(word完整版)高中数学必修5常考题型:一元二次不等式及其解法
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一元二次不等式及其解法
【知识梳理】
1.一元二次不等式 我们把只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是2的不等式,称为一元二次不等式,即形如ax 2+bx +c >0(≥0)或ax 2+bx +c <0(≤0)(其中a ≠0)的不等式叫做一元二次不等式.
2.一元二次不等式的解与解集
使一元二次不等式成立的x 的值,叫做这个一元二次不等式的解,其解的集合,称为这个一元二次不等式的解集.
3.一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系如表 判别式Δ=b 2-4ac
Δ>0 Δ=0 Δ<0 一元二次方程ax 2+
bx +c =0(a >0)的根 有两相异实根x 1,x 2,(x 1<x 2) 有两相等实根x 1=x 2=-b 2a 没有实数根 二次函数y =ax 2+
bx +c (a >0)的图象
ax 2+bx +c >0(a >0)
的解集
{ x |x
的解集 {}x|x 1 题型一、一元二次不等式的解法 【例1】 解下列不等式: (1)2x 2+7x +3>0; (2)x 2-4x -5≤0; (3)-4x 2+18x -814 ≥0; (4)-12 x 2+3x -5>0; (5)-2x 2+3x -2<0. [解] (1)因为Δ=72-4×2×3=25>0,所以方程2x 2+7x +3=0有两个不等实根x 1=-3,x 2=-12.又二次函数y =2x 2+7x +3的图象开口向上,所以原不等式的解集为{x |x >-12 ,或x < -3}. (2)原不等式可化为(x -5)(x +1)≤0,所以原不等式的解集为{x |-1≤x ≤5}. (3)原不等式可化为⎝⎛⎭⎫2x -922≤0,所以原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭ ⎬⎫x |x =94. (4)原不等式可化为x 2-6x +10<0,Δ=(-6)2-40=-4<0,所以方程x 2-6x +10=0无实根,又二次函数y =x 2-6x +10的图象开口向上,所以原不等式的解集为∅. (5)原不等式可化为2x 2-3x +2>0,因为Δ=9-4×2×2=-7<0,所以方程2x 2-3x +2=0无实根,又二次函数y =2x 2-3x +2的图象开口向上,所以原不等式的解集为R . 【类题通法】 解一元二次不等式的一般步骤 (1)通过对不等式变形,使二次项系数大于零; (2)计算对应方程的判别式; (3)求出相应的一元二次方程的根,或根据判别式说明方程没有实根; (4)根据函数图象与x 轴的相关位置写出不等式的解集. 【对点训练】 1.解下列不等式: (1)x 2-5x -6>0;(2)-x 2+7x >6. (3)(2-x )(x +3)<0;(4)4(2x 2-2x +1)>x (4-x ). 解:(1)方程x 2-5x -6=0的两根为x 1=-1, x 2=6. 结合二次函数y =x 2-5x -6的图象知,原不等式的解集为{x |x <-1或x >6}. (2)原不等式可化为x 2-7x +6<0. 解方程x 2-7x +6=0得,x 1=1,x 2=6. 结合二次函数y =x 2-7x +6的图象知,原不等式的解集为 {x |1 (3)原不等式可化为(x -2)(x +3)>0. 方程(x -2)(x +3)=0两根为2和-3. 结合二次函数y =(x -2)(x +3)的图象知,原不等式的解集为{x |x <-3或x >2}. (4)由原不等式得8x 2-8x +4>4x -x 2. ∴原不等式等价于9x 2-12x +4>0. 解方程9x 2-12x +4=0,得x 1=x 2=23 . 结合二次函数y =9x 2-12x +4的图象知,原不等式的解集为{x |x ≠23 }. 题型二、解含参数的一元二次不等式 【例2】 解关于x 的不等式x 2+(1-a )x -a <0. [解] 方程x 2+(1-a )x -a =0的解为x 1=-1,x 2=a ,函数y =x 2+(1-a )x -a 的图象开口向上,则当a <-1时,原不等式解集为{x |a <x <-1}; 当a =-1时,原不等式解集为∅; 当a >-1时,原不等式解集为{x |-1<x <a }. 【类题通法】 解含参数的一元二次不等式时: (1)若二次项系数含有参数,则需对二次项系数大于0与小于0进行讨论; (2)若求对应一元二次方程的根需用公式,则应对判别式Δ进行讨论; (3)若求出的根中含有参数,则应对两根的大小进行讨论. 【对点训练】 2.解关于x 的不等式:ax 2-(a -1)x -1<0(a ∈R ). 解:原不等式可化为: (ax +1)(x -1)<0, 当a =0时,x <1, 当a >0时⎝⎛⎭ ⎫x +1a (x -1)<0 ∴-1a <x <1. 当a =-1时,x ≠1, 当-1<a <0时,⎝⎛⎭ ⎫x +1a (x -1)>0, ∴x >-1a 或x <1. 当a <-1时,-1a <1, ∴x >1或x <-1a , 综上原不等式的解集是: 当a =0时,{x |x <1}; 当a >0时,⎩⎨⎧⎭ ⎬⎫x |-1a <x <1; 当a =-1时,{x |x ≠1}; 当-1<a <0时, ⎩ ⎨⎧⎭⎬⎫x |x <1或x >-1a . 当a <-1时,⎩⎨⎧⎭ ⎬⎫x |x <-1a 或x >1, 题型三、一元二次不等式与相应函数、方程的关系 【例3】 已知关于x 的不等式x 2+ax +b <0的解集为{x |1<x <2},求关于x 的不等式bx 2+ax +1>0的解集. [解] ∵x 2+ax +b <0的解集为{x |1<x <2}, ∴1,2是x 2+ax +b =0的两根. 由韦达定理有⎩⎪⎨⎪⎧ -a =1+2, b =1×2, 得⎩⎪⎨⎪⎧ a =-3, b =2, 代入所求不等式,得2x 2-3x +1>0.