初中数学《和差化积----因式分解的方法》培优、拔高(奥数)专题讲义

和差化积与积化和差公式、万能公式【知识点讲解】1、积化和差公式cos α·cos β＝12[]cosα＋β＋cosα－β；sin α·sin β＝－12[]cosα＋β－cosα－β；sin α·cos β＝12[]sinα＋β＋sinα－β；cos α·sin β＝12[]sinα＋β－sinα－β．2、和差化积公式sin α＋sin β＝2sin α＋β2cosα－β2；sin α－sin β＝2cos α＋β2sinα－β2；cos α＋cos β＝2cos α＋β2cosα－β2；cos α－cos β＝－2sin α＋β2sinα－β2．3、万能公式sin α＝2tanα21＋tan2α2；cos α＝1－tan2α21＋tan2α2；tan α＝2tanα21－tan2α2．4、解题导语使用这类公式时首先要确保公式记忆正确，其实在记忆时记住关键结构再比较各种公式的不同即可有效记忆。

同时，在实际应用中要考虑两角和、两角差是否为一个特殊值再进行使用，不要盲目使用！【例题讲解】【例1】已知cos cos cos 1cos cos αβθαβ-=-.求证：222tan tan cot 222θαβ=.【分析】由21cos 1s a o t c n 2θθθ-+=，结合万能公式化简可得结果.【详解】2cos cos 11cos 1cos cos cos cos 1cos 11cos c n os ta 2αβθαβαβθβθα----+-==-+()()()()221cos 1cos tan cot 1cos 1cos 22αβαβαβ-+==+-. 【跟踪训练1】已知6tan 2αβ+=13tan tan 7αβ=，求()cos αβ-的值．【答案】23【分析】先用万能公式求出()cos αβ+的值，再根据13tan tan 7αβ=得出7sin sin 13cos cos 0αβαβ-=，最后联立可求得答案.【详解】()2222611tan12cos 561tan 12αβαβαβ+--⎝⎭+===-+++⎝⎭，则有1cos cos sin sin 5αβαβ-=-①， 又已知sin sin 13cos cos 7αβαβ⋅=，从而有7sin sin 13cos cos 0αβαβ-=②．联立①②可得cos cos 730αβ=，13sin sin 30αβ=． ∴()2cos cos cos sin sin 3αβαβαβ-=+=．【例2】计算：(1)cos 20°＋cos 60°＋cos 100°＋cos 140°； (2)sin 20°cos 70°＋sin 10°sin 50°. 【答案】(1)12 (2)14【分析】（1）利用和差化积公式计算；（2）利用积化和差公式计算. 【解析】(1)原式＝cos 20°＋12＋(cos 100°＋cos 140°) ＝cos 20°＋12＋2cos 120°cos 20°＝cos 20°＋12－cos 20°＝12. (2)sin 20°cos 70°＋sin 10°sin 50°＝12(sin 90°－sin 50°)－12(cos 60°－cos 40°)＝14－12sin 50°＋12cos 40°＝14－12sin 50°＋12sin 50°＝14.【跟踪训练2】利用和差化积公式，求下列各式的值： (1)sin15sin105︒+︒； (2)sin20sin40sin80︒+︒-︒； (3)cos40cos60cos80cos160︒+︒+︒+︒． 【答案】62(2)0； (3)12. 【分析】(1)利用和差化积公式化简，再利用特殊角的三角函数值计算得解. (2)利用和差化积公式化简，再利用特殊角的三角函数值结合诱导公式求解作答. (3)利用和差化积公式化简，再利用特殊角的三角函数值结合诱导公式求解作答. 【解析】(1)1510515105326sin15sin1052sincos 2sin 60cos(45)22222+-︒+︒==-=⨯=(2)sin20sin40sin802sin30cos10cos10cos10cos100︒+︒-︒=-=-=. (3)1cos40cos60cos80cos160(cos40cos80)cos202︒+︒+︒+︒=︒+︒+-︒1112cos60cos20cos20cos20cos20222=︒︒+-︒=︒+-︒=.【对点训练】一、单选题1．已知[0,],,44ππαπβ⎡⎤∈∈-⎢⎥⎣⎦，且33cos 0,22sin cos 02πααλβββλ⎛⎫--=---= ⎪⎝⎭，若4cos 5α=，则tan β=（ ）A ．12 B ．13C 3D ．3【答案】A【详解】[0α∈，]π，[,]44ππβ∈-，且3cos 0ααλ--=，设3()cos f x x x λ=--，则2()3sin 0f x xα'=+，故函数()f x 在[0，]π上单调递增，且α是()f x 的一个零点．3(2)2sin cos02πβββλ---=，即3(2)cos(2)022ππββλ----=．根据2[02πβ-∈，]π，故22πβ-也是()f x的一个零点，22παβ∴=-，cos cos(22παβ∴=-2222sin cos2tan4)sin2sin cos tan15βββββββ====++，1tan2β∴=，或tan2β=（舍去），2．若tan3α=，则sin2α=（）A．35B．35C．34-D．34【答案】A【详解】222222222sin cos2sin cos2tan233cossin22sin cossin cossin cos tan1315cosααααααααααααααα⨯======++++.3．已知角θ的大小如图所示，则1sin2cos2θθ+=（）A．5-B．5C．15-D．15【答案】A【详解】由图可知，tan54πθ⎛⎫+=-⎪⎝⎭，()()()22222cos sin1sin2sin cos2sin cos cos sincos2cos sin cos sin cos sin cos sinθθθθθθθθθθθθθθθθθθ+++++ ===--+-tan tan1tan4tan51tan41tan tan4πθθπθπθθ++⎛⎫===+=-⎪-⎝⎭-；4．cos15° sin 105°=（）A312B312C 3D 31 【答案】A 【详解】1113131cos15sin105sin 15105sin 15105sin120sin 90122222[()()][()]︒︒=︒+︒-︒-︒=︒--︒=⨯= 5．若1cos cos sin sin 2x y x y +=， 2sin 2sin 23x y +=，则()sin +=x y （ ） A ．23 B ．23- C ．13D ．13-【答案】A【详解】因为1cos cos sin sin 2x y x y +=， 所以()1cos 2-=x y ，因为2sin 2sin 23x y +=， 所以()()22sin cos 3+-=x y x y ，所以()122sin 23+⨯=x y ，所以()2sin 3+=x y ， 6．已知锐角,αβ满足22,tan tan 2332πααββ+==()sin βα-=（ ） A ．12 B 3C 62- D 62+【答案】C【详解】由223παβ+=得23απβ+=，所以tantan 2tan 321tan tan 2αβαβαβ+⎛⎫+== ⎪⎝⎭- 又tantan 232αβ=tantan 332αβ+=由tan tan 332tan tan 232αβαβ⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得tan 232tan 1αβ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，或tan 12tan 23αβ⎧=⎪⎨⎪=⎩α不是锐角），tan 1β=，β是锐角，4πβ⇒=，2sin cos 2ββ==222tan2(23)12sin 21(23)1tan2ααα-===+-+，则3cos α=所以232162sin()sin cos cossin 2βαβαα--=-== 7．若0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，2sin 2cos αα=，则cos2α的值为（ ）A ．35B ．12-C ．0D ．35【答案】D 【详解】因为0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，2sin 2cos αα=，所以cos 0α≠且22sin cos cos ααα=， 解得1tan 2α=，所以2222111tan 34cos 2cos sin 11tan 514ααααα--=-===++. 二、多选题8．下列关系式中，正确的是（ ）A ．sin5sin32sin4cos θθθθ+=B ．cos3cos52sin4sin θθθθ-=-C ．1sin3sin5cos4cos 2θθθθ-=- D ．()()1sin ?sin cos cos 2θαθαθα⎡⎤=--+⎣⎦【答案】AD【详解】由()sin5sin 4sin4cos cos4sin θθθθθθθ=+=+，()sin3sin 4sin4cos cos4sin θθθθθθθ=-=-， ()cos5cos 4cos4cos sin4sin θθθθθθθ=+=-， ()cos3cos 4cos4cos sin4sin θθθθθθθ=-=+，代入前三项，得sin5sin32sin4cos θθθθ+=，A 正确， B 错误，右边应是2sin4sin ;θθ C 错误，右边应是2cos4sin ;θθ-选项D ，等号右边()()1cos cos 2θαθα⎡⎤=-+--⎣⎦()()1cos cos sin sin cos cos sin sin 2θαθαθαθα⎡⎤=---+⎣⎦ ()12sin sin sin sin 2θαθα=--=，故选项D 正确， 三、填空题9．已知α为锐角且tan 23tan 4απα=-⎛⎫+ ⎪⎝⎭，则sin 22πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值是________． 【答案】35或-0.6 【详解】由()tan 1tan tan tan 2tan 1tan 13tan 1tan 4αααααπααα-===-++⎛⎫+ ⎪-⎝⎭，得23tan 5tan 20αα--=， 解得tan 2α=，或1tan 3α=-. 因为α为锐角，故tan 2α=.222222cos 2cos sin 1tan 143sin 2cos 221cos sin 1tan 145πααααααααα---⎛⎫+======- ⎪+++⎝⎭10．π3π5πcos cos cos 777++=____．【答案】12或 0.5 【详解】 原式1πππ3ππ5π(2sin cos 2sin cos 2sin cos )π7777772sin 7=++ 12π4π2π6π4π[sin(sin sin )(sin sin )]π777772sin7=+-+- 6πsin7π2sin7=ππsin(π)sin 177ππ22sin 2sin 77-===. 11．若sin 11cos 2αα=+，则sin cos αα+的值为________.【答案】75【详解】解：∴sin 1tan 1cos 22ααα==+， ∴222112tan1tan 2172224sin cos 151tan 1tan 1224αααααα-⨯+-+=+==+++. 12．已知tan 34πθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则cos2θ=______.【答案】35-. 【详解】令4παθ=-，则4πθα=+，且tan 3α=，所以()2222232sin cos 2tan 3cos 2cos 2sin 22sin cos tan 1315παααθααααα-⨯--⎛⎫=+=-====- ⎪+++⎝⎭.13．已知()tan π2θ+=，则πsin 24θ⎛⎫+= ⎪⎝⎭________．【答案】210【详解】因为()tan π2θ+=，由诱导公式得：()tan πtan 2θθ+== 所以2222sin cos 2tan 4sin 2sin cos tan 15θθθθθθθ===++．222222cos sin cos 21tan 1431tan 14os sin 5c θθθθθθθ-==-+++-==-，ππ42322sin 2sin 2cos cos 2sin 444551π220θθθ⎛⎫⎛⎫+=+=⨯+-⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．14．已知613tan()tan tan ,27αβαβ+=则cos()αβ-的值为______. 【答案】23【详解】1sin sin 132tan tan 1cos cos 7(cos()cos()]2αβαβαβαβαβ===-++， 所以10cos()cos()3αβαβ-=-+， 222261tan 1(122cos()561tan 1()2αβαβαβ+--+===-+++，所以1012cos()()353αβ-=-⨯-=． 15．利用和差化积和积化和差公式完成下面的问题：已知1210sin sin 21ωω+=，126cos cos 21ωω+=，则2121cos cos sin sin ωωωω-=-___________.【答案】53- 【详解】1212121212121210sin sin sin sin 2sincos 22222221ωωωωωωωωωωωωωω+-+-+-⎛⎫⎛⎫+=++-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，可得12125sin cos 2221ωωωω+-=；121212*********cos cos cos cos 2cos cos 22222221ωωωωωωωωωωωωωω+-+-+-⎛⎫⎛⎫+=++-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，可得12123cos cos 2221ωωωω+-=；则1212121212sin cos 522tan 23cos cos 22ωωωωωωωωωω+-+==+-；12121212211212121221cos cos cos cos 2222sin sin sin sin 2222ωωωωωωωωωωωωωωωωωωωω+-+-⎛⎫⎛⎫--+ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭=+-+--⎛⎫⎛⎫--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭12121212122sinsin522tan 232cos sin 22ωωωωωωωωωω+-+==-=-+--.16．2sin 20cos80cos40+= _____． 【答案】14或0.25 【详解】()222111sin 20cos80cos40sin 20cos120cos40sin 20cos40224+=++=+- ()2211sin 202cos 20124=+-- 11124=-- 14=．四、双空题17．已知角θ的终边在直线20x y -=上，则tan θ=___________；3cos 22πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭___________. 【答案】 12或0.545或0.8 【详解】由直线20x y -=的斜率为12，则1tan 2θ=，又232tan 4cos 2sin221tan 5πθθθθ⎛⎫+===⎪+⎝⎭. 18．已知sin α＋sin β＝12，cos α＋cos β＝13，则tan(α＋β)＝________，cos(α－β)＝________.【答案】 125-或 2.4- 5972-【详解】sin sin sin sin 2222αβαβαββααβ+-+-⎛⎫⎛⎫+=+++⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭sin cos cos sin sin coscossin22222222αβαβαβαβαββααββα+-+-+-+-=+++1sincossin cos22222αβαβαββα+-+-=+=， 即12sincos222αβαβ+-=①，cos cos cos cos 2222αβαβαββααβ+-+-⎛⎫⎛⎫+=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ cos cos sin sin cos cos sin sin22222222αβαβαβαβαββααββα+-+-+-+-=-+-1coscoscos cos22223αβαβαββα+-+-=+=， 即12coscos223αβαβ+-=②， ①②两式相除得3tan22αβ+=， 则232tan21222tan()951tan 124αβαβαβ+⨯+===-+--； ()2221sin sin sin sin 2sin sin 4αβαβαβ+=++=， ()2221cos cos cos cos 2cos cos 9αβαβαβ+=++=， 两式相加可得()1322cos 36αβ+-=， ()59cos cos cos sin sin 72αβαβαβ-=+=-. 五、解答题19．把下列各式化成积的形式：(1)sin 24sin36+︒︒；(2)()()sin 15sin 15αα︒+-︒-； (3)cos cos3x x +；(4)cos cos22αβαβ+--．【答案】(1)cos6︒62α+(3)2cos2cos x x (4)2sin sin 22αβ-【解析】(1)解：()s s 2in 24364362sinco 2sin 30cos 6cos6224sin 236︒+︒︒-︒︒︒==︒-︒=+︒ (2)解：()()()()()()15151515sin 15sin 152cossin 22αααααα︒++︒-︒+-︒-︒+-︒-=()622cos15sin 2cos 4530sin ααα+=︒=︒-︒=；(3)解：()32cos cos32cos cos 2cos 2cos 2cos 2cos 22x x x x x x x x x x +-+==-=； (4)解：2222cos cos 2sin sin 2222αβαβαβαβαβαβ+-+-+-+--=-2sin sin 22αβ=-.20．利用积化和差公式，求下列各式的值：(1)cos15cos75︒︒；(2)sin20sin40sin80︒︒︒．【答案】(1)143【解析】(1)解：由积化和差公式得：cos15cos75︒︒ ，()()1cos 1575+cos 15752=︒+︒︒-︒⎡⎤⎣⎦ 1cos90+cos602⎡⎤=⎣⎦14=； (2)由积化和差公式得：sin20sin40sin80︒︒︒，()()1cos 2040cos 2040sin802⎡⎤=-︒+--︒︒⎣⎦， 11sin80sin80cos 2042=-︒+， ()111sin80sin100sin 60422=-︒+⨯+， 113sin 80sin 8044=-︒+︒3= 21．计算:sin 20°cos 70°+sin 10°sin 50°. 【答案】14【详解】sin 20cos70sin10sin50⋅+⋅()()()()11sin 2070sin 2070cos 1050cos 105022⎡⎤⎡⎤=++-+--+⎣⎦⎣⎦ ()()11sin 90sin 50cos 40cos6022=-+- 111sin 50cos 40422=-+ 1111sin 50sin 504224=-+=．证明下列各恒等式：22．ππ2sin sin cos 244ααα⎛⎫⎛⎫+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； 23．1sin 20cos70sin10sin 504+=；24．1sin15sin 30sin 758=．【解析】(1)ππππ2sin sin 2sin sin 44244παααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-=--- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ πππ2cos sin sin 2cos 2442αααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--=-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 故ππ2sin sin cos 244ααα⎛⎫⎛⎫+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭成立. (2)sin 20cos70sin10sin50+()()()()11sin 2070sin 2070cos 1050cos 105022⎡⎤⎡⎤=++-+--+⎣⎦⎣⎦ ()()11sin 90sin 50cos 40cos6022⎡⎤⎡⎤=+-+--⎣⎦⎣⎦ ()()11sin 90sin 50cos 40cos6022=-+- 11111sin 50cos 4022222=-+-⨯ 1111sin 50sin 504224=-+=， 故1sin 20cos70sin10sin 504+=成立.(3)1sin15sin 30sin 75sin15sin 752=()11sin15sin 9015sin15cos1522=-= 111sin 30228=⨯=， 故1sin15sin 30sin 758=.25．把下列各式化为积的形式： (1)sin18cos 27+；(2)sin50cos50-；(3)ππcos cos 33αα⎛⎫⎛⎫++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； (4)sin cos x x +．【答案】(1)2sin 40.5cos 22.5(2)2cos 45sin5(3)π2cos cos 3α (4)2sin cos()44x ππ- 【解析】 (1)18636318sin18cos 27sin18sin 632sin cos 2sin 40.5cos 22.522+-+=+== (2)500500s 442cos sin 2cos 4c 5sin in 50os50sin 50s 52in 024+-===-- (3)ππππ()πππ3333cos cos 2cos cos 2cos cos 33223ααααααα++-+--⎛⎫⎛⎫++-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(4)()()22sin cos sin sin()2sin cos 2sin cos()22244x x x x x x x x x πππππ+---+=+-==-。

2020年数学竞赛初二奥数之和差化积因式分解专题3 和差化积----因式分解的方法（1）阅读与思考提公因式、公式法、十字相乘法、分组分解法是因式分解的基本方法，通常根据多项式的项数来选择分解的方法，有公因式的先提公因式，分解必须进行到每一个因式都不能再分解为止． 一些复杂的因式分解问题经常用到以下重要方法： 1．换元法：对一些数、式结构比较复杂的多项式，可把多项式中的某些部分看成一个整体，用一个新字母代替，从而可达到化繁为简的目的．从换元的形式看，换元时有常值代换、式的代换；从引元的个数看，换元时有一元代换、二元代换等． 2．拆、添项法：拆项即把代数式中的某项拆成两项的和或差，添项即把代数式添上两个符号相反的项，因式分解中进行拆项与添项的目的是相同的，即经过拆项或添项后，多项式能恰当分组，从而可以运用分组分解法分解．例题与求解【例l 】分解因式()()=-++++122122x x x x ___________．（浙江省中考题）解题思路：把()x x +2看成一个整体，用一个新字母代换，从而简化式子的结构．【例2】观察下列因式分解的过程： （1）y x xy x 442-+-；原式＝()()()()()()44442+-=-+-=-+-x y x y x y x x y x xy x ；（2）bc c b a 2222+--．原式＝()()()()c b a c b a c b a bc c b a +--+=--=-+-222222．第（1）题分组后能直接提公因式，第（2）题分组后能直接运用公式． 仿照上述分解因式的方法，把下列各式分解因式： （1）bc ac ab a -+-2；（西宁市中考试题）（2）yz z y x 44222+--．（临沂市中考试题）解题思路：通过分组，使每一组分组因式后，整体能再分解，恰当分组是关键，经历“实验－－失败－－再试验－－再失败－－直至成功”的过程．【例3】分解因式（1）1999)11999(199922---x x ；（重庆市竞赛题）（2）()()()()112-+++++xy xy xy y x y x ；（“缙云杯”邀请赛试题）（3）()()()33322y x y x -----．（“五羊杯”竞赛试题）解题思路：（1）式中系数较大，直接分解有困难，不妨把数字用字母来表示；（2）式中y x +、xy 反复出现，可用两个新字母代替，突出式子的特点；（3）式中前两项与后一项有密切联系．【例4】把多项式34222----y x y x 因式分解后，正确的结果是（ ）．A ．()()13--++y x y xB ．()()31+--+y x y xC ．()()13+--+y x y xD ．()()31--++y x y x（“希望杯”邀请赛试题）解题思路：直接分组分解困难，可考虑先将常数项拆成几个数的代数和，比如－3＝－4＋1．【例5】分解因式： （1）15++x x ；（扬州市竞赛题）（2）893+-x x ；（请给出多种解法）（“祖冲之杯”邀请赛试题）（3）1232234++++a a a a ．解题思路：按次数添上相应的项或按系数拆项法分解因式的基本策略．【例6】分解因式：611623+++x x x ．（河南省竞赛试题）解题思路：拆哪一项？怎样拆？可有不同的解法．能力训练A 级1．分解因式： （1）2341x x x -+＝___________________________． （泰安市中考试题）（2）33164mn n m -＝__________________________．（威海市中考试题）2．分解因式：（1）xy y y x x 2)1()1(-++-＝_________________________； （2）8)3(2)3(222-+-+x x x x ＝_____________________________． 3．分解因式：32422+++-b a b a ＝____________________________． 4．多项式a ax 83-与多项式442+-x x 的公因式是____________________．5．在1~100之间若存在整数n ，使n x x -+2能分解为两个整系数一次式的乘积，这样的n 有_______个． 6．将多项式yz z y x 1294222---分解因式的积，结果是（）．A ．)32)(32(z y x z y x ---+B ．)32)(32(z y x z y x +---C ．)32)(32(z y x z y x -+++D ．)32)(32(z y x z y x --++ 7．下列各式分解因式后，可表示为一次因式乘积的是（）．A ．2727923-+-x x x B ．272723-+-x x x C ．272734-+-x x x D ．279323-+-x x x（“希望杯”邀请赛试题）8．把44+a 分解因式，其中一个因式是（ ）．A ．1+aB ．22+a C ．42+a D ．222+-a a 9．多项式abc c b a 3333++-有因式（ ）．A ．b a c -+B ．c b a ++C ．ab ac bc c b a -+-++222D ．ab ac bc +-（“五羊杯”竞赛试题）10．已知二次三项式10212-+ax x 可分解成两个整系数的一次因式的积，那么（）．A ．a 一定是奇数B ．a 一定是偶数C ．a 可为奇数也可为偶数D ．a 一定是负数 11．分解因式：（1）13322)132(222-+-+-x x x x ； （2）90)384)(23(22-++++x x x x ；（3）1724+-x x ； （“祖冲之杯”邀请赛试题） （4）65223--+x x x ； （重庆市竞赛试题） （5）444)(y x y x +++；（6）2)1)(13)(12)(16(x x x x x +----．12．先化简，在求值：2)()(2b a b a a +-+，其中 2008=a ，2007=b ．B 级1．分解因式：344422-+--y y x x ＝_______________．（重庆市竞赛试题）2．分解因式：)5()4)(3)(2)(1(++++++x x x x x x ＝_____________．（“五羊杯”竞赛试题）3．分解因式：12)5)(3)(1(2+++-x x x ＝_________________________．（“希望杯”邀请赛试题）4．分解因式：15-+x x ＝______________________．（“五羊杯”竞赛试题）5．将145++x x 因式分解得（）．A ．)1)(1(32++++x x x x B ．)1)(1(32+++-x x x xC ．)1)(1(32+-+-x x x xD ．)1)(1(32+-++x x x x（陕西省竞赛试题）6．已知c b a ,,是△ABC 三边的长，且满足0)(22222=+-++c a b c b a ，则此三角形是（ ）． A ．等腰三角形 B ．等边三角形 C ．直角三角形 D ．不能确定 7．613223+-+x x x 的因式是（ ）．A ．12-xB ．2+xC ．3-xD ．12+x E. 12+x（美国犹他州竞赛试题）8．分解因式：（1）2)1()2)(2(ab b a ab b a -+-+-+； （湖北省黄冈市竞赛试题） （2）19991998199924+++x x x ； （江苏省竞赛试题） （3）22212)16)(1(a a a a a ++-++； （陕西省中考试题） （4）153143+-x x ； （“祖冲之杯”邀请赛试题） （5）333)(125)23()32(y x y x y x ---+-； （“五羊杯”竞赛试题） （6）6121444234++--x x x x ． （太原市竞赛试题）9．已知乘法公式：))((43223455b ab b a b a a b a b a +-+-+=+ ))((43223455b ab b a b a a b a b a ++++-=-利用或者不利用上述公式，分解因式：12468++++x x x x ．（“祖冲之杯”邀请赛试题）10．分解因式： （1）x x x 27623-+； （2）123--+a a a ；（3）xy y x x y x ++--)7()2(822．11．对方程20042222=++b a b a ，求出至少一组正整数解．（莫斯科市竞赛试题）12．已知在△ABC 中，),,(010616222是三角形三边的长c b a bc ab c b a =++--， 求证：b c a 2=+．（天津市竞赛试题）专题03 和差化积-------因式分解的方法(1)例1. 22(5)(2)x x x x +++-例2. (1) 原式2()()()()()()a ab ac bc a a b c a b a b a c =-+-=-+-=-+ (2) 原式22222(44)(2)(2)(2)x y yz z x y z x y z x y z =--+=--=+--+ 例3.(1) (19991)(1999)x x +- (2) (1)(1)(1)x y xy x y ++++- (3) 3(2)(2)()x y x y --- 例4. D例5.(1) 232(1)(1)x x x x ++-+ 提示: 原式522()(1)x x x x =-+++ (2) 2(1)(8)x x x -+- 提示: 原式339988x x x =--+(3) 22(1)a a ++ 提示: 原式432322()()(1)a a a a a a a a =++++++++例6. 解法1 原式3222()(55)(66)(1)5(1)6(1)x x x x x x x x x x =+++++=+++++ 2(1)(56)(1)(2)(3)x x x x x x =+++=+++解法2 原式3222(2)(48)(36)(2)4(2)3(2)x x x x x x x x x x =+++++=+++++ 2(2)(43)(1)(2)(3)x x x x x x =+++=+++A 级1. (1) 21()2x x -(2) 4(2)(2)mn m n m n +- 2. (1) ()(1)x y x y ---(2) (1)(4)(1)(2)x x x x -+++ 3. (1)(3)a b a b ++-+ 4. 2x - 5. 9 6. D 7. A 8. D 9. A 10. A11. (1)(23)(3)(23)x x x x --+ 提示: 令 223x x y -= (2)2(2512)(27)(1)x x x x +++- (3) 22(31)(31)x x x x ++-+\(4) (1)(3)(2)x x x ++- 提示: 原式322()()(66)x x x x x =+++-+ (5) 2222()x y xy ++ 提示: 原式222224()2()x y x y x y =+-++ (6) 22(661)x x -+12. 原式22()(2)a b a a b a b =+--=-当a b ==原式22200820071=-=-=B 组1. (1) (23)(23)x y x y +--+ (2) 22(53)(58)x x x x ++++ 3. 22(43)(41)x x x x +-++ 5. D 6. B7. A 提示: 原式32(216)(1322)x x x =-+-+ 8. (1) 22(1)(1)a b --(2) 22(1)(1999)x x x x ++-+ 提示: 令1999a = (3) 22(1)(31)a a a --+(4) (21)(25)(3)x x x --+ 提示: 原式343015x x x =--+ (5) 15()(23)(32)x y x y x y ---- (6) 222(3)(221)x x x ---9. 由公式有 10286421(1)(1)x x x x x x -=-++++1055864243243221111(1)(1)111x x x x x x x x x x x x x x x x x x --+∴++++===++++-+-+--+ 10. (1) (9)(3)x x x +-(2) 2(1)(1)a a +- (3) (4)(4)x y x y +-11. 22(1)(1)2005540112005a b ++==⨯=⨯ 有22151401a b ⎧+=⎨+=⎩或22140115a b ⎧+=⎨+=⎩解得 220a b =⎧⎨=⎩或202a b =⎧⎨=⎩12. 222222222--++=++--+=+--a b c ab bc a ab b b bc c a b b c6610(69)(2510)(3)(5)=++-+--=+--+[(3)(5)][(3)(5)](8)(2)a b b c a b b c a b c a b c∴+->+-=+-+>a b c a b c a b c b,,a b c是三角形三边长, 0,8()70由条件只有20+=a c ba b c-+=,故2专题04 和差化积----因式分解的方法（2）阅读与思考因式分解还经常用到以下两种方法 1．主元法所谓主元法，即在解多变元问题时，选择其中某个变元为主要元素，视其他变元为常量，将原式按降幂排列重新整理成关于这个字母的多项式，使问题获解的一种方法． 2．待定系数法即对所给的数学问题，根据已知条件和要求，先设出一个或几个待定的字母系数，把所求问题用式子表示，然后再利用已知条件，确定或消去所设系数，使问题获解的一种方法，用待定系数法解题的一般步骤是：（1）在已知问题的预定结论时，先假设一个等式，其中含有待定的系数；（2）利用恒等式对应项系数相等的性质，列出含有待定系数的方程组；（3）解方程组，求出待定系数，再代入所设问题的结构中去，得出需求问题的解．例题与求解【例l 】xyz y z x y z x x z z y y x 2222222-++-+-因式分解后的结果是（ ）．A ．()()()z x y x z y -+-B ．()()()z x y x z y +--C ．()()()z x y x z y +-+D ．()()()z x y x z y -++（上海市竞赛题）解题思路：原式是一个复杂的三元二次多项式，分解有一定困难，把原式整理成关于某个字母的多项式并按降幂排列，改变原式结构，寻找解题突破口．【例2】分解因式：（1）bc ac ab c b a 54332222+++++；（“希望杯”邀请赛试题）（2）z y xy xyz y x z x x 222232242-++--．（天津市竞赛题）解题思路：两个多项式的共同特点是：字母多、次数高，给分解带来一定的困难，不妨考虑用主元法分解．【例3】分解因式1)12()12(2223-+-++++a x a a x a x ．解题思路：因a 的最高次数低于x 的最高次数，故将原式整理成字母a 的二次三项式．【例4】k 为何值时，多项式k y x y xy x +++-+108222有一个因式是?22++y x（“五羊杯”竞赛试题）解题思路：由于原式本身含有待定系数，因此不能先分解，再求值，只能从待定系数法入手．【例5】把多项式12544234+-+-x x x x 写成一个多项式的完全平方式.（江西省景德镇市竞赛题）解题思路：原多项式的最高次项是44x ，因此二次三项式的一般形式为b ax x ++22，求出b a 、即可．【例6】如果多项式15)5(2-++-a x a x 能分解成两个一次因式)(b x +，)(c x +的乘积（c b ,为整数），则a 的值应为多少？（江苏省竞赛试题）解题思路：由待定系数法得到关于a c b ,,的方程组，通过消元、分解因式解不定方程，求出a c b ,,的值．能力训练A 级1．分解因式：222449c bc b a -+-＝___________________________．2．分解因式：22635y y x xy x ++++＝_______________________（河南省竞赛试题）3．分解因式：)(3)(322y x y y x x -+-+++＝____________________________．（重庆市竞赛试题）4．多项式78622++-+y x y x 的最小值为____________________．（江苏省竞赛试题）5．把多项式822222--++-y x y xy x 分解因式的结果是（ ）A ．)2)(4(+---y x y xB ．)8)(1(----y x y xC ． )2)(4(--+-y x y xD ．)8)(1(--+-y x y x6．已知122-+ax x 能分解成两个整系数的一次因式的乘积，则符合条件的整数a 的个数是（ ）．A ．3 个B ．4 个C ．5 个D ．6个 7．若4323+-kx x 被13-x 除后余3，则k 的值为（ ）． A ．2 B ．4 C ．9 D ．10（“CASIO 杯”选拔赛试题）8．若51-=+b a ，13=+b a ，则53912322+++b ab a 的值是（ ）． A ．92 B ．32 C ．54D ．0（大连市“育英杯”竞赛试题）9．分解因式：（1）ac bc ab b a 2222++--；（吉林省竞赛试题）（2）))((4)(2b ac b a c ----；（昆明市竞赛试题）（3）a x a x x 2)2(323-++-；（天津市竞赛试题）（4）12267222--++-y x y xy x ；（四川省联赛试题）（5）2)1()21(2)3()1(-+-++-+++y x y x xy xy xy（天津市竞赛试题）10．如果1)4)((---x a x 能够分割成两个多项式b x +和c x +的乘积（c b 、为整数），那么a 应为多少？（兰州市竞赛试题）11．已知代数式24322-+---by x y xy x 能分解为关于y x ,的一次式乘积，求b 的值．（浙江省竞赛试题）B 级1．若k x x x +-+3323有一个因式是1+x ，则k ＝_______________．（“希望杯”邀请赛试题）2．设y kx xy x x 42323---+可分解为一次与二次因式的乘积，则k ＝_____________．（“五羊杯”竞赛试题）3．已知4+-y x 是4322+++-y mx y x 的一个因式，则m ＝________________________． （“祖冲之杯”邀请赛试题） 4．多项式6522++-++y x by axy x 的一个因式是2-+y x ，则b a +的值为__________．（北京市竞赛试题）5．若823+++bx ax x 有两个因式1+x 和2+x ，则b a +＝（）．A ．8B ．7C ． 15D ．21E ．22（美国犹他州竞赛试题）6．多项式251244522+++-x y xy x 的最小值为（ ）． A ．4 B ．5 C ．16 D ．25（“五羊杯”竞赛试题）7．若136498322++-+-=y x y xy x M （y x ,为实数），则M 的值一定是（）．A ．正数B ．负数C ．零D ．整数(“CASIO 杯”全国初中数学竞赛试题） 8．设n m ,满足016102222=++++mn n m n m ，则),(n m ＝（）A ．（2，2）或（－2，－2）B ．（2，2）或（2，－2）C ．（2，－2）或（－2，2）D ．（－2，－2）或（－2，2）（“希望杯”邀请赛试题）9．k 为何值时，多项式253222+-++-y x ky xy x 能分解成两个一次因式的积？（天津市竞赛试题）10．证明恒等式：222444)(2)(b ab a b a b a ++=+++．（北京市竞赛试题）11．已知整数c b a ,,，使等式)1)(11()10())((+-=-+++x x x c b x a x 对任意的x 均成立，求c 的值．（山东省竞赛试题）12．证明：对任何整数y x ,，下列的值都不会等于33．543223451241553y xy y x y x y x x ++--+（莫斯科市奥林匹克试题）专题04 和差化积-------因式分解的方法(2)例1. A 提示: 将原式重新整理成关于x 的二次三项式例2. (1) (23)()a b c a b c ++++ 提示: 原式222(34)(352)a b c a c bc b =+++++ (2) 2()(2)x y x z -- 提示: 原式2232(2)(24)(2)x z y xz x y x x z =-+-+-例3. 原式223222(1)(22)(1)(1)(2(1)(1)(1)x a x x a x x x x a x x a x x =+++++--=+++++- 22(1)(21)(1)(1)(1)x a ax x x x a x a =+++-=++++-例4. 12k = 提示: 222(2)()x xy y x y x y +-=+- ∴可设原式(22)()x y x y n =++-+展开比较对应项系数得28,2210,2,n n k n +=⎧⎪-=⎨⎪=⎩解得k ＝12．例5 原式＝()2221x x -+．例6 设x 2－（a ＋5）x ＋5a －1＝（x ＋b ）（x ＋c ）＝x 2＋（b ＋c ）x ＋bc ． ∴()5,5 1.b c a bc a +=-+⎧⎪⎨=-⎪⎩①②①×5＋2得bc ＋5（b ＋c ）＝－26，bc ＋5（b ＋c ）＋25＝－1，（b ＋5）（c ＋5）＝－1． ∴51,51b c +=⎧⎨+=-⎩或51,5 1.b c +=-⎧⎨+=⎩∴4,6b c =-⎧⎨=-⎩或6,4.b c =-⎧⎨=-⎩故a ＝5．A 级1．（3a ＋2b －c ）（3a －2b ＋c ） 2．（x ＋3y ）（x ＋2y ＋1） 3．（x ＋y ＋1）（x －y ＋3） 4．－18 5．C 6．D 7．D 8．D9．（1）（2a ＋b ）（a －b ＋c ）； （2）（a ＋c －2b ）2； （3）（x －2）（x 2－x ＋a ）； （4）（x －2y ＋3）（2x －3y －4）； （5）（x ＋1）（y ＋1）（x －1）（y －1）．10．提示：由题意得4,4 1.b c abc a+=--⎧⎨=-⎩①②①×4＋②，得（b＋4）（c＋4）＝－1，推得3,5bc=-⎧⎨=-⎩或5,3,bc=-⎧⎨=-⎩故a＝4．11．∵x2－3xy－4y＝（x＋y）（x－4y），∴可设原式＝（x＋y＋m）（x－4y＋n），展开比较对应项系数得b＝－6或9．B级1．k＝－52．－2提示：原式＝x（x2＋3x－k）－2y（x＋2），令x＝－2．3．5提示：令原式＝（x－y＋4）·A，取一组x，y的值代入上式．4．－35．C提示：x＝－1，x＝－2是方程x3＋ax2＋bx＋8＝0的解．6．C提示：原式＝（x－2y）2＋（2x＋3）2＋167．A提示：原式＝2（x－2y）2＋（x－2）2＋（y＋3）2≥0，且这三个数不能同时为零，M＞0．8．C9．k＝－3提示：因x2＋3x＋2＝（x＋1）（x＋2），故可令原式＝（x＋my＋1）·（x十ny＋2），展开比较对应项系数求出k．10．提示：左边＝（a2＋b2）2－2a2b2＋（a2＋b2＋2ab）2＝（a2＋b2）2－2a2b2＋（a2＋b2）2＋4ab（a2＋b2）＋4a2b2＝2（a2＋b2）＋4ab（a2＋b2）＋2a2b2＝2（a2＋b2＋ab）2＝右边．11．将原等式展开x2＋（a＋b＋c）x＋ab－l0c＝x2－10x－11．∴10,1011.a b cab c++=-⎧⎨-=-⎩①②①×10＋②得ab＋10a＋10b＝－111．∴（a＋10）（b＋10）＝－11．∴101,1011.ab+=⎧⎨+=-⎩或101,1011.ab+=-⎧⎨+=-⎩或1011,10 1.ab+=⎧⎨+=-⎩或1011,10 1.ab+=-⎧⎨+=⎩∴9,21ab=-⎧⎨=-⎩或11,1ab=-⎧⎨=⎩或1,11ab=⎧⎨=-⎩或21,9.ab=-⎧⎨=-⎩代入①得c＝0或20．12．原式＝（x5＋3x4y）－（5x3y＋15x2y3）＋（4xy4＋12y5）＝x4（x＋3y）－5x2y2（x＋3y）＋4y4（x＋3y）＝（x＋3y）（x4－5x2y2＋4y2）＝（x＋3y）（x2－4y2）＝（x＋3y）（x＋y）（x－y）（x＋2y）（x－2y）．当y＝0时，原式＝x5≠33;当y≠0时，x＋3y，x－y，x－2y，x＋2y，x＋y互不相同，而33不可能分解为4个以上不同因数的积，所以，当x取任意整数，y取不为0的任意整数，原式≠33．。

初二奥数班讲义7因式分解姓名：因式分解知识点：定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫作分解因式。

基本方法⑴提公因式法口诀：找准公因式，一次要提净；全家都搬走，留1把家守；提负要变号，变形看奇偶。

例如：-am+bm+cm=-m(a-b-c)；a(x-y)+b(y-x)=a(x-y)-b(x-y)=(x-y)(a-b)。

⑵公式法如果把乘法公式反过来，就可以把某些多项式分解因式，这种方法叫公式法。

平方差公式：a2-b2=(a+b)(a-b)；完全平方公式：a2±2ab＋b2＝(a±b)2；注意：能运用完全平方公式分解因式的多项式必须是三项式，其中有两项能写成两个数(或式)的平方和的形式，另一项是这两个数(或式)的积的2倍。

立方和公式：a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)；立方差公式：a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)；完全立方公式：a3±3a2b＋3ab2±b3=(a±b)3．公式：a3+b3+c3+3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)例如：a2+4ab+4b2=(a+2b)2。

提公因式法基本步骤：（1）找出公因式；（2）提公因式并确定另一个因式：例1：把3ay－3by+3y分解因式变式：把－4a3b2+6a2b－2ab分解因式例2把－2p2（p2+q2）+6pq（p2+q2）分解因式变式：把5（x －y ）2－10（y －x ）3分解因式一、 选择题：（每题4分，共24分）1.将11n n x x +--因式分解，结果正确的是 （ ）A ．()1n x x x --B ．()11n x x --C ． ()121n x x --D ．()()111n x x x -+-2.下列各式是因式分解，并且正确的是 （ ）A ．()()22a b a b a b +-=-B ．123111a a a +=+++ C ．()()232111a a a a a --+=-+ D ．()()2222a ab b a b a b +-=-+ 3．把2221a b b -+-因式分解，正确的是 （ ）A ． ()()21a b a b b +-+-B ．()()11a b a b ++--C ． ()()11a b a b +-++D ．()()11a b a b +--+4．化简()2003200455-+所得的值为 （ ）A ．5-B ．0C ．20025D ． 200345⨯三、解答题：（每题5分，共20分）1．把下列各式因式分解：（1）am an ap -+ （2）325x x -（3）2225204x xy y ++ （4）2710y y -+2．把下列各式因式分解：（1）212315123m m m a b a b a b +++- （2）()()22a x y b y x -+-（3）32412a a a --+ （4）()()241x y x y +-+-（5） （6）3.用简便方法计算：(1)57.6×1.6+28.8×36.8－14.4×80 (2)39×37－13×344.试说明：两个连续奇数的平方差是这两个连续奇数和的2倍。

专题04和差化积----因式分解的方法因式分解的方法是将一个多项式拆解成乘积的形式，其中每个乘积项称为因式。

因式分解的目的是找出多项式的所有因式，以便更好地研究和计算多项式的性质。

差的平方公式是一种常见的因式分解方法，用于将一个二次多项式的差的平方进行因式分解。

差的平方公式可以表示为(a-b)(a+b)=(a^2-b^2)。

这个公式的特点是它可以将一个二次多项式差的平方表示为两个一次多项式的乘积。

下面将介绍差的平方公式和其他一些因式分解方法。

一、差的平方公式差的平方公式用于将一个二次多项式的差的平方进行因式分解。

其公式为(a-b)(a+b)=(a^2-b^2)。

例如，考虑多项式x^2-4，可以使用差的平方公式将其进行因式分解。

将a设置为x，b设置为2，则有：x^2-4=(x-2)(x+2)二、完全平方公式完全平方公式是一种将一个二次多项式分解为两个平方的因式分解方法。

其公式为(a-b)^2=(a^2-2ab+b^2)。

例如，考虑多项式x^2-6x+9，可以使用完全平方公式将其进行因式分解。

将a设置为x，b设置为3，则有：x^2-6x+9=(x-3)^2三、求和差化积求和差化积是一种将一个二次多项式进行因式分解的方法，它将一个二次多项式表示为两个一次多项式的乘积。

1.求和化积求和化积将一个二次多项式表示为两个一次多项式的和的乘积。

例如，考虑多项式x^2+5x+6，可以使用求和化积将其进行因式分解。

将x^2+5x+6表示为两个一次多项式(x+2)(x+3)的和。

2.差的平方化积差的平方化积将一个二次多项式表示为两个一次多项式的差的平方。

例如，考虑多项式x^2+4x+4，可以使用差的平方化积将其进行因式分解。

将x^2+4x+4表示为两个一次多项式(x+2)^2的差。

四、特殊因式分解除了以上列举的方法，还有一些特殊因式分解的方法，可以用于特定类型的多项式。

1.平方差公式平方差公式适用于以x^2为一项的多项式。

专题03和差化积----因式分解的方法因式分解是将一个多项式表达式分解成两个或多个乘积的形式。

其中，对于两个数的和或差，我们可以使用因式分解的方法将其化简为乘积的形式，这就是和差化积的方法。

和差化积的方法可以应用于各种类型的多项式，包括整数、分数或者代数式等。

下面我们来介绍一些常见的和差化积的方法。

1.平方差公式：平方差公式是和差化积的一种特殊情况，用于将两个平方差式变换为乘积的形式。

平方差公式有两个形式：(1)平方差公式一：$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$这个公式可以用于将一个平方差式分解为两个因式的乘积。

例如，将$x^2-4$分解为乘积的形式：$x^2-4=(x+2)(x-2)$通过平方差公式，我们可以将$x^2-4$分解为$(x+2)(x-2)$的形式。

(2) 平方差公式二：$a^2+2ab+b^2=(a+b)^2$这个公式用于将一个完全平方式进行求解。

例如，将$x^2+4x+4$进行求解：$x^2+4x+4=(x+2)^2$通过平方差公式，我们可以将$x^2+4x+4$进行简化为$(x+2)^2$的形式。

2.差平方公式：差平方公式是平方差公式的一种补充形式，用于将一个差的平方式变换为乘积的形式。

差平方公式有两个形式：(1)差平方公式一：$a^2-b^2=(a-b)(a+b)$这个公式与平方差公式一类似，只是因子的顺序不同。

例如，将$9-x^2$分解为乘积的形式：$9-x^2=(3+x)(3-x)$通过差平方公式一，我们可以将$9-x^2$分解为$(3+x)(3-x)$的形式。

(2) 差平方公式二：$a^2-2ab+b^2=(a-b)^2$这个公式与平方差公式二相似，用于将一个完全平方差式进行求解。

例如，将$x^2-4x+4$进行求解：$x^2-4x+4=(x-2)^2$通过差平方公式二，我们可以将$x^2-4x+4$进行简化为$(x-2)^2$的形式。

3.和差化积公式：除了上述的平方差公式和差平方公式，我们还可以将两个数的和或差进行乘法运算变换为另外一种形式。

因式分解的应用——和差化积思想 专题培优、拔高（奥数）复习讲义一、中考考点梳理因式分解是学习分式、一元二次方程等知识的基础，其应用主要体现在以下几个方面：1．复杂的数值计算；2．代数式的化简与求值；3．简单的不定方程（组）；4．代数等式的证明等. 中学阶段常用到的因式分解的几种形式：1. 1(1)(1)ab a b a b ±±+=±±；2.1(1)(1)ab a b a b ±-=±；3. 3332223()()a b c abc a b c a b c ab bc ac ++-=++++---． 4. 4224(22)(22)x x x x x +=++-+; 5. 42241(221)(221)x x x x x +=++-+; 二、典型例题精选【例1】a ，b ，c 是正整数，a ＞b ，且27a ab ac bc --+=，则a c -等于( ).A . －1B ．－1或－7C ．1 D.1或7 解题思路：运用因式分解，从变形条件等式入手，在字母允许的范围内，把一个代数式变换成另一个与它恒等的代数式称代数式的恒等变形，它是研究代数式、方程和函数的重要工具，换元、待定系数、配方、因式分解又是恒等变形的有力工具．求代数式的值的基本方法有； (1)代入字母的值求值； (2)代入字母间的关系求值； (3)整体代入求值．【例2】已知0≠ab ，2220a ab b +-=，那么22a ba b-+的值为___________ .解题思路：对已知等式通过因式分解变形，寻求a ，b 之间的关系，代入关系求值．【例3】计算：(1) 32321997219971995199719971998--+-（2）444444444411111(2)(4)(6)(8)(10)4444411111(1)(3)(5)(7)(9)44444++++++++++ 解题思路：直接计算，则必然繁难，对于(1)，不妨用字母表示数，通过对分子、分母分解因式来探求解题思路；对于(2)，可以先研究41()4x +的规律．【例4】求下列方程的整数解． (1)64970xy x y +--=; (2)201925222=++y xy x解题思路：不定方程、方程组没有固定的解法，需具体问题具体分析，观察方程、方程组的特点，利用整数解这个特殊条件，从分解因式入手．解不定方程的常用方法有：(1)穷举法； (2)配方法； (3)分解法； (4)分离参数法．用这些方程解题时，都要灵活地运用质数合数、奇数偶数、整除等与整数相关的知识.【例5】已知3a b +=，2ab =，求下列各式的值： (1) 22a b ab +； (2) 22a b +； (3)2211a b +． 解题思路：先分解因式再代入求值.【例6】一个自然数a 恰等于另一个自然数b 的立方，则称自然数a 为完全立方数，如27＝33，27就是一个完全立方数．若a ＝19951993×199519953－19951994×199519923，求证：a 是一个完全立方数．解题思路：用字母表示数，将a 分解为完全立方式的形式即可．三、课后过关自测小练习1. 如图，有三种卡片，其中边长为a 的正方形卡片1张，边长分别为a ，b 的长方形卡片6张，边长为b 的正方形卡片9张，用这16张卡片拼成一个正方形，则这个正方形的边长为 ________．babbaa2．已知223,4x y x y xy +=+-=，则4433x y x y xy +++的值为__________．3．方程25510x xy x y --+-=的整数解是__________．4. 如果2(1)1x m x -++是完全平方式，那么m 的值为__________．5. 已知22230x xy y -+=(0≠xy )，则x yy x+的值是( )．A ．2，122B ．2C ．122D ．12,22--6．当1x y -=，43322433x xy x y x y xy y ---++的值为( )． A . －1 B ．0 C ．2 D ．17．已知a b c ＞＞，222222M a b b c c a N ab bc ca =++=++，，则M 与N 的大小关 系是( )．A . M ＜NB ．M ＞NC ．M ＝ND ．不能确定8．n 为某一自然数，代入代数式3n n -中计算其值时，四个同学算出如下四个结果，其中正确的结果只能是( )．A . 388944B .388945C .388954D .3889489．计算：(1) 3331999100099919991000999--⨯⨯ (2) 333322223111122222311111++10. 一个自然数a 恰好等于另一个自然数b 的平方，则称自然数a 为完全平方数，如64＝82，64就是一个完全平方数，若a ＝19982＋19982×19992＋19992，求证：a 是一个完全平方数．11.已知四个实数a ，b ，c ，d ，且a b ≠，c d ≠，若四个关系式224,b 4a ac bc +=+=，82=+ac c ，28d ad +=，同时成立.(1)求a c +的值； (2)分别求a ，b ，c ，d 的值．四、能力提升拓展练习1．已知n 是正整数，且4216100n n -+是质数，那么n ____________ .2．已知三个质数,,m n p 的乘积等于这三个质数的和的5倍，则222m n p ++＝________ .3.已知正数a ，b ，c 满足3ab a b bc b c ac c a ++=++=++=，则 (1)(1)(1)a b c +++＝_________ .4．在日常生活中如取款、上网等都需要密码，有一种用“因式分解”法产生的密码，方便记忆．原理是：如对于多项式44x y -，因式分解的结果是22()()()x y x y x y -++，若取x ＝9，y ＝9时，则各个因式的值是：22()0,()18,()162x y x y x y -=+=+=，于是就可以把“0181 62”作为一个六位数的密码，对于多项式324x xy -，取x ＝10，y ＝10时，用上述方法产生的密码是：__________．（写出一个即可）．5．已知a ，b ，c 是一个三角形的三边，则444222222222a b c a b b c c a ++---的值( )． A .恒正 B ．恒负 C ．可正可负 D ．非负6．若x 是自然数，设4322221y x x x x =++++，则( )．A . y 一定是完全平方数B ．存在有限个x ，使y 是完全平方数C . y 一定不是完全平方数D ．存在无限多个x ，使y 是完全平方数7．方程2223298x xy x --=的正整数解有( )组．A .3B ．2C ．1D ．08．方程24xy x y -+=的整数解有( )组．A .2B ．4C ．6D .89．设N ＝695＋5×694＋10×693＋10×692＋5×69＋1.试问有多少个正整数是N 的因数？10．当我们看到下面这个数学算式333337133713503724372461++==++时，大概会觉得算题的人用错了运算法则吧，因为我们知道3333a b a bc d c d++≠++．但是，如果你动手计算一下，就会发现上式并没有错，不仅如此，我们还可以写出任意多个这种算式：333331313232++=++，333352525353++=++，333373737474++=++，3333107107103103++=++，… 你能发现以上等式的规律吗？11.按下面规则扩充新数：已有a ，b 两数，可按规则c ab a b =++扩充一个新数，而以a ，b ，c 三个数中任取两数，按规则又可扩充一个新数，…每扩充一个新数叫做一次操作. 现有数1和4，求：(1) 按上述规则操作三次得到扩充的最大新数；(2) 能否通过上述规则扩充得到新数1999，并说明理由．12.设k ，a ，b 为正整数．k 被22,a b 整除所得的商分别为m ，16+m .(1)若a ，b 互质，证明22a b -与22,a b 互质；(2)当a ，b 互质时．求k 的值；( 3)若a ，b 的最大公约数为5，求k 的值．。

第三讲因式分解基础提取公因式一．基本概念：⑴因式分解：把一个多项式化为几个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式.因式分解与整式乘法互为逆变形：()m a b c ma mb mc ++++整式的乘法因式分解式中m 可以代表单项式，也可以代表多项式，它是多项式中各项都含有的因式，称为公因式. （若不特别说明，分解因式的结果必须是每个因式在有理数范围内分解完全）☆因式分解的注意事项：①结果一定是整式乘积的形式；②相同的因式的乘积要写成幂的形式；③每个因式按降幂排列，最高次项（降幂排列后的第一项）的系数均为正数（如果为负数，将负号放到括号外）④因式分解后的结果中一定不能含有大括号和中括号；⑤一定要完全分解.⑵公因式：一个多项式中每一项都含有的因式叫做这个多项式的公因式.⑶提取公因式法：如果一个多项式的各项含有公因式，那么可以把该公因式提取出来作为多项式的一个因式，提出公因式后的式子放在括号里，作为另一个因式.（最容易被忽略的方法） 提出的公因式应是各项系数的最大公因数（系数都是整数时）与各项都含有的相同字母的最低次幂的积.可以看出，提公因式法实际上就是逆用乘法分配律，即()()ma mb mc m a b c ++=++【例题1】 ★☆☆☆☆因式分解：（1）32222212164a x a bx y a x ++ （2）3223334812x y x y x y -+-【分析】 （1）原式()224341a x a by =++（2）原式()()2222423432x y x y xy x y xy x y =--+=-+-注：① 提公因式时要注意一次提净，并注意符号，保持降幂排列的习惯② 注意强调书写习惯，学完因式分解后会有很多学生分解完后忘了加后面一半的括号，写成类似下列错误格式23(21x x --，请留意！【铺垫1】 ★☆☆☆☆在提取公因数法分解因式中，如果遇到整式某些项的系数为分数，往往将分数也同时进行提取，如()211121244x x x x +=+，请分解因式：21132xy x -= . 【分析】 原式()1236x y x =-【例题2】 ★★☆☆☆因式分解： （1）232341232a b ab a b -+（2）13218483n n n a b a b a b -+-++，（n 为大于1的正整数） 【分析】 （1）提取公因式原则：化分为整 原式()22112836ab ab b a =-+ （2）原式()12242363n a b b ab a -=---【铺垫2】 ★☆☆☆☆提取公因式法，不仅仅可以提取单项式，有时候也可以是提取一个多项式，就是将题中的某式看成一个整体进行提取，请分解因式：()()23x y x y +++= .【分析】 原式()()()()2211x y x y x y x y =+++=+++【例题3】 ★★★☆☆因式分解：（1）()()()3222618121m x m x m x -----（2）()()()()43344334m n m n n m n m +----【分析】 （1）提取公因式原则：切勿漏“1”原式()()()()2221314121344m x x m m x x m =----=---⎡⎤⎣⎦（2）提取公因式原则：视“多”为一原式()()()()344334634m n m n n m n m n =-++-=-⎡⎤⎣⎦公式法逆用乘法公式将一个多项式分解因式的方法叫做公式法.①因式分解的平方差公式： 22a b -=②因式分解的完全平方公式：222a ab b ++=222a ab b -+=③因式分解的立方和公式： 33a b +=因式分解的立方差公式： 33a b -=④因式分解的完全立方公式：322333a a b ab b +++=322333a a b ab b -+-=⑤因式分解的三元完全平方公式：222222a b c ab bc ca +++++= ⑥因式分解的欧拉公式：3333a b c abc ++-=【例题4】 ★★☆☆☆因式分解：（1）22121169x y - （2）()()22x y x z +-- （3）248243x - （4）2222332n n x x +-，（n 为正整数） 【分析】 （1）原式()()11131113x y x y =+-（2）原式()()()()()()2x y x z x y x z x y z y z =++-+--=+-+⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦（3）原式()()()23168134949x x x =-=+-（4）原式()()()2221149232366n n x x x x x =-=+-【例题5】 ★★★☆☆因式分解：（1）()()()()2442x y x y x y x y -+--+ （2）4416x y -（3）()()2222223223x y x y +-+ 【分析】 （1）原式()()()()()()2222224x y x y x y x y xy x y x y ⎡⎤=-++--=-+⎣⎦（2）原式()()()()()22222244422x y x y x y x y x y =+-=++-（3）原式()()()()()222222555x y x y x y x y x y =+-=++-【例题6】 ★★★☆☆因式分解：（1）224129y xy x ++ （2）214x x -+ （3）1144n n n x x x +--+ ，（n 为大于1的正整数） （4）422463ax ax a -+- 【分析】 （1）原式()232x y =+（2）原式()22112124x x ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭ （3）原式()()2121442n n x x x x x --=-+=-（4）原式()()24222269333a x x a x =--+=--【例题7】 ★★★☆☆因式分解：（1）42241881a a b b -+（2）()()()222244x y x y x y ++-+- 【分析】 （1）原式()()()22222933a b a b a b =-=+- （2）原式()()()()()()()22224423x y x y x y x y x y x y x y =+++-+-=++-=-⎡⎤⎣⎦【例题8】 ★★☆☆☆因式分解：（1）364x + （2）33228612x y x y xy --+（3）222946124a b c ab bc ac +++-- （4）33386x y z xyz ++-【分析】 （1）原式()()24416x x x =+-+ （2）原式()32x y =-（3）原式()232a b c =+-（4）原式()()2222422x y z x y z xy yz zx =++++---【悬赏题】 ★★★★☆分解因式：()()2222224c b d a ab cd -+--- 【分析】 原式()()222222222222c b d a ab cd c b d a ab cd =-+-+--+--+()()()()()()()()2222c d a b c d a b c d a b c d a b c d a b c d a b ⎡⎤⎡⎤=---+-+⎣⎦⎣⎦=-+---+++++--【练习1】 因式分解：（1）22462x y xy xy -+-（2）23223232661324422a bc ab c a b c abc +--【分析】 （1）原式()2231xy x y =--+（2）原式()()2222223621222361abc ac b a bc abc a bc ac b =+--=---+【练习2】 因式分解：（1）223241535ax a x ax -+ （3）()()542x m n xy n m ---【分析】 （1）原式()()2211620320631515ax x ax ax ax x =-+=--- （3）原式()()()()44x m n x m n y x m n xm xn y =---=---⎡⎤⎣⎦【练习3】 因式分解：（1）2294x y - （2）()28116x y +-（3）2212516x y - （4）20.01x - 【分析】 （1）原式()()3232x y x y =-+（2）原式()()994994x y x y =+++-（3）原式()()1202016x y x y =+- （4）原式()()()()2211111001001101101100100100x x x x =-=--=-+-【练习4】 因式分解： （1）33188x y xy - （2）2424182n n a a b +-，（n 为正整数） （3）()()3933x y y x -+- （4）44x y -【分析】 （1）原式()()()2229423232xy x y xy x y x y =-=+- （2）原式()()()()()()244222222221111644422222n n n a a b a a b a b a a b a b a b =-=+-=++- （3）原式()()()()()239313391391x y x y x y x y x y ⎡⎤=---=--+--⎣⎦（4）原式()()()22x y x y x y =++-【练习5】 因式分解：（1）21881x x -+ （2）2961y y ++（3）()()21025x y x y +-++ （4）22139ab a ab -- 【分析】 （1）原式()29x =- （2）原式()231y =+（3）原式()25x y =+- （4）原式()()22119613199a b b a b =--+=--【练习6】 因式分解：（1）381x + （2）33()()x y x y +--（3）224244a b a ab b +-+-+ （4）3292727x x x +++【分析】 （1）原式()()221421x x x =+-+（2）原式()()()32233223232233336223x x y xy y x x y xy y x y y y x y =+++--+-=+=+（3）原式()22a b =+-（4）原式()33x =+【拓展1】 分解因式：88x y -【分析】 原式()()()()()()()()()44444422224422x y x y x y x y x y x y x y x y x y =+-=++-=+++-【拓展2】 分解因式：99x y -【分析】 原式()()()()()336336226336x y x x y y x y x xy y x x y y =-++=-++++【拓展3】 分解因式：66x y -【分析】 原式()()()()()()33332222x y x y x y x y x xy y x xy y =-+=-+++-+【拓展4】 分解因式：（1）642331x x x -+-（2）()()2222222242342x y z x y z +---- 【分析】 （1）原式()()()3332111x x x =-=+- （2）原式()()22224428x z x y =--+()()()()()()222284822x z y x x z x z y x y x =--=+-+-。

专题04 和差化积-------因式分解的方法(2)例1. A 提示 将原式重新整理成关于x 的二次三项式例2. (1) (23)()a b c a b c ++++ 提示 原式222(34)(352)a b c a c bc b =+++++(2) 2()(2)x y x z -- 提示 原式2232(2)(24)(2)x z y xz x y x x z =-+-+-例3. 原式223222(1)(22)(1)(1)(2(1)(1)(1)x a x x a x x x x a x x a x x =+++++--=+++++-22(1)(21)(1)(1)(1)x a ax x x x a x a =+++-=++++-例4. 12k = 提示 222(2)()x xy y x y x y +-=+- ∴可设原式(22)()x y x y n =++-+展开比较对应项系数得28,2210,2,n n k n +=⎧⎪-=⎨⎪=⎩解得＝12．例5 原式＝()2221x x -+． 例6 设2－（a ＋5）＋5a －1＝（＋b ）（＋c ）＝2＋（b ＋c ）＋bc ．∴()5,5 1.b c a bc a +=-+⎧⎪⎨=-⎪⎩①② ①×5＋2得bc ＋5（b ＋c ）＝－26，bc ＋5（b ＋c ）＋25＝－1，（b ＋5）（c ＋5）＝－1．∴51,51b c +=⎧⎨+=-⎩或51,5 1.b c +=-⎧⎨+=⎩ ∴4,6b c =-⎧⎨=-⎩或6,4.b c =-⎧⎨=-⎩故a ＝5． A 级1．（3a ＋2b －c ）（3a －2b ＋c ）2．（＋3y ）（＋2y ＋1）3．（＋y ＋1）（－y ＋3）4．－185．C6．D7．D8．D9．（1）（2a ＋b ）（a －b ＋c ）；（2）（a ＋c －2b ）2；（3）（－2）（2－＋a ）；（4）（－2y ＋3）（2－3y －4）；（5）（＋1）（y ＋1）（－1）（y －1）．10．提示：由题意得4,4 1.b c abc a+=--⎧⎨=-⎩①②①×4＋②，得（b＋4）（c＋4）＝－1，推得3,5bc=-⎧⎨=-⎩或5,3,bc=-⎧⎨=-⎩故a＝4．11．∵2－3y－4y＝（＋y）（－4y），∴可设原式＝（＋y＋m）（－4y＋n），展开比较对应项系数得b＝－6或9．B级1．＝－52．－2 提示：原式＝（2＋3－）－2y（＋2），令＝－2．3．5提示：令原式＝（－y＋4）·A，取一组，y的值代入上式．4．－35．C 提示：＝－1，＝－2是方程3＋a2＋b＋8＝0的解．6．C 提示：原式＝（－2y）2＋（2＋3）2＋167．A 提示：原式＝2（－2y）2＋（－2）2＋（y＋3）2≥0，且这三个数不能同时为零，M＞0．8．C9．＝－3 提示：因2＋3＋2＝（＋1）（＋2），故可令原式＝（＋my＋1）·（十ny＋2），展开比较对应项系数求出．10．提示：左边＝（a2＋b2）2－2a2b2＋（a2＋b2＋2ab）2＝（a2＋b2）2－2a2b2＋（a2＋b2）2＋4ab（a2＋b2）＋4a2b2＝2（a2＋b2）＋4ab（a2＋b2）＋2a2b2＝2（a2＋b2＋ab）2＝右边．11．将原等式展开2＋（a＋b＋c）＋ab－l0c＝2－10－11．∴10,1011.a b cab c++=-⎧⎨-=-⎩①②①×10＋②得ab＋10a＋10b＝－111．∴（a＋10）（b＋10）＝－11．∴101,1011.ab+=⎧⎨+=-⎩或101,1011.ab+=-⎧⎨+=-⎩或1011,10 1.ab+=⎧⎨+=-⎩或1011,10 1.ab+=-⎧⎨+=⎩∴9,21ab=-⎧⎨=-⎩或11,1ab=-⎧⎨=⎩或1,11ab=⎧⎨=-⎩或21,9.ab=-⎧⎨=-⎩代入①得c＝0或20．12．原式＝（5＋34y）－（53y＋152y3）＋（4y4＋12y5）＝4（＋3y）－52y2（＋3y）＋4y4（＋3y）＝（＋3y）（4－52y2＋4y2）＝（＋3y）（2－4y2）＝（＋3y）（＋y）（－y）（＋2y）（－2y）．当y＝0时，原式＝5≠33;当y≠0时，＋3y，－y，－2y，＋2y，＋y互不相同，而33不可能分解为4个以上不同因数的积，所以，当取任意整数，y取不为0的任意整数，原式≠33．。

积化和差与和差化积知识讲解一、三角恒等变换的公式1.两角和与差的三角函数公式：sin()sin cos cos sin αβαβαβ±=± cos()cos cos sin sin αβαβαβ±= tan tan tan()1tan tan αβαβαβ±±=2.倍角公式sin 22sin cos ααα=；2222cos 2cos sin 12sin 2cos 1ααααα=-=-=-22tan tan 21tan ααα=-3sin 33sin 4sin ααα=-；3cos34cos 3cos ααα=-；323tan tan tan 313tan αααα-=- 3. 半角公式sin2α=cos 2α=1cos sin tan2sin 1cos ααααα-===+ 4.万能公式22tan2sin 1tan 2ααα=+；221tan 2cos 1tan 2ααα-=+；22tan2tan 1tan 2ααα=-5.积化和差公式1sin cos [sin()sin()]2αβαβαβ=++-；1cos sin [sin()sin()]2αβαβαβ=+--；1cos cos [cos()cos()]2αβαβαβ=++-；1sin sin [cos()cos()]2αβαβαβ=-+--6.和差化积公式sin sin 2sincos22αβαβαβ+-+=；sin sin 2cossin22αβαβαβ+--=；cos cos 2cos cos 22αβαβαβ+-+=；cos cos 2sinsin 22αβαβαβ+--=- 二、公式的推导推导过程：sin()sin[()]sin cos()cos sin()αβαβαβαβ-=+-=-+-sin cos cos sin αβαβ=-cos()sin[()]sin[()()]22ππαβαβαβ+=-+=-+-sin()cos()cos()sin()cos cos sin sin()22ππαβαβαβαβ=--+--=+- cos cos sin sin αβαβ=-cos()sin[()]sin[()]22ππαβαβαβ-=--=-+ sin()cos cos()sin cos cos sin sin 22ππαβαβαβαβ=-+-=+ sin()sin cos cos sin tan()cos()cos cos sin sin αβαβαβαβαβαβαβ+++==+-两边同时除以cos cos αβ可得tan()αβ+=tan tan 1tan tan αβαβ+-tan tan()tan tan tan()tan[()]1tan tan()1tan tan a αβαβαββαβαβ+---=+-==--+然后把上面各式中的β代换为α，则可得到二倍角公式 sin 2sin()sin cos cos sin 2sin cos ααααααααα=+=+= 22cos 2cos()cos cos sin sin cos sin ααααααααα=+=⋅-⋅=-再利用22sin cos 1αα+=，可得：2222cos2cos sin 2cos 112sin ααααα=-=-=-()2tan tan 2tan tan 2tan 1tan tan 1tan ααααααααα+=+==-⋅-sin 2tan2cos2ααα===sin 2sinsin1cos 222tan2sin cos 2sin cos 222ααααααααα-=== sin 2cossinsin 222tan21cos cos2cos cos222ααααααααα===+ 【说明】这里没有考虑cossin022αα==，实际处理题目的时候需要把等于０的情况分出来单独讨论一下．三、主要方法1.倍角、半角、和差化积、积化和差等公式的运用1）并项功能：2）升次功能3）降次功能4）一个重要的构造令（）2221sin 2sin cos 2sin cos (sin cos )ααααααα±=+±=±2222cos 2cos sin 2cos 112sin ααααα=-=-=-221cos 21cos 2cos ,sin 22αααα+-==22sin cos cos )ba b a b αααα+=++sin β=cos β=cos cos sin )αβαβ+sin β=可知：sin cos a b αα+2.三角变换中常用的数学思想方法技巧有：1）角的变换：和、差、倍、半、互余、互补的相对性，有效沟通条件与结论中角的差异， 比如：3015453060452︒︒=︒-︒=︒-︒=, ()()22αααββαββ=-+=+-=⋅()()()()ππ2()()44ααβαβαββααα=++-=+--=+--()()222βαβαβαααβα⎛⎫-=-+=-=-- ⎪⎝⎭ππππππ244362αααααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-=++-=++-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭π3ππ2ππ5ππ443366αααααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++-=++-=++-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭2）函数名称的变换：三角变形中，常常需要变函数名称为同名函数，在三角函数中正余弦是基础，通常化切为弦，变异名为同名；有时可以使用万能公式将所有函数名化为正切； 3）常数代换：在三角函数运算、求值、证明中，有时需要将常数转化为三角函数值，例如：2222ππππ1sin cos sec tan sintan 2sin 2464αααα=+=-===； 4）幂的变换：降幂是三角变换时常用的方法 常用的降幂公式有：21cos2cos 2αα+=，21cos2sin 2αα-=但降幂并非绝对，有时也需要对某些式子进行升幂处理比如：221cos22cos ,1cos22sin αααα+=-=；21sin 2(sin cos )ααα±=±；5）公式变形：三角公式是变换的依据，应熟练掌握三角公式的顺用，逆用及变形应用， 例如：tan tan tan()(1tan tan )αβαβαβ±=±⋅⋅； 6）辅助角公式的运用：在求值问题中，要注意辅助角公式() sin cos y a b αααϕ=+=+的应用，其中tan b aϕ=，ϕ所在的象限由,a b 的符号确定．典型例题一．填空题（共4小题）1．（2015秋•凉山州期末）已知cos（α+）=，求sin（﹣α）的值．2．（2013秋•威海期中）已知函数．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；（Ⅱ）若，＜＜在处取得最大值，求φ的值；（Ⅲ）求y=g（x）的单调递增区间．3．（2010•山东学业考试）已知函数f（x）=sinx﹣cosx，（x∈R），求f（x）的最大值，并求使f（x）取得最大值时x 的集合．4．（2012•北京模拟）如果函数y=cos2ωx﹣sin2ωx的最小正周期是4π，那么正数ω的值是．二．解答题（共20小题）5．（2015春•宜春期中）是否存在α、β，α∈（﹣，），β∈（0，π）使等式sin（3π﹣α）=cos（﹣β），cos（﹣α）=﹣cos（π+β）同时成立？若存在，求出α、β的值；若不存在，请说明理由．6．（2013秋•景洪市校级期中）化简：（1）（2）sin120°•cos330°+sin（﹣690°）cos（﹣660°）+tan675°+cot765°．7．（2012秋•岱山县校级月考）已知f（α）=sin（π﹣α）cos（2π﹣α）tan（﹣α﹣π）tan（﹣π+α）sin（﹣α﹣π）（1）化简f（α）；（2）若α是第三象限角，且cos（α﹣）=，求f（α）的值（3）若α=﹣1860°，求f（α）的值．8．（2012春•天河区校级期中）已知函数y=f（x）在R上是奇函数，而且在（0，+∞）是增函数．证明：（1）f（0）=0；（2）y=f（x）在（﹣∞，0）上也是增函数．9．（2018春•渭城区校级期末）已知f（α）=．（1）化简f（α）；（2）若α是第三象限角，且cos（）=，求f（α）的值．10．（2018春•上杭县校级月考）计算下列各式的值：（1）cos+cos+cos+cos；（2）sin420°cos330°+sin（﹣690°）cos（﹣660°）．11．（2017春•万柏林区校级月考）已知α是三角形的内角，且sinα+cosα=．（1）求tanα的值；（2）的值．12．（2016秋•南涧县期末）若sinα是5x2﹣7x﹣6=0的根，求的值．13．（2018春•沈阳期中）如图，在平面直角坐标系xoy中，点A（x1，y1）在单位圆O上，∠xOA=α，且，（1）若，求x1的值；（2）若B（x2，y2）是单元圆O上在第二象限的一点，且．过点B作x轴的垂线，垂足为C，记△BOC的面积为f（α），求函数f（α）的取值范围．14．（2018春•思明区校级期中）如图，以Ox为始边作角α与β（0＜β＜α＜π），使它们终边分别与单位圆相交于点P，Q，已知点P的坐标为（，）．（1）求sin（）+cos（）的值；（2）若=0，求tan（α+β）．15．（2017秋•天山区校级期末）若0＜＜，0＜＜，sin（）=，cos （）=．（I）求sinα的值；（II）求cos（）的值．16．（2018春•禅城区校级期中）记号“△”表示一种运算，即a△b=+a+，记f（x）=（sin2x）△（cos2x）（1）求函数y=f（x）的表达式及最小正周期；（2）若函数f（x）在x=x0处取得最大值，若数列{a n}满足a n=nx0（n∈N*），求f（a1）+f（a2）+f（a3）的值．17．（2016秋•全椒县校级月考）已知函数＞，＞，＜＜的定义域为R，值域为[﹣4，8]，图象经过点（0，5），直线x=是其图象的一条对称轴，且f（x）在，上单调递减．（I ）求函数f（x）的表达式．（II）已知，，且f（α）=4，求cos2α的值．18．（2015秋•宝安区期末）已知向量=（2cos2x，），=（1，sin2x），函数f （x）=•．（1）求函数f（x）（x∈R）的单调增区间；（2）若f（α﹣）=2，α∈[，π]，求sin（2α+）的值．19．（2015•淮阴区校级模拟）如图所示，C，D是两个小区的所在地，C，D到一条公路AB的垂直距离分别为CA=1km，DB=2km，AB两地之间的距离为4km （1）如图一所示，某移动公司将在AB之间找一点M，在M处建造一个信号塔，使得M对C，D的张角与M对C，A的张角相等，试确定点M到点A的距离；（2）如图二所示，某公交公司将在AB之间找一点N，在N处建造一个公交站台，使得N对C，D两个小区的视角∠CND最大，试确定点N到点A的距离．20．（2015春•双流县校级期中）已知，，且＜＜＜．①求tan2α的值；②求cosβ的值；③求β的大小．21．（2015秋•硚口区期末）当α≠（2k+1）π，k∈Z时，等式恒成立，我们把这个恒等式叫“半角公式”．（1）证明上述半角公式；（2）若α，β都是锐角，，，试求的值．22．（2014春•浏阳市校级月考）已知0＜β＜＜α＜，cos（2α﹣β）=﹣，sin （α﹣2β）=，求sin的值．23．（2011春•天河区校级期中）已知sinα=，sin（α+β）=，α与β均为锐角，求cos．（cos）24．已知，，求证：y=x2﹣4x+5．。