32 ＋1] C ．[2 －1，22 ＋1] D. [2 －1，33 ＋1] 二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．已知由样本数据(x i ，y i )(i ＝1，2，3，…，10)组成的一个样本，得到回归直线方程为＝2x －0.4，且＝2，去除两个歧义点(－2，1)和(2，－1)后，得到新的回归直线的斜率为3.则下列说法正确的是( )A ．相关变量x ，y 具有正相关关系B ．去除两个歧义点后的回归直线方程为＝3x －3C ．去除两个歧义点后，样本(4，8.9)的残差为－0.1D ．去除两个歧义点后，随x 值增加相关变量y 值增加速度变小10．已知曲线C ：x 2k －1 ＋y 25－k＝1，则下列说法正确的是( )A ．若曲线C 表示双曲线，则k >5B ．若曲线C 表示椭圆，则1<k <5且k ≠3C ．若曲线C 表示焦点在x 轴上的双曲线且离心率为233，则k ＝7D ．若曲线C 与椭圆x 24 ＋y 22＝1有公共焦点，则k ＝411.如图，三棱锥D ABC 中，∠CAB ＝∠DAB ＝∠DAC ＝60°，AC ＝AB ＝1，AD ＝2，则下列说法正确的是( )A ．AD ⊥BCB ．平面ABC ⊥平面BCDC ．三棱锥D ABC 的体积为26D ．以AB 为直径的球被平面ACD 所截得的圆在△ACD 内的弧的长度为6π1812. 已知函数f (x )＝e x －ln (x ＋a )，a ∈R .( ) A ．当a ＝0时，f (x )没有零点 B ．当a ＝0时，f (x )是增函数C ．当a ＝2时，直线y ＝12x ＋1－ln 2与曲线y ＝f (x )相切D ．当a ＝2时，f (x )只有一个极值点x 0，且x 0∈(－1，0) 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知函数f (x )为奇函数，当x ≥0时，f (x )＝x (x ＋4)，则f (－1)＝________．14. 已知向量＝(sin (α＋π4 )，6)，＝(sin (α＋3π4)，1)，∥，则tan 2α＝________．15．已知数列{a n }满足a 1＋a 2＝2，a n ＋2－a n ＝1＋cos n π，则数列{a n }的前100项的和等于________． 16．如图，AB 是半圆O 的直径，点C 在半圆上运动(不与A ，B 重合)，P A ⊥平面ABC ，若AB ＝2，二面角ABCP 等于60°，则三棱锥P ABC 体积的最大值为________．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．(10分)在平面四边形ABCD 中，AB ⊥BC ，∠BAD ＝60°，AD ＝23 ，BD ＝5. (1)求cos ∠ABD ； (2)若BC ＝4，求DC .18．(12分)已知数列{a n }满足a 1＋3a 2＋5a 3＋…＋(2n －1)a n ＝(n －1)3n ＋1. (1)求{a n }的通项公式；(2)在a n 和a n ＋1之间插入n 个数，使这n ＋2个数构成等差数列，记这个等差数列的公差为d n ，求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1d n 的前n 项和T n .19．(12分)第24届北京冬季奥运会共设7个大项，15个分项，109个小项．为调查学生对冬季奥运会项目的了解情况，某大学进行了一次抽样调查，被调查的男、女生人数均为100，其中对冬季奥运会项目了解比较全面的男生人数是女生人数的2倍．将频率视为概率，从被调查的男生和女生中各选一人，两人对冬季奥运会项目了解都不够全面的概率为325.(1)完成以下2×2列联表，并判断是否有99.9%的把握认为该校学生对冬季奥运会项目的了解情况与性别有关；(2)为X ，求X 的分布列与数学期望．附：χ2＝n （ad －bc ）2（a ＋b ）（c ＋d ）（a ＋c ）（b ＋d ），n ＝a ＋b ＋c ＋d .20.(12分)如图，在四棱台ABCD A 1B 1C 1D 1中，底面为矩形，平面AA 1D 1D ⊥平面CC 1D 1D ，且CC 1＝CD＝DD 1＝12C 1D 1＝1.(1)证明：AD ⊥平面CC 1D 1D ；(2)若A 1C 与平面CC 1D 1D 所成角为π3，求点D 到平面AA 1C 的距离．21．(12分)已知抛物线T ：y 2＝2px (p >0)，点F 为其焦点，P 为T 上的动点，Q 为P 在动直线x ＝t (t <0)上的投影．当△PQF 为等边三角形时，其面积为163 .(1)求抛物线T的方程；(2)过x轴上一动点E(a，0)(a>0)作互相垂直的两条直线，与抛物线T分别相交于点A，B和C，D，点H，K分别为AB，CD的中点，求△EHK面积的最小值．22．(12分)设函数f(x)＝(x＋a)e x，已知直线y＝2x＋1是曲线y＝f(x)的一条切线．(1)求a的值，并讨论函数f(x)的单调性；(2)若f(x1)＝f(x2)，其中x1<x2，证明：x1·x2>4.2023年高考押题卷数学(六)1．答案：C 2．答案：D 3．答案：A 4．答案：B 5．答案：B 6．答案：C 7．答案：D 8．答案：B 9．答案：ABC 10．答案：BCD 11．答案：AC 12．答案：ACD 13．答案：－514．答案：351215．答案：2 55016．答案：8917．解析：(1)如图，由正弦定理，得BD sin ∠BAD ＝ADsin ∠ABD，所以532＝23sin ∠ABD ，解得sin ∠ABD ＝35，所以cos ∠ABD ＝1－sin 2∠ABD ＝45.(2)因为sin ∠ABD ＝35 ，∠ABC ＝90°，所以cos ∠DBC ＝35，由余弦定理，得DC 2＝BD 2＋BC 2－2BD ·BC cos ∠DBC ＝25＋16－2×5×4×35＝17，所以DC ＝17 .18．解析：(1)因为a 1＋3a 2＋5a 3＋…＋(2n －1)a n ＝(n －1)3n ＋1， ① 当n ＝1时a 1＝1，当n ≥2时，a 1＋3a 2＋5a 3＋…＋(2n －3)a n －1＝(n －2)3n －1＋1， ②①－②得(2n －1)a n ＝[(n －1)3n ＋1]－[(n －2)3n －1＋1]＝(2n －1)3n －1(n ≥2).所以a n ＝3n －1(n ≥2).又因为当n ＝1时，上式也成立，所以{a n }的通项公式为a n ＝3n －1.(2)由题可知d n ＝a n ＋1－a n n ＋1 ＝3n －3n －1n ＋1 ＝2·3n －1n ＋1，得1d n ＝12 ·n ＋13n －1 ，则T n ＝12 ·230 ＋12 ·331 ＋12 ·432 ＋…＋12 ·n 3n －2 ＋12 ·n ＋13n －1 ， ③13 T n ＝12 ·231 ＋12 ·332 ＋12 ·433 ＋…＋12 ·n 3n －1 ＋12 ·n ＋13n ， ④ ③－④得23 T n ＝1＋12 (13 ＋132 ＋…＋13n －1 )－12 ·n ＋13n＝1＋12 ·13⎝⎛⎭⎫1－13n －11－13－12 ·n ＋13n ＝54 －2n ＋54 ·13n ，解得T n ＝158 －2n ＋58·3n －1 .19．解析：(1)设对冬季奥运会项目了解比较全面的女生人数为n ，则对冬季奥运会项目了解比较全面的男生人数为2n .因为从被调查的男生和女生中各选一人，两人都对冬季奥运会项目了解不够全面的概率为100－2n 100 ×100－n 100 ＝325 ，所以n ＝40.所以χ2＝200×4 000×4 000100×100×120×80＝1003 >10.828，故有99.9%的把握认为该校学生对冬季奥运会项目的了解情况与性别有关．(2)从全校学生中随机抽取一人且该学生对冬季奥运会项目了解比较全面的概率P ＝120200 ＝35.因为随机变量X ～B (3，35)，所以P (X ＝0)＝(25 )3＝8125 ，P (X ＝1)＝C 13×35 ×(25 )2＝36125 ， P (X ＝2)＝C 23 ×(35 )2×25 ＝54125 ，P (X ＝3)＝(35 )3＝27125 ， 所以X 的分布列为所以E (X )＝3×35 ＝95.20．解析：(1)证明：在梯形CC 1D 1D 中，因为CC 1＝CD ＝DD 1＝12C 1D 1＝1.所以∠DD 1C 1＝π3 ，连接DC 1，由余弦定理可得DC 1＝3 .∵DC 21 ＋DD 21 ＝D 1C 21 ，∴DC 1⊥DD 1， ∵平面AA 1D 1D ⊥平面CC 1D 1D 且交于DD 1， DC 1⊂平面CC 1D 1D ，∴DC 1⊥平面AA 1D 1D ， 又∵AD ⊂平面AA 1D 1D ，∴AD ⊥DC 1. ∵AD ⊥DC ，DC ∩DC 1＝D ， ∴AD ⊥平面CC 1D 1D .(2)连接A 1C 1，由(1)可知：A 1D 1⊥平面CC 1D 1D ，以D 1为原点，以D 1A 1、D 1C 1分别为x 轴、y 轴正半轴，过D 1作垂线为z 轴，建立空间直角坐标系，如图：∵A 1D 1⊥平面CC 1D 1D ，∴∠A 1CD 1即为A 1C 与平面CC 1D 1D 所成的角，∴∠A 1CD ＝π3.在Rt △A 1CD 1中，因为CD 1＝3 ，所以A 1D 1＝3，则：D 1(0，0，0)，A 1(3，0，0)，D (0，12 ，32 )，C (0，32 ，32)，C 1(0，2，0).所以A 1C 1＝(－3，2，0)，A 1C ＝(－3，32 ，32)，DC →＝(0，1，0).设平面AA 1C 1C 的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧n ·A 1C 1＝0n ·A 1C ＝0 则⎩⎪⎨⎪⎧－3x ＋2y ＝0－3x ＋32y ＋32z ＝0 ， 令x ＝2得n ＝(2，3，3 )，故点D 到平面AA 1C 的距离为d ＝|DC →·n ||n |＝34＋9＋3 ＝34 ，所以点D 到平面AA 1C 的距离为34.21．解析：(1)抛物线T ：y 2＝2px (p >0)的焦点F (p 2 ，0)，准线x ＝－p2，△PQF 为等边三角形，则有|PQ |＝|PF |，而Q 为P 在动直线x ＝t (t <0)上的投影，则t ＝－p2，由S △PQF ＝12 |PF |2sin 60°＝163 ，解得|PF |＝8，设P ⎝⎛⎭⎫y 20 2p ，y 0 ，则点Q (－p2 ，y 0)，于是由⎩⎪⎨⎪⎧|PQ |＝8|QF |＝8 得⎩⎪⎨⎪⎧y 20 2p ＋p 2＝8y 20 ＋p 2＝64 ，解得p ＝4，所以抛物线T 的方程为：y 2＝8x .(2)显然直线AB ，CD 都不与坐标轴垂直，设直线AB 方程为：x ＝ty ＋a ，则直线CD 方程为：x ＝－1ty＋a ，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ty ＋a y 2＝8x消去x 并整理得y 2－8ty －8a ＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝8t ， 于是得弦AB 中点H (4t 2＋a ，4t )，|EH |＝（4t 2）2＋（4t ）2 ＝4|t |t 2＋1 ，同理得|EK |＝4⎪⎪⎪⎪－1t （－1t ）2＋1 ＝4⎪⎪⎪⎪1t 1t 2＋1 ， 因此，直角△EHK 面积S ＝12 |EH |·|EK |＝12 ·4|t |t 2＋1 ·4⎪⎪⎪⎪1t 1t 2＋1 ＝8（t 2＋1）（1t2＋1） ＝82＋t 2＋1t2 ≥82＋2t 2·1t 2 ＝16，当且仅当t 2＝1t2 ，即t ＝±1时取“＝”，所以△EHK 面积的最小值为16.22．解析：(1)设直线y ＝2x ＋1与曲线y ＝f (x )相切于点(x 0，f (x 0))， ∵f ′(x )＝(x ＋a ＋1)e x ，∴f ′(x 0)＝(x 0＋a ＋1)e x 0＝2；又f (x 0)＝(x 0＋a )e x 0＝2x 0＋1，∴2－e x 0＝2x 0＋1，即e x 0＋2x 0－1＝0； 设g (x )＝e x ＋2x －1，则g ′(x )＝e x ＋2>0，∴g (x )在R 上单调递增，又g (0)＝0，∴g (x )有唯一零点x ＝0，∴x 0＝0，∴a ＋1＝2，解得a ＝1； ∴f (x )＝(x ＋1)e x ，f ′(x )＝(x ＋2)e x ，则当x ∈(－∞，－2)时，f ′(x )<0；当x ∈(－2，＋∞)时，f ′(x )>0； ∴f (x )在(－∞，－2)上单调递减，在(－2，＋∞)上单调递增．(2)证明：由(1)知：f (x )min ＝f (－2)＝－e －2<0；当x <－1时，f (x )<0；当x >－1时，f (x )>0，∴x 1<－2<x 2<－1；要证x 1·x 2>4，只需证x 1<4x 2<－2；∵f (x )在(－∞，－2)上单调递减，∴只需证f (x 1)>f (4x 2)，又f (x 1)＝f (x 2)，则只需证f (x 2)>f (4x 2)对任意x 2∈(－2，－1)恒成立；设h (x )＝f (x )－f (4x)(－2<x <－1)，∴h ′(x )＝(x ＋2)e x＋8（x ＋2）x 3 e 4x＝（x ＋2）e 4xx 3(x 3e x －4x＋8)；设p (x )＝x 3e x －4x ＋8(－2<x <－1)，则p ′(x )＝x e x －4x ·⎣⎡⎦⎤（x ＋32）2＋74 <0， ∴p (x )在(－2，－1)上单调递减，∴p (x )<p (－2)＝－8＋8＝0，又当－2<x <－1时，（x ＋2）e4xx 3<0，∴h ′(x )>0，∴h (x )在(－2，－1)上单调递增，∴h (x )>h (－2)＝f (－2)－f (－2)＝0，即f (x )>f (4x )在x ∈(－2，－1)时恒成立，又x 2∈(－2，－1)，∴f (x 2)>f (4x 2)，原不等式得证．。

一、单选题1. 已知各项均为正数的等比数列中，，，成等差数列，则（ ）A．B ．3C ．或3D ．1.或2. 美术绘图中常采用“三庭五眼”作图法.三庭：将整个脸部按照发际线至眉骨，眉骨至鼻底，鼻底至下颏的范围分为上庭、中庭、下庭，各占脸长的，五眼：指脸的宽度比例，以眼形长度为单位，把脸的宽度自左至右分成第一眼、第二眼、第三眼、第四眼、第五眼五等份.如图，假设三庭中一庭的高度为2cm ，五眼中一眼的宽度为1cm ，若图中提供的直线AB 近似记为该人像的刘海边缘，且该人像的鼻尖位于中庭下边界和第三眼的中点，则该人像鼻尖到刘海边缘的距离约为（）A．B．C．D．3.飞沫传播是新冠肺炎传播的主要途径，已知患者通过飞沫传播被感染的概率为，假设甲、乙两人是否被飞沫感染相互独立，则甲、乙两患者至少有一人是通过飞沫传播被感染的概率为（ ）A．B．C．D．4. “”是“”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件5. 单位正方体在空间直角坐标系中的位置如图所示，动点，，其中，，设由，，三点确定的平面截该正方体的截面为，那么（）A ．对任意点，存在点使截面为三角形B ．对任意点，存在点使截面为正方形C．对任意点和，截面都为梯形D ．对任意点，存在点使得截面为矩形6. 若复数满足（为虚数单位），则的虚部为（ ）A ．B．C．D．7. 已知集合，集合，则（ ）A．B．C．D．2023年普通高等学校招生全国统一考试·新高考仿真模拟卷数学（六）2023年普通高等学校招生全国统一考试·新高考仿真模拟卷数学（六）二、多选题三、填空题8. 已知集合，，若，则所有实数m 组成的集合是（ ）A．B．0，C．D．0，9. 已知函数，若关于的方程至少有8个不等的实根，则实数的取值不可能为（ ）A ．-1B ．0C ．1D ．210. 已知函数，则（ ）A ．是偶函数B ．的最小正周期为C ．在上为增函数D．的最大值为11. 已知直线与曲线相交于不同两点，，曲线在点处的切线与在点处的切线相交于点，则（ ）A．B．C．D．12. 2019年4月，我省公布新高考改革“”模式．“3”即语文、数学、外语为必考科目．“1”即首选科目，考生须在物理、历史中二选一．“2”即再选科目，考生在化学、生物、思想政治、地理中四选二．高校各专业根据本校培养实际，对考生的物理或历史科目提出要求．如图所示，“仅物理”表示首选科目为物理的考生才可报考，且相关专业只在物理类别下安排招生计划；“仅历史”表示首选科目为历史的考生才可报考，且相关专业只在历史类别下安排招生计划；“物理或历史”表示首选科目为物理或历史的考生均可报考，且高校要统筹相关专业在物理历史类别下安排招生计划根据图中数据分析，下列说法正确的是（）A ．选物理或历史的考生均可报的大学专业占49.64%B ．选物理的考生可报大学专业占47.53%C ．选历史的考生大学录取率为2.83%D ．选历史的考生可报大学专业占52.47%13. 已知平面向量，满足，它们的夹角为，则__________．14. ___________．15. 如图，在棱长为的正方体中，是侧面内的一个动点（不包含四边形的边），则下列说法的序号是______.①三角形的面积为定值；②存在点，满足；错误四、解答题③三棱锥的体积有最大值；④存在无限个点，使得三角形是等腰三角形.16.如图，在三棱柱中，四边形是菱形，，在底面ABC 上的射影是BC的中点．(1)证明：平面；(2)若，求与平面所成角的正弦值．17. 已知函数.（Ⅰ）求函数的最小正周期和值域；（Ⅱ）若，求的值.18.已知数列的前n 项之积为．(1)求数列的通项公式；(2)设公差不为0的等差数列中，，___________，求数列的前n 项和．请从①；②这两个条件中选择一个条件，补充在上面的问题中并作答．注：如果选择多个条件分别作答，则按照第一个解答计分．19. 已知双曲线C ：（，）的焦距为，离心率.(1)求双曲线C 的方程；(2)设P ，Q 为双曲线C 上异于点的两动点，记直线MP ，MQ的斜率分别为，，若，求证：直线PQ 过定点.20. 已知函数，．(1)当时，求函数的单调区间；(2)若，设直线l 为在处的切线，且l 与的图像在内有两个不同公共点，求实数a 的取值范围．21. 由于研究性学习的需要，中学生李华持续收集了手机“微信运动”团队中特定20名成员每天行走的步数，其中某一天的数据记录如下：5860 6520 7326 6798 7325 8430 8215 7453 7446 67547638 6834 6460 6830 9860 8753 9450 9860 7290 7850对这20个数据按组距1000进行分组，并统计整理，绘制了如下尚不完整的统计图表：步数分组统计表（设步数为）组别步数分组频数2102（Ⅰ）写出的值，并回答这20名“微信运动”团队成员一天行走步数的中位数落在哪个组别；（Ⅱ）记组步数数据的平均数与方差分别为,,组步数数据的平均数与方差分别为，，试分别比较与以，与的大小；(只需写出结论)（Ⅲ）从上述两个组别的数据中任取2个数据，记这2个数据步数差的绝对值为，求的分布列和数学期望.。

一、单选题二、多选题三、填空题1. 已知a ，b 是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，下列命题中：①若α∩β=a ，β∩γ=b ，且a //b ，则α//γ；②若a ， b 相交，且都在α，β外，a // α， a // β，b //α， b //β，则α//β；③若α⊥β，α∩β=a ，b ⊂β， a ⊥b ，则b ⊥α；④若a ⊂α，b ⊂α，l ⊥a ，l ⊥b ，则l ⊥α.其中正确命题的序号是（ ）A ．①②③B ．①③C ．②③D ．①②③④2. 在数列中，，且，则数列的前15项和为（ ）A ．84B ．102C ．120D ．1383. 已知,则“”是“”的A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分又不必要条件4. 一组数据按从小到大的顺序排列为1，4，4，x ，7，8（其中），若该组数据的中位数是众数倍，则该组数据的方差和60%分位数分别是（ ）A ．，5B ．5，5C ．，6D ．5，65. 函数的大致图象为A．B．C．D．6. 不等式的解集为（ ）A．B．C．D．7. 下列命题中正确的是（ ）A ．已知集合满足命题“”为真命题，则B ．已知集合满足命题“”为真命题，则C ．已知集合满足命题“”为真命题，则D ．已知集合满足命题“”为假命题，则8. 下列命题中，正确的命题是（ ）A．若事件，满足，，则B．设随机变量服从正态分布，若，则C．若事件，满足，，，则与独立D ．某小组调查5名男生和5名女生的成绩，其中男生平均数为9，方差为11；女生的平均数为7，方差为8，则该10人成绩的方差为9.52023年普通高等学校招生全国统一考试·新高考仿真模拟卷数学（六）(高频考点版)2023年普通高等学校招生全国统一考试·新高考仿真模拟卷数学（六）(高频考点版)四、解答题9. 已知向量，，则向量在向量上的投影向量为__________（用坐标表示）．10. 已知直线经过原点，且与直线的夹角为，则直线的方程为__________.11. 已知向量，，向量，则___________.12. 如果，那么角的终边在第_____象限13. 某造纸厂拟建一座底面图形为矩形且面积为150平方米的三级污水处理池，池的深度一定（平面图如图所示），如果池四周围墙建造单价为400元/米，中间两道隔墙建造单价为200元/米，池底建造单价为80元/平方米，水池所有墙的厚度忽略不计．(1)写出总造价y （元）与污水处理池的宽x （米）的关系式；(2)若由于地形限制，该池的长和宽都不能超过16米，试设计污水处理池的长和宽，使总造价最低，并求出最低总造价．14. 已知函数为定义在R 上的奇函数．(1)求a 的值；(2)讨论函数的单调性；(3)若关于x的不等式有解，求实数t 的取值范围．15. 已知函数．（1）若恒成立，试确定实数的取值范围；（2）证明：．16. 如图，在直角三角形中，，分别在线段上，且为的中点，，设．(1)求(用表示)；(2)求三角形面积的最小值．。

一、单选题二、多选题1. 已知全集，集合，则（ ）A．B．C．D．2. 已知为等腰三角形，满足，，若为底上的动点，则A ．有最大值B ．是定值C ．有最小值D ．是定值3. 若函数满足，且当时，，则函数的图象与函数的图象的交点的个数是（ ）A ．2B ．3C ．4D ．54.如图，一个底面半径为的圆锥，其内部有一个底面半径为的内接圆柱，且此内接圆柱的体积为，则该圆锥的表面积为（）A．B．C．D．5. 已知函数的图象关于点对称，且与直线的两个交点的横坐标分别为，，且的最小值为，则（ ）A．B．C ．在上单调递减D ．在上的最小值为6. 已知各项均不为0的等差数列，满足，数列为等比数列，且，则（ ）A ．16B ．8C ．4D ．27. 魏晋时刘徽撰写的《海岛算经》是有关测量的数学著作，其中第一题是测海岛的高．如图，点，，在水平线上，和是两个垂直于水平面且等高的测量标杆的高度，称为“表高”，称为“表距”，和都称为“表目距”，与的差称为“表目距的差”则海岛的高（）A．表高B ．表高C．表距D ．表距8. 已知抛物线的焦点为，为原点，点是抛物线的准线上的一动点，点在抛物线上，且，则的最小值为（ ）A．B．C．D．9. 设离散型随机变量的分布列如下表：2023年普通高等学校招生全国统一考试·新高考仿真模拟卷数学（六）2023年普通高等学校招生全国统一考试·新高考仿真模拟卷数学（六）三、填空题四、解答题123450.10.20.3若离散型随机变量，且，则（）A．B．C．D．10. 已知过抛物线：的焦点的直线：与抛物线交于两点，若，且，则的取值可以为（）A．B．C．2D．311.在中，，，分别是角，，的对边，其外接圆半径为，内切圆半径为，满足，的面积，则（）A．B．C．D．12. 如图，质点和在单位圆上逆时针作匀速圆周运动.若和同时出发，的角速度为，起点位置坐标为，B的角速度为，起点位置坐标为，则（）A．在末，点的坐标为B．在末，扇形的弧长为C．在末，点在单位圆上第二次重合D ．面积的最大值为13. 已知直线，圆，则满足与轴都相切，且与外切的所有圆的半径之积为__________.14. 已知抛物线：，其焦点为，的准线交轴于点，，为抛物线上动点，且直线过点，过，分别作，的平行线，（为坐标原点），直线，相交于点，记点的运动轨迹为曲线，直线与曲线无交点，则的取值范围是______.15. 函数的最小正周期是_________16. 2024年是弗拉基米尔•伊里奇•列宁逝世100周年.列宁同志短暂而又波澜壮阔的革命生涯，留给我们的宝贵遗产不仅是博大精深的思想，还有矢志不移的理想信念、坚韧不拔的革命意志和崇高的精神品格.为增加全体同学对列宁同志的了解，某校团委组织开展了知识竞赛活动.现有两组题目放在A，B两个信封中，A信封中有6道选择题和3道论述题，B信封中有3道选择题和2道论述题.参赛选手先在任一信封中随机选取一题，作答完后再在此信封中选取第二题作答，答题结束后将这两个题目放回原信封.(1)若同学甲从B信封中抽取了2题，求第2题抽到论述题的概率；(2)若同学乙从A信封中抽取了2题，答题结束后误将题目放回了B信封，接着同学丙从B信封中抽取题目作答，已知丙取出的第一个题是选择题，求乙从A信封中取出的是2个论述题的概率.17. 如图，，分别是圆台上下底面的圆心，是下底面圆的直径，，点是下底面内以为直径的圆上的一个动点(点不在上).（1）求证：平面平面；（2）若，当三棱锥体积最大时，求点到平面的距离.18.已知函数(1)求的值；(2)求函数在上的增区间和值域．19. 已知抛物线：上一点到其准线的距离为2．（1）求抛物线的方程；（2）如图，，为抛物线上三个点，，若四边形为菱形，求四边形的面积．20. 已知椭圆C：，，分别为C的左、右焦点，离心率，P为椭圆上任意一点，且的最小值为1．（1）求椭圆C的标准方程：（2）过的直线交椭圆C于A，B两点，其中A点关于x轴的对称点为（异于点B），若，证明：，，M三点共线．21. 从条件①，②，③中任选一个，补充到下面的问题中并给出解答，已知数列{}满足(1)求证：数列{}是等比数列；(2)求数列___________的前n项和.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分。

2023年高考数学模拟试题(六)参考答案 一㊁选择题1.A 提示:z =(1+i)33-i=-2+2i3-i=(-2+2i )(3+i )(3-i )(3+i)=-1-32-1-32i,所以z =-1-322+1-322=2㊂2.C 提示:由x >0,l o g 2x +1ȡ0,得x ȡ12,故集合A =12,+ɕ,所以0<12xɤ22,即集合B =0,22,故A ɘB =12,22㊂3.B 提示:由题意得2c o s θ=-s i n θ,所以t a n θ=-2,而s i n 3θ+2c o s 3θs i n (π+θ)=s i n 3θ+2c o s 3θ-s i n θ=-s i n 3θ+2c o s 3θs i n θ(s i n 2θ+c o s 2θ)=-s i n 3θ+2c o s 3θs i n 3θ+s i n θc o s 2θ=-t a n 3θ+2t a n 3θ+t a n θ=-35㊂4.D 提示:由题意知2a n =a n -1+a n +1(n ȡ2),所以数列{a n }是首项为1,公差为94-1=12的等差数列,故a 9=1+8ˑ12=5,所以a 9=25㊂5.C 提示:在区间-π,π2上满足c o s X ɤ12的X 只能在区间-π,-π3ɣπ3,π2内,所以P (X ɤ2)=59㊂6.D 提示:当i =1时,S =10;当S =9时,i =2;当S =7时,i =3;当S =4时,满足题意,所以n 的最小值为5㊂7.B 提示:设圆台较小底面半径为r ,则另一底面半径为3r ,由S =π(r +3r )ˑ4=162π,可得r =2,所以圆台的高h =42-(22)2=22,所以圆台的体积为13ˑ22πˑ[(2)2+(32)2+2ˑ32]=522π3㊂8.A 提示:A 77A 22A 22A 33=210㊂9.D 提示:f (2x )=2x 2x =4x ㊃x =4f (x ),从而f (x 2-1)ȡ4f (-1-a x )⇔f (x 2-1)ȡf (-2-2a x )㊂当x >0时,f (x )=x x =x 2在[0,+ɕ)上单调递增,而f (x )为奇函数,所以f (x )在R 上单调递增㊂所以x 2-1ȡ-2-2ax 在R 上恒成立,即x 2+2a x +1ȡ0恒成立,所以Δ=4a 2-4ɤ0,解得-1ɤa ɤ1,故a 的取值范围为[-1,1]㊂图110.A 提示:将三视图还原得到三棱锥D A B C ,如图1所示,其中A B =B C =1,A D =C D =2,R =B D 2=32,所以V =43πR 3=3π2㊂11.C 提示:由双曲线m x 2-n y 2=1得渐近线方程为mnx ʃy =0,则圆心(1,0)到渐近线的距离为m n 1+m n =43-1,解得n =2m ,所以m +1n +1=m +12m +1=m+12+12m +12-12ȡ2m +12㊃12m +12-12=2-12,当且仅当2m +122=1,即m =2-12时,等号成立㊂12.B 提示:要使øA O B 最大,则A ,B两点必须在分段函数的不同部分上,不妨设A (x 1,x 1ex 1-1+1),B (x 2,y 2)(其中x 1>0,图2-1ɤx 2ɤ0),如图2,当øA O B最大时,直线O A 与y =x e x -1+1相切且A 为切点,此时有y '=(x +1)e x -1,从而k O A =x 1e x 1-1+1x 1=(x 1+1)ex 1-1,化简得x 21ex 1-1-1=0(x 1>0),令h (x )=x 2e x -1-1(x >0),易得h (x )在(0,+ɕ)上为增函数且h (1)=1,所以x 1=1,所以k O A =2;当-1ɤx ɤ0时,y =10-1-x 2,变形得x 2+(y -10)2=1(-1ɤx ɤ0,y ɤ10),则øA O B 最大时,直线O B 与圆相切,设此时直线O B 的方程为y =k x (k <0),则由0-101+k2=1得k O B =-3,所以t a n øA O B =k O B -k O A1+k O A k O B=1,故øA O B =π4㊂二㊁填空题13.3316提示:将A (1,2)代入y =a x 2,得a =4,所以抛物线C :x 2=14y ,焦点F 的坐标为0,116,准线方程为y =-116,由抛物线的定义得A F =2+116=3316㊂14.π4提示:10=2a -b =(2a -b )2=4a 2-4a ㊃b +b2=4-4㊃32c o s θ+18,解得c o s θ=22,因为θɪ[0,π],所以θ=π4㊂15.11π6 提示:由题意知π6--π3=T 4(2k +1)=π2ω(2k +1),解得ω=2k +1(k ɪZ ),由8π15ɤT 2=πω,得0<ωɤ158,所以ω=1,由f π6=0,得π6+φ=2k 1π,所以φ=2k 1π-π6(k 1ɪZ ),故φm i n =11π6㊂16.-23n -29(-2)n+29 提示:由a n +1-1=a 2n +a n -1-2a na n -1-1-1,得a n +1-1=(a n -1)2a n -1-1,所以(a n +1-1)(a n -1-1)=(a n -1)2,故{a n -1}是首项为2,公比为q 的等比数列,且a 6-1=-64=2q 5,则q =-2,所以a n -1=2(-2)n -1㊂令b n =n (a n -1),则b n =2n (-2)n -1㊂故T n =2(-2)0+4(-2)1+ +2(n -1)(-2)n -2+2n (-2)n -1;-2T n =2(-2)1+4(-2)2+ +2(n -1)(-2)n -1+2n (-2)n㊂两式相减得3T n =2(-2)0-2n (-2)n+2[(-2)1+ +(-2)n -1],化简得T n =-23n -29(-2)n+29㊂三㊁解答题17.由题得f (x )=(s i n 2ωx -c o s 2ωx )㊃(s i n 2ωx +c o s 2ωx )+23s i n ωx c o s ωx +1=s i n 2ωx -c o s 2ωx +23s i n ωx c o s ωx +1=3s i n 2ωx -c o s 2ωx +1=2s i n 2ωx -π6+1㊂所以T =2π2ω=π,所以ω=1,故f (x )=2s i n 2x -π6+1㊂由2x -π6=k π,得x =k π2+π12(k ɪZ ),故f (x )的对称中心为k π2+π12,1(k ɪZ )㊂(2)由f (A )=2s i n 2A -π6 +1=3,得s i n 2A -π6 =1,而0<A <π,故A =π3㊂由余弦定理得a 2=b 2+c 2-2b c c o s A ,即1=b 2+c 2-b c ȡ2b c -b c =b c ,所以b c ɤ1,当且仅当b =c 时等号成立㊂S әA B C =12b c s i n A ɤ12㊃1㊃32=34,故әA B C 面积的最大值为34㊂18.(1)甲㊁乙两生产车间的茎叶图如图3所示㊂以下四个结论中选两个即可:图3①乙车间生产的药品的平均重量大于甲车间生产的药品的平均重量㊂②甲车间生产的药品的重量较乙车间生产的药品的重量更分散(或:乙车间生产的药品的重量较甲车间生产的药品的重量更集中(稳定))㊂③甲车间生产的药品的重量的中位数是134毫克;乙车间生产的药品的重量的中位数是140毫克㊂④甲车间生产的药品的重量的众数是119毫克;乙车间生产的药品的重量的众数是140毫克㊂(2)由题意知一件药品合格的概率为1050=15,故X ~B 3,15,X 的所有可能取值为0,1,2,3㊂P (X =0)=C 03㊃453=64125;P (X =1)=C 13㊃15㊃45 2=48125;P (X =2)=C 23㊃15 2㊃45=12125;P (X =3)=C 33㊃15 3=1125㊂故X 分布列为表1:表1X 0123P6412548125121251125所以E (X )=3ˑ15=35,D (X )=3ˑ15ˑ45=1225㊂19.(1)在面A B C D 内分别作B E ʅA D于E ,B F ʅC D 于F ㊂因为面D A A 1D 1ʅ面A B C D 且交于A D ,所以B E ʅ面D A A 1D 1,故B E ʅD D 1㊂同理得D D 1ʅB F ㊂而B E ɘB F =B ,所以D D 1ʅ面A BCD ㊂(2)由题意知A B 2=A D 2+B D 2,所以D A ʅD B ㊂由(1)知D D 1ʅ面A B C D ,所以D A ,D B ,D D 1两两垂直㊂以D 为坐标原点,图4D A ,D B ,D D 1所在直线分别为x 轴,y 轴,z 轴,建立如图4所示的空间直角坐标系D -x yz ,设B D =1,则D (0,0,0),B (0,1,0),M 1,0,22,C 1(-1,1,2),所以B C 1ң=(-1,0,2),B D ң=(0,-1,0),B M ң=1,-1,22㊂设面B C 1M 的一个法向量为m =(x 1,y 1,z 1),则m ㊃B C 1ң=-x 1+2z 1=0,m ㊃B M ң=x 1-y 1+22z 1=0,可取m =(2,3,2)㊂同理可得面B C 1D 的一个法向量为n =(2,0,1),所以c o s <m ,n >=m ㊃nm n=105,故二面角M -B C 1-D 的正弦值为155㊂20.设直线A B 的直线为y =x +m ,A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),将y =x +m 代入x 2+3y 2=3,得4x 2+6m x +3(m 2-1)=0,Δ=12(4-m 2)>0,得0ɤm 2<4,由韦达定理得x 1+x 2=-32m ,x 1x 2=3(m 2-1)4㊂由弦长公式得A B =1+12㊃(x 1+x 2)2-4x 1x 2=62㊃4-m 2ɤ6,当m =0时,|A B |取得最大值6㊂(2)由题意知直线C D 的斜率必存在,设直线C D 的方程为y =k x +n ,C (x 3,y 3),D (x 4,y 4),直线P C 的斜率为k P C =y 3x 3+2,则直线P C 的方程为x =x 3+2y 3㊃y -2,将其代入x 2+3y 2=3,得x 3+2y 3㊃y -2 2+3y 2-3=0,即(4x 3+7)y 2-4y 3(x 3+2)y +y 23=0,所以y A y 3=y 234x 3+7,则y A =y 34x 3+7,x A =x 3+2y 3㊃y A -2=-7x 3-124x 3+7=-74+14(4x 3+7),故A-74+14(4x 3+7),y 34x 3+7㊂同理B -74+14(4x 4+7),y 44x 4+7㊂故k A B=y 34x 3+7-y 44x 4+714(4x 3+7)-14(4x 4+7)=4y 3(4x 4+7)-4y 4(4x 3+7)(4x 4+7)-(4x 3+7)=(k x 3+n )(4x 4+7)-(k x 4+n )(4x 3+7)x 4-x 3=(4n -7k )(x 4-x 3)x 4-x 3=4n -7k =1,所以n =74k +14,所以直线C D 的方程为y =k ㊃x +74+14,故直线C D 过定点-74,14 ㊂21.(1)当a =1时,f (0)=0,f'(x )=e x-1c o s 2x,所以f '(0)=0,故所求切线方程为y =0㊂(2)注意到f (0)=0,f '(x )=e x-a c o s 2x=e xc o s 2x -a c o s 2x,令h (x )=e x c o s 2x -a -π2<x <π2,当a ɤ0时,h (x )ȡ0,所以f (x )在-π2,π2上单调递增,而f (0)=0,所以f (x )在-π2,π2上只有一个零点,不符合题意(舍去)㊂当a >0时,h '(x )=e xc o s 2x -2e x㊃s i n x c o s x =e xc o s 2x (1-2t a n x ),由h '(x )>0得-π2<x <x 0;由h '(x )<0得x 0<x<π2,其中0<x 0<π2且t a n x 0=12㊂故h (x )在-π2,x 0上单调递增,在x 0,π2上单调递减㊂而h -π2 =hπ2 <0,所以h (x 0)一定大于0,即0<a <e x 0c o s 2x 0=45e x其中45e x>1㊂所以∃x 1ɪ-π2,x 0,∃x 2ɪx 0,π2 ,使得h (x 1)=h (x 2)=0,且f (x )在-π2,x 1上单调递减,在(x 1,x 2)上单调递增,在x 2,π2 上单调递减㊂而当x ң-π2时,f (x )ң+ɕ;当x ңπ2时,f (x )ң-ɕ㊂又f (0)=0,所以0ɪ(x 1,x 2),故f '(0)=1-a >0,所以0<a <1㊂22.(1)直线l 的普通方程为y =3x ,故极坐标方程为θ=π3(ρɪR )㊂曲线C 的直角坐标方程为(x -2)2+y 2=9,即x 2+y 2-4x -5=0,故曲线C 的极坐标方程为ρ2-4ρc o s θ-5=0㊂(2)将θ=π3代入ρ2-4ρc o s θ-5=0,得ρ2-2ρ-5=0,ρA ㊁B =1ʃ6,所以A B =ρA -ρB =26㊂由题知点P 的直角坐标为(3,1),所以点P 到直线l 的距离d =3㊃3-12=1㊂故S әP A B =12A B ㊃d =12㊃26㊃1=6㊂23.(1)f (x )=x -1+x +5+x +5ȡ(x -1)-(x +5)+x +5=6+x +5ȡ6,当且仅当x =-5时取等号,所以f (x )的最小值为6,故m =6㊂(2)由(1)知a +3b +2c =6,即(a +2b +1)+(b +2c )=5,所以1a +2b +1+4b +2c =15[(a +2b +1)+(b +2c )]㊃1a +2b +1+4b +2c=15㊃5+4(a +2b +1)b +2c +b +2c a +2b +1 ȡ15㊃5+24(a +2b +1)b +2c ㊃b +2c a +2b +1=95㊂(责任编辑 王福华)。

一、单选题1. 设、、三点不共线，则“与的夹角是钝角”是“”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件2. 函数的大致图象可能是（ ）A．B．C．D．3. 设的内角的对边分别为，若则的值可以为（ ）A．B．C．D ．或4. 党的二十大报告指出：“全面提高人才自主培养质量，着力造就拔尖创新人才，聚天下英才而用之.”某区域教育部门为提高学生的创新能力，组织了200名学生参与研究性学习，每人仅参加1个课题组，参加各课题组的人数占比的扇形统计图如图所示，则参加数学类的人数比参加理化类的人数多（）A ．16B ．30C ．32D ．625. 已知双曲线的左、右焦点分别为，过点的直线与双曲线的右支交于两点，若，且双曲线的离心率为，则（ ）A．B．C．D．6. 如果复数（其中为虚数单位，）为纯虚数，则（ ）A．B ．0C ．1D ．27. 某同学在数学探究活动中确定研究主题是“（，）是几位数”，他以（）为例做研究，得出相应的结论，其研究过程及部分研究数据如表：（）N的位数一位数一位数2023年普通高等学校招生全国统一考试·新高考仿真模拟卷数学（六） (2)2023年普通高等学校招生全国统一考试·新高考仿真模拟卷数学（六） (2)二、多选题一位数两位数两位数两位数三位数三位数三位数四位数………………试用该同学的研究结论判断是几位数（参考数据，）（ ）A ．101B ．50C ．31D ．308. 已知函数，，给出下列四个命题：①函数的最大值为1；②函数的最小正周期为；③函数在上单调递增；④将函数的图象向左平移个单位长度，得到的函数解析式为．其中正确命题的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．49. 已知定义在上的函数满足：，则（ ）A ．是奇函数B．若，则C ．若，则为增函数D ．若，则为增函数10. 已知函数，其中实数，点，则下列结论正确的是（ ）A ．必有两个极值点B ．当时，点是曲线的对称中心C ．当时，过点可以作曲线的2条切线D ．当时，过点可以作曲线的3条切线11.已知抛物线C：，焦点为F，直线与抛物线C 交于A ，B 两点，过A ，B 两点作抛物线准线的垂线，垂足分别为P ，Q ，且M 为的中点，则（ ）A．B．C ．梯形的面积是16D．到轴距离为3.12. 已知函数对任意恒有，且当时，，则下列结论中正确的是（ ）A．的图象关于轴对称B ．在上单调递增C．的解集为三、填空题四、解答题D ．若对恒成立，则实数的取值范围为13. 的二项展开式中的常数项是_______.(用数字作答）14. 数列满足：①；②最小.则______，______.15. 如图所示，在中，已知，，，，，分别在边，，上，且为等边三角形．则的面积的最小值是______．16.已知函数(1)若，求函数的单调区间；(2)若存在，使得，设函数的图像与轴的交点从左到右分别为，，，，证明：点，分别是线段和线段的黄金分割点.（注：若线段上的点将线段分割成两部分，且其中较长部分与全长之比等于较短部分与较长部分之比，则称此点为该线段的黄金分割点）17.在锐角中，a ，b ，c 分别是内角A ，B ，C 的对边，.(1)求A ；(2)若，求c 的取值范围.18.设是等比数列的前项和，，且、、成等差数列.(1)求的通项公式；(2)求使成立的的最大值.19. 已知函数.(1)求曲线在点处的切线方程；(2)证明：当时，函数存在唯一的极大值点.20. 第五代移动通信技术（英语：或，简称或技术）是最新一代蜂窝移动通信技术，也是继、和系统之后的延伸.的性能目标是高数据速率减少延迟、节省能源、降低成本、提高系统容量和大规模设备连接.某大学为了解学生对“”相关知识的了解程度，随机抽取名学生参与测试，并将得分绘制成如下频数分布表：得分男性人数女性人数（1）将学生对“”的了解程度分为“比较了解”（得分不低于分）和“不太了解”（得分低于分）两类，完成列联表，并判断是否有的把握认为“学生对“”的了解程度”与“性别”有关？不太了解比较了解合计男性女性合计（2）以这名学生中“比较了解”的频率作为该校学生“比较了解”的概率.现从该校学生中，有放回的抽取次，每次抽取名学生，设抽到“比较了解”的学生的人数为，求的分布列和数学期望.附：（）.临界值表：21. 已知函数，．(1)讨论的单调性；(2)若当时，，求a的取值范围．。