苏教版高中数学选修11第二章《圆锥曲线与方程》章末总结

高二数学课本《选修1-1第二章圆锥曲线与方程》高二数学课本《选修1-1》第二章圆锥曲线与方程在本章中，我们将探索圆锥曲线与方程之间的关系。

圆锥曲线是平面几何中的重要主题，而通过引入方程，我们可以更精确地描述这些曲线的性质。

一、引言圆锥曲线是平面几何中的一个基本主题。

椭圆、双曲线和抛物线等圆锥曲线都是平面上的点满足某种条件的轨迹。

通过引入方程，我们可以对这些曲线进行精确的描述和分类。

二、基本概念1.圆锥曲线的定义：圆锥曲线是指在平面直角坐标系中，一个动点在满足某种条件的限制下，沿着一条具有特殊形状的轨迹运动所形成的图形。

2.圆锥曲线的方程：对于每种圆锥曲线，我们可以使用一个二元二次方程来表示。

例如，椭圆方程可以表示为(x-a)^2/b^2 + (y-c)^2/d^2 = 1，其中a、b、c、d是椭圆的主要参数。

三、主要内容1.椭圆的定义和方程：椭圆是一种常见的圆锥曲线，它描述了一个动点在两个固定点（焦点）之间移动的轨迹。

椭圆的方程可以写为(x-a)^2/b^2 + (y-c)^2/d^2 = 1，其中(a, c)是焦点位置，b和d是半轴长度。

2.双曲线的定义和方程：双曲线也是一种圆锥曲线，描述了一个动点在一个固定点（焦点）和无穷远点之间的轨迹。

双曲线的方程可以写为(x-a)^2/b^2 - (y-c)^2/d^2 = 1，其中(a, c)是焦点位置，b和d是半轴长度。

3.抛物线的定义和方程：抛物线是一种圆锥曲线，描述了一个动点在一个固定点（焦点）和一条直线（准线）之间的轨迹。

抛物线的方程可以写为y^2 = 2px或x^2 = 2py，其中p是抛物线的焦参数。

4.圆锥曲线的性质：通过观察圆锥曲线的方程，我们可以得出一些重要的性质，例如范围、对称性和离心率等。

这些性质有助于我们更好地理解和应用圆锥曲线。

四、方法与技巧1.代数方法：通过代入坐标到圆锥曲线的方程中，我们可以得到点的位置，从而通过代数方法解决问题。

圆锥曲线的定义及应用（）Ａ．椭圆Ｂ．双曲线Ｃ．抛物线Ｄ．以上都不对（２）在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的中心为原点，焦点F１，F２在x轴上，离心率为错误!.过F１的直线l交C于A，B两点，且△ABF２的周长为１6，那么C的方程为________．（１）C （２）错误!＋错误!＝１[（１）把轨迹方程５错误!＝|３x＋４y—１２|写成错误!＝错误!.∴动点M到原点的距离与它到直线３x＋４y—１２＝0的距离相等．∴点M的轨迹是以原点为焦点，直线３x＋４y—１２＝0为准线的抛物线．（２）设椭圆方程为错误!＋错误!＝１（a＞b＞0），因为AB过F１且A，B在椭圆上，如图所示，则△ABF２的周长为|AB|＋|AF２|＋|BF２|＝|AF１|＋|AF２|＋|BF１|＋|BF２|＝４a＝１6，∴a＝４．又离心率e＝错误!＝错误!，∴c＝２错误!，∴b２＝a２—c２＝8，∴椭圆C的方程为错误!＋错误!＝１．]“回归定义”解题的三点应用应用一：在求轨迹方程时，若所求轨迹符合某种圆锥曲线的定义，则根据圆锥曲线的定义，写出所求的轨迹方程；应用二：涉及椭圆、双曲线上的点与两个定点构成的三角形问题时，常用定义结合解三角形的知识来解决；应用三：在求有关抛物线的最值问题时，常利用定义把到焦点的距离转化为到准线的距离，结合几何图形，利用几何意义去解决．提醒：应用定义解题时注意圆锥曲线定义中的限制条件．１．点P是抛物线y２＝8x上的任意一点，F是抛物线的焦点，点M的坐标是（２,３），求|PM|＋|PF|的最小值，并求出此时点P的坐标．[解] 抛物线y２＝8x的准线方程是x＝—２，那么点P到焦点F的距离等于它到准线x＝—２的距离，过点P作PD垂直于准线x＝—２，垂足为D，那么|PM|＋|PF|＝|PM|＋|PD|.如图所示，根据平面几何知识，当M，P，D三点共线时，|PM|＋|PF|的值最小，且最小值为|MD|＝２—（—２）＝４，所以|PM|＋|PF|的最小值是４．此时点P的纵坐标为３，所以其横坐标为错误!，即点P的坐标是错误!.圆锥曲线的方程【例２】C的方程是（）Ａ．错误!＋错误!＝１Ｂ．错误!＋错误!＝１Ｃ．错误!＋错误!＝１Ｄ．错误!＋错误!＝１（２）已知抛物线y２＝8x的准线过双曲线错误!—错误!＝１（a>0，b>0）的一个焦点，且双曲线的离心率为２，则该双曲线的方程为________．（１）D （２）x２—错误!＝１[（１）由题意得错误!，解得错误!，则b２＝a２—c２＝３，故椭圆方程为错误!＋错误!＝１．（２）由题意得错误!，解得错误!，则b２＝c２—a２＝３，因此双曲线方程为x２—错误!＝１．]求圆锥曲线方程的一般步骤一般求已知曲线类型的曲线方程问题，可采用“先定形，后定式，再定量”的步骤．（１）定形——指的是二次曲线的焦点位置与对称轴的位置．（２）定式——根据“形”设方程的形式，注意曲线系方程的应用，如当椭圆的焦点不确定在哪个坐标轴上时，可设方程为mx２＋ny２＝１（m>0，n>0）．（３）定量——由题设中的条件找到“式”中待定系数的等量关系，通过解方程得到量的大小．２．（１）以x轴为对称轴，通径长为8，顶点为坐标原点的抛物线方程是（）Ａ．y２＝8xＢ．y２＝—8xＣ．y２＝8x或y２＝—8xＤ．x２＝8y或x２＝—8yC[由题意知２p＝8，故选Ｃ．]（２）焦点在x轴上，右焦点到短轴端点的距离为２，到左顶点的距离为３的椭圆的标准方程是（）Ａ．错误!＋错误!＝１Ｂ．错误!＋y２＝１Ｃ．错误!＋错误!＝１Ｄ．x２＋错误!＝１A[依题意，得a＝２，a＋c＝３，故c＝１，b＝错误!＝错误!，故所求椭圆的标准方程是错误!＋错误!＝１．]圆锥曲线的几何性质【例３】（１）如图所示，F１，F２是椭圆C１：错误!＋y２＝１与双曲线C２的公共焦点，A，B分别是C１，C２在第二、四象限的公共点．若四边形AF １BF２为矩形，则C２的离心率是（）Ａ．错误!Ｂ．错误!Ｃ．错误! D.错误!（２）已知a>b>0，椭圆C１的方程为错误!＋错误!＝１，双曲线C２的方程为错误!—错误!＝１，C１与C２的离心率之积为错误!，则C２的渐近线方程为________．[思路探究] （１）由椭圆可求出|AF１|＋|AF２|，由矩形求出|AF１|２＋|AF２|２，再求出|AF２|—|AF１|即可求出双曲线方程中的a，进而求得双曲线的离心率．（２）根据离心率的关系列出关于a，b的方程，求出错误!，再求渐近线方程．（１）D （２）x±错误!y＝0 [（１）由椭圆可知|AF１|＋|AF２|＝４，|F１F２|＝２错误!.因为四边形AF１BF２为矩形，所以|AF１|２＋|AF２|２＝|F１F２|２＝１２，所以２|AF１||AF２|＝（|AF１|＋|AF２|）２—（|AF１|２＋|AF２|２）＝１6—１２＝４，所以（|AF２|—|AF１|）２＝|AF１|２＋|AF２|２—２|AF１|·|AF２|＝１２—４＝8，所以|AF２|—|AF１|＝２错误!，因此对于双曲线有a＝错误!，c＝错误!，所以C２的离心率e＝错误!＝错误!.（２）设椭圆C１和双曲线C２的离心率分别为e１和e２，则e１＝错误!，e２＝错误!.因为e１·e２＝错误!，所以错误!＝错误!，即错误!４＝错误!，所以错误!＝错误!.故双曲线的渐近线方程为y＝±错误!x＝±错误!x，即x±错误!y＝0．]求解离心率的三种方法（１）定义法：由椭圆（双曲线）的标准方程可知，不论椭圆（双曲线）的焦点在x轴上还是y轴上都有关系式a２—b２＝c２（a２＋b２＝c２）以及e＝错误!，已知其中的任意两个参数，可以求其他的参数，这是基本且常用的方法．（２）方程法：建立参数a与c之间的齐次关系式，从而求出其离心率，这是求离心率的十分重要的思路及方法．（３）几何法：求与过焦点的三角形有关的离心率问题，根据平面几何性质以及椭圆（双曲线）的定义、几何性质，建立参数之间的关系，通过画出图形，观察线段之间的关系，使问题更形象、直观．３．已知椭圆错误!＋错误!＝１（a＞b＞0）的半焦距是c，A，B分别是长轴、短轴的一个端点，O 为原点，若△ABO的面积是错误!c２，则这一椭圆的离心率是（）Ａ．错误!Ｂ．错误!Ｃ．错误!Ｄ．错误!A[错误!ab＝错误!c２，即a２（a２—c２）＝１２c４，所以（a２＋３c２）（a２—４c２）＝0，所以a ２＝４c２，a＝２c，故e＝错误!＝错误!.]直线与圆锥曲线的位置关系【例４】，左、右焦点分别为F１（—c,0），F２（c,0）．（１）求椭圆的方程；（２）若直线l：y＝—错误!x＋m与椭圆交于A，B两点，与以F１F２为直径的圆交于C，D两点，且满足错误!＝错误!，求直线l的方程．[思路探究] （１）利用定义解题．（２）利用勾股定理和弦长公式来解．[解] （１）由题设知错误!解得a＝２，b＝错误!，c＝１，∴椭圆的方程为错误!＋错误!＝１．（２）由（１）知，以F１F２为直径的圆的方程为x２＋y２＝１，∴圆心到直线l的距离d＝错误!，由d<１得|m|< 错误!.（*）∴|CD|＝２错误!＝２错误!＝错误!错误!.设A（x１，y１），B（x２，y２），由错误!得x２—mx＋m２—３＝0，由根与系数的关系可得x１＋x２＝m，x１x２＝m２—３．∴|AB|＝错误!＝错误!错误!.由错误!＝错误!，得错误!＝１，解得m＝±错误!，满足（*）．∴直线l的方程为y＝—错误!x＋错误!或y＝—错误!x—错误!.直线与圆锥曲线的三种位置关系将直线方程与圆锥曲线方程联立，化简后得到关于x（或y）的一元二次方程，则直线与圆锥曲线的位置关系有三种情况：１．相交：Δ>0⇔直线与椭圆相交；Δ>0⇒直线与双曲线相交，但直线与双曲线相交不一定有Δ>0，如当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交且只有一个交点，故Δ>0是直线与双曲线相交的充分不必要条件；Δ>0⇒直线与抛物线相交，但直线与抛物线相交不一定有Δ>0，当直线与抛物线的对称轴平行时，直线与抛物线相交且只有一个交点，故Δ>0也仅是直线与抛物线相交的充分条件，而不是必要条件．２．相切：Δ＝0⇔直线与椭圆相切；Δ＝0⇔直线与双曲线相切；Δ＝0⇔直线与抛物线相切．３．相离：Δ<0⇔直线与椭圆相离；Δ<0⇔直线与双曲线相离；Δ<0⇔直线与抛物线相离．４．已知椭圆E：错误!＋错误!＝１（a＞b＞0），其焦点为F１，F２，离心率为错误!，直线l：x＋２y—２＝0与x轴，y轴分别交于点A，B.（１）若点A是椭圆E的一个顶点，求椭圆的方程；（２）若线段AB上存在点P满足|PF１|＋|PF２|＝２a，求a的取值范围．[解] （１）由椭圆的离心率为错误!，得a＝错误!c，由A（２,0），得a＝２，∴c＝错误!，b＝错误!，∴椭圆方程为错误!＋错误!＝１．（２）由e＝错误!，设椭圆方程为错误!＋错误!＝１，联立错误!得6y２—8y＋４—a２＝0，若线段AB上存在点P满足|PF１|＋|PF２|＝２a，则线段AB与椭圆E有公共点，等价于方程6y２—8y ＋４—a２＝0在y∈[0,１]上有解．设f（y）＝6y２—8y＋４—a２，∴错误!即错误!∴错误!≤a２≤４，故a的取值范围是错误!≤a≤２．。

《圆锥曲线与方程》知识系统整合规律方法收藏1．椭圆、双曲线、抛物线的定义、标准方程、几何性质椭圆双曲线抛物线定义平面内与两个定点F1，F2的距离之和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F1F2|且大于零)的点的轨迹平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)距离相等的点的轨迹标准方程x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)y2＝2px(p>0)关系式a2－b2＝c2a2＋b2＝c2—图形封闭图形无限延展，但有渐近线无限延展，没有渐近线对称性对称中心为原点无对称中心两条对称轴一条对称轴顶点四个两个一个2．待定系数法求圆锥曲线的标准方程(1)椭圆、双曲线的标准方程求椭圆、双曲线的标准方程包括“定位”和“定量”两方面，一般先确定焦点的位置，再确定参数．当焦点位置不确定时，要分情况讨论，也可将方程设为一般形式：椭圆方程为Ax2＋By2＝1(A>0，B>0，A≠B)，其中当1A>1B时，焦点在x轴上，当1A<1B时，焦点在y轴上；双曲线方程为Ax2＋By2＝1(AB<0)，当A<0时，焦点在y轴上，当B<0时，焦点在x轴上．另外，在求双曲线的标准方程的过程中，根据不同的已知条件采取相应方法设方程，常常可以简化解题过程，避免出错．如：与已知双曲线x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)共渐近线的双曲线方程可设为x2a2－y2b2＝λ(λ≠0)；已知所求双曲线为等轴双曲线，其方程可设为x2－y2＝λ(λ≠0)．(2)抛物线的标准方程求抛物线的标准方程时，先确定抛物线的方程类型，再由条件求出参数p的大小．当焦点位置不确定时，要分情况讨论，也可将焦点在x轴或y轴上的抛物线方程设为一般形式y2＝2px(p≠0)或x2＝2py(p≠0)，然后建立方程求出参数p的值．3．求离心率的方法(1)定义法：由椭圆(双曲线)的标准方程可知，不论椭圆(双曲线)的焦点在x轴上还是在y轴上都有关系式a2－b2＝c2(a2＋b2＝c2)以及e＝ca.已知其中的任意两个参数，可以求其他的参数．这是基本且常用的方法．(2)方程法：建立参数a与c之间的齐次关系式，从而求出其离心率．这是求离心率的十分重要的思路及方法．(3)几何法：求与过焦点的三角形有关的离心率问题，根据平面几何性质以及椭圆(双曲线)的定义、几何性质，建立参数之间的关系，通过画出图形，观察线段之间的关系，使问题更形象、直观．4．直线与圆锥曲线的位置关系(1)直线与圆锥曲线问题，是高考对圆锥曲线考查的重点和难点，也是历年考查的热点，是每年高考试卷上都会出现的一个知识点．直线与圆锥曲线问题包括两大类：①直线与圆锥曲线位置关系的判定；②直线与圆锥曲线相交而产生的弦长问题、中点问题、范围问题、最值问题等．(2)直线与圆锥曲线问题往往综合性强，注重与一元二次方程中的根的判别式、根与系数的关系、函数的单调性、不等式、平面向量等知识综合．分析这类问题，往往利用“数形结合”的思想方法，或“设而不求”的方法求解．学科思想培优一、圆锥曲线的定义、方程及性质对于圆锥曲线的有关问题，要有运用圆锥曲线定义解题的意识，“回归定义”是一种重要的解题策略．如：(1)在求轨迹方程时，若所求轨迹符合某种圆锥曲线的定义，则根据圆锥曲线的定义，写出所求的轨迹方程．(2)涉及椭圆、双曲线上的点与两个焦点构成的三角形问题时，常用定义结合解三角形的知识来解决．(3)在求有关抛物线的最值问题时，常利用定义把到焦点的距离转化为到准线的距离，结合几何图形，利用几何意义去解决．总之，圆锥曲线的定义、性质在解题中有重要作用，要注意灵活运用． [典例1] 已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，P (1，m )是抛物线C 上的一点，且|PF |＝2.(1)若椭圆C ′：x 24＋y 2n ＝1与抛物线C 有共同的焦点，求椭圆C ′的方程； (2)设抛物线C 与(1)中所求椭圆C ′的交点为A ，B ，求以OA 和OB 所在的直线为渐近线，且经过点P 的双曲线方程．解 (1)P 到焦点距离等于P 到准线距离，所以|PF |＝1＋p2＝2，p ＝2， 故抛物线的方程为C ：y 2＝4x .又由椭圆C ′：x 24＋y 2n ＝1，可知4－n ＝1，所以n ＝3，故所求椭圆的方程为x 24＋y 23＝1.(2)由⎩⎨⎧x 24＋y 23＝1，y 2＝4x ，消去y 得到3x 2＋16x －12＝0，解得x 1＝23，x 2＝－6(舍去)．所以A ⎝ ⎛⎭⎪⎫23，236，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫23，－236，则双曲线的渐近线方程为y ＝±6x .由渐近线6x ±y ＝0，可设双曲线方程为6x 2－y 2＝λ(λ≠0)． 由点P (1，m )在抛物线C ：y 2＝4x 上， 解得m 2＝4，P (1，±2)，因为点P 在双曲线上，∴6－4＝λ＝2， 故所求双曲线方程为3x 2－y 22＝1.拓展提升(1)圆锥曲线的定义是推导标准方程和几何性质的基础，也是解题的重要工具，灵活运用定义，可避免很多复杂的计算，提高解题效率，因此在解决圆锥曲线的有关问题时，要有运用圆锥曲线定义解题的意识，“回归定义”是一种重要的解题策略．(2)应用圆锥曲线的性质时，要注意与数形结合、方程等思想结合运用．二、直线与圆锥曲线的位置关系直线与圆锥曲线的位置关系综合题，往往因综合性强，难度偏大，从而使很多同学遇到圆锥曲线题后感到无从下手，因此有些同学选择对其置之不理，先将其他题目完成后再做圆锥曲线题(考试过程中)，这样一由于时间紧张，二由于无从下手，三由于运算量大，有些同学不得不放弃，从而造成遗憾．实际上直线与圆锥曲线综合题的求解是有一定的规律可循的，如下规律不妨试一试，共分六步，每步都有一定的步骤得分，因此要求步骤要全且规范，争取做到能得分且得分．(1)引参，设直线或圆锥曲线方程，并设直线与圆锥曲线交点坐标，如A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．(2)将直线方程与圆锥曲线方程联立方程组，消去y (或x )得到关于x (或y )的方程f (x )＝0(或f (y )＝0)．此方程可能是一元二次方程，也可能是二次项系数含参的一元二次方程(这种情况应注意对二次项系数的讨论)，然后列出Δ>0及根与系数的关系．(3)试用A (x 1，y 1)与B (x 2，y 2)的坐标x 1，y 1，x 2，y 2表示题中条件，得条件式(*)．(4)利用点A ，B 在直线上，将条件式(*)中坐标进行统一，都转化为关于x 1，x 2(或y 1，y 2)的条件式(*)′.(5)对第二步应用根与系数的关系整体代入条件(*)′，求参或其他． (6)与Δ>0联系验证求解结果或其他．[典例2] 设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的右焦点为F ，过点F 的直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，直线l 的倾斜角为45°，AF →＝2FB →.(1)求椭圆C 的离心率；(2)如果|AB |＝214，求椭圆C 的方程． 解 (1)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由直线l 的倾斜角为45°及AF →＝2FB →，可知y 1<0，y 2>0.直线l 的方程为y ＝x －c ，其中c ＝a 2－b 2，联立⎩⎨⎧y ＝x －c ，x 2a 2＋y 2b 2＝1，得(a 2＋b 2)y 2＋2b 2cy －b 4＝0， 解得y 1＝－b 2(c ＋2a )a 2＋b 2，y 2＝－b 2(c －2a )a 2＋b2. 因为AF →＝2FB →，所以－y 1＝2y 2， 即b 2(c ＋2a )a 2＋b 2＝2×－b 2(c －2a )a 2＋b 2，求得离心率e ＝c a ＝23.(2)因为|AB |＝2|y 2－y 1|，所以4ab 2a 2＋b2＝214， 由c a ＝23，得b ＝73a ，所以74a ＝214，得a ＝3，b ＝7， 所以椭圆C 的方程为x 29＋y 27＝1. 拓展提升直线与圆锥曲线的位置关系，涉及函数、方程、不等式、平面几何等诸多方面的知识，形成了求轨迹、最值、对称、取值范围、线段的长度等多种问题．解决此类问题应注意数形结合，以形辅数的方法；还要多结合圆锥曲线的定义，根与系数的关系以及“点差法”等．三、圆锥曲线中的定点与定值问题解决定点与定值问题应灵活应用已知条件巧设变量，在变形过程中要注意各变量之间的关系，善于捕捉题目信息，注意消元思想的应用．[典例3] 设抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，经过点F 的直线交抛物线于A ，B 两点，点C 在抛物线的准线上，且BC ∥x 轴．证明：直线AC 经过原点O .证明 因为抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，所以经过点F 的直线AB的方程可设为x ＝my ＋p2，代入抛物线方程得y 2－2pmy －p 2＝0.若记A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1，y 2是该方程的两个根，所以y 1y 2＝－p 2. 因为BC ∥x 轴，且点C 在准线x ＝－p2上， 所以点C 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－p 2，y 2，故直线CO 的斜率为k ＝y 2－p 2＝2p y 1＝y 1x 1， 即k 也是直线OA 的斜率，所以A ，O ，C 三点共线，所以直线AC 经过原点O .[典例4] 已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)过A (2,0)，B (0,1)两点． (1)求椭圆C 的方程及离心率；(2)设P 为第三象限内一点且在椭圆C 上，直线P A 与y 轴交于点M ，直线PB 与x 轴交于点N .求证：四边形ABNM 的面积为定值．解 (1)由题意得，a ＝2，b ＝1. 所以椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1. 又c ＝a 2－b 2＝3，所以离心率e ＝c a ＝32.(2)证明：设P (x 0，y 0)(x 0<0，y 0<0)，则x 20＋4y 20＝4.又A (2,0)，B (0,1)， 所以直线P A 的方程为y ＝y 0x 0－2(x －2)． 令x ＝0，得y M ＝－2y 0x 0－2，从而|BM |＝1－y M ＝1＋2y 0x 0－2.直线PB 的方程为y ＝y 0－1x 0x ＋1.令y ＝0，得x N ＝－x 0y 0－1，从而|AN |＝2－x N ＝2＋x 0y 0－1. 所以四边形ABNM 的面积 S ＝12|AN |·|BM |＝12⎝⎛⎭⎪⎫2＋x 0y 0－1⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋2y 0x 0－2 ＝x 20＋4y 20＋4x 0y 0－4x 0－8y 0＋42(x 0y 0－x 0－2y 0＋2)＝2x 0y 0－2x 0－4y 0＋4x 0y 0－x 0－2y 0＋2＝2.从而四边形ABNM 的面积为定值． 拓展提升圆锥曲线中的定点、定值问题往往与圆锥曲线中的“常数”有关，如椭圆的长轴、短轴，双曲线的虚轴、实轴，抛物线的焦点等，解决此类问题的主要方法是通过研究直线与曲线的位置关系，把所给问题进行化简，通过计算获得答案；或是从特殊位置出发，确定定值，然后给出一般情况的证明．四、圆锥曲线中的最值(或范围)问题 1.最值问题的求解方法(1)建立函数模型，利用二次函数、三角函数的有界性求最值或利用导数法求最值．(2)建立不等式模型，利用基本不等式求最值．(3)数形结合，利用相切、相交的几何性质求最值．2.求参数范围的常用方法[典例5]设圆x2＋y2＋2x－15＝0的圆心为A，直线l过点B(1,0)且与x轴不重合，l交圆A于C，D两点，过B作AC的平行线交AD于点E.(1)证明|EA|＋|EB|为定值，并写出点E的轨迹方程；(2)设点E的轨迹为曲线C1，直线l交C1于M，N两点，过B且与l垂直的直线与圆A交于P，Q两点，求四边形MPNQ面积的取值范围．解(1)圆A的方程整理可得(x＋1)2＋y2＝16，点A坐标为(－1,0)，如图．因为|AD|＝|AC|，所以∠ACD＝∠ADC.因为EB∥AC，所以∠EBD＝∠ACD，故∠EBD＝∠ACD＝∠ADC.所以|EB|＝|ED|，故|EA|＋|EB|＝|EA|＋|ED|＝|AD|.又圆A的标准方程为(x＋1)2＋y2＝16，从而|AD|＝4，所以|EA|＋|EB|＝4.＋由题设得A(－1,0)，B(1,0)，|AB|＝2，由椭圆定义可得点E的轨迹方程为x24y 23＝1(y ≠0)．(2)解法一：当l 与x 轴不垂直时，设l 的方程为y ＝k (x －1)(k ≠0)，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)．由⎩⎨⎧y ＝k (x －1)，x 24＋y 23＝1得(4k 2＋3)x 2－8k 2x ＋4k 2－12＝0.则x 1＋x 2＝8k 24k 2＋3，x 1x 2＝4k 2－124k 2＋3，所以|MN |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝12(k 2＋1)4k 2＋3.过点B (1,0)且与l 垂直的直线m ：y ＝－1k (x －1)，A 到m 的距离为2k 2＋1，所以|PQ |＝242－⎝⎛⎭⎪⎫2k 2＋12＝44k 2＋3k 2＋1.故四边形MPNQ 的面积 S ＝12|MN ||PQ |＝121＋14k 2＋3. 可得当l 与x 轴不垂直时，四边形MPNQ 面积的取值范围为(12,83)． 当l 与x 轴垂直时，其方程为x ＝1，|MN |＝3，|PQ |＝8，四边形MPNQ 的面积为12.综上，四边形MPNQ 面积的取值范围为[12,83)．解法二：设∠MBA ＝θ(θ∈(0，π))，则在△MAB 中运用余弦定理，有|MA |2＝|MB |2＋|AB |2－2·|MB |·|AB |·cos θ，结合|MA |＋|MB |＝4可解得|MB |＝32－cos θ.同理可得|NB |＝32＋cos θ，从而|MN |＝|MB |＋|NB |＝124－cos 2θ.此时直线PQ 的方程为x cos θ＝y sin θ＋cos θ. 于是圆的弦长|PQ |＝242－⎝⎛⎭⎪⎫2cos θcos 2θ＋sin 2θ2＝44－cos 2θ.则四边形MPNQ 的面积S ＝12·|MN |·|PQ | ＝244－cos 2θ∈[12,83)，故四边形MPNQ 面积的取值范围是[12,83)． 拓展提升圆锥曲线中的最值问题，通常有两类：一类是有关长度、面积等最值问题；一类是圆锥曲线中有关几何元素的最值问题，这两类问题的解决往往通过回归定义，结合几何知识，建立目标函数，利用函数的性质或不等式知识，以及数形结合、设参、转化、代换等途径来解决．五、圆锥曲线中的存在性问题 1．解决存在性问题的关注点求解存在性问题，先假设存在，推证满足条件的结论，若结论正确，则存在；若结论不正确，则不存在．(1)当条件和结论不唯一时要分类讨论．(2)当给出结论而要推导出存在的条件时，先假设成立，再推出条件． 2．存在性问题的解题步骤[典例6] 如图，椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)经过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32，离心率e ＝12，直线l 的方程为x ＝4.(1)求椭圆C 的方程；(2)AB 是经过右焦点F 的任一弦(不经过点P )，设直线AB 与直线l 相交于点M ，记P A ，PB ，PM 的斜率分别为k 1，k 2，k 3.问：是否存在常数λ，使得k 1＋k 2＝λk 3？若存在，求λ的值；若不存在，说明理由．解 (1)由P ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32在椭圆上，得1a 2＋94b 2＝1，① 依题设知a ＝2c ，则b 2＝3c 2，②②代入①，解得c 2＝1，a 2＝4，b 2＝3.故椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1.(2)解法一：由题意可设AB 的斜率为k ，则直线AB 的方程为y ＝k (x －1)，③代入椭圆方程3x 2＋4y 2＝12，并整理，得(4k 2＋3)x 2－8k 2x ＋4(k 2－3)＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则有x 1＋x 2＝8k 24k 2＋3，x 1x 2＝4(k 2－3)4k 2＋3，④ 在方程③中令x ＝4，得M 的坐标为(4,3k )．从而k 1＝y 1－32x 1－1，k 2＝y 2－32x 2－1，k 3＝3k －324－1＝k －12. 由于A ，F ，B 共线，则有k ＝k AF ＝k BF ，即有y 1x 1－1＝y 2x 2－1＝k . 所以k 1＋k 2＝y 1－32x 1－1＋y 2－32x 2－1＝y 1x 1－1＋y 2x 2－1－32⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 1－1＋1x 2－1 ＝2k －32·x 1＋x 2－2x 1x 2－(x 1＋x 2)＋1，⑤④代入⑤得k 1＋k 2＝2k －32·8k 24k 2＋3－24(k 2－3)4k 2＋3－8k 24k 2＋3＋1＝2k －1， 又k 3＝k －12，所以k 1＋k 2＝2k 3.故存在常数λ＝2符合题意．解法二：设B (x 0，y 0)(x 0≠1)，则直线FB 的方程为y ＝y 0x 0－1(x －1)， 令x ＝4，求得M ⎝⎛⎭⎪⎫4，3y 0x 0－1， 从而直线PM 的斜率为k 3＝2y 0－x 0＋12(x 0－1)， 联立⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝y 0x 0－1(x －1)，x 24＋y 23＝1，得A ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫5x 0－82x 0－5，3y 02x 0－5， 则直线P A 的斜率为k 1＝2y 0－2x 0＋52(x 0－1)，直线PB 的斜率为k 2＝2y 0－32(x 0－1)， 所以k 1＋k 2＝2y 0－2x 0＋52(x 0－1)＋2y 0－32(x 0－1)＝2y 0－x 0＋1x 0－1＝2k 3， 故存在常数λ＝2符合题意．拓展提升存在性问题是一种具有开放性和发散性的问题，此类题目的条件和结论不完备，学生应结合已有的条件进行观察、分析、比较和概括，它对数学思想、数学意识有较高的要求．。

圆锥曲线与方程--椭圆1、椭圆的定义：平面内与两个定点21,F F 的距离和等于常数2a （2a>||21F F ）的点的轨迹叫做椭圆。

2、椭圆的标准方程与几何性质:近于a ，从而22c a b -=越小，因此椭圆越扁；反之，e 越接近于0，则c 越接近于0，从而22c a b -=越大，这时椭圆就越接近于圆；故离心率e 越小椭圆越圆，离心率e 越大椭圆越扁。

4、弦长公式（一）：;12222⎪⎩⎪⎨⎧=++=b ya x m kx y 由)0(02≠=++a c bx ax y 得：消去⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=+;;2121a c x x a b x x 由韦达定理知：，则，，，弦端点设)()(2211y x B y x A[]212212221222122212212214)()1())(1()()()()(x x x x k x x k x x k x x y y x x AB -++=-+=-+-=-+-=∴5、弦长公式（二）：;12222⎪⎩⎪⎨⎧=++=b yax mkx y 由)0'(0'''2≠=++a c y b y a x 得：消去⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=+;;''21''21a c y y a b y y 由韦达定理知：[]212212221222122122212214)()11())(11()()(1)()(y y y y k y y ky y y y k y y x x AB -++=-+=-+-=-+-=直线和椭圆相交，求其弦长，通常利用根与系数的关系，设出交点坐标，但是不求出，从而求出弦长。

这种方法称为设而不求，这个公式叫做弦长公式。

1、双曲线的定义：平面内与两个定点21,F F 的距离的差的绝对值等于常数2a （2a<||21F F ）的点的轨迹叫做双曲线。

2、双曲线的标准方程与几何性质:1122222-=-=-==e ac a a c a b k ；所以e 越大，则渐近线的斜率的绝对值就越大，这时双曲线的形状就从扁狭逐渐变得开阔。