直线与平面平行的判定定理和性质

- 1 - 直线平行平面的判定定理及性质定理

直线平行平面的判定定理及性质定理是几何学中常见的一条定理，它认为如果两个平面之间存在着一条平行线，则这两个平面也是平行的。其实，这条定理也可以用来判定直线是否与平面平行，利用这条定理，我们可以推出许多关于平行平面性质的定理，并学会利用它来研究三维平面几何问题。

这条定理的确切说法是：设A、B、C、D四个不共线的点，且点A、C在平面X上，点B、D在平面Y上，若AB||CD，则X||Y。也就是说，如果其中两个平面之间的两条线段是平行的，那么这两个平面也是平行的。反之，当两个平面之间有一条线段不平行时，它们也不是平行的。

由此，我们可以推出一系列有关平行平面性质的定理，如判定两个平面之间是否存在一条直线，求两个平面间的垂线，计算两个平面之间的距离，判定两个平面的所在的同一空间等。

首先，我们可以用这条定理来证明直线与平面之间的关系。假设将一条直线平行投影到一个平面上，那么与直线平行的两个平面就会存在一条共线线段，因此这两个平面也是平行的。另一方面，如果两个平面之间有一条共线线段，那么它们就是平行的，而且也存在一条平行于它们共线线段的直线。这样，我们就可以判断一条直线是否与平面平行，只需检测是否存在一条共线线段即可。

此外，我们还可以使用这条定理来求解三维几何问题。比如，假设ABCD是四个不共线的点，则可以使用这条定理，即点A、C在平面 - 2 - X上，点B、D在平面Y上，若AB||CD，则X||Y。我们就可以判断这四个点是否都处在同一个平面上，即可以通过检查它们的四条边是否是平行的来判断。

其实，利用这条定理，我们还可以求解更多关于三维几何问题的性质。比如，可以用它来判断某个平面是否与一个球面接触，也可以用它来求解空间两个平面之间的夹角，等等。

总而言之，直线平行平面的判定定理及性质定理是几何学中一条重要的定理，它不仅可以用来判断直线与平面之间的关系，而且还可以用来求解三维平面几何问题，让我们更全面地理解空间几何的特性和性质。

1．线面平行的判定定理和性质定理

文字语言 图形语言 符号语言

判定定理 平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行(简记为“线线平行⇒线面平行”) ∵l∥a，a⊂α，l⊄α，∴l∥α

性质定理 一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行(简记为“线面平行⇒线线平行”) ∵l∥α，l⊂β，α∩β＝b，∴l∥b

2.面面平行的判定定理和性质定理

文字语言 图形语言 符号语言

判定定理 一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行(简记为“线面平行⇒面面平行”) ∵a∥β，b∥β，a∩b＝P，a⊂α，b⊂α，∴α∥β

性质定理 如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行 ∵α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b，∴a∥b

【知识拓展】

重要结论： (1)垂直于同一条直线的两个平面平行，即若a⊥α，a⊥β，则α∥β；

(2)垂直于同一个平面的两条直线平行，即若a⊥α，b⊥α，则a∥b；

(3)平行于同一个平面的两个平面平行，即若α∥β，β∥γ，则α∥γ.

【思考辨析】

判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)

(1)若一条直线平行于一个平面内的一条直线，则这条直线平行于这个平面．( × )

(2)若一条直线平行于一个平面，则这条直线平行于这个平面内的任一条直线．( × )

(3)如果一个平面内的两条直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行．( × )

(4)如果两个平面平行，那么分别在这两个平面内的两条直线平行或异面．( √ )

(5)若直线a与平面α内无数条直线平行，则a∥α.( × )

(6)若α∥β，直线a∥α，则a∥β.( ×

)

1．(教材改编)下列命题中正确的是( )

A．若a，b是两条直线，且a∥b，那么a平行于经过b的任何平面

B．若直线a和平面α满足a∥α，那么a与α内的任何直线平行

C．平行于同一条直线的两个平面平行

1

课题 直线、平面平行的判定及其性质

——解答题篇·常规运用

一、直线与平面平行

1．判定定理

文字语言 图形语言 符号语言

判定定理 平面外一条直线与平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行 l∥aa⊂αl⊄α⇒l∥α

2．性质定理

文字语言 图形语言 符号语言

性质定理 一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行

a∥αa⊂βα∩β＝b⇒a∥b

(1)证线面平行

①若a∥α，a∥b，b⊄α，则b∥α． ②若a∥α，α∥β，a⊄β，则a∥β．

(2)线面平行的性质

①若a∥α，a∥β，α∩β＝b，则a∥b． ②若a∥α，a⊥β，则α⊥β．

二、平面与平面平行

1．判定定理

文字语言 图形语言 符号语言

判定定理 一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行

a⊂αb⊂αa∥βb∥βa∩b＝P⇒α∥β

2．性质定理

文字语言 图形语言 符号语言

性质定理 如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行

α∥βα⊂γ＝aβ∩γ＝b⇒a∥b

2

平面与平面平行的几个性质

(1)两个平面平行，其中一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面．

(2)夹在两个平行平面之间的平行线段长度相等．

(3)经过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行．

(4)两条直线被三个平行平面所截，截得的对应线段成比例．

(5)如果两个平面分别平行于第三个平面，那么这两个平面互相平行．

(6)如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条直线，那么这两个平面平行．

一、直线与平面平行的判定

1．(2015·海淀模拟)如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是菱形，PA＝PB，且侧面PAB⊥平面ABCD，点E是棱AB的中点．

(1)求证：CD∥平面PAB；

【证明】(1)因为底面ABCD是菱形，所以CD∥AB．

1

E

C

ABDP平行垂直的判定性质定理

一、线面平行

1、直线和平面平行的判定定理：

⑴平面外的一条直线与此平面内的一条直线平行,则该直线与此平面平行。

即 ,

//

//ab

a

ab









 1、已知四棱锥PABCD

的底面是菱形．PBPD

，E

为PA

的中点．求证：PC

∥平面BDE

；

2、直线和平面平行的性质定理:

一条直线与一个平面平行,则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行。

即 //l

lm

m













2

二、两平面平行

———没有公共点

1、两个平面平行的判定定理:

一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行。

即

////ababP

ab















1、 如下图，在正方体ABCD—A

1B

1C

1D

1中，M、N、P分别是C

1C、B

1C

1、C

1D

1的中点，求证： 平面MNP∥平面

A

1BD.

2、两个平面平行的性质定理：

如果两个平面平行同时和第三个平面相交，那么它们交线平行。 即

//

,ab

ab













推论：

①

如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条相交直线，那么这两个平面平行。 即

,,,,

//,//ababAmnmnB

ambn











3

②

垂直于同一条直线的两个平面互相平行；

即 ,ll

；

③

平行于同一平面的两个平面平行。

//

三、线面垂直

1、线面垂直判定定理:

一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直,那么这条直线垂直于这个平面垂

直。

即

,,

,mnmnA

l

lmln













1、如图，在三棱锥PABC

中，PA

底面,,60,90ABCPAABABCBCA



，点D

，E

分别在棱,PBPC

上，且//DEBC

.求证：BC

平面PAC

；

．

4 2、线面性质定理：垂直于一个平面的两条直线平行。