勾股定理的逆定理及其证明

勾股定理的公式，勾股定理的公式是什么怎么计算勾股定理的公式，勾股定理的公式是什么怎么计算?-华宇考试网在平面上的一个直角三角形中，两个直角边边长的平方加起来等于斜边长的平方。

假设设直角三角形的两条直角边长度分别是和，斜边长度是，既然如此那，可以用数学语言表达：勾股定理是余弦定理中的一个特例。

勾股定理的证明请看下方具体内容答：勾股定理公式：a的平方＋b的平方＝c的平方。

勾股定理：在任何一个平面直角三角形中的两直角边的平方之和一定等于斜边的平方。

在△abc中，∠c=90°，则a²+b²=c²。

勾股定理是几何学中一颗光彩夺目标明珠，被称为“几何学的基石”，而且，在高等数学和其他学科中也有着非常广泛的应用。

1发展历程中国是发现和研究勾股定理古老的国家之一。

中国古代数学家称直角三角形为勾股形，较短的直角边称为勾，另一直角边称为股，斜边称为弦，故此，勾股定理也称为勾股弦定理。

在公元前1000多年，据记载，商高（约公元前1120年）答周公曰“故折矩，以为勾广三，股修四，径隅五。

既方之，外半其一矩，环而共盘，得成三四五。

两矩共长二十有五是谓积矩。

”因为这个原因，勾股定理在中国又称“商高定理”。

在公元前7至6世纪一中国学者陈子，曾经给出过任意直角三角形的三边关系：以日下为勾，日高为股，勾、股各乘并开方除之得斜至日。

2主要意义1、勾股定理是联系数学中基本也是原始的两个对象-数与形的第一定理。

2、勾股定理致使不可通约量的发现，以此深入透彻揭示了数与量的区别，即这里说的“无理数与有理数的差别，那就是这里说的首次数学危机。

3、勾股定理启动把数学由计算与测量的技术转变为证明与推理的科学。

4、勾股定理中的公式是第一个不定方程，也是早得出完整解答的不定方程，它一个方面引导到各式各样的不定方程，另外一个方面也为不定方程的解题程序培养了一个范式。

两条直角边的平方和等于斜边的平方勾股定理计算：直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方。

第1讲勾股定理第一部分知识梳理1．勾股定理：直角三角形的两直角边的平方和等于斜边的平方。

若直角三角形的两条直角边为a、b，斜边为c，则a²+b²=c²。

2．勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c有下面关系：a²+b²=c²，那么这个三角形是直角三角形。

3．满足a²+b²=c²的三个正整数，称为勾股数。

若a，b，c是一组勾股数，则ak，bk，ck（k为正整数）也必然是一组勾股数。

常用的几组勾股数有3,4,5；5,12,13；6,8,10；7,24,25；8,15,17；9,40,41等。

4．勾股定理的应用:①圆柱形物体表面上的两点间的最短距离；②长方体或正方体表面上两点间的最短距离问题。

5．直角三角形的判别：①定义，判断一个三角形中有一个角是直角；②根据勾股定理的逆定理，三角形一边的平方等于另外两边的平方和，则该三角形是直角三角形。

6．勾股定理中的方程思想：勾股定理三角形有一个直角的“形”的特征，转化为三边“数”的关系，因此它是数形结合的一个典范．对于一些几何问题，往往借助于勾股定理，利用代数方法来解决．把一条边的长设为未知数，根据勾股定理列出方程，解方程求出未知数的值，即使有时出现了二次方程，大多可通过抵消而去掉二次项。

7．勾股定理中的转化思想：在利用勾股定理计算时，常先利用转化的数学思想构造出直角三角形，比如立体图形上两点之间的最短距离的求解，解答时先把立体图形转化为平面图形，在平面图形中构造直角三角形求解。

8．拓展：特殊角的直角三角形相关性质定理。

第二部分精讲点拨考点1. 勾股定理【例1】在Rt△ABC中，已知两边长为3、4，则第三边的长为变式1 等腰三角形的两边长为10和12，则周长为______，底边上的高是________，面积是_________。

变式2 等边三角形的边长为6，则它的高是________变式3 在Rt△ABC中，∠C＝90°，a，b，c分别为∠A，∠B，∠C所对的边，（1）已知c＝4，b＝3，求a；（2）若a:b=3:4，c=10cm，求a、b。

勾股定理的逆证明过程勾股定理大家都知道，直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，那它的逆定理呢？就是如果一个三角形的三边满足两边的平方和等于第三边的平方，那这个三角形就是直角三角形。

今天咱们就来好好唠唠这个逆定理的证明过程。

咱们先从一个三角形说起，假设有个三角形，它的三条边分别是a、b、c，而且呢，满足a² + b² = c²。

那咱们怎么证明这个三角形是直角三角形呢？咱们可以用一个很巧妙的方法。

咱们先构造一个直角三角形，让这个直角三角形的两条直角边分别等于a和b。

那根据勾股定理，这个构造出来的直角三角形的斜边就应该是根号下(a² + b²)，可咱们前面已经知道a² + b² = c²了，所以这个斜边就等于c。

这时候咱们就可以把原来的那个三角形和咱们构造出来的这个直角三角形放在一起比一比。

你看啊，这两个三角形，它们有两条边是完全相等的，就是a和b。

然后斜边也相等，都是c。

那根据三角形全等的判定方法，三边对应相等的两个三角形全等。

所以呀，原来的那个三角形和咱们构造出来的这个直角三角形就是全等的。

既然是全等的，那原来的那个三角形肯定也是直角三角形啊，因为咱们构造出来的那个就是直角三角形嘛。

这就好像是两个人，穿着一模一样的衣服，长得也一模一样，那其中一个是医生，另一个肯定也是医生呀，因为他们完全一样嘛。

再从另一个角度来看。

咱们可以把这个三角形放在坐标平面上。

假设这个三角形的三个顶点分别是A、B、C，坐标咱们可以随便设。

然后根据两点间距离公式，咱们可以算出AB²、BC²和AC²。

如果正好满足AB² + BC² = AC²，那咱们就可以通过向量的方法来证明角B是直角。

咱们可以把向量AB和向量BC表示出来，然后计算它们的点积。

如果点积等于0，那就说明这两个向量是垂直的，那角B就是直角了。

勾股逆定理的证明方法勾股定理是初中数学中一个非常重要的定理，它是数学中的一个基本定理，也是解决直角三角形中各种问题的基础。

而勾股逆定理则是勾股定理的逆定理，它是指如果一个三角形的三边满足a² + b² = c²，那么这个三角形一定是直角三角形。

在这篇文档中，我们将探讨勾股逆定理的证明方法。

首先，我们来看一下勾股逆定理的表述，如果一个三角形的三边满足a² + b² = c²，那么这个三角形一定是直角三角形。

这个定理的证明方法有很多种，下面我们将介绍其中一种常见的证明方法。

我们先假设一个三角形ABC，其中∠C为直角。

根据勾股定理，我们有a² + b² = c²。

现在我们要证明a² + b² = c²的逆定理，即如果a² + b² = c²，那么∠C一定是直角。

我们可以利用反证法来证明这个命题。

假设三角形ABC中∠C不是直角，即∠C是锐角或钝角。

如果∠C是锐角，那么根据三角函数中的正弦定理和余弦定理，我们可以得出a² + b² < c²；如果∠C是钝角，那么根据三角函数中的正弦定理和余弦定理，我们可以得出a² + b² > c²。

这与已知条件a² + b² = c²矛盾，因此假设不成立，即∠C一定是直角。

通过上面的证明，我们可以得出结论，如果一个三角形的三边满足a² + b² = c ²，那么这个三角形一定是直角三角形。

这就是勾股逆定理的证明方法。

总结一下，勾股逆定理是勾股定理的逆定理，它是指如果一个三角形的三边满足a² + b² = c²，那么这个三角形一定是直角三角形。

证明这个定理的方法有很多种，我们这里介绍了一种常见的证明方法，即利用反证法。

勾股定理的逆定理的证明方法勾股定理的逆定理是指：若在一个三角形中，边长满足a^2 + b^2 = c^2，则此三角形为直角三角形，其中c为斜边，a、b为两条其他边的长度。

这个定理的证明方法主要有几种，下面将分别进行介绍。

证明方法一：利用相似三角形的性质假设一个三角形ABC，其中∠C为直角，边长满足a^2 + b^2 = c^2。

我们需要证明∠A和∠B都为直角。

我们通过观察可以发现，三角形ABC和三角形ACB的三个角分别相等，即∠A = ∠ACB，∠B = ∠ABC。

由于∠C为直角，则∠A和∠B 的和必须为180°。

因此，若∠A或∠B不为直角，则另一个角必然为直角。

假设∠A不为直角，则∠B为直角。

根据正弦定理，我们可以得到以下等式：a/sinA = c/sinCb/sinB = c/sinC将等式两边进行平方，可以得到：(a/sinA)^2 = (c/sinC)^2(b/sinB)^2 = (c/sinC)^2由于a^2 + b^2 = c^2，我们可以将等式进行代入，得到：(sinB)^2 + (sinA)^2 = 1根据三角恒等式sin^2A + cos^2A = 1，我们可以得到：(sinB)^2 + (sinA)^2 = (cosA)^2 + (sinA)^2 = 1由此可见，当∠A不为直角时，∠B必然为直角。

同理，当∠B不为直角时，∠A必然为直角。

因此，根据勾股定理的逆定理，我们可以得出结论：若在一个三角形中，边长满足a^2 + b^2 = c^2，则此三角形为直角三角形。

证明方法二：利用三角函数的性质假设一个三角形ABC，其中∠C为直角，边长满足a^2 + b^2 = c^2。

我们需要证明∠A和∠B都为直角。

根据正弦定理，我们可以得到以下等式：a/sinA = c/sinCb/sinB = c/sinC将等式两边进行平方，可以得到：(a/sinA)^2 = (c/sinC)^2(b/sinB)^2 = (c/sinC)^2由于a^2 + b^2 = c^2，我们可以将等式进行代入，得到：(sinB)^2 + (sinA)^2 = 1根据三角恒等式sin^2A + cos^2A = 1，我们可以得到：(sinB)^2 + (sinA)^2 = (cosA)^2 + (sinA)^2 = 1由此可见，当∠A不为直角时，∠B必然为直角。

反勾股定理的证明反勾股定理是初中数学中一个重要的定理，它是勾股定理的逆定理。

勾股定理告诉我们，当直角三角形中一直角边为a，另一直角边为b，斜边为c时，有a²+b²=c²。

而反勾股定理则告诉我们，当三角形中三边构成的长度关系满足a²+b²=c²时，这个三角形一定是直角三角形。

反勾股定理的证明可以采用数学归纳法、初中数学知识等多种方法，这里我们采用了初中数学知识方便理解。

首先，我们需要明确一个概念——海伦公式。

也就是说，如果一个三角形的三条边分别为a、b、c，它的半周长(p)为(a+b+c)/2，那么这个三角形的面积S就可以用海伦公式表示为：S=√(p×(p-a)×(p-b)×(p-c))接下来进入证明主题，我们假设某一三角形ABC的三边分别为a、b、c，其中a²+b²=c²成立。

我们需要证明它是一个直角三角形。

首先，我们把海伦公式代入S的计算式中：S=√(p×(p-a)×(p-b)×(p-c))=[(a+b+c)/2×(a+b+c)/2-a×b/4-c×(a+b+c)/4+b×(a+b+c)/4]½=[a×(a+b+c)×c×(a+b+c)]½/4=[(a²+c²+2ac)(c²+b²+2cb)]½/4=(a²c²+2a²cb+b²c²+2abc²)½/4然后，我们再观察一下勾股定理——a²+b²=c²。

我们可以把它改写成a²=c²-b²。

把改写后的公式代入式子中，我们可以得到：S=(a²c²+2a²cb+b²c²+2abc²)½/4=[((c²-b²)c²+2(c²-b²)cb+b²c²+2acb²)]/4=(c²-b²)×c×b/2接下来我们就能得到(a×b)/2= (c²-b²)×c×b/2，即a×b=c²×b-b³。

勾股定理逆定理八种证明方法本页仅作为文档页封面，使用时可以删除This document is for reference only-rar21year.March证法1作四个全等的直角三角形，把它们拼成如图那样的一个多边形，使D、E、F在一条直线上（设它们的两条直角边长分别为a、b ，斜边长为c.）。

过点C作AC的延长线交DF于点P.∵ D、E、F在一条直线上，且RtΔGEF ≌ RtΔEBD，∴∠EGF = ∠BED，∵∠EGF + ∠GEF = 90°，∴∠BED + ∠GEF = 90°，∴∠BEG =180°―90°= 90°又∵ AB = BE = EG = GA = c，∴ ABEG是一个边长为c的正方形。

∴∠ABC + ∠CBE = 90°∵ RtΔABC ≌ RtΔEBD，∴∠ABC = ∠EBD.∴∠EBD + ∠CBE = 90°即∠CBD= 90°又∵∠BDE = 90°，∠BCP = 90°，BC = BD = a.∴ BDPC是一个边长为a的正方形。

同理，HPFG是一个边长为b的正方形. 设多边形GHCBE的面积为S，则证法2作两个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b（b>a），做一个边长为c的正方形。

斜边长为c. 再把它们拼成如图所示的多边形，使E、A、C三点在一条直线上. 过点Q作QP∥BC，交AC于点P. 过点B作BM⊥PQ，垂足为M；再过点F作FN⊥PQ，垂足为N.∵∠BCA = 90°，QP∥BC，∴∠MPC = 90°，∵ BM⊥PQ，∴∠BMP = 90°，∴ BCPM是一个矩形，即∠MBC = 90°。

∵∠QBM + ∠MBA = ∠QBA = 90°，∠ABC + ∠MBA = ∠MBC = 90°，∴∠，又∵∠BMP = 90°，∠BCA = 90°，BQ = BA = c，∴ RtΔBMQ ≌ RtΔBCA. 同理可证RtΔQNF ≌ RtΔAEF.即证法3作两个全等的直角三角形，同证法2，再作一个边长为c的正方形。

勾股定理是数学中一个经典且重要的定理，它被广泛应用于几何学和物理学等领域。

而勾股定理的逆定理，即勾股逆定理，同样具有重要的意义和应用。

本文将从数学推导和几何解释两个方面，探讨勾股逆定理的证明方法。

一、数学推导勾股逆定理是勾股定理的逆命题，即对于给定的三条边长a、b、c，若满足a² + b² = c²，则这三条边构成一个直角三角形。

下面将介绍两种常见的证明方法。

1.代入法通过代入法，可以证明勾股逆定理。

假设a、b、c分别是一个三角形的三条边长，若满足a² + b² = c²，则需要证明这三条边构成直角三角形。

令a、b、c满足a² + b² = c²，假设c为最长边。

若c² = a² + b²，则有c² =a² + b² ≥ 2ab（根据算术平均与几何平均不等式）。

根据三角形的性质得知，两边之和大于第三边，即a + b > c。

结合前面的不等式可得：c² ≥ 2ab > (a + b)²，展开计算可得：c² > a² + 2ab + b² = (a + b)²。

a +b > c，而c又是三角形的最长边，所以a、b、c构成一个直角三角形。

2.几何法勾股逆定理的证明还可以通过几何法来进行。

假设三边a、b、c可以构成一个直角三角形，那么需要证明它们满足a² + b² = c²。

假设a、b、c的平方分别代表了三个小正方形的面积，且这些小正方形分别位于三角形的三边上。

根据几何知识可得，通过将两个小正方形放置在直角边上，可以拼成一个较大的正方形，其面积等于斜边上的小正方形的面积。

根据上述推理，可以通过图形来证明。

假设我们有一个边长为c的正方形，将其四个顶点命名为A、B、C和D，如图所示：C ┌------┐ D| || || |A └------┘ B可以将这个正方形逆时针旋转90度，使得边AB与边AC重叠，如图所示：C ┌------┐| || |B ─-------A此时，可以发现A、B和C形成了一个直角三角形。