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牛顿迭代法李保洋数学科学学院信息与计算科学学号：060424067指导老师：苏孟龙摘要：牛顿在17世纪提出的一种在实数域和复数域上近似求解方程的方法，即牛顿迭代法.迭代法是一种不断用变量的旧值递推新值的过程•跟迭代法相对应的是直接法或者称为一次解法，即一次性解决问题•迭代法又分为精确迭代和近似迭代“牛顿迭代法”属于近似迭代法，本文主要讨论的是牛顿迭代法，方法本身的发现和演变和修正过程，避免二阶导数计算的Newton迭代法的一个改进，并与中国古代的算法，即盈不足术，与牛顿迭代算法的比较•关键词：Newton迭代算法；近似求解；收敛阶；数值试验；中国古代数学;九章算术；Duffing方程；非线性方程；收敛速度；渐进性0引言：迭代法也称辗转法，是一种不断用变量的旧值递推新值的过程，跟迭代法相对应的是直接法或者称为一次解法，即一次性解决问题•迭代法又分为精确迭代和近似迭代•“二分法”和“牛顿迭代法”属于近似迭代法•迭代算法是用计算机解决问题的一种基本方法•它利用计算机运算速度快、适合做重复性操作的特点，让计算机对一组指令（或一定步骤）进行重复执行，在每次执行这组指令（或这些步骤）时，都从变量的原值推出它的一个新值•具体使用迭代法求根时应注意以下两种可能发生的情况：（1）如果方程无解，算法求出的近似根序列就不会收敛，迭代过程会变成死循环，因此在使用迭代算法前应先考察方程是否有解，并在程序中对迭代的次数给予限制•（2）方程虽然有解，但迭代公式选择不当，或迭代的初始近似根选择不合理，也会导致迭代失败•所以利用迭代算法解决问题，需要做好以下三个方面的工作：1、确定迭代变量•在可以用迭代算法解决的问题中，至少存在一个直接或间接地不断由旧值递推出新值的变量，这个变量就是迭代变量2、建立迭代关系式.所谓迭代关系式，指如何从变量的前一个值推出其下一个值的公式（或关系）.迭代关系式的建立是解决迭代问题的关键，通常可以使用递推或倒推的方法来完成.3、对迭代过程进行控制，在什么时候结束迭代过程？这是编写迭代程序必须考虑的问题.不能让迭代过程无休止地重复执行下去.迭代过程的控制通常可分为两种情况：一种是所需的迭代次数是个确定的值，可以计算出来；另一种是所需的迭代次数无法确定.对于前一种情况，可以构建一个固定次数的循环来实现对迭代过程的控制；对于后一种情况，需要进一步分析出用来结束迭代过程的条件.1牛顿迭代法：洛阳师范学院本科毕业论文X 0 牛顿迭代有十分明显的几何意义，如图所示:牛顿 迭代法(Newton method)又称为牛顿-拉夫逊方法(Newto n-Rapfsonmethod)，它是牛顿在17世纪提出的一种在实数域和复数域上近似求解方程的方 法.多数方程不存在求根公式，因此求精确根非常困难甚至不可能，从而寻找方程的近似根就显得特别重要•方法使用函数f x 的泰勒级数的前面几项来寻找方程f x =0的根•牛顿迭代法是求方程根的重要方法之一，其最大优点是在方程f x =0的单根附近具有平方收敛性，而且该法还可以用来求方程的重根、复根. 另外该方法广泛用于计算机编程中：解非线性方程f x ]=0的牛顿(Newton)法是把非线性的方程线性化的一种近似方法•把f x 的x 点附近展开泰勒(Taylor )级' 2 f x = f x 0 f X - X 0 f x 0 ］亠 ix - X 0取其线性部分作为非线性方程f x =0的近似方程，则有:f X 。
解非线性方程的牛顿迭代法及其应用
柳辉
【期刊名称】《《重庆理工大学学报（自然科学版）》》
【年(卷),期】2007(021)008
【摘要】牛顿迭代法也称为牛顿切线法,是解非线性方程的一种方法,通过实例对该方法进行了介绍,包括其理论依据、误差估计、收敛阶数、迭代法初始值的选取规则等.
【总页数】4页(P95-98)
【作者】柳辉
【作者单位】兰州交通大学数理与软件工程学院兰州 730070
【正文语种】中文
【中图分类】O241.7
【相关文献】
1.二分法和牛顿迭代法求解非线性方程的比较及应用 [J], 张晓勇;王仲君
2.构造一种六阶牛顿迭代法解非线性方程组 [J], 张辉;陈豫眉;周琴
3.解非线性方程牛顿迭代法的一种新的加速技巧 [J], 倪健;马昌凤
4.算子方程组的迭代解及其对非线性微分方程积分方程组的应用 [J], 赵增勤;张克梅
5.解非线性方程的牛顿迭代法及其应用 [J], 柳辉
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分析论述牛顿迭代法
牛顿迭代法（Newton's Iteration Method）是一种常用的数
值计算方法，它是由英国数学家牛顿发明的。
它的最大优点是收敛速度快，可以快速地求解方程的根，有效地减少计算时间，是解决方程组和非线性方程的有效方法。
牛顿迭代法是一种基于牛顿插值多项式的数值计算方法。
它把待求解函数f（x）看做一个多项式，然后按照牛顿插值
多项式的算法，从x0出发，反复求解f（x）的极值点，直至
收敛，从而找到函数f（x）的根。
牛顿迭代法的具体步骤如下：（1）给定函数f（x）的初
值x0；（2）计算f（x）的极值点x1；（3）根据误差e = |x1 - x0|，选定迭代次数或者误差界限；（4）更新x0 = x
1，重复（2）（3）步骤，直至误差小于指定界限；（5）得到函数f（x）的根。
牛顿迭代法的收敛速度很快，只需要几次迭代就可以求得函数f（x）的根，而且这种方法也比较简单易行，只要给出
初值，就可以用它来求解一般的非线性方程。
牛顿迭代法的主要缺点是只能求解单根问题，即一元函数的根。
另外，牛顿迭代法的初值必须比较接近函数f（x）的根，如果初值比较远，迭代收敛的速度就会变慢，甚至不收敛。
总之，牛顿迭代法是一种有效的求解一元函数的根的方法，它的收敛速度快，可以有效地减少计算时间。
但是，它只能求解单根问题，而且初值也必须比较接近函数f（x）的根，否
则它的收敛速度就会变慢。
南昌工程学院课程设计姓名：专业：年级：学号：年月日牛顿迭代算法摘要: 牛顿迭代法（Newton's method）又称为牛顿-拉夫逊方法（Newton-Raphsonmethod），它是牛顿在17世纪提出的一种在实数域和复数域上近似求解方程的方法。
多数方程不存在求根公式，因此求精确根非常困难，甚至不可能，从而寻找方程的近似根就显得特别重要。
牛顿迭代法是求方程根的重要方法之一，其最大优点是在方程f(x) = 0的单根附近具有平方收敛，而且该法还可以用来求方程的重根、复根,此时线性收敛，但是可通过一些方法变成超线性收敛。
另外该方法广泛用于计算机编程中。
牛顿迭代法是一个重要的计算方法和思想。
牛顿迭代法的主要功能：计算方程时可以比较快速方便的计算出来结果但并不影响计算出来结果的精确度，运用于多种工业设计和数学设计方面.关键字: 牛顿迭代方程根算法一 .牛顿迭代法简介1.1 牛顿迭代法的概述牛顿迭代法（Newton's method）又称为牛顿-拉夫逊方法（Newton-Raphson method），它是牛顿在17世纪提出的一种在实数域和复数域上近似求解方程的方法。
多数方程不存在求根公式，因此求精确根非常困难，甚至不可能，从而寻找方程的近似根就显得特别重要。
方法使用函数f(x)的泰勒级数的前面几项来寻找方程f(x) = 0的根。
设r是f(x) = 0的根，选取x0作为r初始近似值，过点（x0,f(x0)）做曲线y = f(x)的切线L，L的方程为y = f(x0) f'(x0)(x-x0)，求出L与x轴交点的横坐标 x1 = x0-f(x0)/f'(x0)，称x1为r的一次近似值。
过点（x1,f(x1)）做曲线y = f(x)的切线，并求该切线与x轴的横坐标 x2 = x1-f(x1)/f'(x1)，称x2为r的二次近似值。
重复以上过程，得r的近似值序列，其中x(n+1)=x(n)－f(x(n))/f'(x(n))，称为r的n+1次近似值，上式称为牛顿迭代公式。
牛顿迭代法公式范文牛顿迭代法，也称为牛顿-拉夫逊方法，是一种用来寻找函数零点的常用数值方法。
它是一种迭代方法，通过逐次迭代逼近函数的零点。
牛顿迭代法基于泰勒级数展开，利用函数的局部线性近似求解函数的根。
它在很多科学和工程领域都有广泛的应用，如求解方程、优化问题以及数值计算等。
\[x_{n+1} = x_n - \frac{f(x_n)}{f'(x_n)}\]其中，\(x_{n+1}\)是迭代后的估计值，\(x_n\)是当前的估计值，\(f(x_n)\)是函数在当前估计值处的值，\(f'(x_n)\)是函数在当前估计值处的导数值。
通过不断迭代，我们可以逼近函数的零点。
使用牛顿迭代法求解方程的步骤如下：1.选择一个初始估计值\(x_0\)。
2.计算\(f(x_0)\)和\(f'(x_0)\)。
3. 根据迭代公式计算\(x_1 = x_0 - \frac{f(x_0)}{f'(x_0)}\)。
4.重复步骤2和步骤3，直到满足停止准则（如连续的两次迭代结果的差值小于一些阈值）或达到最大迭代次数。
5.输出最终的迭代结果。
牛顿迭代法的优点是收敛速度快，通常是二次收敛。
然而，它也存在一些限制。
首先，牛顿迭代法要求函数在待求零点附近具有连续可导的性质。
其次，初始估计值的选择可能会影响迭代的结果，选择一个不合适的初始估计值可能导致迭代结果无法收敛或者收敛得很慢。
此外，牛顿迭代法对于多重根或者函数图像的特殊情况可能会出现问题。
虽然牛顿迭代法最初是用来求解方程的，但它也可以应用在其他数值计算的问题上。
例如，可以将优化问题转化为求解方程的形式，然后使用牛顿迭代法来求解最优解。
此外，牛顿迭代法还可以用于数值微分和数值积分等数值计算的问题上。
为了更好地理解牛顿迭代法，我们可以通过一个具体的例子来说明。
假设我们要求解方程\(x^3-2x-5=0\)的根。
首先，我们需要对这个方程进行求导，得到\(f'(x)=3x^2-2\)。
牛顿迭代法（Newton’s Method）又称为牛顿-拉夫逊（拉弗森）方法（Newton-Raphson Method），它是牛顿在17世纪提出的一种在实数域和复数域上近似求解方程的方法。
与一阶方法相比，二阶方法使用二阶导数改进了优化，其中最广泛使用的二阶方法是牛顿法。
考虑无约束最优化问题：其中 \theta^{\ast} 为目标函数的极小点，假设 f\left( \theta \right) 具有二阶连续偏导数，若第 k 次迭代值为 \theta^{k} ，则可将f\left( \theta \right)在\theta^{k}近进行二阶泰勒展开：这里，g_{k}=x^{\left( \theta^{k} \right)}=∇f\left( \theta^{k} \right)是f\left( \theta \right) 的梯度向量在点 \theta^{k}的值， H\left( \theta^{k} \right) 是 f\left( \theta \right) 的Hessian矩阵：在点 \theta^{\left( k \right)}的值。
函数 f\left( \theta \right) 有极值的必要条件是在极值点处一阶导数为0，即梯度向量为0，特别是当H\left( \theta\right) 是正定矩阵时，函数 f\left( \theta \right) 的极值为极小值。
牛顿法利用极小点的必要条件：这就是牛顿迭代法。
迭代过程可参考下图：在深度学习中，目标函数的表面通常非凸（有很多特征），如鞍点。
因此使用牛顿法是有问题的。
如果Hessian矩阵的特征值并不都是正的，例如，靠近鞍点处，牛顿法实际上会导致更新朝错误的方向移动。
这种情况可以通过正则化Hessian矩阵来避免。
常用的正则化策略包括在Hessian矩阵对角线上增加常数α 。
正则化更新变为：这个正则化策略用于牛顿法的近似，例如Levenberg-Marquardt算，只要Hessian矩阵的负特征值仍然相对接近零，效果就会很好。
目录第一章：绪论 (2)第二章 Newton迭代原理 (3)2.1 一般迭代思想的设计 (3)2.2 Newton迭代法的原理 (3)2.3小结： (5)第三章 Newton迭代法的收敛性 (6)3.1 Newton迭代法中不收敛的情况 (6)3.2 定理证明 (7)3.3 Newton迭代法的收敛性分析 (10)3.4小结： (12)第四章两种改进的Newton迭代法 (14)4.1 改进初值x的Newton下山法 (14)4.2 一种新的Newton迭代法加速设计 (15)4.3小结： (16)第五章 Newton迭代法的应用 (17)5.1 Newton迭代法的Matlab实现 (17)5.2 数值举例 (17)5.3小结： (20)总论 (21)参考文献 (22)致谢 (23)第一章绪论在自然科学和工程技术中很多问题的解决常常归结为解非线性方程（组）或者线性方程（组)代数方程组，例如电学中的网络问题，船体数学放样中建立三次样条函数问题，用最小而乘求是实验数据的曲线拟合问题，用差分或者有限元方法解常微分方程等。
关于非线性方程（组）的求解，一般有两类解法：直接法和迭代法。
我们知道，只有一次、二次和三次方程有规范的求根公式，而高于三次的方程0)xf是不存在求根公式的。
因此求根变得一异常的困难。
而科学计算却(很好解决了这一问题，其中最基本的算迭代法了，它对于解决非线性方程（组）的根变得异常方面。
就迭代法而言，Newton迭代法可算是其经典之作。
Newton迭代法又称为Newton-Raphson迭代法，它是Newton在17世纪提出的一种在实数域和复数域上近似求解方程的方法。
牛顿迭代法是求非线性方程（组）根的重要方法之一，其迭代格式简单，且在单根附近具有平方收敛，而且该法还可以用来求方程的重根、复根。
关于Newton迭代法，许多学者为之做了相当多的研究，并且留下了很多经典的文献([2-6])。
Newton迭代法在解决Banach空间中非线性方程或方程组的应用更为重要，如梯形Newton迭代法。
“牛顿迭代法”最新进展文献综述牛顿法是一种重要的迭代法，它是逐步线性化的方法的典型代表。
牛顿迭代法又称为牛顿-拉夫逊方法，它是牛顿在17世纪提出的一种在实数域和复数域上近似求解方程的方法。
多数方程不存在求根公式，因此求精确根非常困难，甚至不可能，从而寻找方程的近似根就显得特别重要。
方法使用函数f(x)的泰勒级数的前面几项来寻找方程f(x) = 0的根。
牛顿迭代法是求方程根的重要方法之一，其最大优点是在方程f(x) = 0的单根附近具有平方收敛，而且该法还可以用来求方程的重根、复根。
另外该方法广泛用于计算机编程中。
介绍一下牛顿迭代法研究的前沿进展，1992年南京邮电学院基础课部的夏又生写的一篇题名一类代数方程组反问题的牛顿迭代法，对一类代数方程组反问题提出了一个可行的迭代解法。
从算法上看,它是一种解正问题—迭代—解正问题迭代改善的求解过程。
湖南师范大学的吴专保;徐大发表的题名堆浸工艺中浸润面的非线性问题牛顿迭代方法，为了研究堆浸工艺的机理,用牛顿迭代公式寻求浸润面的非线性方程的数值解,经过14次迭代的误差达到了,说明此算法收敛有效。
浙江大学电机系的林友仰发表的牛顿迭代法在非线性电磁场解算中的限制对非线性电磁场解算中的限制做了分析，求解非线性方程组时迭代法是不可避免的。
牛顿—拉斐森迭代法由于它的收敛速度快常被优先考虑。
应用这个方法的主要问题是求雅可比矩阵。
因为雅可比矩阵元素的计算非常费时。
然而,本文要说明的是当利用以三角形为单元的有限元法求解非线性方程组时,应用牛顿法其雅可比矩阵容易求得,并且它保持了原系数的对称性和稀疏性,因而节省了时间。
与此相反,若在差分法中应用牛顿迭代,并且按习惯用矩形网格进行剖分,则雅可比阵的计算很费时,而且不再保持原有对称性,这就使得存贮量和计算时间大为增加。
南株洲工学院信息与计算科学系的吕勇;刘兴国发表的题名为牛顿迭代法加速收敛的一种修正格式，主要内容牛顿迭代法是求解非线性方程的一种重要的数值计算方法,在通常情况下,它具有至少平方收敛。
牛顿迭代法及其应用[摘要]本文研究应用泰勒展开式构造出牛顿迭代法，论证了它的局部收敛性和收敛阶。
分别讨论了单根情形和重根情形，给出了实例应用。
最后给出了离散牛顿法的具体做法。
[关键词] 关键词：泰勒展开式，牛顿迭代法及其收敛性，重根，离散牛顿法。
1.牛顿法及其收敛性求方程f（x）=0的根，如果已知它的一个近似,可利用Taylor展开式求出f(x)在附近的线性近似，即，ξ在x与之间忽略余项，则得方程的近似右端为x的线性方程，若，则解,记作,它可作为的解的新近似，即(2.4.1)称为解方程的牛顿法.在几何上求方程的解，即求曲线y=f(x)与x轴交点.若已知的一个近似,通过点(，f())作曲线y=f(x)的切线，它与x轴交点为,作为的新近似，如图1所示图1关于牛顿法收敛性有以下的局部收敛定理.定理1设是f(x)=0的一个根，f(x)在附近二阶导数连续，且，则牛顿法(2.4.1)具有二阶收敛，且(2.4.2)证明由式(2.4.1)知迭代函数,，,而，由定理可知，牛顿迭代(2.4.1)具有二阶收敛，由式可得到式(2.4.2).证毕.定理表明牛顿法收敛很快，但在附近时才能保证迭代序列收敛.有关牛顿法半局部收敛性与全局收敛定理.此处不再讨论.例1用牛顿法求方程的根.,牛顿迭代为取即为根的近似，它表明牛顿法收敛很快.例2设＞0，求平方根的过程可化为解方程.若用牛顿法求解，由式(2.4.1)得(2.4.3)这是在计算机上作开方运算的一个实际有效的方法，它每步迭代只做一次除法和一次加法再做一次移位即可，计算量少，又收敛很快，对牛顿法我们已证明了它的局部收敛性，对式(2.4.3)可证明对任何迭代法都是收敛的，因为当时有即,而对任意，也可验证,即从k=1开始，且所以｛｝从k=1起是一个单调递减有下界的序列，｛｝有极限.在式(2.4.3)中令k→∞可得，这就说明了只要，迭代(2.4.3)总收敛到,且是二阶收敛.在例2.4的迭代法(3)中，用式(2.4.3)求只迭代3次就得到=1.732 051,具有7位有效数字.求非线性方程f(x)=0的根x*,几何上就是求曲线y=f(x)与x轴交点x*，若已知曲线上一点过此点作它的切线。
基于牛顿迭代法的概位修正误差分析I. 引言- 研究背景介绍- 研究意义阐述- 研究目的明确II. 牛顿迭代法的原理- 牛顿迭代法的基本思想- 算法流程详解- 优缺点分析III. 概位修正误差分析的基本概念- 概位修正误差的基本定义- 概位修正误差的来源与类型- 算法原理及数学模型IV. 牛顿迭代法在概位修正误差分析中的应用- 概位修正误差的矫正方法探究- 牛顿迭代法在概位修正误差中的应用- 实例分析及算法效果评估V. 结论- 研究结果总结- 研究意义回顾- 研究展望和未来方向VI. 参考文献- 文献综述及引用说明- 参考文献总结第一章节：引言随着现代科技的发展，高精度导航控制技术已经成为现代国防建设和各大行业的重要组成部分。
在卫星导航领域，GPS、GLONASS等全球定位卫星系统已经成为最常用的卫星导航手段。
虽然这些系统能够提供优质的导航数据，但是由于卫星轨道误差和信号传输误差的影响，定位结果中难免存在误差。
因此，对于卫星导航系统进行精度修正是非常必要的。
在卫星导航系统的精度修正过程中，概位修正误差一直是一个重要的研究领域。
它会直接影响到卫星导航的精确性和可靠性。
概位修正误差通常是由于接收机天线高度角的变化、地球周围势场影响以及大气影响等因素造成的，这也是卫星导航系统中最大的误差源之一。
为了解决概位修正误差的问题，牛顿迭代法受到了广泛的关注和研究。
牛顿迭代法是一种非常常用的数值分析方法，它可以用于解决非线性方程组和求解优化问题。
它的基本思想是通过不断迭代逼近方程的根或极值点。
本文主要通过对牛顿迭代法在概位修正误差中的应用进行研究，探讨其在卫星导航领域的意义和价值。
文章将从以下几个方面展开研究：第一部分，将对牛顿迭代法进行简单介绍，包括算法的基本思想、流程、优缺点等方面，以便为后续研究打下基础。
第二部分，将对概位修正误差的基本概念进行介绍，包括定义、来源以及算法原理和数学模型。
这一部分的研究将为后续对牛顿迭代法在概位修正误差中的应用提供必要的理论依据。
§3.4 牛顿迭代法牛顿迭代法也称为牛顿-拉夫森(Newton-Raphson)迭代法，它是数值分析中最重要的方法之一，它不仅适用于方程或方程组的求解，还常用于微分方程和积分方程求解。
3.4.1 牛顿迭代法用迭代法解非线性方程时，如何构造迭代函数是非常重要的，那么怎样构造的迭代函数才能保证迭代法收敛呢？牛顿迭代法就是常用的方法之一，其迭代格式的来源大概有以下几种方式：1设],[)(2b a C x f ∈，对)(x f 在点],[0b a x ∈作泰勒展开： !2))((''))((')()(20000x x f x x x f x f x f -+-+=ξ略去二次项，得到)(x f 的线性近似式：))((')()(000x x x f x f x f -+≈。
由此得到方程=)(x f 0的近似根(假定≠)('0x f 0)，)(')(000x f x f x x -=即可构造出迭代格式(假定≠)('k x f 0)：)(')(1k k k k x f x f x x -=+ 公式(3.4.1)这就是牛顿迭代公式，若得到的序列{k x }收敛于α，则α就是非线性方程的根。
2 牛顿迭代法也称为牛顿切线法，这是由于)(x f 的线性化近似函数)(x l ＝))((')(000x x x f x f -+是曲线y ＝)(x f 过点))(,(00x f x 的切线而得名的，求)(x f 的零点代之以求)(x l 的零点，即切线)(x l 与x 轴交点的横坐标，如右图所示，这就是牛顿切线法的几何解释。
实际上，牛顿迭代法也可以从几何意义上推出。
利用牛顿迭代公式，由k x 得到1+k x ，从几何图形上看，就是过点))(,(k k x f x 作函数)(x f 的切线k l ，切线k l 与x 轴的交点就是1+k x ，所以有1)()('+-=k k k k x x x f x f ，整理后也能得出牛顿迭代公式： )(')(1k k k k x f x f x x -=+。
线性方程组的迭代法应用及牛顿迭代法的改进摘要: 迭代解法就是通过逐次迭代逼近来得到近似解的方法。
由于从不同的问题而导出的线性代数方程组的系数矩阵不同，因此对于大型稀疏矩阵所对应线性代数方程组，用迭代法求解。
本文论述了Jacobi 法，Gauss-Seidel 法，逐次超松弛法这三种迭代法，并在此基础上对牛顿型的方法进行了改进，从而使算法更为精确方便。
关键词:线性方程组，牛顿迭代法，Jacobi 法，Gauss-Seidel 法，逐次超松弛法1.线性方程组迭代法1.1线性方程组的迭代解法的基本思想迭代法求解基本思想:从某一初始向量X （0）=[x 1(0) ,x 2(0) ,……………x n (0) ]出发，按某种迭代规则，不断地对前一次近似值进行修改，形成近似解的向量{X (k)}。
当近似解X (k) =[x 1(k) ,x 2(k) ,……………x n (k) ]收敛于方程组的精确解向量X* =[x 1*,x 2*,……………x n *]时，满足给定精度要求的近似解向量X (k)可作为X*的数值解。
1.2 线性方程组的迭代法主要研究的三个问题(1) 如何构造迭代公式 (2) 向量数列{X (k)}的收敛条件 (3) 迭代的结束和误差估计解线性方程组的迭代解法主要有简单迭代法、 Gauss-Seidel 法和SOR 法。
简单迭代法又称同时代换法或Jacobi 法，是最简单的解线性方程组的迭代解法也是其他解法的基础。
1.3Jacobi 迭代法设方程组点系数矩阵n n j A ai R ⨯⎡⎤=∈⎣⎦满足条件0ii a ≠，i=0,1,2, …n 。
把A 分解为A=D+L+U1112,nn a a D a ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 121,100,0n n n a l a a -⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦1211,000n n n a a U a -⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦在迭代法一般形式中，取N=D, P=-(L+U)形成以下迭代公式(1)1()1(),k k x D l U x D b +--=-++ k=0，1，… （2-1）其中(0)n x R ∈任取。
一、实验目的本次实验旨在通过牛顿迭代法求解非线性方程的根，并分析牛顿迭代法的原理、过程、优缺点以及在实际应用中的表现。
二、实验原理牛顿迭代法，又称牛顿-拉弗森方法，是一种在实数域和复数域上近似求解方程的方法。
其基本思想是利用函数的一阶导数来寻找函数的零点，即函数的根。
设函数f(x)在x0附近连续可导，且f(x0)≠0，那么牛顿迭代法的迭代公式为：x_{n+1} = x_n - f(x_n) / f'(x_n)其中，x_n表示第n次迭代得到的近似根，f(x_n)表示函数在x_n处的函数值，f'(x_n)表示函数在x_n处的导数值。
三、实验过程1. 选择初始值：根据题目要求，选择一个接近方程根的初始值x0。
2. 迭代计算：根据牛顿迭代法公式，计算x1，x2，...，直到满足误差要求。
3. 误差分析：计算每次迭代后近似根与实际根之间的误差，分析迭代过程是否收敛。
四、实验结果与分析1. 实验结果：以方程f(x) = x^3 - 3x + 2 = 0为例，选取初始值x0 = 1，经过6次迭代后，近似根x6 ≈ 1.324718，实际根为x ≈ 1.324717957244746。
2. 结果分析：（1）收敛性：从实验结果可以看出，牛顿迭代法在求解方程f(x) = x^3 - 3x + 2 = 0时具有较好的收敛性。
（2）误差分析：通过计算迭代过程中的误差，可以观察到误差随着迭代次数的增加逐渐减小，说明牛顿迭代法具有较好的精度。
（3）迭代次数：在本次实验中，经过6次迭代即可达到误差要求，说明牛顿迭代法具有较高的效率。
（4）适用范围：牛顿迭代法适用于连续可导且导数不为零的函数，对于不可导或导数为零的函数，牛顿迭代法可能无法得到有效的解。
五、实验结论1. 牛顿迭代法是一种有效的求解非线性方程根的方法，具有较好的收敛性和精度。
2. 牛顿迭代法在实际应用中具有较高的效率，适用于求解连续可导且导数不为零的函数。
设 F ：R → R 是连续可微映射．考虑下面的非线性方程组：拟牛顿法的研究现状文献综述姓名:孟媛媛学号：112111215 指导老师：肖伟前言求解非线性方程组F (x ) = 0的方法有很多，最速下降法具有结构简单，计算量小的优点，但是它的收敛速度 较慢；牛顿法及其改进牛顿法，虽然收敛速度快，但在迭代过程中的每一步构造 搜索方向时，首先要计算目标函数的 Hessian 矩阵，然后需要解一个线性方程组， 计算工作量很大，这就抵消了牛顿法收敛速度快的优点。
为了克服牛顿法的缺点， 人们提出了拟牛顿法，拟牛顿法在构造搜索方向时，只需要利用目标函数及其一 阶导数的信息，避免了 Hessian 矩阵的计算，减少了计算量，并且具有超线性收 敛的优点，经理论证明和实践检验，拟牛顿法已经成为一类公认的比较有效的算 法.拟牛顿法一、求解非线性方程组的拟牛顿法n nF (x ) = 0牛顿法是求解方程组 (1.1) 的经典的方法之一，其迭代格式为：(1.1)x k +1 = x k + d k ， d k = -F '( x k )-1F ( x k ) ，其中 F '( x k ) 是 F 在 x k 处的 Jacobian 阵.牛顿法的一个显著优点就是具有局部的 超线性甚至二阶收敛速度，由于牛顿法这一优点，使其成为颇受欢迎的算法之一，然而，当 Jacobian 矩阵 F '( x k ) 奇异时，牛顿方向可能不存在．克服牛顿法的这一缺陷的一个主要途径就是采用拟牛顿法，其基本思想是利用某个矩阵 B k 作为 F '( x k ) 的近似取代 F '( x k ) .拟牛顿法的一般格式为：(y-B k s k)y+y(y-B s) k k k ky sk (y s)2k(y-B k s k)s k+s k(y-B k s k)Ts s(s k s k)2s s=B-B s s Bs B sy yy sky s x k+1=x k+αk d k，(1.2)d k=-B k-1F(x k)，(1.3)其中αk是步长，通常由某种线性搜索确定.B k是F'(x k)的近似，它满足下面的拟牛顿方程：B k+1s k=(y k)，(1.4)其中y k=F(x k+1)-F(x k),s k=x k+1-x k.注意到y k≈F'(x k+1)s k，因此，B k+1与F'(x k+1)沿方向s k很接近.拟牛顿矩阵B k+1的不同的校正公式导致不同的拟牛顿法.著名的拟牛顿校正公式有Broyden秩一校正公式，对称秩一校正公式，DFP校正公式，BFGS校正公式，PSB校正公式等，它们分别由下面这些公式定义：B DFP k+1=B k+TTkk kT-(y k-B k s k)TTks k yk yTk;B PSB k+1=B k+k k TTk k-(y k-B k s k)TTs kk kT;B BFGS k+1B R1k+1=B k+(y k-B k s k)(y k-B k s k)T(y k-B k s k)T s k.容易看到，DFP，PSB，BFGS，SR1校正公式都是对称的，他们适合求解对称问题，而Broyden R1校正公式是不对称的，因此它常被用来求非对称问题.如果Tk k>0，则DFP和BFGS公式保持迭代矩阵B k的对称正定性，而其它几种方法不具有这种性质.PSB校正公式在非线性最小二乘问题中经常被采用.BFGS 公式是颇受欢迎的拟牛顿公式，它具有DFP校正所具有的各种性质.此外，当采用Wolfe线性搜索时，BFGS算法对凸极小化问题具有全局收敛性质，这个性质对于DFP方法是否成立尚不清楚.大量的数据结果表明，BFGS方法的数值效果优于其它的拟牛顿方法.拟牛顿法不需要明显计算Jacobian阵，同时保持牛顿法的快速收敛速度.自20世纪60年代Broyden第一次提出求解非线性方程组的拟牛顿法后，因其深邃丰富的理论知识和实际计算中的有效性，很快受到最优化工作者和计算数学家的特别青睐.特别是拟牛顿法的局部收敛性得到了广泛的研究.此外，人们对拟牛其中σ1>0是常数，∑η<∞;在适当条件下，文献[3]证明了求解非线性方程组k=0B s s B s B s y y y sk顿法求解无约束问题的全局收敛性分析进行了相当的努力并且取得了巨大进展．尽管拟牛顿法的局部收敛性结果十分丰富，但是其求解非线性方程组的全局收敛性结果却很少．全局化方法x k+1=x k+αk d k需要采用某种搜索计算步αk，但是此时拟牛顿方向一般不再是某个度量函数的下降方向，从而使得线性搜索难以实现或考说缺少一种有效的线性搜索.Griewank在1986年研究了解非线性方程组的Broyden秩一方法的全局收敛性，并在文献[2]中提出了一种无导数的线性搜索，同时证明了Broyden方法在该搜索下的全局收敛性．Li和Fukushima在文献[3]中构造了一个反例表明Griewank在文献[2]中的线性搜索在计算中可能会产生某些困难，即该搜索不是适定的.为克服此缺陷，Li和Fukushima提出了一种非单调搜索技术：求步长αk使得F(x k+αk d k)≤F(x k)-σ1αk d k2+ηk F(x k)∞k的Broyden方法的全局收敛性.关于BFGS方法求解非线性方程组的第一个全局收敛性结果属于Li和Fukushima，1999年，他们在文献[4]中提出了一种新的近似范数下降的BFGS方法，称之为Gauss—Newton型BFGS方法，其拟牛顿方向由下面的方程决定：B k d+q k=0，其中q k=正：F(x k+λk-1F(x k))-F(x k)λk-1≈F'(x k)F(x k),B k由下面的BFGS公式校B k+1=B k-kkkTk k kTk+k kTTk,其中s k=x k+1-x k,y k=F(x k+y k)-F(x k),yk=F(x k+1)-F(x k).这种Gauss-Newton型BFGS公式不同于标准的BFGS公式，尽管它仍满足拟牛顿方程B k+1s k=yk.注意到y k≈F'(x k+1)2s k，因此B k+1≈F'(x k+1)2，相应的方法称之为Gauss-Newton型BFGS方法.2003年，GU等人引入了一种范数下降的线性搜索，并利用Li和Fukushima求解无约束优化问题的CBFGS和MBFGS方法的思想,提出了求解对称非线性方程组的范数下降的保守的和修正的Gauss—Newton型BFGS方α 》0g ( x k+α kd k) ≥σ d k{ }α= max ρ , j = 0,1,2,满足法，并且证明了这两种方法全局收敛.尽管牛顿法和拟牛顿法都是非常有效的算法，但是它们都需要计算和存储矩 阵，这难以用于求解大型问题．最近，Cruz 和 Raydan 在文献[5]提出了一种求解 一般的非线性方程组的非单调的谱梯度方法并证明了其全局收敛性．Zhang 和 Zhou 在文献[6]提出了一种求解单调非线性方程组的谱梯度投影方浃法建立了全 局收敛性结果.这两种谱梯度方法都适合求大规模问题，察实上，这两种谱梯度方 法是求解无约束优化问题的谱梯度方法在非线性方程组中的推广．前面讨论的都是拟牛顿法求解光滑非线性方程组的已有结果。
描述迭代过程牛顿法嘿，朋友！今天咱们来聊聊牛顿法这个神奇的东西，特别是它那有趣的迭代过程。
牛顿法啊，就像是在黑暗中摸索着寻找宝藏的探险者。
它不是盲目地乱撞，而是有自己的一套策略。
你想想，假如你在一个大迷宫里，没有任何线索，是不是很容易迷失方向？但如果每次你都能根据一些关键的信息，比如看到的标记或者感觉到的风向，来调整自己的路线，是不是就更有可能找到出口？牛顿法就是这样，每次的计算都是一次调整，都是朝着目标更进一步。
比如说，我们要找一个函数的零点，就好像要找到一个隐藏在黑暗中的神秘点。
一开始，我们可能随便猜一个位置，但这只是个起点。
然后呢，牛顿法就发挥作用了。
它会根据这个点的函数值和导数值，算出一个新的位置。
这就好比你在走路的时候，根据前面的路况和你自己的方向感，来决定下一步往哪走。
牛顿法的每一次迭代，都像是给这个寻找的过程点亮了一盏灯。
它通过不断地计算和修正，让我们越来越接近那个神秘的零点。
再打个比方，把求解的过程想象成射箭。
一开始你可能只是大致瞄准，射出去之后，根据箭的落点和目标的偏差，调整下一次射箭的角度和力度。
牛顿法就是这样，根据当前的情况，精准地调整下一步的计算方向。
而且啊，这个过程不是一蹴而就的。
有时候可能会走点弯路，就像在爬山的时候，以为找到了一条捷径，结果发现是条死胡同。
但别怕，牛顿法会带着我们重新出发，再次寻找正确的道路。
每次的迭代，都像是给这个谜题增加了一块拼图。
虽然一开始看起来乱七八糟，但随着拼图越来越多，答案也就逐渐清晰起来。
你看，牛顿法的迭代过程不就是这么神奇又有趣吗？它不断地尝试、修正，直到最终找到我们想要的答案。
这不正是探索未知的魅力所在吗？所以说，牛顿法可真是数学世界里的一位聪明的向导，带着我们在求解的道路上越走越顺！。
“牛顿迭代法”最新进展文献综述牛顿法是一种重要的迭代法，它是逐步线性化的方法的典型代表。
牛顿迭代法又称为牛顿-拉夫逊方法，它是在17世纪提出的一种在实数域和复数域上近似求解方程的方法。
多数方程不存在求根公式，因此求精确根非常困难，甚至不可能，从而寻找方程的近似根就显得特别重要。
方法使用函数f(x)的泰勒级数的前面几项来寻找方程f(x) = 0的根。
牛顿迭代法是求方程根的重要方法之一，其最大优点是在方程f(x) = 0的单根附近具有平方收敛，而且该法还可以用来求方程的重根、复根。
另外该方法广泛用于计算机编程中。
介绍一下牛顿迭代法研究的前沿进展，1992年南京邮电学院基础课部的夏又生写的一篇题名一类代数方程组反问题的牛顿迭代法，对一类代数方程组反问题提出了一个可行的迭代解法。
从算法上看,它是一种解正问题—迭代—解正问题迭代改善的求解过程。
湖南师范大学的吴专保;徐大发表的题名堆浸工艺中浸润面的非线性问题牛顿迭代方法，为了研究堆浸工艺的机理,用牛顿迭代公式寻求浸润面的非线性方程的数值解,经过14次迭代的误差达到了,说明此算法收敛有效。
浙江大学电机系的林友仰发表的牛顿迭代法在非线性电磁场解算中的限制对非线性电磁场解算中的限制做了分析，求解非线性方程组时迭代法是不可避免的。
牛顿—拉斐森迭代法由于它的收敛速度快常被优先考虑。
应用这个方法的主要问题是求雅可比矩阵。
因为雅可比矩阵元素的计算非常费时。
然而,本文要说明的是当利用以三角形为单元的有限元法求解非线性方程组时,应用牛顿法其雅可比矩阵容易求得,并且它保持了原系数的对称性和稀疏性,因而节省了时间。
与此相反,若在差分法中应用牛顿迭代,并且按习惯用矩形网格进行剖分,则雅可比阵的计算很费时,而且不再保持原有对称性,这就使得存贮量和计算时间大为增加。
南株洲工学院信息与计算科学系的吕勇;刘兴国发表的题名为牛顿迭代法加速收敛的一种修正格式，主要内容牛顿迭代法是求解非线性方程的一种重要的数值计算方法,在通常情况下,它具有至少平方收敛。
本文利用文献[4]所建立的迭代格式xn+1=xn-αf(xfn)(x+n)f′(xn),对迭代格式中的参数α的讨论,实现了牛顿迭代法加速收敛的一种修正格式。
O5年江南大学理学院张荣和他的伙伴薛国民发表了一篇名为修正的三次收敛的牛顿迭代法的论文，给出了牛顿迭代法的两种修正形式,证明了它们都是三阶收敛的,给出的相互比较的数值例子有力地说明了这一点。
哈尔滨工程大学水声工程学院的王大成和雷亚辉一块和丁士圻在07年做了一篇题名基于牛顿迭代法的频不变响应阵设计的文献，为了避免空间指向性随频率变化造成发射或接收信号失真,目标检测与分类用主动声呐常采用频不变响应阵。
频域加权矢量的计算是设计频不变响应阵的关键技术。
首先根据基阵对空间信号的接收模型给出频不变响应阵的定义,接着从描述基阵实际空间响应和预成空间响应之间差异的数学表达式出发,提出了频不变指数的概念,进而结合所研究问题的目标函数特性给出了利用牛顿迭代法获得实现频不变响应阵所需频域加权矢量的新算法。
针对均匀线阵和圆弧阵所作的计算机仿真结果表明,新算法不但收敛速度快、计算精度高,而且不受基阵类型和阵元指向性的限制。
张子贤河北工程技术高等专科学校在93年发表一篇题名牛顿迭代法在内部回收率推求中的应用主要内容是<正> 在水利工程经济分析和财务分析中,内部回收率是《水利经济计算规范》中规定的方法之一。
所谓内部回收率是指工程内在的回收投资的能力或内在的取得报酬的能力。
也就是要计算出什么利率下,该工程在整个经济计算期内的效益现值与该工程的全部投资、年运行费用现值相等。
湖南师范大学的吴专保，徐大为了研究堆浸工艺的机理,用牛顿迭代公式寻求浸润面的非线性方程的数值解,经过14次迭代的误差达到了,说明此算法收敛有效，发表了堆浸工艺中浸润面的非线性问题牛顿迭代方法。
85年浙江大学电机系的林悠扬发表题名牛顿迭代法在非线性电磁场解算中的限制，在文献中讨论了求解非线性方程组时迭代法是不可避免的。
牛顿—拉斐森迭代法由于它的收敛速度快常被优先考虑。
应用这个方法的主要问题是求雅可比矩阵。
因为雅可比矩阵元素的计算非常费时。
然而,本文要说明的是当利用以三角形为单元的有限元法求解非线性方程组时,应用牛顿法其雅可比矩阵容易求得,并且它保持了原系数的对称性和稀疏性,因而节省了时间。
与此相反,若在差分法中应用牛顿迭代,并且按习惯用矩形网格进行剖分,则雅可比阵的计算很费时,而且不再保持原有对称性,这就使得存贮量和计算时间大为增加。
08年奥运会中北京化工大学数学系的余明明和吴开谡，张妍发表牛顿迭代法与几种改进格式的效率指数，主要研究牛顿迭代、牛顿弦截法以及它们的六种改进格式的计算效率,计算了它们的效率指数,得到牛顿迭代、改进牛顿法、弦截法和改进弦截法(即所谓牛顿迭代的P.C格式)、二次插值迭代格式、推广的牛顿迭代法、调和平均牛顿法和中点牛顿法的效率指数分别为0.347/n、0.3662/n、0.4812/n、0.4812/n、0.347/n、0.3662/n、0.3662/n、0.3662/n.我们的结果显示,利用抛物插值多项式推出的迭代格式和改进弦截法并没有真正提高迭代的计算效率。
他们还改进弦截法与牛顿弦截法等价。
牛顿迭代法在日常生活中应用非常广泛，许多论文介绍了这种方法，利用这种方法解决了很多实际问题，多数方程不存在求根公式，因此求精确根非常困难，甚至不可能，从而寻找方程的近似根就显得特别重要。
为此我们在学习中要体会这种方法的重要性。
牛顿迭代法是以微分为基础的，微分就是用直线来代替曲线，由于曲线不规则，那么我们来研究直线代替曲线后，剩下的差值是不是高阶无穷小，如果是高阶无穷小，那么这个差值就可以扔到不管了，只用直线就可以了，这就是微分的意义。
牛顿法是牛顿在17世纪提出的一种求解方程f(x)=0.多数方程不存在求根公式，从而求精确根非常困难，甚至不可能，从而寻找方程的近似根就显得特别重要。
牛顿迭代法是取x0之后，在这个基础上，找到比x0更接近的方程的跟，一步一步迭代，从而找到更接近方程根的近似跟。
方法使用函数f(x)的泰勒级数的前面几项来寻找方程f(x) = 0的根。
牛顿迭代法是求方程根的重要方法之一，其最大优点是在方程f(x) = 0的单根附近具有平方收敛，而且该法还可以用来求方程的重根、复根。
另外该方法广泛用于计算机编程中。
罗佑新，李晓峰，罗烈雷，廖德岗组成小组在07年发表一篇题名混沌映射牛顿迭代法与平面并联机构正解研究，主要研究了自然科学与工程中的许多问题都可以转化为非线性方程组的求解问题,牛顿迭代法是重要的一维及多维的迭代技术,其迭代本身对初始点非常敏感。
运用混沌映射xn+1=cos(2/xn)产生初始点,首次提出了基于混沌映射的牛顿迭代法求解非线性方程组的新方法。
对3-RPR平面并联机构正解问题进行了研究,给出了算例。
该方法简单、实用,为实际机构的设计提供了多种选择方案,为机构学设计提供了全新的方法。
北京联合大学应用文理学院的廖章钜写了牛顿迭代法与剖分相结合的一种多项式求根算法，主要解决了牛顿迭代法是多项式求根的一种效率很高的算法，但是它有两个缺点：第一每次只能求出一个ε－根，求其它根时若采用降次处理又会产生精度降低的问题。
第二有时会遇到由于初始点选择不当而使算法失效。
如果将牛顿迭代法与剖分相结合，可以产生一个新的多项式求根算法。
经过对１１０个１０次到２０次多项式的求根检验发现：１）一次求根率（求出根数与应有根数之比）达到８８％以上；２）已经求出的每一个根的平均迭代次数Ｋ（ｄ）＝ｃ（ｄ）·ｄ，其中ｄ为多项式的次数，ｃ（ｄ）＜１４；３）在复数域内求一个根的计算量为Ｏ（ｄ３）次实数乘法。
中国科学院地理信息产业发展中心的张立立发表对牛顿迭代法进行普通多圆锥投影的逆变换算法的改进，研究普通多圆锥投影坐标逆变换可以使用牛顿迭代法来求解超越方程。
但是使用杨启和设计的牛顿迭代法只能对多圆锥投影坐标的部分区域内的数据进行逆变换,不能求解全球范围内的经纬度。
本文对杨启和设计的牛顿迭代法的初值确定进行了改进,可以对全球范围内的数据进行逆变换,利于程序设计和实现。
周新年,罗仙仙,罗桂生,郑丽凤,官印生从悬链线的标准线形出发 ,推导悬索无荷线形及拉力的计算式 ;通过建立状态协调方程 ,导出有荷水平拉力与有荷挠度的关系 ,运用牛顿迭代的数值解法求解悬索有荷线形与拉力。
题名为牛顿迭代法悬索线形与拉力的研究。
廖章钜发表题名与剖分相结合的牛顿迭代法使牛顿迭代法与剖分相结合所产生的新算法显示出: l.几乎可以求出一元复n次多项式的所有根。
2.可以求出二元n次多项式的等位线。
南京师范大学李贤成发表题名3000m障碍跑场地设计的一种新方案——牛顿迭代法在场地设计中的应用，本文用牛顿迭代法求得3000m障碍跑第二弯道所需设计线应对圆心角的弧度和圆的半径,给障碍跑场地的设计和测画提供了理论依据。
兰州工业高等专科学校机械工程系,兰石总厂石化公司的罗文翠,王玉虎写了一篇基于牛顿迭代法计算圆弧齿轮传动公法线长度的文献，这篇文献主要讲述了以圆弧齿轮传动及其测量尺寸公法线长度的计算原理和公式为依据 ,以 6 7型单圆弧齿轮为例 ,提出利用牛顿迭代法计算圆弧齿轮公法线的原理、求解方程流程图、迭代方程及编程 ,比手工计算大大降低了工作量 ,而且精度也得到了很好保证。
宁波高等专科学校电子系洪立给出了牛顿迭代的广义收敛条件，并在Ｂａｎａｃｈ空间中建立了相应的收敛定理．用自己题名为牛顿迭代的收敛条件的文章说明了此收敛条件比ＳｍａｌｅＳ在１９８６年的结果更佳。
武汉化工学院自动化系杨帆,郭德文用题名为“牛顿迭代法”构造高阶 M -J分形图阐述了用“牛顿迭代法”构造高阶 M J分形图的原理、方法及分形图特征 ;并用 VB编制了分形演示程序软件包 ;用计算机模拟了大量分形图。
沈阳化工学院邵国万,刘玉芹发表基于牛顿迭代法的移动机器人编队算法，该文借鉴滚动规划的思想,探究了全局环境未知,障碍物分散条件下移动机器人系统的编队问题。
文中提出的基于牛顿迭代法的移动机器人编队算法,将机器人系统的编队问题分解为各个机器人自主移向预定目标的过程,利用实时探得的局部环境信息,不断修整预定目标而完成编队。
该算法计算量小,实时性强,不受编队形状所限。
仿真结果表明了该算法的有效性。
兰州工业高等专科学校机械系,兰州兰石国民油井工程公司,兰州工业高等专科学校机械系,电源车辆研究所的罗文翠,王玉虎,刘哲,于海滨共同发表题名利用牛顿迭代法计算双圆弧齿轮传动公法线长度，以双圆弧齿轮传动及其测量尺寸公法线长度的计算原理和公式为依据,以 81型双圆弧齿轮为例,提出利用牛顿迭代法计算双圆弧齿轮公法线长度的原理、流程及迭代方程,与手工计算相比大大降低了工作量,而且精度也得到了很好的保证。
