圆的面积例题(课堂PPT)

换算错误
进行单位换算时，应遵循正确的换算 关系。例如，1米等于100厘米，而不 是10厘米或1000厘米。
误区二：混淆直径与半径概念
概念不清
应明确半径是圆的任意一点到圆心的距离，而直径是通过圆心且两端都在圆上的线段。半径是直径的一半。
应用错误
在计算圆的面积时，应使用半径而不是直径。若题目给出的是直径，应将其除以2得到半径后再进行计算。
多边形内切圆与外接圆面积关系推导
正多边形情况
对于正多边形，其内切圆半径r与外接圆半径R之比为r:R=1:2，进而可推导出正多边形 内切圆面积与外接圆面积之比为πr²:πR²=1:4。
一般多边形情况
对于一般多边形，由于其各边长度和角度不均等，内切圆半径r与外接圆半径R之比不具 有固定值。但可以通过计算多边形各顶点到内切圆圆心的距离平均值来估算内切圆半径
圆的面积计算公式推导
• 推导过程：假设圆的半径为r，将圆划分为无数个小的扇形，每个扇形的面积近似于一个三角形。三角形的底为圆的周长（ 2πr），高为半径（r）。因此，圆的面积可以表示为无数个三角形面积之和，即S=πr²。
CHAPTER 02
圆的面积计算方法详解
直接法计算圆的面积
01
02
03
公式推导
求解组合图形的面积
当需要求解由圆和其他图形组合而成的复杂图形的面积时，可以通过圆的面积 公式来求解。
圆的面积在物理学中的应用
计算物体的转动惯量
在物理学中，转动惯量是一个物体对于旋转运动的惯性大小 的度量，而圆的面积公式可以用于计算某些形状物体的转动 惯量。
计算电磁场的能量
在电磁学中，电磁场的能量密度与场的分布有关，而场的分 布又与某些几何形状的面积有关，因此圆的面积公式也被用 于计算电磁场的能量。

=πr2
S =πr2
=π
40
例：一个自动旋转喷水器的最
远喷水距离大约是5米。它旋
转一周后喷灌的面积约有多少
平方米？
5
是
自
个
一
：
例
41
3.14×52
先算52是多少。
=3.14×25
=78.5(平方米)
也可以这样计算：
S =πr2 =π×52 = 25π
答：喷灌的面 积约有78.5平方米
。
5
3
算
先
2.14×52
平方的3倍多一些。
正方形的面积/ccm
m22
圆的半径/cm
圆的面积/cm2
圆的面积大约等
于半径×半径×3。
圆面积大约是正方形面积的
几倍（精确到十分位）
25
5
78
3.1
36
6
112
3.1
h
a
S=ah
haS=ah
8
9
三角形面积的推导过程
梯形面积的推导过程
把圆平均分成8份
份
平
均
分
成
把
8
把圆平均分成16份
圆的面积
1
圆所占平面的大小叫做圆的面积。
2
圆的面积大约是正
方形面积的几倍？
O
r
4r
2
2r 由此可推知：
2
圆的面积大约是3r
2
O
是
面
的
r
例7：下图是以正方形的边长为半径画的一个圆，你能用数方
格（每小格表示1平方厘米）的方法算圆的面积吗？
O
r
例
7
径

有3个相同的圆，半径为2厘米，连接3个圆 心，求三个涂色部分面积的和是多少？
拓展练习
r =2cm
有4个相同的圆，半径都是2厘米，连接四个 圆心，你能求涂色部分的面积吗？
拓展练习
有4个相同的圆，半径都是2 厘米，连接四个圆心，你能 求涂色部分的面积吗？
r =2cm
R=3cm
R=3cm
R=3cm
R=3cm
义务教育课程标准实验教科书六年级上册
基本练习
R=3cm
你能求圆环的面积吗 ？
S环 R2 r 2
3.14×32 －3.14×22 28.26 －12.56 15.7（cm2 )
S环 (R2 r 2 )
3.14×(32 －22) 3.14×5
15.7(cm2)
变式练习
猜一猜下面两个图形涂色部分 的面积有什么关系？
R=3cm
R=3cm
R=3cm
变式练习
R=3cm
你能求出涂色部分的面积差吗？
学习要求： 1.独立思考，用自己喜欢的方法解决。 2.小组交流，梳理方法，组织小组展示。
拓展练习
r =2cm
r =2cm
有3个相同的圆，半径为2厘米，连接3个圆 心，求三个涂色部分面积的和是多少？
拓展练习
r =2cm
r =2cm
r =2cmr =2cm转化 来自化转化变式练习
猜一猜下面两个图形涂色部分 的面积有什么关系？
R=3cm
R=3cm
R=3cm
变式练习
R=3cm
S环
R 2
r
2
=
15.7（cm2
)
R=3cm
R=3cm
写在最后
经常不断地学习,你就什么都知道。你知道得越多,你就越有力量 Study Constantly, And You Will Know Everything. The More

因此环形的面积计算公式可表示为
πR2－πr2或π(R2－r2)
4、思考题：
已知半圆中三角形ABC的高是 5厘米，面积是30平方厘米， 求阴影部分面积。
A 5
BD
C
《圆的面积》
1、圆的面积：圆所占平面的大小
圆
2、圆面积的计算公式：S＝ πr 2
的
3、已知圆的半径、直径和周长都可以求
面
出圆的面积。
积
判断对错：
（1）直径是2厘米的圆，它
× 的面积是12.56平方厘米。 () 3.14
判断对错：
（2）两个圆的周长相等，面
√ 积也一定相等。 （ ） r=C÷π÷2 s=πr2
3、判断对错：
（3）圆的半径等于2厘米。 它的周长和面积一定相等。
（ ×）
3、判断对错：
（4）圆的半径越大，圆所占
√ 的面积也越大。 （ ）
4、环形的面积计算公式：πR2－πr2
或π(R2－r2)
此课件下载可自行编辑修改，供参考！ 感谢您的支持，我们努力做得更好！
s=π面积扩大6倍。 （ ）
拓展 6.求下图中阴影部分的面积。
阴影部分的面积＝大圆面积－小圆面积
3.14×122－3.14×82 ＝3.14×（14142－2－3.8124）×64 ＝43.5124.1×6（－124040－.9664） ＝251.2（cm2）

小力量得一棵树干的周长是 125.6厘米。这棵树干的横 截面积约是多少？
求下图中涂色部分的面积。（单位：米）
80
100
10
10
华能火力发电厂的烟囱底面是圆形的，要想 知道这根烟囱占地多少平方米有哪些办法？
﹋﹋﹋﹋
谢谢
1、基础练习
（1）圆的半径扩大5倍, 圆的面积也扩大5倍。（ ） ×
（2）半径是2厘米的圆，周长和面积相等。（ ） ×
（3）一个圆的面积是3米。（ ）×
数学诊所
2、综合练习
上图中，O表示（圆心），OA表示（半径）， AC表示（直径）。如果BO＝2厘米，那么， 直径AC ＝（ 4 ）厘米，圆的周长C＝ 12.56 （ ）厘米，圆的1面2积.56S＝（ ）平方厘 米，半圆的6面.2积8 为（ ）平方厘米。
C 2
＝ πr
r
因为: 长方形面积 = 长 × 宽
所以: 圆 的 面 积 = πr × r
＝ πr 2
圆的面积计算公式：
S ＝ πr 2
例1. 我被主人用一根2米长的绳子拴在了这 棵小树上，我的最大活动范围有多大？
r=2 m S＝πr2
＝3.14×2×2 ＝12.56 （m2） 答：马儿的最大活动范围为12.56平方米。
将圆分成4等分
将圆分成8等分
将圆分成16等分Biblioteka 将圆分成32等分分的份数越多，拼成的图形越接近长方形。
思考：
1、原来的图形与所拼图形之间什么变了，什么没变？ 形状虽然变了，但面积没变。
2、从上图中可以看出圆的半径是r，长方形的长近似于
（ C ），宽近似于（ r ） 2
﹋ 例2 圆形花坪的直径是20米，每平方米 草皮8元。铺满草皮需要多少钱？ S ＝ πr 2 第一步求花坛半径； 第二步求花坛面积； 第三步求需要的钱

答：它的面积是1256平方厘米。
3、判断对错：
（1）直径是2厘米的圆，它 的面积是12.56平方厘米。 ( )
×
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ、判断对错：
（2）两个圆的周长相等，面 积也一定相等。 （ ）
√
3、判断对错：
（3）圆的半径越大，圆所占 的面积也越大。 （ ）
√
3、判断对错：
（4）圆的半径扩大3倍，它 的面积扩大6倍。 （ ）
3.14×102 =3.14×100 = 314（m2）
答：它的面积是314平方米。
例1
圆形花坛的直径是20m,它的 面积是多少平方米？ 20÷2=10(m)
3.14×102 =3.14×100 = 314（m2）
答：它的面积是314平方米。
在长满青草的草地上 一匹马被主人用一根两 米长的绳子栓在一棵树， 这匹马最多能吃到多少 青草？
2米
做一做：
根据下面所给的条件，求圆 的面积。 （1）半径2分米 （2）直径10厘米
1、求下面各圆的面积。 （口头列式）
3.14×12
3.14×（4÷2）2
2、一个雷达屏幕的直径 是40厘米，它的面积是 多少平方厘米？
半径：40÷2=20（厘米） 面积： 3.14×202 =3.14×400 =1256（平方厘米）
r － =π 2 r
长等于圆周长的一半 宽等于圆的半径
C
－=π r
r
长方形的面积 = 长 × 宽 长等于圆周长的一半 圆的面积
C 2
= πr × r 宽等于圆的半径 =πr2
如果用S 表示圆的面积，圆的半径是r。 那么圆的面积计算公式：
S=πr2
例1
圆形花坛的直径是20m,它的 面积是多少平方米？ 20÷2=10(m)

沿线剪开
这是一个由草绳编织 成的圆形茶杯垫片。
太有意思了！
新知讲解
你发现什么了？
沿线剪开 像三角形。
形状虽然变了，但是它们 的面积一样。
新知讲解
沿线剪开
这时，三角形的面积相当于圆的面积。
观察这个三角形，底相当于圆的（ 周长 ），高相当于圆的（ 半径 ）。
三角形的面积=
底×高 2
，所以圆的面积S=（2πr ）×（ r 2
） =（ πr2
）。
课堂练习
求下面各圆的面积。 d=2米
2÷2=1（m） 3.14×12=3.14（m2）
C=18.84分米
18.84÷3.14÷2=3（dm） 3.14×32=28.26（dm2）
课堂练习
街心花园中圆形花坛的周长是25.12米。花坛的面积是多少平方米？ 25.12÷3.14÷2=2（m） 3.14×22=12.56（m2） 答：花坛的面积是12.56平方米。
你们有什么收获？
我会用圆的面积公式解决实际问题了。
我还知道圆可以转化成三角形。
我学பைடு நூலகம்了求圆环的面积，即 S环=π（R2－r2）。
课堂练习
圆的面积（二）——解决问题
已知半径→面积 已知周长→半径→面积
圆
三角形
3.14×32=2826（m2） 125.6÷3.14÷2=20（m） 3.14×202=1256（m2）
3.14×22=12.56（dm2）
3.14×1.12=3.7994（m2）
新知导入
这是自动喷水。
新知导入
喷水半径是3米，喷水头转动一周，能灌溉多大面积的农田？ 喷水头转动一周，浇灌 农田的形状是圆形。
要求能灌溉多大面积的农田，实 际是求半径是3米圆的面积。

重点与难点解析
针对推导过程中的重点和难点进行深 入剖析，帮助学生更好地理解和掌握 。
公式记忆技巧分享
公式记忆方法
介绍一些有效的记忆方法 ，如联想记忆、口诀记忆 等，帮助学生快速记住圆 的面积公式。
公式应用技巧
分享在实际应用中如何灵 活运用圆的面积公式，提 高解题效率和准确性。
公式记忆的意义
强调记住公式并非目的， 而是为了更好地应用公式 解决实际问题。
思考题二
若将一个圆分成n个相等的小扇形 ，然后将这些小扇形重新组合成 一个近似于矩形的图形，试推导 圆的面积公式。
THANKS
感谢观看
使用测量工具测量每个内
02
切圆的半径，并通过公式
计算面积。
分析比较不同形状内切圆
04
面积的关系，并尝试总结
规律。
创意拼图活动：用圆形创造美丽图案
准备多个大小、颜色不同 的圆形纸片。
让学生们自由发挥想象力 ，使用这些圆形纸片拼出 各种美丽的图案。
可以拼出动物、植物、建 筑物等各种形状，也可以 创作出抽象的艺术作品。
特点
圆是到定点的距离等于定长的所有点组成的图形，具有 对称性和均匀性。
圆心、半径、直径关系
01 圆心
圆的中心，通常用字母O表示。
02 半径
从圆心到圆上任一点的线段，通常用字母r表示。
03 直径
通过圆心且两端点在圆上的线段，是圆中最长的 弦，通常用字母d表示，且d=2r。
圆周角与圆心角关系
01 圆周角
03
典型例题分析与解答
已知半径求面积问题
例题1
已知圆的半径为3厘米，求圆的面积。
注意事项
计算过程中要注意pi r^2$，将 半径代入公式进行计算。

交通工具设计
交通工具如汽车和自行车的设计中， 轮胎通常为圆形。这样可以确保平稳 和安全的行驶，减少摩擦和阻力。
05
圆的面积相关练习题
基础练习题
计算圆的面积
给定圆的半径，计算圆的面积。
圆的面积与半径的关系
理解并证明圆的面积与半径的平方成正比。
圆的面积与周长的关系
理解并计算圆的周长和面积的比例。
进阶练习题
计算圆环的面积
圆内接多边形的面积
给定内外圆的半径，计算圆环的面积 。
给定圆内接正多边形的边长，计算多 边形的面积。
圆与扇形的面积关系
给定扇形的角度和半径，计算扇形与 圆面积的比例。
高难度练习题
计算球体的表面积
给定球体的半径，计算球体的表面积。
圆与圆锥的面积关系
给定圆锥的底面半径和高，计算圆锥底面与圆面积的比例。
建筑设计中的圆面积应用
建筑物的窗户和门的设计
为了确保足够的采光和通风，窗户和门的形状通常设计为圆形或椭圆形，这样可以最大化面积并减少不必要的空 间。
圆形屋顶设计
在某些建筑设计中，如教堂或博物馆，可能会使用圆形屋顶。这样可以有效地利用材料，同时创造出独特的视觉 效果。
机械制造中的圆面积应用
轴承设计
与正方形、长方形等其他几何形状相 比，圆的面积计算公式更为复杂，但 具有更高的数学美感。
不同几何形状的面积计算公式各有特 点，反映了各种形状的特性和规律， 在实际应用中各有优劣。
03
圆的面积计算实例
简单实例：计算给定半径的圆的面积
总结词
直接应用公式
详细描述
当已知圆的半径时，可以直接使用圆的面积公式 (S = pi r^2) 来计算面积。例 如，若半径为5厘米，则面积 (S = pi times 5^2 = 78.5) 平方厘米。

圆中有方：S=S圆－S正或 S=1.
=（cm²）
的面积是多少平方 小路的面积的多少平方米？
右图（外圆内方）：3.
中国建筑中经常能见到“外方内圆”和“外圆内方”的设计。
米？ 求出正方形和圆之间部分的面积，就是求什么？
一个圆形花坛的半径是20米，在花坛的外边修一条宽1米的环形小路。 一个圆的周长是，求它的面积？
答：外面的圆与内部的正方形之间的面积 约是cm²。
方中有圆：S=S正－S圆或S=0.86r² 圆中有方：S=S圆－S正或 S=1.14r²
课本72页9题、73页10、11、12题
谢谢大家！
圆的面积（例题3）
记忆宝库
1、圆的面积计算公式？写出计算公式。
S圆=πr²
2、怎样求圆环的面积？写出计算公式。
S圆环=π（R2-r²）
1. 一个圆形茶几面的半径是0.3m ，它的面 积是多少平方米？
2. 一个圆的周长是，求它的面积？
3. 一个圆形花坛的半径是20米，在花坛的外边修
一条宽1米的环形小路。小路的面积的多少平方米？
（5）阴影部分的面积：
－（m²）
回顾与反思
如果两个圆的半径都是r，结果又是怎样的？
左图（外方内圆）：（2r）²－3.14×r²=4r²－3.14r²=0.86r²
1 右图（外圆内方）：3.14r²－( ×2 2r ×r) ×2
=3.14 r ²－2r²
=1.14r²
当r=1时，和前面的面 积完全一致。
=3.
同学们见过这种图案吗？
外方内圆
外圆内方
中国建筑中经常能见到“外方内圆”和“外圆内方”
的设计。上图中的两个圆半径都是1m，你能求出正方形
和圆之间部分的面积吗？

拓展运用
1. 图中的大圆半径等于小圆的直径，求阴影部分的面积。
大圆面积：S＝πr²＝3.14×6²=113.04cm²
小圆半径：r＝6÷2＝3cm
6 cm
小圆面积：S＝πr²＝3.14×3²=28.26cm²
阴影面积：113.04–28.26=84.78cm²
拓展运用
2. 一个运动场（如图所示），两端是
半径是6cm，圆环的面积是多少？
2c
m
6c
m
S=πR²﹣πr²
S=π（R²﹣r²）
=3.14×6²-3.14×2²
=3.14×（6²-2²）
=113.04-12.56
=3.14×32
=100.48（cm²）
=100.48（cm²）
教学新知
中国建筑中经常能见到“外方内圆”和“外圆内方”的设
计（如图所示），图中的两个圆半径都是1米，你能求出正方形
和圆之间部分的面积吗？
教学新知
“外方内圆”面积的计算
“外圆内方”面积的计算
正方形边长：1×2=2（米）
圆的直径：1×2 = 2（米）
正方形面积：2×2=4（平方米）
内圆面积：3.14×1²=3.14（平方米）
正方形面积： 1 ×（2×1）×2 = 2（平方米）
2
内圆面积：3.14×1² = 3.14 （平方米）
A. 1
B. 2
C. 3
D
D. 3π
（3）若A.B两个圆的直径比是2：1，则它们的面积比是多少？（
A. 2 : 4
B. 4 : 1
C. 1 : 2
D. 1 : 4
）
）
B
课堂练习
4. 解决问题
（1）一个直径是4米的圆形花坛种上玫瑰花。一平方米只能种5株，这个

314×8＝2512(元) 答：铺满草皮需要2512元。
巩固练习
一个圆形茶几桌面的直径是1m，它的面积是多少平 方米？
1÷2＝0.5(m) 3.14×0.52＝0.785(m2)
答：它的面积是0.785m2。
课堂总结
这节课我们学习了什么？ 通过本节课的学习，你们有什 么收获？
•
填一填。
• (1)一个圆形杯垫的半径是1.5 m，它的面积是( 7.065 )m2。
•
完成下表。
半径 3 cm 4 dm 4.5 m
直径 6 cm 8 dm 9m
圆的面积 28.26 cm2
50.24 dm2 63.585 m2
•
计算下面各圆的周长和面积。(单位：cm)
• (1)
(2)
• (1)周长：3.14×3×2＝18.84(cm) • 面积：3.14×32＝28.26(cm2) • (2)周长：3.14×8＝25.12(cm) • 面积：3.14×(8÷2)2＝50.24(cm2)
所以：圆的面积＝πr×r ＝πr2
用等分后的小块组成不同的形状 近似平行四边形
近似梯形
近似三角形
巩固应用 这个圆形草坪的直径是20m。0÷2＝10(m) 3.14×102＝314(m2)
答：这个圆形草坪的占地面积是314㎡。
例1 每平方米草皮8元。
铺满草皮需要 多少钱？
• 答：这个圆的面积是50.24 dm2。
•
如图，正方形的面积是17 cm2，这个圆的面积是多少？
• 解：设这个圆的半径是r cm，则r2＝17。
• 3.14×17＝53.38(cm2)
• 答：这个圆的面积是53.38 cm2。
布置作业

复习圆的有关概念
o
d
围成圆的曲线的长度叫做圆的周长。
复习面积概念
长方形所占平面的大小叫做长方形的面积。
圆所占平面的大小叫做圆的面积。
有关直边形面积的计算
S=a
2
S = ab
S = ah
将圆转化成什么样的图形来推导它的面积计算公式 呢？
将圆分成若干等分
3 4 5 6
2
7 8 9 10
1 16 15 14
5
5
小力量得一棵树干的周长是 125.6厘米。这棵树干的横 截面积约是多少？
例3
光盘的银色部分是一个圆环， 内圆半径是2cm，外圆半径是 6cm。它的面积是多少？
圆环面积＝ 外圆面积－内圆面积 第一步求外圆面积； 第二步求内圆面积； 第三步求环形的面积；
6cm
例3
光盘的银色部分是一个圆环， 内圆半径是2cm，外圆半径是 6cm。它的面积是多少？
数学诊所
上图中，O表示（ ），OA表示（ ）， AC表示（ ）。如果BO＝4厘米，那么， 直径AC ＝（ ）厘米，圆的周长C＝（ ） 厘米，圆的面积S＝（ ）平方厘米，半圆 的面积为（ ）平方厘米。
在计算圆面积时经常用到平方，所 以同学们应该记住常用的几个平方:
3 =9
2
2
= 49 7 2 20 = 400
宽= r
长= r
继续
圆的周长＝π d
圆周长的一半=
=2π r
=π r
长方形的面积＝长×宽
圆的面积＝
πr×r
2
S =πr
圆的面积计算公式：
S ＝ πr
2
这是一个由草绳编织成的圆形茶杯垫片。
r 2πr
三角形的面积= 底×高 2 π 2 r π r2 所以圆的面积：S= ×= 2

半径与面积的变化规律
当半径增加或减少时，圆的面积会相应地增加或减少。
要点二
半径与面积的变化规律的应用
在几何学中，可以通过比较不同大小的圆来研究它们的面 积变化规律。
半径与面积的几何意义
半径与面积的几何意义
半径是圆上任意一点到圆心的距离，而圆的 面积则表示圆所覆盖的平面区域的大小。
半径与面积的几何意义的 应用
分割法
总结词
将圆分割成若干个近似等面积的小多边形，再求和
详细描述
将圆分割成若干个近似的等面积的小多边形，每个多边形的面 积可以近似为 (frac{1}{2} times text{底} times text{高})，然后 求和得到圆的面积。这种方法可以帮助学生理解圆的面积计算 原理。
01
圆的面积与半径的 关系
半径与面积的数值关系
1 2
圆的面积计算公式
A = πr^2，其中A表示圆的面积，r表示圆的半 径。
半径与面积的数值关系
随着半径的增大，圆的面积也相应增大；反之， 随着半径的减小，圆的面积也相应减小。
3
半径与面积的数值关系的应用
通过计算圆的面积，可以推算出圆的半径或直径。
半径与面积的变化规律
要点一
圆的面积公式应用
总结词：实例说明
详细描述：最后，我们将通过实例来说明如何应用圆的面积公式。例如，计算一个半径为5cm的圆的面积， 我们可以将半径值代入公式πr^2中，得到面积为78.5cm^2。此外，我们还可以利用圆的面积公式来解决 生活中的实际问题，如计算圆形物体的表面积、计算土地的面积等。
01
圆的面积计算方法
直接计算法
总结词
通过公式直接计算圆的面积
详细描述