第4课二次函数的实际应用(面积最值问题)(教师)

《实际问题与二次函数》说课稿各位评委：你们好！很高兴有机会参加这次比赛，并能得到各位专家的指导，我说课的课题是：实际问题与二次函数——最大值问题。

所用教材是人民教育出版社九年级上第22章第三节实际问题与二次函数，本节共需四课吋，面积最大是第一节，利润最大是第二节。

下面我将从教材内容的分析、教学目标、重点、难点的确定、教学方法的选择、教学过程的设计和教学效果预测几方面对本节课进行说明。

一、教学内容的分析1、地位与作用：实际问题与二次函数也可以称作二次函数的应用，本身是学习二次函数的图象与性质后，检验学生应用所学知识解决实际问题能力的一个综合考查。

新课标中要求学生能通过对实际问题的情境的分析确定二次函数的表达式，体会其意义，能根据图象的性质解决简单的实际问题，而最值问题乂是生活中利用二次函数知识解决最常见、最有实际应用价值的问题Z-,它生活背景丰富，学生比较感兴趣，对于面积问题、利润问题学生易于理解和接受，故而在这儿作专题讲解。

目的在于让学生通过掌握求最大值这一类题，学会用建模的思想去解决其它和函数有关的应用问题。

此部分内容是学习一次函数及其应用后的巩固与延伸，又为高小乃至以后学习更多函数打下坚实的理论和思想方法基础。

2、课时安排：教材中二次函数的应用只设计了3个例题和一部分习题，无论是例题还是习题都没有归类，不利于学生系统地掌握解决问题的方法，我设计时把它分为面积最人、利润最大、运动小的二次函数、综合应用四课时。

3 •学情及学法分析对九年级学生來说，在学习了一次函数和二次函数图象与性质以后，对函数的思想已有初步认识，对分析问题的方法已会初步模仿，能识别图象的增减性和最値，但在变量超过两个的实际问题中，还不能熟练地应用知识解决问题，本节课正是为了弥补这一不足而设计的，口的是进一步培养学生利用所学知识构建数学模型，解决实际问题的能力，这也符合新课标屮知识与技能呈螺旋式上升的规律。

二、教学目标、重点、难点的确定结合木节课的教学内容和学生现有的学习水平，我确定木节课的教学目标如下：1•知识与技能：通过本节学习，巩固二次函数y=3x? + bx + c QHO)的图象与性质，理解顶点与最值的关系，会求解最值问题。

二次函数的应用——最大面积问题的教学设计一、学情分析：众所周知，二次函数与解析几何是初中数学的两个难点，而在中考中往往都是将二者融合形成综合性问题，当然也是学生一直感觉头疼的一个问题。

新课程标准指出，学生对有关的数学内容进行探索、实践和思考的过程就是数学学习的过程，也是学生获得数学活动经验的过程。

将时间还给学生、以学生为主体是每一节课的追求。

通过学生自主学习在反比例函数中求三角形时所用到的方法分享，对其中分割法中的竖直高乘以水平宽的一半进行着重分析，探究其基本原理，从而用此通法解决二次函数中三角形最大面积问题，当然重点分析此发的同时也鼓励一题多解、多解归一。

二、教学目标1、借助反比例函数中三角形面积的几种计算方法总结得出通法：“水平宽乘以竖直高的一半”。

2、通过自主学习小组合作讨论，从特殊的图形出发、层层深入让学生在探索过程中体会“水平宽乘以竖直高的一半”这一方法。

从而从本质理解“水平宽乘以竖直高的一半”。

3、运用“水平宽乘以竖直高的一半”表示出二次函数中基本三角形的面积结合二次函数的最值思想求出三角形面积的最值问题。

三、教学重难点：教学重点：运用“水平宽乘以竖直高的一半”表示出二次函数中基本三角形的面积结合二次函数的最值思想求出三角形面积的最值问题教学难点：从特殊的图形出发、层层深入让学生在探索过程中体会“水平宽乘以竖直高的一半”这一方法。

从而从本质理解“水平宽乘以竖直高的一半”。

四、教学设计【自主学习】学生课前自主完成、并在上课时小组讨论、交流并与大家分享。

的图象都引例：如图，在平面直角坐标xOy中，正比例函数y=kx的图象与反比例函数y=mx经过点A（2，﹣2）．（1）分别求这两个函数的表达式；（2）将直线OA向上平移3个单位长度后与y轴交于点B，与反比例函数图象在第四象限内的交点为C，连接AB，AC，求点C的坐标及△ABC的面积．方法提炼：补：补成矩形减去三个直角三角形。

补：延长CA与y轴交于点D，用三角形BCD面积减去三角形BAD面积。

合用标准文案二次函数的实质应用——最大利润问题、面积最大 ( 小) 值问题一：最大利润问题知识要点：二次函数的一般式 y ax 2bx c ( a0 )化成极点式 ya( x b ) 24ac b 2 ，若是自变量的2a 4a取值范围是全体实数，那么函数在极点处获取最大值〔或最小值〕 ．即当 a0 时，函数有最小值，并且当 xb ， y 最小值 4ac b 2 ；2a4a当 a0 时，函数有最大值，并且当x b， y 最大值 4ac b 2 ．2a4a若是自变量的取值范围是x 1xx 2 ，若是极点在自变量的取值范围x 1 x x 2 内，那么当xb， y 最值4ac b 2 ，若是极点不在此范围内，那么需考虑函数在自变量的取值范围内的增减2a4a ax 22性；若是在此范围内 y 随 x 的增大而增大，那么当 x x 2 时， y 最大 bx 2 c ，当 x x 1 时， y最小ax 12bx 1 c ；若是在此范围内y 随 x 的增大而减小，那么当 x x 1 时， y 最大ax 12 bx 1 c ，当 xx 2 时，y最小ax 22bx 2 c ．商品定价一类利润计算公式：经常出现的数据： 商品进价；商品售价；商品销售量；涨价或降价；销售量变化；其他本钱。

总利润 =总售价 -总进价 - 其他本钱 =单位商品利润 ×总销售量－其他本钱单位商品利润 =商品定价－商品进价总售价 =商品定价 ×总销售量；总进价 =商品进价×总销售量[ 例 1]：某电子厂商投产一种新式电子厂品， 每件制造本钱为 18 元，试销过程中发现， 每个月销售量 y 〔万件〕与销售单价 x 〔元〕之间的关系能够近似地看作一次函数 y= ﹣ 2x+100 ．〔利润 = 售价﹣制造本钱〕（ 1 〕写出每个月的利润 z 〔万元〕与销售单价 x 〔元〕之间的函数关系式；（ 2 〕当销售单价为多少元时，厂商每个月能获取 3502 万元的利润？当销售单价为多少元时，厂商每个月能获取最大利润？最大利润是多少？〔 3 〕依照相关部门规定， 这种电子产品的销售单价不能够高于 32 元，若是厂商要获取每个月不低于 350 万 元的利润，那么制造出这种产品每个月的最低制造本钱需要多少万元？ 解：〔 1 〕 z= 〔 x -18 〕 y= 〔x -18 〕〔 -2x+100 〕 = -2x 2+136x-1800 ，∴ z 与 x 之间的函数解析式为 z= -2x 2 +136x-1800；〔 2 〕由 z=350 ，得 350= -2x 2+136x -1800 ，解这个方程得 x 1=25 ，x 2 =43因此，销售单价定为 25 元或 43 元，将 z =-2x 2 +136x-1800配方，得 z=-2 〔 x-34 〕 2+512 ，因此，当销售单价为 34 元时，每个月能获取最大利润，最大利润是 512 万元；（3 〕结合〔 2 〕及函数 z=-2x 2+136x ﹣ 1800 的图象〔以以下列图〕可知，当25≤x ≤43时 z ≥350 ，优秀文档又由限价 32 元，得 25 ≤x ≤32，依照一次函数的性质，得 y=-2x+100 中 y 随 x 的增大而减小，∴当 x=32时，每个月制造本钱最低最低本钱是 18 ×〔 -2 ×32+100 〕 =648 〔万元〕， 因此，所求每个月最低制造本钱为 648 万元．[ 练习 ] ：1．某商品现在的售价为每件 60 元，每星期可卖出 300 件，市场检查反响：每涨价 1 元，每星期 少卖出 10 件；每降价 1 元，每星期可多卖出 20 件，商品的进价为每件 40 元，怎样定价才能使利润 最大？解：设涨价〔或降价〕为每件x 元，利润为 y 元，y 1 为涨价时的利润， y 2 为降价时的利润那么： y 1 (60 40 x)(300 10x)10( x 2 10x 600)10( x 5) 26250当 x5 ，即：定价为 65 元时， y max6250 〔元〕y 2 (60 40 x)(30020x)20( x 20)( x15)20( x 2.5) 2 6125当，即：定价为 57.5 元时， y max 6125 〔元〕综合两种情况，应定价为65 元时，利润最大．[ 例 2] ： 市 “健益 〞商场购进一批 20 元 /千克的绿色食品，若是以 30?元 /千克销售，那么每天可售出400 千克．由销售经验知，每天销售量y (千克 )?与销售单价 x (元 )( x30 〕存在以以下列图所示的一次函数关系式． ⑴试求出 y 与 x 的函数关系式；⑵设 “健益 〞商场销售该绿色食品每天获取利润 P 元，当销售单价为何值时，每天可获取最大利润？最大利润是多少？⑶依照市场检查，该绿色食品每天可获利润不高出 4480 元， ?现该商场经理要求每天利润不得低于4180 元，请你帮助该商场确定绿色食品销售单价 x 的范围 (?直接写出答案 )．解：⑴设 y=kx+b 由图象可知，30k b 400,k 2040k b 200 解之得 :1000 ，b即一次函数表达式为y20x 1000 (30 x50) ．⑵ P(x20) y ( x 20)( 20 x 1000)20 x 2 1 4 0 x0 2 0 0 0 0∵ a 200 ∴ P 有最大值．当 x140035 时， P max4500 〔元〕(2 20)〔或经过配方，P 20( x 35) 24500 ，也可求得最大值〕答：当销售单价为35 元 /千克时，每天可获取最大利润4500 元．⑶∵ 418020( x35) 2 4500 44801 ( x 35) 216∴ 31≤x ?≤34或 36≤x ≤39．练习 2．某公司投资 700 万元购甲、乙两种产品的生产技术和设备后， 进行这两种产品加工． 生产甲种产品每件还需本钱费 30 元，生产乙种产品每件还需本钱费 20 元．经市场调研发2合用标准文案现：甲种产品的销售单价为x〔元〕，年销售量为 y〔万件〕，当 35≤x＜50 时， y 与 x 之间的函数关系式为 y=20﹣；当 50≤x≤70 时， y 与 x 的函数关系式以以下列图，乙种产品的销售单价，在 25 元〔含〕到 45 元〔含〕之间，且年销售量牢固在10 万件．物价部门规定这两种产品的销售单价之和为90 元．〔1〕当 50≤x≤70 时，求出甲种产品的年销售量y〔万元〕与 x 〔元〕之间的函数关系式．〔2〕假设公司第一年的年销售量利润〔年销售利润=年销售收入﹣生产本钱〕为W〔万元〕，那么怎样定价，可使第一年的年销售利润最大？最大年销售利润是多少？〔3〕第二年公司可重新对产品进行定价，在〔2〕的条件下，并要求甲种产品的销售单价x 〔元〕在 50≤x≤70 范围内，该公司希望到第二年年终，两年的总盈利〔总盈利=两年的年销售利润之和﹣投资本钱〕不低于85 万元．请直接写出第二年乙种产品的销售单价m〔元〕的范围．解：〔1〕设y与x的函数关系式为 y=kx+b〔k≠0〕，∵函数图象经过点〔 50， 10〕，〔 70， 8〕，∴，解得，因此， y=﹣0.1x+15；〔 2〕∵乙种产品的销售单价在25元〔含〕到 45元〔含〕之间，∴，解之得 45≤x≤65，①45≤x＜ 50时， W=〔x﹣30〕〔 20﹣〕+10〔90﹣x﹣20〕，=﹣0.2x2+16x+100，=﹣〔x2﹣ 80x+1600〕+320+100，=﹣〔x﹣40〕2+420，∵﹣＜0，∴ x＞ 40时， W随x的增大而减小，∴当 x=45时， W 有最大值， W最大 =﹣〔45﹣ 40〕2+420=415万元；②50≤x≤65时， W=〔x﹣30〕〔﹣ 0.1x+15〕+10〔 90﹣x﹣20〕，=﹣0.1x2+8x+250，=﹣〔x2﹣80x+1600〕 +160+250，=﹣〔x﹣40〕2+410，∵﹣＜0，∴ x＞ 40时， W随x的增大而减小，∴当 x=50时， W 有最大值， W最大 =﹣〔50﹣ 40〕2+410=400万元．综上所述，当 x=45，即甲、乙两种产品定价均为 45元时，第一年的年销售利润最大，最大年销售利润是 415万元；（3〕依照题意得，W=﹣0.1x2+8x+250+415﹣700=﹣0.1x2+8x﹣35，令 W=85，那么﹣ 0.1x2+8x﹣35=85，解得 x1=20，x2=60．又由题意知， 50≤x≤65，依照函数性质解析， 50≤x≤60，即 50≤90﹣m≤60，∴ 30≤m≤40．二、面积最大〔最小〕值问题实责问题中图形面积的最值问题解析思路为：优秀文档〔1〕解析图形的成因〔 2〕鉴别图形的形状〔 3〕找出图形面积的计算方法〔4〕把计算中要用到的所有线段用未知数表示〔5〕把线段长度代入计算方法形成图形面积的函数解析式，注意自变量的取值范围〔6〕依照函数的性质以及自变量的取值范围求出头积的最值。

二次函数的应用——面积最大问题》说课稿—获奖说课稿22.过程与方法：培养学生利用所学知识构建数学模型，解决实际问题的能力，掌握建模思想，熟练掌握最值问题的解法。

23.情感态度与价值观：通过实际问题的应用，让学生感受到数学在生活中的实际应用价值，培养学生对数学的兴趣和热爱。

本节课的重点是最值问题的解法和建模思想的培养，难点是对实际问题的分析和建模思想的掌握。

三、教学方法的选择本节课采用“引导发现、归纳总结、启发式教学”等多种教学方法，其中引导发现法是本节课的核心教学方法，通过引导学生发现实际问题中的规律和模式，培养学生独立思考和解决问题的能力；归纳总结法是巩固知识的有效方法，通过对学生已有的知识进行梳理和总结，加深对知识的理解和记忆；启发式教学法则是在教学中采用启发式问题，激发学生的思考和求知欲，提高学生的研究兴趣和积极性。

四、教学过程的设计本节课的教学过程分为四个环节：导入、讲授、练、归纳总结。

导入环节通过引入实际问题，激发学生的兴趣和求知欲，让学生认识到最值问题的实际应用价值；讲授环节通过具体例子和图像分析，讲解最值问题的解法和建模思想；练环节则通过多种形式的练，巩固学生的知识和技能；归纳总结环节则对本节课的知识点进行总结和梳理，加深对知识的理解和记忆。

五、教学效果预测通过本节课的教学，学生将能够掌握最值问题的解法和建模思想，能够熟练应用所学知识解决实际问题，同时也能够感受到数学在生活中的实际应用价值，培养学生对数学的兴趣和热爱，为学生今后的研究打下坚实的理论和思想方法基础。

2、___要在一块长为20米、宽为15米的空地上建一个长方形花园，他想让花园的面积最大，你能帮他算一下最大面积是多少吗？3、某公司生产一种产品，销售价格为每个10元，生产成本为每个5元，每天能生产1000个，你能帮助他们算一下每天的最大利润是多少吗？设计思路]通过这三个问题，引导学生发现实际问题中的最值问题，从而引出二次函数的最值问题。

第4课时 二次函数的实际应用——面积最大(小)值问题知识要点：在生活实践中，人们经常面对带有“最”字的问题，如在一定的方案中，花费最少、消耗最低、面积最大、产值最高、获利最多等；解数学题时，我们也常常碰到求某个变量的最大值或最小值之类的问题，这就是我们要讨论的最值问题。

求最值的问题的方法归纳起来有以下几点： 1．运用配方法求最值；2．构造一元二次方程，在方程有解的条件下，利用判别式求最值； 3．建立函数模型求最值；4．利用基本不等式或不等分析法求最值．[例1]：在矩形ABCD 中，AB=6cm ，BC=12cm ，点P 从点A 出发，沿AB 边向点B 以1cm ／s 的速度移动，同时点Q 从点B 出发沿BC 边向点C 以2cm ／s 的速度移动，如果P 、Q 两点同时出发，分别到达B 、C 两点后就停止移动．（1）运动第t 秒时，△PBQ 的面积y(cm²)是多少？ （2）此时五边形APQCD 的面积是S(cm²)，写出S 与t 的函数关系式，并指出自变量的取值范围．（3）t 为何值时s 最小，最小值时多少？ 答案：6336333607266126262621)1(2222有最小值等于时；当）（）（）（）（）（）（S t t S t t t t t S tt t t y =∴+-=<<+-=+--⨯=+-=⋅-=[例2]：小明的家门前有一块空地，空地外有一面长10米的围墙，为了美化生活环境，小明的爸爸准备靠墙修建一个矩形花圃，他买回了32米长的不锈钢管准备作为花圃的围栏，为了浇花和赏花的方便，准备在花圃的中间再围出一条宽为一米的通道及在左右花圃各放一个1米宽的门（木质）．花圃的长与宽如何设计才能使花圃的面积最大？解：设花圃的宽为x 米，面积为S 平方米则长为：x x 4342432-=+-(米)则：)434(x x S -=x x 3442+-=4289)417(42+--=x ∵104340≤-<x∴2176<≤x∵6417<，∴S 与x 的二次函数的顶点不在自变量x 的范围内， 而当2176<≤x 内，S 随x 的增大而减小，∴当6=x 时，604289)4176(42max =+--=S (平方米)答：可设计成宽6米，长10米的矩形花圃，这样的花圃面积最大．[例3]：已知边长为4的正方形截去一个角后成为五边形ABCDE （如图），其中AF=2，BF=1．试在AB 上求一点P ，使矩形PNDM 有最大面积． 解：设矩形PNDM 的边DN=x ，NP=y ， 则矩形PNDM 的面积S=xy （2≤x≤4） 易知CN=4-x ，EM=4-y ．过点B 作BH ⊥PN 于点H 则有△AFB ∽△BHP ∴PHBHBF AF =，即3412--=y x ， ∴521+-=x y ， x x xy S 5212+-==)42(≤≤x ，此二次函数的图象开口向下，对称轴为x=5， ∴当x≤5时，函数值y 随x 的增大而增大， 对于42≤≤x 来说，当x=4时，12454212=⨯+⨯-=最大S ． 【评析】本题是一道代数几何综合题，把相似三角形与二次函数的知识有机的结合在一起，能很好考查学生的综合应用能力．同时，也给学生探索解题思路留下了思维空间．[例4]：某人定制了一批地砖，每块地砖（如图(1)所示）是边长为0.4米的正方形ABCD ，点E 、F 分别在边BC 和CD 上，△CFE 、△ABE 和四边形AEFD 均由单一材料制成，制成△CFE 、△ABE 和四边形AEFD 的三种材料的每平方米价格依次为30元、20元、10元，若将此种地砖按图(2)所示的形式铺设，且能使中间的阴影部分组成四边形EFGH ．(1)判断图(2)中四边形EFGH 是何形状，并说明理由；(2)E 、F 在什么位置时，定制这批地砖所需的材料费用最省？ 解：(1) 四边形EFGH 是正方形．图(2)可以看作是由四块图(1)所示地砖绕C 点 按顺(逆)时针方向旋转90°后得到的， 故CE =CF =CG ．∴△CEF 是等腰直角三角形因此四边形EFGH 是正方形． (2)设CE =x , 则BE =0.4－x ，每块地砖的费用为y 元 那么：y =x ×30+×0.4×(0.4-x )×20+[0.16-x-×0.4×(0.4-x )×10])24.02.0(102+-=x x3.2)1.0(102+-=x )4.00(<<x当x =0.1时，y 有最小值，即费用为最省，此时CE =CF =0.1．答：当CE =CF =0.1米时，总费用最省．作业布置：1．(2008浙江台州)某人从地面垂直向上抛出一小球，小球的高度h (单位：米)与小球运动时间t (单位：秒)的函数关系式是，那么小球运动中的最大高度=最大h 4.9米 ．2．(2008庆阳市)兰州市“安居工程”新建成的一批楼房都是8层高，房子的价格y (元/平方米)随楼层数x (楼)的变化而变化(x =1，2，3，4，5，6，7，8)；已知点(x ，y )都在一个二次函数的图像上，(如图所示)，则6楼房子的价格为 元/平方米．提示：利用对称性，答案：2080．3．如图所示，在一个直角△MBN 的内部作一个长方形ABCD ，其中AB 和BC分别在两直角边上，设AB =x m ，长方形的面积为y m 2，要使长方形的面积最大，其边长x 应为( D )A ．424m B ．6 m C ．15 m D ．25m 解：AB =x m ，AD=b ，长方形的面积为y m 2∵AD ∥BC ∴△MAD ∽△MBN ∴MB MA BN AD =，即5512x b -=，)5(512x b -=)5(512)5(5122x x x x xb y --=-⋅==, 当5.2=x 时，y 有最大值．4．(2008湖北恩施)将一张边长为30㎝的正方形纸片的四角分别剪去一个边长为ｘ㎝的小正方形，然后折叠成一个无盖的长方体．当ｘ取下面哪个数值时，长方体的体积最大（ C ） A ．7 B ．6 C ．5 D ．45．如图，铅球运动员掷铅球的高度y (m)与水平距离x (m)之间的函数关系式是：35321212++-=x x y ，则该运动员此次掷铅球的成绩是( D ) A ．6 mB ．12 mC ．8 mD ．10m解：令0=y ，则：02082=--x x 0)10)(2(=-+x x（图5） （图6） （图7）6．某幢建筑物，从10 m 高的窗口A ，用水管向外喷水，喷出的水流呈抛物线状(抛物线所在的平面与墙面垂直，如图6，如果抛物线的最高点M 离墙1 m ，离地面340m ，则水流落地点B 离墙的距离OB 是( B )A ．2 mB ．3 mC ．4 mD ．5 m解：顶点为)340,1(，设340)1(2+-=x a y ，将点)10,0(代入，310-=a 令0340)1(3102=+--=x y ，得：4)1(2=-x ，所以OB=37．(2007乌兰察布)小明在某次投篮中，球的运动路线是抛物线21 3.55y x =-+的一部分，如图7所示，若命中篮圈中心，则他与篮底的距离L 是（ B ） A ．4.6m B ．4.5m C ．4m D ．3.5m8．某居民小区要在一块一边靠墙(墙长15m)的空地上修建一个矩形花园ABCD ，花园的一边靠墙，另三边用总长为40m 的栅栏围成．若设花园的宽为x(m) ，花园的面积为y(m²)．(1)求y 与x 之间的函数关系，并写出自变量的取值范围；（2）根据（1）中求得的函数关系式，描述其图象的变化趋势；并结合题意判断当x 取何值时，花园的面积最大，最大面积是多少？ 解：)240(x x y -=)20(22x x --=200)10(22+--=x∵152400≤-<x ∴205.12<≤x∵二次函数的顶点不在自变量x 的范围内， 而当205.12<≤x 内，y 随x 的增大而减小， ∴当5.12=x 时，5.187200)105.12(22max =+--=y (平方米)答：当5.12=x 米时花园的面积最大，最大面积是187.5平方米．9．如图，要建一个长方形养鸡场，鸡场的一边靠墙，如果用50 m 长的篱笆围成中间有一道篱笆隔墙的养鸡场，设它的长度为x 米．(1)要使鸡场面积最大，鸡场的长度应为多少m ？ (2)如果中间有n (n 是大于1的整数)道篱笆隔墙，要使鸡场面积最大，鸡场的长应为多少米？比较(1)(2)的结果，你能得到什么结论？解：(1)∵长为x 米，则宽为350x-米，设面积为S 平方米． )50(313502x x x x S --=-⋅= 3625)25(312+--=x ∴当25=x 时，3625max =S (平方米)即：鸡场的长度为25米时，面积最大． (2) 中间有n 道篱笆，则宽为250+-n x米，设面积为S 平方米．则：)50(212502x x n n x x S -+-=+-⋅= 2625)25(212++-+-=n x n ∴当25=x 时，2625max +=n S (平方米)由(1)(2)可知，无论中间有几道篱笆墙，要使面积最大，长都是25米． 即：使面积最大的x 值与中间有多少道隔墙无关．10．如图，矩形ABCD 的边AB=6 cm ，BC=8cm ，在BC 上取一点P ，在CD 边上取一点Q ，使∠APQ 成直角，设BP=x cm ，CQ=y cm ，试以x 为自变量，写出y 与x 的函数关系式．ABCD PQ解：∵∠APQ=90°, ∴∠APB+∠QPC=90°. ∵∠APB+∠BAP=90°,∴∠QPC=∠BAP ，∠B=∠C=90° .∴△ABP ∽△PCQ.,86,yxx CQ BP PC AB =-= ∴x x y 34612+-=．11．(2006年南京市)如图，在矩形ABCD 中，AB=2AD ，线段EF=10．在EF 上取一点M ，•分别以EM 、MF 为一边作矩形EMNH 、矩形MFGN ，使矩形MFGN ∽矩形ABCD ．令MN=x ，当x 为何值时，矩形EMNH 的面积S 有最大值？最大值是多少？ 解：∵矩形MFGN ∽矩形ABCD ∴MF=2MN =2x ∴ EM=10-2x ∴S=x （10-2x ）=-2x 2+10x=-2(x-2.5)2+12.5 ∵1020<<x ，∴50<<x当x=2.5时，S 有最大值12.512．(2008四川内江)如图，小明的父亲在相距2米的两棵树间拴了一根绳子，给他做了一个简易的秋千，拴绳子的地方距地面高都是2.5米，绳子自然下垂呈抛物线状，身高1米的小明距较近的那棵树0.5米时，头部刚好接触到绳子，则绳子的最低点距地面的距离为 0.5 米．答案：如图所示建立直角坐标系则：设c ax y +=2将点)1,5.0(-，)5.2,1(代入，⎩⎨⎧+=+-⨯=ca c a 5.2)5.0(12，解得⎩⎨⎧==5.02c a 5.022+=x y 顶点)5.0,0(，最低点距地面0.5米．13．(2008黑龙江哈尔滨)小李想用篱笆围成一个周长为60米的矩形场地，矩形面积S(单位：平方米)随矩形一边长x(单位：米)的变化而变化．（1）求S 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围； （2）当x 是多少时，矩形场地面积S 最大？最大面积是多少？ 解：（1）根据题意，得x x x xS 3022602+-=⋅-=自变量的取值范围是（2）∵01<-=a ，∴S 有最大值当时，答：当为15米时，才能使矩形场地面积最大，最大面积是225平方米．14．(2008年南宁市)随着绿城南宁近几年城市建设的快速发展，对花木的需求量逐年提高．某园林专业户计划投资种植花卉及树木，根据市场调查与预测，种植树木的利润与投资量成正比例关系，如图12-①所示；种植花卉的利润与投资量成二次函数关系，如图12-②所示(注：利润与投资量的单位：万元)（1）分别求出利润与关于投资量的函数关系式；（2）如果这位专业户以8万元资金投入种植花卉和树木，他至少获得多少利润？他能获取的最大利润是多少？ 解：（1）设=,由图12-①所示，函数=的图像过（1，2），所以2=，故利润关于投资量的函数关系式是=；因为该抛物线的顶点是原点，所以设2y =，由图12-②所示，函数2y =的图像过（2，2），所以，故利润2y 关于投资量的函数关系式是2221x y =； （2）设这位专业户投入种植花卉万元（），则投入种植树木(x -8)万元，他获得的利润是万元，根据题意，得==+21y y +== ∵021>=a ∴当时，的最小值是14；∴他至少获得14万元的利润． 因为，所以在对称轴2=x 的右侧， z 随x 的增大而增大所以，当8=x 时，z 的最大值为32．15．(08山东聊城)如图，把一张长10cm ，宽8cm 的矩形硬纸板的四周各剪去一个同样大小的正方形，再折合成一个无盖的长方体盒子（纸板的厚度忽略不计）．（1）要使长方体盒子的底面积为48cm2，那么剪去的正方形的边长为多少？（2）你感到折合而成的长方体盒子的侧面积会不会有更大的情况？如果有，请你求出最大值和此时剪去的正方形的边长；如果没有，请你说明理由；（3）如果把矩形硬纸板的四周分别剪去2个同样大小的正方形和2个同样形状、同样大小的矩形，然后折合成一个有盖的长方体盒子，是否有侧面积最大的情况；如果有，请你求出最大值和此时剪去的正方形的边长；如果没有，请你说明理由．解：（1）设正方形的边长为cm，则．即．解得（不合题意，舍去），．剪去的正方形的边长为1cm．（2）有侧面积最大的情况．设正方形的边长为cm，盒子的侧面积为cm2，则与的函数关系式为：．即．改写为．当时，．即当剪去的正方形的边长为2.25cm时，长方体盒子的侧面积最大为40.5cm2．（3）有侧面积最大的情况．设正方形的边长为cm ，盒子的侧面积为cm 2．若按图1所示的方法剪折， 则与的函数关系式为：x xx x y ⋅-⋅+-=22102)28(2 即．当时，．若按图2所示的方法剪折， 则与的函数关系式为：x xx x y ⋅-⋅+-=2282)210(2． 即．当时，．比较以上两种剪折方法可以看出，按图2所示的方法剪折得到的盒子侧面积最大，即当剪去的正方形的边长为cm 时，折成的有盖长方体盒子的侧面积最大，最大面积为cm 2．16．(08兰州)一座拱桥的轮廓是抛物线型(如图16所示)，拱高6m ，跨度20m ，相邻两支柱间的距离均为5m ．（1）将抛物线放在所给的直角坐标系中(如图17所示)，求抛物线的解析式； （2）求支柱的长度；（3）拱桥下地平面是双向行车道(正中间是一条宽2m 的隔离带)，其中的一条行车道能否并排行驶宽2m 、高3m 的三辆汽车(汽车间的间隔忽略不计)？请说明你的理由．解：（1）根据题目条件，的坐标分别是．设抛物线的解析式为，月 日11 将的坐标代入， 得 解得． 所以抛物线的表达式是．（2）可设，于是从而支柱的长度是米．（3）设是隔离带的宽，是三辆车的宽度和，则点坐标是． 过点作垂直交抛物线于， 则．根据抛物线的特点，可知一条行车道能并排行驶这样的三辆汽车．。