几种具有高阶收敛速度的改进牛顿迭代法

一种改进的牛顿法迭代法——调和辛普森牛顿法
赵恩博;王亚;肖明轩
【期刊名称】《计算机应用文摘》
【年(卷),期】2024(40)5
【摘要】在调和平均牛顿法的基础上,文章结合辛普森公式提出了一种改进的牛顿迭代法,即调和辛普森牛顿法(HSN),并证明该方法具有3阶收敛。

同时,通过求解代数非线性方程及超越方程的根,发现调和辛普森牛顿法比常见的牛顿法迭代法(CN)、调和平均牛顿法(HN)具有更快的收敛速度,进一步说明了改进算法的有效性。

【总页数】3页(P97-99)
【作者】赵恩博;王亚;肖明轩
【作者单位】昆明文理学院
【正文语种】中文
【中图分类】O241
【相关文献】
1.一种改进的基于RSSI最小二乘法和拟牛顿法的WSN节点定位算法
2.一种改进
的牛顿法及其在欧式距离选址模型中的应用3.基于牛顿法及拟牛顿法的非线性规
划算法改进及实证研究4.牛顿法的推广——一种方程求根的迭代法5.一类改进的BFGS拟牛顿法及与其他几种拟牛顿法的比较研究
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【标题】牛顿迭代法及其改进方法的收敛性分析【作者】彭昌华【关键词】非线性方程牛顿迭代法高阶收敛性收敛阶【指导老师】周均【专业】数学与应用数学【正文】0 引言牛顿法又称牛顿——拉弗森（ Newton __ Raphson ）法或切线法，它是求解非线性方程的零点的一种迭代法，即牛顿迭代法.一般地，该实值函数在实零点的邻域内连续可导，并且 0,当是的近似值时,若在点( , )处作切线, = + ( ) (0-1) 近似代替 ,再以的零点 = - （ =1,2, ） (0-2) 作为的新的近似值,这即是牛顿法.牛顿法是教学科研以及工程技术中的常用数值方法.一般地,牛顿法具有局部二阶收敛性.1 预备知识为了研究牛顿迭代法及其改进方法的收敛性,则需给出与之相关的理论.[1]-[13] 定义1 局部收敛性设是 =0的根,若存在的一个邻域(x*- , x*+ ),当迭代初值 (x*- , x*+ )时,迭代法得到的序列收敛到 ,则称该迭代法关于根具有局部收敛性.定义2 收敛速度设为第次迭代值, 是方程 =0的根,令 = - 且假设迭代收敛,即 = , 若存在实数≥1，使得 .则称此方法于根具有阶收敛速度，c为渐近误差常数.特别地，当 =1时，称为线性收敛；当 >1时，称为超线性收敛. =2时，称为平方收敛.渐近误差常数c与有关，c≠0保证了的唯一性.一般情况下，越大收敛速度就越快.高阶收敛定理对于迭代过程 = ( ) ,若迭代函数在所求根的邻近有连续的阶导数,且满足条件:ⅰ: ;ⅱ: = = = = =0,且 0；则必存在的某个邻域 ,使得对任意初始值 ,迭代过程 = ( )为阶收敛.由此表明:迭代过程的收敛速度取决于迭代函数的选取,且当 0,该迭代过程只可能是线性收敛.牛顿迭代法的局部收敛性定理设是满足 =0，≠0,在的邻域上连续，则牛顿迭代式（0-2）在点具有局部收敛性，且至少平方收敛.牛顿迭代法收敛的充分条件定理1：设函数满足 =0，≠0,在的邻域内有二阶连续导数，则当初值足够接近于时，由迭代公式（0-2）所得的序列至少是二阶收敛的，并有 =由此我们可知，当是单根的时候，牛顿法至少是局部二阶收敛的.但是，对其收敛条件在的邻域内有二阶连续导数是一个限制性很强的条件，我们能否在较弱的条件下仍能得出相同或相仿的结论？下面将给出牛顿迭代法在较弱的条件下的局部收敛性，并加以证明.2、弱条件下的牛顿迭代法的收敛性2.1 减弱条件一将在的邻域上连续减弱为存在，仍能保证其迭代法至少是局部二阶收敛性. 定理2 设函数满足 =0，≠0,存在，则当初值足够接近于时，由迭代公式（0-2）所得的序列至少是二阶收敛的，并有 =证明：不妨考虑因为存在，则由Peano余项的Taylor公式展开得= + /2+0( )= + +0由迭代公式（0-2）得，=（）-即 =（）-== .==故结论得证.2.2减弱条件二将存在减弱为在的邻域内存在且满足中心李普希兹条件也即是：存在L>0,使得≤L ,仍能保证牛顿法至少是局部二阶收敛性.定理3 设函数满足 =0，≠0，在的邻域内存在，且有L>0,使得≤L ; 则当初值足够接近于时，由迭代公式（0-2）所得的序列至少是二阶收敛的.证明: 当初值足够接近于时，由迭代公式（0-2）所得=（）-==[ ]-1[ - ]这里在与之间，所以≤又由题意：≤L所以≤L由此可得，当初值足够接近于时，由迭代公式（0-2）所得的序列至少是二阶收敛的.2.3 实例分析利用牛顿迭代公式(0-2) 数值求解非线性方程 =0的根, ，并考虑牛顿法的局部二阶收敛性.例1: = ,[a, b]=[0,1.5],则 =1解: = , = ,由此可得, 0，在的邻域内连续,则满足定理1 的条件,即牛顿法具有局部二阶收敛性.例2: 设 = ，[a, b]=[-1,1], 则 =0解： = ,=这里， 0，存在，但在的邻域内不连续，故由定理2知，牛顿法是二阶收敛的. 例3: 设，[ a, b ]=[-1,1],则 =0解：这里 =2 0，不存在，不满足对的邻域内任意，，有<α ,但满足，存在L>0,使得≤L .故由定理3知牛顿迭代法是二阶收敛的.3、重根情形下牛顿法的收敛性由定理1 知，如果是 =0的单根，则牛顿迭代法有局部收敛性，如果是 =0的m 重根(m≥2)时，无论怎样选取迭代函数即使迭代收敛也至多是线性收敛.3.1 运用牛顿迭代法的收敛性一般地说，设是 =0的重根( ≥2)，又由重根的定义即 = ，≠0，有二阶导数，它的迭代函数 = - ,易得出 =1- .由此，0< <1,由（0-2）知，只有≠0，则牛顿迭代法是线性收敛的，于是我们可得到如下定理：定理4 如果是方程 =0的重根( ≥2)，在的某邻域内有阶连续导数，则牛顿法具有局部收敛性，且有线性收敛速度.证明：令 = - ，则 = ，对以及在处作Taylor展开，得 = + -= + - （0< , <1）当→0,→ ,则 ===1-即 <1故由局部收敛性的定义知,牛顿法是收敛的.下面证明它的收敛速度：设是方程 =0的重根( ≥2)，则可表示为 = ，≠0，于是， = += [ ]又由牛顿迭代格式（0-2）得，= -=( )[1- ]故 = =1-因为 m>1, 所以 0<1- =c<1故牛顿迭代对重根是线性收敛的.3.2 运用修正牛顿迭代法的收敛性如果是已知时，即：知道重根的重数，则可采用修正牛顿迭代公式 = - ,使该迭代达到二阶收敛速度.即我们有如下定理：定理5 如果是方程 =0的重根( ≥2)，在的某邻域内具有阶连续导数，则修正牛顿迭代公式 = - 具有局部收敛性且具有二阶收敛速度.证明：令 = - ,运用类似定理4的方法，即由条件，及在的Taylor展开，得 = + -= + - (0< , <1)= + -==又由 =0，所以 =0故牛顿迭代法具有局部收敛性.下面证明其二阶收敛速度由迭代公式（0-2）得， = +即（） =（） +令 =（） + ，则 =（） + -因为是方程的重根，故 =0 ( =1,2, , )所以 =（） + - =0 ( =0.1,2, , )=（） - -( )=-则 = 是与之间的某值又 = 是与之间的某值= =即 ==- ，故该牛顿迭代具有二阶收敛速度.当重数未知时,设是 =0的重根,则 = , ≠0，令 = ,则有 = ,即是的单根,则由定理1可得,迭代公式 = -= - ( )是二阶收敛的.3.3 数值实验例子以文献[3]中习题为例，方程有二重根 =1,取 =2，用牛顿迭代公式 (0-2) 和处理重根的修正牛顿迭代公式： = - ，（）为重根的重数，分别求解几步，比较结果.解：即是方程的二重根利用数值实验比较：牛顿法修正牛顿法0 2 21 1.6 1.22 1.347368421 1.0947368423 1.193516664 1.0396649064 1.104014285 1.0145119065 1.054346842 1.0046793996 1.027856159 1.0013654767 1.01411429 1.0003724218 1.007105916 1.0000975419 1.003565448 1.00002498110 1.001785885 1.00000632211 1.000893738 1.0000015912 1.000447068 1.00000039913 1.000223584 1.000000114 1.000111805 1.00000002515 1.000055905 1.00000000616 1.000027953 1.00000000217 1.000013977 118 1.000006989 119 1.000003494 120 1.000001747 1由上述实验知:修正牛顿迭代法的迭代次数比牛顿迭代法的迭代次数要少,也即是说修正牛顿迭代法的收敛速度比牛顿迭代法的收敛速度要稍快一些.4 牛顿迭代的改进方法的收敛性对于牛顿迭代公式（0-2），在计算过程中每一步都要计算导数，为了减少计算量，我们用和处差商代替导数， = =得到 = - （） (4-1) 此方法称为弦割法.与牛顿法不同的是，它需要两个较好的初值，，这两个初始值应尽量取在方程 =0的根的附近.弦割法也具有局部收敛性，且收敛速度介于二次收敛和线性收敛之间，即弦割法是超线性收敛的.以下将给出定理并证明.定理6 设，，在包含 =0的根的区间上连续且是其单根， 0，则如果初始值和，选得充分接近，由式（4-1）产生的序列收敛于，收敛的阶 = 且 = 证明：由公式（4-1）得，两边同时减去，利用均差的记号和性质，=（）-=（）-=( )= (4-2)又因为连续，则有包含在 = ， = ，其中在，之间，包含在，，的最小区间上.记： = ，则（4-2）式可以写成 == ,这里假设 = ， <1当时，有 =0又因为0 ，所以 0，即收敛到以下讨论的收敛阶由，令 = ，则，，（4-3）得，即，，由（4-3）式得， ,一般地，由归纳法得到，，，其中 = =1.有以下递推关系：= + ，，（4-4）这样的称为Fibonacci数列.式（4-4）是二阶线性齐次差分方程.可设 = ，则满足 = +1，解出 = ， = ，可以写成和的线性组合，利用 = =1得， = ，当大时，，，令 = ,当大时有 , ，，故有，，当时，有 = ，即因为 0，所以弦割法是收敛的.故结论得证.5 牛顿法的收敛阶牛顿法对于求非线性方程的单根和重根时的收敛速度可以根据前面已经讨论的方法来判断,那么接下来我们将从另一个角度来分析它的收敛速度.即通过实例从数值实验上来估计牛顿迭代收敛的大致数值.例:以例1为例 = ,[a, b]=[0,1.5] ,则由牛顿迭代公式可得 = - = ,显然 =1是它的不动点.现在假设不知道它的收敛阶,则可设计一个数值实验估计它的收敛阶数.解: 假设它的收敛阶为 ,则应当存在常数＞0使得 (5-1) 成立,当＞＞1时(5-1)可以,近似地写成 ,再两边取对数得到 (5-2). 则(5-2)指出与之间应当近似地有线性关系, 和之间直线的斜率正好是 .取初值 =0.5,用excel迭代k 0 1 2 3 4x* 1xk 0.5 0.833333333 0.976190476 0.99944629 0.999999694|x(k)-x*| 0.5 0.166666667 0.023809524 0.00055371 3.06425E-07|x(k+1)-x*| 0.166666667 0.023809524 0.00055371 3.06425E-07 9.39249E-14 Ln|(x(k)-x*)| -0.693147181 -1.791759469 -3.737669618 -7.498869734-14.99829302Ln|(x(k+1)-x*)| -1.791759469 -3.737669618 -7.498869734 -14.99829302-29.99628121下面用最小二乘法拟合来确定和即得到它的收敛阶. (令 = , = )k 1 2 3 4 5 对每行求和-0.69314718 -1.79175947 -3.737669618 -7.498869734 -1.50E+01 -28.719739 ( )^20.480453015 3.210401998 13.97017417 56.23304729 224.9487929 298.8428694-1.79175947 -3.737669618 -7.498869734 -1.50E+01 -3.00E+01 -58.02458003 ( )* ( |)1.241953025 6.697004934 28.02829757 1.12E+02 449.8930145 598.343316则得到的法方程组为 = ，通过最后计算得 = 1.979808375 =-0.233000048由于误差的原因，则 2，即该牛顿迭代的收敛阶为2，也即该牛顿迭代具有二阶收敛性.6:总结本文主要对牛顿迭代法的收敛性进行分析.即主要对其收敛条件、重根情形下牛顿迭代法的收敛性、改进牛顿法的收敛性以及从数值上去估计牛顿迭代的收敛阶等进行分析.将其收敛条件进行不同层次的减弱,通过理论证明仍能得到其牛顿迭代法的局部收敛性;对重根情形,当重数是已知时,运用牛顿迭代法和修正牛顿迭代法,以实际例题进行分析得出:修正牛顿法的收敛速度较牛顿迭代法快一些.当重数未知时,给出一个定理,并得出牛顿迭代具有二阶收敛速度; 还给出牛顿法的另一改进方法—弦割法的收敛定理,得出弦割法具有超线性收敛速度;在分析牛顿迭代法的收敛速度的基础上，从另一个角度即通过具体的数值实验上估计牛顿迭代法的收敛阶.。

牛顿迭代法的优化算法和改进方法牛顿迭代法是一种求解非线性方程的方法，在数值计算中被广泛使用。

它基于函数的一阶和二阶导数信息，通过不断逼近零点来求解方程。

然而，牛顿迭代法在实际应用中也存在一些问题，例如收敛速度慢、收敛精度不稳定等等。

为了克服这些问题，人们提出了一系列的优化算法和改进方法，以提高牛顿迭代法的效率和精度。

一、牛顿迭代法的基本原理牛顿迭代法通过不断逼近函数的零点来求解方程，具体步骤如下：1.选取初始点$x_0$；2.根据函数$f(x)$在$x_k$处的一阶和二阶导数信息，计算出$x_k$处的切线和二次曲面，并求出它们与$x$轴（即解的数值）的交点$x_{k+1}$；3.将$x_{k+1}$作为新的初始点，重复步骤2，直至满足收敛条件。

其中，收敛条件通常为$|f(x_{k+1})|<\epsilon$，其中$\epsilon$为预设的误差限。

二、牛顿迭代法的优化算法虽然牛顿迭代法具有较高的精度和收敛性，但在实际应用中，它的收敛速度有时会很慢，甚至不能收敛。

为解决这些问题，人们提出了以下的优化算法。

1.牛顿-拉夫森方法牛顿-拉夫森方法是牛顿迭代法的一种变体，它在求解$x_{k+1}$时，采用了一种修正迭代式：$$x_{k+1}=x_k-f(x_k)/f'(x_k)+O(f''(x_k)f(x_k)^2)$$该方法通过引入$f''(x_k)$来修正$x_{k+1}$的值，进一步减小迭代误差，加快收敛速度。

但该方法的计算量比牛顿迭代法大，需要对$f''(x_k)$进行严格求解。

2.海森矩阵的简化牛顿迭代法海森矩阵是牛顿迭代法中最重要的部分，它在计算二次曲面时起着关键作用。

然而，海森矩阵的计算量很大，而且在高维问题中可能变得非常不稳定。

为了减少计算复杂度和提高数值稳定性，人们提出了一种简化的牛顿迭代法，即使用$f'(x_k)$代替海森矩阵$f''(x_k)$，从而简化了计算过程并提高了数值稳定性。

北京化工大学
硕士学位论文
牛顿迭代法的改进格式及其收敛阶
姓名：薛雅萍
申请学位级别：硕士
专业：应用数学
指导教师：吴开谡
20080509
牛顿迭代法的改进格式及其收敛阶
作者：薛雅萍
学位授予单位：北京化工大学
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1.期刊论文薛雅萍.吴开谡.刘晓晶.XUE Ya-ping.WU Kai-su.LIU Xiao-jing求解非线性算子方程的梯形牛顿法-
应用泛函分析学报2009,11(1)
在Banach空间中研究非线性算子方程F(x)=0的近似求解问题.首先,把实函数数值积分的梯形公式推广到非线性泛函的Bochner积分中来,得到Bochner积分的梯形公式;然后,利用这一公式来构造牛顿迭代法的变形格式,从而得到梯形牛顿法,并在弱条件的α-判据下借助于优函数技巧证明了它的收敛性.
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几种具有高阶收敛速度的改进牛顿迭代法摘要在本文，我们提出了具有不同阶的改进牛顿迭代法来求解非线性方程。

这些改进的牛顿迭代法基于不同的思想构造出来。

在正文中，我们会对这些迭代方法的构造思想进行详细地阐述，并对它们的收敛性加以严格证明。

关键词牛顿迭代法收敛速度收敛效率指数非线性方程迭代法1. 绪论在科学研究与工程技术中常会遇到求解非线性方程的问题，其中若为多项式或超越函数则将该方程称为代数方程或超越方程。

对于不高于四次的代数方程已有求根公式，而高于四次的代数方程则无精确的求根公式，至于超越方程就更无法求其精确解了。

如在光的衍射理论中，我们需要求的根；在行星轨道的计算中，对任意的和，我们需要求的根；而在数学中，需要求次多项式的根。

近年来，随着计算机技术的快速发展，求解非线性方程的数值解法也有了很大的发展。

一般来说，数值方法求根的近似值需要解决以下三个问题：（1）根的存在性。

（2）根的隔离：找出有根区间，把有根区间分成较小的子区间，每个子区间有一个根，实现根的隔离。

（3）根的精确化：对已知根的初始近似值，逐步精确化，使其近似程度提高，直到满足要求的精度。

对于（1）和（2）所涉及的问题，我们可以利用文献[7]中所介绍的数学软件Mathematica和Matlab等的绘图功能绘制函数的图像，判断方程有无实根并找出方程的有根区间。

在文献[1, 2]中介绍：求根方法中最简单、最直观的方法是二分法，但在实际应用中，求解非线性方程的主要方法是迭代法。

它的基本思想是通过构造一个递推关系式（即迭代格式），计算出根的近似值序列，并希望该序列能够收敛于方程的根。

评价一个迭代公式的优劣，除了收敛条件外，还要看它的效率指数，即达到规定的精确度所花费的代价。

因此如何构造收敛的迭代公式，分析公式的收敛条件和收敛速度，以及加快收敛的技术，这些都是迭代法研究的课题。

2. 不同阶的改进牛顿迭代法的建立2.1 衡量迭代法优劣的标准为了研究迭代法的收敛速度，先给出收敛阶和收敛效率指数的定义，它们是衡量一个迭代法优劣的标准。

牛顿迭代法的基本原理知识点牛顿迭代法是一种求解方程近似解的数值计算方法，通过不断逼近方程的根，以获得方程的解。

它基于牛顿法则和泰勒级数展开，被广泛应用于科学和工程领域。

本文将介绍牛顿迭代法的基本原理和相关知识点。

一、牛顿迭代法的基本原理牛顿迭代法的基本原理可以总结为以下几个步骤：1. 假设要求解的方程为 f(x) = 0，给定一个初始近似解 x0。

2. 利用泰勒级数展开，将方程 f(x) = 0 在 x0 处进行二阶近似，得到近似方程：f(x) ≈ f(x0) + f'(x0)(x - x0) + 1/2 f''(x0)(x - x0)^23. 忽略近似方程中的高阶无穷小，并令f(x) ≈ 0，得到近似解 x1：0 ≈ f(x0) + f'(x0)(x1 - x0) + 1/2 f''(x0)(x1 - x0)^2求解上述方程，得到近似解 x1 = x0 - f(x0)/f'(x0)。

4. 通过反复迭代的方式，不断更新近似解，直到满足精度要求或收敛于方程的解。

二、牛顿迭代法的收敛性与收敛速度牛顿迭代法的收敛性与收敛速度与初始近似解 x0 的选择和方程本身的性质有关。

1. 收敛性：对于某些方程，牛顿迭代法可能无法收敛或者收敛到错误的解。

当方程的导数为零或者初始近似解离根太远时，迭代可能会发散。

因此，在应用牛顿迭代法时，需要对方程和初始近似解进行合理的选择和判断。

2. 收敛速度：牛顿迭代法的收敛速度通常较快，二阶收敛的特点使其在数值计算中得到广泛应用。

在满足收敛条件的情况下，经过每一次迭代，近似解的有效数字将至少加倍，迭代次数的增加会大幅提高精度。

三、牛顿迭代法的优点与局限性1. 优点：1) 收敛速度快：牛顿迭代法的二阶收敛特性决定了它在求解方程时的高效性和快速性。

2) 广泛适用：牛顿迭代法可以用于求解非线性方程、方程组和最优化问题等，具有广泛的应用领域。

改进的高斯牛顿法高斯-牛顿法是牛顿法的特例，用于寻找函数的最小值。

而改进的高斯-牛顿法则是在高斯-牛顿法的基础上进行了一些改进，以提高其计算效率和精度。

具体来说，改进的高斯-牛顿法引入了信赖区域的概念，在求解增量Δ x k \Delta {x_k}Δxk时，对其设置了信赖区域。

通过求得增量Δ x k \Delta {x_k}Δxk对其近似效果进行了量化，并根据量化结果对信赖区域进行调整，再从新计算增量Δ x k \Delta {x_k}Δxk，直到近似效果量化结果达到阈值。

此外，改进的高斯-牛顿法还引入了阻尼项，以更好地处理病态问题。

阻尼项的作用是限制步长的大小，避免算法陷入局部最优解，从而提高算法的全局搜索能力。

总的来说，改进的高斯-牛顿法是一种有效的方法，能够提高计算效率和精度，并能够更好地处理病态问题。

牛顿法和改进的高斯牛顿法都是求解无约束最优化问题的方法，但它们在实现方式和收敛速度上存在一些差异。

牛顿法是一种基于目标函数的二阶导数信息进行迭代的方法。

它通过构造一个二次函数来逼近目标函数，并利用牛顿迭代公式求解该二次函数的根，从而得到目标函数的极小值点。

牛顿法的收敛速度较快，但需要计算目标函数的二阶导数信息，计算量较大。

改进的高斯牛顿法是在牛顿法的基础上进行了一些改进。

它利用目标函数的雅可比矩阵和海塞矩阵的关系，将目标函数表示为一个线性函数的转置，从而避免了计算海塞矩阵，减少了计算量。

同时，改进的高斯牛顿法引入了阻尼项和信赖区域的概念，以更好地处理病态问题和提高全局搜索能力。

总的来说，改进的高斯牛顿法在计算量和全局搜索能力方面优于牛顿法，但牛顿法的收敛速度可能更快。

在实际应用中，可以根据问题的特性和需求选择合适的方法。

牛顿迭代法的优化理论和方法一、引言优化问题是现代科学和工程中一个重要的问题。

牛顿迭代法是一种常用的优化算法，用于解决非线性优化问题。

本文将介绍牛顿迭代法的原理、算法以及应用。

二、牛顿迭代法的原理牛顿迭代法的原理是利用二阶导数信息来构造一个二次近似函数，通过求解这个近似函数的零点来逼近原函数的零点。

具体来说，假设我们要求解方程 $f(x) = 0$，考虑在 $x_0$ 处对$f(x)$ 进行泰勒展开：$$ f(x) = f(x_0) + f'(x_0)(x-x_0) +\frac{1}{2}f''(\xi)(x-x_0)^2 $$ 其中 $\xi$ 位于 $x$ 和 $x_0$ 之间。

假设 $x_0$ 是方程的一个近似解，那么我们可以忽略高阶项，得到一个二次近似函数：$$ f(x) \approx f(x_0) + f'(x_0)(x-x_0) +\frac{1}{2}f''(x_0)(x-x_0)^2 $$ 令上式等于 0，解得：$$ x_1 = x_0 -\frac{f'(x_0)}{f''(x_0)} $$ 这个解 $x_1$ 更接近方程的根，我们可以利用它来作为 $x_0$ 重复上述过程，得到一个更优的解。

三、牛顿迭代法的算法根据上面的原理，可以得到牛顿迭代法的算法：1. 选取初值 $x_0$。

2. 计算 $x_{k+1} = x_k - \frac{f(x_k)}{f'(x_k)}$。

3. 如果收敛，停止迭代；否则返回第二步。

这里的 $f'(x_k)$ 是 $f(x)$ 在 $x_k$ 处的导数。

四、牛顿迭代法的应用牛顿迭代法的应用非常广泛，下面列举几个常见的例子。

1. 求解方程。

对于非线性方程 $f(x) = 0$，可以使用牛顿迭代法求解。

需要注意的是，如果初值选取不恰当，可能会出现迭代不收敛、收敛速度慢等情况。

三种牛顿迭代法牛顿迭代法是求解方程的一种常用方法。

它是一种迭代法，基本思想是从一个初始点开始，通过函数的局部线性逼近，求得函数的零点。

然后利用新的零点作为下一次迭代的初始点，直到满足预设的精度要求为止。

三种常用的牛顿迭代法包括：常规牛顿迭代法、改进牛顿迭代法和高效牛顿迭代法。

常规牛顿迭代法是最基本的牛顿迭代法，它通过函数的一阶导数和二阶导数来逼近函数的零点。

具体而言，设$f(x)$是要求解的方程，$x_{k}$是当前的估计解，$f^{prime}(x_{k})$是$f(x)$在$x_{k}$处的一阶导数，$f^{prime prime}(x_{k})$是$f(x)$在$x_{k}$处的二阶导数，则常规牛顿迭代法的迭代公式为：$x_{k+1}=x_{k}-frac{f(x_{k})}{f^{prime}(x_{k})}$ 改进牛顿迭代法是针对常规牛顿迭代法的局限性而提出的。

常规牛顿迭代法在求解某些特定的方程时可能会失效，例如当$f^{prime}(x_{k})$接近于零时，迭代公式会出现除零的情况。

改进牛顿迭代法通过加入一个修正因子来避免这种情况的发生。

具体而言，在计算$x_{k+1}$时，改进牛顿迭代法的迭代公式为：$x_{k+1}=x_{k}-frac{f(x_{k})}{f^{prime}(x_{k})+frac{1}{2}f^ {prime prime}(x_{k})(x_{k+1}-x_{k})}$高效牛顿迭代法是一种优化的牛顿迭代法，它通过使用逆Hessian矩阵来加速迭代收敛。

逆Hessian矩阵是函数$f(x)$在$x_{k}$处的Hessian矩阵的逆矩阵，即$H^{-1}(x_{k})=[f^{prime prime}(x_{k})]^{-1}$，其中$[f^{prime prime}(x_{k})]^{-1}$表示$f(x)$在$x_{k}$处的二阶导数矩阵的逆矩阵。

高效牛顿迭代法的迭代公式为：$x_{k+1}=x_{k}-H^{-1}(x_{k})f(x_{k})$总之，牛顿迭代法是一种重要的求解方程的方法，常规牛顿迭代法、改进牛顿迭代法和高效牛顿迭代法是其中的三种常用方法，每种方法都有其适用范围和优缺点。

改进的牛顿迭代法求解非线性方程摘要：牛顿法思想是将非线性方程线性化，以线性方程的解逐步逼近非线性方程的解，但是其对初值、波动和可能出现的不收敛等缺点，而牛顿下山法克服了可能出现的发散的缺点。

关键词：牛顿法、牛顿下山法、非线性方程一、牛顿法的迭代公式设)(x f 在其零点*x 附近一阶连续可微，且0)(≠'x f ，当*0x x →时，由Taylor 公式有：))(()()(000x x x f x f x f -'+≈以方程0))(()(000=-'+x x x f x f近似方程0)(=x f ，其解)()(0001x f x f x x '-= 可作为方程的近似解，重复上述过程，得迭代公式),1,0(,)()(1 ='-=+n x f x f x x n n n n 该方法称为牛顿迭代法。

二、牛顿法的改进由于牛顿法缺点对牛顿法进行改进，使其计算简单，无需每次迭代都去计算)(x f '，且能够更好的收敛。

2.1简化的牛顿法牛顿法的缺点之一是每次迭代都得去计算)(k x f '。

为回避该问题，常用一个固定 )(k x f '迭代若干步后再求)(k x f '。

这就是简化牛顿法的基本思想。

简化牛顿法的公式为：)(1k k k x cf x x -=+迭代函数 )()(x cf x x -=ϕ若 2)(0,1)(1)(<'<<'-='x f c x f c x 即ϕ，在根*x 附近成立，则迭代法局部收敛。

显然此法简化了计算量，却降低了收敛速度。

2.2牛顿下山法牛顿法的缺点二是其收敛依赖与初值0x 的选取，若0x 偏离所求根*x 较远，则牛顿法可能发散。

为防止迭代发散，我们对迭代过程再附加一项条件，即具有单调性：)()(1k k x f x f <+保证函数值稳定下降，然后结合牛顿法加快收敛速度，即可达目的。

优化数学牛顿法优化数学牛顿法引言：牛顿法是一种常用的数值逼近方法，用于求解方程的根。

它以牛顿迭代公式为基础，通过不断逼近函数的零点来求解方程。

然而，牛顿法在某些情况下存在一些不足之处，需要进行优化，以提高收敛速度和稳定性。

本文将介绍几种优化牛顿法的方法。

一、牛顿法的原理和应用范围牛顿法是一种迭代方法，通过在初始点处对函数进行线性近似，求得近似零点，并以此作为下一次迭代的初始点，反复迭代直至收敛。

牛顿法在求解非线性方程、最优化和插值等问题中广泛应用。

二、牛顿法的不足之处1. 初始点的选择对收敛性有较大影响：牛顿法对初始点的选择十分敏感，不同的初始点可能导致不同的迭代结果，甚至可能无法收敛。

2. 收敛速度慢：在某些情况下，牛顿法的收敛速度较慢，需要进行多次迭代才能达到精度要求。

3. 不稳定性：当函数的二阶导数为0或接近0时，牛顿法可能发散或陷入震荡。

三、优化牛顿法的方法为了克服牛顿法的不足，人们提出了一系列优化方法，旨在提高收敛速度和稳定性。

以下是几种常见的优化方法：1. 初始点的优化选择为了提高牛顿法的收敛性，可以采用合理的初始点选择策略。

例如，可以根据函数的性质和图像来选择初始点，使得初始点更接近函数的零点。

此外，还可以利用其他数值方法的结果作为初始点进行迭代，以提高收敛性。

2. 防止迭代过程发散为了避免迭代过程发散，可以引入合适的收敛判据。

例如，可以设置最大迭代次数，当迭代次数超过一定阈值时，停止迭代并输出结果。

此外，还可以通过判断函数值的变化情况来判断是否发散，如果函数值发散，则调整步长或迭代方法。

3. 改进迭代步长的选择牛顿法的迭代步长对于收敛速度起着重要作用。

为了提高收敛速度，可以采用自适应步长的方法，根据函数的性质和导数的大小来选择合适的步长。

此外，还可以使用加速技术，如割线法和拟牛顿法等，来改进迭代步长的选择。

4. 针对特殊情况的优化方法对于某些特殊的函数或方程，可以采用针对性的优化方法。

求解非线性方程的三种新的迭代法如何构造合适的迭代法求解非线性方程是数值计算中的一个基本问题。

本文对解非线性方程的迭代法进行分析与拓展，以经典的牛顿迭代法和弦截法为基础，构造了三种新的迭代法。

通过数值例子表明，这三种迭代法在一定程度上加快了收敛速度。

标签：非线性方程；迭代法；数值模拟众所周知，现实生活中的许多问题都可以转化为非线性方程解的问题。

但是，由于方程求解问题的复杂性以及直接求解问题的多变性，使得非线性方程的求解绝非易事，一般不能直接对其求解。

因此，迭代法[1-3]是非线性方程求根中最基本、最常用的方法，其思想是寻找一个精确度较高的近似解来代替无法得到的精确解，而不同的迭代格式具有不同的逼近速度与准确度。

近年来，很多学者在牛顿迭代方法的基础上提出了许多改进的迭代法。

张旭[4]构造了一种三阶含牛顿迭代法；单吉宁等[5]对解非线性方程的牛顿法进行了改进；张辉等[6]基于四点牛顿-柯特斯求积公式提出了六阶迭代方法；黄娜等[7]提出一种新的三阶迭代法；王小瑞等[8]构造了条件最优两步迭代法；高建强等[9]探究了牛顿迭代对收敛速度的影响；王尧等[10]提出求解非线性方程的三步六阶迭代法。

为此，本文在上述工作基础上提出了一些新的迭代格式用于求解非线性方程，通过数值例子来检验迭代法的有效性与实用性。

1 三种新的迭代格式1.1 迭代格式一设非线性方程，在方程的解区间之内有一个近似解为，将在近似解点处依泰勒公式对其作展开处理：在牛顿迭代格式中取前两项近似的表示原方程，即：类似地，取前三项近似表示原方程，可以得到：设方程的解为且则有如下：经处理得到新的迭代格式如下：迭代格式（1）式中的右边存在了这一项，将其记作加以区分，将迭代格式更改为：同时对于这一项的计算利用牛顿迭代格式来计算，即，则可得新的迭代格式一：设可控制误差为，则在进行次迭代之后的近似值为。

那么只需时，迭代终止。

1.2 迭代格式二牛顿迭代格式中用差商替换得到了割线法的迭代格式。

牛顿迭代法的收敛性分析和优化牛顿迭代法是求解非线性方程的一种经典方法，其在科学计算和工程实践中具有广泛应用。

本文主要探讨牛顿迭代法的收敛性分析和优化。

一、基本原理牛顿迭代法是利用函数的一阶导数和二阶导数信息来快速逼近非线性方程的根。

假设我们要求解方程$f(x)=0$，其中$f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$是连续可导函数，$x_0$是某个初始估计值。

根据泰勒展开公式，可以得到局部线性近似为$$f(x)\approx f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)+\frac{1}{2}f''(x_0)(x-x_0)^2$$由于$f(x)$在$x=x_0$处为零，因此仅保留一阶项，可得到下面的一次方程$$f'(x_0)(x-x_0)=-f(x_0)$$解得$$x_1=x_0-\frac{f(x_0)}{f'(x_0)}$$$x_1$即为$f(x)=0$的第一个近似根。

类似地，我们可以继续迭代得到第$k$步的近似根$$x_k=x_{k-1}-\frac{f(x_{k-1})}{f'(x_{k-1})}$$当$f'(x_k)\neq 0$时，该迭代公式是收敛的，并且收敛速度相当快，一般为二次收敛。

在实际应用中，牛顿法的迭代次数很少超过10次，速度比其他迭代法快得多。

二、收敛性分析然而，牛顿迭代法并不总是收敛的，尤其当$f'(x_k)=0$时，迭代公式会失效。

此时，我们可以通过对原函数进行曲率调整来解决这个问题。

具体来说，对于第$k$步，定义一个新的函数$g(x)=f(x)/f'(x_k)$，那么$g(x_k)=0$，并且$g'(x_k)\neq 0$。

因此，可以用牛顿迭代法求解$g(x)$的根，得到下面的迭代公式$$x_{k+1}=x_k-\frac{g(x_k)}{g'(x_k)}$$其中，$$g(x)=\frac{f(x)}{f'(x_k)},\hspace{1cm}g'(x)=\frac{f''(x_k)f(x)-[f'(x_k)]^2f'(x)}{[f'(x_k)]^2}$$这个方法称为改进的牛顿迭代法或牛顿-拉夫逊迭代法。

牛顿-拉夫逊方法-概述说明以及解释1.引言1.1 概述牛顿-拉弗逊方法是一种用于求解非线性方程组的数值方法，由数学家牛顿和拉夫逊在17世纪提出。

该方法通过迭代的方式逼近非线性方程组的解，从而实现求解方程组的根的目的。

牛顿-拉夫逊方法是一种经典且广泛应用的数值计算方法，被广泛应用于科学、工程、金融等领域。

本文将对牛顿-拉夫逊方法的定义与原理、应用领域以及优缺点进行深入探讨，旨在帮助读者更好地理解并应用该方法解决实际问题。

通过学习和掌握牛顿-拉夫逊方法，读者可以更高效地解决复杂的非线性方程组，提高问题求解的准确性和精度。

1.2 文章结构:本文将首先介绍牛顿-拉夫逊方法的定义与原理，包括其数学模型和求解过程。

随后将讨论该方法在实际应用中的一些典型领域，比如优化问题、方程求解等。

接着将分析牛顿-拉夫逊方法的优缺点，探讨其在解决实际问题中的局限性和优势。

最后，将对牛顿-拉夫逊方法进行总结，并展望其在未来的应用前景，最终得出结论。

通过这些内容，读者将能够全面了解牛顿-拉夫逊方法的特点及其在科学研究和工程实践中的价值和重要性。

1.3 目的本文旨在深入探讨牛顿-拉夫逊方法，介绍其定义、原理、应用领域以及优缺点。

通过对该方法的全面分析，希望读者能够更清晰地了解牛顿-拉夫逊方法在数值计算中的重要性和实用性，进而为相关领域的研究和实践提供参考和指导。

同时，对牛顿-拉夫逊方法的展望也是本文的一个重要内容，希望能够带给读者新的启发和思考，促进该方法在未来的进一步发展和应用。

最终，通过对牛顿-拉夫逊方法的详细介绍和分析，期望能够为读者打开一扇通往数值计算领域的新视角，激发对该方法以及数值计算理论的兴趣和探索欲望。

2.正文2.1 牛顿-拉夫逊方法的定义与原理牛顿-拉夫逊方法，又称为牛顿迭代法，是一种用于求解方程的数值方法。

它是由著名的物理学家和数学家牛顿发现的一种迭代求根方法，并由拉夫逊进一步完善和推广。

在数学上，牛顿-拉夫逊方法用于求解非线性方程组的根。