2018届北京市东城区高三上学期期末考试数学(文)试题(解析版)

2018-2019学年北京市东城区高三（上）期末数学试卷（理科）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．已知集合A={﹣2，﹣1，0，1，2}，B={x|0≤x≤1}，那么A∩B等于（）A．{0}B．{1}C．{0，1}D．[0，1]2．若，则|z|=（）A．2 B．3 C．4 D．53．执行如图所示的程序框图，输出的k值是（）A．5 B．3 C．9 D．74．下列函数中既是奇函数又在区间（0，+∞）上单调递减的是（）A．y=e﹣x B．y=ln（﹣x）C．y=x3D．5．由直线x﹣y+1=0，x+y﹣5=0和x﹣1=0所围成的三角形区域（包括边界）用不等式组可表示为（）A．B．C．D．6．一个几何体的三视图如图所示．已知这个几何体的体积为8，则h=（）A．1 B．2 C．3 D．67．将函数y=（x﹣3）2图象上的点P（t，（t﹣3）2）向左平移m（m＞0）个单位长度得到点Q．若Q位于函数y=x2的图象上，则以下说法正确的是（）A．当t=2时，m的最小值为3 B．当t=3时，m一定为3C．当t=4时，m的最大值为3 D．∀t∈R，m一定为38．六名同学A、B、C、D、E、F举行象棋比赛，采取单循环赛制，即参加比赛的每两个人之间仅赛一局．第一天，A、B各参加了3局比赛，C、D各参加了4局比赛，E参加了2局比赛，且A与C没有比赛过，B与D也没有比赛过．那么F在第一天参加的比赛局数为（）A．1 B．2 C．3 D．49．抛物线y2=2x的焦点到准线的距离为（）A． B．1 C．2 D．310．在极坐标系中，点（1，）与点（1，）的距离为（）A．1 B．C．D．11．在手绘涂色本的某页上画有排成一列的6条未涂色的鱼，小明用红、蓝两种颜色给这些鱼涂色，每条鱼只能涂一种颜色，两条相邻的鱼不都涂成红色，涂色后，既有红色鱼又有蓝色鱼的涂色方法种数为（）A．14 B．16 C．18 D．2012．如图，已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，E，F分别是棱AD，B1C1上的动点，设AE=x，B1F=y，若棱DD1与平面BEF有公共点，则x+y的取值范围是（）A．[0，1]B．[，]C．[1，2]D．[，2]二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．6的展开式中常数项是．（用数字作答）14．已知圆C：x2﹣2x+y2=0，则圆心坐标为；若直线l过点（﹣1，0）且与圆C相切，则直线l的方程为．15．已知函数y=2sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）．①若f（0）=1，则φ=；②若∃x∈R，使f（x+2）﹣f（x）=4成立，则ω的最小值是．16．已知函数f（x）=e﹣|x|+cosπx，给出下列命题：①f（x）的最大值为2；②f（x）在（﹣10，10）内的零点之和为0；③f（x）的任何一个极大值都大于1．其中，所有正确命题的序号是．三、解答题（共6小题，满分70分）17．（10分）在△ABC中，c=2a，B=120°，且△ABC面积为．（1）求b的值；（2）求tanA的值．18．（12分）诚信是立身之本，道德之基，某校学生会创设了“诚信水站”，既便于学生用水，又推进诚信教育，并用“”表示每周“水站诚信度”，为了便于数据分析，以四周为一周期，如表为该水站连续十二周（共三个周期）的诚信数据统计：（1）计算表中十二周“水站诚信度”的平均数；（2）分别从表中每个周期的4个数据中随机抽取1个数据，设随机变量X 表示取出的3个数据中“水站诚信度”超过91%的数据的个数，求随机变量X的分布列和期望；（3）已知学生会分别在第一个周期的第四周末和第二个周期的第四周末各举行了一次“以诚信为本”的主题教育活动，根据已有数据，说明两次主题教育活动的宣传效果，并根据已有数据陈述理由．19．（12分）如图1，在梯形ABCD中，AB∥DC，∠ABC=90°，AB=2DC=2BC=4，O是边AB的中点，将三角形AOD饶边OD所在直线旋转到A，OD位置，使得∠A，OB=120°，如图2，设m为平面A1DC与平面A1OB的交线．（1）判断直线DC与直线m的位置关系并证明；（2）若在直线m上的点G满足OG⊥A1D，求出A1G的长；（3）求直线A1O与平面A1BD所成角的正弦值．20．（12分）已知A（0，2），B（3，1）是椭圆G：上的两点．（1）求椭圆G的离心率；（2）已知直线l过点B，且与椭圆G交于另一点C（不同于点A），若以BC为直线的圆经过点A，求直线l的方程．21．（12分）已知函数f（x）=lnx﹣．（1）若曲线y=f（x）存在斜率为﹣1的切线，求实数a的取值范围；（2）求f（x）的单调区间；（3）设函数g（x）=，求证：当﹣1＜a＜0时，g（x）在（1，+∞）上存在极小值．22．（12分）对于无穷数列{a n}，{b n}，若b i=max{a1，a2，…，a i}﹣min{a1，a2，…，a k}（k=1，2，3，…），则称{b n}是{a n}的“收缩数列”，其中max{a1，a2，…，a k}，min{a1，a2，…，a k}分别表示a1，a2，…，a k中的最大数和最小数．已知{a n}为无穷数列，其前n项和为S n，数列{b n}是{a n}的“收缩数列”．（1）若a n=2n+1，求{b n}的前n项和；（2）证明：{b n}的“收缩数列”仍是{b n}；（3）若S1+S2+…+S n=（n=1，2，3，…），求所有满足该条件的{a n}．2018-2019学年北京市东城区高三（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分）1．已知集合A={﹣2，﹣1，0，1，2}，B={x|0≤x≤1}，那么A∩B等于（）A．{0}B．{1}C．{0，1}D．[0，1]【考点】交集及其运算．【分析】由A与B，求出两集合的交集即可．【解答】解：∵A={﹣2，﹣1，0，1，2}，B={x|0≤x≤1}，∴A∩B={0，1}，故选：C．2．若，则|z|=（）A．2 B．3 C．4 D．5【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简复数z，再由复数求模公式计算得答案．【解答】解：=，则|z|=．故选：D．3．执行如图所示的程序框图，输出的k值是（）A．5 B．3 C．9 D．7【考点】程序框图．【分析】模拟程序的运行，依次写出每次循环得到的k，a，b的值，可得当a=32，b=25时满足条件a＞b，退出循环，输出k的值为5．【解答】解：模拟程序的运行，可得k=1，k=3，a=8，b=9不满足条件a＞b，执行循环体，k=5，a=32，b=25满足条件a＞b，退出循环，输出k的值为5．故选：A．4．下列函数中既是奇函数又在区间（0，+∞）上单调递减的是（）A．y=e﹣x B．y=ln（﹣x）C．y=x3D．【考点】函数单调性的判断与证明；函数奇偶性的判断．【分析】对选项根据函数的奇偶性和单调性，一一加以判断，即可得到既是奇函数，又在（0，+∞）上单调递减的函数．【解答】解：由于函数y=e﹣x是减函数，但不是奇函数，故不满足条件．由于函数y=ln（﹣x）不是奇函数，在（0，+∞）上单调递减，故不满足条件．由于函数y=x3是奇函数，且在（0，+∞）上单调递增，故不满足条件．由于函数y=是奇函数，且在（0，+∞）上单调递减，故满足条件，故选D．5．由直线x﹣y+1=0，x+y﹣5=0和x﹣1=0所围成的三角形区域（包括边界）用不等式组可表示为（）A．B．C．D．【考点】简单线性规划．【分析】作出对应的平面区域，根据二元一次不等式组与平面之间的关系即可得到结论．【解答】解：作出对应的平面区域，则三角形区域在直线x=1的右侧，∴x ≥1，在x﹣y+1=0的上方，则x﹣y+1≤0，在x+y﹣5=0的下方，则x+y﹣5≤0，则用不等式组表示为，故选：A．6．一个几何体的三视图如图所示．已知这个几何体的体积为8，则h=（）A．1 B．2 C．3 D．6【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；由三视图求面积、体积．【分析】由已知中的三视图可得该几何体是一个以俯视图为底面的四棱锥，代入棱锥体积公式，可构造关于h的方程，解得答案．【解答】解：由已知中的三视图可得该几何体是一个以俯视图为底面的四棱锥，其底面是一个长，宽分别为3，4的矩形，故底面面积S=3×4=12，高为h，故这个几何体的体积为V=×12×h=8，解得：h=2，故选：B．7．将函数y=（x﹣3）2图象上的点P（t，（t﹣3）2）向左平移m（m＞0）个单位长度得到点Q．若Q位于函数y=x2的图象上，则以下说法正确的是（）A．当t=2时，m的最小值为3 B．当t=3时，m一定为3C．当t=4时，m的最大值为3 D．∀t∈R，m一定为3【考点】函数的图象与图象变化．【分析】函数y=（x﹣3）2图象上，向左平移3个单位得到函数y=x2的图象，即可得出结论．【解答】解：函数y=（x﹣3）2图象上，向左平移3个单位得到函数y=x2的图象，∴∀t∈R，m一定为3，故选D．8．六名同学A、B、C、D、E、F举行象棋比赛，采取单循环赛制，即参加比赛的每两个人之间仅赛一局．第一天，A、B各参加了3局比赛，C、D各参加了4局比赛，E参加了2局比赛，且A与C没有比赛过，B与D也没有比赛过．那么F在第一天参加的比赛局数为（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】排列、组合及简单计数问题．【分析】从A、B各参加了3局比赛，C、D各参加了4局比赛，E参加了2局比赛，且A与C没有比赛过，B与D也没有比赛过这个已知条件入手，进而可一步一步推得每个人分别与那几个人下了几局，最后即可得出F最终下了几局．【解答】解：由于A、B各参加了3局比赛，C、D各参加了4局比赛，E参加了2局比赛，且A与C没有比赛过，B与D也没有比赛过，所以与D赛过的是A、C、E、F四人；与C赛过的是B、D、E、F四人；又因为E只赛了两局，A与B各赛了3局，所以与A赛过的是D、B、F；而与B赛过的是A、C、F；所以F共赛了4局．故选D．9．抛物线y2=2x的焦点到准线的距离为（）A． B．1 C．2 D．3【考点】抛物线的简单性质．【分析】利用抛物线的方程求出p即可得到结果．【解答】解：抛物线y2=2x的焦点到准线的距离为：p=1．故选：B．【点评】本题考查抛物线的简单性质的应用，是基础题．10．在极坐标系中，点（1，）与点（1，）的距离为（）A．1 B．C．D．【考点】极坐标刻画点的位置．【分析】极坐标化为直角坐标，即可得出结论．【解答】解：点（1，）与点（1，）的距离，即点（，）与点（﹣，）的距离为，故选B．【点评】本题考查极坐标与直角坐标的互化，比较基础．11．在手绘涂色本的某页上画有排成一列的6条未涂色的鱼，小明用红、蓝两种颜色给这些鱼涂色，每条鱼只能涂一种颜色，两条相邻的鱼不都涂成红色，涂色后，既有红色鱼又有蓝色鱼的涂色方法种数为（）A．14 B．16 C．18 D．20【考点】排列、组合的实际应用．【分析】分类讨论，利用加法原理，可得结论．【解答】解：红色用1次，有6种方法，红色用2次，有2+3+4=9种方法，红色用3次，有3种方法，共18种，故选C．【点评】本题考查计数原理的运用，考查学生的计算能力，比较基础．12．如图，已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，E，F分别是棱AD，B1C1上的动点，设AE=x，B1F=y，若棱DD1与平面BEF有公共点，则x+y的取值范围是（）A．[0，1]B．[，]C．[1，2]D．[，2]【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．【分析】由题意，若x=y=1，则棱DD1与平面BEF交于点D，若x=1，y=0，则棱DD1与平面BEF交于线段DD1，即可得出结论．【解答】解：由题意，若x=y=1，则棱DD1与平面BEF交于点D，符合题意；若x=1，y=0，则棱DD1与平面BEF交于线段DD1，符合题意．故选C．【点评】本题考查线面位置关系，考查特殊法的运用，属于中档题．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（x2+）6的展开式中常数项是15．（用数字作答）【考点】二项式定理的应用．【分析】本题可通过通项公式T r+1=C n r a n﹣r b r来确定常数项，从而根据常数相中x的指数幂为0即可确定C6r（x2）6﹣r中r的值，然后即可求出常数项是15【解答】解：设通项公式为，整理得C6r x12﹣3r，因为是常数项，所以12﹣3r=0，所以r=4，故常数项是c64=15故答案为15．【点评】本题主要考查二项式定理中通项公式的应用，属于基础题型．难度系数0.9．一般的通项公式的主要应用是求常数项，求有理项或者求某一项的系数，二项式系数等．所以在今后遇到这样的试题时首先都可以尝试用通项来加以解决．14．已知圆C：x2﹣2x+y2=0，则圆心坐标为（1，0）；若直线l过点（﹣1，0）且与圆C相切，则直线l的方程为y=±（x+1）．【考点】圆的一般方程．【分析】圆的方程化为标准方程，可得圆心坐标；圆心到直线的距离d==1，可得直线方程．【解答】解：圆C：x2﹣2x+y2=0，可化为（x﹣1）2+y2=1，圆心坐标为（1，0），设直线l的方程为y﹣0=k（x+1），即kx﹣y+k=0，圆心到直线的距离d==1，∴k=±，∴直线l的方程为y=±（x+1），故答案为（1，0），y=±（x+1）【点评】本题考查圆的方程，考查直线与圆的位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题．15．已知函数y=2sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）．①若f（0）=1，则φ=；②若∃x∈R，使f（x+2）﹣f（x）=4成立，则ω的最小值是．【考点】y=Asin（ωx+φ）中参数的物理意义．【分析】①由已知可得sinφ=，利用正弦函数的图象及特殊角的三角函数值，结合范围|φ|＜，即可得解φ的值．②化简已知等式可得sin（ωx+2ω+φ）﹣sin（ωx+φ）=2，由正弦函数的性质可求ω=（k1﹣k2）π﹣，k1，k2∈Z，结合范围ω＞0，即可得解ω的最小值．【解答】解：①∵由已知可得2sinφ=1，可得：sinφ=，∴可得：φ=2kπ+，或φ=2kπ+，k∈Z，∵|φ|＜，∴当k=0时，φ=．②∵∃x∈R，使2sin[ω（x+2）+φ]﹣2sin（ωx+φ）=4成立，即：sin（ωx+2ω+φ）﹣sin（ωx+φ）=2，∴∃x∈R，使ωx+2ω+φ=2k1π+，ωx+φ=2k2π+，k∈Z，∴解得：ω=k1π﹣k2π﹣，k1，k2∈Z，又∵ω＞0，|∴ω的最小值是．故答案为：，．【点评】本题主要考查了正弦函数的图象和性质，特殊角的三角函数值的综合应用，考查了数形结合思想的应用，属于中档题．16．已知函数f（x）=e﹣|x|+cosπx，给出下列命题：①f（x）的最大值为2；②f（x）在（﹣10，10）内的零点之和为0；③f（x）的任何一个极大值都大于1．其中，所有正确命题的序号是①②③．【考点】命题的真假判断与应用．【分析】根据已知中函数f（x）=e﹣|x|+cosπx，分析函数的最值，对称性，极值，进而可得答案．【解答】解：由→0，故当x=0时，f（x）的最大值为2，故①正确；函数f（x）=e﹣|x|+cosπx，满足f（﹣x）=f（x），故函数为偶函数；其零点关于原点对称，故f（x）在（﹣10，10）内的零点之和为0，故②正确；当cosπx取极大值1时，函数f（x）=e﹣|x|+cosπx取极大值，但均大于1，故③正确；故答案为：①②③【点评】本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了函数的最值，函数的极值，函数的零点，函数的奇偶性等知识点，难度中档．三、解答题（共6小题，满分70分）17．（10分）在△ABC中，c=2a，B=120°，且△ABC面积为．（1）求b的值；（2）求tanA的值．【考点】正弦定理．【分析】（1）由已知利用三角形面积公式可求a，c的值，进而利用余弦定理可求b的值．（2）由余弦定理可求cosA的值，进而利用同角三角函数基本关系式可求tanA=的值．【解答】（本题满分为13分）解：（1）∵c=2a，B=120°，△ABC面积为=acsinB=．∴解得：a=1，c=2，∴由余弦定理可得：b===．（2）∵a=1，c=2，b=，∴cosA==，∴tanA==．【点评】本题主要考查了三角形面积公式，余弦定理，同角三角函数基本关系式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．18．（12分）诚信是立身之本，道德之基，某校学生会创设了“诚信水站”，既便于学生用水，又推进诚信教育，并用“”表示每周“水站诚信度”，为了便于数据分析，以四周为一周期，如表为该水站连续十二周（共三个周期）的诚信数据统计：（1）计算表中十二周“水站诚信度”的平均数；（2）分别从表中每个周期的4个数据中随机抽取1个数据，设随机变量X 表示取出的3个数据中“水站诚信度”超过91%的数据的个数，求随机变量X的分布列和期望；（3）已知学生会分别在第一个周期的第四周末和第二个周期的第四周末各举行了一次“以诚信为本”的主题教育活动，根据已有数据，说明两次主题教育活动的宣传效果，并根据已有数据陈述理由．【考点】离散型随机变量的期望与方差；众数、中位数、平均数；离散型随机变量及其分布列．【分析】（1）利用平均数公式能求出表中十二周“水站诚信度”的平均数．（2）随机变量X的可能取值为0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和数学期望．（3）两次活动效果均好，活动举办后，“水站诚信度”由88%→94%和80%到85%看出，后继一周都有提升．【解答】解：（1）表中十二周“水站诚信度”的平均数：=×=91%．（2）随机变量X的可能取值为0，1，2，3，P（X=0）==，P（X=1）==，P（X=2）=，P（X=3）=，∴X的分布列为：EX==2．（3）两次活动效果均好．理由：活动举办后，“水站诚信度”由88%→94%和80%到85%看出，后继一周都有提升．【点评】本题考查平均数的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，在历年高考中都是必考题型之一．19．（12分）如图1，在梯形ABCD中，AB∥DC，∠ABC=90°，AB=2DC=2BC=4，O是边AB的中点，将三角形AOD饶边OD所在直线旋转到A，OD位置，使得∠A，OB=120°，如图2，设m为平面A1DC与平面A1OB的交线．（1）判断直线DC与直线m的位置关系并证明；（2）若在直线m上的点G满足OG⊥A1D，求出A1G的长；（3）求直线A1O与平面A1BD所成角的正弦值．【考点】直线与平面所成的角；点、线、面间的距离计算．【分析】（1）利用线面平行的性质判断并证明直线DC与直线m的位置关系；（2）A1D在平面A1OB中的射影为A1O，OG⊥A1O，即可求出A1G的长；（3）求出O到平面A1DB的距离，即可求直线A1O与平面A1BD所成角的正弦值．【解答】解：（1）∵DC∥OB，DC⊄平面A1OB，OB⊂平面A1OB∴DC∥平面A1OB，∵m为平面A1DC与平面A1OB的交线，∴DC∥m；（2）由题意，A1D在平面A1OB中的射影为A1O，∴OG⊥A1O，∴A1G=2A1O=4；（3）△A 1OB中，A1B==2，∵A 1D=DB=2，∴==，设O到平面A1DB的距离为h，则，∴h=，∵A1O=2，∴直线A1O与平面A1BD所成角的正弦值=．【点评】本题考查线面平行的判定与性质，考查线面垂直的证明，考查线面角，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．20．（12分）已知A（0，2），B（3，1）是椭圆G：上的两点．（1）求椭圆G的离心率；（2）已知直线l过点B，且与椭圆G交于另一点C（不同于点A），若以BC为直线的圆经过点A，求直线l的方程．【考点】直线与椭圆的位置关系；椭圆的标准方程．【分析】（1）将A和B点的坐标代入椭圆G的方程，列出方程组求出a和b的值，再求出c和离心率；（2）由（1）求出椭圆G的方程，对直线l的斜率进行讨论，不妨设直线l 的方程，与椭圆G的方程联立后，利用韦达定理写出式子，将条件转化为，由向量数量积的坐标运算列出式子，代入化简后求出k的值，即得直线l的方程．【解答】解：（1）∵椭圆G过A（0，2），B（3，1），∴，解得，则=，∴椭圆G的离心率e==；（2）由（1）得，椭圆G的方程是，①当直线的斜率不存在时，则直线BC的方程是x=3，代入椭圆G的方程得，C（3，﹣1），不符合题意；②当直线的斜率存在时，设斜率为k，C（x1，y1），则直线BC的方程为y=k（x﹣3）+1，由得，（3k2+1）x2﹣6k（3k﹣1）x+27k2﹣18k﹣3=0，∴3+x1=，3x1=，则x1=，∵以BC为直径圆经过点A，∴AB⊥AC，则，即（3，﹣1）•（x1，y1﹣2）=0，∴3x1﹣y1+2=0，即3x1﹣[k（x1﹣3）+1]=0，∴（3﹣k）x1+3k+1=0，（3﹣k）•+3k+1=0，化简得，18k2﹣7k﹣1=0，解得k=或k=，∴直线BC的方程为y=（x﹣3）+1或y=（x﹣3）+1，即直线BC的方程是x+2y﹣5=0或x﹣9y+6=0，综上得，直线l的方程是x+2y﹣5=0或x﹣9y+6=0．【点评】本题考查了待定系数法求椭圆标准方程，直线与椭圆位置关系，向量数量积的坐标运算，以及“设而不求”的解题思想方法，考查转化思想，化简、变形、计算能力．21．（12分）已知函数f（x）=lnx﹣．（1）若曲线y=f（x）存在斜率为﹣1的切线，求实数a的取值范围；（2）求f（x）的单调区间；（3）设函数g（x）=，求证：当﹣1＜a＜0时，g（x）在（1，+∞）上存在极小值．【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程；导数在最大值、最小值问题中的应用．【分析】（1）求出函数的导数，问题转化为x2+x+a=0存在大于0的实数根，根据y=x2+x+a在x＞0时递增，求出a的范围即可；（2）求出函数f（x）的导数，通过讨论a的范围，判断导函数的符号，求出函数的单调区间即可；（3）求出函数g（x）的导数，根据f（e）=﹣＞0，得到存在x0∈（1，e）满足g′（x0）=0，从而得到函数的单调区间，求出函数的极小值，证出结论即可．【解答】解：（1）由f（x）=lnx﹣﹣1得：f′（x）=，（x＞0），由已知曲线y=f（x）存在斜率为﹣1的切线，∴f′（x）=﹣1存在大于0的实数根，即x2+x+a=0存在大于0的实数根，∵y=x2+x+a在x＞0时递增，∴a的范围是（﹣∞，0）；（2）由f′（x）=，（x＞0），得：a≥0时，f′（x）＞0，∴f（x）在（0，+∞）递增；a＜0时，若x∈（﹣a，+∞）时，f′（x）＞0，若x∈（0，﹣a），则f′（x）＜0，故f（x）在（﹣a，+∞）递增，在（0，﹣a）递减；（3）由g（x）=及题设得：g′（x）==，由﹣1＜a＜0，得：0＜﹣a＜1，由（2）得：f（x）在（﹣a，+∞）递增，∴f（1）=﹣a﹣1＜0，取x=e，显然e＞1，f（e）=﹣＞0，∴存在x0∈（1，e）满足f（x0）=0，即存在x0∈（1，e）满足g′（x0）=0，令g′（x）＞0，解得：x＞x0，令g′（x）＜0，解得：1＜x＜x0，故g（x）在（1，x0）递减，在（x0，+∞）递增，∴﹣1＜a＜0时，g（x）在（1，+∞）存在极小值．【点评】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想、是一道综合题．22．（12分）对于无穷数列{a n}，{b n}，若b i=max{a1，a2，…，a i}﹣min{a1，a2，…，a k}（k=1，2，3，…），则称{b n}是{a n}的“收缩数列”，其中max{a1，a2，…，a k}，min{a1，a2，…，a k}分别表示a1，a2，…，a k中的最大数和最小数．已知{a n}为无穷数列，其前n项和为S n，数列{b n}是{a n}的“收缩数列”．（1）若a n=2n+1，求{b n}的前n项和；（2）证明：{b n}的“收缩数列”仍是{b n}；（3）若S1+S2+…+S n=（n=1，2，3，…），求所有满足该条件的{a n}．【考点】数列的求和．【分析】（1）由新定义可得b n=2n﹣2，即可求出前n项和，（2）根据“收缩数列”的定义证明即可，（3）猜想：满足S1+S2+…+S n=n（n+1）a1+n（n﹣1）b1的数列{a n}是，a n=，a2≥a1，并证明即可．【解答】解：（1）由a n=2n+1可得{ a n}为递增数列，所以b n=max{ a1，a2，…，a n}﹣min{ a1，a2，…，a n}=a n﹣a1=2n+1﹣3=2n﹣2，故{ b n}的前n项和为（2n﹣2）n=n（n﹣1）（2）因为max{ a1，a2，…，a n}≤max{ a1，a2，…，a n+1}，因为min{ a1，a2，…，a n}≥min{ a1，a2，…，a n+1}，所以max{ a1，a2，…，a n+1}﹣min{ a1，a2，…，a n+1}≥max{ a1，a2，…，a n}﹣min{ a1，a2，…，a n}，所以b n+1≥b n，又因为b n=a1﹣a1=0，所以max{ b1，b2，…，b n}﹣min{ b1，b2，…，b n}=b n﹣b1=b n，所以{ b n}的“收缩数列”仍是{ b n}，（3）由S1+S2+…+S n=n（n+1）a1+n（n﹣1）b1，当n=1时，a1=a1，当n=2时，3a1+2a2+a3=6a3+3b3，即3b3=2（a2﹣a1）+（a3﹣a1），（*），若a1＜a3＜a2，则b3=a2﹣a1，所以由（*）可得a3=a2与a3＜a2矛盾，若a3＜a1≤a2，则b3=a2﹣a3，所以由（*）可得a3﹣a2=3（a1﹣a3），所以a3﹣a2与a1﹣a3同号，这与a3＜a1≤a2矛盾；若a3≥a2，则b3=a3﹣a2，由（*）可得a3=a2，猜想：满足S1+S2+…+S n=n（n+1）a1+n（n﹣1）b1的数列{ a n}是，a n=，a2≥a1，经验证：左式=S1+S2+…+S n=na1+[1+2+…+（n﹣1）]=na1+n（n﹣1）a2，右式=n（n+1）a1+n（n﹣1）b1=n（n+1）a1+n（n﹣1）（a2﹣na1）=na1+ n（n﹣1）a2下面证明其它数列都不满足（3）的题设条件由上述n≤3的情况可知，n≤3，a n=，a2≥a1是成立的，假设a k=是首次不符合a n=，a2≥a1的项，则a1≤a2=a3=…=a k﹣1≠a k 由题设条件可得（k2﹣k﹣2）a2+a k=k（k﹣1）a1+k（k﹣1）b k（*），若a1＜a k＜a2，则由（*）可得a k=a2与a k＜a2矛盾，若a k＜a1≤a2，则b k=a2﹣a k，所以由（*）可得a k﹣a2=k（k﹣1）（a1﹣a k），所以a k﹣a2与a1﹣a k同号，这与a k＜a1≤a2矛盾；所以a k≥a2，则b k=a k﹣a1，所以由（*）化简可得a k=a2，这与假设a k≠a2相矛盾，所以不存在数列不满足a n=，a2≥a1的{a n}符合题设条件【点评】本题考查了新定义和应用，考查了数列的求和和分类讨论的思想，以及反证法，属于难题．。

东城区 2017-2018 学年度第一学期期末教课一致检测高三数学（理科）本试卷共 6 页， 150 分。

考试时长 120 分钟。

考生务势必答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第一部分 （选择题共40分）一、选择题（共 8 小题，每题 5 分，共 40 分，在每题给出的四个选项中，选出切合题目要求的一项。

）（1 ）若会合 A { 2, 1,0,1,2,3} ， B { x | x1 或 x 2}，则AIB （A ） { 2,3} （B ）{2, 1,2,3}（ C ） {0,1}（D ） { 1,0,1,2}（ 2 ） 函数 y 3sin(2 x ) 图象的两条相邻对称轴之间的距离是4（ A ）（B ）（ C ）（ D ）24（3 ）履行以下图的程序框图，输出的x 值为开始（A ）1（B ）2（C ）3b=x 2（D ）7x= 1 ( x+ 3)42 xxb12否是输出 x结束 y ≥2 x,（4 ）若 x, y 知足 xy ≥3, 则 x y 的最小值为y ≤3,（A ） 5（B ） 3 （C ） 2（D ） 1（5 ）已知函数f (x)4x 1x ，则 f (x) 的2（ A ）图象对于原点对称，且在 [ 0 , ) 上是增函数（ B ）图象对于 y 轴对称，且在 [ 0 , ) 上是增函数（ C ）图象对于原点对称，在[ 0 , ) 上是减函数（ D ）图象对于 y 轴对称，且在 [ 0 ,) 上是减函数（6 ）设 a , b 为非零向量，则“a +b a - b ”是“ a b= 0”的（ A ）充足而不用要条件 （B ）必需而不充足条件（ C ）充足必需条件（D ）既不充足也不用要条件（7 ）某三棱锥的三视图以下图， 则该三棱锥的体积为1（A ）1116正（主）视图侧（左）视图1（ B ）3（C ）12（D ）1俯视图（8 ）现有 n 个小球， 甲乙两位同学轮番且不放回抓球， 每次最少抓 1 个球，最多抓 3 个球，规定谁抓到最后一个球谁赢 . 假如甲先抓，那么以下推测正确的选项是（ A ）若（ C ）若n4 ，则甲有必赢的策略 （ B ）若n 9 ，则甲有必赢的策略（ D ）若n 6 ，则乙有必赢的策略n 11 ，则乙有必赢的策略第二部分 （非选择题共 110 分）二、填空题共 6 小题，每题 5 分，共 30 分。

东城区高三年级第一学期期末练习数学（文科） 2018.1第一部分（选择题共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

（1）已知集合，则A. B. C. D.（2）下列函数中为偶函数的是A. B.C. D.（3）直线与圆相交于两点，，则“”是“”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件,（4）执行如图所示的程序框图，若输入，则输出的值为A.8B.19C. 42D.89（5）已知向量a，b， c，若(2a-b) c，则实数A. B. C. D.（6）已知，则A. B. C. D.（7）某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的体积为A. B. C. D.（8）再一次调查中，甲、乙、丙、丁四名同学的阅读量有如下关系：同学甲、丙的阅读量之和与乙、丁的阅读量之和相同，甲、乙的阅读量之和大于丙、丁的阅读量之和。

丁的阅读量大于乙、丙的阅读量之和.那么这四名同学按阅读量从大到小的顺序排列为A. 甲、丁、乙、丙B. 丁、甲、乙、丙C.丁、乙、丙、甲D. 乙、甲、丁、丙第二部分（非选择题共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。

（9）复数 .（10）双曲线的渐近线方程为 .（11）若满足，则的最大值是 .（12）在中，，则，的面积为 .（13）函数当时，的值域为；当有两个不同零点时，实数的取值范围为 .（14）设命题已知，满足的所有点都在轴上.能够说明命题是假命题的一个点的坐标为 .三、解答题共6小题，共80分。

解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。

（15）（本小题13分）已知是等差数列，是等比数列，且.（Ⅰ）数列和的通项公式；（Ⅱ）设，求数列前项和.（16）（本小题13分）已知函数.（Ⅰ）当时，求函数在区间上的最大值与最小值；（Ⅱ）当的图像经过点时，求的值及函数的最小正周期.（17）（本小题14分）“砥砺奋进的五年”，首都经济社会发展取得新成就.自2012年以来，北京城乡居民收入稳步增长.随着扩大内需，促进消费等政策的出台，居民消费支出全面增长，消费结构持续优化升级，城乡居民人均可支配收入快速增长，人民生活品质不断提升.下图是北京市2012-2016年城乡居民人均可支配收入实际增速趋势图（例如2012年，北京城镇居民收入实际增速为7.3%，农村居民收入实际增速为8.2%）.（Ⅰ）从2012-2016五年中任选一年，求城镇居民收入实际增速大于7%的概率；（Ⅱ）从2012-2016五年中任选一年，求至少有一年农村和城镇居民收入实际增速均超过7%的概率；（Ⅲ）由图判断，从哪年开始连续三年农村居民收入实际增速方差最大？（结论不要求证明）（18）（本小题13分）如图，在四棱锥中，是等边三角形，为的中点，四边形为直角梯形，.（Ⅰ）求证：平面平面；（Ⅱ）求四棱锥的体积；（Ⅲ）在棱上是否存在点，使得平面？说明理由.（19）（本小题14分）已知函数.（Ⅰ）求曲线在点处的切线方程；（Ⅱ）求的单调区间；（Ⅲ）若对于任意，都有，求实数的取值范围.求证：“”是“函数有且只有一个零点”的充分必要条件.（20）（本小题13分）已知椭圆的右焦点与短轴两个端点的连线互相垂直.（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）设点为椭圆的上一点，过原点且垂直于的直线与直线交于点，求面积的最小值.东城区2017-2018学年第一学期期末教学统一检测高三数学参考答案及评分标准（文科）一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分）（1）C （2）D （3）A （4）C（5）A （6）D （7）B （8）A二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分）（9）（10）（11）（12），（13），或（14）（点的坐标只需满足，或，）三、解答题（共6小题，共80分）（15）（共13分）解：（Ⅰ）设等差数列的公差为，等比数列的公比为．因为，所以．解得．又因为，所以．所以，，．……………6分（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，．因此数列前项和为．数列的前项和为．所以，数列的前项和为，．………13分（16）（共13分）解：（Ⅰ）当时，.因为，所以．所以，当，即时，取得最大值，当，即时，取得最小值为. ………6分（Ⅱ）因为，所以．因为的图象经过点，所以，即．所以．所以．因为，所以．所以的最小正周期．……13分（17）（共13分）解：（Ⅰ）设城镇居民收入实际增速大于为事件，由图可知，这五年中有这三年城镇居民收入实际增速大于，所以.……5分（Ⅱ）设至少有一年农村和城镇居民实际收入增速均超为事件，这五年中任选两年，有，，，，，，，，，共种情况，其中至少有一年农村和城镇居民实际收入增速均超过的为前种情况，所以.………10分（Ⅲ）从开始连续三年农村居民收入实际增速方差最大.………13分（18）（共14分）解：（Ⅰ）因为，，，所以平面．因为平面，所以平面平面．………5分（Ⅱ）连接．因为△为等边三角形，为中点，所以．因为平面，所以．因为，所以平面．所以．在等边△中，，，所以．………9分（Ⅲ）棱上存在点，使得∥平面，此时点为中点．取中点，连接．因为为中点，所以∥．因为平面，所以∥平面．因为为中点，所以∥．因为平面，所以∥平面．因为，所以平面∥平面．因为平面，所以∥平面．………14分（19）（共14分）解：（Ⅰ）因为函数，所以,.又因为，所以曲线在点处的切线方程为. ………4分（Ⅱ）函数定义域为，由（Ⅰ）可知，.令解得.与在区间上的情况如下：所以，的单调递增区间是；的单调递减区间是. ………9分（Ⅲ）当时，“”等价于“”.令，，，.当时，，所以在区间单调递减.当时，，所以在区间单调递增.而，.所以在区间上的最大值为.所以当时，对于任意，都有.………14分（20）（共13分）解：（Ⅰ）由题意，得解得．所以椭圆的方程为．………4分（Ⅱ）设，，则．①当时，点，点坐标为或，．②当时，直线的方程为．即，直线的方程为．点到直线的距离为，．所以，．又，所以且，当且仅当，即时等号成立，综上，当时，取得最小值1. ………13分。

2018北京市东城区高三（上）期末数 学（理） 2018.1第一部分（选择题 共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

（1）已知集合{}{}2,1,0,1,2,3,12A B x x x =--=-或，则A B =A. {}2,3-B. {}0,1C.{}2,1,2,3-- D. {}1,0,1,2- （2）函数3sin(2)4y x π=+图像的两条相邻对称轴之间的距离是 A. 2π B. π C. 2π D. 4π （3）执行如图所示的程序框图，输出的x 值为A. 1B. 2C. 32D. 74（4）若,x y 满足233y x x y y ≥⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩，则x y -的最小值为A. 5-B. 3-C.2- D. 1- （5）已知函数41()2x x f x +=，则()f x 的 A.图像关于原点对称，且在[0,)+∞上是增函数B. 图像关于y 轴对称，且在[0,)+∞上是增函数C. 图像关于原点对称，且在[0,)+∞上是减函数D. 图像关于y 轴对称，且在[0,)+∞上是减函数（6）设,a b 为非零向量，则“a b a b +=-”是“0a b ⋅=”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件（7）某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的体积为A. 16B. 13C. 12D. 1 （8）现有n 个小球，甲、乙两位同学轮流且不放回抓球，每次最少抓1个球，最多抓3个球，规定谁抓到最后一个球赢.如果甲先抓，那么下列推断正确的是A. 若4n =，则甲有必赢的策略B. 若6n =，则乙有必赢的策略C. 若9n =，则甲有必赢的策略D. 若11n =，则乙有必赢的策略第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。

（9）若复数(1)()i a i +-为纯虚数，则实数a = . （10）在5(12)x +的展开式中，2x 的系数等于 .（11）已知{}n a 是等差数列，n S 为其前n 项和，若1466,4a a a =+=，则5S = .（12）在极坐标系中，若点(,)(0)3A m m π在圆2cos ρθ=外，则m 的取值范围为 . （13）双曲线222:1(0)y C x b b -=的一个焦点到它的一条渐近线的距离为1，则b = ；若1C 双曲线与C 不同，且与C 有相同的渐近线，则1C 的方程可以是 .（14）如图1，分别以等边三角形ABC 的每个顶点为圆心、以边长为半径，在另两个顶点间作一段弧，三段弧围成的曲边三角形ABC 称为勒洛三角形ABC ，等边三角形的中心P 称为勒洛三角形的中心.如图2，勒洛三角形ABC 夹在直线0y =和直线2y =之间，且沿x 轴滚动，设其中心(,)P x y 的轨迹方程为()y f x =，则()f x 的最小正周期为 ；对的图像与性质有如下描述：①中心对称图形； ②轴对称图形； ③一条直线； ④最大值与最小值的和为2. 其中正确结论的序号为 .（注：请写出所有正确结论的序号）三、解答题共6小题，共80分。

2018-2019学年北京市东城区高三（上）期末数学试卷（文科）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．（5分）若集合A＝{x|﹣2＜x≤0}，B＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，则A∩B＝（）A．{﹣2，﹣1}B．{﹣2，0}C．{﹣1，0}D．{﹣2，﹣1，0} 2．（5分）下列复数为纯虚数的是（）A．1+i2B．i+i2C．D．（1﹣i）23．（5分）在平面直角坐标系xOy中，角α以Ox为始边，终边在射线y＝2x（x≥0）上，则cosα的值是（）A．B．C．D．4．（5分）若x，y满足则x+2y的最小值为（）A．0B．4C．5D．105．（5分）执行如图所示的程序框图，输入n＝5，m＝3，那么输出的p值为（）A．360B．60C．36D．126．（5分）设a，b，c，d为实数，则“a＞b，c＞d”是“a+c＞b+d”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件7．（5分）某三棱锥的三视图如图所示，在此三棱锥的六条棱中，最长棱的长度为（）A．2B．C．D．38．（5分）地震里氏震级是地震强度大小的一种度量．地震释放的能量E（单位：焦耳）与地震里氏震级M之间的关系为lgE＝4.8+1.5M．已知两次地震的里氏震级分别为8.0级和7.5级，若它们释放的能量分别为E1和E2，则的值所在的区间为（）A．（1，2）B．（5，6）C．（7，8）D．（15，16）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9．（5分）已知向量＝（1，﹣2），＝（2，m），若⊥，则m＝．10．（5分）在△ABC中，已知a＝1，，，则c＝．11．（5分）若等差数列{a n}和等比数列{b n}满足a1＝﹣1，b1＝2，a3+b2＝﹣1，试写出一组满足条件的数列{a n}和{b n}的通项公式：a n＝，b n＝．12．（5分）过双曲线的右焦点F作垂直于x轴的直线，交双曲线于A，B两点，O为坐标原点，若△OAB为等腰直角三角形，则双曲线的离心率e ＝．13．（5分）小菲在学校选修课中了解到艾宾浩斯记忆曲线，为了解自己记忆一组单词的情况，她记录了随后一个月的有关数据，绘制散点图，拟合了记忆保持量与时间（天）之间的函数关系：某同学根据小菲拟合后的信息得到以下结论：①随着时间的增加，小菲的单词记忆保持量降低；②9天后，小菲的单词记忆保持量低于40%；③26天后，小菲的单词记忆保持量不足20%．其中正确的结论序号有．（注：请写出所有正确结论的序号）14．（5分）已知函数f（x）＝x3﹣4x，g（x）＝sinωx（ω＞0）．若∀x∈[﹣a，a]，都有f（x）g（x）≤0，则a的最大值为；此时ω＝．三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15．（13分）已知等差数列{a n}满足a1＝1，a2+a4＝10．（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）若，求数列{b n}的前n项和．16．（13分）已知函数．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；（Ⅱ）求证：对于任意的，都有．17．（13分）某中学有学生500人，学校为了解学生课外阅读时间，从中随机抽取了50名学生，收集了他们2018年10月课外阅读时间（单位：小时）的数据，并将数据进行整理，分为5组：[10，12），[12，14），[14，16），[16，18），[18，20]，得到如图所示的频率分布直方图．（Ⅰ）试估计该校所有学生中，2018年10月课外阅读时间不小于16小时的学生人数；（Ⅱ）已知这50名学生中恰有2名女生的课外阅读时间在[18，20]，现从课外阅读时间在[18，20]的样本对应的学生中随机抽取2人，求至少抽到1名女生的概率；（Ⅲ）假设同组中的每个数据用该组区间的中点值代替，试估计该校学生2018年10月课外阅读时间的平均数．18．（14分）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱垂直于底面，A1B1⊥B1C1，AA1＝AB＝2，BC＝1，E为A1C1中点．（Ⅰ）求证：A1B⊥平面AB1C1；（Ⅱ）求三棱锥B﹣ECC1的体积；（Ⅲ）设平面EAB与直线B1C1交于点H，求线段B1H的长．19．（13分）已知函数，a∈R．（Ⅰ）当a＝1时，求曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；（Ⅱ）求f（x）的单调区间．20．（14分）已知椭圆C：的离心率为，其左焦点为F1（﹣1，0）．直线l：y＝k（x+2）（k≠0）交椭圆C于不同的两点A，B，直线BF1与椭圆C的另一个交点为E．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）当时，求△F1AB的面积；（Ⅲ）证明：直线AE与x轴垂直．2018-2019学年北京市东城区高三（上）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．【解答】解：∵集合A表示﹣2到0的所有实数，集合B表示5个整数的集合，∴A∩B＝{﹣1，0}，故选：C．2．【解答】解：∵1+i2＝1﹣1＝0，i+i2＝i﹣1，，（1﹣i）2＝1﹣2i+i2＝﹣2i．∴为纯虚数的是（1﹣i）2．故选：D．3．【解答】解：角α以Ox为始边，终边在射线y＝2x（x≥0）上，在终边上任意取一点（1，2），则cosα＝＝，故选：A．4．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域，由z＝x+2y，得y＝﹣x+，平移直线y＝﹣x+，由图象可知当直线经过点A（2，1）时，直线y＝﹣x+的截距最小，此时z最小，此时z＝2+2×1＝4．故选：B．5．【解答】解：模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的p的值，可得程序框图实质是计算排列数的值，当n＝5，m＝3时，可得：＝60．故选：B．6．【解答】解：由c＞d，则“a＞b”⇒“a+c＞b+d”，反之不成立．例如取c＝5，d＝1，a＝2，b＝3．满足c＞d，“a+c＞b+d”，但是a＞b不成立．∴c＞d，则“a＞b，c＞d”是“a+c＞b+d”的充分不必要条件．故选：A．7．【解答】解：由三棱锥的三视图知该三棱锥是如图所示的三棱锥P﹣ABC，其中P A⊥底面ABC，AC⊥BC，P A＝AC＝2，BC＝1，∴PB＝＝＝3，∴在该三棱锥中，最长的棱长为PB＝3．故选：D．8．【解答】解：lgE＝4.8+1.5M，∴lgE1＝4.8+1.5×8＝16.8，lgE2＝4.8+1.5×7.5＝16.05，∴E1＝1016.8，E2＝1016.05，∴＝100.75，∵100.75＞90.75＝31.5＝3×＞5，∴的值所在的区间为（5，6），故选：B．二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9．【解答】解：∵；∴；∴m＝1．故答案为：1．10．【解答】解：在△ABC中，已知a＝1，，，∴sin C＝，由正弦定理可得＝，∴c＝＝4，故答案为：4．11．【解答】解：等差数列{a n}的公差设为d，等比数列{b n}的公比设为q，a1＝﹣1，b1＝2，a3+b2＝﹣1，可得﹣1+2d+2q＝﹣1，即为d＝﹣q，可取d＝﹣1，可得q＝1，则a n＝﹣1﹣（n﹣1）＝﹣n；b n＝2．故答案为：﹣n，2．12．【解答】解：过双曲线的右焦点F作垂直于x轴的直线，交双曲线于A，B两点，O为坐标原点，若△OAB为等腰直角三角形，可得c＝，即ac＝c2﹣a2，可得：e2﹣e﹣1＝0，e＞1，解得：e＝．故答案为：．13．【解答】解：，可得f（x）随着x的增加而减少，故①正确；当1＜x≤30时，f（x）＝+x，f（9）＝+•9＝0.35，9天后，小菲的单词记忆保持量低于40%，故②正确；f（26）＝+•26＞，故③错误．故答案为：①②．14．【解答】解：∵函数f（x）＝x3﹣4x，g（x）＝sinωx（ω＞0）均为奇函数．∴只需考虑∀x∈[0，a]，都有f（x）g（x）≤0即可．∵函数f（x）＝x3﹣4x在[0，2]满足f（x）≤0，在[2，+∞）满足f（x）≥0，∴当且仅当在[0，2]上g（x）≥0，在[2，a]满足g（x）≤0，a才能取到最大值，（如图）．此时，，a＝4．故答案为：4，．三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15．【解答】（共13分）解：（I）设{a n}的公差为d，因为a2+a4＝2a3＝10，所以a3＝5．所以a3﹣a1＝2d＝5﹣1＝4．解得d＝2．所以a n＝a1+（n﹣1）d＝1+（n﹣1）×2＝2n﹣1．……………………………..（7分）（Ⅱ）由（I）知，，所以{b n}的前n项和为＝＝．……………………..（13分）16．【解答】解：（Ⅰ）＝＝＝，所以，f（x）的最小正周期．（Ⅱ）证明：∵，∴，∴，∴，∴，所以对于任意的，都有．17．【解答】解：（Ⅰ）0.10×2+0.05×2＝0.30，即课外阅读时间不小于16小时的样本的频率为0.30．因为500×0.30＝150，所以估计该校所有学生中，2018年10月课外阅读时间不小于16小时的学生人数为150．（5分）（Ⅱ）阅读时间在[18，20]的样本的频率为0.05×2＝0.10．因为50×0.10＝5，即课外阅读时间在[18，20]的样本对应的学生人数为5．这5名学生中有2名女生，3名男生，设女生为A，B，男生为C，D，E，从中抽取2人的所有可能结果是：（A，B），（A，C），（A，D），（A，E），（B，C），（B，D），（B，E），（C，D），（C，E），（D，E）．其中至少抽到1名女生的结果有7个，所以从课外阅读时间在[18，20]的样本对应的学生中随机抽取2人，至少抽到1名女生的概率为p＝…（11分）（Ⅲ）根据题意，0.08×2×11+0.12×2×13+0.15×2×15+0.10×2×17+0.05×2×19＝14.68（小时）．由此估计该校学生2018年10月课外阅读时间的平均数为14.68小时．……………．（13分）18．【解答】（共14分）解：（Ⅰ）因为三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱垂直于底面，所以BB1⊥平面A1B1C1．因为B1C1⊂平面A1B1C1，所以BB1⊥B1C1．又因为B1C1⊥A1B1，A1B1∩BB1＝B1，所以B1C1⊥平面AA1B1B．因为A1B⊂平面AA1B1B，所以A1B⊥B1C1．因为AA1＝AB＝2，所以四边形AA1B1B为菱形．所以A1B⊥AB1．因为B1C1∩AB1＝B1，所以A1B⊥平面AB1C1．……………………………..（5分）（Ⅱ）由已知，BB1⊥平面A1B1C1，A1B1⊂平面A1B1C1，所以BB1⊥A1B1．因为A1B1⊥B1C1，B1C1∩BB1＝B1，所以A1B1⊥平面BB1C1C．又A1B1＝AB＝2，故A1到平面BB1C1C的距离为2．因为E为A1C1中点，所以E点到平面BB1C1C距离为1．所以．……..（9分）（Ⅲ）在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，因为E，H为平面EAB与平面A1B1C1的公共点，所以平面EAB∩平面A1B1C1＝EH．因为平面ABC∥平面A1B1C1，AB⊂平面ABC，所以AB∥平面A1B1C1．又平面A1B1C1∩平面EAB＝EH，所以EH∥AB．又AB∥A1B1，所以EH∥A1B1．因为E为A1C1中点，所以H为B1C1中点．所以．………………………..（14分）19．【解答】解：（Ⅰ）f（x）的定义域为R，f′（x）＝ae x（x+1）﹣x﹣1＝（x+1）（ae x﹣1）．当a＝1时，f′（0）＝0，f（0）＝0，所以曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为y＝0．………………………..（5分）（Ⅱ）f′（x）＝ae x（x+1）﹣x﹣1＝（x+1）（ae x﹣1）．（1）当a≤0时，ae x﹣1＜0，所以当x＞﹣1时，f′（x）＜0；当x＜﹣1时，f′（x）＞0．所以f（x）的单调递增区间为（﹣∞，﹣1），单调递减区间为（﹣1，+∞）．（2）当a＞0时，令f′（x）＝0，得x1＝﹣1，x2＝﹣lna．①当﹣lna＝﹣1，即a＝e时，f′（x）≥0，所以f（x）的单调递增区间为（﹣∞，+∞），无单调递减区间；②当﹣lna＜﹣1，即a＞e时，当﹣lna＜x＜﹣1时，f′（x）＜0；当x＜﹣lna或x＞﹣1时，f′（x）＞0．所以f（x）的单调递减区间为（﹣lna，﹣1），单调递增区间为（﹣∞，﹣lna），（﹣1，+∞）；③当﹣lna＞﹣1，即0＜a＜e时，当﹣1＜x＜﹣lna时，f′（x）＜0；当x＜﹣1或x＞﹣lna时，f′（x）＞0．所以f（x）的单调递减区间为（﹣1，﹣lna），单调递增区间为（﹣∞，﹣1），（﹣lna，∞）．………………………………（12分）20．【解答】（共14分）解：（I）由已知有解得所以椭圆C的方程为．……………………………………（5分）（II）由消去y，整理得（1+2k2）x2+8k2x+（8k2﹣2）＝0．由已知，△＝（8k2）2﹣4（1+2k2）（8k2﹣2）＞0，解得．设A（x1，y1），B（x2，y2），则，．直线l的方程为x﹣2y+2＝0，F1（﹣1，0）到直线l的距离．所以△F1AB的面积为．…………………………………（10分）（III）当x2＝﹣1时，．此时直线l的斜率为，由（II）知不符合题意，所以x2≠﹣1．设直线BF1的斜率为．则直线BF1的方程为y＝t（x+1）．由消去y，整理得（1+2t2）x2+4t2x+（2t2﹣2）＝0．设E（x3，y3），则有．由得，代入上式整理得，解得．因为，将，代入，整理得x3﹣x1＝0，所以x3＝x1．所以直线AE与x轴垂直．……………………………………（14分）。

2018-2018学年北京市东城区高三（上）期末数学试卷（理科）一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．）1．已知集合A={x|（x﹣1）（x﹣3）＜0}，B={x|2＜x＜4}，则A∩B=（）A．{x|1＜x＜3}B．{x|1＜x＜4}C．{x|2＜x＜3}D．{x|2＜x＜4}2．抛物线y2=2x的准线方程是（）A．y=﹣1 B．C．x=﹣1 D．3．“k=1”是“直线与圆x2+y2=9相切”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件4．执行如图所示的程序框图，输出的k值为（）A．6 B．8 C．10 D．125．已知x，y∈R，且x＞y＞0，则（）A．tanx﹣tany＞0 B．xsinx﹣ysiny＞0C．lnx+lny＞0 D．2x﹣2y＞06．已知f（x）是定义在R上的奇函数，且在[0，+∞）上是增函数，则f（x+1）≥0的解集为（）A ．（﹣∞，﹣1]B ．（﹣∞，1]C ．[﹣1，+∞）D ．[1，+∞）7．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（ ）A ．B ．C ．2D ．8．数列{a n }表示第n 天午时某种细菌的数量．细菌在理想条件下第n 天的日增长率r n =0.6（r n =，n ∈N *）．当这种细菌在实际条件下生长时，其日增长率r n 会发生变化．如图描述了细菌在理想和实际两种状态下细菌数量Q 随时间的变化规律．那么，对这种细菌在实际条件下日增长率r n 的规律描述正确的是（ ）A ．B．C．D．二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9．若复数（2﹣i）（a+2i）是纯虚数，则实数a=．10．若x，y满足，则x+2y的最大值为．11．若点P（2，0）到双曲线的一条渐近线的距离为1，则a=．12．在△ABC中，若AB=2，AC=3，∠A=60°，则BC=；若AD⊥BC，则AD=．13．在△ABC所在平面内一点P，满足，延长BP交AC于点D，若，则λ=．14．关于x的方程g（x）=t（t∈R）的实根个数记为f（t）．若g（x）=lnx，则f（t）=；若g（x）=（a∈R），存在t使得f（t+2）＞f （t）成立，则a的取值范围是．三、解答题（共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．）15．已知{a n}是等比数列，满足a1=3，a4=24，数列{a n+b n}是首项为4，公差为1的等差数列．（Ⅰ）求数列{a n}和{b n}的通项公式；（Ⅱ）求数列{b n}的前n项和．16．已知函数部分图象如图所示．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期及图中x0的值；（Ⅱ）求f（x）在区间[0，]上的最大值和最小值．17．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，平面PCD⊥平面ABCD，BC=1，AB=2，，E为PA中点．（Ⅰ）求证：PC∥平面BED；（Ⅱ）求二面角A﹣PC﹣D的余弦值；（Ⅲ）在棱PC上是否存在点M，使得BM⊥AC？若存在，求的值；若不存在，说明理由．18．设函数．（Ⅰ）若f（0）为f（x）的极小值，求a的值；（Ⅱ）若f（x）＞0对x∈（0，+∞）恒成立，求a的最大值．19．已知椭圆C：=1（a＞b＞0）经过点M（2，0），离心率为．A，B是椭圆C上两点，且直线OA，OB的斜率之积为﹣，O为坐标原点．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）若射线OA上的点P满足|PO|=3|OA|，且PB与椭圆交于点Q，求的值．20．已知集合A n={（x1，x2，…，x n）|x i∈{﹣1，1}（i=1，2，…，n）}．x，y∈A n，x=（x1，x2，…，x n），y=（y1，y2，…，y n），其中x i，y i∈{﹣1，1}（i=1，2，…，n）．定义x⊙y=x1y1+x2y2+…+x n y n．若x⊙y=0，则称x与y正交．（Ⅰ）若x=（1，1，1，1），写出A4中与x正交的所有元素；（Ⅱ）令B={x⊙y|x，y∈A n}．若m∈B，证明：m+n为偶数；（Ⅲ）若A⊆A n，且A中任意两个元素均正交，分别求出n=8，14时，A中最多可以有多少个元素．2018-2018学年北京市东城区高三（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．）1．已知集合A={x|（x﹣1）（x﹣3）＜0}，B={x|2＜x＜4}，则A∩B=（）A．{x|1＜x＜3}B．{x|1＜x＜4}C．{x|2＜x＜3}D．{x|2＜x＜4}【考点】交集及其运算．【分析】化简集合A，由集合交集的定义，即可得到所求．【解答】解：集合A={x|（x﹣1）（x﹣3）＜0}={x|1＜x＜3}，B={x|2＜x＜4}，则A∩B={x|2＜x＜3}．故选：C．2．抛物线y2=2x的准线方程是（）A．y=﹣1 B．C．x=﹣1 D．【考点】抛物线的简单性质．【分析】直接利用抛物线方程写出准线方程即可．【解答】解：抛物线y2=2x的准线方程是：x=﹣．故选：D．3．“k=1”是“直线与圆x2+y2=9相切”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】根据直线和圆相切得到关于k的方程，解出即可．【解答】解：若直线与圆x2+y2=9相切，则由得：（1+k 2）x 2﹣6kx +9=0，故△=72k 2﹣36（1+k 2）=0，解得：k=±1，故“k=1”是“直线与圆x 2+y 2=9相切”的充分不必要条件，故选：A ．4．执行如图所示的程序框图，输出的k 值为（ ）A ．6B ．8C ．10D ．12【考点】程序框图．【分析】模拟程序的运行，依次写出每次循环得到的k ，S 的值，可得当S=时不满足条件S ≤，退出循环，输出k 的值为8，即可得解．【解答】解：模拟程序的运行，可得 S=0，k=0满足条件S ≤，执行循环体，k=2，S=满足条件S ≤，执行循环体，k=4，S=+满足条件S ≤，执行循环体，k=6，S=++满足条件S ≤，执行循环体，k=8，S=+++=不满足条件S ≤，退出循环，输出k 的值为8．故选：B ．5．已知x ，y ∈R ，且x ＞y ＞0，则（ ） A ．tanx ﹣tany ＞0 B ．xsinx ﹣ysiny ＞0 C ．lnx +lny ＞0 D ．2x ﹣2y ＞0 【考点】函数单调性的性质．【分析】利用函数单调性和特殊值依次判断选项即可． 【解答】解：x ，y ∈R ，且x ＞y ＞0，对于A ：当x=，y=时，tan=，tan =，显然不成立；对于B ：当x=π，y=时，πsinπ=﹣π，﹣sin=﹣1，显然不成立；对于C ：lnx +lny ＞0，即ln （xy ）＞ln1，可得xy ＞0，∵x ＞y ＞0，那么xy 不一定大于0，显然不成立；对于D ：2x ﹣2y ＞0，即2x ＞2y ，根据指数函数的性质可知：x ＞y ，恒成立． 故选D6．已知f （x ）是定义在R 上的奇函数，且在[0，+∞）上是增函数，则f （x +1）≥0的解集为（ ） A ．（﹣∞，﹣1]B ．（﹣∞，1]C ．[﹣1，+∞）D ．[1，+∞）【考点】奇偶性与单调性的综合．【分析】根据函数奇偶性和单调性之间的关系进行转化求解即可．【解答】解：∵f （x ）是定义在R 上的奇函数，且在[0，+∞）上是增函数， ∴函数在（﹣∞，+∞）上是增函数， ∵f （0）=0，∴不等式f （x +1）≥0等价为f （x +1）≥f （0）， 则x +1≥0，得x ≥﹣1，即不等式的解集为[﹣1，+∞）， 故选：C7．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（）A．B．C．2 D．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；由三视图求面积、体积．【分析】由已知中的三视图可得：该几何体是一个以俯视图中右下角的三角形为底面的三棱锥，代入棱锥体积公式，可得答案．【解答】解：由已知中的三视图可得：该几何体是一个以俯视图中左上角的三角形为底面的三棱锥，其直观图如下图所示：其底面面积S=×2×2=2，高h=2，故棱锥的体积V==，故选：B．8．数列{a n}表示第n天午时某种细菌的数量．细菌在理想条件下第n天的日增长率r n=0.6（r n=，n∈N*）．当这种细菌在实际条件下生长时，其日增长率r n会发生变化．如图描述了细菌在理想和实际两种状态下细菌数量Q随时间的变化规律．那么，对这种细菌在实际条件下日增长率r n的规律描述正确的是（）A．B．C．D．【考点】散点图．【分析】由图象可知，第一天到第六天，实际情况与理想情况重合，r1=r2=r6=0.6为定值，而实际情况在第10天后增长率是降低的，并且降低的速度是变小的，即可得出结论．【解答】解：由图象可知，第一天到第六天，实际情况与理想情况重合，r1=r2=r6=0.6为定值，而实际情况在第10天后增长率是降低的，并且降低的速度是变小的，故选B．二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9．若复数（2﹣i）（a+2i）是纯虚数，则实数a=﹣1．【考点】复数的基本概念．【分析】利用复数的运算法则、纯虚数的定义即可得出．【解答】解：∵复数（2﹣i）（a+2i）=（2a+2）+（4﹣a）i是纯虚数，∴2a+2=0，4﹣a≠0，解得a=﹣1．故答案为：﹣1．10．若x，y满足，则x+2y的最大值为6．【考点】简单线性规划．【分析】设z=x+2y，作出不等式组对应的平面区域，利用线性规划的知识进行求解即可．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域，设z=x+2y，由z=x+2y，得y=，平移直线y=，由图象可知当直线经过点A时，直线y=的截距最大，此时z最大，由，得，即A（2，2）此时z=2+2×2=6．故答案为：611．若点P（2，0）到双曲线的一条渐近线的距离为1，则a=．【考点】直线与双曲线的位置关系；双曲线的简单性质．【分析】求出双曲线的渐近线方程，利用点到直线的距离公式列出方程求解即可．【解答】解：双曲线的一条渐近线方程为：x+ay=0，点P（2，0）到双曲线的一条渐近线的距离为1，可得：=1，解得a=．故答案为：．12．在△ABC中，若AB=2，AC=3，∠A=60°，则BC=；若AD⊥BC，则AD=．【考点】三角形中的几何计算．【分析】利用余弦定理求BC，利用面积公式求出AD．【解答】解：∵AB=2，AC=3，∠A=60°，∴由余弦定理可得BC==，=，∴AD=，故答案为，．13．在△ABC所在平面内一点P，满足，延长BP交AC于点D，若，则λ=．【考点】平面向量的基本定理及其意义．【分析】用特殊值法，不妨设△ABC是等腰直角三角形，腰长AB=AC=1，建立直角坐标系，利用坐标法和向量共线，求出点D的坐标，即可得出λ的值．【解答】解：根据题意，不妨设△ABC是等腰直角三角形，且腰长AB=AC=1，建立直角坐标系，如图所示，则A（0，0），B（1，0），C（0，1），∴=（1，0），=（0，1）；∴=+=（，），∴=﹣=（﹣，）；设点D（0，y），则=（﹣1，y），由、共线，得y=，∴=（0，），=（0，1），当时，λ=．故答案为：．14．关于x的方程g（x）=t（t∈R）的实根个数记为f（t）．若g（x）=lnx，则f（t）=1；若g（x）=（a∈R），存在t使得f（t+2）＞f（t）成立，则a的取值范围是a＞1．【考点】分段函数的应用．【分析】若g（x）=lnx，则函数的值域为R，且函数为单调函数，故方程g（x）=t有且只有一个根，故f（t）=1，若g（x）=（a∈R），存在t使得f（t+2）＞f（t）成立，则x＞0时，函数的最大值大于2，且对称轴位于y轴右侧，解得答案．【解答】解：若g（x）=lnx，则函数的值域为R，且函数为单调函数，故方程g（x）=t有且只有一个根，故f（t）=1，g（x）=，当t≤0时，f（t）=1恒成立，若存在t使得f（t+2）＞f（t）成立，则x＞0时，函数的最大值大于2，且对称轴位于y轴右侧，即，解得：a＞1，故答案为：1，a＞1三、解答题（共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．）15．已知{a n}是等比数列，满足a1=3，a4=24，数列{a n+b n}是首项为4，公差为1的等差数列．（Ⅰ）求数列{a n}和{b n}的通项公式；（Ⅱ）求数列{b n}的前n项和．【考点】数列的求和；等差数列与等比数列的综合．【分析】（Ⅰ）利用等差数列、等比数列的通项公式先求得公差和公比，即可求数列的通项公式；（Ⅱ）利用分组求和的方法求解数列的和，由等差数列及等比数列的前n项和公式即可求解数列的和．【解答】解：（Ⅰ）设等比数列{a n}的公比为q．a1=3，a4=24得q3==8，q=2．所以a n=3•2n﹣1．又数列{a n+b n}是首项为4，公差为1的等差数列，所以a n+b n=4+（n﹣1）=n+3．从而b n=n+3﹣3•2n﹣1．（Ⅱ）由（Ⅰ）知b n=n+3﹣3•2n﹣1．数列{n+3}的前n项和为．数列{3•2n﹣1}的前n项和为=3×2n﹣3．所以，数列{b n}的前n项和为为﹣3×2n+3．16．已知函数部分图象如图所示．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期及图中x0的值；（Ⅱ）求f（x）在区间[0，]上的最大值和最小值．【考点】三角函数的周期性及其求法；由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【分析】（Ⅰ）根据函数的部分图象得出最小正周期T以及x0的值；（Ⅱ）写出f（x）的解析式，利用正弦函数的图象与性质即可求出f（x）在区间[0，]上的最值．【解答】解：（Ⅰ）∵函数，∴函数的最小正周期为T==π；…因为点（0，1）在f（x）=2sin（2x+φ）的图象上，所以2sin（2×0+φ）=1；又因为|φ|＜，所以φ=，…令2x+=，解得x=，所以x0=π+=；…（Ⅱ）由（Ⅰ）知f（x）=2sin（2x+），因为0≤x≤，所以≤2x+≤；当2x+=，即x=时，f（x）取得最大值2；当2x+=，即x=时，f（x）取得最小值﹣1．…17．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，平面PCD⊥平面ABCD，BC=1，AB=2，，E为PA中点．（Ⅰ）求证：PC∥平面BED；（Ⅱ）求二面角A﹣PC﹣D的余弦值；（Ⅲ）在棱PC上是否存在点M，使得BM⊥AC？若存在，求的值；若不存在，说明理由．【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的性质．【分析】（Ⅰ）设AC与BD的交点为F，连结EF，推导出EF∥PC．由此能证明PC∥平面BED．（Ⅱ）取CD中点O，连结PO．推导出PO⊥CD，取AB中点G，连结OG，建立空间直角坐标系O﹣xyz，利用向量法能求出二面角A﹣PC﹣B的余弦值．（Ⅲ）设M是棱PC上一点，则存在λ∈[0，1]使得．利用向量法能求出在棱PC上存在点M，使得BM⊥AC．此时，=【解答】（共14分）证明：（Ⅰ）设AC与BD的交点为F，连结EF．因为ABCD为矩形，所以F为AC的中点．在△PAC中，由已知E为PA中点，所以EF∥PC．又EF⊂平面BFD，PC⊄平面BFD，所以PC∥平面BED．…（Ⅱ）取CD中点O，连结PO．因为△PCD是等腰三角形，O为CD的中点，所以PO⊥CD．又因为平面PCD⊥平面ABCD，PO⊂平面PCD，所以PO⊥平面ABCD．取AB中点G，连结OG，由题设知四边形ABCD为矩形，所以OF⊥CD．所以PO⊥OG．…如图建立空间直角坐标系O﹣xyz，则A（1，﹣1，0），C（0，1，0），P（0，0，1），D（0，﹣1，0），B（1，1，0），O（0，0，0），G（1，0，0）．=（﹣1，2，0），=（0，1，﹣1）．设平面PAC的法向量为=（x，y，z），则，令z=1，得=（2，1，1）．平面PCD的法向量为=（1，0，0）．设的夹角为α，所以cosα==．由图可知二面角A﹣PC﹣D为锐角，所以二面角A﹣PC﹣B的余弦值为．…（Ⅲ）设M是棱PC上一点，则存在λ∈[0，1]使得．因此点M（0，λ，1﹣λ），=（﹣1，λ﹣1，1﹣λ），=（﹣1，2，0）．由，得1+2（λ﹣1）=0，解得．因为∈[0，1]，所以在棱PC上存在点M，使得BM⊥AC．此时，=．…18．设函数．（Ⅰ）若f（0）为f（x）的极小值，求a的值；（Ⅱ）若f（x）＞0对x∈（0，+∞）恒成立，求a的最大值．【考点】利用导数研究函数的极值；导数在最大值、最小值问题中的应用．【分析】（Ⅰ）求出函数f（x）的导数，计算f′（0）=0，求出a的值检验即可；（Ⅱ）通过讨论a的范围判断函数的单调性结合f（x）＞0对x∈（0，+∞）恒成立，求出a的具体范围即可．【解答】解：（Ⅰ）f（x）的定义域为（﹣1，+∞），因为，所以f′（x）=﹣，因为f（0）为f（x）的极小值，所以f′（0）=0，即﹣=0，所以a=1，此时，f′（x）=，当x∈（﹣1，0）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减；当x∈（0，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增．所以f（x）在x=0处取得极小值，所以a=1．…（Ⅱ）由（Ⅰ）知当a=1时，f（x）在[0，+∞）上为单调递增函数，所以f（x）＞f（0）=0，所以f（x）＞0对x∈（0，+∞）恒成立．因此，当a＜1时，f（x）=ln（x+1）﹣＞ln（x+1）﹣＞0，f（x）＞0对x∈（0，+∞）恒成立．当a＞1时，f′（x）=，所以，当x∈（0，a﹣1）时，f′（x）＜0，因为f（x）在[0，a﹣1）上单调递减，所以f（a﹣1）＜f（0）=0，所以当a＞1时，f（x）＞0并非对x∈（0，+∞）恒成立．综上，a的最大值为1．…19．已知椭圆C：=1（a＞b＞0）经过点M（2，0），离心率为．A，B是椭圆C上两点，且直线OA，OB的斜率之积为﹣，O为坐标原点．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）若射线OA上的点P满足|PO|=3|OA|，且PB与椭圆交于点Q，求的值．【考点】直线与椭圆的位置关系；椭圆的标准方程．【分析】（Ⅰ）由题意得，求出b，由此能求出椭圆C的方程；（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），Q（x3，y3），求出p点的坐标，由B，Q，P 三点共线，得，联立方程组求解得x3，y3，再结合已知条件能求出λ值，则的值可求．【解答】解：（Ⅰ）由题意得，解得．∴椭圆C的方程为；（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），Q（x3，y3），∵点P在直线AO上且满足|PO|=3|OA|，∴P（3x1，3y1）．∵B，Q，P三点共线，∴．∴（3x1﹣x2，3y1﹣y2）=λ（x3﹣x2，y3﹣y2），即，解得，∵点Q在椭圆C上，∴．∴．即，∵A，B在椭圆C上，∴，．∵直线OA，OB的斜率之积为，∴，即．∴，解得λ=5．∴=|λ|=5．20．已知集合A n={（x1，x2，…，x n）|x i∈{﹣1，1}（i=1，2，…，n）}．x，y∈A n，x=（x1，x2，…，x n），y=（y1，y2，…，y n），其中x i，y i∈{﹣1，1}（i=1，2，…，n）．定义x⊙y=x1y1+x2y2+…+x n y n．若x⊙y=0，则称x与y正交．（Ⅰ）若x=（1，1，1，1），写出A4中与x正交的所有元素；（Ⅱ）令B={x⊙y|x，y∈A n}．若m∈B，证明：m+n为偶数；（Ⅲ）若A⊆A n，且A中任意两个元素均正交，分别求出n=8，14时，A中最多可以有多少个元素．【考点】数列的应用．【分析】（Ⅰ）由子集定义直接写出答案；（Ⅱ）根据题意分别表示出m，n即可；（Ⅲ）根据两个元素均正交的定义，分别求出n=8，14时，A中最多可以有多少个元素即可．【解答】解：（Ⅰ）A4中所有与x正交的元素为（﹣1，﹣1，1，1）（1，1，﹣1，﹣1），（﹣1，1，﹣1，1），（﹣1，1，1，﹣1），（1，﹣1，﹣1，1），（1，﹣1，1，﹣1）．…（Ⅱ）对于m∈B，存在x=（x1，x2，…，x n），x i∈{﹣1，1}，y=（y1，y2，…，y n），其中x i，y i∈{﹣1，1}；使得x⊙y=m．令，；当x i=y i时，x i y i=1，当x i≠y i时，x i y i=﹣1．那么x⊙y=．所以m+n=2k﹣n+n=2k为偶数．…（Ⅲ）8个，2个n=8时，不妨设x1=，x2=（﹣1，﹣1，﹣1，﹣1，1，1，1，1）．（1，1，1，1，1，1，1，1）在考虑n=4时，共有四种互相正交的情况即：（1，1，1，1），（﹣1，1，﹣1，1），（﹣1，﹣1，1，1），（1，﹣1，﹣1，1）分别与x1，x2搭配，可形成8种情况．所以n=8时，A中最多可以有8个元素．…N=14时，不妨设y1=（1，1…1，1），（14个1），y2=（﹣1，﹣1…﹣1，1，1…1）（7个1，7个﹣1），则y1与y2正交．令a=（a1，a2，…a14），b=（b1，b2，…b14），c=（c1，c2，…c14）且它们互相正交．设a、b、c相应位置数字都相同的共有k个，除去这k列外a、b相应位置数字都相同的共有m个，c、b相应位置数字都相同的共有n个．则a⊙b=m+k﹣（14﹣m﹣k）=2m+2k﹣14．所以m+k=7，同理n+k=7．可得m=n．由于a⊙c=﹣m﹣m+k+（14﹣k﹣2m）=0，可得2m=7，m=矛盾．所以任意三个元素都不正交．综上，n=14时，A中最多可以有2个元素．…2018年1月21日。

北京市东城区2018-2018学年度综合练习（一）高三数学 （文科）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至9页，共150分。

考试时间120分钟。

考试结束，将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷（选择题 共40分）注意事项：1． 答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上。

2． 每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

不能答在试卷上。

一、选择题：本大题共8小题。

每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．设集合P={1，2，3，4，5}，集合Q={5x 2R x ≤≤∈}，那么下列结论正确的是（C ）A ．P Q P =B ．Q Q P ⊃C ．P Q P ⊂D ．Q Q P =2．已知R n m ∈,，则“0≠m ”是“0≠mn ”的 （B ）A ．充分但不必要条件B ．必要但不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．若直线0c y 3x =+-按向量a (1,1)=-平移后与圆10y x 22=+相切，则c 的值为（ A ） A ．14或-6 B ．12或-8 C ．8或-12 D ．6或-14 4．在等差数列{}n a 中，有48)a a a (2)a a (31310753=++++，则此数列的前13项之和为 （Ｃ） A ．24 B ．39 C ．52 D ．1185．一平面截球得到直径是6cm 的圆面，球心到这个平面的距离是4cm ，则该球的体积是（ C ） A ．3cm 3100π B ．3cm 3208π C.．3cm 3500π D ．3cm 3416π6． 若指数函数()(01)x f x a a a =>≠且的部分对应值如下表：则不等式1-f(|x|)<0的解集为 ( D )A ．{}1x 1x <<-B ．{}1x 1x >-<或x C ．{}1x 0x << D ．{}1x 00x 1x <<<<-或7．三个人踢毽，互相传递，每人每次只能踢一下，由甲开始踢，经过5次传递后，毽又踢回给甲，则不同的传递方式共有 （C ） A.6种 B. 8种 C. 10种 D.16种 8.设函数)(x f 是定义在R 上的以3为周期的奇函数，若143)2(,1)1(+-=>a a f f ，则a 的取值范围是 （ D ） A.43<a B.143≠<a a 且 C.143-<>a a 或 D.431<<-a北京市东城区2018-2018学年度综合练习（一）高三数学（文科）第Ⅱ卷（共110分）注意事项：1.用钢笔或圆珠笔将答案直接写在试卷上。

2018-2019学年北京市东城区高三（上）期末数学试卷（理科）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．（5分）若集合A＝{x|﹣2＜x≤0}，B＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，则A∩B＝（）A．{﹣2，﹣1}B．{﹣2，0}C．{﹣1，0}D．{﹣2，﹣1，0} 2．（5分）下列复数为纯虚数的是（）A．1+i2B．i+i2C．D．（1﹣i）23．（5分）下列函数中，是奇函数且存在零点的是（）A．y＝x3+x B．y＝log2x C．y＝2x2﹣3D．4．（5分）执行如图所示的程序框图，如果输入n＝5，m＝3，则输出p的等于（）A．3B．12C．60D．3605．（5分）“”是“函数的图象关于直线x＝m对称”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件6．（5分）某三棱锥的三视图如图所示，在此三棱锥的六条棱中，最长棱的长度为（）A．2B．C．D．37．（5分）在极坐标系中，下列方程为圆ρ＝2sinθ的切线方程的是（）A．ρcosθ＝2B．ρ＝2cosθC．ρcosθ＝﹣1D．ρsinθ＝﹣1 8．（5分）地震里氏震级是地震强度大小的一种度量．地震释放的能量E（单位：焦耳）与地震里氏震级M之间的关系为lgE＝4.8+1.5M．已知两次地震的里氏震级分别为8.0级和7.5级，若它们释放的能量分别为E1和E2，则的值所在的区间为（）A．（1，2）B．（5，6）C．（7，8）D．（15，16）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9．（5分）若x，y满足，则x+2y的最小值为．10．（5分）已知双曲线﹣＝1的一个焦点为（2，0），则m＝．11．（5分）若等差数列{a n}和等比数列{b n}满足a1＝﹣1，b1＝2，a3+b2＝﹣1，试写出一组满足条件的数列{a n}和{b n}的通项公式：a n＝，b n＝．12．（5分）在菱形ABCD中，若，则的值为．13．（5分）函数在区间上的最大值为．14．（5分）已知函数f（x）为定义域为R，设F f（x）＝．①若f（x）＝，则F f（1）＝；②若f（x）＝e a﹣|x|﹣1，且对任意x∈R，F f（x）＝f（x），则实数a的取值范围为．三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15．（13分）在△ABC中，．（Ⅰ）求∠B的大小；（Ⅱ）若△ABC的面积为a2，求cos A的值．16．（13分）某中学有学生500人，学校为了解学生的课外阅读时间，从中随机抽取了50名学生，获得了他们某一个月课外阅读时间的数据（单位：小时），将数据分为5组：[10，12），[12，14），[14，16），[16，18），[18，20]，整理得到如图所示的频率分布直方图．（Ⅰ）求频率分布直方图中的x的值；（Ⅱ）试估计该校所有学生中，课外阅读时间不小于16小时的学生人数；（Ⅲ）已知课外阅读时间在[10，12）的样本学生中有3名女生，现从阅读时间在[10，12）的样本学生中随机抽取3人，记X为抽到女生的人数，求X的分布列与数学期望E（X）．17．（14分）如图1，在四边形ABCD中，AD∥BC，BC＝2AD，E，F分别为AD，BC的中点，AE＝EF，．将四边形ABFE沿EF折起，使平面ABFE⊥平面EFCD（如图2），G是BF的中点．（Ⅰ）证明：AC⊥EG；（Ⅱ）在线段BC上是否存在一点H，使得DH∥平面ABFE？若存在，求的值；若不存在，说明理由；（Ⅲ）求二面角D﹣AC﹣F的大小．18．（13分）已知函数f（x）＝axe x﹣x2﹣2x．（Ⅰ）当a＝1时，求曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；（Ⅱ）当x＞0时，若曲线y＝f（x）在直线y＝﹣x的上方，求实数a的取值范围．19．（13分）已知椭圆过点P（2，1）．（Ⅰ）求椭圆C的方程，并求其离心率；（Ⅱ）过点P作x轴的垂线l，设点A为第四象限内一点且在椭圆C上（点A不在直线l 上），点A关于l的对称点为A'，直线A'P与C交于另一点B．设O为原点，判断直线AB与直线OP的位置关系，并说明理由．20．（14分）对给定的d∈N*，记由数列构成的集合．（Ⅰ）若数列{a n}∈Ω（2），写出a3的所有可能取值；（Ⅱ）对于集合Ω（d），若d≥2．求证：存在整数k，使得对Ω（d）中的任意数列{a n}，整数k不是数列{a n}中的项；（Ⅲ）已知数列{a n}，{b n}∈Ω（d），记{a n}，{b n}的前n项和分别为A n，B n．若|a n+1|≤|b n+1|，求证：A n≤B n．2018-2019学年北京市东城区高三（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．【解答】解：∵集合A表示﹣2到0的所有实数，集合B表示5个整数的集合，∴A∩B＝{﹣1，0}，故选：C．2．【解答】解：∵1+i2＝1﹣1＝0，i+i2＝i﹣1，，（1﹣i）2＝1﹣2i+i2＝﹣2i．∴为纯虚数的是（1﹣i）2．故选：D．3．【解答】解：对于选项A：y＝x3+x为奇函数，且存在零点为x＝0，与题意相符，对于选项B：y＝iog2x为非奇非偶函数，与题意不符，对于选项C：y＝2x2﹣3为偶函数，与题意不符，对于选项D：y＝不存在零点，与题意不符，故选：A．4．【解答】解：模拟执行程序，可得n＝5，m＝3，k＝1，p＝1，p＝3，满足条件k＜m，执行循环体，k＝2，p＝12，满足条件k＜m，执行循环体，k＝3，p＝60，不满足条件k＜m，退出循环，输出p的值为60．故选：C．5．【解答】解：若函数的图象关于直线x＝m，则2m+＝kπ，得m＝﹣+，当k＝1时，m＝，即“”是“函数的图象关于直线x＝m对称”的充分不必要条件，故选：A．6．【解答】解：由三棱锥的三视图知该三棱锥是如图所示的三棱锥P﹣ABC，其中P A⊥底面ABC，AC⊥BC，P A＝AC＝2，BC＝1，∴PB＝＝＝3，∴在该三棱锥中，最长的棱长为PB＝3．故选：D．7．【解答】解：圆ρ＝2sinθ，即ρ2＝2ρsinθ，∴圆的直角坐标方程为x2+y2＝2y，即x2+（y﹣1）2＝1，圆心为（0，1），半径r＝1，在A中，ρcosθ＝2即x＝2，圆心（0，1）到x＝2的距离d＝2＞r＝1，故ρcosθ＝2不是圆的切线，故A错误；在B中，ρ＝2cosθ是圆，不是直线，故B错误；在C中，ρcosθ＝﹣1即x＝﹣1，圆心（0，1）到x＝﹣1的距离d＝1＝r＝1，故ρcosθ＝﹣1是圆的切线，故C正确；在D中，ρsinθ＝﹣1即y＝﹣1，圆心（0，1）到y＝﹣1的距离d＝2＞r＝1，故ρsinθ＝﹣1不是圆的切线，故D错误．故选：C．8．【解答】解：lgE＝4.8+1.5M，∴lgE1＝4.8+1.5×8＝16.8，lgE2＝4.8+1.5×7.5＝16.05，∴E1＝1016.8，E2＝1016.05，∴＝100.75，∵100.75＞90.75＝31.5＝3×＞5，∴的值所在的区间为（5，6），故选：B．二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9．【解答】解：作出x，y满足对应的平面区域，由z＝x+2y，得y＝﹣x+，平移直线y＝﹣x+，由，解得A（2，1）由图象可知当直线经过点A（2，1）时，直线y＝﹣x+的截距最小，此时z最小，此时z＝2+2×1＝4．故答案为：4．10．【解答】解：双曲线﹣＝1的一个焦点为（2，0），即c＝，解得m＝3，故答案为：3．11．【解答】解：等差数列{a n}的公差设为d，等比数列{b n}的公比设为q，a1＝﹣1，b1＝2，a3+b2＝﹣1，可得﹣1+2d+2q＝﹣1，即为d＝﹣q，可取d＝﹣1，可得q＝1，则a n＝﹣1﹣（n﹣1）＝﹣n；b n＝2．故答案为：﹣n，2．12．【解答】解：菱形ABCD中，，则＝•＝||×||×cos∠CBD＝||×||＝×＝．故答案为：．13．【解答】解：函数＝sin x cos﹣cos x sin+cos x cos +sin x sin＝sin x；∵x∈上∴当x＝时，f（x）取得最大值为sin＝．故答案为：14．【解答】解：①若f（x）＝，由|f（x）|≤1，可得x2≤1+x2，成立，即有F f（x）＝f（x）＝，则F f（1）＝；②若f（x）＝e a﹣|x|﹣1，且对任意x∈R，F f（x）＝f（x），可得|f（x）|≤1恒成立，即为﹣1≤e a﹣|x|﹣1≤1，即有0≤e a﹣|x|≤2，可得a﹣|x|≤ln2，即a≤|x|+ln2，由|x|+ln2的最小值为ln2，则a≤ln2．故答案为：，（﹣∞，ln2]．三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15．【解答】（本题满分为13分）解：（Ⅰ）在△ABC中，由正弦定理可得：c sin A＝a sin C，所以：cos B＝＝，又0＜∠B＜π，．…（5分）（Ⅱ）因为△ABC的面积为a2＝ac sin，∴c＝2，．．…（13分）16．【解答】（共13分）解：（Ⅰ）由0.05×2+0.08×2+0.10×2+0.12×2+2x＝1，可得x＝0.15…（3分）（Ⅱ）0.10×2+0.05×2＝0.30，即课外阅读时间不小于16个小时的学生样本的频率为0.30.500×0.30＝150，所以可估计该校所有学生中，课外阅读时间不小于16个小时的学生人数为150．…（6分）（Ⅲ）课外阅读时间在[10，12）的学生样本的频率为0.08×2＝0.16，50×0.16＝8，即阅读时间在[10，12）的学生样本人数为8，8名学生为3名女生，5名男生，随机变量X的所有可能取值为0，1，2，3，；；；．所以X的分布列为：故X的期望…（13分）17．【解答】证明：（Ⅰ）在图1中，，可得△AEF为等腰直角三角形，AE⊥EF．因为AD∥BC，所以EF⊥BF，EF⊥FC．因为平面ABFE⊥平面EFCD，且两平面交于EF，CF⊂平面CDEF，所以CF⊥平面ABFE．又EG⊂平面ABFE，故CF⊥EG；由G为中点，可知四边形AEFG为正方形，所以AF⊥EG；又AF∩FC＝F，所以EG⊥平面AFC．又AC⊂平面AFC，所以AC⊥EG…（4分）解：（II）由（Ⅰ）知：FE，FC，FB两两垂直，如图建立空间直角坐标系F﹣xyz，设FE＝1，则F（0，0，0），C（0，2，0），B（0，0，2），D（1，1，0）．设H是线段BC上一点，．．由（Ⅰ）知为平面ABFE的法向量，＝（0，2，0），因为DH⊄平面ABFE，，即（﹣1，2λ﹣1，2﹣2λ）•（0，2，0）＝0.．．…（9分）（III）设A（1，0，1），E（1，0，0），G（0，0，1）．由（I）可得，．，设平面ACD的法向量为n＝（x，y，z），由令x＝1，则y＝1，z＝1．于是n＝（1，1，1）．．所以二面角D﹣AC﹣F的大小为90°…（14分）18．【解答】解：（Ⅰ）当a＝1时，f（x）＝xe x﹣x2﹣2x，其导数f'（x）＝e x（x+1）﹣2x ﹣2，f'（0）＝﹣1．又因为f（0）＝0，所以曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为y＝﹣x；（Ⅱ）根据题意，当x＞0时，“曲线y＝f（x）在直线y＝﹣x的上方”等价于“axe x﹣x2﹣2x＞﹣x恒成立”，又由x＞0，则axe x﹣x2﹣2x＞﹣x⇒ae x﹣x﹣1＞0⇒a＞，则原问题等价于a＞恒成立；设g（x）＝，则g′（x）＝﹣，又由x＞0，则g′（x）＜0，则函数g（x）在区间（0，+∞）上递减，又由g（0）＝＝1，则有＜1，若a＞恒成立，必有a≥1，即a的取值范围为[1，+∞）．19．【解答】解：（Ⅰ）由椭圆方程椭圆过点P（2，1），可得a2＝8．所以c2＝a2﹣2＝8﹣2＝6，所以椭圆C的方程为+＝1，离心率e＝＝，（Ⅱ）直线AB与直线OP平行．证明如下：设直线P A：y﹣1＝k（x﹣2），PB：y﹣1＝﹣k（x﹣2），设点A的坐标为（x1，y1），B（x2，y2），由得（4k2+1）x2+8k（1﹣2k）x+16k2﹣16k﹣4＝0，∴2x1＝，∴x1＝同理x2＝，所以x1﹣x2＝﹣，由y1＝kx1﹣2k+1，y2＝﹣kx1+2k+1有y1﹣y2＝k（x1+x2）﹣4k＝﹣，因为A在第四象限，所以k≠0，且A不在直线OP上．∴k AB＝＝，又k OP＝，故k AB＝k OP，所以直线AB与直线OP平行．20．【解答】（共14分）解：（Ⅰ）由于数列{a n}∈Ω（2），即d＝2，a1＝1．由已知有|a2|＝|a1+d|＝|1+2|＝3，所以a2＝±3，|a3|＝|a2+d|＝|a2+2|，将a2＝±3代入得a3的所有可能取值为﹣5，﹣1，1，5．…（4分）证明：（Ⅱ）先应用数学归纳法证明数列：若{a n}∈Ω（d），则a n具有md±1，（m∈Z）的形式．①当n＝1时，a1＝0•d+1，因此n＝1时结论成立．②假设当n＝k（k∈N*）时结论成立，即存在整数m0，使得a k＝m0d0±1成立．当n＝k+1时，|a n+1|＝|m0d0±1+d0|＝|（m0+1）d0±1|，a k+1＝（m0+1）d±1，或a k+1＝﹣（m0+1）±1，所以当n＝k+1时结论也成立．由①②可知，若数列{a n}∈Ω（d）对任意n∈N*，a n具有md±1（m∈Z）的形式．由于a n具有md±1（m∈Z）的形式，以及d≥2，可得a n不是d的整数倍．故取整数k＝d，则整数k均不是数列{a n}中的项…（9分）（Ⅲ）由|a n+1|＝|a n+d|，可得：＝，所以有＝+2a n d+d2，＝+2a n﹣1d+d2，，…＝，以上各式相加可得，即A n＝﹣，同理B n＝﹣，当|a n+1|≤|b n+1|时，有，∵d∈N*，∴≤，∴≤﹣，∴A n≤B n．…（14分）。