高考数学 试题汇编 第二节 合情推理与演绎推理 理(含解析)

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一、填空题

1．由代数式的乘法法则类比推导向量的数量积的运算法则：

①“mn＝nm”类比得到“a·b＝b·a”；

②“(m＋n)t＝mt＋nt”类比得到“(a＋b)·c＝a·c＋b·c”；

③“(m·n)t＝m(n·t)”类比得到“(a·b)·c＝a·(b·c)”；

④“t≠0，mt＝xt⇒m＝x”类比得到“p≠0，a·p＝x·p⇒a＝x”；

⑤“|m·n|＝|m|·|n|”类比得到“|a·b|＝|a|·|b|”；⑥“acbc＝ab”类比得到“a·cb·c＝ab”．

以上的式子中，类比得到的结论正确的个数是________．

解析：只有①②正确，其余错误．

答案：2

2．请阅读下列材料：

若两个正实数a1，a2满足a21＋a22＝1，那么a1＋a2≤2.

证明：构造函数f(x)＝(x－a1)2＋(x－a2)2＝2x2－2(a1＋a2)x＋1，因为对一切实数x，恒有f(x)≥0，所以Δ≤0，从而得4(a1＋a2)2－8≤0，所以a1＋a2≤2.

根据上述证明方法，若n个正实数满足a21＋a22＋…＋a2n＝1时，你能得到的结论为________．(不必证明)

解析：设g(x)＝(x－a1)2＋(x－a2)2＋…＋(x－an)2＝nx2－2(a1＋a2＋…＋an)x＋1，

∵g(x)≥0对x∈R恒成立，

∴Δ＝4(a1＋a2＋…＋an)2－4n≤0，

∴a1＋a2＋…＋an≤n.

答案：a1＋a2＋…＋an≤n

3．如图，第(1)个多边形是由正三角形“扩展”而来，第(2)个多边形是由正四边形“扩展”而来，……如此类推．设由正n边形“扩展”而来的多边形的边数为an，则a6＝________；1a3＋1a4＋1a5＋…＋1a99＝________. 百度文库，精选习题

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解析：an＝n(n＋1)，∴a6＝6×7＝42.

1a3＋1a4＋…＋1a99＝13×4＋14×5＋…＋199×100

高考数学试题经典练一通百

考点30 合情推理与演绎推理

一、选择题

1.设整数，集合.令集合=｛|，且三条件恰有一个成立｝，若和都在中，则下列选项正确的是（ ）

A. B.

C. D.

【解题指南】本题在集合背景下利用新定义考查推力论证能力，应理解好元素在集合中的含义.

【解析】选B.即，且三条件恰有一个成立，则是中两两互不相同的三个数（不妨设），同理，意味着也两两互不相同（由于，或有且只有一个成立），对于由于，且或，所以.同理，对于由于，或，所以.

二、填空题

2.

定义“正对数”：，现有四个命题：

①若，则

②若，则

③若，则

④若，则

其中的真命题有： （写出所有真命题的编号）

【解题指南】 本题为新定义问题，要注意新定义的函数的特点，根据新定义解决问题. 【解析】①当时，，，所以成立.当时，，此时，即成立.综上恒成立.

②当时，，所以不成立.

对于③,当a≥b>0时,≥1,此时,

当a≥b≥1时,ln+a-ln+b=lna-lnb=,

此时命题成立;当a>1>b>0时,ln+a-ln+b=lna,此时>a>1,故命题成立;同理可验证当1>a≥b>0时,≥ln+a-ln+b成立;当<1时,同理可验证是正确的,故③正确;

对于④,可分a≤1,b≤1与两者中仅有一个小于等于1、两者都大于1三类讨论,依据定义判断出④是正确的.

【答案】①③④

3.观察下列等式:

，

，

，

，

…

照此规律, 第n个等式可为 .

【解题指南】通过观察发现:“=”号右侧数的绝对值为首项为1,公差为1的等差数列的前n项和,从而根据等差数列求和公式求解.

【解析】12=1,

12-22=-(1+2),

12-22+32=1+2+3, 12-22+32-42=-(1+2+3+4),

…,

12-22+32-42+…+(-1)n+1n2

=(-1)n+1(1+2+…+n)

第3讲 合情推理与演绎推理

基础知识整合

1．合情推理

2．演绎推理

(1)定义：从□10一般性的原理出发，推出□11某个特殊情况下的结论，我们把这种推理称为演绎推理．

(2)特点：演绎推理是由□12一般到特殊的推理．

(3)模式：“三段论”是演绎推理的一般模式．

1．合情推理的结论是猜想，不一定正确；演绎推理在大前提、小前提和推理形式都正确时，得到的结论一定正确．

2．合情推理是发现结论的推理；演绎推理是证明结论的推理．

1．(2017·上海模拟)某西方国家流传这样一个政治笑话：“鹅吃白菜，参议员先生也吃白菜，所以参议员先生是鹅．”结论显然是错误的，是因为( )

A．大前提错误 B．小前提错误

C．推理形式错误 D．非以上错误

答案 C

解析 ∵大前提的形式：“鹅吃白菜”不是全称命题，大前提本身正确；小前提“参议员先生也吃白菜”本身也正确，但是不是大前提下的特殊情况，鹅与人不能类比．∴不符合三段论的推理形式，∴推理形式错误．

2．某单位安排甲、乙、丙三人在某月1日至12日值班，每人4天．

甲说：我在1日和3日都有值班；

乙说：我在8日和9日都有值班；

丙说：我们三人各自值班的日期之和相等．

据此可判断丙必定值班的日期是( )

A．10日和12日 B．2日和7日

C．4日和5日 D．6日和11日

答案 D

解析 这12天的日期之和，S12＝122(1＋12)＝78，甲、乙、丙各自的值班日期之和是26，对于甲，剩余2天的值班日期之和是22，因此这两天是10日和12日，故甲在1日，3日，10日，12日值班；对于乙，剩余2天的值班日期之和是9，故乙可能在2日，7日，或

者是4日，5日值班，因此丙必定值班的日期是6日和11日．故选D.

3．(2017·全国卷Ⅱ)甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩．老师说：你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩．看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩．根据以上信息，则( )

1 合情推理与演绎推理

高考频度：★★★☆☆ 难易程度：★★☆☆☆

（2017年高考新课标Ⅱ卷）甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩．老师说：你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩．看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩．根据以上信息，则

A．乙可以知道四人的成绩 B．丁可以知道四人的成绩

C．乙、丁可以知道对方的成绩 D．乙、丁可以知道自己的成绩

【参考答案】D

【试题解析】由甲的说法可知乙、丙一人优秀一人良好，则甲、丁两人一人优秀一人良好，乙看到丙的成绩则知道自己的成绩，丁看到甲的成绩则知道自己的成绩，即乙、丁可以知道自己的成绩．故选D．

【解题必备】合情推理主要包括归纳推理和类比推理．数学研究中，在得到一个新结论前，合情推理能帮助猜测和发现结论，在证明一个数学结论之前，合情推理常常能为证明提供思路与方向．合情推理仅是“合乎情理”的推理，它得到的结论不一定正确．而演绎推理得到的结论一定正确(前提和推理形式都正确的前提下)．学#

（1）常见的归纳推理分为数的归纳和形的归纳两类：

①数的归纳包括数字归纳和式子归纳，解决此类问题时，需要细心观察，寻求相邻项及项与序号之间的关系，同时还要联系相关的知识，如等差数列、等比数列等．

②形的归纳主要包括图形数目归纳和图形变化规律归纳．

（2）类比推理的应用一般为类比定义、类比性质和类比方法：

①类比定义，在求解由某种熟悉的定义产生的类比推理型试题时，可以借助原定义来求解；

②类比性质，从一个特殊式子的性质、一个特殊图形的性质入手，提出类比推理型问题，求解时要认真分析两者之间的联系与区别，深入思考两者的转化过程是求解的关键；

③类比方法，有一些处理问题的方法具有类比性，我们可以把这种方法类比应用到其他问题的求解中，注意知识的迁移．

（3）数学问题的解决和证明都蕴含着演绎推理，即一连串的三段论，关键是找到每一步推理的依据——大前提、小前提，注意前一个推理的结论会作为下一个三段论的前提．为了方便，在运用三段论推理时，常