高等数学(工本)真题2007年下半年
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高等数学(工本)真题2007年下半年
(总分：100.00，做题时间：90分钟)
一、单项选择题(总题数：5，分数：15.00)
1.在空间直角坐标系中，点P(-1，2，-3)关于oyz坐标面的对称点是( )
A．(1，-2，3) B．(1，2，-3)
C．(-1，2，3) D．(-1，-2，-3)
（分数：3.00）
A.
B. √
C.
D.
解析：
2.设函数f(x，y)满足fx(x0，y0)=(x0，y0)=0，则函数f(x，y)在点(x0，y0)处( )
A．一定连续 B．一定有极值
C．一定可微 D．偏导数一定存在
（分数：3.00）
A.
B.
C.
D. √
解析：
3.设区域D是由直线y=2x，y=3x及x=1所围成，则二重积[*]=( )
[*]
（分数：3.00）
A.
B. √
C.
D.
解析：
4.已知二阶常系数线性齐次微分方程y"+y'+qy=0的通解为
y=ex(C1sin2x+C2cos2x)，则常数p和q分别为( )
A．-2和5 B．2和-5
C．2和3 D．-2和-3
（分数：3.00）
A. √
B.
C.
D.
解析： 5.若无穷级数[*]收敛于S，则无穷级数[*]收敛于( )
A．S B．2S
C．2S-u1 D．2S+u1
（分数：3.00）
A.
B.
C. √
D.
解析：
二、填空题(总题数：5，分数：10.00)
6.设函数z=arctan(x+y)，则[*]= 1．
（分数：2.00）
填空项1:__________________ （正确答案：[*]）
解析：
7.设区域D：0≤x≤1，|y|≤2，则二重积[*]的值等于 1．
（分数：2.00）
填空项1:__________________ （正确答案：2）
解析：
8.已知sinxdx+cosydy是某个函数u(x，y)的全微分，则u(x，y)= 1．
（分数：2.00）
填空项1:__________________ （正确答案：siny-cosx+C）
解析：
9.微分方程[*]的阶数是 1．
（分数：2.00）
填空项1:__________________ （正确答案：二）
解析：
10.设f(x)是周期为2π的周期函数，它在[-π，π]上表达式为[*]，s(x)是f(x)的傅里叶级数的和函数，则s(π)= 1．
（分数：2.00）
填空项1:__________________ （正确答案：[*]）
解析：
三、计算题(总题数：12，分数：60.00)
11.求过点P1(1，2，-4)和P2(3，1，1)的直线方程．
（分数：5.00） __________________________________________________________________________________________
正确答案：(直线的方向向量为[*]
所以所求直线方程为[*])
解析：
12.设函数[*]．
（分数：5.00）
__________________________________________________________________________________________
正确答案：([*]
[*])
解析：
13.已知方程x2+y2+z2-8z=0确定函数z=z(x，y)，求[*]．
（分数：5.00）
__________________________________________________________________________________________
正确答案：(设F(x，y，z)=x2+y2+z2-8z
则Fx=2x，Fy=2y，Fz=2z-8
[*])
解析：
14.求函数f(x，y)=2xy-x2-y2在点(1，2)处，沿与x轴正向成60°角的方向z的方向导数．
（分数：5.00）
__________________________________________________________________________________________
正确答案：([*]
[*]
[*]
[*])
解析：
15.求曲面z=2x2+3y2在点(1，1，5)处的切平面方程．
（分数：5.00）
__________________________________________________________________________________________
正确答案：(设F(x，y，z)=2x2+3y2-z，则
Fx=4x Fy=6y Fz=-1
从而Fx(1，1，5)=4 Fy(1，1，5)=6 Fz(1，1，5)=-1
于是，所求切平面方程为4(x-1)+6(y-1)-(z-5)=0
即4x+6y-z-5=0)
解析：
16.计算二次积分[*]．
（分数：5.00）
__________________________________________________________________________________________
正确答案：(交换积分次序得
[*] [*]) 解析：
17.计算三重积分[*]，其中Ω是由平面x=1，y=1，z=1及坐标面所围成的区域．
（分数：5.00）
__________________________________________________________________________________________
正确答案：([*])
解析：
18.计算对弧长的曲线积分[*]，其中L是抛物线[*]上由点(1，[*])到点(2，2)的一段弧．
（分数：5.00）
__________________________________________________________________________________________
正确答案：([*]
[*])
解析：
19.计算对坐标的曲线积分[*]，其中L为图中的有向折线ABO．
[*]
（分数：5.00）
__________________________________________________________________________________________
正确答案：([*])
解析：
20.已知可导函数f(x)满足[*]，求函数f(x)．
（分数：5.00）
__________________________________________________________________________________________
正确答案：(两边对x求导得f'(x)=xf(x)
即[*]
积分得[*]
[*])
解析：
21.求幂级数[*]的收敛半径和收敛域．
（分数：5.00）
__________________________________________________________________________________________
正确答案：([*]
∴收敛半径R=2
[*]
∴收敛域为(-2，2])
解析：
22.判断无穷级数[*]的敛散性．
（分数：5.00） __________________________________________________________________________________________
正确答案：([*]
[*] [*])
解析：
四、综合题(总题数：3，分数：15.00)
23.求函数f(x，y)=x3-4x2+2xy-y2+1的极值．
（分数：5.00）
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正确答案：(∵fx(x，y)=3x2-8x+2y=0
fy(x，y)=2x-2y=0
∴得驻点为(0，0)，(2，2)
而fxx(x，y)=6x-8 fxy(x，y)=2 fyz(x，y)=-2
对于(0，0)，有B2-AC=-12＜0，A=-8＜0
所以(0，0)是f(x，y)的极大值点，极大值为f(0，0)=1
对于(2，2)，有B2-AC=12＞0，所以(2，2)不是f(x，y)的极值点．
综上所述，f(x，y)在(0，0)处取得极大值为1．)
解析：
24.求由平面x=0，y=0，z=0，x+y=1及抛物面z=x2+y2所围成的曲顶柱体的体积．
（分数：5.00）
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正确答案：(设D：x≥0，y≥0，x+y≤1
[*])
解析：
25.将函数[*]展开成x的幂级数．
（分数：5.00）
__________________________________________________________________________________________
正确答案：([*])
解析：
