高中数学1.5.1曲边梯形的面积、汽车行驶的路程课时作业(含解析)新人教A版选修2_2

1.5.1 曲边梯形的面积1.5.2 汽车行驶的路程课时演练·促提升1.和式(x i-3)等于()A.(x1-3)+(x10-3)B.x1+x2+x3+…+x10-3C.x1+x2+x3+…+x10-30D.(x1-3)(x2-3)(x3-3)·…·(x10-3)答案:C2.一物体沿直线运动,其速度v(t)=t,这个物体在t=0到t=1这段时间内所走的路程为()A. B. C.1 D.解析:曲线v(t)=t与直线t=0,t=1,横轴围成的三角形面积S=即为这段时间内物体所走的路程.答案:B3.把区间[a,b](a<b)n等分之后,第i个小区间是()A.B.C.D.解析:区间[a,b](a<b)的长度为(b-a),n等分之后,每个小区间长度均为,第i个小区间是(i=1,2,…,n).答案:D4.在求由曲线y=与直线x=1,x=3,y=0所围成图形的面积时,若将区间n等分,并用每个区间的右端点的函数值近似代替,则第i个小曲边梯形的面积ΔS i约等于()A. B.C. D.解析:每个小区间长度为,第i个小区间为,因此第i个小曲边梯形的面积ΔS i≈.答案:A5.在等分区间的情况下,f(x)=(x∈[0,2])及x轴所围成的曲边梯形面积和式的极限形式正确的是()A.B.C.D.解析:若将区间[0,2]n等分,则每一区间的长度为,第i个区间为,若取每一区间的右端点进行近似代替,则和式的极限形式为.答案:B6.在求由y=0,x=a,x=b(0<a<b)与曲线y=f(x)=x2围成的曲边梯形的面积S时,在区间[a,b]上等间隔地插入n-1个分点,分别过这些分点作x轴的垂线,把曲边梯形分成n个小曲边梯形,以每一个小区间的左端点的函数值为高的小矩形的面积和为S',下列说法:①n个小曲边梯形的面积和等于S;②n个小曲边梯形的面积和大于S;③n个小矩形的面积和S'小于S;④n个小矩形的面积和S'等于S.其中,所有正确结论的序号为.解析:n个小曲边梯形是所给曲边梯形等距离分割得到的,因此其面积和为S,①正确;由于以每一个小区间的左端点的函数值为高的小矩形的面积小于小曲边梯形的面积,所以小矩形的面积和S'小于曲边梯形的面积S,③正确,②④错误.答案:①③7.物体运动的速度和时间的函数关系式为v(t)=2t(t的单位:h,v的单位:km/h),近似计算在区间[2,8]内物体运动的路程时,把区间6等分,则过剩近似值(每个ξi均取值为小区间的右端点)为km.解析:以小区间右端点时的速度作为小区间的平均速度,可得过剩近似值为s=(2×3+2×4+2×5+2×6+2×7+2×8)×1=66(km).答案:668.求由直线x=0,x=1,y=0及曲线f(x)=x2所围成的图形的面积.解:(1)分割将区间[0,1]等分成n个小区间:,…,,…,.每个小区间的长度为Δx=.过各分点作x轴的垂线,将曲边梯形分成n个小曲边梯形,它们的面积分别记作ΔS1,ΔS2,…,ΔS n.(2)近似代替在区间上,用处的函数值作为高,以小区间的长度Δx=作为底边长的小矩形的面积近似代替第i个小曲边梯形的面积,即ΔS i≈.(3)求和曲边梯形的面积为S n=ΔS i≈=0·+…+=[12+22+…+(n-1)2]=.(4)取极限曲边梯形的面积为S=.9.已知物体自由落体的运动速度v=gt,求在时间区间[0,t]内物体下落的距离.解:(1)分割.把时间区间[0,t]等分成n个小区间,其中第i个小区间为(i=1,2,…,n),每个小区间所表示的时间段的长度为Δt=.在各个小区间内物体下落的距离记作s i.过各点作x轴的垂线,把曲边梯形分割成n个小曲边梯形,它们的面积分别记作:Δs1,Δs2,…,Δs n.(2)近似代替.在(i=1,2,…,n)上任取一时刻ξi,可取时刻ξi=·t,使v(ξi)=g,近似代替第i个小区间上的速度,因此在每个小区间内所经过的距离可近似地表示为Δs i≈g(i=1,2,…,n).(3)求和.s n=Δs i=[0+1+2+…+(n-1)]=gt2.(4)取极限.s=gt2gt2.所以在时间[0,t]内物体下落的距离为gt2.B组1.对于由直线x=1,y=0和曲线y=x3所围成的曲边三角形,把区间3等分,则曲边三角形面积的近似值(取每个区间的左端点)是()A. B. C. D.解析:将区间[0,1]三等分为,各小矩形的面积和为s1=03·.答案:A2.若做变速直线运动的物体v(t)=t2在0≤t≤a内经过的路程为9,则a的值为()A.1B.2C.3D.4解析:将区间[0,a]n等分,记第i个区间为(i=1,2,…,n),此区间长为,用小矩形面积近似代替相应的小曲边梯形的面积,则S n=·(12+22+…+n2)=,依题意得=9,∴=9,解得a=3.答案:C3.汽车以v=(3t+2) m/s做变速直线运动时,在第1 s到第2 s间的1 s内经过的路程s是.解析:将[1,2]n等分,并取每个小区间左端点的速度近似代替,则Δt=,v(ξi)=v=3+2=(i-1)+5.∴s n===+5=+5.∴s=s n=+5=6.5.答案:6.5 m4.求由直线x=0,x=1,y=0和曲线y=x(x-1)围成的图形的面积.解:(1)分割:将曲边梯形分割成n个小曲边梯形,在区间[0,1]上等间隔地插入n-1个点,将区间[0,1]等分成n个小区间:,…,,记第i个区间为(i=1,2,…,n),其长度为Δx=.把每个小曲边梯形的面积记为ΔS1,ΔS2,…,ΔS n.(2)近似代替:根据题意可得第i个小曲边梯形的面积ΔS i===(i=1,2,…,n).(3)求和:把每个小曲边梯形近似地看作矩形,求出这n个小矩形的面积的和S n=,从而得到所求图形面积的近似值S≈.(4)取极限:S=,即直线x=0,x=1,y=0和曲线y=x(x-1)围成的图形的面积为.5.设力F作用在质点m上使m沿x轴正向从x=1运动到x=10,已知F=x2+1且力的方向和x轴正向相同,求F对质点m所做的功.解:将区间[1,10]n等分,则各小区间的长度为,在上取ξi=1+i.∴F i=+1=+1,∴W i=F i·(i=1,2,…,n).∴W=====18+81+243=342.故F对质点所做的功为342.6.求由抛物线y=x2与直线y=4所围成的图形的面积.解:如图,∵y=x2为偶函数,图象关于y轴对称,∴所求图形的面积应为抛物线y=x2(x≥0)与直线x=0,y=4所围图形面积S阴影的2倍,下面求S 阴影.由得交点为(2,4).如图,先求由直线x=0,x=2,y=0和曲线y=x2围成的图形的面积.(1)分割:将区间[0,2]n等分,则Δx=,取ξi=.(2)近似代替、求和:S n=[12+22+32+…+(n-1)2]=.(3)取极限:S=S n=.∴S阴影=2×4-.∴2S阴影=,即抛物线y=x2与直线y=4所围成的图形的面积为.。

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1.5.1 曲边梯形的面积 1。

5.2 汽车行驶的路程【教学目标】1．了解“以直代曲”、“以不变代变"的思想方法．2．会求曲边梯形的面积和汽车行驶的路程．【教法指导】本节学习重点：求曲边梯形的面积和汽车行驶的路程．本节学习难点：了解“以直代曲”、“以不变代变"的思想方法．【教学过程】☆复习引入☆任何一个平面图形都有面积，其中矩形、正方形、三角形、平行四边形、梯形等平面多边形的面积，可以利用相关公式进行计算．如图所示的平面图形，是由直线x＝a,x＝b（a≠b），y＝0和曲线y＝f(x）所围成的，称之为曲边梯形，如何计算这个曲边梯形的面积呢？☆探索新知☆探究点一求曲边梯形的面积思考1 如何计算下列两图形的面积？答①直接利用梯形面积公式求解．②转化为三角形和梯形求解．问题如图，如何求由抛物线y＝x2与直线x＝1，y＝0所围成的平面图形的面积S？思考2 图中的图形与我们熟悉的“直边图形”有什么区别？思考3 能否将求曲边梯形的面积问题转化为求“直边图形”的面积问题?（归纳主要步骤)答(如图)可以通过把区间［0,1］分成许多小区间，将曲边梯形拆分为一些小曲边梯形,对每个小曲边梯形“以直代曲”，即用矩形的面积近似代替小曲边梯形的面积，得到每个小曲边梯形面积的近似值,对这些近似值进行求和，就得到曲边梯形面积的近似值,随着拆分越来越细,近似程度会越来越好．S n＝错误!S i≈错误!（错误!）2·Δx＝错误!（错误!)2·错误!（i＝1，2，…，n）＝0·错误!＋（错误!)2·错误!＋…＋（错误!）2·错误!＝错误!［12＋22＋…＋(n－1)2]＝错误!（1－错误!)(1－错误!)．∴S＝错误!S n＝错误!错误!（1－错误!）(1－错误!)＝错误!.求曲边梯形的面积可以通过分割、近似代替、求和、取极限四个步骤完成．思考4 在“近似代替”中，如果认为函数f(x)＝x2在区间［错误!，错误!](i＝1，2，…，n）上的值近似地等于右端点错误!处的函数值f（错误!)，用这种方法能求出S的值吗？若能求出，这个值也是错误!吗？取任意ξi∈[错误!,错误!]处的函数值f(ξi）作为近似值,情况又怎样?其原理是什么？答以上方法都能求出S＝错误!.我们解决此类问题的原理是“近似代替"和“以直代曲”，在极限状态下,小曲边梯形可以看做小矩形．例1 求由直线x＝0，x＝1，y＝0和曲线y＝x2所围成的图形的面积．过各分点作x轴的垂线，把曲边梯形分成n个小曲边梯形，它们的面积分别记作ΔS1,ΔS2,…，ΔS n.（2）近似代替在区间［错误!，错误!］（i＝1，2，…,n）上，以错误!的函数值错误!2作为高,小区间的长度Δx ＝错误!作为底边的小矩形的面积作为第i个小曲边梯形的面积，即ΔS i≈（错误!）2·错误!。

亲爱的同学：这份试卷将再次记录你的自信、沉着、智慧和收获，我们一直投给你信任的目光……学习资料专题1．5.1 曲边梯形的面积 1．5.2 汽车行驶的路程学习目标 1.了解“以直代曲”、“以不变代变”的思想方法.2.会求曲边梯形的面积和汽车行驶的路程．知识点一曲边梯形的面积思考1 如何计算下列两图形的面积？答案①直接利用梯形面积公式求解．②转化为三角形和梯形求解．思考2 如图所示的图形与我们熟悉的“直边图形”有什么区别？答案已知图形是由直线x＝1，y＝0和曲线y＝x2所围成的，可称为曲边梯形，曲边梯形的一条边为曲线段，而“直边图形”的所有边都是直线段．梳理曲边梯形的概念及面积求法(1)曲边梯形：由直线x＝a，x＝b(a≠b)，y＝0和曲线y＝f(x)所围成的图形称为曲边梯形(如图①所示)．(2)求曲边梯形面积的方法把区间[a，b]分成许多小区间，进而把曲边梯形拆分为一些小曲边梯形．对每个小曲边梯形“以直代曲”，即用矩形的面积近似代替小曲边梯形的面积，得到每个小曲边梯形面积的近似值，对这些近似值求和，就得到曲边梯形面积的近似值(如图②所示)．(3)求曲边梯形面积的步骤：①分割；②近似代替；③求和；④取极限． 知识点二 求变速直线运动的(位移)路程一般地，如果物体做变速直线运动，速度函数为v ＝v (t )，那么也可以采用分割、近似代替、求和、取极限的方法，求出它在a ≤t ≤b 内所作的位移s.1．求汽车行驶的路程时，分割的区间表示汽车行驶的路程．( × ) 2．当n 很大时，函数f (x )＝x 2在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤i －1n ，i n 上的值，只能用⎝ ⎛⎭⎪⎫i n 2近似代替．( × )3．利用求和符号计算∑i ＝14i (i ＋1)＝40.( √)类型一 求曲边梯形的面积例1 求由直线x ＝0，x ＝2，y ＝0与曲线y ＝x 2＋1所围成的曲边梯形的面积．⎣⎢⎡⎦⎥⎤参考公式12＋22＋…＋n 2＝16n (n ＋1)(2n ＋1)考点 求曲边梯形的面积问题 题点 求曲线梯形的面积问题 解 令f (x )＝x 2＋1. (1)分割将区间[0,2]n 等分，分点依次为x 0＝0，x 1＝2n ，x 2＝4n，…，x n －1＝2(n －1)n，x n ＝2.第i 个区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2i －2n ，2i n (i ＝1,2，…，n )，每个区间长度为Δx ＝2i n －2i －2n ＝2n .(2)近似代替、求和取ξi ＝2in(i ＝1,2，…，n )，S n ＝∑i ＝1nf ⎝ ⎛⎭⎪⎫2i n ·Δx ＝∑i ＝1n⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫2i n 2＋1·2n ＝8n 3∑i ＝1ni 2＋2＝8n3(12＋22＋…＋n 2)＋2＝8n 3·n (n ＋1)(2n ＋1)6＋2 ＝43⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋3n ＋1n 2＋2.(3)取极限S ＝lim n →∞S n ＝lim n →∞ ⎣⎢⎡⎦⎥⎤43⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋3n ＋1n 2＋2＝143，即所求曲边梯形的面积为143.反思与感悟 求曲边梯形的面积 (1)思想：以直代曲．(2)步骤：分割→近似代替→求和→取极限． (3)关键：近似代替．(4)结果：分割越细，面积越精确． (5)求和时可用一些常见的求和公式，如 1＋2＋3＋…＋n ＝n (n ＋1)2，12＋22＋32＋…＋n 2＝n (n ＋1)(2n ＋1)6，13＋23＋33＋…＋n 3＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤n (n ＋1)22.跟踪训练1 求由直线x ＝0，x ＝1，y ＝0和曲线y ＝x 2所围成的图形的面积． 考点 求曲边梯形的面积问题 题点 求曲边梯形的面积问题 解 (1)分割将区间[0,1]等分为n 个小区间：⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，1n ，⎣⎢⎡⎦⎥⎤1n ，2n ，⎣⎢⎡⎦⎥⎤2n ，3n ，…，⎣⎢⎡⎦⎥⎤i －1n ，i n ，…，⎣⎢⎡⎦⎥⎤n －1n ，1，其中i ＝1,2，…，n ，每个小区间的长度为Δx ＝i n －i －1n ＝1n.过各分点作x 轴的垂线，把曲边梯形分成n 个小曲边梯形，它们的面积分别记作ΔS 1，ΔS 2，…，ΔS n . (2)近似代替 在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤i －1n ，i n (i ＝1,2，…，n )上，以i －1n 处的函数值⎝ ⎛⎭⎪⎫i －1n 2为高，小区间的长度Δx ＝1n 为底边的小矩形的面积作为第i 个小曲边梯形的面积，即 ΔS i ≈⎝⎛⎭⎪⎫i －1n 2·1n.(3)求和∑i ＝1nΔS i ≈∑i ＝1n⎝⎛⎭⎪⎫i －1n 2·1n ＝0·1n ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n 2·1n ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2n 2·1n ＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫n －1n 2·1n ＝1n 3[12＋22＋…＋(n －1)2]＝13－12n ＋16n 2. (4)取极限曲边梯形的面积S ＝lim n →∞ ⎝ ⎛⎭⎪⎫13－12n ＋16n 2＝13.类型二 求变速运动的路程例2 当汽车以速度v 做匀速直线运动时，经过时间t 所行驶的路程s ＝vt .如果汽车做变速直线运动，在时刻t 的速度为v (t )＝t 2＋2(单位：km/h)，那么它在1≤t ≤2(单位：h)这段时间行驶的路程是多少？ 考点 变速运动的路程问题 题点 变速运动的路程问题解 将区间[1,2]等分成n 个小区间， 第i 个小区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋i －1n ，1＋in . 所以Δs i ＝v ⎝⎛⎭⎪⎫1＋i －1n ·1n. s n ＝∑ni ＝1v ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i －1n 1n ＝1n ∑n i ＝1 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i －1n 2＋2 ＝1n ∑ni ＝1 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤(i －1)2n 2＋2(i －1)n ＋3 ＝1n ⎩⎨⎧ 3n ＋1n2[02＋12＋22＋…＋(n －1)2]＋⎭⎬⎫1n[0＋2＋4＋6＋…＋2(n －1)]＝3＋(n －1)(2n －1)6n 2＋n －1n. s ＝lim n →∞ s n ＝lim n →∞⎣⎢⎡⎦⎥⎤3＋(n －1)(2n －1)6n 2＋n －1n ＝133. 所以这段时间行驶的路程为133km. 引申探究本例中求小曲边梯形面积时若用另一端点值作为高，试求出行驶路程，比较两次求出的结果是否一样？解 将区间[1,2]等分成n 个小区间，第i 个小区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋i －1n ，1＋in . 所以Δs i ＝v ⎝⎛⎭⎪⎫1＋i n·1n.s n ＝∑ni ＝1v ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i n 1n＝3＋1n 3[12＋22＋…＋(n －1)2＋n 2]＋1n2[2＋4＋6＋…＋2(n －1)＋2n ]＝3＋(n ＋1)(2n ＋1)6n 2＋n ＋1n. s ＝lim n →∞ s n ＝lim n →∞⎣⎢⎡⎦⎥⎤3＋(n ＋1)(2n ＋1)6n 2＋(n ＋1)n ＝133. 所以这段时间行驶的路程为133km. 所以分别用小区间的两个端点求出的行驶路程是相同的．反思与感悟 求变速直线运动路程的问题，方法和步骤类似于求曲边梯形的面积，用“以直代曲”“逼近”的思想求解．求解过程为：分割、近似代替、求和、取极限．应特别注意变速直线运动的时间区间．跟踪训练2 一辆汽车在直线形公路上做变速行驶，汽车在时刻t 的速度为v (t )＝－t 2＋5(单位：km/h)，试计算这辆汽车在0≤t ≤2(单位：h)这段时间内行驶的路程s (单位：km)． 考点 变速运动的路程问题 题点 变速运动的路程问题解 (1)分割：在区间[0,2]上等间隔插入n －1个点，将区间分成n 个小区间，记第i 个小区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2(i －1)n ，2i n (i ＝1,2，…，n )，Δt ＝2n .则汽车在时间段⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，2n ，⎣⎢⎡⎦⎥⎤2n ，4n ，⎣⎢⎡⎦⎥⎤2(n －1)n ，2n n 上行驶的路程分别记为：Δs 1，Δs 2，…，Δs i ，…，Δs n ，有s n ＝∑i ＝1nΔs i .(2)近似代替：取ξi ＝2in(i ＝1,2，…，n )，Δs i ≈v ⎝ ⎛⎭⎪⎫2i n ·Δt ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－⎝ ⎛⎭⎪⎫2i n 2＋5·2n＝－4i 2n 2·2n＋10n(i ＝1,2，…，n )．(3)求和：s n ＝∑i ＝1nΔs i ＝∑i ＝1n⎝⎛⎭⎪⎫－4i 2n 2·2n ＋10n＝－8·13⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1n ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12n ＋10.(4)取极限：s ＝lim n →∞s n ＝lim n →∞ ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－8·13⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1n ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12n ＋10＝223.1．把区间[1,3] n 等分，所得n 个小区间的长度均为( ) A.1n B.2n C.3n D.12n 考点 求曲边梯形的面积问题 题点 求曲边梯形的面积问题 答案 B解析 区间[1,3]的长度为2，故n 等分后，每个小区间的长度均为2n.2．在“近似代替”中，函数f (x )在区间[x i ，x i ＋1]上的近似值等于( ) A ．只能是左端点的函数值f (x i ) B ．只能是右端点的函数值f (x i ＋1)C ．可以是该区间内任一点的函数值f (ξi )(ξi ∈[x i ，x i ＋1])D ．以上答案均正确考点 求曲边梯形的面积问题 题点 求曲边梯形的面积问题 答案 C3．一物体沿直线运动，其速度v (t )＝t ，这个物体在t ＝0到t ＝1这段时间内所走的路程为( )A.13B.12 C ．1 D.32考点 变速运动的路程问题 题点 变速运动的路程问题 答案 B4.∑i ＝1ni n＝________.考点 求曲边梯形的面积问题 题点 求和符号的表示 答案n ＋12解析∑i ＝1ni n ＝1n (1＋2＋…＋n )＝1n ·n (n ＋1)2＝n ＋12. 5．求由曲线y ＝12x 2与直线x ＝1，x ＝2，y ＝0所围成的平面图形面积时，把区间5等分，则面积的近似值(取每个小区间的左端点)是________． 考点 求曲边梯形的面积问题 题点 求曲边梯形的面积问题 答案 1.02解析 将区间5等分所得的小区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，65，⎣⎢⎡⎦⎥⎤65，75，⎣⎢⎡⎦⎥⎤75，85，⎣⎢⎡⎦⎥⎤85，95，⎣⎢⎡⎦⎥⎤95，2， 于是所求平面图形的面积近似等于110⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋3625＋4925＋6425＋8125＝110×25525＝1.02.求曲边梯形面积和汽车行驶的路程的步骤 (1)分割：n 等分区间[a ，b ]； (2)近似代替：取点ξi ∈[x i －1，x i ]；(3)求和：∑i ＝1nf (ξi )·b －an； (4)取极限：s ＝lim n →∞∑i ＝1nf (ξi )·b －an. “近似代替”也可以用较大的矩形来代替曲边梯形，为了计算方便，可以取区间上的一些特殊点，如区间的端点(或中点)．一、选择题1．和式∑i ＝15(x i ＋1)可表示为( )A ．(x 1＋1)＋(x 5＋1)B ．x 1＋x 2＋x 3＋x 4＋x 5＋1C ．x 1＋x 2＋x 3＋x 4＋x 5＋5D ．(x 1＋1)(x 2＋1)…(x 5＋1) 考点 求曲边梯形的面积问题 题点 求和符号的表示 答案 C解析∑i ＝15(x i ＋1)＝(x 1＋1)＋(x 2＋1)＋(x 3＋1)＋(x 4＋1)＋(x 5＋1)＝x 1＋x 2＋x 3＋x 4＋x 5＋5.2．在求由x ＝a ，x ＝b (a <b )，y ＝f (x ) (f (x )≥0)及y ＝0围成的曲边梯形的面积S 时，在区间[a ，b ]上等间隔地插入(n －1)个分点，分别过这些分点作x 轴的垂线，把曲边梯形分成n 个小曲边梯形，下列说法中正确的个数是( ) ①n 个小曲边梯形的面积和等于S ； ②n 个小曲边梯形的面积和小于S ； ③n 个小曲边梯形的面积和大于S ；④n 个小曲边梯形的面积和与S 之间的大小关系无法确定． A ．1 B ．2 C ．3D ．4考点 求曲边梯形的面积问题 题点 求曲边梯形的面积问题 答案 A解析 n 个小曲边梯形是所给曲边梯形等距离分割得到的，因此其面积和为S . ∴①正确，②③④错误．3．在求由直线x ＝0，x ＝2，y ＝0与曲线y ＝x 2所围成的曲边三角形的面积时，把区间[0,2]等分成n 个小区间，则第i 个小区间是( ) A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤i －1n ，i nB.⎣⎢⎡⎦⎥⎤i n ，i ＋1nC.⎣⎢⎡⎦⎥⎤2(i －1)n ，2i nD.⎣⎢⎡⎦⎥⎤2i n，2(i ＋1)n考点 求曲边梯形的面积问题 题点 求曲边梯形的面积问题 答案 C解析 将区间[0,2]等分为n 个小区间后，每个小区间的长度为2n，第i 个小区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2(i －1)n ，2i n . 4．在求由曲线y ＝1x与直线x ＝1，x ＝3，y ＝0所围成图形的面积时，若将区间n 等分，并用每个区间的右端点的函数值近似代替每个小曲边梯形的高，则第i 个小曲边梯形的面积ΔS i 约等于( ) A.2n ＋2i B.2n ＋2i －2C.2n (n ＋2i )D.1n ＋2i考点 求曲边梯形的面积问题 题点 求曲边梯形的面积问题 答案 A解析 每个小区间的长度为2n，第i 个小曲边梯形的高为11＋2i n， ∴第i 个小曲边梯形的面积为2n ×11＋2i n＝2n ＋2i .5．在等分区间的情况下f (x )＝11＋x 2(x ∈[0,2])及x 轴所围成的曲边梯形面积和式的极限形式正确的是( )A.lim n →∞ ∑ni ＝1 ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤11＋⎝ ⎛⎭⎪⎫i n 2·2n B.lim n →∞ ∑n i ＝1 ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤11＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2i n 2·2n C.lim n →∞ ∑ni ＝1⎝ ⎛⎭⎪⎫11＋i 2·1nD.lim n →∞ ∑ni ＝1 ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤11＋⎝ ⎛⎭⎪⎫i n 2·n 考点 求曲边梯形的面积问题 题点 求曲边梯形的面积问题 答案 B解析 ∵Δx ＝2－0n ＝2n，∴和式为∑ni ＝1⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤11＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2i n 2·2n . 故选B.6．对于由直线x ＝1，y ＝0和曲线y ＝x 3所围成的曲边三角形，把区间3等分，则曲边三角形面积的近似值(取每个区间的左端点)是( ) A.130 B.125 C.127D.19考点 求曲边梯形的面积问题 题点 求曲边梯形的面积问题 答案 D解析 将区间[0,1]三等分为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，13，⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，23，⎣⎢⎡⎦⎥⎤23，1，各小矩形的面积和为S ＝03×13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫133×13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫233×13＝19. 7．设函数f (x )在区间[a ，b ]上连续，用分点a ＝x 0<x 1<…<x i －1<x i <…<x n ＝b ，把区间[a ，b ]等分成n 个小区间，在每个小区间[x i －1，x i ]上任取一点ξi (i ＝1,2，…，n )，作和式S n ＝∑i ＝1nf(ξi )Δx (其中Δx 为小区间的长度)，那么S n 的大小( ) A ．与f (x )和区间[a ，b ]有关，与分点的个数n 和ξi 的取法无关 B ．与f (x )和区间[a ，b ]的分点的个数n 有关，与ξi 的取法无关 C ．与f (x )和区间[a ，b ]的分点的个数n ，ξi 的取法都有关 D ．与f (x )和区间[a ，b ]的ξi 的取法有关，与分点的个数n 无关 考点 求曲边梯形的面积问题 题点 求曲边梯形的面积问题 答案 C解析 用分点a ＝x 0<x 1<…<x i －1<x i <…<x n ＝b 把区间[a ，b ]等分成n 个小区间，在每个小区间[x i －1，x i ]上任取一点ξi (i ＝1,2，…，n )，作和式S n ＝∑i ＝1nf (ξi )·Δx .若对和式求极限，则可以得到函数y ＝f (x )的图象与直线x ＝a ，x ＝b ，y ＝0围成的区域的面积，在求极限之前，和式的大小与函数式、分点的个数和变量的取法都有关．8.lim n →∞∑ni ＝1⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫15i n ·⎝ ⎛⎭⎪⎫5n 的含义可以是( )A ．求由直线x ＝1，x ＝5，y ＝0，y ＝3x 围成的图形的面积B ．求由直线x ＝0，x ＝1，y ＝0，y ＝15x 围成的图形的面积C ．求由直线x ＝0，x ＝5，y ＝0，y ＝3x 围成的图形的面积D ．求由直线x ＝0，x ＝5，y ＝0及曲线y ＝5x围成的图形的面积考点 求曲边梯形的面积问题 题点 求曲边梯形的面积问题 答案 C解析 将区间[0,5]n 等分，则每一区间的长度为5n ，各区间右端点对应函数值为y ＝15in，因此∑i ＝1n⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫15i n ·⎝ ⎛⎭⎪⎫5n 可以表示由直线x ＝0，x ＝5，y ＝0和y ＝3x 围成的图形的面积的近似值．9．若直线y ＝2x ＋1与直线x ＝0，x ＝m ，y ＝0围成图形的面积为6，则正数m 等于( ) A ．1 B ．3 C ．2D ．4考点 求曲边梯形的面积问题 题点 由曲边梯形的面积求参数 答案 C解析 将区间[0，m ]n 等分，每个区间长为m n ，区间左端点函数值y ＝2·mi n＋1＝2mi ＋nn，作和S n ＝∑i ＝1n⎝⎛⎭⎪⎫2mi ＋n n ·m n＝m ＋m n·2mn(1＋2＋3＋…＋n )＝m ＋2m 2n 2·n (n ＋1)2＝m ＋m 2(n ＋1)n，∵S ＝lim n →∞ ⎣⎢⎡⎦⎥⎤m ＋m 2(n ＋1)n ＝6，∴m ＝2.故选C. 二、填空题10．在区间[0,8]上插入9个等分点后，则所分的小区间长度为________，第5个小区间是________．考点 求曲边梯形的面积问题 题点 求曲边梯形的面积问题 答案 45 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤165，4解析 在区间[0,8]上插入9个等分点后，把区间[0,8]10等分，每个小区间的长度为810＝45，第5个小区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤165，4.11．已知某物体运动的速度v ＝t ，t ∈[0,10]，若把区间10等分，取每个小区间右端点处的函数值为近似小矩形的高，则物体运动的路程近似值为________． 考点 变速运动的路程问题 题点 变速运动的路程问题 答案 55解析 ∵把区间[0,10]10等分后，每个小区间右端点处的函数值为n (n ＝1,2，…，10)，每个小区间的长度为1.∴物体运动的路程近似值s ＝1×(1＋2＋…＋10)＝55.12．当n 很大时，下列可以代替函数f (x )＝x 2在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤i －1n ，i n 上的值有________个． ①f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ；②f⎝ ⎛⎭⎪⎫i n ；③f ⎝ ⎛⎭⎪⎫i －1n ；④f ⎝ ⎛⎭⎪⎫i n －12n .考点 求曲边梯形的面积问题 题点 求曲边梯形的面积问题 答案 3解析 因为当n 很大时，区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤i －1n ，i n 上的任意的取值都可以代替，又因为1n ∉⎣⎢⎡⎦⎥⎤i －1n ，i n ，i －1n ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤i －1n，i n ，i n ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤i －1n ，i n ，i n －12n ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤i －1n ，i n ，故能代替的有②③④. 三、解答题13．求由直线x ＝0，x ＝1，y ＝0和曲线y ＝x 2＋2x 围成的图形的面积． 考点 求曲边梯形的面积问题题点 求曲边梯形的面积问题解 将区间[0,1]n 等分，每个区间长度为1n，区间右端点函数值y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫i n 2＋2·i n ＝i 2n 2＋2i n.作和S n ＝∑i ＝1n⎝⎛⎭⎪⎫i 2n 2＋2i n 1n ＝∑i ＝1n⎝ ⎛⎭⎪⎫i 2n 3＋2i n 2 ＝1n 3∑i ＝1ni 2＋2n 2∑i ＝1ni ＝1n 3·16n (n ＋1)(2n ＋1)＋2n 2·n (n ＋1)2＝(n ＋1)(2n ＋1)6n 2＋n ＋1n ＝8n 2＋9n ＋16n 2， ∴所求面积S ＝lim n →∞ 8n 2＋9n ＋16n2＝lim n →∞ ⎝ ⎛⎭⎪⎫43＋32n ＋16n 2＝43.四、探究与拓展14．设函数f (x )的图象与直线x ＝a ，x ＝b 及x 轴所围成图形的面积称为函数f (x )在[a ，b ]上的面积．已知函数y ＝sin nx 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，πn (n ∈N *)上的面积为2n ，则y ＝sin 3x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，2π3上的面积为________． 考点 求曲边梯形的面积问题 题点 求曲边梯形的面积问题 答案 43解析 由于y ＝sin nx 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，πn (n ∈N *)上的面积为2n，则y ＝sin 3x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3上的面积为23.而y ＝sin 3x 的周期为2π3，所以y ＝sin 3x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，2π3上的面积为23×2＝43.15．有一辆汽车在笔直的公路上变速行驶，在时刻t 的速度为v (t )＝3t 2＋2(单位：km/h)，那么该汽车在0≤t ≤2(单位：h)这段时间内行驶的路程s (单位：km)是多少？ 考点 变速运动的路程问题 题点 变速运动的路程问题 解 (1)分割在时间区间[0,2]上等间隔地插入n －1个分点，将它分成n 个小区间，记第i 个小区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2(i －1)n ，2i n (i ＝1,2，…，n )，其长度为Δt ＝2i n －2(i －1)n ＝2n .每个时间段上行驶的路程记为Δs i (i ＝1,2，…，n )，则显然有s ＝∑i ＝1nΔs i .(2)近似代替取ξi ＝2in(i ＝1,2，…，n )，用小矩形的面积Δs ′i 近似地代替Δs i ，于是Δs i ≈Δs ′i ＝v ⎝ ⎛⎭⎪⎫2i n ·Δt ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤3⎝ ⎛⎭⎪⎫2i n2＋2·2n＝24i2n3＋4n(i ＝1,2，…，n )．(3)求和s n ＝∑i ＝1nΔs ′i ＝∑i ＝1n⎝⎛⎭⎪⎫24i 2n 3＋4n ＝24n 3(12＋22＋…＋n 2)＋4＝24n 3·n (n ＋1)(2n ＋1)6＋4＝8⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1n ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12n ＋4.(4)取极限s ＝lim n →∞ s n ＝lim n →∞ ⎣⎢⎡⎦⎥⎤8⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1n ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12n ＋4＝8＋4＝12. 所以这段时间内行驶的路程为12 km.。

第一章 1.5 第1课时1．(2020·大连高二检测)设函数f(x)在区间[a，b]上连续，用分点a＝x0<x1<…<x i－1<x i<…<x n ＝b，把区间[a，b]等分成n个小区间，在每个小区间[x i－1，x i]上任取一点ξi(i＝1,2，…，n)，作和式S n＝∑i＝1nf(ξi)Δx(其中Δx为小区间的长度)，那么S n的大小(C)A．与f(x)和区间[a，b]有关，与分点的个数n和ξi的取法无关B．与f(x)，区间[a，b]和分点的个数n有关，与ξi的取法无关C．与f(x)，区间[a，b]和分点的个数n，ξi的取法都有关D．与f(x)，区间[a，b]和ξi取法有关，与分点的个数n无关[解析]因为用分点a＝x0<x1<…<x i－1<x i<…<x n＝b.把区间[a，b]等分成n个小区间，在每个小区间[x i－1，x i]上任取一点ξi(i＝1,2，…，n)，作和式S n＝∑i＝1nf(ξi)·b－an，和式的大小与函数式、区间，分点的个数和变量的取法都有关．2．求由抛物线f(x)＝x2，直线x＝0，x＝1以及x轴所围成的平面图形的面积时，若将区间[0,1]等分成5等份，如图所示，以小区间中点的纵坐标为高，所有小矩形的面积之和为__0.33__.[解析]S＝15×[(110)2＋(310)2＋(510)5＋(710)2＋(910)2]＝0.33.3．求由抛物线y＝x2与直线y＝4所围成的曲边梯形的面积．[解析]因为y＝x2为偶函数，图象关于y轴对称，所以所求曲边梯形的面积应为抛物线y＝x2(x≥0)与直线x＝0，y＝4所围图形面积S的2倍，下面求阴影部分的面积S.由⎩⎪⎨⎪⎧y＝x2，x≥0，y＝4，得交点为(2,4)，如图所示，先求由直线x＝2，y＝0和曲线y＝x2围成的曲边梯形的面积．(1)分割：将区间[0,2]等分成n 份，则Δx ＝2n ，取小矩形的高为f (2(i －1)n )＝[2(i －1)n]2. (2)近似代替，求和：S n ＝∑i ＝1n [2(i－1)n ]2·2n ＝8n 3[12＋22＋32＋…＋(n －1)2] ＝83(1－1n )(1－12n )．(3)取极限：S ＝lim n →∞S n＝lim n →∞[83(1－1n )(1－12n )]＝83.所以所求阴影部分的面积为S ＝2×4－83＝163.所以2S ＝323.即抛物线y ＝x 2与直线y ＝4所围成的图形面积为323.。

1.5.1 曲边梯形的面积1.5.2 汽车行驶的路程课时演练·促提升A组1.和式(x i-3)等于()A.(x1-3)+(x10-3)B.x1+x2+x3+…+x10-3C.x1+x2+x3+…+x10-30D.(x1-3)(x2-3)(x3-3)·…·(x10-3)答案:C2.一物体沿直线运动,其速度v(t)=t,这个物体在t=0到t=1这段时间内所走的路程为()A. B. C.1 D.解析:曲线v(t)=t与直线t=0,t=1,横轴围成的三角形面积S=即为这段时间内物体所走的路程.答案:B3.把区间[a,b](a<b)n等分之后,第i个小区间是()A.B.C.D.解析:区间[a,b](a<b)的长度为(b-a),n等分之后,每个小区间长度均为,第i个小区间是(i=1,2,…,n).答案:D4.在求由曲线y=与直线x=1,x=3,y=0所围成图形的面积时,若将区间n等分,并用每个区间的右端点的函数值近似代替,则第i个小曲边梯形的面积ΔS i约等于()A. B.C. D.解析:每个小区间长度为,第i个小区间为,因此第i个小曲边梯形的面积ΔS i≈.答案:A5.在等分区间的情况下,f(x)=(x∈[0,2])及x轴所围成的曲边梯形面积和式的极限形式正确的是()A.B.C.D.解析:若将区间[0,2]n等分,则每一区间的长度为,第i个区间为,若取每一区间的右端点进行近似代替,则和式的极限形式为.答案:B6.在求由y=0,x=a,x=b(0<a<b)与曲线y=f(x)=x2围成的曲边梯形的面积S时,在区间[a,b]上等间隔地插入n-1个分点,分别过这些分点作x轴的垂线,把曲边梯形分成n个小曲边梯形,以每一个小区间的左端点的函数值为高的小矩形的面积和为S',下列说法:①n个小曲边梯形的面积和等于S;②n个小曲边梯形的面积和大于S;③n个小矩形的面积和S'小于S;④n个小矩形的面积和S'等于S.其中,所有正确结论的序号为.解析:n个小曲边梯形是所给曲边梯形等距离分割得到的,因此其面积和为S,①正确;由于以每一个小区间的左端点的函数值为高的小矩形的面积小于小曲边梯形的面积,所以小矩形的面积和S'小于曲边梯形的面积S,③正确,②④错误.答案:①③7.物体运动的速度和时间的函数关系式为v(t)=2t(t的单位:h,v的单位:km/h),近似计算在区间[2,8]内物体运动的路程时,把区间6等分,则过剩近似值(每个ξi均取值为小区间的右端点)为km.解析:以小区间右端点时的速度作为小区间的平均速度,可得过剩近似值为s=(2×3+2×4+2×5+2×6+2×7+2×8)×1=66(km).答案:668.求由直线x=0,x=1,y=0及曲线f(x)=x2所围成的图形的面积.解:(1)分割将区间[0,1]等分成n个小区间:,…,,…,.每个小区间的长度为Δx=.过各分点作x轴的垂线,将曲边梯形分成n个小曲边梯形,它们的面积分别记作ΔS1,ΔS2,…,ΔS n.(2)近似代替在区间上,用处的函数值作为高,以小区间的长度Δx=作为底边长的小矩形的面积近似代替第i个小曲边梯形的面积,即ΔS i≈.(3)求和曲边梯形的面积为S n=ΔS i≈=0·+…+=[12+22+…+(n-1)2]=.(4)取极限曲边梯形的面积为S=.9.已知物体自由落体的运动速度v=gt,求在时间区间[0,t]内物体下落的距离.解:(1)分割.把时间区间[0,t]等分成n个小区间,其中第i个小区间为(i=1,2,…,n),每个小区间所表示的时间段的长度为Δt=.在各个小区间内物体下落的距离记作s i.过各点作x轴的垂线,把曲边梯形分割成n个小曲边梯形,它们的面积分别记作:Δs1,Δs2,…,Δs n.(2)近似代替.在(i=1,2,…,n)上任取一时刻ξi,可取时刻ξi=·t,使v(ξi)=g,近似代替第i个小区间上的速度,因此在每个小区间内所经过的距离可近似地表示为Δs i≈g(i=1,2,…,n).(3)求和.s n=Δs i=[0+1+2+…+(n-1)]=gt2.(4)取极限.s=gt2gt2.所以在时间[0,t]内物体下落的距离为gt2.B组1.对于由直线x=1,y=0和曲线y=x3所围成的曲边三角形,把区间3等分,则曲边三角形面积的近似值(取每个区间的左端点)是()A. B. C. D.解析:将区间[0,1]三等分为,各小矩形的面积和为s1=03·.答案:A2.若做变速直线运动的物体v(t)=t2在0≤t≤a内经过的路程为9,则a的值为()A.1B.2C.3D.4解析:将区间[0,a]n等分,记第i个区间为(i=1,2,…,n),此区间长为,用小矩形面积近似代替相应的小曲边梯形的面积,则S n=·(12+22+…+n2)=,依题意得=9,∴=9,解得a=3.答案:C3.汽车以v=(3t+2) m/s做变速直线运动时,在第1 s到第2 s间的1 s内经过的路程s是.解析:将[1,2]n等分,并取每个小区间左端点的速度近似代替,则Δt=,v(ξi)=v=3+2=(i-1)+5.∴s n===+5=+5.∴s=s n=+5=6.5.答案:6.5 m4.求由直线x=0,x=1,y=0和曲线y=x(x-1)围成的图形的面积.解:(1)分割:将曲边梯形分割成n个小曲边梯形,在区间[0,1]上等间隔地插入n-1个点,将区间[0,1]等分成n个小区间:,…,,记第i个区间为(i=1,2,…,n),其长度为Δx=.把每个小曲边梯形的面积记为ΔS1,ΔS2,…,ΔS n.(2)近似代替:根据题意可得第i个小曲边梯形的面积ΔS i===(i=1,2,…,n).(3)求和:把每个小曲边梯形近似地看作矩形,求出这n个小矩形的面积的和S n=,从而得到所求图形面积的近似值S≈.(4)取极限:S=,即直线x=0,x=1,y=0和曲线y=x(x-1)围成的图形的面积为.5.设力F作用在质点m上使m沿x轴正向从x=1运动到x=10,已知F=x2+1且力的方向和x轴正向相同,求F对质点m所做的功.解:将区间[1,10]n等分,则各小区间的长度为,在上取ξi=1+i.∴F i=+1=+1,∴W i=F i·(i=1,2,…,n).∴W=====18+81+243=342.故F对质点所做的功为342.6.求由抛物线y=x2与直线y=4所围成的图形的面积.解:如图,∵y=x2为偶函数,图象关于y轴对称,∴所求图形的面积应为抛物线y=x2(x≥0)与直线x=0,y=4所围图形面积S阴影的2倍,下面求S 阴影.由得交点为(2,4).如图,先求由直线x=0,x=2,y=0和曲线y=x2围成的图形的面积.(1)分割:将区间[0,2]n等分,则Δx=,取ξi=.(2)近似代替、求和:S n=[12+22+32+…+(n-1)2]=.(3)取极限:S=S n=.∴S阴影=2×4-.∴2S阴影=,即抛物线y=x2与直线y=4所围成的图形的面积为.精美句子1、善思则能“从无字句处读书”。

第1页共8页曲边梯形的面积、汽车行驶的路程【知识链接】1．如何计算下列两图形的面积？答： ①直接利用梯形面积公式求解．②转化为三角形和梯形求解．2．求曲边梯形面积时，对曲边梯形进行“以直代曲”，怎样才能尽量减小求得的曲边梯形面积的误差？答： 为了减小近似代替的误差，需要先分割再分别对每个小曲边梯形“以直代曲”，而且分割的曲边梯形数目越多，得到的面积的误差越小．【预习导引】1．曲边梯形的面积：(1)曲边梯形：由直线x ＝a ，x ＝b (a ≠b )，y ＝0和曲线y ＝f (x )所围成的图形称为曲边梯形(如图①所示)．(2)求曲边梯形面积的方法：把区间[a ，b ]分成许多小区间，进而把曲边梯形拆分为一些小曲边梯形，对每个小曲边梯形“以直代曲”，即用矩形的面积近似代替小曲边梯形的面积，得到每个小曲边梯形面积的近似值，对这些近似值求和，就得到曲边梯形面积的近似值(如图②所示)．(3)求曲边梯形面积的步骤：①分割，②近似代替，③求和，④取极限． 2．求变速直线运动的(位移)路程如果物体做变速直线运动，速度函数v ＝v (t )，那么也可以采用分割，近似代替，求和，取极限的方法，求出它在a ≤t ≤b 内所作的位移s . 【要点一、求曲边梯形的面积】例1 求抛物线f (x )＝1＋x 2与直线x ＝0，x ＝1，y ＝0所围成的曲边梯形的面积S .解 (1)分割：把区间[0,1]等分成n 个小区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤i －1n，i n (i ＝1,2，…，n )，其长度Δx ＝1n ，把曲边梯形分成n 个小曲边梯形，其面积记为ΔS i (i ＝1,2，…，n )． (2)近似代替：用小矩形面积近似代替小曲边梯形的面积．ΔS i ＝f ⎝⎛⎭⎪⎫i －1n ·Δx ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫i －1n 2·1n(i ＝1,2，…，n )．第2页共8页(3)求和：∑i ＝1nΔS i ＝∑i ＝1n1n ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫i －1n 2. (4)取极限：S ＝li m n →∞∑i ＝1n1n ·⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫i －1n 2＝1＋li m n →∞∑i ＝1n ⎝ ⎛⎭⎪⎫i －1n 2·1n ＝1＋li m n →∞ 13⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1n ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n ＝1＋13＝43. 所以所求的曲边梯形的面积为43.规律方法： 分割、近似代替、求和、取极限是求曲边梯形面积的四个步骤，求曲边梯形的面积时需理解以下几点：①思想：以直代曲；②步骤：化整为零―→以直代曲―→积零为整―→无限逼近；③关键：以直代曲；④结果：分割越细，面积越精确．跟踪演练1、用定积分的定义求由y ＝3x ，x ＝0，x ＝1，y ＝0围成的图形的面积．解 (1)分割：把区间[0,1]等分成n 个小区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤i －1n ，i n (i ＝1,2，…，n )．其长度为Δx ＝1n，把三角形分成一个小三角形和(n －1)个小梯形，其面积分别记为ΔS i (i ＝1,2，…，n )．(2)近似代替：用小矩形的面积代替小三角形和小梯形的面积，取ξi ＝i －1n(i ＝1,2，…，n )，则ΔS i ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫i －1n Δx ＝3·i －1n ·1n ＝3n 2(i －1)(i ＝1,2，…，n )． (3)作和：∑i ＝1nΔS i ＝∑i ＝1n3n2(i －1)＝3n 2[0＋1＋2＋…＋(n －1)]＝32·n －1n . (4)取极限：S ＝li m n →∞∑i ＝1n3n2(i －1)＝li m n →∞ 32·n －1n ＝32.【要点二、求变速运动的路程】例2、用定积分定义求物体自由落体的下落距离．已知自由落体的运动速度v ＝gt ，求在时间区间[0，t ]内物体下落的距离．解 (1)分割：将时间区间[0，t ]分成n 等份．第3页共8页把时间[0，t ]分成n 个小区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤i －1nt ，it n (i ＝1,2，…，n )， 每个小区间所表示的时间段Δt ＝it n－i －1nt ＝tn，在各小区间物体下落的距离记作Δs i (i ＝1,2，…，n )．(2)近似代替：在每个小区间上以匀速运动的路程近似代替变速运动的路程．在⎣⎢⎡⎦⎥⎤i －1nt ，it n 上任取一时刻ξi (i ＝1,2，…，n )，可取ξi 使v (ξi )＝g i －1n t 近似代替第i 个小区间上的速度，因此在每个小区间上自由落体Δt ＝tn内所经过的距离可近似表示为Δs i ≈g ·i －1n t ·tn(i ＝1,2，…，n )． (3)求和：s n ＝∑i ＝1nΔs i ＝∑i ＝1ng ·i －1n ·t ·t n ＝gt 2n 2[0＋1＋2＋…＋(n －1)]＝12gt 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1n .(4)取极限：s ＝li m n →∞ 12gt 2⎝⎛⎭⎪⎫1－1n ＝12gt 2.规律方法：求变速直线运动的路程问题，方法和步骤类似于求曲边梯形的面积，仍然利用以直代曲的思想，将变速直线运动问题转化为匀速直线运动问题，求解过程为：分割、近似代替、求和、取极限．跟踪演练2、一辆汽车在直线形公路上做变速行驶，汽车在时刻t 的速度为v (t )＝－t 2＋5(单位：km/h)，试计算这辆汽车在0≤t ≤2(单位：h)这段时间内行驶的路程s (单位：km)． 解 (1)分割：在区间[0,2]上等间隔插入n －1个点，将区间分成n 个小区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤2i －1n ，2i n .记第i 个小区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2i －1n ，2i n (i ＝1,2，…，n )，Δt ＝2n .则汽车在时间段⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，2n ，⎣⎢⎡⎦⎥⎤2n ，4n ，⎣⎢⎡⎦⎥⎤2n －1n ，2n n 上行驶的路程分别记为：Δs 1，Δs 2，…，Δs i ，…，Δs n ，有s n ＝∑i ＝1nΔs i .(2)近似代替：取ξi ＝2in(i ＝1,2，…，n )，Δs i ≈v ⎝ ⎛⎭⎪⎫2i n ·Δt ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－⎝ ⎛⎭⎪⎫2i n 2＋5·2n＝－4i 2n 2·2n ＋10n (i ＝1,2，…，n )．s n ＝∑i ＝1n Δs i ＝∑i ＝1n⎝⎛⎭⎪⎫－4i 2n 2·2n ＋10n ＝－8·13⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1n ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12n ＋10. (3)取极限：s ＝li m n →∞s n ＝li m n →∞ ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－8·13⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1n ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12n ＋10＝223.第4页共8页练习：1．把区间[1,3]n 等分，所得n 个小区间的长度均为( ) A.1n B ．2n C ．3n D ．12n 答案 B 解析 区间[1,3]的长度为2，故n 等分后，每个小区间的长度均为2n.2．求由曲线y ＝12x 2与直线x ＝1，x ＝2，y ＝0所围成的平面图形面积时，把区间5等分，则面积的近似值(取每个小区间的左端点)是________．答案 1.02解析 将区间5等分所得的小区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，65，⎣⎢⎡⎦⎥⎤65，75，⎣⎢⎡⎦⎥⎤75，85，⎣⎢⎡⎦⎥⎤85，95，⎣⎢⎡⎦⎥⎤95，2，于是所求平面图形的面积近似等于110⎝⎛⎭⎪⎫1＋3625＋4925＋6425＋8125＝110×25525＝1.02.1．求曲边梯形面积和汽车行驶的路程的步骤： (1)分割：n 等分区间[a ，b ]；(2)近似代替：取点ξi ∈[x i －1，x i ]；(3)求和：∑i ＝1nf (ξi )·b －an； (4)取极限：S ＝li m n→∞∑i ＝1nf (ξi )·b －an.“近似代替”也可以用较大的矩形来代替曲边梯形，为了计算方便，可以取区间上的一些特殊点，如区间的端点(或中点)．【巩固练习】： 一、基础达标1．当n 很大时，函数f (x )＝x 2在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤i －1n，i n 上的值，可以近似代替为( ) A ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1n B ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2n C ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫i n D ．f (0)答案 C2．一物体沿直线运动，其速度v (t )＝t ，这个物体在t ＝0到t ＝1这段时间内所走的路程为( ) A.13 B ．12 C ．1 D ．32答案 B 解析 曲线v (t )＝t 与直线t ＝0，t ＝1，横轴围成的三角形面积S ＝12即为这段时间内物体所走的路程．3．由直线x ＝1，y ＝0，x ＝0和曲线y ＝x 3所围成的曲边梯形，将区间4等分，则曲边梯形面积的近似值(取每个区间的右端点)是()第5页共8页A.119 B ．111256 C ．1127 D ．2564答案 D 解析 将区间[0,1]四等分，得到4个小区间：⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，14，⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，12，⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，34，⎣⎢⎡⎦⎥⎤34，1，以每个小区间右端点的函数值为高，4个小矩形的面积和为曲边梯形面积的近似值S ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫143×14＋⎝ ⎛⎭⎪⎫123×14＋⎝ ⎛⎭⎪⎫343×14＋13×14＝2564.4．在计算由曲线y ＝－x 2以及直线x ＝－1，x ＝1，y ＝0所围成的图形的面积时，若将区间[－1，1]n 等分，则每个小区间的长度为( ) A.1n B.2n C.2n －1 D.2n ＋1答案：B 解析：区间长度为2，将其n 等分得每一个小区间的长度为2n. 5．在求由函数y ＝1x与直线x ＝1，x ＝2，y ＝0所围成的平面图形的面积时，把区间[1，2]等分成n 个小区间，则第i 个小区间为( ) A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤i －1n ，i n B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤n ＋i －1n ，n ＋i n C ．[i －1，i ] D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤i n，i ＋1n 答案：B 解析：把区间[1，2]等分成n 个小区间后，每个小区间的长度为1n，且第i 个小区间的左端点不小于1，所以选B.6．在“近似代替”中，函数f (x )在区间[x i ，x i ＋1]上的近似值( ) A ．只能是左端点的函数值f (x i ) B ．只能是右端点的函数值f (x i ＋1)C ．可以是该区间内任一点的函数值f (ξi )(ξi ∈[x i ，x i ＋1])D ．以上答案均不正确答案：C 解析：由求曲边梯形面积的“近似代替”知，选项C 正确．7．直线x ＝a ，x ＝b (a ＜b )，y ＝0和曲线y ＝f (x )(f (x )＞0)所围成的曲边梯形的面积S ＝( )A.∑i ＝1nf (ξi )·1nB ．∑i ＝1nf (ξi )·1n C.∑i ＝1n f (ξi )·b －an D ．∑i ＝1nb －an·f (ξi ) 答案：D 解析：第n 个小曲边梯形的面积可近似的表示为b －an·f (ξi )．所以，曲边梯形的面积为∑i ＝1nb －an·f (ξi ) 8．直线x ＝0，x ＝2，y ＝0与曲线y ＝x 2＋1围成的曲边梯形，将区间[0，2]5等分，按照区间左端点和右端点估计梯形面积分别为( ) A ．3.92，5.52 B ．4，5 C ．2，51，3.92 D ．5.25，3.59答案：A 解析：将区间[0，2]5等分为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，25，⎣⎢⎡⎦⎥⎤25，45，⎣⎢⎡⎦⎥⎤45，65，⎣⎢⎡⎦⎥⎤65，85，⎣⎢⎡⎦⎥⎤85，2，以小区间左第6页共8页端点对应的函数值为高，得S 1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫252＋1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫452＋1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫652＋1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫852＋1×25＝3.92，同理S 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫252＋1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫452＋1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫652＋1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫852＋1＋22＋1×25＝5.52.故选A.9．运动物体行驶的路程s 与由直线t ＝0，t ＝1和运动物体的速度v ＝－t 2＋2表示的曲线所围成的曲边梯形的面积的关系是( )A ．相等B ．不相等C ．大于D ．小于答案：A 解析：由直线t ＝0，t ＝1和运动物体的速度v ＝－t 2＋2表示的曲线所围成的曲边梯形的面积就是运动物体行驶的路程s .10．已知某物体运动的速度为v ＝t ，t ∈[0，10]，若把区间10等分，取每个小区间右端点处的函数值为近似小矩形的高，则物体运动的路程近似值为( ) A ．45 B ．55 C ．60 D ．65答案：B 解析：因为把区间[0，10]10等分后，每个小区间右端点处的函数值为n (n ＝1，2，…，10)，每个小区间的长度为 1.所以物体运动的路程近似值s ＝1×(1＋2＋…＋10)＝55.故选B.11．汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这一过程中汽车的行驶路程s 看作时间t 的函数，其图象可能是( )答案：A 解析：汽车刚启动时，行驶的路程较短，汽车加速行驶时，路程增加的较快，曲线的切线斜率较大，减速行驶时，路程增加的速度较慢，曲线的切线斜率较小．故选A.12．已知甲、乙两车由同一起点同时出发，并沿同一路线(假定为直线)行驶．甲车、乙车的速度曲线分别为v 甲和v 乙(如图所示)．那么对于图中给定的t 0和t 1，下列判断中一定正确的是( )A ．在t 1时刻，甲车在乙车前面B ．t 1时刻后，甲车在乙车后面C ．在t 0时刻，两车的位置相同D ．t 0时刻后，乙车在甲车前面答案：A 解析：由题图可知，曲线v 甲比v 乙在0～t 0、0～t 1与x 轴所围成图形面积大，则在t 0、t 1时刻，甲车均在乙车前面．13．汽车以10米/秒的速度行驶，在某处需要减速停车，设汽车以加速度－2米/秒2刹车，若把刹车时间5等分，则从开始刹车到停车，汽车刹车距离的过剩估计值(取每个小区间的左端点对应的函数值)为( )A ．80米B ．60米C ．40米D ．30米 答案：D 解析：由题意知，v (t )＝v 0＋at ＝10－2t .令v (t )＝0，得t ＝5，即t ＝5秒时，汽车将停车．将区间[0，5] 5等分，用每个小区间的左端点的函数值近似替代每个小区间上的平均速度，可得汽车刹车距离的过剩近似值为s ＝(10＋10－2×1＋10－2×2＋10－2×3＋10－2×4)×1＝30(米)．二、填空题1．在求直线x ＝0，x ＝2，y ＝0与曲线y ＝x 2所围成的曲边三角形的面积时，把区间[0，2]第7页共8页等分成n 个小区间，则第i 个小区间是________．答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤2（i －1）n ，2i n 解析：将区间[0，2]等分为n 个小区间后，每个小区间的长度为2n ，第i 个小区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2（i －1）n ，2i n . 2．若 x i =1,则 (2x i ＋1)=______.答案：7解析： (2x i ＋1)＝2(x 1＋x 2＋x 3＋x 4＋x 5)＋5＝2×1＋5＝7.3．直线x ＝0，x ＝2，y ＝0与曲线y ＝x 2＋1围成曲边梯形，将区间[0，2]五等分，按照区间左端点和右端点估计曲边梯形面积分别为________、________．答案：3.92 5.52解析：分别以小区间左、右端点的纵坐标为高，求所有小矩形面积之和．S 1＝(02＋1＋0.42＋1＋0.82＋1＋1.22＋1＋1.62＋1)×0.4＝3.92； S 2＝(0.42＋1＋0.82＋1＋1.22＋1＋1.62＋1＋22＋1)×0.4＝5.52.4．已知某物体运动的速度v ＝2t －1，t ∈[0，10]，若把区间10等分，取每个小区间右端点处的函数值为近似小矩形的高，则物体运动的路程的近似值为________．答案：100解析：由题意知，物体运动的路程即为这10个小矩形的面积和，即s ＝1＋3＋5＋…＋19＝1＋192×10＝100.5．一辆汽车在司机猛踩刹车后，5 s 内停下，在这一刹车过程中，下面各速度值被记录了下来：刹车踩下后的时间/s 0 1 2 3 4 5速度/(m/s) 21 14 9 5 2 0则刹车后车滑过的距离的不足近似值(每个ξi 均取小区间的右端点)与过剩近似值(每个ξi 取小区间的左端点)分别为________m ，________m.答案：30 51解析：不足近似值为14＋9＋5＋2＋0＝30；过剩近似值为21＋14＋9＋5＋2＝51.6．已知自由落体的物体速率为v ＝gt (g 为常数)，则物体从t ＝0到t ＝4所走的路程为________．答案：8g 解析：物体从t ＝0到t ＝4所走的路程就是“速率—时间”曲线与时间轴所围成图形的面积，因为t ＝0时，v ＝0；t ＝4时，v ＝4g ，所以所走路程s ＝12×4×4g ＝8g .三、解答题1．求出由直线x ＝0，x ＝3，y ＝0和曲线y ＝4－（x －1）2围成的平面图形的面积．解：圆(x －1)2＋y 2＝4在第一象限的面积如图所示：∠ACB ＝2π3，OB ＝3，第8页共8页面积S ＝S △BOC ＋S 扇形ACB ＝32＋12×2×2×2π3＝32＋4π3.2．求直线x ＝2，y ＝0和曲线y ＝x 2所围成的曲边梯形的面积．解：(1)分割：把区间[0，2]等分成n 个小区间，第i 个小区间的长度为2n，过各分点作x 轴的垂线，把曲边梯形分割成n 个小曲边梯形．(2)近似代替：当n 很大时，区间长度很小，小曲边梯形近似于小矩形，第i 个小矩形的高度用f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2i n 代替(i ＝1，2，…，n )．(3)求和：各矩形面积之和S n ＝∑i ＝1nf ⎝ ⎛⎭⎪⎫2i n Δx ＝∑i ＝1n⎝⎛⎭⎪⎫2i n 22n＝8n 3(12＋22＋…＋n 2)＝8n 3n （n ＋1）（2n ＋1）6＝83⎝⎛⎭⎪⎫1＋1n ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12n .(4)取极限：当n 趋向于＋∞时，S n 趋向于83，所以曲边梯形的面积S ＝83.。

1．5.1 曲边梯形的面积1．5.2 汽车行驶的路程明目标、知重点1．了解“以直代曲”、“以不变代变”的思想方法．2．会求曲边梯形的面积和汽车行驶的路程．1．曲边梯形的面积(1)曲边梯形：由直线x＝a，x＝b(a≠b)，y＝0和曲线y＝f(x)所围成的图形称为曲边梯形(如图①所示)．(2)求曲边梯形面积的方法把区间a，b]分成许多小区间，进而把曲边梯形拆分为一些小曲边梯形，对每个小曲边梯形“以直代曲”，即用矩形的面积近似代替小曲边梯形的面积，得到每个小曲边梯形面积的近似值，对这些近似值求和，就得到曲边梯形面积的近似值(如图②所示)．(3)求曲边梯形面积的步骤：①分割，②近似代替，③求和，④取极限．2．求变速直线运动的(位移)路程如果物体做变速直线运动，速度函数为v＝v(t)，那么也可以采用分割、近似代替、求和、取极限的方法，求出它在a≤t≤b内所作的位移s.情境导学]任何一个平面图形都有面积，其中矩形、正方形、三角形、平行四边形、梯形等平面多边形的面积，可以利用相关公式进行计算．如图所示的平面图形，是由直线x＝a，x＝b(a≠b)，y ＝0和曲线y＝f(x)所围成的，称之为曲边梯形，如何计算这个曲边梯形的面积呢？探究点一 求曲边梯形的面积 思考1 如何计算下列两图形的面积？答 ①直接利用梯形面积公式求解．②转化为三角形和梯形求解． 问题 如图，如何求由抛物线y ＝x 2与直线x ＝1，y ＝0所围成的平面图形的面积S?思考2 图中的图形与我们熟悉的“直边图形”有什么区别？答 已知图形是由直线x ＝1，y ＝0和曲线y ＝x 2所围成的，可称为曲边梯形，曲边梯形的一条边为曲线段，而“直边图形”的所有边都是直线段．思考3 能否将求曲边梯形的面积问题转化为求“直边图形”的面积问题？(归纳主要步骤) 答 (如图)可以通过把区间0,1]分成许多小区间，将曲边梯形拆分为一些小曲边梯形，对每个小曲边梯形“以直代曲”，即用矩形的面积近似代替小曲边梯形的面积，得到每个小曲边梯形面积的近似值，对这些近似值进行求和，就得到曲边梯形面积的近似值，随着拆分越来越细，近似程度会越来越好．S n ＝∑i ＝1n ΔS i ≈∑i ＝1n(i －1n )2·Δx＝∑i ＝1n(i －1n )2·1n(i ＝1,2，…，n ) ＝0·1n ＋(1n )2·1n ＋…＋(n －1n )2·1n＝1n312＋22＋…＋(n －1)2]＝13(1－1n )(1－12n)． ∴S ＝lim n →∞S n ＝lim n →∞ 13(1－1n )(1－12n )＝13.求曲边梯形的面积可以通过分割、近似代替、求和、取极限四个步骤完成． 思考4 在“近似代替”中，如果认为函数f (x )＝x 2在区间i －1n ，in](i ＝1,2，…，n )上的值近似地等于右端点i n 处的函数值f (i n )，用这种方法能求出S 的值吗？若能求出，这个值也是13吗？取任意ξi ∈i －1n ，in]处的函数值f (ξi )作为近似值，情况又怎样？其原理是什么？ 答 以上方法都能求出S ＝13.我们解决此类问题的原理是“近似代替”和“以直代曲”，在极限状态下，小曲边梯形可以看做小矩形．例1 求由直线x ＝0，x ＝1，y ＝0和曲线y ＝x 2所围成的图形的面积． 解 (1)分割将区间0,1]等分为n 个小区间：0，1n ]，1n ，2n ]，2n ，3n ]，…，i －1n ，i n ]，…，n －1n，1]，每个小区间的长度为Δx ＝i n －i －1n ＝1n.过各分点作x 轴的垂线，把曲边梯形分成n 个小曲边梯形，它们的面积分别记作ΔS 1，ΔS 2，…，ΔS n . (2)近似代替 在区间i －1n ，i n ](i ＝1,2，…，n )上，以i －1n 的函数值⎝ ⎛⎭⎪⎫i －1n 2作为高，小区间的长度Δx ＝1n 作为底边的小矩形的面积作为第i 个小曲边梯形的面积，即 ΔS i ≈(i －1n )2·1n. (3)求和曲边梯形的面积近似值为S ＝∑i ＝1n ΔS i ≈∑i ＝1n(i －1n )2·1n＝0·1n ＋(1n )2·1n ＋(2n )2·1n ＋…＋(n －1n )2·1n＝1n312＋22＋…＋(n －1)2]＝13(1－1n )(1－12n )． (4)取极限 曲边梯形的面积为S ＝lim n →∞ 13(1－1n )(1－12n )＝13. 反思与感悟 求曲边梯形的思想及步骤：(1)思想：以直代曲、逼近；(2)步骤：分割→近似代替→求和→取极限；(3)关键：近似代替；(4)结果：分割越细，面积越精确． 跟踪训练1 求由抛物线y ＝x 2与直线y ＝4所围成的曲边梯形的面积．解 ∵y ＝x 2为偶函数，图象关于y 轴对称，∴所求曲边梯形的面积应为抛物线y ＝x 2(x ≥0)与直线x ＝0，y ＝4所围图形面积S 阴影的2倍，下面求S 阴影．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 2(x ≥0)y ＝4，得交点为(2,4)，如图所示，先求由直线x ＝0，x ＝2，y ＝0和曲线y ＝x 2围成的曲边梯形的面积． (1)分割将区间0,2] n 等分， 则Δx ＝2n ， 取ξi ＝2(i －1)n.(2)近似代替求和S n ＝∑i ＝1n[2(i －1)n ]2·2n＝8n312＋22＋32＋…＋(n －1)2]＝83(1－1n )(1－12n )． (3)取极限S ＝lim n →∞S n ＝lim n →∞ 83(1－1n )(1－12n )＝83.∴所求平面图形的面积为S 阴影＝2×4－83＝163.∴2S 阴影＝323，即抛物线y ＝x 2与直线y ＝4所围成的图形面积为323.探究点二 求变速运动的路程思考 利用导数我们解决了“已知物体运动路程与时间的关系，求物体运动速度”的问题．反之，如果已知物体的速度与时间的关系，如何求其在一定时间内经过的路程呢？答 物体以速度v 做匀速直线运动时，经过时间t 所行驶的路程为s ＝vt .如果物体做变速直线运动，与求曲边梯形面积类似，我们采取“以不变代变”的方法，把时间t 分割成许多“小段”，在每一“小段”时间内物体的运动可以看做匀速直线运动，于是把求变速直线运动的路程问题，化归为求匀速直线运动的路程问题．例2 汽车以速度v 做匀速直线运动时，经过时间t 所行驶的路程s ＝vt .如果汽车做变速直线运动，在时刻t 的速度为v (t )＝－t 2＋2(单位：km/h)，那么它在0≤t ≤1这段时间行驶的路程是多少？ 解 分割将时间区间0,1]分成n 个小区间，0，1n ]，1n ，2n ]，2n ，3n ]，…，i －1n ，i n ]，…，n －1n，1]，则第i 个小区间为i －1n ，in](i ＝1,2，…，n )． (2)近似代替第i 个小矩形的高为v －(i －1n)]， ∴△s i ≈v －(i －1n )]·1n ＝－(i －1n )2＋2]·1n. (3)求和s n ＝1n ∑i ＝1n [－(i －1n)2＋2]＝－1n302＋12＋22＋…＋(n －1)2]＋2＝－(n －1)(2n －1)6n 2＋2＝－13(1－1n )(1－12n )＋2. (4)取极限s ＝lim n →∞s n ＝lim n →∞－13(1－1n )(1－12n )＋2]＝53. ∴这段时间行驶的路程为53km.反思与感悟 (1)把变速直线运动的路程问题化归为匀速直线运动的路程问题，通过分割、近似代替、求和、取极限四步解决．(2)从函数的角度来看，求变速运动的路程，就是求速度函数v (t )＝－t 2＋2在t ＝0，t ＝1，v (t )＝0形成的曲边梯形的面积，这就是数学方法在物理应用中的体现．跟踪训练2 有一辆汽车在笔直的公路上变速行驶，在时刻t 的速度为v (t )＝3t 2＋2(单位：km/h)，那么该汽车在0≤t ≤2(单位：h)这段时间内行驶的路程s (单位：km)是多少？ 解 (1)分割在时间区间0,2]上等间隔地插入n －1个分点，将它分成n 个小区间，记第i 个小区间为2(i －1)n ，2i n ](i ＝1,2，…，n )，其长度为Δt ＝2i n －2(i －1)n ＝2n.每个时间段上行驶的路程记为Δs i (i ＝1,2，…，n )，则显然有s ＝∑i ＝1nΔs i .(2)近似代替取ξi ＝2in(i ＝1,2，…，n )，用小矩形的面积Δs ′i 近似地代替Δs i ，于是Δs i ≈Δs ′i ＝v (2in)·Δt＝3(2i n )2＋2]·2n＝24i2n3＋4n(i ＝1,2，…，n )．(3)求和s n ＝∑i ＝1nΔs ′i ＝∑i ＝1n(24i 2n 3＋4n)＝24n3(12＋22＋…＋n 2)＋4＝24n 3·n (n ＋1)(2n ＋1)6＋4 ＝8(1＋1n )(1＋12n )＋4.从而得到s 的近似值s ≈v n . (4)取极限s ＝lim n →∞s n ＝lim n →∞8(1＋1n )(1＋12n)＋4] ＝8＋4＝12.所以这段时间内行驶的路程为12 km.1．把区间1,3] n 等分，所得n 个小区间的长度均为( ) A.1n B.2n C.3n D.12n 答案 B解析 区间1,3]的长度为2，故n 等分后，每个小区间的长度均为2n.2．函数f (x )＝x 2在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤i －1n ，i n 上( )A ．f (x )的值变化很小B ．f (x )的值变化很大C ．f (x )的值不变化D ．当n 很大时，f (x )的值变化很小 答案 D解析 当n 很大，即Δx 很小时，在区间i －1n ，i n]上，可以认为f (x )＝x 2的值变化很小，近似地等于一个常数．3．在“近似代替”中，函数f (x )在区间x i ，x i ＋1]上的近似值等于( ) A ．只能是左端点的函数值f (x i ) B ．只能是右端点的函数值f (x i ＋1)C ．可以是该区间内任一点的函数值f (ξi )(ξi ∈x i ，x i ＋1])D ．以上答案均正确 答案 C4．求由曲线y ＝12x 2与直线x ＝1，x ＝2，y ＝0所围成的平面图形面积时，把区间5等分，则面积的近似值(取每个小区间的左端点)是________． 答案 1.02解析 将区间5等分所得的小区间为1，65]，65，75]，75，85]，85，95]，95，2]，于是所求平面图形的面积近似等于 110(1＋3625＋4925＋6425＋8125)＝110×25525＝1.02. 呈重点、现规律]求曲边梯形面积和汽车行驶的路程的步骤：(1)分割：n 等分区间a ，b ]； (2)近似代替：取点ξi ∈x i －1，x i ]；(3)求和：∑i ＝1nf (ξi )·b －an； (4)取极限：s ＝lim n →∞∑i ＝1nf (ξi )·b －an.“近似代替”也可以用较大的矩形来代替曲边梯形，为了计算方便，可以取区间上的一些特殊点，如区间的端点(或中点).一、基础过关1．当n 很大时，函数f (x )＝x 2在区间i －1n ，in]上的值，可以近似代替为( ) A ．f (1n )B ．f (2n) C ．f (in) D ．f (0)答案 C2．在等分区间的情况下f (x )＝11＋x 2(x ∈0,2])及x 轴所围成的曲边梯形面积和式的极限形式正确的是( )A.lim n →∞∑ni ＝111＋(in)2·2n]B.lim n →∞∑ni ＝111＋(2i n)2·2n ] C.lim n →∞∑ni ＝1 (11＋i 2·1n) D.lim n →∞∑ni ＝111＋(i n)2·n ]答案 B解析 ∵Δx ＝2－0n ＝2n.∴和式为∑ni ＝111＋(2i n)2·2n ]． ∴应选B.3．把区间a ，b ] (a <b )n 等分之后，第i 个小区间是( ) A ．i －1n ，in]B ．i －1n (b －a )，in (b －a )] C ．a ＋i －1n ，a ＋in] D ．a ＋i －1n (b －a )，a ＋in(b －a )] 答案 D解析 区间a ，b ](a <b )长度为(b －a )，n 等分之后， 每个小区间长度均为b －an， 第i 个小区间是a ＋i －1n (b －a )，a ＋in(b －a )](i ＝1,2，…n )． 4．一物体沿直线运动，其速度v (t )＝t ，这个物体在t ＝0到t ＝1这段时间内所走的路程为( ) A.13 B.12 C ．1 D.32答案 B解析 曲线v (t )＝t 与直线t ＝0，t ＝1，横轴围成的三角形面积S ＝12即为这段时间内物体所走的路程．5．由直线x ＝1，y ＝0，x ＝0和曲线y ＝x 3所围成的曲边梯形，将区间4等分，则曲边梯形面积的的近似值(取每个区间的右端点)是( ) A.119 B.111256 C.1127 D.2564答案 D解析 将区间0,1]四等分，得到4个小区间：0，14]，14，12]，12，34]，34，1]，以每个小区间右端点的函数值为高，4个小矩形的面积和为曲边梯形面积的近似值S ＝(14)3×14＋(12)3×14＋(34)3×14＋13×14＝2564.6．若做变速直线运动的物体v (t )＝t 2，在0≤t ≤a 内经过的路程为9，则a 的值为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 答案 C解析 将区间0，a ]n 等分，记第i 个区间为a (i －1)n ，ai n ](i ＝1,2，…，n )，此区间长为an，用小矩形面积(ai n )2·a n 近似代替相应的小曲边梯形的面积，则∑ni ＝1 (ai n )2·a n ＝a 3n3·(12＋22＋…＋n 2)＝a 33(1＋1n )(1＋12n)近似地等于速度曲线v (t )＝t 2与直线t ＝0，t ＝a ，t 轴围成的曲边梯形的面积．依题意得lim n →∞a 33(1＋1n )(1＋12n )]＝9， ∴a 33＝9， 解得a ＝3.7．求直线x ＝0，x ＝2，y ＝0与曲线y ＝x 2所围成的曲边梯形的面积． 解 令f (x )＝x 2. (1)分割将区间0,2] n 等分，分点依次为x 0＝0，x 1＝2n ，x 2＝4n，…，x n －1＝2(n －1)n，x n ＝2.第i 个区间为2i －2n，2i n](i ＝1,2，…，n )，每个区间长度为Δx ＝2i n －2i －2n ＝2n.(2)近似代替、求和取ξi ＝2in(i ＝1,2，…，n )，S n ＝∑ni ＝1f (2in)·Δx ＝∑ni ＝1 (2i n )2·2n ＝8n3∑n i ＝1i 2 ＝8n3(12＋22＋…＋n 2)＝8n 3·n (n ＋1)(2n ＋1)6 ＝43(2＋3n ＋1n 2)． (3)取极限S ＝li m n →∞S n ＝li m n →∞ 43(2＋3n ＋1n 2)＝83，即所求曲边梯形的面积为83.二、能力提升8.∑ni ＝1i n ＝________. 答案 n ＋12解析 ∑n i ＝1 i n ＝1n(1＋2＋…＋n ) ＝1n ·n (n ＋1)2＝n ＋12. 9．在求由抛物线y ＝x 2＋6与直线x ＝1，x ＝2，y ＝0所围成的平面图形的面积时，把区间1,2]等分成n 个小区间，则第i 个区间为________．答案 n ＋i －1n ，n ＋i n] 10．已知某物体运动的速度为v ＝t ，t ∈0,10]，若把区间10等分，取每个小区间右端点处的函数值为近似小矩形的高，则物体运动的路程近似值为________．答案 55解析 ∵把区间0,10]10等分后，每个小区间右端点处的函数值为n (n ＝1,2，…，10)，每个小区间的长度为1.∴物体运动的路程近似值s ＝1×(1＋2＋…＋10)＝55.11．已知自由落体的运动速度v ＝gt ，求在时间区间0，t ]内物体下落的距离．解 (1)分割：将时间区间0，t ]分成n 等份．把时间0，t ]分成n 个小区间，则第i 个小区间为i －1n t ，it n ](i ＝1,2，…，n )， 每个小区间所表示的时间段Δt ＝it n －i －1n t ＝t n， 在各个小区间物体下落的距离记作Δs i (i ＝1,2，…，n )．(2)近似代替：在每个小区间上以匀速运动的路程近似代替变速运动的路程．在i －1n t ，it n]上任取一时刻ξi (i ＝1,2，…，n )， 可取ξi 使v (ξi )＝g ·i －1nt 近似代替第i 个小区间上的速度， 因此在每个小区间上自由落体Δt ＝t n 内所经过的距离可近似表示为Δs i ≈g ·i －1n t ·t n(i ＝1,2，…，n )． (3)求和：s n ＝∑n i ＝1Δs i ＝∑ni ＝1g ·i －1n t ·t n ＝gt 2n 20＋1＋2＋…＋(n －1)] ＝12gt 2(1－1n)． (4)取极限：s ＝lim n →∞ 12gt 2(1－1n )＝12gt 2. 即在时间区间0，t ]内物体下落的距离为12gt 2. 三、探究与拓展12．某物体做变速运动，设该物体在时间t 的速度为v (t )＝6t 2，求物体在t ＝1到t ＝2这段时间内运动的路程s .解 (1)分割：将区间1,2]等分割成n 个小区间1＋i －1n ，1＋i n](i ＝1,2，…，n )，区间长度为Δt ＝1n，每个时间段内行驶的路程记为Δs i (i ＝1,2，…，n )， 则s n ≈∑i ＝1nΔs i .(2)近似代替：ξi ＝1＋i －1n (i ＝1,2，…，n )， Δs i ≈v (1＋i －1n )·Δt ＝6·(n n ＋i －1)2·1n ＝6n(n ＋i －1)2(i ＝1,2，…，n )． (3)求和：s n ＝∑i ＝1n6n (n ＋i －1)2≈∑i ＝1n 6n (n ＋i )(n ＋i －1) ＝6n (1n －1n ＋1＋1n ＋1－1n ＋2＋…＋12n －1－12n) ＝6n (1n －12n)＝3. (4)取极限：s ＝lim n →∞s n ＝3.。

1.5.1 曲边梯形的面积 1.5.2 汽车行驶的路程
课时达标训练
1.把区间［1,3］n 等分，所得n 个小区间，每个小区间的长度为( )
【解析】选B.区间长度为2，n 等分后每个小区间的长度为
2n . 2.求由曲线y=12
x 2与直线x=1,x=2,y=0所围成的平面图形面积时，把区间5等分，则面积的近似值(取每个小区间的左端点)是 .
【解析】将区间5等分所得的小区间为
于是所求平面图形的面积近似值等于
答案：1.02
3.已知某物体运动的速度为v=t ，t ∈［0,10］，若把区间10等分，取每个小区间右端点处的函数值为近似小矩形的高，则物体运动的路程近似值为 .
【解析】把区间［0,10］进行10等分所得区间分别为［0,1］,［1,2］,［2,3］，…，［9,10］，则物体运动的路程近似值为1+2+3+4+…+10=55.
答案：55
4.求抛物线f(x)=1+x 2
与直线x=0，x=1，y =0所围成的平面图形的面积S. 【解析】①分割：把区间［0,1］等分成n 个小区间(i=1,2，…，n)，其长度Δx=1n ，把曲边梯形分成n 个小曲边梯形，其面积分别记为ΔS i (i=1,2，…，n). ②近似代替：用小矩形面积近似代替小曲边梯形的面积.。