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八年级数学《极差、方差和标准差》知识点极差、方差、标准差都是用来研究一组数据的离散程度，表示一组数据离散程度的指标．一、定义理解1、极差极差是用来反映一组数据变化范围的大小．我们可以用一组数据中的最大值减去最小值所得的差来反映这组数据的变化范围，用这种方法得到的差就称为极差．极差＝最大值－最小值极差仅只表示一组数据变化范围的大小，只对极端值较为敏感，而不能表示其它更多的意义．2、方差方差是反映一组数据的整体波动大小的指标，它是指一组数据中各数据与这组数据的平均数的差的平方的平均数，它反映的是一组数据偏离平均值的情况．求一组数据的方差可以简记为：“先平均，再求差，然后平方，最后再平均．”通常用2S 表示一组数据的方差，用x 表示一组数据的平均数，1x 、2x 、…n x 表示各数据． 方差计算公式是： s 2=1n [(x 1-x )2+(x 2-x )2+…+(x n -x )2]；3、标准差在计算方差的过程中，可以看出2S 的数量单位与原数据的不一致，因而在实际应用时常常将求出的方差再开平方，这就是标准差． 标准差＝方差，方差＝标准差2．一组数据的标准差计算公式是S =，其中x 为n 个数据12n x x x ，，…，的平均数． 方差和标准差都是用来描述一组数据波动情况的特征数，常用来比较两组数据的波动大小．方差较大的波动较大，方差较小的波动较小，方差的单位是原数据的单位平方，标准差的单位与原数据的单位相同．在解决实际问题时，常用样本的方差来估计总体方差方法去考察总体的波动情况．二、例题讲析例1、甲、乙两支篮球队在一次联赛中，各进行10次比赛得分如下：甲队：100，97，99，96，102，103，104，101，101，100乙队：97，97，99，95，102，100，104，104，103，102（1） 求甲、乙两队的平均分和极差？（2）计算甲、乙两队的方差与标准差，并判断哪支球队发挥更为稳定？解：（1）3.100100101101104103102969997100101）＝（＝甲+++++++++⨯x 3.10010210310410410010295999797101）＝（＝乙+++++++++⨯x甲队的极差＝104－96＝8； 甲队的极差＝104－95＝9（2）61.5])3.100100()3.10099()3.100100[(1012222＝甲-++-+-=S 21.9])3.100102()3.10097()3.10097[(1012222＝乙-++-+-= S 甲队的标准差：37.261.5≈； 乙队的标准差：03.321.9≈ 所以，由此可以判断甲队的得分方差小，标准差也相应较小，因此他们在联赛中发挥更为稳定一些．例2、对10盆同一品种的花施用甲、乙两种花肥，把10盆花分成两组，每组5盆，记录其花期：甲组：25，23，28，22，27乙组：27，24，24，27，23（1）10盆花的花期最多相差几天？（2）施用何种花肥，花的平均花期较长？（3）施用哪种保花肥效果更好？分析：花期的极差就是花期最多相差的天数，花的平均花期就是分别求得甲、乙两组数据的平均数，而看哪种保花肥效果好，关键是比较方差，方差越小，波动越小，效果越好！解：（1）28－22＝6（天） 所以，10盆花的花期最多相差6天．（2）由平均数公式得：252722282325(51）＝＝甲++++x 252327242427(51）＝＝乙++++x得乙甲＝x x ，所以，无论用哪种花肥，花的平均花期相等．（3）由方差公式得：2.5])2527()2522()2528()2523()2525[(101222222＝甲-+-+-+-+-=S8.2])2523()2527()2524()2524()2527[(51222222＝乙-+-+-+-+-=S得22S 乙甲<S 故施用乙种花肥，效果比较可靠三、反馈练习1.一组数据5，8，x，10，4的平均数是2x，则这组数据的方差是________．2.五名同学目测同一本教科书的宽度时，产生的误差如下（单位：cm）：2，－2，－1，1，0，则这组数据的极差为______cm．方差是_______，标准差是______3.若样本1，2，3，x的平均数为5，又样本1，2，3，x，y的平均数为6，则样本1，2，3，x，y的极差是_______，方差是_______，标准差是______．4.已知一组数据0，1，2，3，4的方差为2，则数据20，21，22，23，24的方差为_____，标准差为________．5.一组数据－8，－4，5，6，7，7，8，9的极差是______，方差是_____，标准差是______．6.若样本x1，x2，……，x n的平均数为＝5，方差S2＝0.025，则样本4x1，4x2，……，4x n 的平均数x＇＝_____，方差S＇2＝_______．。
华师大版数学八下极差方差标准差教案集团标准化工作小组 [Q8QX9QT-X8QQB8Q8-NQ8QJ8-M8QMN]极差、方差与标准差第1课时(一)本课目标1.理解极差的概念及应用.2.明确极差是刻画数据离散程序的一个统计量.3.能够举出一些利用极差进行比较的例子.重点：极差的概念及应用难点: 极差概念的引入.(二)教学流程1.情境导入播放多媒体──教材中的导图“你喜欢住在哪个城市”(•或用投影幻灯片或由教学挂图展示).观察导图,•讨论用什么样的数来反映数据的高低起伏的变化大小比较合适.2．阅读教材P30-1313.师生互动互动1师:用平均数、中位数或众数代表数有什么不同生:思考、讨论、交流.明确通过复习旧知,导入本节课的内容.互动2师:在导图中,为什么说北京“四季分明”，而新加坡“四季温差不大”生:思考、讨论、交流.明确通过讨论,学生初步感知:最大值与最小值的差可以用来表示数据高低起伏的变化大小.出示投影:课本第135页表上海每日最高气温统计表(单位:℃)表上海每日最高气温统计表(单位:℃)互动3师:表显示的是上海2001年2月下旬和2002年同期的每日最高气温.•从表上看,2002年和2001年2月下旬的气温相比,有4天的温度相对高些,有3天的温度相对低些,还有1天的温度相同.我们是否可以由此认为2002年2月下旬的气温比2001年高呢生:小组交流、发表意见.师:比较两段时间气温的高低,求平均气温是一种常用的方法.•请你计算其平均数.生:动手、交流.(都是12℃)师:这是不是说,两个时段的气温情况没有什么差异呢生:思考、讨论.明确平均气温(即平均数)是比较两组数据平均水平的一种常用的方法,•但它反映不出一组数据的离散程度,由此引入极差的概念.(板书:1.表示一组数据离散程度的指标──极差.)互动4师:根据两段时间的气温情况绘成折线图,请同学们观察,它们有差别吗生:小组讨论、交流看法.归纳出:(a)中的折线高低起伏较大;(b)中的折线高低起伏较小.师:那么,用什么样的数来反映这种特征比较合适呢生:探索、讨论、交流.归纳出:•可以用一组数据中的最大值减去最小值所得的差来反映这种变化范围.明确极差=最大值-最小值.互动5师:在生活中,我们常常与极差打交道,如:一次单元测验的最高分比最低分高多少等等,这都是求极差的例子,你能找到其他例子吗生:思考、交流.明确通过举例,加深对极差概念的理解,同时感受统计的应用就在自己身边.4.达标反馈请你结合实际,编一道极差的题目,小组交流.同桌交换解题.(也可以补充3•～5分钟的练习)5.学习小结①极差可以反映一组数据变化范围的大小. ②极差=最大值-最小值.(三)延伸拓展1.链接生活找一些生活中求极差的实例.2.巩固练习课本第134页练习第1题(只求极差).(四)板书设计第2课时(一)本课目标1.理解方差、标准差的概念.2.学会运用方差、标准差来处理数据.3.通过主动探索,发现方差计算的合理性,体会方差的实际意义.(二)教学流程1.情境导入（提问）(1)极差与数据变化范围大小的关系是多少(2)为什么说本章导图中的两个城市,一个“四季温度不大”、一个“四季分明”2. 合作探究(1)整体感知从复习旧知入手(极差的概念),引导学生发现极差的局限性,通过探索活动,•在讨论交流的过程中,导出方差的计算式,发现方差计算的合理性,•体会方差的实际意义.(2)师生互动互动1师:在“课前热身”提出的问题中,A组与B组的极差分别是多少生:回答略.师:我们发现:A组与B组的极差相等,•这说明极差虽能反映这两组数据的波动情况,但能判断其离散程度的大小吗生:思考、讨论、交流.明确引导学生发现:极差只能反映一组数据中两个极端值之间的差异情况,对其他数据的波动情况不敏感,因此,有必要重新找一个对整组数据波动情况更敏感的指标.问题2:“谁的成绩较为稳定”,即课本132页.小明和小兵两人参加体育项目训练,近期的5次测试成绩如下表所示,•谁的成绩较为稳定为什么师:请你计算两人的平均成绩.生:操作、交流.师:通过计算,我们发现两人测试成绩的平均值都是13分,•我们画出两人测试成绩的折线图,如图所示,观察发现了什么生:思考、讨论、交流.明确小明的成绩大部分集中在平均成绩13分的附近,•而小兵的成绩与其平均值的离散程度较大.互动3师:通常,如果一组数据与其平均值的离散程度较小,我们就说它比较稳定.那么什么样的数据反映一组数据与其平均值的离散程序(见教材P132表生:思考、交流.师:我们已经看出,小兵的测试成绩与其平均值的偏差大,而小明的较小.那么如何加以说明呢可以直接将各数据与平均值的差进行累加吗生:动手操作.师:通过计算,依据最后的结果可以比较两组数据围绕其平均值的波动情况吗生:比较、思考、交流.师:如果不行,请你提出一个可行的方案,在表的红色格子中写上表师：如果一共进行了7新的计算方案,并将计算结果填入表中.(教材P133次测试，小明因故缺席了两次，怎样比赛谁的成绩更为稳定填表;（教材P133表）生:自主探索、动手操作、合作交流.生:可以用“先平均，再求差，然后平方，最后求和”,得到的结果表示一组数据偏离平均值的情况.生:为什么要“平方”取绝对值行吗生:如果两组数据不一样多,那么“求和”对数据多的那组就不公平了.生:可以解决这个问题,改为“求平均数”更合理.明确重点在于引导学生导出方差计算式和概念的理解,关注学生的交流过程.互动4师:求绝对值和求平方都可以解决“作差有正负”的问题,但求绝对值往往计算不便，因而求平方相对常用一些.至于最后是“求和”还是“求平均数”，•个别同学可能还没有弄明白,请同学们观察表将你的方法与数据填入表中.表生:动手操作、小组交流,总结方法与结果.达成共识:“求平均数”比“求和”更合理.明确我们可以用“先平均，再求值，然后平方，最后再平均”得到的结果表示一组数据偏离平均值的情况，这个结果通常称为方差.(板书:•方差──计算离差的平方的均值.)师:我们通常用S 2表示一组数据的方差,用x 表示一组数据的平均数,x 1、x 2•…表示各个数据,那么如何用一个计算式来表示这n 个数据的方差呢生:思考、讨论、达成共识.S 2=1n [(x 1-x)2+(x 2-x)2+…+(x n -x)2](学生口述,教师板书) 师:观察S 2的数量单位与原数据单位一致吗如何使其一致呢生:思考、讨论.师:从方差的计算过程,可以看出S 2的数量单位与原数据的不一致了,因此在实际应用时常常将求出的方差再开平方,这就是标准差(板书).请你计算一下小明与小兵5次测试成绩的标准差是多少生:动手操作,完成后全班交流.师:从标准差看,谁的成绩较为稳定与前面依据方差所得到的结论一样吗生:独立思考,全班交流.明确（1）标准差也是反映数据波动情况的一个重要指标.（2）通过实例,了解标准差的应用及其计算方法,即:标准差;方差=标准差2.(板书)3.达标反馈课本第134页练习第1题.4.学习小结(1)内容总结1)内容总结①方差的计算式:S2=1n [(x1-x)2+(x2-x)2+…+(xn-x)2]②标准差方差=标准差2. ③标准差也是反映数据离散程序的一个统计量.(三)延伸拓展1.链接生活举出与方差有关的几个生活实例.2.巩固练习课本习题第1、3题.(四)板书设计。
表示一组数据离散程度的指标教学目标：1．理解极差，方差、标准差的意义；2. 会计算一组数据的极差，方差和标准差3．能利用极差，方差和标准差解决一些简单的实际问题教学重点：计算一组数据的极差，方差和标准差教学难点：利用极差，方差和标准差解决实际问题教学过程（一）新授创设意境小明初一时对数学不感兴趣，遇到问题不爱动脑筋，作业能做就做，不会做就不做，因此他的数学成绩不太好，初一的一学年中四次考试的数学成绩分别是75、78、77、76．初一暑假时，小明参加了科技活动小组，在活动中，小明体会到学好数学的重要性，逐渐对数学产生了兴趣，遇到问题时从多方面去思考，深入钻研．因此小明的数学成绩进步很快，初二的一学年中，小明在四次考试的数学成绩是80、85、92、95．看完这则小通讯，请谈谈你的看法．你以为在这些数据中最能反映学习态度重要性的是哪一对数据?两者相差多少?相比较而言最能反映学习兴趣重要性的是初一时的75分和初二时的95分，两者相差达20分.这个20分在数学上就称为极差.问题1该表显示:某某2001年2月下旬和2002年同期的每日最高气温问: 2001年2月下旬某某的气温的极差是多少？ 2002年同期的某某的气温的极差又是多少？结论: 2001年的2月下旬的气温变化幅度大于2002年同期的变化幅度.经计算可以看出,对于2月下旬的这段时间而言, 2001年和2002年某某地区的平均气温相等,?思考：什么样的指标可以反映一组数据变化X 围的大小？我们可以用一组数据中的最大值减去最小值所得的差来反映这组数据的变化X 围.用这种方法得到的差称为极差(range)极差＝最大值－最小值．在生活中,我们常常会和极差打交道.班级里个子最高的学生比个子最矮的学生高多少?家庭中年纪最大的长辈比年纪最小的孩子大多少?这些都是求极差的例子.极差是最简单的一种度量数据波动情况的量,但只能反映数据的波动X 围,不能衡量每个数据的变化情况,而且受极端值的影响较大. 思考此图反映的是一年中和新加坡气温变化情况．根据你的观察，为什么说新加坡是“四季温差不大”，而是“四季分明”呢？51015202521日22日23日24日25日26日27日28日问题2．我们来看这么一个问题：小明和小兵两人参加体育项目训练，近期的五次测试成绩如下表所示．谁的成绩较为稳定？为什么？能通过计算回答吗?由计算可知，两人测试成绩的平均值都是13分．但相比之下，小明的成绩大部分集中在13分附近，而小兵的成绩与其平均值的离散程度较大．通常，如果一组数据与其平均值的离散程度较小，我们就说它比较稳定．请同学们根据上表提供的数据画出折线图(与下图作比较)．请同学们进一步思考，什么样的数能反映一组数据与其平均值的离散程度？从表和图中可以看到，小兵的测试成绩与平均值的偏差较大，而小明的较小．那么如何加以说明呢？可以直接将各数据与平均值的差进行累加吗？在下表中写出你的计算结果并进行小结，可以用它来比较两组数据围绕其平均值的波动情况(离散程度)吗？(给同学们足够的时间计算和讨论)对于每次成绩－平均成绩求和的结果为零（请同学们说说为什么？）．那么，你能提出一个可行的方案吗？请在下表的红色格子中写上新的计算方案，并将计算结果填入表中．(部分学生可能提出求差后求绝对值再求和的方法等，要多肯定和比较，引导学生共同导出方差的计算公式)考虑实际情况，如果一共进行了7次测试，小明因故缺席两次，怎样比较谁的成绩更稳定?请将你的方法与数据填入下表中．(通过两X 表格的对比让学生进一步明白：为什么要用“每次成绩”和“平均成绩”相减；为什么要“平方”；为什么求“平均数”比“求和”好．)我们可以用“先平均，再求差，然后平方，最后再平均”得到的结果表示一组数据偏离平均值的情况．这个结果通常称为方差（variance ）．公式为21222...)))(((12x x x x x x n s⎡⎤=++---⎢⎥方差越大,说明这组数据偏离平均值的情况越严重,即离散程度较大,数据也越不稳定．我们通常用S2表示一组数据的方差，用表示一组数据的平均数，x1、x2、…表示各个数据．上面问题中方差的计算式就是从方差的计算过程，可以看出S2的数量单位与原数据的不一致，因此在实际应用时常常将求出的方差再开平方，这就是标准差（standarddeviation），用符号表示为．发现：方差越小，波动越小.方差越大，波动越大.（二）例题解析例请计算刚才问题中小明和小兵五次测试成绩的极差、方差和标准差．解小明和小兵五次测试成绩的极差分别为14-12=2和16-10=6．小明和小兵五次测试成绩的方差分别为(其中小明和小兵5次测试成绩的平均数都为13)经过比较可知，小明的测试成绩较为稳定．（三）小结1. 了解极差，方差和标准差的意义．2. 知道极差，方差和标准差的计算方法．3. 会利用极差，方差和标准差的计算结果来分析一组数据的离散程度。
初二数学选择合适的图表进行数据整理；极差、方差和标准差华东师大版【同步教育信息】一. 本周教学内容：1. 选择合适的图表进行数据整理。
2. 极差、方差和标准差。
3. 机会的大小比较。
二. 教学重点：1. 选择合适的统计图表进行数据整理。
2. 会计算一组样本数据的极差、方差和标准差。
3. 画树状图或列表列举事件的可能结果。
三. 教学难点：1. 读图。
2. 利用统用统计量来比较实际问题。
3. 通过分析比较说明两个事件发生机会是否相等。
四. 知识梳理：（一）知识网络扇形统计图整理频数分布表选择合适数据频数分布的图表来处直方图频表示数据理数折线图数据表示一组极差最高值最低值数据离散方差灵活选择公式程度的指标标准差用计算器求标准差按机会的大小排序机会大小的比较列举所有可画树状图能的结果列表（二）知识要点1. 选择合适的图表进行数据整理①扇形统计图优点制作步骤②频数分布表和频数分布直方图优点：制作步骤：2. 三差（1）极差：一组数据中的最大值减去最小值所得的差，它能反映这组数据中最大值与最小值的差距。
（2）方差：设一组数据x x x n12，，…，中，各数据与它们的平均数x的差的平方分别是()()x x x x1222--，，……，()x xn-2，那么可用它的平均数，即Snx x x x x xn2122221=-+-++-[()()()]……来衡量这组数据的波动大小，并把这个平均数S2叫做这组数据的方差。
一组数据的方差越大，说明这组数据的波动越大；方差越小，说明这组数据的波动越小。
（3）标准差，有时为了运用的方便，常将求出的方差开平方，即取算术平方根，这个算术平方根，即S S=2称为这组数据的标准差，它也是用来衡量一组数据波动大小的重要的量。
3. 机会大小的比较（1）按机会的大小排序，一些事件发生的机会可以在一条直线上进行排序，如图1。
不可能发生的可能性较小发生的可能性较大发生必然发生0 1（100%）图11250%)(（2）机会的大小=所关注事件的结果所有等可能的结果（3）树状图：在分析可能出现的结果的过程中，采用画图的方法是一种简捷有效的方法，这幅图好像一棵倒立的树，称为“树状图”。
