沪教版(上海)高二第二学期新高考辅导与训练第12章圆锥曲线12.1(3)曲线的交点

沪教版（上海）高二第二学期新高考辅导与训练第12章圆锥曲线阶段训练3学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、填空题1．若点,2a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭在方程23=+y x x 所表示的曲线上，则a =_______． 2．若方程220x y x y m -++=+表示一个圆，则实数m 的取值范围是______. 3．到点(2,1)-和（2，1）的距离之和为4的点的轨迹方程是_______．4．已知222440x y x y ++-+=关于直线2y x b =+成轴对称，则b =_______． 5．动点P 在曲线221y x =+上运动，则点P 与定点(0,1)M -连线的中点N 的轨迹方程为_______．6．若曲线220-++=x xy y k 经过点(,)()P t t t R -∈，则k 的取值范围是_______．7．若关于x 1=+kx 有两个不同的实根，则实数k 的取值范围是_______． 8．若过点(,4)M a 总有两条直线与圆2260x y y +-=相切，则实数a 的取值范围是_______．9．已知(1,0),(1,2)--A M ，点B 在直线210x y -+=上运动，=+MP MA MB ，则点P 的轨迹方程是_______．10．若圆224x y +=与圆222210x y ax a +-+-=内切，则a 等于__________. 11．过点(2,3)P 向圆221x y +=作两条切线,PA PB ，则弦AB 所在的直线方程为_______．12．已知AC 、BD 为圆22:(1)(2)16-+-=O x y 的两条相互垂直的弦，垂足为121,2M nn ⎛⎫+- ⎪⎝⎭，则四边形ABCD 的面积()→∞n S n 的极限值为_______．二、单选题13．若直线2ax by +=与圆221x y +=有两个不同的公共点，那么点(,)b a 与圆224x y +=的位置关系是（ ）．A ．点在圆外B ．点在圆内C ．点在圆上D ．不能确定 14．“0A C =≠且0B =”是“220Ax Bxy Cy Dx Ey F +++++=表示圆的方程”的（ ）条件A ．充分非必要B ．必要非充分C ．充要D ．既非充分又非必要15．已知直线0ax by c与圆22:1O x y +=相交于A ，B 两点，且AB =，则OA OB ⋅等于（ ）．A ．12B ．2C ．12-D ．16．直线y ＝kx ＋3与圆(x －3)2＋(y －2)2＝4相交于M ，N 两点，若MN ≥k 的取值范围是( )．A ．3[,0]?4-B ．(－∞，34-]∪[0，＋∞)C ．[D ．2[,0]3-三、解答题17．一动点P 在圆224x y +=上运动，求它与定点(3,0)Q 连线的中点M 的轨迹． 18．已知圆22:412390C x y x y ++-+=和直线:3450l x y -+=，求圆C 关于直线l 对称的圆的方程．19．已知直线l ：y=x+m ，m ∈R.若以点M （2,0）为圆心的圆与直线l 相切与点P ，且点P 在y 轴上，求该圆的方程.20．已知,AC BD 为圆22:4O x y +=的两条相互垂直的弦，垂足为M ，试求四边形ABCD 的面积的最大值．21．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆2212320x y x +-+=的圆心为Q ，过点()0,2P 且斜率为k 的直线与圆Q 相交于不同的两点A ，B ．()1求k 的取值范围；()2是否存在常数k ，使得向量OA OB +与PQ 共线？如果存在，求k 值；如果不存在，请说明理由．22．已知过原点的动直线l 与圆1C :22650x y x +-+=相交于不同的两点A ，B ．（1）求圆1C 的圆心坐标；（2）求线段AB 的中点M 的轨迹C 的方程；（3）是否存在实数k ，使得直线L:()4y k x =-与曲线C 只有一个交点？若存在，求出k 的取值范围；若不存在，说明理由．参考答案1．0或16- 【分析】直接将点代入曲线方程，解得答案.【详解】 点,2a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭在方程23=+y x x 所表示的曲线上，则232a a a =⋅+，解得0a =或16a =-. 故答案为：0或16-. 【点睛】本题考查了曲线和点的位置关系，属于简单题.2．1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭【分析】根据题意，由圆的一般方程的形式分析可得1140m +-⨯>，解可得m 的取值范围，即可得答案．【详解】解：根据题意，方程220x y x y m -++=+表示一个圆，则有1140m +-⨯>， 解的12m <，即m 的取值范围为1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭； 故答案为：1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭． 【点睛】本题考查二元二次方程表示圆的条件，涉及圆的一般方程，属于基础题．3．1(22)y x =-≤≤【分析】记点()2,1A -、()21B ，，设所求点为P ，由PA PB AB +=可得知点P 的轨迹，进而可得出点P 的轨迹方程.【详解】记点()2,1A -、()21B ，，设所求点为P ，由PA PB AB +=，则点P 的轨迹为线段AB ，即所求动点的轨迹方程为1(22)y x =-≤≤故答案为：1(22)y x =-≤≤.【点睛】本题考查动点轨迹方程的求解，注意区别椭圆的定义，考查计算能力，属于基础题. 4．4【分析】将圆心代入直线方程，计算得到答案.【详解】222440x y x y ++-+=，即()()22121x y ++-=，圆心为()1,2-， 圆心在直线2y x b =+上，故22b =-+，故4b =.故答案为：4.【点睛】本题考查了直线和圆的位置关系，属于简单题.5．24y x =【分析】设(),N x y ，()00,P x y ，得到00221x x y y =⎧⎨=+⎩，代入曲线整理得到答案. 【详解】 设(),N x y ，()00,P x y ，则00212x x y y ⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩，即00221x x y y =⎧⎨=+⎩， 代入曲线得到()221221y x +=⋅+，即24y x =.故答案为：24y x =. 【点睛】本题考查了轨迹方程，意在考查学生的计算能力和转化能力，确定,N P 坐标的关系是解题的关键.6．1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦【分析】将点代入曲线方程得到222k t t =--，根据二次函数性质得到范围.【详解】曲线220-++=x xy y k 经过点(,)P t t -，则2220t k t t ++=+， 即221122222k t t t ⎛⎫=--=-++ ⎪⎝⎭，故1,2k ⎛⎤∈-∞ ⎥⎝⎦. 故答案为：1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦. 【点睛】本题考查了点和曲线的位置关系，属于简单题.7．11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ 【分析】画出y =1y kx =+的图像，如图所示，根据图像得到答案.【详解】1=+kx ，设y =224x y +=，0y ≥，画出y =1y kx =+的图像，如图所示：直线1y kx =+过定点()0,1，当直线过点()2,0和()2,0-时，12k =-和12k =. 根据图像知：11,22k ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦.故答案为：11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.【点睛】本题考查了根据方程解的个数问题求参数，意在考查学生的计算能力和转化能力，画出图像是解题的关键.8．(,)-∞-⋃+∞【分析】根据题意得到点在圆外，代入计算得到答案.【详解】过点(,4)M a 总有两条直线与圆2260x y y +-=相切，故点在圆外，故216240a +->，解得a >a <-.故答案为：(,)-∞-⋃+∞.【点睛】本题考查了点和圆的位置关系，意在考查学生计算能力和转化能力.9．21y x =-【分析】设(),B a b ，(),P x y ，根据向量运算得到22a x b y =-⎧⎨=-⎩，代入直线方程化简得到答案. 【详解】设(),B a b ，(),P x y ，=+MP MA MB ，则()()()1,22,21,2x y a b ++=+++，故22a xb y =-⎧⎨=-⎩，点B 在直线210x y -+=，故()()22210x y ---+=， 整理得到21y x =-.故答案为：21y x =-.【点睛】本题考查了轨迹方程，意在学生的计算能力和转化能力.10．±1【分析】根据两个圆内切时，圆心距和两个圆的半径之间的关系求解.【详解】圆224x y +=，圆心为（0,0），半径为2；圆222210x y ax a +-+-=，转化为标准形式：()221x a y -+= ，即圆心为（a ，0），半径为1；211=-= ，解得1a =± 故填：±1【点睛】本题考查了两个圆的位置关系，当两个圆内切时，圆心距等于两个圆的半径之差的绝对值. 11．2310x y【分析】先确定A B 、在以OP 为直径的圆上，再根据两圆公共弦方程求法得结果.【详解】因为A B 、在以OP 为直径的圆上，即A B 、在圆(2)(3)0x x y y -+-=上，又A B 、在圆221x y +=上，所以弦AB 所在的直线方程为：22(2)(3)1x y x x y y +---=-，即2310x y故答案为：2310x y【点睛】本题考查切线长方程，考查基本分析求解能力，属中档题.12．32【分析】本题首先通过题意可知四边形ABCD 的面积2n AC BD S ⨯=，然后n →∞，可得()1,2M ，此时AC 、BD 都是直径，最后通过计算即可得出结果.【详解】因为圆22:(1)(2)16-+-=O x y ，所以()1,2O ，4r =， 因为AC 、BD 为圆22:(1)(2)16-+-=O x y 的两条相互垂直的弦，所以四边形ABCD 的面积2n AC BD S ⨯=， 因为垂足为121,2M n n ⎛⎫+- ⎪⎝⎭，当n →∞时，()1,2M ， 所以此时AC 、BD 都是直径，883222n BD S AC ⨯⨯===， 故答案为32.【点睛】 本题考查四边形面积的计算，考查四边形与圆相切的相关问题，考查推理能力，是中档题. 13．A【分析】直线2ax by +=与圆221x y +=1<，即为2<由此可得点与圆的位置关系．【详解】解：因为直线2ax by +=与圆221x y +=有两个公共点，1<，即2<，因为点(,)b a 与224x y +=，圆224x y +=的半径为2，所以点P 在圆外. 故选:A ． 【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系、点与圆的位置关系，属于中档题.直线与圆的位置关系的判断方法有：1.圆心到直线的距离与半径做比较；2.联立直线与圆的方程，根据方程组根的个数进行判断． 14．B 【解析】 【分析】根据圆的一般方程的形式，求得方程表示圆的条件，再根据充分条件、必要条件的判定方法，即可求解． 【详解】由方程220Ax Bxy Cy Dx Ey F +++++=表示圆时，满足0,0A C B =≠=且2240D E AF +->，所以“0A C =≠且0B =”是“220Ax Bxy Cy Dx Ey F +++++=表示圆的方程”的必要不充分条件． 故选B ． 【点睛】本题主要考查了充分条件、必要条件的判定，以及圆的一般方程的综合应用，属于基础题． 15．C 【分析】根据题意，由余弦定理求出cos AOB ∠的值，进而求出OA OB ⋅的值即可. 【详解】解：根据题意得，圆22:1O x y +=的圆心()0,0O ，半径1r OA OB ===，又由AB =，则2221131cos 222OA OB ABAOB OA OB+-+-∠===-⋅. ∴1cos 2OA OB OA OB AOB ⋅=⋅∠=-.故选：C. 【点睛】本题考查向量数量积的计算，涉及余弦定理的应用，属于基础题. 16．A 【解析】试题分析：圆心为()3,2，半径为2，圆心到直线的距离为d =2242MN ⎛⎫∴+= ⎪⎝⎭1MN ≥≤，解不等式得k 的取值范围3,04⎡⎤-⎢⎥⎣⎦考点：直线与圆相交的弦长问题 17．以3,02⎛⎫⎪⎝⎭为圆心，1为半径的圆周 【分析】设轨迹上动点M 的坐标为(,)x y ，P 的坐标为00(,)x y ，根据M 为PQ 的中点，得到00322x x y y +⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，进而求得 00232x x y y =-⎧⎨=⎩，然后由动点P 在圆224x y +=上求解. 【详解】设轨迹上动点M 的坐标为(,)x y ，P 的坐标为00(,)x y ， 因为M 为PQ 的中点，所以00322x x y y +⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得 00232x x y y =-⎧⎨=⎩ 又因为动点P 在圆224x y +=上，所以22(23)(2)4-+=x y ， 所以22412450-++=x x y ，即22312x y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭． 所求轨迹是以3,02⎛⎫⎪⎝⎭为圆心，1为半径的圆周.【点睛】本题主要考查轨迹的求法，还考查了运算求解的能力，属于基础题. 18．22(4)(2)1x y -++= 【分析】计算圆心关于直线的对称点，得到圆心和半径，得到圆方程. 【详解】圆C 的方程可转化为22(2)(6)1x y ++-=，其圆心为()2,6-，半径1r =．设所求圆的圆心为(,)C a b '，则线段CC '的中点26,22a b -+⎛⎫ ⎪⎝⎭应在直线l 上， 则26345022a b -+⎛⎫⎛⎫-+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即34200a b --=． 又两圆心的连线垂直于直线l ，即CC l '⊥，所以3(6)4(2)0b a -++=， 即43100a b +-=．由34200,43100.a b a b --=⎧⎨+-=⎩解方程组，得4,2.a b =⎧⎨=-⎩，即所求圆的方程为22(4)(2)1x y -++=. 【点睛】本题考查了圆关于直线对称问题，意在考查学生的计算能力和转化能力，将题目转化为点关于直线对称是解题的关键. 19．2(2)8x y -+= 【分析】根据圆M 与直线L 相切，求出P 的坐标，然后根据两点间距离公式求出圆的半径，进而求得圆的方程. 【详解】解：依题意，点P 的坐标为（0，m ），因为，所以，解得m=2，即点P 的坐标为（0，2） 从而圆的半径故所求圆的方程为.【点睛】本题主要考查圆与圆的方程，由圆M 与直线L 相切，求出P 的坐标是解题的关键，注意运算准确. 20．5 【分析】设圆心O 到,AC BD 的距离分别为12,d d ，则222123d d OM ，由AC =BD =1||||2S AC BD =⋅的表达式，结合基本不等式可整理出5S ，从而可求出面积的最大值. 【详解】解：设圆心O 到,AC BD 的距离分别为12,d d ，则222123d d OM ．则AC =BD =，所以四边形ABCD 的面积)()22121||||852S AC BD d d =⋅=-+=，当且仅当()()221244d d -=-，即12dd = 所以四边形ABCD 的面积最大为5.【点睛】本题考查了圆中弦长以及利用基本不等式求最值，考查基本分析求解能力，属中档题. 21．（1）3,04⎛⎫- ⎪⎝⎭；（2）不存在. 【解析】试题分析：（1）圆的方程可得圆心为(60)Q ，，半径为2，圆的面积为4π,设直线l 的方程为y ＝kx ＋2．直线l 与圆22(6)4x y －＋＝交于两个不同的点A ，B＜2，解不等式即可求出结果．（2）设1122()()A x y B x y ，，，，则OA ＋1212()OB x x y y ＝＋，＋，由()222{64y kx x y =+-+=得22(1)4(3)360k x k x ＋＋－＋＝，根据韦达定理和共线定理，即可解得34k =-．由（2）知3,04k ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，故可判断k 的情况．试题解析：（1）圆的方程可化为22(6)4x y －＋＝，可得圆心为(60)Q ，，半径为2，故圆的面积为4π．设直线l 的方程为y ＝kx ＋2．直线l 与圆22(6)4x y －＋＝交于两个不同的点A ，B等价于＜2，化简得2(86)0k k -->，解得304k -<<，即k 的取值范围为3,04⎛⎫- ⎪⎝⎭． （2）设1122()()A x y B x y ，，，，则OA ＋OB ＝（x 1＋x 2，y 1＋y 2），由()222{64y kx x y =+-+=得22(1)4(3)360k x k x ＋＋－＋＝， 解此方程得x 1,221k +．则12x x +=－24(3)1k k -+，①又1212()4y y k x x ＋＝＋＋．②而()()0,26,0P Q ，，PQ ＝（6，－2）．所以OA ＋OB 与PQ 共线等价于12122()6()x x y y ＋＝＋-，将①②代入上式，解得34k =-．由（2）知3,04k ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，故没有符合题意的常数k ．考点：1．直线与圆的位置关系；2．平面向量共线定理．22．（1）()3,0；（2）223953243x y x ⎛⎫⎛⎫-+=<≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（3）存在，k ≤≤或34k =±． 【分析】（1）通过将圆1C 的一般式方程化为标准方程即得结论；（2）设当直线l 的方程为y=kx ，通过联立直线l 与圆1C 的方程，利用根的判别式大于0、韦达定理、中点坐标公式及参数方程与普通方程的相互转化，计算即得结论；（3）通过联立直线l 与圆1C 的方程，利用根的判别式△=0及轨迹C 的端点与点（4，0）决定的直线斜率，即得结论 【详解】（1）由22650x y x +-+=得()2234x y -+=，∴ 圆1C 的圆心坐标为()3,0； （2）设(),M x y ，则∵ 点M 为弦AB 中点即1C M AB ⊥，∴11⋅=-C M AB k k 即13y yx x⋅=--， ∴ 线段AB 的中点M 的轨迹的方程为223953243x y x ⎛⎫⎛⎫-+=<≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； （3）由（2）知点M 的轨迹是以3,02C ⎛⎫⎪⎝⎭为圆心32r =为半径的部分圆弧EF （如下图所示，不包括两端点），且5,33E ⎛ ⎝⎭，5,3F ⎛⎝⎭，又直线L ：()4y k x =-过定点()4,0D ，当直线L 与圆L32=得34k =±，又0354DE DFk k ⎛- ⎝⎭=-=-=-，结合上图可知当3325,,44k ⎡⎧⎫∈--⎨⎬⎢⎩⎭⎣⎦时，直线L ：()4y k x =-与曲线L 只有一个交点．考点：1.轨迹方程；2.直线与圆相交的位置关系；3.圆的方程。

沪教版（上海）高二第二学期新高考辅导与训练第12章圆锥曲线12.7抛物线的标准方程学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、解答题1．（1）已知抛物线的顶点在原点，对称轴为x 轴，且过点(2,3)-，求抛物线的标准方程；（2）求到定点(4,0)F 的距离，比到定直线50x +=的距离小1的点的轨迹方程． 2．过抛物线22(0)y px p =>的焦点的直线交抛物线于()()1122,,,A x y B x y 两点，且直线,OA OB 的斜率分别为12,k k ，则121212,,y y x x k k 中有几个是定值？反过来是否成立？3．设F 为抛物线24y x =的焦点，,,A B C 为该抛物线上三点，若0FA FB FC ++=，试求||||||FA FB FC ++的值．4．对于抛物线22y x =上任意一点Q ，点(,0)P a 都满足||||PQ a ，试求a 的取值范围．二、单选题5．设M （x 0，y 0）为抛物线C ：x 2=8y 上一点，F 为抛物线C 的焦点，以F 为圆心、|FM|为半径的圆和抛物线C 的准线相交，则y 0的取值范围是（ ） A ．（0，2）B ．[0，2]C ．（2，+∞）D ．[2，+∞）6．（2011•湖北）将两个顶点在抛物线y 2=2px （p ＞0）上，另一个顶点是此抛物线焦点的正三角形个数记为n ，则（ ）A ．n=0B ．n=1C ．n=2D ．n≥3 7．点P 在直线:1l y x =-上，若存在过P 的直线交抛物线2yx 于,A B 两点，且||||PA AB =，则称点P 为“A 点”，那么下列结论中正确的是（ ）．A ．直线l 上的所有点都是“A 点”B ．直线l 上仅有有限个点是“A 点”C ．直线l 上的所有点都不是“A 点”D ．直线l 上有无穷多个点（不是所有的点）是“A 点”8．设抛物线22y x = 的焦点为F ，过点0)M 的直线与抛物线相交于A ，B 两点，与抛物线的准线相交于点C ，||2BF = ，则BCF △ 与ACF 的面积之比BCF ACFS S等于（ ）A ．45B ．23C ．47D ．12三、填空题9．设抛物线的顶点在原点，准线方程为2x =-，则抛物线的标准方程是__________.10．设抛物线28y x =上一点P 到y 轴的距离是4，则点P 到该抛物线焦点的距离是____．11．已知抛物线()220y px p =>的准线与圆()22316x y -+=相切，则p 的值为__________．12．设抛物线28y x =的焦点为F ，准线为,l P 为抛物线上一点，,PA l A ⊥为垂足，如果直线AF斜率为||PF =________．参考答案1．（1）292y x =-；（2）216y x = 【分析】（1）设抛物线的方程为22(0)y px p =->，将点(2,3)M -代入，即得解；（2）等价于到(4,0)F 与到直线40x +=的距离相等．由抛物线定义得，动点的轨迹是抛物线，再求出抛物线的方程即得解. 【详解】解：（1）由题意，因为抛物线过点(2,3)-，其开口方向向左，所以可设抛物线的方程为22(0)y px p =->．将点(2,3)M -代入，得94p =．解得94p =． 因此，抛物线的方程为292y x =-． （2）动点到(4,0)F 的距离比它到50x +=的距离小1， 等价于到(4,0)F 与到直线40x +=的距离相等． 由抛物线定义得，动点的轨迹是抛物线，该点(4,0)F 就是抛物线的焦点，该直线4x =-就是抛物线的准线， 所以抛物线开口向右，且4,82pp =∴=. 所求轨迹方程为216y x =． 【点睛】本题主要考查抛物线标准方程的求法，考查动点轨迹方程的求法和抛物线的定义，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 2．3个均为定值，反过来不一定成立 【分析】根据直线AB 是否存在斜率进行分类讨论，当存在斜率时，将直线方程与抛物线方程联立，利用一元二次方程根与系数的关系进行验证即可，当不存在斜率时，直接求出,A B 坐标，再进行验证；反过来时，假设三个都是定值，直线AB 是否存在斜率进行分类讨论，当存在斜率时，将直线方程与抛物线方程联立，利用一元二次方程根与系数的关系进行判断直线AB 是否过抛物线的焦点，当不存在斜率时，直接求出,A B 坐标，再进行判断直线AB 是否过抛物线的焦点即可； 【详解】解：设直线AB 的方程为(0)2p y k x k ⎛⎫=-≠ ⎪⎝⎭，即2=+y p x k ． 代入22y px =，得2220py y p k--=，则212y y p =-． 又22222121212*********,,,42244=====⋅=-y y y y y y p x x x x k k p p p x x ． 若直线AB 与x 轴垂直，由122p x x ==，得2124px x =．可求得12,==-y p y p ，则21212,4=-=-y y p k k ．故121212,,y y x x k k 均为定值．反过来，当212y y p =-时，设直线AB 的方程为()(0)y k x a k =-≠，即=+yx a k，代入抛物线方程，得2220--=py y pa k，则 2122,2=-=-∴=p y y pa p a ． 即直线AB 过焦点,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭．若直线AB 的斜率不存在，也同样有此结论． 若2124p x x =，则,A B 可能为抛物线上x 轴上方的两点，则此直线AB 一定不过焦点．因此由2124p x x =不能得到直线AB 过焦点．若222212121212122112124,422⋅=⋅=⋅=∴=-⇔=-y y y y y p k k k k y y p y x x p y y p． 故当124k k =-时，直线AB 也过焦点，若直线AB 的斜率不存在，也同样有此结论．综上所述可知，121212,,y y x x k k 分别为定值2,,44--p p ；反过来，只有21212,4=-=-y y p k k 时，才有直线AB 过焦点． 【点睛】本题考查了利用直线与抛物线的位置关系判断代数式是否为定值问题，考查了当代数式为定值时直线是否过抛物线的焦点与抛物线相交问题，考查了分类讨论思想和数学运算能力. 3．6 【分析】设出,,A B C 三点的坐标，把||||||FA FB FC ++（三个焦半径之和）转化为三个点线距之和，用上条件即可求解. 【详解】解：设点,,A B C 的坐标分别为()()()112233,,,,,x y x y x y ． 又24,2,(1,0)p p F ==，则()()()1122331,,1,,1,FA x y FB x y FC x y =-=-=-．1231230,1110,3FA FB FC x x x x x x ++=∴-+-+-=∴++=．1233||||||3362pFA FB FC x x x ∴++=+++=+= 【点睛】考查抛物线的定义，把焦半径（点点距）转化为点到准线的距离是解答这类题的关键；基础题. 4．(,1]-∞ 【分析】当0a ≤时显然合适，当0a >时，根据两点间的距离公式代入||||PQ a ，再化简利用恒成立方法求解即可. 【详解】(1)若0a ≤，显然适合(2)若0a >，点(,0)P a 都满足||PQ a ，则 22222y a a y ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，即211,014miny a a ⎛⎫+=< ⎪⎝⎭，则a 的取值范围(,1]-∞ 【点睛】本题主要考查了根据抛物线上的点满足的条件求解参数范围的问题，需要根据题意分情况讨论，代入距离公式化简.属于中档题. 5．C 【解析】试题分析：由已知，4p =，4FM >,即024FM y =+>.所以，02y >，选C . 考点：1.抛物线的定义；2.直线与圆的位置关系. 6．C【解析】y 2=2px （P ＞0）的焦点F （，0）等边三角形的一个顶点位于抛物线y 2=2px （P ＞0）的焦点，另外两个顶点在抛物线上，则等边三角形关于x 轴轴对称两个边的斜率k=±tan30°=±，其方程为：y=±（x ﹣），每条直线与抛物线均有两个交点，焦点两侧的两交点连接，分别构成一个等边三角形． 故n=2， 故选C 7．A 【分析】设点,A P 的坐标分别为(,),(,1)m n x x -，则点B 的坐标为(2,21)m x n x --+．联立直线与抛物线方程, 消去n ,整理可得关于x 的方程，判断∆的值可得答案. 【详解】解：如图，设点,A P 的坐标分别为(,),(,1)m n x x -，则点B 的坐标为(2,21)m x n x --+．,A B 在2yx 上，22,21(2).n m n x m x ⎧=∴⎨-+=-⎩消去n ,整理，得关于x 的方程22(41)210x m x m --+-=． ①()222(41)4218850m m m m ∆=---=-+>恒成立，∴方程①恒有实数解， 故选：A. 【点睛】本题主要考查直线与抛物线的位置关系，考查学生的阅读理解能力、信息迁移能力，分析问题与解决问题的能力，属于创新题型. 8．A 【解析】如图过B 作准线12l x =-：的垂线，垂足分别为11A B ，， BCF ACFBC S SAC=，又11,B BC A AC ∽11BC BB ACAA =，，由拋物线定义112BB BF AA AFAF ==． 由12BF BB ==知32B B x y ，==02AB y x ∴-=-： 把22y x = 代入上式，求得22A A y x ==，，15 2AF AA ∴==．故24552BCF ACFBF SSAF===． 故选A ． 9．28y x = 【分析】根据抛物线准线方程可求出p ，再根据准线方程设出抛物线的标准方程，代入p 值即可. 【详解】 由题意可知：22p=，4p ∴=且抛物线的标准方程的焦点在x 轴的正半轴上 故可设抛物线的标准方程为：22y px = 将p 代入可得28y x =.故答案为：28y x =. 【点睛】本题考查了根据抛物线准线的方程求抛物线标准方程，属于基础题. 10．6 【分析】先作出图形，再结合抛物线的定义进行计算即可. 【详解】抛物线28y x =的焦点为()2,0F ,准线方程为2x =-,如图所示,4PA =,2AB =,由抛物线的定义可得：6PF PB PA AB ==+=. 故答案为:6. 【点睛】本题考查抛物线的定义，考查数形结合思想，属于常考题. 11．2 【解析】抛物线的准线为2px =-，与圆相切，则342p +=，2p =． 12．8 【分析】设准线与x 轴焦点为B ,可得B 的坐标为(2,0)-，4BF =,由直线AF 斜率为，可得60o AFB ∠=，由抛物线的几何性质有PA PF =,可得PAF ∆是等边三角形，可得答案.【详解】 解：如图由抛物线方程为28y x =，可得其焦点为(2,0)F ，准线方程为2x =-， 设准线与x 轴焦点为B ,则B 的坐标为(2,0)-，4BF =,由直线AF 斜率为60o AFB ∠=，可得8cos60oBFAF ==，因为AP x 轴，所以60o PAF AFB ∠=∠=,又由抛物线的几何性质有PA PF =, 所以PAF ∆是等边三角形，故8PA PF ==， 故答案为：8. 【点睛】本题主要考查抛物线的性质，抛物线焦半径公式的应用，考查学生对相关知识的理解与应用，属于基础题型.。

沪教版（上海）高二第二学期新高考辅导与训练第12章圆锥曲线12.1（2）曲线方程的求法学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、解答题1．如图所示，已知定点(4,0),Q P 为曲线224x y +=上一个动点，求线段PQ 中点的轨迹方程.2．已知动点P 到定点(1,0)F 和直线3x =的距离之和等于4，求点P 的轨迹方程.3．已知点(1,2)A ，(3,4)B ，坐标原点(0,0)O ，且OC OA OB αβ=+，1αβ+=，α，R β∈，求点C 的轨迹方程.4．平面内过点(3,1)P 有两条互相垂直的直线12,l l ，其中1l 交x 轴于点2,M l 交y 轴于点N ，求线段MN 中点S 的轨迹方程.5．动点P 到两定点(,0)A a -，(,0)B a （0a >）距离之比为||:||2:1=PA PB . （1）求点P 的轨迹方程；（2）点P 在什么位置时，ABP △的面积最大？二、单选题6．已知ABC 的面积为12，且两个顶点是(3,0),(0,4)A B ，则点C 的轨迹方程是（ ）.A ．43130x y +-=B ．43110x y +-=C ．430x y +=或43110x y +-=D ．43130x y +-=或43110x y +-= 7．已知两点(2,0)M -，(2,0)N ，点P 为坐标平面内的动点，满足||||0MN MP MN NP ⋅+⋅=，则动点(,)P x y 的轨迹方程为（ ）.A ．28y x =-B ．28y x =C ．28x yD ．28y x =或28y x =-三、填空题8．动点P 在曲线21y x =+上运动，(1,0)A ，则PA 中点的轨迹方程为_________. 9．若点M 到x 轴，与它到y 轴距离之比为2:3，则点M 的轨迹方程为_________. 10．若线段||2AB =，且,A B 在两坐标轴上运动，则AB 中点M 的轨迹方程为_________.参考答案1．22(2)1x y -+=【分析】设线段PQ 的中点R 的坐标为(,)x y ，点P 的坐标为()00,x y ，根据中点坐标公式和代入法求得线段PQ 中点的轨迹方程.【详解】解设线段PQ 的中点R 的坐标为(,)x y ，点P 的坐标为()00,x y ，则00004,24,22.2x x x x y y y y +⎧=⎪=-⎧⎪⇒⎨⎨=⎩⎪=⎪⎩用代入法求得所求方程为22(2)1x y -+=.【点睛】本题考查了中点坐标公式和代入法求动点的轨迹方程，属于容易题.2．212(4)(3)=--y x x 或24(3)=<y x x【分析】设点(,)P x y ，根据已知条件列式化简，化简时根据绝对值的意义，分类讨论去绝对值，求得点P 的轨迹方程.【详解】解:设(,)P x y 为所求轨迹上任意一点，由题意可知，|3|4-=x .（1）当3x 时，化简方程，得212(4)=--y x ；（2）当3x <时，化简方程，得24y x =.所以，点P 的轨迹方程为212(4)(3)=--y x x 或24(3)=<y x x .【点睛】本题考查了求平面内动点的轨迹方程，直接按照求轨迹方程的步骤求解，列式后化简是解题的关键.3．1y x -=【分析】采用消参法，设点(,)C x y ，易得(,)(1,2)(3,4)x y αβ=+，化简可得1y x αβ-=+=，即可得到答案.【详解】由条件知，(1,2)OA =，(3,4)OB =，设点(,)C x y ，则(,)OC x y =，因为OC OA OB αβ=+，所以(,)(1,2)(3,4)x y αβ=+，所以有324x y αβαβ=+⎧⎨=+⎩，可得1y x αβ-=+=， 则点C 的轨迹方程为：1y x -=.【点睛】本题考查平面向量和解析几何的综合运用，考查逻辑思维能力和运算求解能力，属于常考题. 4．350x y +-=【分析】设点S 的坐标为(,)x y ，则点,M N 的坐标分别为(2,0),(0,2)x y ，根据0PM PN ⋅=可得出答案.【详解】设点S 的坐标为(,)x y ，则点,M N 的坐标分别为(2,0),(0,2)x y ，由已知PM PN ⊥，则0PM PN ⋅=有(23)(3)(1)(21)0x y --+--=，即350x y +-=【点睛】在处理垂直和平行有关的问题时，最好选择向量，不要用斜率，以避免讨论.5．（1）222331030x y ax a +-+=；（2）P 的坐标为54,33a a ⎛⎫± ⎪⎝⎭. 【分析】（1）设点P 的坐标为(,)x y 2:1=，化简即可得解；（2）1||2PAB P P S AB y a y =⋅=△，通过研究222222P 31033PAB x ax a S a y a -+-=⋅=⋅的最大值继而得到P B S Λ的最大值，最后求出点P 的坐标即可. 【详解】（1）设点P 的坐标为(,)x y ，2:1=，化简得：222331030x y ax a +-+=，即为点P 的轨迹方程；（2）1||2PAB P P S AB y a y =⋅=△， 因为222222P 31033PAB x ax a S a y a -+-=⋅=⋅， 所以当53a x =时，2PAB S 取得最大值为4169a ， 所以P B S Λ的最大值为243a ，这时点P 的坐标为54,33a a ⎛⎫± ⎪⎝⎭. 【点睛】本题考查轨迹方程的求法，考查圆中三角形面积的最值问题，考查逻辑思维能力和运算求解能力，属于常考题.6．D【分析】由三角形面积可知，C 到直线AB 的距离为15，设点(,)C x y ，由点到直线的距离公式，即可得出答案.【详解】||5AB ==，由ABC 的面积为12，可知C 到直线AB 的距离为15直线AB 的方程为134x y +=，即43120x y +-=设点(,)C x y15= 解得43130x y +-=或43110x y +-=故选：D【点睛】本题主要考查了求动点的轨迹方程以及点到直线距离公式的应用，属于中档题.7．A【分析】先根据M 和N 的坐标求出MN 和||MN ，然后设点(,)P x y ，由||||0MN MP MN NP ⋅+⋅=列出式子化简即可得到答案．【详解】由条件得：(4,0)MN =，||4MN =，设(,)P x y ，则(2),MP x y =+，(2),NP x y =-，由||||0MN MP MN NP ⋅+⋅=，则()420x -=，化简整理得28y x =-．故选：A .【点睛】本题考查曲线轨迹方程的求法，考查逻辑思维能力和运算求解能力，属于常考题. 8．2221y x x =-+【分析】设(,)M x y 是所求轨迹上任意一点，其中11(,)P x y ，利用中点公式，求得11212x x y y=-⎧⎨=⎩， 代入曲线方程，即可求解.【详解】设(,)M x y 是所求轨迹上任意一点，其中11(,)P x y ，因为M 是PA 的中点，可得111202x x y y +⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩，所以11212x x y y =-⎧⎨=⎩， 代入曲线21y x =+，可得22(21)1y x =-+，整理得2221y x x =-+， 即PA 中点的轨迹方程为2221y x x =-+.故答案为：2221y x x =-+.【点睛】本题主要考查了轨迹方程的求解，其中解答中正确理解题意，利用中点公式，合理采用代入法求解是解答的关键，着重考查推理与运算能力.9．230x y +=或230x y -=【分析】 设(),M x y ，利用23y x =可得M 的轨迹方程. 【详解】设(),M x y ，因为点M 到x 轴，与它到y 轴距离之比为2:3， 故23y x =，化简得到230x y +=或230x y -=. 故答案为：230x y +=或230x y -=.【点睛】一般地，求动点的轨迹方程，一般有直接法和间接法，（1）直接法，就是设出动点的坐标，已知条件可用动点的坐标表示，化简后可得动点的轨迹方程，化简过程中注意变量的范围要求.（2）间接法，有如下几种方法：①几何法：看动点是否满足一些几何性质，如圆锥曲线的定义等；②动点转移：设出动点的坐标，其余的点可以前者来表示，代入后者所在的曲线方程即可得到欲求的动点轨迹方程；③参数法：动点的横纵坐标都可以用某一个参数来表示，消去该参数即可得动点的轨迹方程.10．221x y +=【分析】设(),M x y ，则()()2,0,0,2A x B y ，然后根据||2AB =求解即可.【详解】设(),M x y ，则()()2,0,0,2A x B y因为||2AB =2=，即221x y +=所以AB 中点M 的轨迹方程为221x y +=故答案为：221x y +=【点睛】本题考查的是动点轨迹方程的求法，较简单.。

沪教版（上海）高二第二学期新高考辅导与训练第12章圆锥曲线12.6（1）双曲线的几何性质学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、解答题1．如图所示，过双曲线2212y x -=的右焦点作直线l 交双曲线于,A B 两点，若||4AB =，则这样的直线共有几条？2．双曲线2221(0)y x b b -=>的左、右焦点分别为12F F 、，直线l 过2F 且与双曲线交于A B 、两点.（1）若l 的倾斜角为π2，1F AB 是等边三角形，求双曲线的渐近线方程；（2）设b =l 的斜率存在，且11()0F A F B AB +⋅=，求l 的斜率.3．求平面内与两定点12(,0),(,0)(0)->A a A a a 连线的斜率之积等于非零常数m 的点的轨迹.4．已知双曲线c:x 22−y 2=1,设过点A(−3√2,0)的直线l 的方向向量（1） 当直线l 与双曲线C 的一条渐近线m 平行时，求直线l 的方程及l 与m 的距离；（2） 证明：当k >√22时，在双曲线C 的右支上不存在点Q ，使之到直线l 的距离为√6.5．已知双曲线222x y -=的左、右焦点分别为12,F F ，过点2F 的动直线与双曲线相交于,A B 两点.在x 轴上是否存在定点C ，使CA CB ⋅为常数？若存在，求出点C 的坐标；若不存在，请说明理由．二、单选题6．P 是双曲线221916x y -=的右支上一点，M 、N 分别是圆()2254x y ++=和()2251x y -+=上的点，则PM PN -的最大值为( )A ．6B ．7C ．8D ．9 7．若点O 和点(2,0)F -分别是双曲线2221(0)x y a a-=>的中心和左焦点,点P 为双曲线右支上的任意一点,则OP FP ⋅的取值范围为（ ）A ．[3-+∞）B ．[3++∞）C ．[74-,+∞）D ．[74,+∞）三、填空题 8．已知双曲线22163x y -=的左、右焦点分别为F 1，F 2，点M 在双曲线上，且MF 1⊥x 轴，则F 1到直线F 2M 的距离为_________.9．已知双曲线2212y x -=的焦点为1F 、2F ，点M 在双曲线上且120MF MF ⋅=，则点M 到x 轴的距离等于 ．10．已知双曲线221916x y -=的左右焦点分别是12,F F ，P 点是双曲线右支上一点，且212||||PF F F = ，则三角形12PF F 的面积等于参考答案1．3条【分析】根据l x ⊥轴（弦是在同一支）和l 与x 轴不垂直（弦是跨两支）分成两种情况进行分类讨论，由此得出正确结论.【详解】设()2,0F c ，则222221c y b y a b a-=⇒=±. 对于过双曲线一个焦点的弦长，如果弦是在同一支上，那么最短的弦是垂直于x 轴的弦，长度为22b a；如果弦是跨两支，那么最短的弦为实轴2a . 过双曲线22220--=x y 的右焦点作直线l 交双曲线于,A B 两点. 若l x ⊥轴，则AB 为通径，而通径长度22b a正好是4，故直线l 交双曲线于同支上的,A B 两点且||4AB =，这样的直线只有一条.若l 经过顶点，此时||2AB =，故直线l 交双曲线于异支上的,A B 两点且||4=AB ，这样的直线有且只有两条.故满足||4AB =的直线有3条.【点睛】本小题主要考查直线和双曲线的位置关系，属于中档题.2．（1）y =；（2）. 【解析】试题分析：（1）设(),x y A A A ，根据题设条件得到()24413+=b b，从而解得2b 的值． （2）设()11,x y A ，()22,x y A ，直线:l ()2y k x =-与双曲线方程联立，得到一元二次方程，根据l 与双曲线交于两点，可得230k -≠，且()23610k ∆=+>．再设AB 的中点为(),x y M M M ，由()110F F A +B ⋅AB =即10F M⋅AB =，从而得到11F k k M ⋅=-，进而构建关于k 的方程求解即可．试题解析：（1）设(),x y A A A ．由题意，()2,0F c，c ，()22241y b c b A =-=， 因为1F AB是等边三角形，所以2c A =，即()24413+=b b ，解得22b =．故双曲线的渐近线方程为y =．（2）由已知，()12,0F -，()22,0F ．设()11,x y A ，()22,x y B ，直线:l ()2y k x =-．显然0k ≠． 由()221{32y x y k x -==-，得()222234430k x k x k --++=． 因为l 与双曲线交于两点，所以230k -≠，且()23610k∆=+>．设AB 的中点为(),x y M M M ． 由11()0F A F B AB +⋅=即10F M⋅AB =，知1F M ⊥AB ，故11F k k M ⋅=-． 而2122223x x k x k M +==-，()2623k y k x k M M =-=-，12323F k k k M =-， 所以23123k k k ⋅=--，得235k =，故l的斜率为． 【考点】双曲线的几何性质、直线与双曲线的位置关系、平面向量的数量积【名师点睛】本题对考生的计算能力要求较高，是一道难题.解答此类题目时，利用,,,a b c e 的关系，确定双曲线（圆锥曲线）方程是基础，通过联立直线方程与双曲线（圆锥曲线）方程得到方程组，应用一元二次方程根与系数的关系进行求解.本题能较好地考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题与解决问题的能力等.3．答案不唯一，具体见解析【分析】设动点M 坐标为(,)x y ，将已知条件12MA MA k k m ⋅=用坐标表示，对m 分类讨论，化简即可得出结论.【详解】设动点为M 其坐标为(,),x y x a ≠±. 由条件可得12222MA MA y y y k k m x a x a x a ⋅=⋅==-+-， 即222()mx y ma x a -=≠±.当1m <-时，曲线C 的方程为22221,()x y x a a ma+=≠±-， C 是焦点在y 轴上的椭圆（去掉12,A A 点）； 当1m =-时，曲线C 的方程为222,()x y a x a +=≠±，C 是圆心在原点的圆（去掉12,A A 点）； 当10m -<<时，曲线C 的方程为22221,()x y x a a ma +=≠±- C 是焦点在x 轴上的椭圆（去掉12,A A 点）； 当0m >时，曲线C 的方程为22221,()x y x a a ma-=≠±， C 是焦点在x 轴上的双曲线（去掉12,A A 点）.【点睛】本题考查曲线方程的求法以及曲线的轨迹，要注意曲线的限制条件，考查分类讨论思想和计算求解能力，属于中档题.4．（1）x ±√2y +3√2=0，√6（2）见解析【详解】⑴中知道双曲线的方程可以求出渐近线方程，因为直线l 和渐近线平行，所以可以确定l 的方程，直线l 与m 方程确定，可以利用两条平行线间的距离公式求出距离.⑵是一个存在性问题，可以寻找参考对象，也可用反证法.（1）双曲线C 的渐近线，即x ±√2y =0…… 2分∴直线l的方程x±√2y+3√2=0…… 6分∴直线l与m的距离d=√2√1+2=√6…… 8分（2）[证法一]设过原点且平行于l的直线b:kx−y=0,则直线l与b的距离d=√2|k|√1+k2，当k>√22时，d>√6. …… 12分又双曲线C的渐近线为x±√2y=0，∴双曲线C的右支在直线b的右下方，∴双曲线C的右支上的任意点到直线l的距离大于√6.故在双曲线C的右支上不存在点Q(x0,y0)到到直线l的距离为√6…… 16分[证法二]假设双曲线C右支上存在点Q(x0,y0)到到直线l的距离为√6，则{00√2k|2=√6x02−2y02=2，（1）由（1）得y0=kx0+3√2k±√6⋅√1+k2， (11)分设t=3√2k±√6⋅√1+k2,当k>√22时，t=3√2k±√6⋅√1+k2>0：t=3√2k−√6⋅√1+k2=√622√>0…… 13分将y0=kx0+t代入（2）得(1−2k2)x02−4tkx0−2(t2+1)=0，∵k>√22，t>0∴1−2k2<0,−4kt<0,−2(t2+1)<0.故在双曲线C的右支上不存在点Q(x0,y0)到到直线l的距离为√6…… 16分5．存在，(1,0)C．【分析】假设在x轴上存在定点(,0)C m，使CA CB为常数，当AB不与x轴垂直时，设出直线AB 的方程，然后与双曲线方程联立消去y得到关于x的一元二次方程，进而可得到两根之和与两根之积，表示出向量CA CB 并将所求的两根之和与两根之积代入整理即可求出C 的坐标；当AB 与x 轴垂直时可直接得到A ，B 的坐标，再由1CA CB =-，可确定答案．【详解】解：由条件知12(2,0),(2,0)F F -，设点,A B 的坐标分别为()()1122,,,x y x y ，假设在x 轴上存在定点(,0)C m ，使CA CB ⋅为常数，当AB 不与x 轴垂直时，设直线AB 的方程是(2)(1)y k x k =-≠±，代入222x y -=，得()()222214420k x k x k -+-+=， 22121222442,11k k x x x x k k +∴+==--， ∴()()()()2121222CA CB x m x m k x x ⋅=--+--()()()22221212124k x x k m x x k m =+-++++ ()()2221421k k k ++=-()222224241k k m k m k +-++-2222(12)21m k m k -+=+- 22442(12)1m m m k -=-++-， ∵CA CB ⋅是与k 无关的常数，∴440m -=，即1m =，此时1CA CB ⋅=-；当AB 与x 轴垂直时，点,A B的坐标可分别设为，此时(1,(1,CACB ⋅=⋅(111=⨯=-；故在x 轴上存在定点(1,0)C ，使CA CB ⋅为常数．【点睛】本题主要考查直线与双曲线的位置关系的应用，考查计算能力，考查转化与化归思想，属于中档题．6．D【分析】 可得双曲线221916x y -=的焦点分别为1F (-5，0)，2F (5，0)，由已知可得当且仅当P 与M 、1F 三点共线以及P 与N 、2F 三点共线时所求的值最大，可得答案.【详解】 解：易得双曲线221916x y -=的焦点分别为1F (-5，0)，2F (5，0)，且这两点刚好为两圆的圆心，由题意可得，当且仅当P 与M 、1F 三点共线以及P 与N 、2F 三点共线时所求的值最大，此时PM PN -=21(2)(1)PF PF =6+3=9 【点睛】本题主要考查双曲线的定义及性质的应用，判断P 与M 、1F 三点共线以及P 与N 、2F 三点共线时所求的值最大是解题的关键.7．B【详解】由题意可得2,1c b ==,,故a =设(,)P m n ,则221,3m n m -=≥. 222224(,)(2,)2212133m OP FP m n m n m m n m m m m ⋅=⋅+=++=++-=+-关于 34m =-对称,故OP FP ⋅ 在)+∞上是增函数,当m 时有最小值为3+无最大值,故OP FP ⋅的取值范围为[3)++∞,故选B.8．65【分析】根据双曲线的方程可得双曲线的焦点坐标，根据MF 1⊥x 轴进而可得M 的坐标，则MF 1可得，进而根据双曲线的定义可求得MF 2．【详解】 已知双曲线22163x y -=的焦点为F 1、F 2， 不妨设点M 在双曲线的x 轴上方，又MF 1⊥x 轴，则M （-3，)2，则MF 1=2， 故MF 2== 故F 1到直线F 2M的距离为1212665F F MF MF ⋅==． 故答案为65. 【点睛】本题主要考查了双曲线的简单性质．要理解好双曲线的定义． 9． 【详解】根据题意可知12F MF ∆的面积21212tan 21222S b MF MF π==⋅==⋅⋅, 1212142MF MF F F d ⋅==， 所以有所求的距离为23d． 10．48【解析】略。

第十二章 圆锥曲线一、轨迹方程1、求轨迹方程的几个步骤：（建-设-列-化-证）a.建系（建立平面直角坐标系,多数情况此步省略）b.设点（求哪个点的轨迹，就设它（x,y ））c.列式（根据条件列等量关系）d.化简（化到可以看出轨迹的种类）e.证明（改成：修正）（特别是①三角形、②斜率、③弦的中点问题） 2、求动点轨迹方程的几种方法a.直接法：题目怎么说，列式怎么列。

b.定义法：先得到轨迹名称c.代入法（相关点法）:设所求点（x ，y ）另外点（21y x ,）找出已知点和所求点的关系c.参数法：（x,y ）中x,y 都随另一个量变化而变化—消参 二、弦长若直线b kx y +=与二次曲线的交点为A(1,1,y x )和B (2,2,y x ) 方法一：联立直线与二次曲线方程求出两交点⇒两点间距离方法二：利用弦长公式：||1||212x x k AB -+==2122124)(1x x x x k -+∙+ ||21211y y k -+==212212411y y y y k-+∙+)( 方法三：（半弦长）2=（半径）2-（圆心到直线距离）2（—只适用于圆） 三、直线与二次曲线交点方法一：利用圆的圆心与弦中点的连线与弦垂直。

（—只适用于圆）方法二：点差法—不能用于判别存在性问题。

方法三：联立方程后利用两根之和与中点的关系—求存在性问题或求范围时需考虑∆。

五、椭圆1.另椭圆还具有以下性质a.椭圆上到中心的距离最小的点是短轴的两个端点，最大的点是长轴的两个端点；b.椭圆上到焦点距离最大、最小的点是长轴的两个端点（天体运动中称“远日点”“近日点”） 最大、最小距离分别为a+c ， a-c ；c.设椭圆的两个焦点F 1、F 2当椭圆上的点P 在短轴端点时，21PF F ∠最大。

六、椭圆与双曲线对比七、双曲线2.已知渐近线02222=-b y a x ，可设双曲线方程：)(02222≠=-k k by a x ⎩⎨⎧<>轴焦点在轴焦点在y ,k x ,00k （二）等轴双曲线1、定义：若a=b 即实轴和虚轴等长，这样的双曲线叫做等轴双曲线2、方程：222a y x =-或222a x y =-.3、等轴双曲线的性质：（1）渐近线方程为：x y ±= ；渐近线互相垂直. 3）等轴双曲线方程可以设为：)0(22≠=-λλy x ,当0>λ时交点在x 轴，当0<λ时焦点在y 轴上.(三)共轭双曲线1、定义：以已知双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线叫做原双曲线的共轭双曲线.2、方程：（1）12222=-b y a x 的共轭双曲线为12222=-a x b y ；12222=-b x a y 的共轭双曲线为12222-=-bx a y ; （2）互为共轭的一对双曲线方程合起来写成为12222±=-b y a x （或12222±=-bx a y ;）3、性质：有一对共同的渐近线；有相同的焦距，四焦点共圆；4、注意：（1）共渐近线的两双曲线不一定是共轭双曲线，如121822=-y x 和1922=-y x ；（2）12222=-b y a x 与12222=-bx a y （a ≠b ）不共渐近线，有相同的焦距，四焦点共圆；八、圆1．圆的标准方程：222r b y a x =-+-)()( （圆心（a,b ）,半径r ） 2．圆的一般方程：022=++++F Ey Dx y x （0422>-+F E D ） （*）配方：44)2()2(2222FE D E y D x -+=+++（1） 当0422>-+F E D 时，方程（*）表示的轨迹为圆心)2,2(ED --，半径 2422FE D r -+=的圆；（2） 当0422=-+F E D 时，方程（*）表示一个点)2,2(E D --； （3） 当0422<-+F E D 时，方程（*）无解，无轨迹图形.3.二元二次方程022=+++++F Ey Dx Cxy By Ax 表示圆的充要条件：⎪⎩⎪⎨⎧>-+=≠=040022AF E D B B A 九、抛物线。

沪教版高二（下）高考题单元试卷：第12章圆锥曲线（02）一、选择题（共17小题）1. 若方程x2+ky2=2表示焦点在y轴上的椭圆，那么实数k的取值范围是()A.(0, +∞)B.(0, 2)C.(1, +∞)D.(0, 1)2. 已知F1(−1, 0)，F2(1, 0)是椭圆C的两个焦点，过F2且垂直于x轴的直线交椭圆于A，B两点，且|AB|=3，则C的方程为( )A.x22+y2=1 B.x23+y22=1 C.x24+y23=1 D.x25+y24=13. 设P是圆(x−3)2+(y+1)2＝4上的动点，Q是直线x＝−3上的动点，则|PQ|的最小值为（）A.6B.4C.3D.24. 已知点M(a, b)在圆O:x2+y2＝1外，则直线ax+by＝1与圆O的位置关系是（）A.相切B.相交C.相离D.不确定5. 直线x+2y−5+√5=0被圆x2+y2−2x−4y=0截得的弦长为( )A.1B.2C.4D.4√66. 已知过点P(2, 2)的直线与圆(x−1)2+y2=5相切，且与直线ax−y+1=0垂直，则a=()A.−12B.1 C.2 D.127. 直线x+y=1与圆x2+y2−2ay=0(a>0)没有公共点，则a的取值范围是()A.(0, √2−1)B.(√2−1, √2+1)C.(−√2−1, √2+1)D.(0, √2+1)8. 过点P(−√3, −1)的直线l与圆x2+y2＝1有公共点，则直线l的倾斜角的取值范围是（）A.(0, π6] B.(0, π3] C.[0, π6] D.[0, π3]9. 过点P(√2,0)引直线l与曲线y=√1−x2相交于A，B两点，O为坐标原点，当△AOB 的面积取最大值时，直线l的斜率等于()A.√33B.−√33C.±√33D.−√310. 已知圆C 1：(x −2)2+(y −3)2=1，圆C 2：(x −3)2+(y −4)2=9，M ，N 分别是圆C 1，C 2上的动点，P 为x 轴上的动点，则|PM|+|PN|的最小值为（ ） A.√17−1 B.5√2−4 C.6−2√2 D.√1711. 已知椭圆E:x 2a2+y 2b 2=1(a ，b <0)的右焦点为F(3, 0)，过点F 的直线交椭圆E 于A 、B 两点．若AB 的中点坐标为(1, −1)，则E 的方程为( ) A.x 245+y 236=1 B.x 236+y 227=1 C.x 227+y 218=1 D.x 218+y 29=112. 已知圆C ：(x −3)2+(y −4)2=1和两点A(−m, 0)，B(m, 0)(m >0)，若圆C 上存在点P ，使得∠APB =90∘，则m 的最大值为( ) A.7 B.6 C.5 D.413. 在平面直角坐标系中，A ，B 分别是x 轴和y 轴上的动点，若以AB 为直径的圆C 与直线2x +y −4=＝0相切，则圆C 面积的最小值为（ ） A.45π B.34πC.(6−2√5)πD.54π14. 设点M(x 0, 1)，若在圆O:x 2+y 2=1上存在点N ，使得∠OMN =45∘，则x 0的取值范围是（ ） A.[−1, 1] B.[−12, 12]C.[−√2, √2]D.[−√22, √22]15. 已知中心在原点的椭圆C 的右焦点为F(1, 0)，离心率等于12，则C 的方程是( ) A.x 23+y 24=1B.x 24+2√3=1 C.x 24+y 22=1D.x 24+y 23=116. 圆x 2+2x +y 2+4y −3=0上到直线x +y +1=0的距离为√2的点共有（ ） A.1个 B.2个 C.3个 D.4个17. 已知圆O 的半径为1，PA ，PB 为该圆的两条切线，A ，B 为两切点，那么PA →⋅PB →的最小值为( )A.−4+√2B.−3+√2C.−4+2√2D.−3+2√2二、填空题（共10小题）一个圆经过椭圆x 216+y 24=1的三个顶点，且圆心在x 轴的正半轴上，则该圆的标准方程为________．直线y =2x +3被圆x 2+y 2−6x −8y =0所截得的弦长等于________．已知圆O:x 2+y 2＝5，直线l:x cos θ+y sin θ＝1(0<θ<π2)．设圆O 上到直线l 的距离等于1的点的个数为k ，则 k ＝________．过点(3, 1)作圆(x −2)2+(y −2)2=4的弦，其中最短的弦长为________．已知直线x −y +a =0与圆心为C 的圆x 2+y 2+2x −4y −4=0相交于A 、B 两点，且AC ⊥BC ，则实数a 的值为________．设F 1，F 2分别是椭圆E:x 2+y 2b 2=1(0<b <1)的左、右焦点，过点F 1的直线交椭圆E于A 、B 两点，若|AF 1|=3|F 1B|，AF 2⊥x 轴，则椭圆E 的方程为________．设点M(x 0, 1)，若在圆O:x 2+y 2＝1上存在点N ，使得∠OMN ＝45∘，则x 0的取值范围是________．已知直线ax +y −2=0与圆心为C 的圆(x −1)2+(y −a)2=4相交于A ，B 两点，且△ABC 为等边三角形，则实数a =________．设AB 是椭圆Γ的长轴，点C 在Γ上，且∠CBA =π4，若AB ＝4，BC =√2，则Γ的两个焦点之间的距离为________.已知曲线C:x =−√4−y 2，直线l:x =6，若对于点A(m, 0)，存在C 上的点P 和l 上的Q 使得AP →+AQ →=0→，则m 的取值范围为________． 三、解答题（共3小题）设椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的左焦点为F ，离心率为√33，过点F 且与x 轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为4√33． (Ⅰ)求椭圆的方程；(Ⅱ)设A ，B 分别为椭圆的左，右顶点，过点F 且斜率为k 的直线与椭圆交于C ，D 两点．若AC →⋅DB →+AD →⋅CB →=8，求k 的值．已知圆满足：①截y 轴所得弦长为2；②被x 轴分成两段圆弧，其弧长的比为3:1；③圆心到直线l:x −2y ＝0的距离为√55．求该圆的方程．已知圆C 的方程为x 2+(y −4)2=4，点O 是坐标原点．直线l:y =kx 与圆C 交于M ，N 两点．(1)求k 的取值范围；(2)设Q(m, n)是线段MN 上的点，且2|OQ|2=1|OM|2+1|ON|2．请将n 表示为m 的函数．参考答案与试题解析沪教版高二（下）高考题单元试卷：第12章 圆锥曲线（02）一、选择题（共17小题） 1.【答案】 D【考点】 椭圆的定义 【解析】先把椭圆方程整理成标准方程，进而根据椭圆的定义可建立关于k 的不等式，求得k 的范围． 【解答】解：∵ 方程x 2+ky 2=2， 即x 22+y 22k=1表示焦点在y 轴上的椭圆,∴ 2k >2. 故0<k <1. 故选D ． 2.【答案】 C【考点】椭圆的标准方程 【解析】设椭圆的方程为x 2a 2+y 2b 2=1，根据题意可得√a 2−b 2=1．再由AB 经过右焦点F 2且垂直于x 轴且|AB|＝3算出A 、B 的坐标，代入椭圆方程得12a 2+(32)2b 2=1，两式联解即可算出a 2＝4，b 2＝3，从而得到椭圆C 的方程． 【解答】解：设椭圆的方程为x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)， 可得c =√a 2−b 2=1， 所以a 2−b 2=1，①∵ AB 经过右焦点F 2且垂直于x 轴，且|AB|=3， ∴ 可得A(1, 32)，B(1, −32)，代入椭圆方程得12a 2+(32)2b 2=1，②联立①②，可得a 2=4，b 2=3， ∴ 椭圆C 的方程为 x 24+y 23=1.故选C . 3.【考点】直线与圆的位置关系【解析】过圆心A作AQ⊥直线x＝−3，与圆交于点P，此时|PQ|最小，由此能求出|PQ|的最小值．【解答】过圆心A作AQ⊥直线x＝−3，与圆交于点P，此时|PQ|最小，由圆的方程得到A(3, −1)，半径r＝2，则|PQ|＝|AQ|−r＝6−2＝（4）4.【答案】B【考点】直线与圆的位置关系【解析】由M在圆外，得到|OM|大于半径，列出不等式，再利用点到直线的距离公式表示出圆心O到直线ax+by＝1的距离d，根据列出的不等式判断d与r的大小即可确定出直线与圆的位置关系．【解答】∵M(a, b)在圆x2+y2＝1外，∴a2+b2>1，∴圆O(0, 0)到直线ax+by＝1的距离d=√a2+b2<1＝r，则直线与圆的位置关系是相交．5.【答案】C【考点】直线与圆的位置关系【解析】化圆的方程为标准方程，求出圆的圆心坐标和半径，由点到直线距离公式求出圆心到直线的距离，利用勾股定理求出半弦长，则弦长可求．【解答】解：由x2+y2−2x−4y=0，得(x−1)2+(y−2)2=5，所以圆的圆心坐标是C(1, 2)，半径r=√5．圆心C到直线x+2y−5+√5=0的距离为d=√5|√12+22=√5√5=1．所以直线直线x+2y−5+√5=0被圆x2+y2−2x−4y=0截得的弦长为2√(√5)2−12=4．故选C.6.【考点】两条直线平行与倾斜角、斜率的关系斜率的计算公式【解析】由题意判断点在圆上，求出P与圆心连线的斜率就是直线ax−y+1=0的斜率，然后求出a的值即可．【解答】解：因为点P(2, 2)满足圆(x−1)2+y2=5的方程，所以P在圆上，又过点P(2, 2)的直线与圆(x−1)2+y2=5相切，且与直线ax−y+1=0垂直，所以切点与圆心连线与直线ax−y+1=0平行，=2．所以直线ax−y+1=0的斜率为：a=2−02−1故选C．7.【答案】A【考点】直线与圆的位置关系【解析】根据直线与圆没有公共点得到直线与圆的位置关系是相离，则根据圆心到直线的距离大于半径列出关于a的不等式，讨论a与1的大小分别求出不等式的解集即可得到a的范围．【解答】解：把圆x2+y2−2ay=0(a>0)化为标准方程为x2+(y−a)2=a2，所以圆心(0, a)，半径r=a，>r=a，由直线与圆没有公共点得到：圆心(0, a)到直线x+y=1的距离d=√1+1当a−1>0，即a>1时，化简为a−1>√2a，即a(1−√2)>1，因为a>0，无解；=当a−1<0，即0<a<1时，化简为−a+1>√2a，即(√2+1)a<1，a<√2+1√2−1，所以a的范围是(0, √2−1)，故选A.8.【答案】D【考点】直线与圆的位置关系【解析】用点斜式设出直线方程，根据直线和圆有交点、圆心到直线的距离小于或等于半径可√3k−1|≤1，由此求得斜率k的范围，可得倾斜角的范围．√k2+1由题意可得点P(−√3, −1)在圆x 2+y 2＝1的外部，故要求的直线的斜率一定存在，设为k ，则直线方程为 y +1＝k(x +√3)，即 kx −y +√3k −1＝（0）√3k−1|√k 2+1≤1，即 3k 2−2√3k +1≤k 2+1，解得0≤k ≤√3，故直线l 的倾斜角的取值范围是[0, π3]， 9.【答案】 B【考点】相交弦所在直线的方程 直线与圆的位置关系 点到直线的距离公式 直线的斜率 【解析】 此题暂无解析 【解答】解：由y =√1−x 2， 得x 2+y 2=1(y ≥0)．所以曲线y =√1−x 2表示单位圆在x 轴上方的部分（含与x 轴的交点）， 设直线l 的斜率为k ，要保证直线l 与曲线有两个交点，且直线不与x 轴重合， 则−1<k <0，直线l 的方程为y −0=k(x −√2)， 即kx −y −√2k =0． 则原点O 到l 的距离d =√2k|√k 2+1，l 被半圆截得的半弦长为(−√2k √k 2+1)=√1−k 2k 2+1．则S △ABO =√2k|√k 2+1√1−k 2k 2+1=√2k 2(1−k 2)(k 2+1)2=√−2(k 2+1)2+6(k 2+1)−4(k 2+1)2=√−4(k 2+1)2+6k 2+1−2． 令1k 2+1=t ，则S △ABO =√−4t 2+6t −2，当t =34，即1k 2+1=34时，S △ABO 有最大值为12． 此时由1k 2+1=34，解得k =−√33． 故选B . 10.B【考点】圆与圆的位置关系及其判定 【解析】求出圆C 1关于x 轴的对称圆的圆心坐标A ，以及半径，然后求解圆A 与圆C 2的圆心距减去两个圆的半径和，即可求出|PM|+|PN|的最小值． 【解答】 解：如图，圆C 1关于x 轴的对称圆的圆心坐标A(2, −3)，半径为1， 圆C 2的圆心坐标(3, 4)，半径为3，由图象可知当P ，C 2，C 3，三点共线时，|PM|+|PN|取得最小值， |PM|+|PN|的最小值为圆C 3与圆C 2的圆心距减去两个圆的半径和， 即：|AC 2|−3−1=√(3−2)2+(−3−4)2−4 =√50−4=5√2−4． 故选B . 11. 【答案】 D【考点】椭圆的标准方程 【解析】设A(x 1, y 1)，B(x 2, y 2)，代入椭圆方程得{x 12a 2+y 12b 2=1x 22a 2+y 22b 2=1 ，利用“点差法”可得x 1+x 2a 2+y 1−y 2x 1−x 2⋅y 1+y 2b 2=0．利用中点坐标公式可得x 1+x 2＝2，y 1+y 2＝−2，利用斜率计算公式可得k AB =y 1−y2x 1−x 2=−1−01−3=12．于是得到2a 2+12×−2b 2=0，化为a 2＝2b 2，再利用c ＝3=√a 2−b 2，即可解得a 2，b 2．进而得到椭圆的方程．【解答】解：设A(x 1, y 1)，B(x 2, y 2)，代入椭圆方程得{x 12a 2+y 12b 2=1,x 22a 2+y 22b 2=1,相减得x 12−x 22a 2+y 12−y 22b 2=0， ∴x 1+x 2a 2+y 1−y 2x 1−x 2⋅y 1+y 2b 2=0．∵ x 1+x 2＝2，y 1+y 2＝−2，k AB =y 1−y2x 1−x 2=−1−01−3=12．∴ 2a 2+12×−2b 2=0，化为a 2＝2b 2，又c ＝3=√a 2−b 2，解得a 2＝18，b 2＝9. ∴ 椭圆E 的方程为x 218+y 29=1．故选D .12.【答案】 B【考点】直线与圆的位置关系 【解析】根据圆心C 到O(0, 0)的距离为5，可得圆C 上的点到点O 的距离的最大值为6．再由∠APB =90∘，可得PO =12AB =m ，可得m ≤6，从而得到答案． 【解答】解：圆C ：(x −3)2+(y −4)2=1的圆心C(3, 4)，半径为1， ∵ 圆心C 到O(0, 0)的距离为5，∴ 圆C 上的点到点O 的距离的最大值为6．再由∠APB =90∘可得，以AB 为直径的圆和圆C 有交点，可得PO =12AB =m ，故有m ≤6. 故选B ． 13.【答案】 A【考点】直线与圆的位置关系 【解析】 此题暂无解析【解答】∵ ∠AOB =90∘，∴ 点O 在圆C 上．设直线2x +y −4=0与圆C 相切于点D ，则点C 与点O 间的距离等于它到直线2x +y −4=0的距离，∴ 点C 在以O 为焦点，以直线2x +y −4=0为准线的抛物线上，∴ 当且仅当O ，C ，D 共线时，圆的直径最小为|OD|． 又|OD|=√5=√5∴ 圆C 的最小半径为√5，∴ 圆C 面积的最小值为π(√5)2=45π.14.【答案】 A【考点】点与圆的位置关系 【解析】根据直线和圆的位置关系，利用数形结合即可得到结论． 【解答】解：由题意画出图形如图：点M(x 0, 1)，要使圆O:x 2+y 2=1上存在点N ，使得∠OMN =45∘， 则∠OMN 的最大值大于或等于45∘时一定存在点N ，使得∠OMN =45∘，而当MN 与圆相切时∠OMN 取得最大值，M 点越靠近y 轴，与圆相切时∠OMN 就越接近直角，要使圆O:x 2+y 2=1上存在点N ，使得∠OMN =45∘，则临界点是，当MN 与圆相切时∠OMN 取得∠OMN =45∘，此时△ONM 为等腰直角三角形，此时ON =MN =1，故只有图中M′到M ″之间的区域满足题意， ∴ x 0的取值范围是[−1, 1]． 故选A ． 15.【答案】 D【考点】椭圆的标准方程 【解析】由已知可知椭圆的焦点在x 轴上，由焦点坐标得到c ，再由离心率求出a ，由b 2＝a 2−c 2求出b 2，则椭圆的方程可求． 【解答】解：由题意设椭圆的方程为x 2a 2+y 2b 2=1(a >0,b >0)．因为椭圆C 的右焦点为F(1, 0)， 所以c =1， 又离心率等于12， 即ca=12，所以a =2，则b 2=a 2−c 2=3． 所以椭圆的方程为x 24+y 23=1．故选D . 16.【答案】 C【考点】直线与圆的位置关系 直线与圆相交的性质 【解析】先求圆心和半径，再看圆心到直线的距离，和√2比较，可得结果． 【解答】解：圆x 2+2x +y 2+4y −3=0的圆心(−1, −2)，半径是 2√2， 圆心到直线x +y +1=0的距离是√2=√2，故圆上的点到直线x +y +1=0的距离为√2的共有3个． 故选C . 17.【答案】 D【考点】平面向量数量积的性质及其运算 基本不等式在最值问题中的应用 基本不等式平面向量数量积的运算 【解析】要求PA →⋅PB →的最小值，我们可以根据已知中，圆O 的半径为1，PA 、PB 为该圆的两条切线，A 、B 为两切点，结合切线长定理，设出PA ，PB 的长度和夹角，并将PA →⋅PB →表示成一个关于x 的函数，然后根据求函数最值的办法，进行解答． 【解答】解：如图所示：设OP =x(x >0)，则PA =PB =√x 2−1，∠APO =α，则∠APB =2α， sin α=1x ，PA →⋅PB →=|PA →|⋅|PB →|cos 2α=√x 2−1×√x 2−1(1−2sin 2α) =(x 2−1)(1−2x 2) =x 2+2x 2−3≥2√2−3，∴ 当且仅当x 2=√2时取“=”， 故PA →⋅PB →的最小值为2√2−3． 故选D ．二、填空题（共10小题） 【答案】(x −32)2+y 2=254【考点】 圆的标准方程 【解析】利用椭圆的方程求出顶点坐标，然后求出圆心坐标，求出半径即可得到圆的方程． 【解答】解：一个圆经过椭圆x 216+y 24=1的三个顶点，且圆心在x 轴的正半轴上．可知椭圆的右顶点坐标(4, 0)，上下顶点坐标(0, ±2)，设圆的圆心(a, 0)，则√(a −0)2+(0−2)2=4−a ，解得a =32，圆的半径为：52，所求圆的方程为：(x −32)2+y 2=254．故答案为：(x −32)2+y 2=254.【答案】4√5【考点】直线与圆的位置关系【解析】求出圆的圆心与半径，利用圆心距，半径，半弦长满足勾股定理，求解弦长即可．【解答】解：圆x2+y2−6x−8y=0的圆心坐标(3, 4)，半径为5，=√5，圆心到直线的距离为：√22+1因为圆心距，半径，半弦长满足勾股定理，所以直线y=2x+3被圆x2+y2−6x−8y=0所截得的弦长为：2×√52−(√5)2= 4√5．故答案为：4√5．【答案】4【考点】直线与圆的位置关系【解析】找出圆O的圆心坐标与半径r，利用点到直线的距离公式求出圆心O到直线l的距离d，根据d与r的大小关系及r−d的值，即可作出判断．【解答】由圆的方程得到圆心O(0, 0)，半径r=√5，∵圆心O到直线l的距离d==1<√5，且r−d=√5−1>1＝d，√cos2θ+sin2θ∴圆O上到直线l的距离等于1的点的个数为4，即k＝（4）【答案】2√2【考点】直线与圆的位置关系【解析】由圆的方程找出圆心与半径，判断得到(3, 1)在圆内，过此点最短的弦即为与过此点直径垂直的弦，利用垂径定理及勾股定理即可求出．【解答】解：根据题意得：圆心(2, 2)，半径r=2，∵√(3−2)2+(1−2)2=√2<2，∴点(3, 1)在圆内.∵圆心到此点的距离d=√2，r=2，∴最短的弦长为2√r2−d2=2√2．故答案为：2√2.【答案】0或6【考点】直线和圆的方程的应用点到直线的距离公式两条直线垂直的判定【解析】根据圆的标准方程，求出圆心和半径，根据点到直线的距离公式即可得到结论．【解答】解：圆的标准方程为(x+1)2+(y−2)2=9，圆心C(−1, 2)，半径r=3，∵ AC ⊥BC ，∴ 圆心C 到直线AB 的距离d =√22×3=3√22， 即d =√2=√2=3√22， 即|a −3|=3，解得a =0或a =6， 故答案为：0或6． 【答案】 x 2+32y 2=1【考点】椭圆的标准方程 【解析】求出B(−53c, −13b 2)，代入椭圆方程，结合1=b 2+c 2，即可求出椭圆的方程．【解答】解：不妨设点A 在第一象限，由题意，F 1(−c, 0)，F 2(c, 0)，AF 2⊥x 轴，∴ |AF 2|=b 2， ∴ A 点坐标为(c, b 2)， 设B(x, y)，则∵ |AF 1|=3|F 1B|， ∴ AF 1→=3F 1B →，∴ (−c −c, −b 2)=3(x +c, y), ∴ B(−53c, −13b 2)，代入椭圆方程可得(−53c)2+(−13b 2)2b 2=1，∵ 1=b 2+c 2， ∴ b 2=23，c 2=13，∴ x 2+32y 2=1．故答案为：x 2+32y 2=1．【答案】 [−1, 1] 【考点】直线与圆的位置关系 【解析】根据直线和圆的位置关系，画出图形，利用数形结合即可得到结论． 【解答】由题意画出图形如图：点M(x 0, 1)，要使圆O:x 2+y 2＝1上存在点N ，使得∠OMN ＝45∘，则∠OMN 的最大值大于或等于45∘时一定存在点N ，使得∠OMN ＝45∘， 而当MN 与圆相切时∠OMN 取得最大值，此时MN＝1，图中只有M′到M″之间的区域满足MN≤1，∴x0的取值范围是[−1, 1]．【答案】4±√15【考点】直线与圆的位置关系点到直线的距离公式【解析】根据圆的标准方程，求出圆心和半径，根据点到直线的距离公式即可得到结论．【解答】解：圆心C(1, a)，半径r=2，∵△ABC为等边三角形，∴圆心C到直线AB的距离d=√22−1=√3，即d=√a2+1=√a2+1=√3，平方得a2−8a+1=0，解得a=4±√15.故答案为：4±√15.【答案】4√63【考点】椭圆的标准方程椭圆的离心率【解析】本题考查椭圆的定义、解三角形，以及椭圆的简单性质的应用．【解答】解：如图，设椭圆的标准方程为x 2a2+y2b2=1，由题意知，2a ＝4，a ＝2． ∵ ∠CBA =π4，BC =√2， ∴ 点C 的坐标为C(−1, 1)， 因点C 在椭圆上， ∴(−1)24+12b 2=1，∴ b 2=43，∴ c 2＝a 2−b 2＝4−43=83，c =2√63，则Γ的两个焦点之间的距离为 4√63． 故答案为：4√63． 【答案】 [2, 3] 【考点】向量的共线定理 【解析】 此题暂无解析 【解答】解：曲线C:x =−√4−y 2，是以原点为圆心，2 为半径的半圆，并且x P ∈[−2, 0]， 对于点A(m, 0)，存在C 上的点P 和l 上的Q 使得AP →+AQ →=0→， 说明A 是PQ 的中点，Q 的横坐标x =6， ∴ m =6+x P 2∈[2, 3]．故答案为：[2,3].三、解答题（共3小题） 【答案】（1）根据椭圆方程为x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)． ∵ 过焦点且垂直于x 轴的直线被椭圆截得的线段长为4√33， ∴ 当x ＝−c 时，a 2−b 2a 2+y 2b 2=1，得y ＝±b 2a ，∴2b 2a=4√33，∵ 离心率为√33，∴ ca=√33， 解得b =√2，c ＝1，a =√3． ∴ 椭圆的方程为x 23+y 22=1；（2）直线CD:y ＝k(x +1)， 设C(x 1, y 1)，D(x 2, y 2)，由{y =k(x +1)x 23+y 22=1 消去y 得，(2+3k 2)x 2+6k 2x +3k 2−6＝0，△＝36k 4−4(2+3k 2)(3k 2−6)>0，∴ x 1+x 2=−6k 22+3k 2，x 1x 2=3k 2−62+3k 2，又A(−√3, 0)，B(√3, 0)， ∴ AC →⋅DB →+AD →⋅CB →＝(x 1+√3, y 1)⋅(√3−x 2．−y 2)+(x 2+√3, y 2)⋅(√3−x 1．−y 1)， ＝6−(2+2k 2)x 1x 2−2k 2(x 1+x 2)−2k 2， ＝6+2k 2+122+3k 2=8，解得k =±√2，满足△>0，则k ＝±√2． 【考点】 椭圆的应用直线与椭圆的位置关系 【解析】(Ⅰ)先根据椭圆方程的一般形式，令x ＝c 代入求出弦长使其等于4√33，再由离心率为√33，可求出a ，b ，c 的关系，进而得到椭圆的方程．(Ⅱ)直线CD:y ＝k(x +1)，设C(x 1, y 1)，D(x 2, y 2)，由{y =k(x +1)x 23+y 22=1 消去y 得，(2+3k 2)x 2+6k 2x +3k 2−6＝0，再由韦达定理进行求解．求得AC →⋅DB →+AD →⋅CB →，利用AC →⋅DB →+AD →⋅CB →=8，即可求得k 的值． 【解答】（1）根据椭圆方程为x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)． ∵ 过焦点且垂直于x 轴的直线被椭圆截得的线段长为4√33， ∴ 当x ＝−c 时，a 2−b 2a 2+y 2b 2=1，得y ＝±b 2a ，∴2b 2a=4√33，∵ 离心率为√33，∴ ca =√33，解得b =√2，c ＝1，a =√3． ∴ 椭圆的方程为x 23+y 22=1；（2）直线CD:y ＝k(x +1)， 设C(x 1, y 1)，D(x 2, y 2)，由{y =k(x +1)x 23+y 22=1 消去y 得，(2+3k 2)x 2+6k 2x +3k 2−6＝0，△＝36k 4−4(2+3k 2)(3k 2−6)>0，∴ x 1+x 2=−6k 22+3k 2，x 1x 2=3k 2−62+3k 2，又A(−√3, 0)，B(√3, 0)， ∴ AC →⋅DB →+AD →⋅CB →＝(x 1+√3, y 1)⋅(√3−x 2．−y 2)+(x 2+√3, y 2)⋅(√3−x 1．−y 1)， ＝6−(2+2k 2)x 1x 2−2k 2(x 1+x 2)−2k 2， ＝6+2k 2+122+3k 2=8，解得k =±√2，满足△>0，则k ＝±√2． 【答案】设圆P 的圆心为P(a, b)，半径为r ，则点P 到x 轴，y 轴的距离分别为|b|，|a|．由题设知圆P 截x 轴所得劣弧对的圆心角为90∘，知圆P 截x 轴所得的弦长为√2r ．故r 2＝2b 2又圆P 被y 轴所截得的弦长为2，所以有r 2＝a 2+(1)从而得2b 2−a 2＝1； 又因为P(a, b)到直线x −2y ＝0的距离为√55，所以d =√5=√55，即有a −2b ＝±1，由此有{2b 2−a 2=1a −2b =1 或{2b 2−a 2=1a −2b =−1解方程组得{a =−1b =−1 或{a =1b =1，于是r 2＝2b 2＝2，所求圆的方程是：(x +1)2+(y +1)2＝2，或(x −1)2+(y −1)2＝（2）【考点】直线与圆的位置关系 【解析】设出圆P 的圆心坐标，由圆被x 轴分成两段圆弧，其弧长的比为3:1，得到圆P 截x 轴所得劣弧对的圆心角为90∘，根据垂径定理得到圆截x 轴的弦长，找出r 与b 的关系式，又根据圆与y 轴的弦长为2，利用垂径定理得到r 与a 的关系式，两个关系式联立得到a 与b 的关系式；然后利用点到直线的距离公式求出P 到直线x −2y ＝0的距离，让其等于√55，得到a 与b 的关系式，将两个a 与b 的关系式联立即可求出a 与b 的值，得到圆心P 的坐标，然后利用a 与b 的值求出圆的半径r ，根据圆心和半径写出圆的方程即可． 【解答】设圆P 的圆心为P(a, b)，半径为r ，则点P 到x 轴，y 轴的距离分别为|b|，|a|．由题设知圆P 截x 轴所得劣弧对的圆心角为90∘，知圆P 截x 轴所得的弦长为√2r ．故r 2＝2b 2又圆P 被y 轴所截得的弦长为2，所以有r 2＝a 2+(1)从而得2b 2−a 2＝1；又因为P(a, b)到直线x −2y ＝0的距离为√55，所以d =√5=√55，即有a −2b ＝±1，由此有{2b 2−a 2=1a −2b =1 或{2b 2−a 2=1a −2b =−1解方程组得{a =−1b =−1 或{a =1b =1，于是r 2＝2b 2＝2，所求圆的方程是：(x +1)2+(y +1)2＝2，或(x −1)2+(y −1)2＝（2）【答案】解：(1)将y =kx 代入x 2+(y −4)2=4中， 得：(1+k 2)x 2−8kx +12=0，根据题意得：Δ=(−8k)2−4(1+k 2)×12>0， 即k 2>3，则k 的取值范围为(−∞, −√3)∪(√3, +∞)； (2)由M ，N ，Q 在直线l 上，可设M ，N 坐标分别为(x 1, kx 1)，(x 2, kx 2)，∴ |OM|2=(1+k 2)x 12，|ON|2=(1+k 2)x 22， |OQ|2=m 2+n 2=(1+k 2)m 2， 代入2|OQ|2=1|OM|2+1|ON|2得：2(1+k 2)m 2=1(1+k 2)x 12+1(1+k 2)x 22， 即2m 2=1x 12+1x 22=(x 1+x 2)2−2x 1x 2x 12x 22，由(1+k 2)x 2−8kx +12=0得到： x 1+x 2=8k 1+k 2，x 1x 2=121+k 2，代入得：2m 2=(8k 1+k 2)2−241+k 2144(1+k 2)2，即m 2=365k 2−3，∵ 点Q 在直线y =kx 上， ∴ n =km ，即k =nm ，代入m 2=365k 2−3， 化简得5n 2−3m 2=36， 由m 2=365k 2−3及k 2>3，得到0<m 2<3，即m ∈(−√3, 0)∪(0, √3)，根据题意得点Q 在圆内，即n >0， ∴ n =√3m 2+365=√15m 2+1805，则n 与m 的函数关系式为： n =√15m 2+1805（m ∈(−√3, 0)∪(0, √3)）．【考点】函数与方程的综合运用圆的综合应用直线与圆的位置关系【解析】（1）将直线l方程与圆C方程联立消去y得到关于x的一元二次方程，根据两函数图象有两个交点，得到根的判别式的值大于0，列出关于k的不等式，求出不等式的解集即可得到k的取值范围；（2）由M、N在直线l上，设点M、N坐标分别为(x1, kx1)，(x2, kx2)，利用两点间的距离公式表示出|OM|2与|ON|2，以及|OQ|2，代入已知等式中变形，再利用根与系数的关系求出x1+x2与x1x2，用k表示出m，由Q在直线y=kx上，将Q坐标代入直线y= kx中表示出k，代入得出的关系式中，用m表示出n即可得出n关于m的函数解析式，并求出m的范围即可．【解答】解：(1)将y=kx代入x2+(y−4)2=4中，得：(1+k2)x2−8kx+12=0，根据题意得：Δ=(−8k)2−4(1+k2)×12>0，即k2>3，则k的取值范围为(−∞, −√3)∪(√3, +∞)；(2)由M，N，Q在直线l上，可设M，N坐标分别为(x1, kx1)，(x2, kx2)，∴|OM|2=(1+k2)x12，|ON|2=(1+k2)x22，|OQ|2=m2+n2=(1+k2)m2，代入2|OQ|2=1|OM|2+1|ON|2得：2(1+k2)m2=1(1+k2)x12+1(1+k2)x22，即2m2=1x12+1x22=(x1+x2)2−2x1x2x12x22，由(1+k2)x2−8kx+12=0得到：x1+x2=8k1+k2，x1x2=121+k2，代入得：2m2=(8k1+k2)2−241+k2144(1+k2)2，即m2=365k2−3，∵点Q在直线y=kx上，∴n=km，即k=nm，代入m2=365k2−3，化简得5n2−3m2=36，由m2=365k2−3及k2>3，得到0<m2<3，即m∈(−√3, 0)∪(0, √3)，根据题意得点Q在圆内，即n>0，∴n=√3m2+365=√15m2+1805，则n与m的函数关系式为：n=√15m2+1805（m∈(−√3, 0)∪(0, √3)）．。

12.1.1 曲线和方程【知识再现】1.一般地，如果曲线C 与方程(,)0F x y =之间有以下两个关系：(书P31)① ； ② .就把方程(),0F x y =叫做曲线C 的方程，曲线C 叫做方程(),0F x y =的曲线.2.借助于 方法研究平面上图形性质的学科称为平面解析几何.3.求曲线的方程，一般的五个步骤为：建系、设点、列式、化简和证明，请根据书P34，写出列式与化简的详细内容：；.【基础训练】1.已知动点C 到点(2,0)A 的距离是它到点(8,0)B 的距离的一半，则点C 的轨迹方程是 . (所得方程要求化简，下同)2.(1)下列各组方程中表示相同曲线的是( ) A. x y =与33x y = B. 2lg x y =与x y lg 2= C. x y =与2x y =D. 022=+y x 与0=xyA.B. (3)画出下列方程的曲线的图像.① 220x y -= ② 22230x xy y +-=3.判断下列轨迹方程是否正确，如果不正确，请写出正确的轨迹方程：(1)到原点距离等于3的动点的轨迹方程是y =， .(2)已知等腰三角形底边的两个端点的坐标分别是(4,2),(2,0)B C -，则第三个顶点A 的轨迹方程是340x y +-=， .4.“曲线C 的方程不是(,)0F x y =”，那么下列正确的判断是( )A.曲线C 上所有点的坐标都不满足方程(,)0F x y =；B.曲线C 上至少有一个点的坐标不满足方程(,)0F x y =；C.方程(,)0F x y =的所有解中，至少有一个解所表示的点不在曲线C 上；D.曲线C 上点的坐标可能都满足方程(,)0F x y =. x y O x y O5.已知,A B 两点的坐标是(1,0),(1,0)-，异于,A B 两点的动点M 满足MA MB ⊥，求动点M 的轨迹方程.6.已知定点(2,4),(2,4)A B -，异于,A B 两点的动点P 与,A B 两点连线,PA PB 的斜率分别为12,k k ，且124k k =+，求点P 的轨迹方程.7.(1)定长为4的线段AB 两端分别在两条互相垂直的直线上滑动，求AB 的中点M 的轨迹方程.(2)已知两个定点,A B 的距离为6，动点M 满足条件21MA MB ⋅=-u u u r u u u r ，求点M 的轨迹方程.【巩固提高】8.若点P 到点(4,0)F 的距离比它到直线50x +=的距离小1，求点P 的轨迹方程.【知识再现答案】1.曲线C 上点的坐标都是方程(,)0F x y =的解；以方程(,)0F x y =解为坐标的点都在曲线C 上.2.平面坐标系用代数3.写出曲线上的点满足的等式；用坐标,x y 表示这个等式(方程)，列出方程并化简.【习题答案】1.2216x y +=2.(1)C;(2)C;(3)如右图3.(1)错，229x y +=；(2)错，340(1)x y x +-=≠4.D5.221(1)x y x +=≠±6.20,(2)x y x -=≠±7.(1)以这两条直线为坐标轴建立坐标系，224x y +=(2)以AB 所在直线为x 轴，AB 的中垂线为y 轴建立直角坐标系，2222170x y +-= 8.216y x =1|(5)||5|1x x =--=+-当4x ≥-22224(4)(4)16x x y x y x =+⇔-+=+⇔=；当6x ≤-22226(4)(6)2020x x y x y x =--⇔-+=--⇔=+. 显然方程22020,6y x x =+≤-的解集是空集，因此轨迹方程为216y x =(注：4x ≥-写了没用，可以略去) x y O。

沪教版（上海）高二第二学期新高考辅导与训练第12章圆锥曲线12.2（3）圆的方程的应用学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、解答题1．如图,为保护河上古桥OA,规划建一座新桥BC,同时设立一个圆形保护区.规划要求:新桥BC 与河岸AB 垂直;保护区的边界为圆心M 在线段OA 上并与BC 相切的圆,且古桥两端O 和A 到该圆上任意一点的距离均不少于80 m.经测量，点A 位于点O 正北方向60 m 处,点C 位于点O 正东方向170 m 处(OC 为河岸),tan ∠BCO=43.（1）求新桥BC 的长;（2）当OM 多长时,圆形保护区的面积最大?2．已知与曲线22:2210C x y x y +--+=相切的直线I ，与x 轴，y 轴交于,A B 两点，O 为原点， OA a =，OB b =，（ 2,2a b >>）.（1）求证:I 与C 相切的条件是：()()222a b --=.（2）求线段AB 中点的轨迹方程；（3）求三角形AOB 面积的最小值.3．在平面直角坐标系中，曲线261y x x =-+与坐标轴的交点都在圆C 上.（1）求圆C 的方程；（2）若圆C 与直线0x y a -+=交于A ，B 两点，且OA OB ⊥，求a 的值. 4．如图，在平面直角坐标系xoy 中，点(0,3)A ，直线:24=-l y x ，设圆C 的半径为1， 圆心在l 上.（1）若圆心C 也在直线1y x =-上，过点A 作圆C 的切线，求切线方程；（2）若圆C 上存在点M ，使2MA MO =，求圆心C 的横坐标a 的取值范围.5．如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知圆221:(3)(1)4C x y ++-=和圆222:(4)(5)4C x y -+-=．设P 为平面上的点，满足：存在过点P 的无穷多对互相垂直的直线1l 和2l ，它们分别与圆1C 和圆2C 相交，且直线1l 被圆1C 截得的弦长与直线2l 被圆2C 截得的弦长相等，试求所有满足条件的点P 的坐标．二、单选题6．由直线1y x =+上的点向圆()2231x y -+=作切线，则切线长的最小值为（ ）A ．1BC ．D ．3 7．若圆2244100x y x y +---=上至少有三个不同的点到直线:0l ax by +=的距离为l 的倾斜角的取值范围是（ ）A ．,124ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．5,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ C ．,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D ．0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦三、填空题8．若过点(4,0)A 的直线l 与曲线22(2)1x y -+=有公共点，则直线l 的斜率的取值范围为___________9．若⊙221:5O x y +=与⊙222:()20()O x m y m R -+=∈相交于A 、B 两点，且两圆在点A 处的切线互相垂直，则线段AB 的长度是 ．10．已知圆22:5O x y +=和点(1,2)A ，则过点A 且与圆O 相切的直线与两坐标轴围成的三角形的面积等于________________．参考答案1．(1) 150 m (2) |OM |=10 m【分析】试题分析：本题是应用题，我们可用解析法来解决，为此以O 为原点，以向东，向北为坐标轴建立直角坐标系.（1） C 点坐标为(170,0)， (0,60)A ，因此要求BC 的长，就要求得 B 点坐标，已知4tan 3∠=BCO 说明直线BC 斜率为 43-，这样直线BC 方程可立即写出，又 AB BC ⊥，故AB 斜率也能得出，这样 AB 方程已知，两条直线的交点B 的坐标随之而得；（2）实质就是圆半径最大，即线段OA 上哪个点到直线BC 的距离最大，为此设OM t =，由(0,)M t ，圆半径r 是圆心 M 到直线BC 的距离，而求它的最大值，要考虑条件古桥两端 O 和A 到该圆上任一点的距离均不少于80 m ，列出不等式组，可求得t 的范围，进而求得最大值．当然本题如果用解三角形的知识也可以解决．试题解析：（1）如图，以,OC OA 为,x y 轴建立直角坐标系，则(170,0)C ，(0,60)A ，由题意 43BC k =-，直线BC 方程为4(170)3=--y x ．又 134AB BC k k =-=，故直线AB 方程为3604y x =+，由4(170)3{3604y x y x =--=+，解得 80{120x y ==，即(80,120)B，所以150BC ==()m ；（2）设OM t =，即(0,)M t (060)t ≤≤，由（1）直线 BC 的一般方程为436800+-=x y ，圆M 的半径为 36805t r -=，由题意要求80,{(60)80,r t r t -≥--≥，由于 060t ≤≤，因此36805t r -=6803313655t t -==-，∴313680,5{3136(60)80,5t t t t --≥---≥∴ 1035t ≤≤，所以当10t =时，r 取得最大值130m ，此时圆面积最大．【考点】解析几何的应用，直线方程，直线交点坐标，两点间的距离，点到直线的距离，直线与圆的位置关系.2．（1）见解析；（2）()()111(1,1)2x y x y --=>>；（3）3+ 【解析】试题分析：（1）写出直线的截距式方程，化为一般式，化圆的一般式方程为标准式，求出圆心坐标和半径，由圆心到直线的距离等于半径得到曲线C 与直线l 相切的充要条件； （2）设出线段AB 的中点坐标，由中点坐标公式得到a ，b 与AB 中点坐标的关系，代入（1）中的条件得线段AB 中点的轨迹方程．（3）因为a 与b 都大于2，且三角形AOB 为直线三角形，要求面积的最小值即要求ab 的最小值，根据（1）中直线l 与圆相切的条件（a-2）（b-2）=2解出ab ，然后利用基本不等式即可求出ab 最小时当且经当a 与b 相等，求出此时的a 与b 即可求出面积的最小值．试题解析： (1)圆的圆心为()1,1，半径为1.可以看作是RT AOB ∆的内切圆． 内切圆的半径2OA OB AB +-=，即2a b +=，()2222a b a b +=+-即2220ab a b --+=， ()()222a b --=．(2)线段AB 中点(),x y 为,22a b ⎛⎫⎪⎝⎭∴()()1112x y --=（1,1x y >>）(3)2220ab a b --+=，()224ab a b +=+≥2≥+12AOB S ab ∆=，32ab ≥+AOB ∆最小面积3+点睛：本题考查了轨迹方程，考查了直线和圆位置关系的判断，点到直线的距离公式的用法，解题的关键是对等式进行灵活变换，利用基本不等式求函数的最值.3．（1）22(3)(1)9x y -+-=（2）1-【分析】（1）求出曲线261y x x =-+与坐标轴的三个交点，根据这三个交点在圆上可求出圆心坐标和半径，从而可得圆的方程；（2）设A ()11,x y ，B ()22,x y ，联立直线与圆的方程，根据根与系数的关系可得124x x a +=-，212212a a x x -+=，根据OA OB ⊥得12120x x y y +=，化为()2121120x x a x x a +++=，进而可解得1a =- .【详解】（1）曲线261y x x =-+与坐标轴的交点为(0，1)，(3±，由题意可设圆C 的圆心坐标为(3，t )，=1t =，∴圆C 3=，∴圆C 的方程为22(3)(1)9x y -+-=.（2）设点A 、B 的坐标分别为A ()11,x y ，B ()22,x y ，其坐标满足方程组220(3)(1)9x y a x y -+=⎧⎨-+-=⎩，消去y 得到方程222(28)210x a x a a +-+-+=，由已知得，判别式2561640a a ∆=-->①，由根与系数的关系得124x x a +=-，212212a a x x -+=②， 由OA OB ⊥得12120x x y y +=.又∵11y x a =+，12y x a =+，∴12120x x y y +=可化为()2121120x x a x x a +++=③，将②代入③解得1a =-，经检验，1a =-满足①，即>0∆，∴1a =-.【点睛】本题考查了由圆上三个点的坐标求圆的方程，考查了直线与圆的位置关系、根与系数的关系，考查了运算求解能力，属于中档题.4．（1）3y =或34120x y +-=；（2）12[0,]5. 【分析】（1）两直线方程联立可解得圆心坐标，又知圆C 的半径为1，可得圆的方程，根据点到直线距离公式，列方程可求得直线斜率，进而得切线方程；（2）根据圆C 的圆心在直线l ：24y x =-上可设圆C 的方程为[]22()(24)1x a y a -+--=，由2MA MO =，可得M 的轨迹方程为22(1)4x y ++=，若圆C 上存在点M ，使2MA MO =，只需两圆有公共点即可.【详解】（1）由24,{1,y x y x =-=-得圆心()3,2C ，∵圆C 的半径为1，∴圆C 的方程为：22(3)(2)1x y -+-=，显然切线的斜率一定存在，设所求圆C 的切线方程为3y kx =+，即30kx y -+=．1=，∴2(43)0k k +=，∴0k =或34k =-．∴所求圆C 的切线方程为3y =或34120x y +-=．（2）∵圆C 的圆心在直线l ：24y x =-上，所以，设圆心C 为(,24)a a -， 则圆C 的方程为[]22()(24)1x a y a -+--=．又∵2MA MO =，∴设M 为(,)x y =22(1)4x y ++=，设为圆D ． 所以点M 应该既在圆C 上又在圆D 上，即圆C 和圆D 有交点，∴2121-≤≤+， 由251280a a -+≥，得a R ∈，由25120a a -≤，得1205a ≤≤． 综上所述，a 的取值范围为120,5⎡⎤⎢⎥⎣⎦． 考点：1、圆的标准方程及切线的方程；2、圆与圆的位置关系及转化与划归思想的应用.【方法点睛】本题主要考查圆的标准方程及切线的方程、圆与圆的位置关系及转化与划归思想的应用.属于难题.转化与划归思想是解决高中数学问题的一种重要思想方法，是中学数学四种重要的数学思想之一，尤其在解决知识点较多以及知识跨度较大的问题发挥着奇特功效，大大提高了解题能力与速度.运用这种方法的关键是将题设条件研究透，这样才能快速找准突破点.以便将问题转化为我们所熟悉的知识领域，进而顺利解答，希望同学们能够熟练掌握并应用于解题当中.本题（2）巧妙地将圆C 上存在点M ，使2MA MO =问题转化为，两圆有公共点问题是解决问题的关键所在.5．点P 坐标为313,22⎛⎫- ⎪⎝⎭或51,22⎛⎫- ⎪⎝⎭【分析】设出点P 的坐标、直线12,l l 的方程，根据垂径定理，结合点到直线距离公式，得到两个等式，根据方程有无穷多个实数解，得到两个方程组，最后解方程即可.【详解】设点P 坐标为(,)m n ，直线12,l l 的方程分别为：1(),()y n k x m y n x m k-=--=--，即：110,0kx y n km x y n m k k-+-=--++=．因为直线1l 被圆1C 截得的弦长与直线2l 被圆2C 截得的弦长相等，两圆半径相等．由垂径定理，得圆心1C 到直线1l 与圆心2C 到直线2l 的距离相等．=化简，得(2)3m n k m n --=--，或(8)5m n k m n -+=+-．关于k 的方程有无穷多解，有20,30m n m n --=⎧⎨--=⎩或80,50.m n m n -+=⎧⎨+-=⎩ 解方程组，得点P 坐标为313,22⎛⎫- ⎪⎝⎭或51,22⎛⎫- ⎪⎝⎭. 【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系的应用，考查了圆的弦长的求法，考查了方程解的问题，考查了数学运算能力.6．B【分析】先求圆心到直线的距离，此时切线长最小，由勾股定理不难求解切线长的最小值．【详解】切线长的最小值是当直线1y x =+上的点与圆心距离最小时取得，圆心(3,0)到直线的距离为d = 圆的半径为1，=故选：B ．【点睛】本题考查圆的切线方程，点到直线的距离，是基础题．7．B【分析】先求出圆心和半径，比较半径和l ：ax +by=0的距离为果．【详解】圆x 2+y 2﹣4x ﹣4y ﹣10=0整理为222(2)(2)x y -+-=，∴圆心坐标为（2，2），半径为，要求圆上至少有三个不同的点到直线l ：ax +by=0的距离为，≤ ∴2()410aa b b ⎛⎫++≤ ⎪⎝⎭，∴22a b -≤≤-，a k b=-，∴22k ≤≤，直线l 的倾斜角的取值范围是51212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，， 故选B ．【点睛】 本题考查直线和圆的位置关系，圆心到直线的距离等知识，是中档题．8．【分析】设出直线方程，用圆心到直线的距离小于等于半径，即可求解【详解】当直线的斜率不存在时，此时直线方程为4x =，显然不满足题意，当直线的斜率存在时，设直线方程为()4y k x =-，即40kx y k --=直线l 与曲线()2221x y -+=有公共点，则圆心到直线的距离小于等于半径，即1d =≤化简可得2241k k ≤+，213k ≤解得k ≤≤故直线l的斜率的取值范围为33⎡-⎢⎣⎦， 【点睛】这是一道考查直线与圆的位置关系的题目，解题的关键是求出圆心到直线的距离小于等于半径，属于基础题9．4【解析】依题意得OO 1＝5，且△OO 1A 是直角三角形，S △OO 1A ＝12·2AB ·OO 1＝12·OA·AO 1，因此AB＝112OA AO OO ⋅⋅＝4.10．254【分析】易知点()1,2A 在圆225x y +=上，圆心()0,0O 与()1,2A 的连线的斜率的负倒数为所求直线的斜率，写出直线方程，求截距后计算三角形面积.【详解】易知点()1,2A 在圆225x y +=上，圆心()0,0O 与()1,2A 的连线的斜率为20210OA k -==-．设切线斜率为k ，则112OA k k =-=-． 所以过点A 且与圆O 相切的切线方程为()1212y x -=--，即25x y +=．易知切线25x y +=在两坐标轴上的截距分别为5，52，所以切线与两坐标轴围成的三角形的面积为15255224S =⨯⨯=． 【点睛】本题主要考查了直线和圆相切的位置关系，直线方程的求法，属于中档题.。