正余弦定理练习高一

归纳小结
问题3 本节课收获了哪些知识，请你从以下几方面总结：
（1）这节课我们发现了什么新知识？我们是如何研究它的？
（2）余弦定理的变式有哪些？三角形的面积公式是什么？
（1）我们发现了余弦定理，三角形面积公式的另一种表达形式；
2 + 2 − 2
2 + 2 − 2
2 + 2 − 2
（1）求cos C；
（2）求△ABC的面积．
解答： （1）由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccos A得b2＋25－5b＝49，
解得b＝－3（舍）或b＝8．
（2）由（1）得： Δ
2 + 2 − 2 49 + 64 − 25 11
∴ cos =
=
=
．
2
2×7×8
14
1
1
= sin = × 8 × 5 sin 60° = 10 3．
2
2
2
a
b
h
A
c
B
初步应用
例1 如图，有两条直线AB和CD相交成80°角，交点为O．甲、乙两人同时从点O分别沿
OA，OC方向出发，速度分别为4 km/h，4.5 km/h．3 h后两人相距多远？（精确到0.1 km）
C
Q
80°
B
O
D
3 h后两人相距16.4 km．
（详解参考教材P109例1的解析．）
= ｜｜2 − 2 ⋅ + ｜｜2
b
c
＝a2＋b2－2ab cos C，
C
同理可证：
a
B
所以c2＝a2＋b2－2abcos C．
a2＝b2＋c2－2bccos A，

高一数学余弦定理试题答案及解析1.在△ABC中，设AD为BC边上的高，且AD = BC，b，c分别表示角B，C所对的边长，则的取值范围是____________．【答案】.【解析】因为BC边上的高AD=BC=a，所以，则，又，所以，其中有tanA=2，又由基本不等式有所以的取值范围.【考点】三角形的面积公式，辅助角公式，余弦定理，基本不等式，正弦函数的定义域与值域.2.已知ABC的重心为G，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则角A为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由于是的重心，,.代入得由于不共线，【考点】平面向量共线定理和余弦定理的应用.3.△中，若，则△的形状为（）A．直角三角形B．等腰三角形C．等边三角形D．锐角三角形【答案】B【解析】由，结合余弦定理得，即有，此题也可运用正弦定理化边为角，从角来判定三角形的形状，可能不及运用余弦定理简便【考点】余弦定理和三角形形状的判定.4.在中，已知，则 .【答案】【解析】由得，由余弦定理，所以，即，在中，,那么.【考点】1.余弦定理；2.特殊角的三角函数值.5.在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知向量，，．(1)求角C的大小； (2)若，求角A的值．【答案】（1）；（2）【解析】解题思路：（1)利用平面向量的垂直的判定得出三角形的三边的关系式，在利用余弦定理求角；（2）利用三角形的三角关系进行消元，使其变为关于角A的式子，再恒等变形求角的正弦值，结合角的范围求角．规律总结：对于以平面向量为载体考查三角函数问题，要正确利用平面向量知识化为三角函数关系式，再利用三角函数的有关公式进行变形．注意点：利用三角函数值求角时，一定要结合角所在的范围求角．试题解析：(1) 由整理得即又又因为，所以(2) 因为，所以故由即，所以．即．因为故所以【考点】1．平面向量垂直的判定；2余弦定理；3．三角恒等变换．6.某货轮在航行中不幸遇险，发出呼救信号，我海军护卫舰在A处获悉后，测得该货轮在北偏东45º方向距离为10海里的C处，并测得货轮正沿北偏东105º的方向、以每小时9海里的速度向附近的小岛靠拢.我海军护卫舰立即以每小时21海里的速度前去营救；则护卫舰靠近货轮所需的时间是小时.【答案】.【解析】由题意可画出如下示意图，假设经过小时处护卫舰靠近了货轮，则可得，，，∴在，由余弦定理可得：.【考点】余弦定理的运用.7.在△ABC中，，则A等于（）．A．60°B．120°C．30°D．150°【答案】B【解析】根据余弦定理:,根据,可得,所以在三角形中．【考点】余弦定理．8.已知的三条边的边长分别为4米、5米、6米，将三边都截掉米后，剩余的部分组成一个钝角三角形，则的取值范围是（）A．05B．15C．13D．14【答案】C【解析】新三角形的三边分别为，其中边长为的边对的角最大记为角，所以角为钝角。

§4.6 正弦定理和余弦定理题组一 思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)三角形中三边之比等于相应的三个内角之比．( × )(2)在△ABC 中，若sin A ＞sin B ，则A ＞B .( √ )(3)当b 2＋c 2－a 2>0时，三角形ABC 为锐角三角形．( × )(4)在△ABC 中，a sin A ＝a ＋b －c sin A ＋sin B －sin C.( √ ) (5)在三角形中，已知两边和一角就能求三角形的面积．( √ )题组二 教材改编2．[P10B 组T2]在△ABC 中，a cos A ＝b cos B ，则这个三角形的形状为________． 答案 等腰三角形或直角三角形解析 由正弦定理，得sin A cos A ＝sin B cos B ，即sin 2A ＝sin 2B ，所以2A ＝2B 或2A ＝π－2B ，即A ＝B 或A ＋B ＝π2， 所以这个三角形为等腰三角形或直角三角形．3．[P18T1]在△ABC 中，A ＝60°，AC ＝4，BC ＝23，则△ABC 的面积等于________． 答案 23解析 ∵23sin 60°＝4sin B，∴sin B ＝1，∴B ＝90°， ∴AB ＝2，∴S △ABC ＝12×2×23＝2 3.题组三 易错自纠4．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若c <b cos A ，则△ABC 为( )A ．钝角三角形B ．直角三角形C ．锐角三角形D ．等边三角形答案 A解析 由已知得sin C <sin B cos A ，∴sin(A ＋B )<sin B cos A ，∴sin A ·cos B ＋cos A ·sin B <sin B ·cos A ，又sin A >0，∴cos B <0，∴B 为钝角，故△ABC 为钝角三角形．5．(2018·桂林质检)在△ABC 中，已知b ＝40，c ＝20，C ＝60°，则此三角形的解的情况是( )A ．有一解B ．有两解C ．无解D ．有解但解的个数不确定答案 C解析 由正弦定理得b sin B ＝c sin C， ∴sin B ＝b sin C c ＝40×3220＝3>1. ∴角B 不存在，即满足条件的三角形不存在．6．(2018·包头模拟)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c .若b ＋c ＝2a,3sin A ＝5sin B ，则角C ＝________.答案 2π3解析 由3sin A ＝5sin B ，得3a ＝5b .又因为b ＋c ＝2a ，所以a ＝53b ，c ＝73b ， 所以cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝⎝⎛⎭⎫53b 2＋b 2－⎝⎛⎭⎫73b 22×53b ×b ＝－12. 因为C ∈(0，π)，所以C ＝2π3.题型一 利用正、余弦定理解三角形1．(2016·山东)△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，已知b ＝c ，a 2＝2b 2(1－sin A )，则A 等于( )A.3π4B.π3C.π4D.π6答案 C解析 在△ABC 中，由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，∵b ＝c ，∴a 2＝2b 2(1－cos A )，又∵a 2＝2b 2(1－sin A )，∴cos A ＝sin A ，∴tan A ＝1，∵A ∈(0，π)，∴A ＝π4，故选C. 2．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c .已知8b ＝5c ，C ＝2B ，则cos C 等于( ) A.725 B ．－725 C ．±725 D.2425答案 A解析 ∵8b ＝5c ，∴由正弦定理，得8sin B ＝5sin C .又∵C ＝2B ，∴8sin B ＝5sin 2B ，∴8sin B ＝10sin B cos B .∵sin B ≠0，∴cos B ＝45， ∴cos C ＝cos 2B ＝2cos 2B －1＝725. 3．设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若a ＝3，sin B ＝12，C ＝π6，则b ＝________. 答案 1解析 因为sin B ＝12且B ∈(0，π)， 所以B ＝π6或B ＝5π6. 又C ＝π6，B ＋C <π，所以B ＝π6，A ＝π－B －C ＝2π3. 又a ＝3，由正弦定理得a sin A ＝b sin B ，即3sin 2π3＝b sin π6， 解得b ＝1.思维升华 (1)解三角形时，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．(2)三角形解的个数的判断：已知两角和一边，该三角形是确定的，其解是唯一的；已知两边和一边的对角，该三角形具有不唯一性，通常根据三角函数值的有界性和大边对大角定理进行判断．题型二 和三角形面积有关的问题典例 在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知b ＋c ＝2a cos B .(1)证明：A ＝2B ；(2)若△ABC 的面积S ＝a 24，求角A 的大小． (1)证明 由正弦定理得sin B ＋sin C ＝2sin A cos B ，故2sin A cos B ＝sin B ＋sin(A ＋B )＝sin B ＋sin A cos B ＋cos A sin B ，于是sin B ＝sin(A －B )．又A ，B ∈(0，π)，故0＜A －B ＜π，所以B ＝π－(A －B )或B ＝A －B ，因此A ＝π(舍去)或A ＝2B ，所以A ＝2B .(2)解 由S ＝a 24，得12ab sin C ＝a 24， 故有sin B sin C ＝12sin A ＝12sin 2B ＝sin B cos B ， 由sin B ≠0，得sin C ＝cos B .又B ，C ∈(0，π)，所以C ＝π2±B . 当B ＋C ＝π2时，A ＝π2； 当C －B ＝π2时，A ＝π4. 综上，A ＝π2或A ＝π4. 思维升华 (1)对于面积公式S ＝12ab sin C ＝12ac sin B ＝12bc sin A ，一般是已知哪一个角就使用哪一个公式．(2)与面积有关的问题，一般要用到正弦定理或余弦定理进行边和角的转化．跟踪训练 (1)(2018·承德质检)若AB ＝2，AC ＝2BC ，则S △ABC 的最大值为( )A ．2 2 B.32 C.23D ．32 答案 A解析 设BC ＝x ，则AC ＝2x .根据三角形的面积公式，得S △ABC ＝12·AB ·BC sin B ＝x 1－cos 2B .① 根据余弦定理，得cos B ＝AB 2＋BC 2－AC 22AB ·BC ＝4＋x 2－2x 24x ＝4－x 24x.② 将②代入①，得S △ABC ＝x 1－⎝⎛⎭⎫4－x 24x 2＝128－(x 2－12)216. 由三角形的三边关系，得⎩⎨⎧2x ＋x >2，x ＋2>2x ，解得22－2<x <22＋2，故当x ＝23时，S △ABC 取得最大值22，故选A.(2)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c .若c 2＝(a －b )2＋6，C ＝π3，则△ABC 的面积是________．答案 332 解析 ∵c 2＝(a －b )2＋6，∴c 2＝a 2＋b 2－2ab ＋6.①∵C ＝π3， ∴c 2＝a 2＋b 2－2ab cos π3＝a 2＋b 2－ab .② 由①②得－ab ＋6＝0，即ab ＝6.∴S △ABC ＝12ab sin C ＝12×6×32＝332.题型三 正弦定理、余弦定理的简单应用命题点1 判断三角形的形状典例 (1)在△ABC 中，cos A 2＝1＋cos B 2，则△ABC 一定是( ) A ．等腰三角形 B ．直角三角形 C ．等腰直角三角形 D ．无法确定答案 A解析 由已知得cos 2A 2＝1＋cos B 2， ∴2cos 2A 2－1＝cos B ，∴cos A ＝cos B ， 又0<A ，B <π，∴A ＝B ，∴△ABC 为等腰三角形．(2)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若b cos C ＋c cos B ＝a sin A ，则△ABC 的形状为( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．不确定答案 B解析 由正弦定理得sin B cos C ＋sin C cos B ＝sin 2A ，∴sin(B ＋C )＝sin 2A ，即sin(π－A )＝sin 2A ，sin A ＝sin 2A .∵A ∈(0，π)，∴sin A >0，∴sin A ＝1，即A ＝π2，∴△ABC 为直角三角形． 引申探究1．本例(2)中，若将条件变为2sin A cos B ＝sin C ，判断△ABC 的形状．解 ∵2sin A cos B ＝sin C ＝sin(A ＋B )，∴2sin A cos B ＝sin A cos B ＋cos A sin B ，∴sin(A －B )＝0.又A ，B 为△ABC 的内角．∴A ＝B ，∴△ABC 为等腰三角形．2．本例(2)中，若将条件变为a 2＋b 2－c 2＝ab ，且2cos A sin B ＝sin C ，判断△ABC 的形状． 解 ∵a 2＋b 2－c 2＝ab ，∴cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝12， 又0<C <π，∴C ＝π3， 又由2cos A sin B ＝sin C 得sin(B －A )＝0，∴A ＝B ，故△ABC 为等边三角形．命题点2 求解几何计算问题典例 (1)如图，在△ABC 中，B ＝45°，D 是BC 边上一点，AD ＝5，AC ＝7，DC ＝3，则AB ＝________.答案 562 解析 在△ACD 中，由余弦定理可得 cos C ＝49＋9－252×7×3＝1114， 则sin C ＝5314. 在△ABC 中，由正弦定理可得AB sin C ＝AC sin B， 则AB ＝AC sin C sin B ＝7×531422＝562. (2)(2018·吉林三校联考)在平面四边形ABCD 中，∠A ＝∠B ＝∠C ＝75°，BC ＝2，则AB 的取值范围是______．答案 (6－2，6＋2)解析 如图所示，延长BA 与CD 相交于点E ，过点C 作CF ∥AD 交AB 于点F ，则BF <AB <BE . 在等腰三角形CBF 中，∠FCB ＝30°，CF ＝BC ＝2，∴BF ＝22＋22－2×2×2cos 30°＝6－ 2.在等腰三角形ECB 中，∠CEB ＝30°，∠ECB ＝75°，BE ＝CE ，BC ＝2，BE sin 75°＝2sin 30°，∴BE ＝212×6＋24＝6＋ 2. ∴6－2<AB <6＋ 2.思维升华 (1)判断三角形形状的方法①化边：通过因式分解、配方等得出边的相应关系．②化角：通过三角恒等变换，得出内角的关系，此时要注意应用A ＋B ＋C ＝π这个结论．(2)求解几何计算问题要注意：①根据已知的边角画出图形并在图中标示；②选择在某个三角形中运用正弦定理或余弦定理．跟踪训练 (1)(2018·安徽六校联考)在△ABC 中，cos 2B 2＝a ＋c 2c(a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边)，则△ABC 的形状为( )A ．等边三角形B ．直角三角形C ．等腰三角形或直角三角形D ．等腰直角三角形 答案 B 解析 ∵cos 2B 2＝1＋cos B 2，cos 2B 2＝a ＋c 2c， ∴(1＋cos B )·c ＝a ＋c ，∴a ＝cos B ·c ＝a 2＋c 2－b 22a， ∴2a 2＝a 2＋c 2－b 2，∴a 2＋b 2＝c 2，∴△ABC 为直角三角形．(2)如图，在△ABC 中，已知点D 在BC 边上，AD ⊥AC ，sin ∠BAC ＝223，AB ＝32，AD ＝3，则BD 的长为________．答案 3解析 因为sin ∠BAC ＝223，且AD ⊥AC ， 所以sin ⎝⎛⎭⎫π2＋∠BAD ＝223，所以cos ∠BAD ＝223，在△BAD 中，由余弦定理， 得BD ＝AB 2＋AD 2－2AB ·AD cos ∠BAD＝ (32)2＋32－2×32×3×223＝ 3.二审结论会转换典例 (12分)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知a －c ＝66b ，sin B ＝6sin C .(1)求cos A 的值； (2)求cos ⎝⎛⎭⎫2A －π6的值．(1)求cos A ―――――――→根据余弦定理求三边a ，b ，c 的长或长度关系 ―――――――――→已知a －c ＝66b 利用正弦定理将sin B ＝6sin C 化为b ＝6c (2)求cos ⎝⎛⎭⎫2A －π6―→求cos 2A ，sin 2A ―→ 求sin A ，cos A ――→第(1)问已求出cos A 根据同角关系求sin A规范解答解 (1)在△ABC 中，由b sin B ＝c sin C及sin B ＝6sin C ， 可得b ＝6c ，[2分] 又由a －c ＝66b ，有a ＝2c ，[4分] 所以cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝6c 2＋c 2－4c 226c 2＝64.[7分](2)在△ABC 中，由cos A ＝64， 可得sin A ＝104.[8分] 于是cos 2A ＝2cos 2A －1＝－14，[9分]sin 2A ＝2sin A ·cos A ＝154.[10分] 所以cos ⎝⎛⎭⎫2A －π6＝cos 2A cos π6＋sin 2A sin π6 ＝⎝⎛⎭⎫－14×32＋154×12＝15－38.[12分]1．(2017·长沙模拟)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若a ＝13，b ＝3，A ＝60°，则边c 等于( ) A ．1 B ．2 C ．4 D ．6 答案 C解析 ∵a 2＝c 2＋b 2－2cb cos A ， ∴13＝c 2＋9－2c ×3×cos 60°，即c 2－3c －4＝0，解得c ＝4或c ＝－1(舍去)．2．在△ABC 中，角A ，B ，C 对应的边分别为a ，b ，c ，若A ＝2π3，a ＝2，b ＝233，则B 等于( )A.π3B.5π6C.π6或5π6D.π6 答案 D解析 ∵A ＝2π3，a ＝2，b ＝233，∴由正弦定理a sin A ＝bsin B ，可得sin B ＝b a sin A ＝2332×32＝12.∵A ＝2π3，∴B ＝π6.3．(2017·哈尔滨模拟)在△ABC 中，AB ＝3，AC ＝1，B ＝30°，△ABC 的面积为32，则C 等于( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．75° 答案 C解析 ∵S △ABC ＝12·AB ·AC ·sin A ＝32，即12×3×1×sin A ＝32， ∴sin A ＝1，由A ∈(0°，180°)，∴A ＝90°，∴C ＝60°.故选C.4．△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c ，a sin A sin B ＋b cos 2A ＝2a ，则b a 等于( )A ．2 3B ．2 2 C. 3 D.2 答案 D 解析 (边化角)由a sin A sin B ＋b cos 2A ＝2a 及正弦定理，得 sin A sin A sin B ＋sin B cos 2A ＝2sin A ，即sin B ＝2sin A ，所以b a ＝sin Bsin A＝ 2.5．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，sin A ，sin B ，sin C 成等比数列，且c ＝2a ，则cos B 的值为( ) A.14 B.34 C.24 D.23 答案 B解析 因为sin A ，sin B ，sin C 成等比数列， 所以sin 2B ＝sin A sin C ，由正弦定理得b 2＝ac ， 又c ＝2a ，故cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac＝a 2＋4a 2－2a 24a 2＝34.6．(2017·郑州模拟)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若b 3cos B ＝asin A，则cos B 等于( )A ．－12 B.12 C ．－32 D.32答案 B解析 由正弦定理知sin B 3cos B ＝sin A sin A＝1，即tan B ＝3，由B ∈(0，π)，所以B ＝π3，所以cos B＝cos π3＝12，故选B.7．(2016·全国Ⅱ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cos A ＝45，cos C ＝513，a＝1，则b ＝________. 答案2113解析 在△ABC 中，由cos A ＝45，cos C ＝513，可得sin A ＝35，sin C ＝1213，sin B ＝sin(A ＋C )＝sin A cos C ＋cos A ·sin C ＝6365，由正弦定理得b ＝a sin B sin A ＝2113.8．(2018·成都模拟)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若(a 2＋c 2－b 2)tan B ＝3ac ，则角B 的值为______． 答案 π3或2π3解析 由余弦定理，得a 2＋c 2－b 22ac ＝cos B ，结合已知等式得cos B ·tan B ＝32，∴sin B ＝32，又0<B <π，∴B ＝π3或2π3. 9．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知b ＝2，B ＝π6，C ＝π4，则△ABC 的面积为________． 答案3＋1解析 ∵b ＝2，B ＝π6，C ＝π4.由正弦定理b sin B ＝csin C，得c ＝b sin Csin B ＝2×2212＝22，A ＝π－⎝⎛⎭⎫π6＋π4＝7π12， ∴sin A ＝sin ⎝⎛⎭⎫π4＋π3＝sin π4cos π3＋cos π4sin π3 ＝6＋24. 则S △ABC ＝12bc ·sin A ＝12×2×22×6＋24＝3＋1.10．(2018·长春质检)E ，F 是等腰直角三角形ABC 斜边AB 上的三等分点，则tan ∠ECF ＝________. 答案 34解析 如图，设AB ＝6，则AE ＝EF ＝FB ＝2. 因为△ABC 为等腰直角三角形， 所以AC ＝BC ＝3 2.在△ACE 中，A ＝45°，AE ＝2，AC ＝32， 由余弦定理可得CE ＝10. 同理，在△BCF 中可得CF ＝10. 在△CEF 中，由余弦定理得 cos ∠ECF ＝10＋10－42×10×10＝45，所以tan ∠ECF ＝34.11．(2018·珠海模拟)设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，a ＝b tan A . (1)证明：sin B ＝cos A ；(2)若sin C －sin A cos B ＝34，且B 为钝角，求A ，B ，C .(1)证明 由正弦定理知a sin A ＝b sin B ＝c sin C＝2R ， ∴a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，代入a ＝b tan A 得 sin A ＝sin B ·sin Acos A ，又∵A ∈(0，π)，∴sin A ＞0，∴1＝sin B cos A ，即sin B ＝cos A .(2)解 由sin C －sin A cos B ＝34知，sin(A ＋B )－sin A cos B ＝34，∴cos A sin B ＝34.由(1)知，sin B ＝cos A ，∴cos 2A ＝34，由于B 是钝角，故A ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，∴cos A ＝32，A ＝π6. sin B ＝32，B ＝2π3，∴C ＝π－(A ＋B )＝π6. 12．(2017·全国Ⅰ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知△ABC 的面积为a 23sin A .(1)求sin B sin C ；(2)若6cos B cos C ＝1，a ＝3，求△ABC 的周长． 解 (1)由题设得12ac sin B ＝a 23sin A，即12c sin B ＝a 3sin A. 由正弦定理，得12sin C sin B ＝sin A 3sin A ，故sin B sin C ＝23.(2)由题设及(1)，得cos B cos C －sin B sin C ＝－12，即cos(B ＋C )＝－12.所以B ＋C ＝2π3，故A ＝π3.由题意得12bc sin A ＝a 23sin A ，a ＝3，所以bc ＝8.由余弦定理，得b 2＋c 2－bc ＝9，即(b ＋c )2－3bc ＝9.由bc ＝8，得b ＋c ＝33. 故△ABC 的周长为3＋33.13．(2018·银川模拟)在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若S △ABC ＝23，a ＋b ＝6，a cos B ＋b cos Ac ＝2cos C ，则c 等于( )A ．27B ．4C ．2 3D ．33 答案 C解析 ∵a cos B ＋b cos Ac ＝2cos C ，由正弦定理，得sin A cos B ＋cos A sin B ＝2sin C cos C ， ∴sin(A ＋B )＝sin C ＝2sin C cos C ，由于0<C <π，sin C ≠0，∴cos C ＝12，∴C ＝π3，∵S △ABC ＝23＝12ab sin C ＝34ab ，∴ab ＝8，又a ＋b ＝6，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2，b ＝4或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，b ＝2，c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝4＋16－8＝12， ∴c ＝23，故选C.14．(2018·大理模拟)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足a sin B ＝3b cos A ．若a ＝4，则△ABC 周长的最大值为________． 答案 12解析 由正弦定理a sin A ＝bsin B，可将a sin B ＝3b cos A 转化为sin A sin B ＝3sin B cos A . 又在△ABC 中，sin B >0，∴sin A ＝3cos A ， 即tan A ＝ 3. ∵0<A <π，∴A ＝π3.由余弦定理得a 2＝16＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝(b ＋c )2－3bc ≥(b ＋c )2－3⎝⎛⎭⎫b ＋c 22，则(b ＋c )2≤64，即b ＋c ≤8(当且仅当b ＝c ＝4时等号成立)， ∴△ABC 周长＝a ＋b ＋c ＝4＋b ＋c ≤12，即最大值为12.15．在△ABC 中，若AB ＝4，AC ＝7，BC 边的中线AD ＝72，则BC ＝________.答案 9解析 如图所示，延长AD 到E ，使DE ＝AD ，连接BE ，EC .因为AD 是BC 边上的中线， 所以AE 与BC 互相平分，所以四边形ACEB 是平行四边形，所以BE ＝AC ＝7. 又AB ＝4，AE ＝2AD ＝7， 所以在△ABE 中，由余弦定理得， AE 2＝49＝AB 2＋BE 2－2AB ·BE ·cos ∠ABE ＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC ·cos ∠ABE . 在△ABC 中，由余弦定理得，BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC ·cos(π－∠ABE )， ∴49＋BC 2＝2(AB 2＋AC 2)＝2(16＋49)， ∴BC 2＝81，∴BC ＝9.16．(2018·贵阳质检)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a 2－(b －c )2＝(2－3)bc ，sin A sin B ＝cos 2C2，BC 边上的中线AM 的长为7.(1)求角A 和角B 的大小； (2)求△ABC 的面积．解 (1)由a 2－(b －c )2＝(2－3)bc ， 得a 2－b 2－c 2＝－3bc ， ∴cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝32，又0＜A ＜π，∴A ＝π6.由sin A sin B ＝cos 2C2，得12sin B ＝1＋cos C 2， 即sin B ＝1＋cos C ， 则cos C ＜0，即C 为钝角， ∴B 为锐角，且B ＋C ＝5π6，则sin ⎝⎛⎭⎫5π6－C ＝1＋cos C ，化简得cos ⎝⎛⎭⎫C ＋π3＝－1， 解得C ＝2π3，∴B ＝π6.(2)由(1)知，a ＝b ，在△ACM 中， 由余弦定理得AM 2＝b 2＋⎝⎛⎭⎫a 22－2b ·a2·cos C ＝b 2＋b 24＋b 22＝(7)2， 解得b ＝2，故S △ABC ＝12ab sin C ＝12×2×2×32＝ 3.。

第8讲正弦定理和余弦定理5种常见题型【考点分析】考点一：三角形中常用知识①任意三角形的内角和为180°；三条边满足：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边.②大边对大角，小边对小角，B A b a B A sin sin >⇔>⇔>，所以在ABC ∆中B A B A sin sin >>是的充要条件③在锐角ABC ∆中，一定有A C C B B A cos sin ,cos sin ,cos sin >>>，即一个角的正弦值一定大于另一个角的余弦值，从而可以得到锐角ABC ∆中，一定有C B A C B A cos cos cos sin sin sin ++>++考点二：正弦定理在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即R CcB b A a 2sin sin sin ===．考点三：由正弦定理推出的几个结论①a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sinC ．②BR C B R B A R a sin 2,sin 2,sin 2===③由等比性质和圆的性质可知，a sin A ＝b sin B ＝csin C ＝a ＋b ＋c sin A ＋sin B ＋sin C ＝2R .其中，R 为△ABC 外接圆的半径．④A <B ⇔a <b ⇔sin A <sin B ．考点四：由三角形性质和诱导公式导出的几个结论①22,ππ=++=++C B A C B A ，所以()()C C B A sin sin sin =-=+π，同理()A C B sin sin =+，()B C A sin sin =+，()()C C B A cos cos cos -=-=+π，同理()A C B cos cos -=+，()B C A cos cos -=+，()()C C B A tan tan tan -=-=+π，同理()A C B tan tan -=+，()B C A tan tan -=+，所以2cos 22sin 2sin C C B A =⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫⎝⎛+π，同理2cos 2sin A C B =⎪⎭⎫ ⎝⎛+，2cos 2sin B C A =⎪⎭⎫ ⎝⎛+，考点五：三角形面积公式S △ABC ＝12ah (h 表示边a 上的高)；S △ABC ＝12ab sin C ＝12bc sin A ＝12ac sin B ；由正弦定理可得Rabc R c ab C ab S ABC 4221sin 21===∆C B A R C B R A R C ab S ABC sin sin sin 2sin sin 2sin 221sin 212=⋅==∆海伦公式：()()()c p b p a p p S ABC ---=∆，其中()c b a p ++=21三角形面积和内切圆半径的关系：()r c b a S ABC ⋅++=∆21（其中r 为三角形内切圆的半径）【题型目录】题型一：正弦定理运用题型二：余弦定理运用题型三：三角形面积公式运用题型四：正弦定理解答题题型五：余弦定理解答题【典型例题】题型一：正弦定理运用【例1】在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若1sin 3A =，a =3b =，则sin B =（）．A ．23B．4C ．2D ．3【例2】在△ABC 中，已知4sin sin sin A B C+-=，则其外接圆的直径为______.【例3】在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．若a =2b =，60A =︒，则sin B =．【解析】由正弦定理可得B b A a sin sin =，即Bsin 2237=，所以721sin =B 【例4】在ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若A ∠：B ∠：1C ∠=：2：3，则a ：b ：c =（）A ．1：2：3B ．3：2：1C ．21D ．12【答案】43π=B 【解析】由正弦定理可得R BbA a 2sin sin ==，可得B R b A R a sin 2,sin 2==，所以0cos sin 2sin sin 2=+B A R A B R ，即0cos sin sin sin =+B A A B ，因0sin ≠A ，所以0cos sin =+B B ，所以1tan -=B ，因()π,0∈B ，所以43π=B 【例6】ABC ∆的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ．已知sin sin (sin cos )B A C C +-0=，2a =，c =，则C =A ．12πB ．6πC ．4πD ．3π【答案】B【解析】由()C A B +=sin sin ，可得()sin sin (sin cos )0A C A C C ++-=，所以sin cos cos sin sin sin sin cos 0A C A C A C A C ++-=，即cos sin sin sin 0A C A C +=，因0sin ≠C ，所以0cos sin =+A A ，所以1tan -=A ，因()π,0∈A ，所以43π=A ，由正弦定理可得CcA a sin sin =，即C sin 2222=，所以21sin =C ，所以6π=C【例7】在ABC △中，90ABC ∠=︒，4AB =，3BC =，点D 在线段AC 上，若45BDC ∠=︒，则BD =___________，cos ABD ∠=___________．【答案】1225，7210【解析】如图，在ABD △中，由正弦定理有：sin sin AB BD ADB BAC =∠∠，而3π4,4AB ADB =∠=,5AC ，34sin ,cos 55BC AB BAC BAC AC AC ∠==∠==，所以1225BD =.ππ72cos cos()cos cos sin sin 4410ABD BDC BAC BAC BAC ∠=∠-∠=∠+∠=.【例8】在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若ABC △为锐角三角形，且满足sin (12cos )2sin cos cos sin B C A C A C +=+，则下列等式成立的是A ．2a b =B ．2b a =C ．2A B =D ．2B A=【答案】A【解析】由题意知sin()2sin cos 2sin cos cos sin A C B C A C A C ++=+，所以2sin cos sin cos 2sin sin 2B C A C B A b a =⇒=⇒=，故选A.【例9】ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若4cos 5A =，5cos 13C =，1a =，则b =．【答案】2113【解析】因为45cos ,cos 513A C ==，且,A C 为三角形的内角，所以312sin ,sin 513A C ==，63sin sin[π()]sin()sin cos cos sin 65B AC A C A C A C =-+=+=+=，又因为sin sin a b A B=，所以sin 21sin 13a Bb A ==.【例10】在锐角三角形ABC 中，若sin 2sin sin A B C =，则tan tan tan A B C 的最小值是.【答案】8.【解析】sin sin()2sin sin tan tan 2tan tan A B +C B C B C B C ==⇒+=，又tan tan tan tan tan 1B+CA=B C -，因此tan tan tan tan tan tan tan 2tan tan tan tan tan 8,A B C A B C A B C A B C =++=+≥⇒≥即最小值为8.【题型专练】1.设ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若a =1sin 2B =，6C π=，则b =．【答案】1=b 【解析】由1sin 2B =，6C π=，可得6B π=，所以32π=A ,由正弦定理可得Bb A a sin sin =，即21233b=，所以1=b 2．在锐角△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，R 是△ABC 的外接圆半径，且cos cos b a C c A ++=，则B ＝（）A ．π6B ．π4C ．π3D ．2π33.在ABC ∆，内角,,A B C 所对的边长分别为,,a b c ．若sin cos a B C +1sin cos 2c B A b =，且a b >，则B ∠=A ．6πB ．3πC ．23πD ．56π【答案】A【解析】由题意知1sin sin sin sin sin cos sin 2A B C C B A B +=，即1sin sin sin cos 2A C C A +=所以()1sin 2A C +=，所以21sin =B ，因a b >，所以6π=B 故选A.4.设△ABC 的内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,若cos cos sin b C c B a A +=,则△ABC 的形状为A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．不确定【答案】B【解析】由题意知sin cos sin cos sin sin B C C B A A +=，即()sin sin sin B C A A +=所以sin 1A =，所以2π=A 故选B5.ABC ∆的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，2sin sin cos a A B b A+=，则=abA ．B ．CD 【答案】D【解析】由题意知2sin sin sin sin cos A A B B A A +=，即()22sin sin cos B A A A+=所以sin B A =，所以a b 2=，所以2=ab故选D6.ABC ∆的内角A ,B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若2cos cos cos b B a C c A =+，则B =【答案】3π【解析】由题意知2sin cos sin cos sin cos B B A C C A =+，即()2sin cos sin sin B B A C B =+=所以1cos 2B =，所以3π=B。