浙江省嘉兴市第一中学2017-2018学年高一下学期期中考试数学试题(精编含解析)

1．B【解析】分析：根据三角函数的定义求解即可．详解：由三角函数的定义可得．故选B．

点睛：本题考查三角函数的定义，属容易题，解题的关键是记准余弦函数的定义．

2．B【解析】分析：根据条件求出等比数列的首项和公比，然后再求前4项和．详解：设等比数列的公比为，由题意得，∴，∴，∴数列的前4项和．

故选B．

点睛：本题考查等比数列基本量的运算，解题时要分清等比数列中各个量之间的关系，然后根据公式求解．又函数解析式为，∴．故选D．

点睛：三角函数图象变换中应注意的问题

(1)变换前后，函数的名称要一致，若不一致，应先利用诱导公式转化为同名函数；

(2)要弄清变换的方向，即变换的是哪个函数的图象，得到的是哪个函数的图象，切不可弄错方向；(3)要弄准变换量的大小，特别是平移变换中，函数y＝Asin x到y＝Asin(x＋φ)的变换量是个单位，

而函数y＝Asinωx到y＝Asin(ωx＋φ)时，变换量是个单位．4．A【解析】分析：根据正弦定理求解，解题时要注意解的个数的讨论．详解：在中，由正弦定理得，

∴．又，∴，∴或．

故选A．

点睛：在利用正弦定理解已知三角形的两边和其中一边的对角求另一边的对角，进而求出其他的边和角时，有时可能出现一解、两解，所以对解答此类问题时要进行分类讨论．将以上个式子两边分别相加可得，∴．又满足上式，∴．故选项A，B不正确．又，

故选项C不正确，选项D正确．

故选D．点睛：解答本题的关键是求出数列的通项，已知数列的递推关系求通项公式时，若递推关系是形如的形式时，常用累加法求解，解题时要注意求得后需要验证时是否满足通项公式．

6．A【解析】sin(＋θ)＝sin[－(－θ)]＝cos(－θ)＝.选A.7．B【解析】分析：先求出等差数列的通项公式，然后求出，进而求得，解不等式得到的取值范围后再求的最大值．∴．由，解得，又，∴，∴最大的值为98.

故选B．

点睛：用裂项法求和的注意点：

（1）将数列裂项时，一般是前边裂几项，后边就裂几项，直到发现被消去项的规律为止．

（2）消项后一般的规律是：前边剩几项，后边就剩几项，前边剩第几项，后边就剩倒数第几项．

8．C【解析】分析：按照公比和两种情况分别求出数列的前项和为，然后通过验证可得

公比的取值情况．详解：①当时，．∵数列为等差数列，∴，即，上式成立，故符合题意．②当时，．∵数列为等差数列，∴，即，整理得，由于且，故上式不成立．综上可得只有当时，为等差数列．

故选C．点睛：在运用等比数列的前项和公式时，必须注意对与分类讨论，防止因忽略这一特殊情

形导致解题失误．

9．C【解析】分析：由条件及正弦定理可得，再由余弦定理可得 ，可得，然后再利用同角三角函数的基本关系化简所要求的式子后可得结果．

点睛：解答本题的关键是从所给的条件及所求的式子中找到解题的思路，合理的运用正弦定理、余弦定理

和同角三角函数关系将问题逐步转化，以达到求解的目的．

10．C【解析】分析：根据“和有界数列”的定义对给出的各个选项逐一分析可得结论．

详解：

对于A，若是等差数列，且首项，当d>0时， ，当时，，则不是“和有界数列”，故A不正确．对于B，若是等差数列，且公差，则，当时，当时，，则不是

“和有界数列”，故B不正确．

对于C，若是等比数列，且公比|q|<1，则，故，则是“和有界数列”，故C正确．对于D，若是等比数列，且是“和有界数列”，则的公比或，故D不正确．

故选C．

点睛：本题属于新定义问题，解题时要通过阅读、理解所给的新定义，并将其应用在解题中，此类问题主

要考查学生的阅读理解和应用新知识解决问题的能力．如在本题中要根据给出的“和有界数列”得概念对所给选项逐一分析、排除，然后得到所求．

点睛：本题考查诱导公式和同角三角函数关系式，属容易题，解答的关键是正确记忆有关公式并能熟练地

应用．

12．.【解析】分析：先由根与系数的关系求得，再根据等比数列的性质求得和后可得结果．详解：∵是方程的两根，∴，∴．又数列为等比数列，∴，∴，∴．

点睛：（1）在等比数列的运算中要注意下标和性质的灵活运用，即若，则，应用此结论可使得运算简化．

（2）在等比数列中，下标为奇数的项的符号一致，下标为偶数的项的符号一致，解题时注意这一隐含条

件，求等比数列的项时避免出现符号方面的错误． 13． . 【解析】分析：先根据图象得到函数的周期，从而得到，然后再根据“五点法”及点P的坐标得到的取值．详解：由图象可得，∴，∴，∴．根据题意得，解得．

点睛：（1）的确定：结合图象，先求出周期，然后由来求出的值；（2）的确定：方法①（五点法）：由函数最开始与x轴的交点(最靠近原点)作为“第一点”，然后确定

出“第二点”、“第三点”等，再根据图象中给出的特殊点的坐标代入后与相应的点对应，求出的

值即可．方法②（代点法）：将条件中给出的最（低）高点对应的坐标代入解析式，然后解三角方程可得的值．在中，由余弦定理得，∴，∴．

点睛：利用正、余弦定理求解三角形面积问题的题型与方法

(1)利用正弦、余弦定理解三角形，求出三角形的边、角后，直接求三角形的面积．

(2)把面积作为已知条件之一，与正弦、余弦定理结合求出三角形的其他量．

15．28. 【解析】分析：先根据数列是等积为8的等积数列可求得数列的项，由此可得数列为周期数列，然后根据周期性求得．详解：由题意得，数列是等积为8的等积数列，且，∴，即，∴．同理可得，……∴数列是周期为3的数列，∴．点睛：由于数列是一种特殊的函数，故数列具有函数的性质．数列的周期性往往要在求得数列的一些特殊

项后通过观察才能得到，利用周期性可简化数列求和中的计算，使得求解变得简单．

16．. 【解析】分析：根据数列的递推关系推导出数列和的通项公式后进行求解即可．∴．∴，，∴．点睛：本题考查数列的递推关系的运用，解答此类问题时要掌握由递推公式求通项公式的基本方法，即先

对递推公式进行变形，然后利用转化与化归的思想将问题进行转化，借此来解决递推数列的问题．

17．.【解析】，因为，则，所以，所以，即的取值范围是。

点睛：本题考查数列的单调性。数列的单调性主要体现在其函数形式的单调性，但差别是数列为其中的点集，所以要注意差异性。本题首先考查数列的化简，为函数，结合点集的特点，通过图象得到答案

。

18．（1）1；（2）最大值；最小值.

【解析】试题分析：（1）将代入函数解析式，利用特殊角的三角函数求解即可；（2）利用两角差的余弦公式、二倍角的正弦公式、二倍角的余弦公式以及辅助角公式化简，由，求得，结合正弦函数的图象，利用正弦函数的单调性可得的最大值与最小值.

（2）

.因为，所以.又因为在区间上是递增，在区间上递减.所以，当，即时， 有最大值；当，即时， 有最小值.19．（1）.(2) .

【解析】分析：（1）根据条件求得等差数列的公差，进而可得数列的通项公式．（2）由（1）可得到，所以可利用错位相减求数列的前项和为．

详解：（1）设等差数列的公差为．由题意可知，∴，解得或， ∵数列单调递增，∴，∴.

点睛：弄清错位相减法的适用条件及解题格式是关键，在应用错位相减法求和时，一定要抓住数列的特征，

即数列的项可以看作是由一个等差数列和一个公比不为1的等比数列对应项相乘所得，所谓“错位”就是

找“同类项”相减．

20．(1) .

(2) 当时， .

【解析】分析：（1）当时，为直角三角形，可得；为等边三角形，故，由此可得直角的面积．（2）在和中，分别由正弦定理得到，，然后根据直角三角形的面积公式可得，结合的范围可得所求．

详解：（1）当时，∵，∴，∴为直角三角形，∴．又由条件可得为等边三角形，∴．∴的面积．

（2）在中，由正弦定理得,∴．同理在中，由正弦定理得．∴的面积

，∴时，的面积有最小值，且 ．点睛：（1）三角形的面积经常与正弦定理、余弦定理结合在一起考查，首先求出三角形的边或角，然后

再根据面积公式求解．

（2）求三角形面积的最值或范围时，一般要先得到面积的表达式，再通过基本不等式、三角函数的最值

等方法求得其最值或范围．

21．(1) .(2) 或.

详解：（1）∵，∴，∴，即，又，且，∴数列是首项为，公比为的等比数列，∴．①当时，，∴对恒成立，∴对恒成立，∵，且，∴．②当，∴对一切恒成立，∴对恒成立，令，则单调递增，∴，∴又，∴．由①②可知或．∴实数的取值范围是．点睛：（1）根据与的关系求数列的通项公式时，利用是解题的关键，运用此结论时要注意使用的条件为．

（2）由于数列是特殊的函数，因此可从函数的角度认识数列，解题时要注意数列的函数特征，学会利用

函数的方法研究数列的有关性质．

22．(1)见解析.(2)见解析.(3)见解析.【解析】分析：（1）由可得，由此可得数列

为等比数列．（2）结合（1）中所得的数列的通项公式，利用放缩法证明即可．（3）根据（2）中的结论分为偶数和为奇数两种情况分别转化为等比数列的求和问题可证得结论成立．学科#网

(2)由（1）可知故．当是奇数时，

．(3)由（2）可知，当为偶数时，，∴

． 当为奇数时，，且，∴

．综上可得．点睛：（1）证明数列为等比数列时，除了证明或为常数外，还要说明数列的首项不

为零，这一点要特别注意．

（2）对于数列的通项公式中含有或的情形，往往要分为为偶数和为奇数两种情况分别求

解，再看结果能否写成统一的形式，否则要写成分段函数的形式．

（3）解题时注意数列中放缩的技巧．