数学分析 2 期末试题库
《数学分析 II 》考试试题（ 1）
一、 叙述题：（每小题 6 分，共 18 分）
1、 牛顿 - 莱不尼兹公式
2、
a n 收敛的 cauchy 收敛原理
n 1
3、 全微分
二、 计算题 ：（每小题 8 分，共 32 分）
x 2
sin t 2
dt 1、
lim
x
4
x 0
2、求由曲线 y
x 2 和 x y 2
围成的图形的面积和该图形绕
x 轴旋转而成的几何体的
体
积。
3、求
x n
的收敛半径和收敛域，并求和
n 1
n(n 1)
y
2 u
4、已知 u
x z
，求
x y
三、（每小题 10 分，共 30 分）
1、写出判别正项级数敛散性常用的三种方法并判别级数
2、讨论反常积分
x
p 1
e x
dx 的敛散
性
3、讨论函数列 S n
( x)
x 2
1
x ( , ) 的一致收敛性
n 2
四、 证明题 （每小题 10 分，共
20 分）
1、设 x n 0,
x n
1
1 1
(n
1,2 ) ，证明
x n 发散
x n
n
n 1
2、证明函数 f ( x,
y)
xy x 2
y 2
x 2
y 2
x 2 y 2
在（ 0， 0）点连续且可偏导，
0 0
但它在该点不可微。 ，
《数学分析II 》考试题（ 2）一、叙述题：( 每小题 5 分，共 10 分）
1、叙述反常积分b
cauchy 收敛原理f (x)dx,a 为奇点收敛
的
a
2、二元函数 f ( x, y) 在区域D上的一致连续
二、计算题：（每小题 8 分，共 40 分）
1、lim
(11 1 )
n n1n 22n
2、求摆线x a(t sin t)
[ 0,2
] 与x轴围成的面
积
y a(1
t
cost)
3、求
(cpv)1x dx
1x 2
4、求幂级数( x 1)n的收敛半径和收敛域
n 1
n2
5、u f (xy ,
x
) ，
求2u
y x y
三、讨论与验证题：（每小题10 分，共 30 分）
1、f (x,
y)x y 2，求
lim
lim f (x,
y),mil mil
f (x, y) ；
lim
f (x, y) 是否存
在
x y x 0y 0y 0x
(x,
y)(0 ,0)
为什么
2、讨论反常积分
arctan x
0x p
dx 的敛散性。
3、讨论n3 (2(1) n )
n
的敛散性。
n1
3n
四、证明题：（每小题
10分，共 20 分）
1、设f（x）在 [ a, b] 连续， f
( x)0 但不恒为0，证明b
( )0 f
a
2、设函数u和v可微，证明grad ( uv)= ugradv+vgradu
《数学分析II 》考试题（ 3）
五、叙述题：（每小题5 分，共
15分）
1、定积分
2、连通集
3、函数项级数的一致连续性
六、计算题：（每小题7 分，共
35分）
e
1、
sin(ln x)dx
1
2、求三叶玫瑰线r a sin 3[ 0,] 围成的面积
3、求x n n cos 2n
的上下极限
2n15
4、求幂级数
(
x1) n的和n 1
2n
5、u f ( x, y) 为可微函
数，求(u )2(
u
)2在极坐标下的表达
式
x y
七、讨论与验证题：（每小题10 分，共 30 分）
1、已知(x 2y 2 ) sin
1
cos
1
x0, y0，求 lim
f
( ,
y
) ，
问
f ( x, y)
0x y x 0或 y
( x , y)
(0, 0)
x
lim lim f ( x, y),
lim lim f ( x, y) 是否存在为什么
x 0 y
0y0 x 0
2、讨论反常积分
1
dx 的敛散性。0x p x q
3、讨论f n ( x)
nx
x
[ 0,1]的一致收敛性。1n x
八、证明题：（每小题
10分，共20 分）
1、设f（x）在 [ a,+ ∞）上单调增加的连续函
数， f (0)0，记它的反函数f --1（ y），
证明a()b
1
(
)(0,0)
2、设正项级数x n收敛，证明级数x n2也收敛
n 1n1
《数学分析》（二）测试题（4）
一．判断题（正确的打“√” ，错误的打“×” ；每小题 3 分，共 15 分）：1．闭区间a, b的全体聚点的集合是a, b 本身。
2．函数l
n x
x
21是1在区间 1,内的原函数。
x 21
3．若f x 在
a, b 上有界，则f x
在
a,b上必可积。
4．若f x F x x
f t dt
为连续的偶函数，则
亦为偶函数。
5．正项级数
10n
是收敛的。
n 1 !
n 1
二．填空题（每小题 3 分，共 15分）：
1．数列 1 n n
1的上极限为，下极限为。
3n
2． li m
12n
。n212n222n2n2
n
3．
d
tan x
dt
e t。dx 0
4．幂级数
x n
的收敛半径 R。
n 3n
n
1
5 ．将函数 f
x x x展开成傅里叶级数，则 a0，
a n，
b n。
三．计算题（每小题7 分，共 28分）：
1．
dx e x x；2．
e e0
3．
x
dx ；
2
1
44．
x1
xln x dx ；
xdx
x1
四．解答题（每小题10 分，共 30 分）：
1．求由抛物线y22x 与直线
y x 4 所围图形的面积。
2．判断级数
1 n tan
1
是否收敛，若收敛，是绝对收敛还是条件收敛n 1
n
x2 n 1
3．确定幂级数的收敛域，并求其和函数。
n 1
2n1
五．证明题（ 12 分）：
证明：函数 f x
sin nx
在,上有连续的二阶导函数，并求f x 。
n 4
n 1
《数学分析》（二）测试题（5）
二．判断题（正确的打“√” ，错误的打“×” ；每小题 3 分，共 15 分）：1．设a为点
集 E 的聚点，则 a E。
2．函数ln
x x 2 1 是1在,内的原函数。
x 21
3．有界是函数可积的必要条件。
4．若 f x为连续的奇函数，则F x
x
f t dt亦为奇函数。0
5．正项级数
n 2
是收敛的。n 1 2
n
二．填空题（每小题 3 分，共 15 分）：
1．数列2 1 n的上极限为，下极限为。
2． li m
12n
。n2n n22n n2n2
n
3．
d
sin x
dt
e t。dx 0
4．幂级数
4n x
n的收敛半径R。
n 2
n 1
1
5 ．将函数 f x x x 展开成傅里叶级数，则
a0，
a n，
b n。
三．计算题（每小题7 分，共 28 分）：
x 31
e x
dx；
2
dx ；
1．2．9x0
3．
dx
；1
xdx
x 2x 2
4．
1 x
2 20
四．解答题 （每小题 10 分，共 30 分）：
1．求由两抛物线
y x 2
与 y 2 x 2
所围图形的面积。 2．判断级数
1 n
ln n
1 是否收敛，若收敛，是绝对收敛还是条件收敛
n 1
n
3．确定幂级数
n x
n 1
的收敛域，并求其和函数。
n 1
五．证明题 （ 12 分）：
1 x 2
证明：函数
n 2
上连续。
f x n 1 n 2
e
在 0,
《数学分析》（二）测试题（6）一．判断（ 2*7=14 分）
（）1. 设x0为f ( x)在a ,b上的极值点，则
f (x0)0
（） 2. 若在
a ,b内 f(x)
g (x), f
(b)
g(b), 则对
x
[ a,b], 有 f (x)
g(x)
（）3. 若x为点集A的聚点，则必有
x A
（） 4.若 F ( x)连续，
则 F ( x)dx F (x)C
（）5.
若(）在,上连续，,,则
x
2(
)( 2 )
b x f dt x
a
（）6.
若a n收敛， b n发散，则（a n＋ b n）必发散
（） 7. 若
a
n
2收敛，则a
n
3必收敛
二．填空（ 3*7=21 分）
1. 已
知 f (ln x)2x,则f
( x)____________
2．
sin x
ln( x21)dx___________－
3. 设f （x）x2( x
)2
f (x
1)dx________
x
( x
)
, 则
e
4 . 求
lim1x
________________ sin t 2dt
x0
x30
5. 求y x3 x
21的拐点坐标 (_______)
6．用定积分求
lim111________
n1n 2n
n n
7.幂级数1 x n
的收敛半径R＝n 2n
三. 计算（4*7=28 分） ( 要有必要的计算过程 )
1. xe x dx
1
dx 2.
x x21
1 xdx
．求曲线 y
2x2与 y
x所围成的图形的面
积
4
四．判别级数的敛散性（ 2*9=18 分） ( 要有必要的过程 )
1 .2n
n!
n 1
n n
2 . 判别( 1)n n
）上是否一致收敛，为什么在（ ,
n 1
n 2x2
五．证明： (9+10=19 分)
1．设级数a n 2 与b n2 都收敛，证明： a b 绝对收敛
n n
2．设f ( x)在a , b上二阶可导， f (a)
f (b)0 ，证明：存在一点(a ,b) ，使得
4
f
( )(b a) 2
f (b)f (a)
《数学分析》（二）测试题（7）一．判断（ 2*7=14 分）
（）1.设 f
( x0 )0 ，则x0必为 f ( x) 的极值点
（） 2. 若在
a ,b
内 f
(x)
g (x), f (b) g(b),
则对
x [ a, b], 有f (x)
g (x)
（）3. 若x为点集A的聚点，则x可能不属于A
（）
4.
若 F x 连续，
则F x dx F x
)
C ( )( )(
（）5. 若f (x）在a,b上连续，
x b f (t)dtf ( x)
b, a ,则
x
（）6.
若
li
m
u
n 1，则级数u n收敛
u n
n
（）
7.幂级数a n x
n
至少存在一个收敛点
二．填空（ 3*7=21 分）
1. 已知
f (
＋
1)
x
22,则()____________ x f x
2．已知1cosx
dx1
cosx
___________
－1x 4
A, 则
x4
dx 101
3. 设f （x）x1(x0)2
________ x2(x
, 则
f ( x
1)dx
0)0
4 . 求lim
1
x1cost
dt________________
x0
x0t
5. 求f ( x)1
x3
1
x2
1的极大值为 f
(__)_____ 32
6．用定积分求lim
1
12n________
n n n n n
7. 幂级数2
n
x n的收敛半径R＝n
三 .计算（4*7=28 分） ( 要有必要的计算过程 )
1.x ln xdx
2.
1
3.1
dx x arctanxdx x x
2
10
．求曲线
y x 3从
x
到
x
1的弧长
4
四．判别级数的敛散性（ 2*9=18 分） ( 要有必要的过程 )
1n n 2
1 .1
n 1
2n n
2 . 判别(1)n
n在（ ,）上是否一致收敛，为什么
n 1
n 2x2
五．证明： (9+10=19 分)
1．设级数a n2与b n2都收敛，证明：(a n b n ) 2收敛
2．若
f x 在 a b 上连续， f
x
b
dx
证明： f
x， x a b
f x0,)
a
《数学分析》（二）测试题（ 8）
三． 判断题 （正确的打“√” ，错误的打“×” ；每小题 3 分，共 15 分）：
1．开区间 a, b 的全体聚点的集合是 a,
b 本身。
2．函数 l
n x x 2
1 是 1 在区间 1, 内的原函数。
x 2 1
3．若 f x 在 a, b 上有界，则 f x 在 a, b 上必可积。
4．若 f x 为
a, b 上的连续函数，则 F x
a
x f
t d t 在
a,
b 上可导。
5．正项级数
1 是收敛的。
n 1
n
二．填空题 （每小题 4 分，共 16 分）：
1．
li
m
1
2
n
。
2
1 2
2
2
2
2
n
n
n
2
n
n
d
x
t
2． d x 0 e
d t
。
3．幂级数
x n
的收敛半径 R
。
n 3n
n 1
4 ． 将 函 数 f
x
x
x
展 开 成 傅 里 叶 级 数 ， 则 a 0
，
a n
，
b n
。
三．计算题 （每小题 10 分，共 30 分）：
1．
d x ；
2． 1e
ln xd x ；
3．
x dx ；
1 x 2
1 x 4
四．解答题 （每小题 10 分，共 30 分）：
1．求由抛物线 y 2
2x 与直线 y x 4 所围图形的面积。
2．判断级数
1 n 1
是否收敛，若收敛，是绝对收敛还是条件收敛
n 1
n 2
3．确定幂级数
n x
n
1
的收敛域，并求其和函数。
n 1
五．证明题 （ 9 分）：
1 x 2
证明：函数
n 2
上连续。
f x
n 1 n 2
e
在 0,
参考答案（ 1）
一 、 1 、 设 f ( x) 在 [a, b] 连续 ， F ( x) 是 f ( x) 在 [a,b] 上 的一个 原函数， 则成 立
b
F (b) F (a)
f (x) dx
a
2、 0. N 0, 使得 m n N ，成立 a n 1 a n 2
a m
3 、设 D
R 2
为 开 集 ， z f ( x, y),
( x, y)
D 是 定 义 在 D 上 的 二 元 函 数 ，
P 0 ( x 0 , y 0 )
为 D 中的一定点，若存在只与点有关而与 x, y
无关的常数
A
B
和 ，使得
z A x
B
y o( x
2
y 2
) 则称函数 f 在点 P 0 (x 0 , y 0 ) 处是可微的，并
称
A x
B y 为在点 P 0 (x 0 , y 0 ) 处的全微分
二、 1、分子和分母同时求导
x 2
sin t 2dt
4
lim 0
2x sin
x
1 （8 分）
x 6
lim
6x 5
3
x 0
x 0
2、 、两曲线的交点为（
0， 0），（ 1，1）（ 2 分）
所求的面积为：
1
( x x 2
)dx
1 （ 3 分）
3
1
x 5
)d x
3
所求的体积为：
(x
（ 3 分）
10
1
3、 解：设 f
( x)
x
n
1) ，
lim (n 1)( n 2) 1 ，收敛半径为 1，收敛域
n 1
n( n
n
1
n(n
1)
[-1 ， 1] （ 2
分）
f '
( x)
x
n
1
1 1 ln(1 x), (0 x 1),
n 1 (n 1)
x
x 2
f ( x)
x f '
(t)dt
1
1 x
ln(1 x), (0 x
1) (3
分）
x
x =0 级数为 0， x =1，级数为 1， x =-1 ，级数
为
1-2ln2 （ 3 分）
4、解：
y
ln x
（ 3 分）
2 u
y
ln x
y 1
(5 分）
1
y z x y zx
三、1、解、有比较判别法，Cauchy,D’Alembert,Raabe判别法等（应写出具体的内容 4 分）
(n1)!
li
m(n1) n 1lim
(11) n
e 1（4分）由
D’Alembert判别法知级数收敛（ 1 分）
n n!n n 1
n n
x p 1e x dx 1
1e x dx x p
1e x dx
（2
1
1e x dx ，由于
2、解：
x p
1
分），对x p 00
x1p x p 1 e x1(x 0) 故
p>0
1
x dx 收敛（4
x p 1 e x dx ，由
于时 x p 1
e分）；
01
x2 x p 1e x0( x
)
（4分）故对一切的p x p 1 e x dx 收敛，综上所述p>0，积分
1
收敛
3、解：S n
( x)x2
1分）
lim sup S n ( x)x0 所以函数列n2
收敛于 x （4
n
x( ,)
一致收敛性（ 6 分）
四、证明题（每小题10 分，共20 分）
1、证明：x
3
x4x n x n 1 2n21x n1
x2 ,
(n
2) （6
分）x2
x3
x
n 1x2
2 3 n 1 n
1n 1
1
发散，由比较判别法知级数发散（ 4 分）n 2
n1
2、证明：0|
xy|
| xy | （4
分）lim
xy
=0 所以函数在（ 0，0）x
2y2
x
2y2
( x, y)
(0 ,0)
点连续，（ 3 分）又l i m
00 ，f x(0,0), f y
(0,0)存在切等于0 ，（ 4 分）但
x 0
x
l i m x y不存在，故函数在（0， 0）点不可微（ 3 分）
( x
,x 2
y
2
y )(0 ,0
)
参考答案（ 2）0.
0, 使得0
1
a
1、2，成立
f
( x)dx a
2 、设D R 2为点集，f :
D R m为映射，0.
0, 使
得
x1x2, x1, x2D ，成立 f
( x1 ) f ( x2 )
二、 1、由于
1在 [0， 1] 可积，由定积分的定义知（ 2 分）
1x
lim (111) =
lim
111111ln 2
（6
(
12
)dx
n n 1 n 22n n n
1
n0
1 x n
11
n n
分）
4、、所求的面积为：
2
a(1 cosx)2 dx 3 a 2（8分）0
5、解：(cpv)1x dx lim A1x dx
(3 分）1x2A1x2
A
4、解：lim n
1 1 ，r=1（4
分）
x2
n
由于 x=0， x=2时，级数均收敛，所以收敛域为[0 ， 2] （ 4 分）
5、解：u
= f1x
f
2
x
（3 分）
2u
f
2x
（ 5 分）y y
2
x y
f12f11 xy f 223
y y
三、 1、解、
lim lim x y 2x x y 2
li
m
y 20（ 5 分）由于沿
y kx 趋于（0，0）lim1, lim lim
x 0 y 0 xy x 0 x y 0 x 0 xy y 0 y 极限为1所以重极限不存在（ 5 分）
1 k arctan
x1 arctan x
2、解：dx dx
x p0x p
x p 1 arctan
x1(x0) 故p<2时
x p
x p arctan
x(x ) （4分）
故
x p2敛
arctan x1 arctan x dx ，由
于1x
p dx （2分），对
x
p
1 arctan
x
dx收敛（ 4
arctan x dx ，由
于0x
p分）；
x
p
1
arctan x
p>11 dx 收敛，综上所述 3、解：lim n3 [ 2 ( 1) n ] n 2 1 1所以级数收敛 （10 分）3n3 n 四、证明题（每小题10 分，共20 分） 1、证明：由f ( x)0但不恒为0，至少有一点x0 a b（）在连续（分），存 [ ,] f x [ a, b]2 在包含 x0的区间[ c,d ][ a,b] ，有 f ( x) b ( ) d( )0 （4分） 0 （4分），f f dx a c 2、证明：以二元函数为例 grad (uv)(u x v v x u,u y v v y u) (u x v, u y v) (v x u, v y u) v(u x , u y ) u(v x , v y ) vgradu ugradv （10 分）
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