第6章 弯曲应力 材料力学,力学,物理,课件总结

第六章
§6–1 引言 §6–2 弯曲正应力 §6–3 弯曲切应力
弯曲应力
§6–4 梁的强度条件 §6–5 梁的合理强度设计
§6-1 引言
一、弯曲构件横截面上的应力
当梁上有横向外力作用时，一般情况 下，梁的横截面上既又弯矩M，又有剪力FS 内力 剪力FS 弯矩M 切应力 正应力
m FS m m
Mz
M
O
z
y
dA
x σdA
FN
M z y d A A y E E
E

z
y

A
y dA
2
EI z

M
Iz称为截面对z轴的惯性矩,取决于截
面的形状和尺寸.
M EI z 1
这是纯弯梁变形时中性层曲率的表达式，EIz称为 梁的弯曲刚度。
弯曲正应力计算公式
M EI z 1

最大切应力发生在中性轴处
Fs BH 2 h2 max [ ( B b) ] I zb 8 8

最小切应力发生在 y=±h/2 处
Fs BH 2 Bh2 min ( ) I zb 8 8
三、圆形截面梁

切应力分布的特点
(1) 边缘各点的切应力与圆周相切； (2) y轴上各点的切应力沿y轴。
dFN σdA
d M z y dA
3、静力学方面
dF
A
N
σdA 0
A
A
Mz
M
O
z
dM
A
z
yσdA
Mz
y
dA
x σdA
FN
z

A
dA0
y
y
E
E E
得


A
yd A
ES z

0
S z 0 yC A
即中性轴 z是形心轴。
M
只有与切应力有关的切向内力元素 dFS = dA 才能合成剪力； 只有与正应力有关的法向内力元素 dFN = dA 才能合成弯矩。 所以，在梁的横截面上一般既有正应力， 又有切应力。
m m m
FS
M
二、应力分析方法：
•从简单到复杂，即从对称纯弯曲、推广到一般横力弯曲； •连续体的静不定问题，综合几何、物理和静力学三方面进行 研究 梁具有对称截面，且在纵向对称面承受横向 对称弯曲： 外力（或外力的合力）时的受力与变形形式。
E E
y
My Iz

1、M为截面上的弯矩值; 2、y为所求点的y坐标值;
3、Iz为梁横截面对中性轴的惯性矩.
讨论 （1）应用公式时，一般将 M 以绝对值代入. 根据梁变形的情况 直接判断 的正负号. 以中性轴为界，梁变形后凸出边的应力 为拉应力( 为正号).凹入边的应力为压应力（ 为负号）； （2）最大正应力发生在横截面上离中性轴最远的点处.
x b’
图（b）
图（c）
bb ( y )d
应变分布规律：
( y )d d y d bb dx OO O' O' d
直梁纯弯曲时纵向纤维的应变与它到中性层的距离成正比。
2、物理关系
胡克定律 σ Eε 所以 σ E 应力分布规律： 的距离成正比. 待解决问题 中性轴的位置 中性层的曲率半径
h
y
对于细长梁（ l/h > 5 ），弯曲正应力远大于弯曲切应力，主 要应力是弯曲正应力。所以对于发生横力弯曲的细长梁，可以 应用纯弯曲时的正应力计算公式正应力，其结果仍足够精确。
二、工字形截面梁的弯曲切应力 假设：腹板上各点处的弯曲切 应力平行于腹板侧边，并沿腹 板厚度均匀分布。
Fs ( y) [ B( H 2 h2 ) b(h2 4 y 2 )] 8I z b
中性轴
⊥
中性层 横截面对称轴
纯弯梁横截面上应力的推测: (1)只有正应力σ;无切应力τ; (2)中性轴上应力为零. (3)中性轴两侧分别为拉应力 和压应力;
二、 弯曲正应力公式的推导（变形，物理，静力平衡） 1、变形几何关系
dx
dx
O
d
ρ
y
O
O y x b
z b 图（a）
y
O’
z b’ y
O’
MH h1 Iz
A
C l/2
3 ql 8
D l/4
B
l/4
x
Fs

Iz可利用组合截面的平移轴 定理求，
I z I z1 I z 2
3

9 ql 2 128
x
1 ql 8
403 5 40 5 10 2 12
M
3l/8

1 2 ql 32
x
5 32 32 5 12.52 12 7.2 10 8 m 4 9ql 2
20
120
z
( )
同理可得: F2
Sz()－面积 对中性 轴 z 的静矩。
FS Sz ( ) ( y) I zb
Fs S z ( ) F2 F1 S z ( ) dM ( y) b dx I zb dx I zb
FS S z ( ) (y ) Izb
H
5
D
450 MPa
128 0.03 7.2 10 8
45
h1 h2
32
C
c1 c2
5
z
q 15360 N / m
§6-3 弯曲切应力 横力弯曲时, 横截面上既有正应力, 又有切应力。 推导切应力公式的方法：假设切应力的分布规律，然后 根据平衡条件求出切应力。 一、矩形截面梁(h>b)的弯曲切应力
研究微体平衡：
F 0,
x
y
F1 d A

F2 F1 F1 ( y ) b dx F2 ( y ) b dx
F1 MS z ( ) Iz
M y Iz
M y * dA Iz
y dA S
M dM S z ( ) Iz

假设
(1) AB弦上各点的切应力作用线通过 同一点 p； (2) AB弦上各点的切应力沿 y轴的分量 y相等。
y可用矩形截面梁的公式
* Fs S z y I zb
Fs S z ( ) y I zb
式中，b为AB弦的长度，Sz为 AB弦以外的面积对z轴的静矩。

最大切应力
最大切应力发生在中性轴上，方向垂直 于半径，与剪力指向相同。
max
4 Q 3 R2
例3梁截面如图，在纵向对称面内承受剪力Fs=15kN， 试计算该截面的最大弯曲切应力，以及腹板和翼缘交 接处的弯曲切应力，截面对中性轴的惯性矩 Iz=8.84×10-6m4。 120 z
95
解：1 分析最大弯曲切应力 最大弯曲切应力发生在中性轴上
20
20 95 3 S z ( ) y A 20 95 90250mm y 2 FS S z ( ) 15 103 90250 10 9 7.66MPa 6 I zb 8.84 10 0.02
FS S z ( ) I zb
120
120
S z ( ) y A 35 20 120 84000mm3
20
FS S z ( ) 15 10 84000 10 I zb 8.84 10 6 0.02
3
9
7.13MPa
z
95
2 分析腹板和翼缘交接处的弯曲 切应力
最大切应力发生在中性轴， 上下边缘切应力为零。
max 3 FS
2 A
弯曲正应力与弯曲切应力比较
F
max
Fl 6Fl 2 2 bh bh 6
max
3F 2 bh
l b C z
max 6Fl 2bh l 2 4 max bh 3F h
当 l >> h 时，max >> max
纵向线 各纵向线段弯成弧线，且 靠近顶端的纵向线缩短，靠近 底端的纵向线段伸长。 横向线 横线仍为直线，并与变形后 的纵线保持正交，只是横线间相 对转动各横向线仍保持为直线。 截面形状 截面形状发生变化，纵线伸长 区，梁的宽度减少；纵线缩短区， 梁的宽度增加。
2、提出假设 ( Assumptions） （a）平面假设：变形前为平面的横截面 变形后仍保持为平面且垂直于变形 后的梁轴线； （b）单向受力假设：纵向纤维不相互挤 压，只受单向拉压. 推论：必有一层变形前后长度不变的纤维—中性层
h
h1
C
h2
b
z
t
解：1、计算翼缘宽度b 根据同一截面上各点的弯曲 应力之间关系
5
D上 D上 h1 2 D下 D下 h2
h1 30 mm
45
h1 h2
b
C
c1 c2
5
z
h2 15mm
由于中性轴必过截面形心，或截面对形心轴的静矩为零：
SZ 0
yc1 A1 yc 2 A2 0 yc A1 A2
2
A
3 ql 8
C l/2 l/4
D l/4
B
x
Fs


9 ql 2 128
x
1 ql 8
M
3l/8

1 2 ql 32
x
H
D
D上 E D上 200 109 0.001 200 MPa
所以， max H上 450 MPa