【高考数学】立体几何中的向量方法

立体几何中的向量方法

【重点梳理】

1. 平面的法向量定义 ：

已知平面 ，直线 l ，取 l 的方向向量 a ，有 a ，则称为 a 为平面 的法向量。

重点解说： 一个平面的法向量不是独一的，在应用时，可适合取平面的一个法向量。已知一平面内两条订交直线的方向向量，可求出该平面的一个法向量。

2. 平面的法向量确立往常有两种方法：

（ 1） 几何体中有详细的直线与平面垂直，只需证明线面垂直，取该垂线的方向向量即得平面的法向

量；

（ 2） 几何体中没有详细的直线，一般要成立空间直角坐标系，而后用待定系数法求解，一般步骤如

下：

（ i ）设出平面的法向量为 n=（ x， y， z）；

（ ii ）找出（求出）平面内的两个不共线的向量的坐标 a=（ a1， b1， c1）， b=（a2，b2， c2）；

（ iii ）依据法向量的定义成立对于 n a 0

x、 y、z 的方程 ；

n b 0

（ iv ）解方程组，取此中的一个解，即得法向量．因为一个平面的法向量有无数个，故可在代入方程组的解中取一个最简单的作为平面的法向量． 运用：

（ 1）线面平行

线面平行的判断方法一般有三种：

①设直线 l 的方向向量是 a ，平面 的向量是 u ，则要证明 l // ，只需证明 a u ，即 a u 0 。

（ 2）面面平行①由面面平行的判断定理，要证明面面平行，只需转变为相应的线面平行、线线平行即可。

②若能求出平面 ， 的法向量 u ， v ，则要证明 // ，只需证明 u // v 。

（ 3）线面垂直

①设直线 l 的方向向量是 a ，平面 的向量是 u ，则要证明 l ，只需证明 a // u 。

②依据线面垂直的判断定理转变为直线与平面内的两条订交直线垂直。

（ 4）面面垂直①依据面面垂直的判断定理转变为证相应的线面垂直、线线垂直。②证明两个平面的法向量相互垂直。

（ 5）求直线和平面所成的角

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设直线 l 的方向向量为 a ，平面 的法向量为 u ，直线与平面所成的角为 ， a 与 u 的角为 ，

则有 sin | cos | | a u | 。

| a | | u |

（ 6）求二面角

如图，若 PA 于 A，PB 于 B，平面 PAB交 l 于 E，则∠ AEB为二面角 l 的平面角， ∠ AEB+

∠ APB=180°。

ur uur ur uur

若 n1 n2 分别为面 ， 的法向量， n1 n2 n1, n2 arccos ur uur

| n1 | |n2 |

则二面角的平面角 AEB n1 , n2 或 n1, n2 ，即二面角 等于它的两个面的法向量的夹角或夹角

的补角。

①当法向量 n1 与 n2 的方向分别指向二面角的内侧与外侧时，二面角 的大小等于 n1 ， n2 的夹角

n1 , n2 的大小。

②当法向量 n1 ， n2 的方向同时指向二面角的内侧或外侧时， 二面角 的大小等于 n1 ， n2 的夹角的补角

n1, n2 的大小。

重点五、 用向量方法求空间距离

（ 7）求点面距的一般步骤：①求出该平面的一个法向量；②找出从该点出发的平面的任一条斜线段对应的向量；

③求出法向量与斜线段向量的数目积的绝对值再除以法向量的模，即可求出点到平面的距离。

重点四、用向量方法求空间角

（ 1）求异面直线所成的角

已知 a， b 为两异面直线， A， C与 B， D分别是 a，b 上的随意两点， a， b 所成的角为 ，

uuur uuur |AC BD|

则 cos uuur uuur 。

|AC| |BD|

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重点解说： 两异面直线所成的角的范围为（ 00,90 0] 。两异面直线所成的角能够经过这两直线的方向向量的夹角来求得，但两者不完整相等，当双方向向量的夹角是钝角时，应取其补角作为两异面直线所成的

角。

【典型例题】

种类一、求平面的法向量

【变式 1】如图，在长方体 ABCD— A1B1C1D1 中， AB=AA1=1， AB=2，点 E 为 AB 的中点，求平面 CD1E 的一

个法向量。

【答案】如图，成立空间直角坐标系 D-xyz ，

则 A（1， 0， 0）， B（ 1，2， 0），C（ 0， 2，0）， D1（0， 0，

1），所以 E（ 1， 1，0）

uuur uuuur

所以 CE (1, 1,0) ， CD1 (0, 2,1)。

设平面 CD1E 的法向量 n =（ x， y， z），则： uuur uuuur

n CE 0 ， n CD1 0 。

x y 0 x y 所以

2 y ，所以

z 。

z 0 2 y

令 y=1，则 x=1， z=2。

所以平面 CD1E 的一个法向量为（ 1，1， 2）。

【变式 2】已知 PA垂直于正方形 ABCD所在的平面， M、 N分别是 AB、 PC的中点，而且 PA=AD。求证：

uuuur MN 是平面 PDC的法向量。

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【答案】如图，成立空间直角坐标系 A xyz ，设正方形 ABCD的边长为 1，

则 A（0， 0， 0）， B（ 1，0， 0），C（ 1， 1，0）， D（0， 1， 0），P（ 0， 0， 1）

1 ,0,0) 1 1 1 ∴ M ( ,N( , , )

2 2 2 2 uuuur uuur ( 1, uuur

∴ MN (0, 1, 1)， PC 1,1),DC ( 1,0,0)

uuuur uuur 2 2 uuuur uuur

1 ( 1) 1 1 0 1 0 0 ∴MNPC 0(1) 1 0,MNDC 0(1)

uuuur uuur uuuur uuur 2 2 2 2

MN PC,MN DC

uuuur uuuur

即 MN ⊥平面 PCD, 所以 MN 为平面 PCD的法向量。

种类二、利用向量研究平行问题

例 2． 如下图，在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中， M、 N分别是 C1C、B1C1 的中点．

求证： MN∥平面 A1BD．

【分析】 解法一：如图以 D 为原点， DA、DC、 DD，所在直线分别为 x 轴、 y 轴、 z 轴成立空间直

角坐标系，设正方体的棱长为 1，则 M 0,1, 1 、 N 1 ,1,1 、D（ 0，0，0）、A1（ 1，0， 1）、B（ 1，1， 0），

2 2

uuuur 1 ,0, 1 ，

于是 MN

2 2

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设平面 A1BD的法向量是 n=（ x， y， z），

则 n DA1 uuur x z 0

0，且 n BD 0 ，得

y ．

x 0

取 x=1，得 y=－1， z=－1．∴ n=（1，－ 1，－ 1）．

uuuur 1 ,0, 1 (1, uuuur

n ． 又 MN n 1, 1) 0，∴ MN

2 2

MN∥平面 A BD．

1

【变式】如图，在四棱锥O ABCD 中 ， 底 面 ABCD 为矩形，OA 底 面

ABCD , OA 2, AD 2AB 2 ， M 为 OA 的中点， N 为 BC 的中点，求证：直线 MN‖ 平面 OCD 。

O

M

A D

B NC

【分析】如图 , 分别以 AB,AD,AO所在直线为 x, y, z 轴成立空间直角坐标系 A xyz ，

x

z O

M

y

A D

B N C

则 A(0,0,0) , B(1,0,0) , C (1,2,0) , D (0,2,0) , M (0,0,1) , N (1,1,0) , O(0,0,2) ,

uuuur uuur uuur

(0, 2,2)

∴ MN (1,1, 1) , DC (1,0,0) , DO

uuuur uuur 1 uuur uuuur uuur uuur

法一：∵ MN DC DO , ∴ MN、DC、DO 共面

2

又Q MN 平面 OCD ， DC 平面 OCD , DO 平面 OCD , DC I DO=D

MN‖ 平面 OCD r

法二：设平面 OCD 的法向量为 n (x, y, z) , 则

r uuur 2y 2z 0 r g 0

n DO 1, 得 n (0,1,1) r uuur ，即

x 0 ，取 z

ngDC 0

uuuur r (1,1, 1) (0,1,1) 0 ， MN n

g g

又Q MN 平面 OCD ， MN‖平面 OCD 。

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