第八中学17—18学年下学期高二期中考试数学(理)试题(无答案)

2017-2018学年高二（下）期中数学试卷（理科）一、填空题：每题5份，共16题，总分80分，请把答案填写在答题卡相应的位置上．1．（5分）复数4+3i的虚部为．2．（5分）排列=．3．（5分）设A={1，2，3}，则集合A的子集有个．4．（5分）已知复数Z=i（1﹣i），则复数Z的共轭复数为．5．（5分）复数1+3i的模为．6．（5分）设平面α，β的法向量分别为=（1，2，﹣2），=（﹣3，﹣6，6），则α，β的位置关系为．7．（5分）若Z∈C，且（3+Z）i=1（i为虚数单位），则复数Z=．8．（5分）若向量=（4，2，4），=（6，3，﹣2），则（2﹣3）•（+2）=．9．（5分）已知向量=（2，﹣1，3），=（﹣4，2，x），使⊥成立的x值为．10．（5分）若下列两个方程x2+（a﹣1）x+a2=0，x2+2ax﹣2a=0中至少有一个方程有实数根，则实数a的取值范围是．11．（5分）二面角的棱上有A、B两点，直线AC、BD分别在这个二面角的量两个半平面内，且都垂直于AB．已知AB=4，AC=6，BD=8，CD=2，求该二面角的大小．12．（5分）计算+++…+=．13．（5分）已知复数Z满足|Z|=，Z2的虚部是2．设Z，Z2，Z﹣Z2在复平面上的对应点分别为A，B，C，则△ABC的面积为．14．（5分）已知空间四边形ABCD的每条边和对角线的长都等于a，点E，F分别是BC，AD的中点，则•的值为．15．（5分）已知双曲正弦函数shx=和双曲余弦函数chx=与我们学过的正弦函数和余弦函数有许多类似的性质，请类比正弦函数和余弦函数的和角公式，写出双曲正弦或双曲余弦函数的一个类似的正确结论．16．（5分）观察下列等式：①cos2α=2cos2α﹣1；②cos4α=8cos4α﹣8cos2α+1；③cos6α=32cos6α﹣48cos4α+18cos2α﹣1；④cos8α=128cos8α﹣256cos6α+160cos4α﹣32cos2α+1；⑤cos10α=mcos10α﹣1280cos8α+1120cos6α+ncos4α+pcos2α﹣1；可以推测，m﹣n+p=．二、解答题：共8题，共计120分，（17、18题，每题14分；19、20、21、22题，每题15分；23、24题，每题16分）．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（14分）（1）（﹣2﹣4i）﹣（7﹣5i）+（1+7i）（2）（1+i）（2+i）++（1﹣i）2．18．（14分）实数m为何值时，复数Z=（m2+5m+6）+（m2﹣2m﹣15）i对应的点在：（1）实轴上；（2）在第一象限；（3）直线x+y+4=0上．19．（15分）（1）7位同学站成一排，甲、乙两同学必须相邻的排法共有多少种？（2）7位同学站成一排，甲、乙和丙三个同学都不能相邻的排法共有多少种？（3）7位同学站成一排，甲不站排头，乙不站排尾，不同站法种数有多少种？20．（15分）如图所示，已知长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=BC=2，AA1=4，E 是棱CC1上的点，且BE⊥B1C．（1）求CE的长；（2）求证：A1C⊥平面BED；（3）求A1B与平面BDE夹角的正弦值．21．（15分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=BC=2AA1，∠ABC=90°，D 是BC的中点．（Ⅰ）求证：A1B∥平面ADC1；（Ⅱ）求二面角C1﹣AD﹣C的余弦值；（Ⅲ）试问线段A1B1上是否存在点E，使AE与DC1成60°角？若存在，确定E 点位置，若不存在，说明理由．22．（15分）（1）如果a，b都是正数，且a≠b，求证：+＞+（2）设x＞﹣1，m∈N*，用数学归纳法证明：（1+x）m≥1+mx．23．（16分）已知数列{a n}的前n项和为S n，且满足a n+S n=2．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）求证数列{a n}中不存在三项按原来顺序成等差数列．24．（16分）设函数f（x）=x2e x﹣1﹣x3﹣x2（x∈R）．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）当x∈（1，+∞）时，用数学归纳法证明：∀n∈N*，e x﹣1＞（其中n!=1×2×…×n）．参考答案与试题解析一、填空题：每题5份，共16题，总分80分，请把答案填写在答题卡相应的位置上．1．（5分）复数4+3i的虚部为3．【分析】根据复数的概念进行求解即可．【解答】解：复数4+3i的虚部是3，故答案为：3【点评】本题主要考查复数的有关概念，比较基础．2．（5分）排列=6．【分析】根据排列数的定义与公式，计算即可．【解答】解：=3×2=6．故答案为：6．【点评】本题考查了排列数的定义与公式的应用问题，是基础题目．3．（5分）设A={1，2，3}，则集合A的子集有8个．【分析】根据集合子集的定义和公式即可得到结论．【解答】解：集合含有3个元素，则子集的个数为23=8个，故答案为：8【点评】本题主要考查集合子集个数的求解，含有n个元素的子集个数为2n个，真子集的个数为2n﹣1个．4．（5分）已知复数Z=i（1﹣i），则复数Z的共轭复数为1﹣i．【分析】利用复数的运算法则、共轭复数的定义即可得出．【解答】解：∵复数Z=i（1﹣i）=i+1，则复数Z的共轭复数=1﹣i．故答案为：1﹣i．【点评】本题考查了复数的运算法则，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．5．（5分）复数1+3i的模为．【分析】利用复数模的计算公式即可得出．【解答】解：复数1+3i的模==，故答案为：．【点评】本题考查了复数模的计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．6．（5分）设平面α，β的法向量分别为=（1，2，﹣2），=（﹣3，﹣6，6），则α，β的位置关系为α∥β或重合．【分析】利用平面与法向量的关系、向量共线定理即可判断出结论．【解答】解：∵平面α，β的法向量分别为=（1，2，﹣2），=（﹣3，﹣6，6），满足：=﹣3，∴α∥β，或重合故答案为：α∥β或重合．【点评】本题考查了平面与法向量的关系、向量共线定理，考查了推理能力与空间想象能力，属于中档题．7．（5分）若Z∈C，且（3+Z）i=1（i为虚数单位），则复数Z=﹣3﹣i．【分析】利用复数的运算法则即可得出．【解答】解：∵（3+Z）i=1，∴（3+Z）i（﹣i）=﹣i，∴3+Z=﹣i，可得Z=﹣3﹣i．故答案为：﹣3﹣i．【点评】本题考查了复数的运算法则，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．8．（5分）若向量=（4，2，4），=（6，3，﹣2），则（2﹣3）•（+2）=2．【分析】由已知条件利用向量坐标运算公式能求出结果．【解答】解：∵向量=（4，2，4），=（6，3，﹣2），∴（2﹣3）•（+2）=﹣3+4﹣6=+﹣6=2+24+6﹣8﹣6=2×6+32﹣6×7=2．故答案为：2．【点评】本题考查向量数量积的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意向量坐标运算公式的合理运用．9．（5分）已知向量=（2，﹣1，3），=（﹣4，2，x），使⊥成立的x值为．【分析】利用向量垂直的性质直接求解．【解答】解：∵向量=（2，﹣1，3），=（﹣4，2，x），⊥，∴=﹣8﹣2+3x=0，解得x=．故答案为：．【点评】本题考查满足向量垂直的实数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意向量垂直的性质的合理运用．10．（5分）若下列两个方程x2+（a﹣1）x+a2=0，x2+2ax﹣2a=0中至少有一个方程有实数根，则实数a的取值范围是（﹣∞，﹣2]∪[﹣1，+∞）．【分析】先求出当两个方程x2+（a﹣1）x+a2=0和x2+2ax﹣2a=0都没有实数根时a的范围，再取补集，即得所求．【解答】解：当两个方程x2+（a﹣1）x+a2=0和x2+2ax﹣2a=0都没有实数根时，（a﹣1）2﹣4a2＜0①，且4a2﹣4（﹣2a）＜0 ②．解①求得a＜﹣1，或a＞，解②求得﹣2＜a＜0．可得此时实数a的取值范围为（﹣2，﹣1）．故当a∈（﹣∞，﹣2]∪[﹣1，+∞）时，两个方程x2+（a﹣1）x+a2=0，x2+2ax﹣2a=0中至少有一个方程有实数根，故答案为：（﹣∞，﹣2]∪[﹣1，+∞）．【点评】本题主要考查一元二次方程根的分布与系数的关系，体现了转化的数学思想，属于基础题．11．（5分）二面角的棱上有A、B两点，直线AC、BD分别在这个二面角的量两个半平面内，且都垂直于AB．已知AB=4，AC=6，BD=8，CD=2，求该二面角的大小．【分析】将向量转化成=，然后等式两边同时平方表示出向量的模，再根据向量的数量积求出向量，的夹角，即可求出二面角的大小．【解答】解：由条件，知，=．∴||2=62+42+82+2×6×8cos＜，＞=（2）2，∴cos＜，＞=﹣，即＜，＞=120°，∴二面角的大小为60°．【点评】本题主要考查了平面与平面之间的位置关系，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于基础题．12．（5分）计算+++…+=1﹣．【分析】由于=（n≥2），利用“裂项求和”方法即可得出．【解答】解：∵=（n≥2），∴+++…+=++…+=1﹣，故答案为：1﹣．【点评】本题考查了阶乘的性质、“裂项求和”方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．13．（5分）已知复数Z满足|Z|=，Z2的虚部是2．设Z，Z2，Z﹣Z2在复平面上的对应点分别为A，B，C，则△ABC的面积为4或1．【分析】写出所给的三个复数的表示式，根据代数形式的表示式写出复数对应的点的坐标，即得到三角形的三个顶点的坐标，求出三角形的面积．【解答】解：设Z=x+yi（x，y∈R），由题意得Z2=（x﹣y）2=x2﹣y2+2xyi∴故（x﹣y）2=0，∴x=y将其代入②得2x2=2，∴x=±1故或故Z=1+i或Z=﹣1﹣i；（2）当Z=1+i时，Z2=2i，Z﹣Z2=1﹣i所以A（1，1），B（0，2），C（1，﹣1）∴当Z=﹣1﹣i时，Z2=2i，Z﹣Z2=﹣1﹣3i，A（﹣1，﹣1），B（0，2），C（﹣1，3），S△ABC=×4×2=4，即△ABC的面积为4或1，故答案为：4或1，【点评】本题考查三角形面积的计算，根据条件先求出复数，结合复数的几何意义求出对应点的坐标是解决本题的关键．14．（5分）已知空间四边形ABCD的每条边和对角线的长都等于a，点E，F分别是BC，AD的中点，则•的值为a2．【分析】利用向量的三角形法则、数量积运算即可得出．【解答】解：如图所示，∵，．∴•==+==．故答案为：．【点评】本题考查了向量的三角形法则、数量积运算，属于基础题．15．（5分）已知双曲正弦函数shx=和双曲余弦函数chx=与我们学过的正弦函数和余弦函数有许多类似的性质，请类比正弦函数和余弦函数的和角公式，写出双曲正弦或双曲余弦函数的一个类似的正确结论ch（x﹣y）=chx•chy﹣shx•shy．【分析】利用双曲正弦函数和双曲余弦函数，验证ch（x﹣y）=chx•chy﹣shx•shy，即可得到结论．【解答】解：∵，=，=，∴ch（x﹣y）=chx•chy﹣shx•shy．故答案为：ch（x﹣y）=chx•chy﹣shx•shy．（填入ch（x+y）=chx•chy+shx•shy，sh（x﹣y）=shx•chy﹣chx•shy，sh（x+y）=shx•chy+chx•shy也可）【点评】本题考查类比推理，考查学生的探究能力，属于基础题型．16．（5分）观察下列等式：①cos2α=2cos2α﹣1；②cos4α=8cos4α﹣8cos2α+1；③cos6α=32cos6α﹣48cos4α+18cos2α﹣1；④cos8α=128cos8α﹣256cos6α+160cos4α﹣32cos2α+1；⑤cos10α=mcos10α﹣1280cos8α+1120cos6α+ncos4α+pcos2α﹣1；可以推测，m﹣n+p=962．【分析】本小题考查三角变换、类比推理等基础知识，考查同学们的推理能力等．观察等式左边的α的系数，等式右边m，n，p的变化趋势，我们不难归纳出三个数的变化规律，进而得到结论．【解答】解：因为2=21，8=23，32=25，…，128=27所以m=29=512；每一行倒数第二项正负交替出现，1×2，﹣2×4，3×6，﹣4×8，5×10，可推算出p=50，然后根据每行的系数和都为1，可得n=﹣400．所以m﹣n+p=962．故答案为：962．【点评】归纳推理的一般步骤是：（1）通过观察个别情况发现某些相同性质；（2）从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题（猜想）．二、解答题：共8题，共计120分，（17、18题，每题14分；19、20、21、22题，每题15分；23、24题，每题16分）．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（14分）（1）（﹣2﹣4i）﹣（7﹣5i）+（1+7i）（2）（1+i）（2+i）++（1﹣i）2．【分析】根据复数的代数运算法则，进行化简运算即可．【解答】（1）解：（﹣2﹣4i）﹣（7﹣5i）+（1+7i）=（﹣2﹣7+1）+（﹣4+5+7）i=﹣8+8i；（2）解：（1+i）（2+i）++（1﹣i）2=（2+3i+i2）++（1﹣2i+i2）=（1+3i）++（﹣2i）=（1+i）+（2+3i）=3+4i．【点评】本题考查了复数的代数运算与应用问题，是基础题目．18．（14分）实数m为何值时，复数Z=（m2+5m+6）+（m2﹣2m﹣15）i对应的点在：（1）实轴上；（2）在第一象限；（3）直线x+y+4=0上．【分析】求出复数对应点的坐标，根据复数的几何意义建立方程或不等式关系进行求解即可．【解答】解：（1）若z对应的点在实轴上，则m2﹣2m﹣15=0，（2分）解得m=﹣3或m=5．（5分）（2）若点在第一象限，则m2+5m+6＞0且m2﹣2m﹣15＞0（2分）m＞5或m＜﹣3（5分）（3）复数z对应的点为（m2+5m+6，m2﹣2m﹣15），∵z对应的点在直线x+y+4=0上，∴（m2+5m+6）+（m2﹣2m﹣15）+4=0，（2分）得（5分）【点评】本题主要考查复数的几何意义的应用，根据复数和点的对应关系是解决本题的关键．19．（15分）（1）7位同学站成一排，甲、乙两同学必须相邻的排法共有多少种？（2）7位同学站成一排，甲、乙和丙三个同学都不能相邻的排法共有多少种？（3）7位同学站成一排，甲不站排头，乙不站排尾，不同站法种数有多少种？【分析】对这几个事件不同排法和数的计算，根据分步原理与分类原理直接计算即可．【解答】解（1）先将甲、乙两位同学“捆绑”在一起看成一个元素与其余的5个元素（同学）一起进行全排列有A66种方法；再将甲、乙两个同学“松绑”进行排列有A22种方法．所以这样的排法一共有A66A22=1440种．（2）将甲、乙和丙三个同学插入到除甲、乙和丙之外4人全排所形成的5个空中的3个，故有A44A53=1440种．（3）甲站排头，或乙站排尾有2A66﹣A55种不同的排法，∴甲不站排头，且乙不站排尾有：种不同的排法．【点评】本题考查排列、组合及简单计数问题，本题在计数时根据具体情况选用了捆绑法等方法，做题时要注意体会这些方法的原理及其实际意义，属于中档题．20．（15分）如图所示，已知长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=BC=2，AA1=4，E 是棱CC1上的点，且BE⊥B1C．（1）求CE的长；（2）求证：A1C⊥平面BED；（3）求A1B与平面BDE夹角的正弦值．【分析】（1）建立空间直角坐标系，求出、，利用•=0，即可求得结论；（2）证明⊥且⊥，可得A1C⊥DB，A1C⊥BE，从而可得A1C⊥平面BED；（3）由（2）知=（﹣2，2，﹣4）是平面BDE的一个法向量，利用向量的夹角公式，即可求A1B与平面BDE夹角的正弦值．【解答】（1）解：如图所示，以D为原点，DA、DC、DD1所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系D﹣xyz．∴D（0，0，0），A（2，0，0），B（2，2，0），C（0，2，0），A1（2，0，4），B1（2，2，4），C1（0，2，4），D1（0，0，4）．设E点坐标为（0，2，t），则=（﹣2，0，t），=（﹣2，0，﹣4）．∵BE⊥B1C，∴•=4+0﹣4t=0．∴t=1，故CE=1．（2）证明：由（1）得，E（0，2，1），=（﹣2，0，1），又=（﹣2，2，﹣4），=（2，2，0）∴•=4+0﹣4=0，且•=﹣4+4+0=0．∴⊥且⊥，即A1C⊥DB，A1C⊥BE，又∵DB∩BE=B，∴A1C⊥平面BDE，即A1C⊥平面BED．（3）解：由（2）知=（﹣2，2，﹣4）是平面BDE的一个法向量．又=（0，2，﹣4），∴cos＜，＞==．∴A1B与平面BDE夹角的正弦值为．【点评】本题考查线线垂直，线面垂直，考查线面角，考查空间向量的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．21．（15分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=BC=2AA1，∠ABC=90°，D 是BC的中点．（Ⅰ）求证：A1B∥平面ADC1；（Ⅱ）求二面角C1﹣AD﹣C的余弦值；（Ⅲ）试问线段A1B1上是否存在点E，使AE与DC1成60°角？若存在，确定E 点位置，若不存在，说明理由．【分析】（Ⅰ）证明线面平行，可以利用线面平行的判定定理，只要证明A1B∥OD即可；（Ⅱ）可判断BA，BC，BB1两两垂直，建立空间直角坐标系，用坐标表示点与向量，求得平面ADC1的法向量、平面ADC的法向量，利用向量数量积可求二面角C1﹣AD﹣C的余弦值；（Ⅲ）假设存在满足条件的点E，根据AE与DC1成60°角，利用向量的数量积，可得结论．【解答】（Ⅰ）证明：连接A1C，交AC1于点O，连接OD．由ABC﹣A1B1C1是直三棱柱，得四边形ACC1A1为矩形，O为A1C的中点．又D为BC中点，所以OD为△A1BC中位线，所以A1B∥OD，因为OD⊂平面ADC1，A1B⊄平面ADC1，所以A1B∥平面ADC1．…（4分）（Ⅱ）解：由ABC﹣A1B1C1是直三棱柱，且∠ABC=90°，故BA，BC，BB1两两垂直．如图建立空间直角坐标系B﹣xyz．设BA=2，则B（0，0，0），C（2，0，0），A （0，2，0），C1（2，0，1），D（1，0，0）．所以，设平面ADC1的法向量为=（x，y，z），则有所以取y=1，得=（2，1，﹣2）．平面ADC的法向量为=（0，0，1）．由二面角C1﹣AD﹣C是锐角，得．…（8分）所以二面角C1﹣AD﹣C的余弦值为．（Ⅲ）解：假设存在满足条件的点E．因为E在线段A1B1上，A1（0，2，1），B1（0，0，1），故可设E（0，λ，1），其中0≤λ≤2．所以，．因为AE与DC1成60°角，所以．即，解得λ=1，舍去λ=3．所以当点E为线段A1B1中点时，AE与DC1成60°角．…（12分）【点评】本题考查线面平行，考查面面角，考查存在性问题的探究，解题的关键是掌握线面平行的判定定理，正确运用向量的方法解决面面角、线线角．22．（15分）（1）如果a，b都是正数，且a≠b，求证：+＞+（2）设x＞﹣1，m∈N*，用数学归纳法证明：（1+x）m≥1+mx．【分析】（1）方法一，用综合法，即利用作差法；方法二，分析法，两边平方法；（2）要证明当x＞﹣1时，（1+x）m≥1+mx，我们要先证明m=1时，（1+x）m≥1+mx成立，再假设m=k时，（1+x）m≥1+mx成立，进而证明出m=k+1时，（1+x）m≥1+mx也成立，即可得到对于任意正整数m：当x＞﹣1时，（1+x）m≥1+mx．【解答】（1）证明方法一用综合法+﹣﹣===＞0，所以+＞+．方法二用分析法要证+＞+，只要证++2＞a+b+2，即要证a3+b3＞a2b+ab2，只需证（a+b）（a2﹣ab+b2）＞ab（a+b），即需证a2﹣ab+b2＞ab，只需证（a﹣b）2＞0，因为a≠b，所以（a﹣b）2＞0恒成立，所以+＞+成立．（2）证明①当m=1时，原不等式成立；当m=2时，左边=1+2x+x2，右边=1+2x，因为x2≥0，所以左边≥右边，原不等式成立；②假设当m=k（k≥1，k∈N*）时，不等式成立，即（1+x）k≥1+kx，则当m=k+1时，因为x＞﹣1，所以1+x＞0．于是在不等式（1+x）k≥1+kx两边同时乘以1+x得（1+x）k•（1+x）≥（1+kx）（1+x）=1+（k+1）x+kx2≥1+（k+1）x．所以（1+x）k+1≥1+（k+1）x，即当m=k+1时，不等式也成立．综合①②知，对一切正整数m，不等式都成立．【点评】本题考查了综合法和分析法以及数学归纳法证明不等式成立的问题，掌握这些方法的步骤是关键，属于中档题．23．（16分）已知数列{a n}的前n项和为S n，且满足a n+S n=2．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）求证数列{a n}中不存在三项按原来顺序成等差数列．【分析】（1）由条件，再写一式，两式相减，可得{a n}是首项为1，公比为的等比数列，从而可求数列{a n}的通项公式；（2）利用反证法，假设存在三项按原来顺序成等差数列，从而引出矛盾，即可得到结论．【解答】（1）解：当n=1时，a1+S1=2a1=2，则a1=1．又a n+S n=2，所以a n+1+S n+1=2，两式相减得a n+1=a n，所以{a n}是首项为1，公比为的等比数列，所以a n=．（2）证明：假设存在三项按原来顺序成等差数列，记为a p+1，a q+1，a r+1（p＜q＜r，且p，q，r∈N*），则2•=+，所以2•2r﹣q=2r﹣p+1．①又因为p＜q＜r，所以r﹣q，r﹣p∈N*．所以①式左边是偶数，右边是奇数，等式不成立，所以假设不成立，原命题得证．【点评】本题考查数列递推式，考查数列的通项，考查反证法的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．24．（16分）设函数f（x）=x2e x﹣1﹣x3﹣x2（x∈R）．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）当x∈（1，+∞）时，用数学归纳法证明：∀n∈N*，e x﹣1＞（其中n!=1×2×…×n）．【分析】（1）利用导数求函数的单调区间，关键点有二，一是求对导函数，二是解不等式f′（x）＞0，得到x的范围，再兼顾函数的定义域，列出当x变化时，f′（x），f（x）的变化情况表，将能很轻松的解答问题；（2）本问根据要证明的不等式：∀n∈N*，e x﹣1＞．构造出函数设g n（x）=e x ﹣1﹣，在利用数学归纳法证明出当n∈N*时有假设n=k时不等式成立，即g k （x）=e x﹣1﹣＞0，这还要借助于导数来解答．【解答】（1）解：f′（x）=2xe x﹣1+x2e x﹣1﹣x2﹣2x=x（x+2）（e x﹣1﹣1），令f′（x）=0，可得x1=﹣2，x2=0，x3=1．当x变化时，f′（x），f（x）的变化情况如下表：所以函数y=f（x）的增区间为（﹣2，0）和（1，+∞），减区间为（﹣∞，﹣2）和（0，1）；（2）证明：设g n（x）=e x﹣1﹣，当n=1时，只需证明g1（x）=e x﹣1﹣x＞0，当x∈（1，+∞）时，g1′（x）=e x﹣1﹣1＞0，所以g1（x）=e x﹣1﹣x在（1，+∞）上是增函数，所以g1（x）＞g1（1）=e0﹣1=0，即e x﹣1＞x；当x∈（1，+∞）时，假设n=k时不等式成立，即g k（x）=e x﹣1﹣＞0，当n=k+1时，因为g′k+1（x）=e x﹣1﹣=e x﹣1﹣＞0，所以g k+1（x）在（1，+∞）上也是增函数．所以g k+1（x）＞g k+1（1）=e0﹣＞0，即当n=k+1时，不等式成立．由归纳原理，知当x∈（1，+∞）时，∀n∈N*，e x﹣1＞．【点评】本题是一道好题，利用导数研究函数的性态是高考常考，重点考查的内容，本题还明确要求利用数学归纳法证明不等式，与本例中具体函数的性质结合紧密，这也是高考考题的新颖设计，在解答本题时要仔细领会其中的深意，将对自己的解题能力水平有很大帮助和提高．。

北京市第八中学2017-2018学年高二下学期期末考试注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

第I 卷（选择题）一、选择题1．已知命题,p q ,若命题p ⌝与命题p q ∨均为真命题,下列结论正确的是（ ）A. ,p q 均为真命题B. ,p q 均为假命题C. p 为真命题, q 为假命题D. p 为假命题, q 为真命题 2．已知点()3,1,4A -,则点A 关于x 轴对称的点的坐标为（ ）A. ()3,1,4---B. ()3,1,4--C. ()3,1,4D. ()3,1,4-- 3．在空间四边形OABC 中， OA AB CB +-等于（ ）．A. OAB. ABC. OCD. AC4．方程的曲线22157x y k k+=--为椭圆,实数k 的取值范围是（ ） A. ()5,7 B. ()5,6 C. ()6,7 D. ()()5,66,7⋃ 5．设,x y R ∈,则“40x y +-<”是“0x <且0y <”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 既不充分也不必要条件D. 充分必要条件 6．抛物线()240y ax a =<的焦点坐标为（ ）A. (),0aB. (),0a -C. ()0,aD. ()0,a -7．在慈利县工业园区有相距4km 的M ，N 两点，要围垦出以MN 为一条对角线的平行四边形区域建制造厂。

按照规划，围墙总长为12km ．在设计图纸上，建立平面直角坐标系如图（O 为MN 的中点)，那么平行四边形另外两个顶点P ，Q 的坐标满足的方程是（ ）A ．22195x y -= B ．2213632x y -= C ．22195x y += D ．2213632x y += 8．四棱柱1111ABCD A B C D -的底面ABCD 为矩形，AB ＝1，AD ＝2，13AA =，1160A AB A AD ∠=∠=︒，则1AC 的长为( )A ． 42B ． 23C ．23 D ．329．在正方体1111ABCD A B C D -,中,P 是侧面11BB C C 内一动点,若P 到直线BC 与直线11C D 的距离相等,则动点P 的轨迹所在的曲线是（ ）A. 直线B. 圆C. 双曲线D. 抛物线10．若椭圆221112211:1(0)x y C a b a b +=>>和椭圆222222222:1(0)x y C a b a b +=>>的焦点相同且12a a >.给出如下四个结论:①椭圆1C 和椭圆2C 一定没有公共点;②1122a b a b >;③22221212a a b b -=-;④1212a a b b -<-.其中,所有正确结论的序号是（ ）A. ②③④B. ①③④C. ①②④D. ①②③第II 卷（非选择题）二、填空题11．命题“x R ∀∈， 20x >”的否定是__________．12．已知向量()1,2,3a =-和(),,9b x y =共线,则x y +=__________.13．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>与抛物线28y x =有一个公共的焦点F ，且两曲线的一个交点为P ，若5PF =，则双曲线的渐近线方程为 . 14．已知矩形ABCD , 1AB =, BC x =,将ABD 沿矩形对角线BD 所在的直线进行翻折,在翻折过程中,则__________.①()0,2x ∀∈,都存在某个位置,使得AB CD ⊥ ②()0,2x ∀∈,都不存在某个位置,使得AB CD ⊥ ③1x ∀>,都存在某个位置,使得AB CD ⊥ ④1x ∀>,都不存在某个位置,使得AB CD ⊥15．如图，已知10AB =，图中的一系列圆是圆心分别为A 、B 的两组同心圆，每组同心圆的半径分别是1，2，3，…，n ，….利用这两组同心圆可以画出以A 、B 为焦点的双曲线. 若其中经过点M 、N 、P 的双曲线的离心率分别是,,M N P e e e .则它们的大小关系是 （用“<”连接）.16．已知正三棱柱'''ABC A B C -的正（主）视图和侧（左）视图如图所示,设ABC ,'''A B C 的中心分别为O , 'O ,现将此三棱柱绕直线'OO 旋转,射线OA 旋转所成角为x 弧度（x 可以取到任意一个实数）,对应的俯视图的面积为()S x ,则函数()S x 的最大值为__________,最小正周期为__________.三、解答题17．在底面是正方形的四棱锥P ABCD -中, 1PA AB ==, 2PB PD ==,点E 在PD 上,且:2:1PE ED =.（Ⅰ）求证: PA ⊥平面ABCD ; （Ⅱ）求二面角D AC E --的余弦值.18．设1F ,2F 分别为椭圆22:12x W y +=的左右焦点,斜率为k 的直线l 经过右焦点2F ,且与椭圆W 交于A , B 两点.（Ⅰ）求1ABF 的周长;（Ⅱ）如果以AB 为直径的圆过1F ,求直线l 的斜率k .19．在如图所示的几何体中，面CDEF 为正方形，面ABCD 为等腰梯形， AB CD ，2AB BC =， 60ABC ∠=︒， AC FB ⊥．（I ）求证： AC ⊥平面FBC ．（II ）求BC 与平面EAC 所成角的正弦值．（III ）线段ED 上是否存在点Q ，使平面EAC ⊥平面QBC ？证明你的结论．20．如图,椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点为F ,过点F 的直线交椭圆于A , B 两点．当直线AB 经过椭圆的一个顶点时,其倾斜角恰为60︒.（Ⅰ）求该椭圆的离心率;（Ⅱ）设线段AB 的中点为G , AB 的中垂线与x 轴和y 轴分别交于,D E 两点．记GFD 的面积为1S , OED （O 为原点）的面积为2S ,求12S S 的取值范围参考答案1．D【解析】,若命题p ⌝为真，则p 为假，又命题p q ∨均为真命题,所以q 为真. 故选D. 2．B【解析】点()3,1,4A -, 点A 关于x 轴对称的点的坐标为()3,1,4--.故选B. 3．C【解析】OA AB CB +-，OB BC =+， OC =．故选C ． 4．D 联系电话：4000-916-716【解析】方程的曲线22157x yk k+=--为椭圆,则有： 50{70 75k k k k ->->-≠-， 解得()()5,66,7k ∈⋃.故选D. 5．B【解析】若“40x y +-<”成立，例如11x y ==，，此时不满足“0x <且0y <”，充分性不成立；若“0x <且0y <”成立，显然“40x y +-<”成立，必要性成立， 所以“40x y +-<”是“0x <且0y <”的必要不充分条件. 故选B. 6．A【解析】抛物线()240y ax a =<，开口向右且焦点在x 轴上，坐标为(),0a .故选A. 7．C【解析】分析：由题意可得 PM+PN=6＞MN=4，故点P 的轨迹是以M ，N 为焦点的椭圆，且a=3，c=2，∴b=5，求得点P 的轨迹方程，从而得到结论．解答：解：由题意可得 PM+PN=6＞MN=4，故点P 的轨迹是以M ，N 为焦点的椭圆，且a=3，c=2，∴b=5，故椭圆的方程为 22195x y +=． 同理，点Q 的轨迹也是此椭圆， 故选 C ． 8．C【解析】分析：记A 1在面ABCD 内的射影为O ，O 在∠BAD 的平分线上，说明∠BAD 的平分线即菱形ABCD 的对角线AC ，求AC 1的长．解答：解：记A 1在面ABCD 内的射影为O ， 联系电话：4000-916-716∵∠A 1AB=∠A 1AD ， ∴O 在∠BAD 的平分线上，由O 向AB ，AD 两边作垂线，垂足分别为E ，F ，连接A 1E ，A 1F ，A 1E ，A 1F 分别垂直AB ，AD 于E ，F∵AA 1=3，∠A 1AB=∠A 1AD=60°， ∴AE=AF=32又四棱柱ABCD-A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 为矩形∴∠OAF=∠OAE=45°，且OE=OF=32，可得OA=3 22在直角三角形A 1OA 中，由勾股定理得A 1O=322过C 1作C 1M 垂直底面于M ，则有△C 1MC ≌△A 1OA ，由此可得M 到直线AD 的距离是52，M 到直线AB 的距离是72，C 1M=A 1O=3 22所以AC 1 =222573()()(2)222++=23 故选C ． 9．D【解析】由题意知，直线C 1D 1⊥平面BB 1C 1C ，则C 1D 1⊥PC 1，即|PC 1|就是点P 到直线C 1D 1的距离，那么点P 到直线BC 的距离等于它到点C 的距离，所以点P 的轨迹是抛物线． 故选D ． 10．B【解析】由椭圆共焦点可知： 222211221212,,a b a b a a b b -=->∴>.因为12a a >且12b b >，所以由椭圆封闭性可知：两椭圆无公共点，故①项正确； 联系电话：4000-916-716若12122231a a b b ====，，，， 112223a b a b ==，，有1122a ba b <，故②项错误；因为22221122a b a b -=-，所以22221212a a b b -=-，故③项正确； 因为22221212a a b b -=-，所以121212121a a b b b b a a -+=<-+，故1212a a b b -<-，故④项正确.综上所述：正确的结论为①③④. 故选B.点睛：在椭圆22221x y a b+=中，长轴长为2a ，短轴长为2b ，焦距为2222c a b =-.比较大小常用的方法为作差法，也可以综合法和分析法，对于小题还可以用特值法. 11．x R ∃∈， 20x ≤【解析】全称命题的否可得，命题的否定为“x R ∃∈， 20x ≤”．答案： x R ∃∈， 20x ≤。

2017～2018学年第二学期高二年级期中考试数学（理）试卷一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.在复平面内，复数ii+310对应的点的坐标为( A )A ．)3,1(B ．)1,3(C ．)3,1(-D ．)1,3(-2.已知随机变量ξ服从正态分布),(2σμN ，若15.0)6()2(=>=<ξξP P ，则=<≤)42(ξP （ B ）A ．0.3B ．0.35C ．0.5D ．0.7 3.设)(x f 在定义域内可导，其图象如图所示，则导函数)('x f 的图象可能是（ B ）4.用反证法证明命题：“若0)1)(1)(1(>---c b a ，则c b a ,,中至少有一个大于1”时，下列假设中正确的是( B )A ．假设c b a ,,都大于1B ．假设c b a ,,都不大于1C ．假设c b a ,,至多有一个大于1D ．假设c b a ,,至多有两个大于15.用数学归纳法证明3)12(12)1()1(2122222222+=+++-++-+++n n n n n 时，从)(*N k k n ∈=到1+=k n 时，等式左边应添加的式子是( B )A ．222)1(k k +- B ．22)1(k k ++ C ．2)1(+k D.]1)1(2)[1(312+++k k6.3名志愿者完成4项工作，每人至少1项，每项由1人完成，则不同的安排方式共有（ D ）A ．12种B ．18种C ．24种D ．36种 7.在62)12(xx -的展开式中，含7x 的项的系数是（ D ） A ．60 B ．160 C ．180 D ．2408.函数xe xf x2)(=的导函数是（ C ）A ．xe xf 2'2)(= B ．x e x f x 2'2)(= C ．22')12()(x e x x f x -= D ．22')1()(x e x x f x -=9.已知函数223)(a bx ax x x f +++=在1=x 处的极值为10，则数对),(b a 为（ C ）A ．)3,3(-B ．)4,11(-C ．)11,4(-D ．)3,3(-或)11,4(-10.若等差数列}{n a 公差为d ，前n 项和为n S ，则数列}{n S n 为等差数列，公差为2d.类似，若各项均为正数的等比数列}{n b 公比为q ，前n 项积为n T ，则等比数列}{n n T 公比为( C )A.2q B ．2q C.q D.n q 11.将3颗骰子各掷一次，记事件A 表示“三个点数都不相同”，事件B 表示“至少出现一个3点”，则概率=)|(B A P ( C )A.21691 B.185 C.9160 D.2112.定义在R 上的偶函数)(x f 的导函数为)('x f ，若对任意实数x ，都有2)()(2'<+x xf x f 恒成立，则使1)1()(22-<-x f x f x 成立的实数x 的取值范围为（ B ）A ．}1|{±≠x xB ．),1()1,(+∞--∞C ．)1,1(-D ．)1,0()0,1( - 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.设),(~p n B ξ，若有4)(,12)(==ξξD E ，则=p 2/3 14.若函数32)1(21)(2'+--=x x f x f ，则=-)1('f -1 15.如图所示，阴影部分的面积是 32/316.已知函数)(x f 的定义域为]5,1[-，部分对应值如下表，)(x f 的导函数)('x f y =的图象如图所示，给出关于)(x f 的下列命题：②函数)(x f 在]1,0[是减函数，在]2,1[是增函数； ③当21<<a 时，函数a x f y -=)(有4个零点；④如果当],1[t x -∈时，)(x f 的最大值是2，那么t 的最小值为0． 其中所有正确命题是 ①③④ （写出正确命题的序号）．三、解答题（本大题共6小题，共70分） 17.（本小题满分10分）设复数i m m m m z )23()32(22+++--=，试求实数m 的取值，使得 （1）z 是纯虚数； （2）z 对应的点位于复平面的第二象限． 解：（1）复数是一个纯虚数，实部等于零而虚部不等于0分5302303222 =∴⎪⎩⎪⎨⎧≠++=--m m m m m （2）当复数对应的点在第二象限时，分103102303222<<-∴⎪⎩⎪⎨⎧>++<--m m m m m 18.（本小题满分12分) 在数列}{n a 中，已知)(13,2*11N n a a a a n nn ∈+==+（1）计算432,,a a a 的值，并猜想出}{n a 的通项公式； （2）请用数学归纳法证明你的猜想． 解：（1）72123213112=+⨯=+=a a a ,19213,132********=+==+=a a a a a a于是猜想出分5562-=n a n （2）①当1=n 时，显然成立；②假设当)(*N k k n ∈=时，猜想成立，即562-=k a k 则当1+=k n 时，5)1(6216215623562131-+=+=+-⨯-=+=+k k k k a a a k k k ， 即当1+=k n 时猜想也成立． 综合①②可知对于一切分12562,*-=∈n a N n n 19.（本小题满分12分)“莞马”活动中的α机器人一度成为新闻热点，为检测其质量，从一生产流水线上抽取20件该产品，其中合格产品有15件，不合格的产品有5件.（1）现从这20件产品中任意抽取2件，记不合格的产品数为X ，求X 的分布列及数学期望； （2）用频率估计概率，现从流水线中任意抽取三个机器人，记ξ为合格机器人与不合格机器人的件数差的绝对值，求ξ的分布列及数学期望． 解：（1）随机变量X 的可能取值为0,1,23821)0(22021505===C C C X P ，3815)1(22011515===C C C X P ， 191)2(22001525===C C C X P , 所以随机变量X 的分布列为：分62192381380 =⨯+⨯+⨯=∴EX（2）合格机器人的件数可能是0,1,2,3，相应的不合格机器人的件数为3,2,1,0.所以ξ的可能取值为1,3，有题意知：1122213331319(1)()()()()444416P C C ξ==+=，3333331317(3)()()()()444416P C C ξ==+= 所以随机变量ξ的分布列为：分128163161)( =⨯+⨯=∴ξE 20.（本小题满分12分)编号为5,4,3,2,1的五位学生随意入座编号为5,4,3,2,1的五个座位，每位学生坐一个座位．设与座位编号相同的学生人数是X .(1)试求恰好有3个学生与座位编号相同的概率)3(=X P ； (2)求随机变量X 的分布列及均值．解：(1)恰好有3个学生与座位编号相同，这时另两个学生与座位编号不同，所以分412112010)3(5525 ====A C X P(2)随机变量X 的一切可能值为0,1,2,3,4,5. 且121)3(,00)4(,120112011)5(5555=========X P A X P A X P ； 83120459)1(,61120202)2(55155525========A C X P A C X P301112044)]5()4()3()2()1([1)0(===+=+=+=+=-==X P X P X P X P X P X P 随机变量X 的分布列为故分1211205041236281300)( =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=X E 21.（本小题满分12分)已知函数)(ln )(R a x ax x f ∈+=（1）若2=a ，求曲线)(x f y =在1=x 处的切线方程； （2）求)(x f 的单调区间；（3）设22)(2+-=x x x g ，若对任意),0(1+∞∈x ，均存在]1,0[2∈x ，使得)()(21x g x f <，求a 的取值范围． 解：（1）2),0(1)('=>+=a x x a x f )0(12)('>+=∴x xx f ， 3)1('=∴f ， 3=∴k又切点)2,1(，所以切线方程为)1(32-=-x y ，即：013=--y x 故曲线)(x f y =在1=x 处切线的切线方程为分4013 =--y x（2）)0(11)('>+=+=x xax x a x f ①当0≥a 时，0)('>x f ，所以)(x f 的单调递增区间为分6),0( +∞②当0<a 时，由0)('=x f ，得ax 1-= 在区间)1,0(a -上0)('>x f ，在区间),1(+∞-a上，0)('<x f . 所以，函数)(x f 的单调递增区间为)1,0(a -，单调递减区间为分8),1( +∞-a（3）由已知，转化为]1,0[,1)1()(,)()(2max max ∈+-=<x x x g x g x f ，2)(max =∴x g 由（2）知，当0≥a 时，)(x f 在),0(+∞上单调递增，值域为R ，故不符合题意． （或者举出反例：存在23)(33>+=ae e f ，故不符合题意．）当0<a 时，)(x f 在)1,0(a -上单调递增，在),1(+∞-a上单调递减， 故)(x f 的极大值即为最大值，)ln(1)1()(max a af x f ---=-=， 所以2)ln(1<---a ，解得31e a -< 综上：分1213 ea -< 22.（本小题满分12分) 已知函数2()ln(1)f x ax x =++ （1）当14a =-时，求函数()f x 的极值； （2）若函数()f x 在区间[1)+∞，上为减函数，求实数a 的取值范围 （3）当[0)x ∈+∞，时，不等式()f x x ≤恒成立，求实数a 的取值范围. 解：（1）)1()1(2)1)(2(1121)('->+-+-=++-=x x x x x x x f 令0)('>x f 得11<<-x ，令0)('<x f 得1>x .)(x f ∴在)1,1(-上是增函数，在),1(+∞上是减函数. 2ln 41)1()(+-==∴f x f 极大值，)(x f 无极小值分4（2）因为函数)(x f 在区间[1)+∞，上为减函数， 所以0112)('≤++=x ax x f 对任意的),1[+∞∈x 恒成立， 即)1(21+-≤x x a 对任意的),1[+∞∈x 恒成立，4121)211(2121)21(21)1(2122-=-+-≥-+-=+-x x x分841-≤∴a（3）因为当[0)x ∈+∞，时，不等式()f x x ≤恒成立， 即0)1ln(2≤-++x x ax 恒成立，令)0()1ln()(2≥-++=x x x ax x g ， 转化为0)(max ≤x g 即可.1)]12(2[1112)('+-+=-++=x a ax x x ax x g 当0=a 时，1)('+-=x x x g ，0>x ，0)('<∴x g 即)(x g 在),0[+∞上单调递减，故0)0()(=≤g x g 成立. 当0>a 时，令0)('=x g 得，0=x 或121-=ax 若0121≤-a 即21≥a 时，),0(+∞∈x 有0)('>x g ， 则)(x g 在),0[+∞上单调递增，0)0()(=≥g x g ，不满足题设； 若0121>-a 即210<<a 时，)121,0(-∈a x 有0)('<x g ，),121(+∞-∈ax 有0)('>x g ， 则)(x g 在)121,0(-a 上单调递减，在),121(+∞-a上单调递增，无最大值，不满足题设； 当0<a 时，0>x ，0)('<∴x g即)(x g 在),0[+∞上单调递减，故0)0()(=≤g x g 成立. 综上：实数a 的取值范围为分12]0,( -∞。

2017-2018学年 数学（理）试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合()(){}{}130,24A x x x B x x =--<=<<，则A B =（ ）A ．{}23x x << B ．{}13x x <<C ．{}34x x <<D ．{}14x x <<2．在复平面内，复数23ii--对应的点位于（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．工人工资（元）依劳动生产率（千元）变化的回归方程为5080y x =+，下列判断中正确的是（ ）A ．劳动生产率为1000元时，工资为130元B ．劳动生产率平均提高1000元时，工资平均提高80元C ．劳动生产率平均提高1000元时，工资平均提高130元D ．当工资为250元时，劳动生产率为2000元4．已知直线1:210l x ay +-=与()2:2110l a x ay ---=平行，则a 的值是（ ） A ．0或1B ．1或14C ．0或14D ．145．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的体积为（ ）A ．48B ．32C ．16D ．3236．已知0,0a b >>，则33a b+的最小值是（ ）A ．10B ．C ．12D ．207．执行如图所示的程序框图，输出的结果是（ ）A ．15B ．21C ．24D ．358．若非零向量,a b 满足23==-a b a b ，则,a b 夹角的余弦值为（ ） A ．38-B ．38C ．34-D ．349．点(),M x y 是不等式组0x y x ⎧≤≤⎪⎪≤⎨⎪≤⎪⎩表示的平面区域Ω内的一动点，且不等式20x y m -+≥恒成立，则m 的取值范围是（ ）A．3m ≥-B ．3m ≥C ．0m ≥D．1m ≥-10．在ABC ∆中，1,6AB AC B π===，则ABC ∆的面积等于（ ）A．2B．2或4C．4D．211．设点P 是函数y =图象上的任意一点，点()()2,3Q a a a R -∈，则PQ 的最小值为（ ）A ．25-BC 2D ．25- 12．若函数()f x 在给定区间M 上，存在正数t ，使得对于任意x M ∈，有x t M +∈，且()()f x t f x +≥，则称()f x 为M 上的t 级类增函数，则以下正确的是（ ）A ．函数()4f x x x=+是()1,+∞上的1级类增函数 B ．函数()()2log 1f x x =-是()1,+∞上的1级类增函数C ．若函数()23f x x x =-为[)1,+∞上的t 级类增函数 ，则实数t 的取值范围为[)1,+∞D ．若函数()sin f x x ax =+为,2π⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上的3π级类增函数，则实数a 的最小值为2第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．()()512x x +-的展开式中含3x 项的系数为______．14．有6名学生，其中有3名会唱歌，2名会跳舞，1名既会唱歌也会跳舞．现从中选出2名会唱歌的，1名会跳舞的去参加文艺演出，则共有选法______种．15．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，()*111,0,41n n n n a a a a S n N +=≠=-∈，则数列{}n a 的通项公式为______．16．长方体1111ABCD A BC D -中，已知13,2AA AB AD ===，棱AD 在平面α内，则长方体在平面α内的射影所构成的图形面积的取值范围是______．三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．（本小题满分12分） 已知函数()()2cos 2cos 23f x x x x R π⎛⎫=--∈ ⎪⎝⎭． （1）求函数()f x 的单调递增区间；（2）ABC ∆内角A 、B 、C 的对边长分别为a 、b 、c ，若1,2B f b C ⎛⎫=== ⎪⎝⎭且a b >，求B 和C ． 18．（本小题满分12分）如图所示，在多面体111A B D ABCD -，四边形1111,,AA B B ADD A ABCD 均为正方形，E 为11B D 的中点，过1,,A D E 的平面交1CD ．（1）证明：1EFB C ；（2）求二面角11E A D B --的正切值；（3）求直线1AC 与平面11B CD 所成角的余弦值．19．（本小题满分12分）某工厂有两条相互不影响的生产线分别生产甲、乙两种产品，产品出厂前需要对产品进行性能检测．检测得分低于80的为不合格品，只能报废回收；得分不低于80为合格品，可以出厂．现随机抽取这两种产品各60件进行检测，检测结果统计如下：（Ⅰ）试分别估计产品甲，乙下生产线时为合格品的概率；（Ⅱ）生产一件产品甲，若是合格品可盈利100元，若是不合格品则亏损20元；生产一件产品乙，若是合格品可盈利90元，若是不合格品则亏损15元．在（Ⅰ）的前提下： （1）记X 为生产1件甲和1件乙所得的总利润，求随机变量X 的分布列和数学期望； （2）求生产5件乙所获得的利润不少于300元的概率． 20．（本小题满分12分）己知矩形ABCD 的对角线交于点()2,0P ，边AB 所在直线的方程为360x y --=，点()1,1-在边AD 所在的直线上．（1）求矩形ABCD 的外接圆的方程；（2）已知直线()()():121540l k x k y k k R -++-+=∈，求证：直线l 与矩形ABCD 的外接圆恒相交，并求出相交的弦长最短时的直线l 的方程． 21．（本小题满分12分）已知函数()22f x x x x a =+-，其中a R ∈． （1）求函数()f x 的单调区间；（2）若不等式()416f x ≤≤在[]1,2x ∈上恒成立，求a 的取值范围． 22．（本小题满分10分）在以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立的极坐标系中，曲线1C 的极坐标方程为2ρ=．正三角形ABC 的顶点都在1C 上，且,,A B C 依逆时针次序排列，点A 的坐标为()2,0． （1）求点,B C 的直角坐标；（2）设P 是圆(222:1C x y +=上的任意一点，求22PB PC +的取值范围．湖南省衡阳市第八中学2015-2016学年高二下学期期末考试数学（理）试题答案一、选择题13．40-14．1515．21n a n =- 16．4S ≤≤三、解答题17．解：（1）∵()23cos 2cos 22cos 223223f x x x x x x ππ⎛⎫⎛⎫=--=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∴故函数()f x 的递增区间为()5,1212k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦（2）232B f B π⎛⎫⎛⎫=-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1sin 32B π⎛⎫-=- ⎪⎝⎭． ∵0B π<<，∴2333B πππ-<-<，∴36B ππ-=-，即6B π=． 由正弦定理得：1sin sin 6a A π==，∴sin 2C =， ∵0C π<<，∴3C π=或23π． 当3C π=时，2A π=；当23C π=时，6A π=．（不合题意，舍） 所以,63B C ππ==．18．解（1）∵11B C A D ，1B C ⊄平面11,A EF A D D ⊂平面1A DEF由线面平行的判定定理有11A F B CDE又过1B C 的平面11B CD 与平面1A DEF 相交于EF ， 由线面平行的性质定理有1B CEF ．（2）将多面体111A B D ABCD -补成正方体1111A B C D ABCD -，如图，并设棱长为a ，∴二面角11E A D B --即为111A B C D --取1B C 的中点G ，1A D 的中点H ，连接11,,C G GH C H可知1C G ⊥平面11A B CD ∵1GH A D ⊥，∴11C H A D ⊥，故1C HG ∠是二面角111A B C D --的平面角， 在1Rt C HG ∆中，1,2C G a GH a ==，∴11tan 2C G C HG GH ∠== 则二面角11E AD B --的正切值为2． 则直线1AC 与平面11B CD所成角的余弦值为3． （3）连接1,EC AC ，∵11B D ⊥平面11AAC C ，∴平面11B CD ⊥平面11AAC C ． ∴EC 是1AC 在平面11B CD 上的射影， 故1ACE ∠是直线1AC 与平面11B CD 所成的角，在1C AE ∆中，11,,22AC A E a EC ===，)2221cos 3a ACE ⎫⎫+-⎪⎪∠==则直线1AC 与平面11B CD所成角的余弦值为3．19．解：（Ⅰ）甲为合格品的概率约为453604=，乙为合格品的概率约为402603=；（Ⅱ）（1）随机变量X 的所有取值为190,85,70,35-，而且()()321311190,85432434P X P X ==⨯===⨯=，()()12111170,354364312P X P X ==⨯==-=⨯=；所以随机变量X所以：12524612EX =++-= （2）设生产的5件乙中正品有n 件，则次品有5n -件，依题意，()90155300n n --≥，解得：257n ≥，取4n =或5n =，设“生产5件元件乙所获得的利润不少于300元”为事件A ，则：()4545212112333243P A C ⎛⎫⎛⎫=+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭20．解：（1）∵:360AB l x y --=且AD AB ⊥，∴3AD k =-，点()1,1在边AD 所在的直线上，∴AD 所在直线的方程是()131y x -=--，即320x y ++=． 由360,320x y x y --=⎧⎨++=⎩得()0,2A -．∴AP ==，∴矩形ABCD 的外接圆的方程是()2228x y -+=．（2）证明：直线l 的方程可化为()2450k x y x y -++++-=，l 可看作是过直线240x y -++=和50x y +-=的交点()3,2的直线系，即l 恒过定点()3,2Q ，由222()32258QP =-+=<知点Q 在圆P 内，所以l 与圆P 恒相交，设l 与圆P 的交点为,,M N MN =d 为P 到l 的距离），设PQ 与l 的夹角为θ，则·sin d PQ θθ==，当90θ=︒时，d 最大，MN 最短． 此时l 的斜率为PQ 的斜率的负倒数，即12-，故l 的方程为()1232y x -=--，即:270l x y +-=．21．解：（1）由()()()()2222333x a a x a f x a a x x a ⎧--+≤⎪=⎨⎛⎫-->⎪ ⎪⎝⎭⎩，故当0a ≥时，()f x 在(),a -∞和(),a +∞上递增，又∵()2f a a =，∴()f x 在R 上递增， 当0a <时，()f x 在(),a -∞和,3a ⎛⎫+∞⎪⎝⎭上递增，在,3a a ⎛⎫⎪⎝⎭上递减； （2）由题意只需()()min max 4,16f x f x ≥≤，首先，由（1）可知，()f x 在[]1,2x ∈上恒递增，综上112a -≤≤-或552a ≤≤． 22．解：（1）B 点的坐标为()2cos120,2sin120︒︒，即(B -；C 点的坐标为()2cos240,2sin 240︒︒，即(1,C -．（2）由圆的参数方程，可设点()()cos ,sin 02P αααπ≤≤，于是()(()222222cos 1sin cos 1sin PB PC αααα+=++-+++164cos 168cos 3πααα⎛⎫=+-=++ ⎪⎝⎭，∴22PB PC +的范围是[]8,24．。

2017-2018学年度莆田八中高二(文）下学期期中考第I卷（选择题）一、单选题（5*12=60）1. 已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由集合，所以，故选B．2. 已知命题“存在，使得”，则下列说法正确的是（）A. “任意，使得”B. “不存在，使得”C. “任意，使得”D. “任意，使得”【答案】C【解析】分析：由题意结合全称命题与特称命题的否定方法给出命题的否定即可.详解：由特称命题的否定为全称命题可得，“任意，使得”.本题选择C选项.点睛：本题主要考查特称命题的否定，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.3. 若幂函数的图象经过点，则在定义域内（）A. 为增函数B. 为减函数C. 有最小值D. 有最大值【答案】C【解析】设幂函数f（x）=xα，由f（-2）=4，得（-2）α=4=（-2）2，在α=2，即f（x）=x2，则在定义域内有最小值0，故选C．4. 函数的图象如图，则该函数可能是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】分析：由题意结合函数的解析式排除错误选项即可确定正确的选项.详解：由图象可知，函数是奇函数，排除A；时，的函数值是大于0的，故排除B；C、D由函数的增长趋势判断，当时，，，由图观察可得，应选D.点睛：本题主要考查由函数图象确定解析式等知识，根据图象选择解析式，或根据解析式选择图象，一般通过奇偶性和特殊点进行排除法选出正确答案.本题中A、B比较同意排除，在C、D中，根据增长的趋势进行进一步选择.意在考查学生的转化能力和计算求解能力.5. 设，，，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】分析：由题意结合指数函数、对数函数、三角函数的性质整理计算即可求得最终结果.详解：,,，故本题选择A选项.点睛：对于指数幂的大小的比较，我们通常都是运用指数函数的单调性，但很多时候，因幂的底数或指数不相同，不能直接利用函数的单调性进行比较．这就必须掌握一些特殊方法．在进行指数幂的大小比较时，若底数不同，则首先考虑将其转化成同底数，然后再根据指数函数的单调性进行判断．对于不同底而同指数的指数幂的大小的比较，利用图象法求解，既快捷，又准确．6. 已知为函数的极小值点，则＝（）A. －9B. －2C. 4D. 2【答案】D【解析】∵，∴，∴当或时，单调递增；当时，单调递减．∴当时，有极小值，即函数的极小值点为2．选D．7. 已知，设函数的图象在点处的切线为，则在轴上的截距为( )A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：首先求得切线方程，然后结合切线方程确定截距即可.详解：图象在点处的切线为即，所以在轴上的截距为1.本题选择B选项.点睛：本题主要考查导函数研究函数的切线方程，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.8. 如图，A,B是半径为1的⊙O上两点，且OA⊥OB. 点P从A出发，在⊙O上以每秒一个单位长度的速度匀速运动，回到点A运动结束. 设运动时间为x，弦BP的长度为y，那么下面图象中可能．．表示y与x的函数关系的是( )A. ①B. ④C. ②或④D. ①或③【答案】D9. 已知定义在上的函数，若方程有两个不相等的实数根,则的取值范围是( )A. B. C. D.【答案】A【解析】分析：将原问题转化为两个方程各有一解的问题，然后求解a的取值范围即可.详解：定义在上的函数若方程有两个不相等的实数根，等价于和各有一解，即且，即.本题选择A选项.点睛：本题考查函数与方程的应用.解决本题的技巧是灵活地将方程有两个不相等的实数根等价转化为两个函数的值域问题，避免了讨论或数形结合思想思想的应用，但要注意和各有一解.10. 已知, ,若,则下列结论中,不可能成立的是( )A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：由题意结合对数函数的性质和函数的单调性整理计算即可求得最终结果.详解：若，则；若，则；若，则也满足题意；综上，不可能成立的是.本题选择B选项.点睛：本题主要考查函数的单调性，整体的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.11. 设函数f(x)为偶函数，且∀x∈R，f＝f，当x∈[2,3]时，f(x)＝x，则当x∈[－2,0]时，f(x)＝( )A. |x＋4|B. |2－x|C. 2＋|x＋1|D. 3－|x＋1|【答案】D【解析】满足满足即若时，则若∵函数为偶函数，即若则则即故选D．【点睛】本题主要考查函数解析式的求解，根据函数奇偶性和周期性的关系进行转化是解决本题的关键．12. 已知函数是定义在上的增函数，，，则不等式的解集为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】分析：结合不等式的特征构造新函数，结合函数的单调性和函数值的特征整理计算即可求得最终结果.详解：令，则原不等式等价于求解不等式，，由于，故，函数在定义域上单调递减，且，据此可得，不等式即：，结合函数的单调性可得不等式的解集为 .本题选择A选项.点睛：函数的单调性是函数的重要性质之一，它的应用贯穿于整个高中数学的教学之中.某些数学问题从表面上看似乎与函数的单调性无关，但如果我们能挖掘其内在联系，抓住其本质，那么运用函数的单调性解题，能起到化难为易、化繁为简的作用.因此对函数的单调性进行全面、准确的认识，并掌握好使用的技巧和方法，这是非常必要的.根据题目的特点，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧.许多问题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效.第II卷（非选择题）二、填空题（4*5=20）13. 函数的定义域是____________.【答案】【解析】要使函数函数有意义，根据根式与分母有意义可得，，定义域是，故答案为.【方法点晴】本题主要考查函数的定义域、指数函数的单调性，属于中档题.定义域的三种类型及求法：(1)已知函数的解析式，则构造使解析式有意义的不等式(组)求解；(2) 对实际问题：由实际意义及使解析式有意义构成的不等式(组)求解；(3) 若已知函数的定义域为，则函数的定义域由不等式求出.14. 已知函数，则__________．【答案】【解析】分析：由题意结合函数的解析式和对数的运算法则整理计算即可求得最终结果.详解：由函数，得.又，所以.所以.故答案为：4.点睛：(1)求分段函数的函数值，要先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现f(f(a))的形式时，应从内到外依次求值．(2)当给出函数值求自变量的值时，先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记要代入检验，看所求的自变量的值是否满足相应段自变量的取值范围．15. 已知函数、分别是二次函数和三次函数的导函数，它们在同一坐标系下的图象如图所示，设函数，则，，的大小关系是__________．【答案】【解析】分析：由题意结合原函数的特征和导函数的特征比较，，的大小即可.详解：二次函数的导函数是一次函数，三次函数的导函数是二次函数，∵一次函数过点，，∴，，∵二次函数过点，，，∴，∴，∴，记为常数，则，，，∴，故答案为．点睛：本题主要考查导函数研究函数的性质，函数值的大小的比较等，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.16. 已知函数是定义在上的奇函数，在上单调递减，且，若，则的取值范围为__________．【答案】或【解析】分析：由题意结合奇函数的对称性和函数的单调性整理计算即可求得最终结果.详解：由于奇函数在上单调递减，且，所以函数在上是减函数，所以不等式的解为所以所以故填或.点睛：本题主要考查函数的单调性，函数的奇偶性等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.三、解答题（11+11+12+12+12+12）17. 在直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线：，曲线：（）．（1）求与交点的极坐标；（2）设点在上，，求动点的极坐标方程．【答案】（1）（2），．【解析】试题分析：（1）联立极坐标方程，柯姐的交点极坐标；（2）设，且，根据，即可求出，从而写出点的极坐标.试题解析：解：（1）联立，∵，，，∴所求交点的极坐标．（2）设，且，，由已知，得∴，点的极坐标方程为，．18. 已知.（Ⅰ）求不等式的解集；（Ⅱ）若在上恒成立，求的取值范围.【答案】（Ⅰ）.（Ⅱ）.【解析】分析：（Ⅰ）由题意零点分段可得不等式的解集为.（Ⅱ）绘制函数的图象，数形结合可得.详解：（Ⅰ）当时，由，得；当时，由，得，所以；当时，，得，所以不等式的解集为.（Ⅱ）由（Ⅰ）得，作出的图象如图所示，要使在上恒成立，只需图象上的点在直线上或其上方，当经过点时，，当经过点时，，所以最大为3，由图象可知.点睛：本题主要考查绝对值不等式的解法，数形结合的数学思想及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.19. 已知函数．（1）求函数的图象在点处的切线的方程；（2）求函数区间[-2,3]上的最值．【答案】(1)；(2)最大值为，最小值为.【解析】分析：（1）由题意可知切点为，切线斜率.则切线方程为.（2）利用导函数研究函数的单调性可得函数的最大值为，最小值为.详解：（1）时，切点，.则直线：，即为所求.（2）令，则.当变化时，的变化情况如下表：故函数区间上的最大值为，最小值为.点睛：本题主要考查导数研究函数的切线方程，导数研究函数的最值等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.20. 已知命题：，命题：.（1）若，求实数的值；（2）若是的充分条件，求实数的取值范围.【答案】(1)2;(2) 实数a的取值范围是（﹣∞，0]∪[4，+∞）.【解析】试题分析：（1）利用一元二次不等式的解法把集合化简后，由，借助于数轴列方程组可解的值；（2）把是的充分条件转化为集合和集合之间的包含关系，运用两集合端点值之间的关系列不等式组求解的取值范围.试题解析：（1）B={x|x2﹣4x+3≥0}={x|x≤1，或x≥3}，A={x|a﹣1＜x＜a+1}，由A∩B=∅，A∪B=R，得，得a=2，所以满足A∩B=∅，A∪B=R的实数a的值为2；（2）因p是q的充分条件，所以A⊆B，且A≠∅，所以结合数轴可知，a+1≤1或a﹣1≥3，解得a≤0，或a≥4，所以p是q的充分条件的实数a的取值范围是（﹣∞，0]∪[4，+∞）．21. 已知实数，且满足不等式.（1）解不等式；（2）若函数在区间上有最小值，求实数的值.【答案】（1）（2）【解析】分析：（1）由题意结合指数函数的单调性可得，结合函数的单调性和函数的定义域可得不等式的解集为.（2），令，结合反比例函数的性质和对数函数的性质可得.详解：（1）由题意得: ，∴，∴，解得.（2），令，当时，，，所以，所以.∵，∴的对数函数在定义域内递减，∴，∴.点睛：本题主要考查指数函数的性质，对数函数的性质，换元法及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.22. 已知函数，其中为自然对数的底数.（1）求函数的单调区间；（2）求证：时，【答案】(1) 的单调递增区间为，单调递减区间为，(2)见解析【解析】分析：（1），利用导函数研究函数的单调性可得的单调递增区间为，单调递减区间为，.（2）构造函数，令，由（1）可知，令，则，二次求导可得，结合不等式的性质可得，即题中的结论成立.详解：（1），∴在区间内，；在区间内，；在区间内，，故的单调递增区间为，单调递减区间为，.（2）令，由（1）可知在区间内单调递减，在区间内单调递增，令，则，设，则，故仅有一解为，在区间内，，在区间内，，∴由式相乘，得，即（当时，取等号）.。

2017-2018学年吉林省长春市舒兰一中、吉化一中、九台一中、榆树实验中学等八校联考高二下学期期中考试数学（理）试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.复数212i i+-的共轭复数是（ ） A ．35i - B ．35i C ．i - D ．i 2.指数函数x y a =是增函数，而1()2x y =是指数函数，所以1()2x y =是增函数，关于上面推理正确的说法是（ ）A ．推理的形式错误B ．大前提是错误的C ．小前提是错误的D ．结论是真确的3.32(x)ax x +2f =+，若'(1)5f =，则a 的值等于（ ）A ．1B ．2C ．115D ．34.用反证法证明“如果a b >> ）A =<==<5.函数(x)(2x 3)e x f =-的单调递增区间是（ ）A ．1(,)2-∞B ．(2,)+∞ C.1(0,)2 D ．1(,)2+∞6.20(2x 3x )0kdx -=⎰，则0k =（ ）A ．1B ．0 C.0或1 D ．以上都不对7.用数学归纳法证明：22222222(2n 1)12...(n 1)n (n 1)...213n ++++-++-+++=时，从n k =到1n k =+时，等边左边应添加的式子是（ ）A ．22(k 1)2k -+B ．22(k +1)k + C. 2(k +1)D ．21(k +1)[2(k 1)1]3++8.若函数(x)e sinx x f =，则此函数图象在点(4,f(4))处的切线的倾斜角为（ ）A ．2πB ．0 C.钝角 D ．锐角9.设函数(x)f 的导函数为'(x)f ，且2(x)x 2xf'(1)f =+，则'(0)f （ ）A ．0B ．2 C.4- D ．2-10.函数(x)x 2cosx f =+在[0,]π上的极小值点为（ ）A ．0B ．6π C.56π D ．π 11.观察数组：(1,1,1)--，(1,2,2)，(3,4,12)，(5,8,40)------(a ,b ,c )n n n 则c n 的值不可能是（ ）A ．112B ．278 C. 704 D ．166412.若点P 是曲线2ln y x x =-上任意一点，则点P 到直线2y x =-的最小距离为（ ）A ．1B 2D 第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.若复数22(a 2a)(a a 2)i z =-+--为纯虚数，则实数a 的值等于 ．14.若数列{}n a 是等差数列，则数列*12...(n N )n a a a n +++⎧⎫∈⎨⎬⎩⎭也是等差数列；类比上述性质，相应地，{}n b 是正项等比数列，则也是等比数列 ．15....，类比这些等式，（,a b 均为正整数），则a b += ．16.已知,a b 为正实数，直线y x a =-与曲线ln(x b)y =+相切，则21a b+的取值范围是 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.已知复数12,z z 在平面内对应的点分别为(2,1)A -，(a,3)B ，（a R ∈）.（1）若125z z +≤，求a 的值；（2）若复数12z z 对应的点在二、四象限的角平分线上，求a 的值.18.设函数32(x)2x 3ax 3bx 8c f =+++在1x =及2x =时取得极值.（1）求a b 、的值；（2）若对于任意的[]0,3x ∈，都有2(x)c f <成立，求c 的取值范围。

状元考前提醒拿到试卷：熟悉试卷刚拿到试卷一般心情比较紧张，建议拿到卷子以后看看考卷一共几页，有多少道题，了解试卷结构，通览全卷是克服“前面难题做不出，后面易题没时间做”的有效措施，也从根本上防止了“漏做题”。

答题策略答题策略一共有三点：1. 先易后难、先熟后生。

先做简单的、熟悉的题，再做综合题、难题。

2. 先小后大。

先做容易拿分的小题，再做耗时又复杂的大题。

3. 先局部后整体。

把疑难问题划分成一系列的步骤，一步一步的解决，每解决一步就能得到一步的分数。

立足中下题目，力争高水平考试时，因为时间和个别题目的难度，多数学生很难做完、做对全部题目，所以在答卷中要立足中下题目。

中下题目通常占全卷的80%以上，是试题的主要构成，学生能拿下这些题目，实际上就是有了胜利在握的心理，对攻克高档题会更放得开。

确保运算正确，立足一次性成功在答卷时，要在以快为上的前提下，稳扎稳打，步步准确，尽量一次性成功。

不能为追求速度而丢掉准确度，甚至丢掉重要的得分步骤。

试题做完后要认真做好解后检查，看是否有空题，答卷是否准确，格式是否规范。

要学会“挤”分考试试题大多分步给分，所以理科要把主要方程式和计算结果写在显要位置，文科尽量把要点写清晰，作文尤其要注意开头和结尾。

考试时，每一道题都认真思考，能做几步就做几步，对于考生来说就是能做几分是几分，这是考试中最好的策略。

检查后的涂改方式要讲究发现错误后要划掉重新写，忌原地用涂黑的方式改，这会使阅卷老师看不清。

如果对现有的题解不满意想重新写，要先写出正确的，再划去错误的。

有的同学先把原来写的题解涂抹了，写新题解的时间又不够，本来可能得的分数被自己涂掉了。

考试期间遇到这些事，莫慌乱！北京市第八中学2018-2019学年高二数学下学期期中试题（含解析）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分） 1.1i -的虚部为（ ） A. i B. i -C. 1D. -1【答案】D 【解析】 【分析】根据复数虚部定义直接求出1i -的虚部. 【详解】由复数虚部定义可知1i-的虚部为1-，故本题选D.【点睛】本题考查了复数的虚部定义，准确掌握复数的虚部定义是解题的关键.2.设函数()sin cos f x x x =-，则'()f x 等于（ ）A. sin cos x x -B. cos sin x x -C. sin cos x x +D. cos sin x x -- 【答案】C 【解析】 【分析】根据导数减法运算法则直接求出'()f x .【详解】因为()sin cos f x x x =-，所以'()cos sin f x x x =+，故本题选C.【点睛】本题考查了导数减法运算法则，准确求出正弦函数、余弦函数的导数是解题的关键.3.在6(12)x -的展开式中，2x 的系数为（ ） A. 60 B. -60C. 240D. -240【答案】A 【解析】 【分析】写出6(12)x -的展开式的通项公式，让x 的指数为2，求出r ，最后求出2x 的系数.【详解】6(12)x -的展开式的通项公式为：61661(2)(2)r r r r r r r T C x C x -+=⋅⋅-=-⋅⋅，令2r =，所以2x 的系数为：226(2)60C -⋅=，故本题选A.【点睛】本题考查了求二项式展开式中某项系数问题，应用二项式展开式的通项公式是解题的关键.4.将4名教师分配到3所中学任教，每所中学至少1名教师，则不同的分配方案共有（ ） A. 12种 B. 24种C. 36种D. 48种【答案】C 【解析】 【分析】从4个人中选2个作为一个元素，再将它与其他两个元素在一起进行排列，由分步计数原理计算可得答案．【详解】将4名教师分配到3所中学任教，每所中学至少1名教师，只有一种分组方法，即1，1，2，首先从4个人中选2个作为一个元素，使它与其他两个元素在一起进行排列， 共有C 42A 33＝36种结果， 故选：C ．【点睛】本题考查分步计数原理的应用分组分配问题，注意此类问题一般要首先分组，再进行排列，属于基础题.5.设某项试验的成功率是失败率的2倍，用随机变量X 去描述1次试验的成功次数，则(0)P X ==（ ）A. 0B.12C.13D.23【答案】C 【解析】 【分析】设某项试验的失败率为p ，则可以求出某项试验的成功率为2p ，根据概率的性质，可以求出p 值，直接可以求出(0)P X =的值.【详解】设某项试验的失败率为p ，则可以求出某项试验的成功率为2p ，根据概率的性质可知：1213p p p +=⇒=，1(0)3P X ==，故本题选C. 【点睛】本题考查了概率的性质，考查了数学运算能力.6.在复平面内，复数65i +, 23i -+ 对应的点分别为,A B .若C 为线段AB 的中点，则点C 对应的复数是（ ）A. 4i +B. 24i +C. 82i +D. 48i +【答案】B 【解析】Q 复数65,23i i +-+对应的点分别为()()6,5,2,3A B -，且C 为线段AB 的中点，根据中点坐标公式可得()2,4C ，则点C 对应的复数是24i +，故选B.7.将序号分别为1，2，3，4，5的5张参观券全部分给4人，每人至少1张，如果分给同一人的2张参观券连号，那么不同的分法种数是（ ） A. 96 B. 120 C. 240 D. 24【答案】A 【解析】 【分析】首先确定连号的张数，然后把这二张连号捆绑在一起与其它三张全排列即可.【详解】2张参观券连号有(1,2)、(2,3)、(3,4)、(4,5)四张，捆绑在一起与其它三张全排列为1444443296C A ⋅=⨯⨯⨯=，故本题选A.【点睛】本题考查了排列与组合的应用，正确理解题意是解题的关键.8.在5()x a +（其中0a ≠）的展开式中，2x 的系数与3x 的系数相同，则a 的值为（ ）A. 2-B. 1-C. 1D. 2【答案】C 【解析】【分析】利用5()x a +的展开式的通项公式，求出2x 的系数和3x 的系数，根据题意，列出方程，解方程结合0a ≠，求出a 的值.【详解】5()x a +的展开式的通项公式为：515r r r r T C x a -+=⋅⋅，令523r r -=⇒=，所以2x 的系数为333510C a a ⋅=，再令532r r -=⇒=，3x 的系数为222510C a a ⋅=，由题意可知：321010a a =，而0a ≠，所以1a =，故本题选C.【点睛】本题考查了二项式展开式的通项公式的应用，考查了数学运算能力.9.由0、1、2、3、4五个数字任取三个数字，组成能被3整除的没有重复数字的三位数，共有（ ）个. A. 14 B. 16 C. 18 D. 20【答案】D 【解析】 【分析】根据三位数的各数位上的数之和能被3整除，这个三位数能被3整除，可以把0、1、2、3、4五个数字进行分类：（1）由0，1，2三个数组成三位数；（2）由0，2，4三个数组成三位数；（3）由1，2，3三个数组成三位数；（4）由2，3，4三个数字组成三位数，分别求出每类情况下能组成的三位数的个数，再用加法计算原理求解出本题.【详解】根据能被3整除的三位数的特征，可以进行分类，共分以下四类：（1）由0，1，2三个数组成三位数，共有12224C A ⋅=个没有重复的三位数； （2）由0，2，4三个数组成三位数，共有12224C A ⋅=个没有重复的三位数； （3）由1，2，3三个数组成三位数，共有336A =个没有重复的三位数；（4）由2，3，4三个数组成三位数，共有336A =个没有重复的三位数，所以由0、1、2、3、4五个数字任取三个数字，组成能被3整除的没有重复数字的三位数，共有4+4+6+6=20个数.【点睛】本题考查了排列与组合的应用、加法计数原理、乘法计数原理，掌握能被3整除的三位数的特征是解题的关键，考查了分类讨论思想.10.设ln 24a =，ln 39b =，ln 525c =，则（ ） A. b a c >>B. a b c <<C. b a c <<D.a b c >>【答案】D 【解析】试题分析：令2ln (2)x y x x =≥，则42ln 02x x x y x x =⇒'-==<，因此2ln xy x=在[2,)+∞上单调递，减，从而a b c >>，选D.考点：导数应用【方法点睛】利用导数解抽象函数不等式，实质是利用导数研究对应函数单调性，而对应函数需要构造. 构造辅助函数常根据导数法则进行：如()()f x f x <'构造()()x f x g x e=，()()0f x f x '+<构造()()x g x e f x =，()()xf x f x <'构造()()f x g x x=，()()0xf x f x +<'构造()()g x xf x =等二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 11.计算：132ii+=______. 【答案】3122i - 【解析】 【分析】应用复数除法运算法则进行运算即可. 【详解】13(13)33122222i i i i i i i i ++⋅-===-⋅-. 【点睛】本题考查了复数的除法运算法则，考查了数学运算能力.12.已知3nx ⎫⎪⎭展开式中，各项系数的和与其各项二项式系数的和之比为64，则展开式中，常数项等于______.（用数字作答） 【答案】135 【解析】 【分析】令1x =，可以求出3nx ⎫⎪⎭的展开式中，各项系数的和，二项式系数之和为2n ，由题意可以得到等式，这样可以求出n ，利用二项式展开式的通项公式，可以求出常数项.【详解】令1x =，所以3nx ⎫⎪⎭的展开式中，各项系数的和为4n ，而二项式系数之和为2n，由题意可知：2464264log 6462n n n n =⇒=⇒==，所以63x ⎫⎪⎭展开式的通项公式为：63621663()3rr rr r rr T C C x x --+=⋅⋅=⋅⋅，令63022r r -=⇒=，所以63x ⎫⎪⎭展开式中常数项为：2263135C ⋅=.【点睛】本题考查了求二项式展开式中常数项问题，理解掌握二项式展开式各项系数和与二项式系数之各的区别是解题的关键.13.随机变量X 的分布列如下，若1()3E X =，则()D X 的值是_______.【答案】59【解析】 【分析】由离散型随机变量分布列的性质，结合1()3E X =，可以求出,a c ，最后利用方差的计算公式求出()D X 的值.【详解】由离散型随机变量分布列的性质可知中：11(1)3a c ++=，因为1()3E X =，所以有11101(2)33a c -⋅+⨯+⋅=，联立（1）（2），可得：11,62a c ==， 所以2221111115()(1)(0)(1)6333239D X =⨯--+⨯-+⨯-=.【点睛】本题考查了离散型随机变量分布列的性质、离散型随机变量的数学期望和方差的计算公式，考查了数学运算能力.14.如图是函数()y f x =的导函数()y f x '=的图象，给出下列命题：①-2是函数()y f x =的极值点；②1是函数()y f x =的极值点；③()y f x =在0x =处切线的斜率小于零；④()y f x =在区间(-2,2)上单调递增.则正确命题的序号是_______.（写出所有正确命题的序号）【答案】①④ 【解析】 【分析】根据导函数的图象和极值点和单调性之间的关系，对四个命题逐一判断.【详解】命题①：通过导函数的图象可以知道，当(,2)x ∈-∞-时，'0y <，所以函数()y f x =单调递减，当(2,1)x ∈-时，'0y >，所以函数()y f x =单调递增，故-2是函数()y f x =的极值点，故本命题是真命题；命题②：通过导函数的图象可以知道，当(2,1)x ∈-时，'0y >，所以函数()y f x =单调递增，当(1,)x ∈+∞时，'0y >，所以函数()y f x =单调递增，故1不是函数()y f x =的极值点，故本命题是假命题；命题③：由图象可知'(0)0f >，所以()y f x =在0x =处切线的斜率大于零，故本命题是假命题；命题④：由图象可知当(2,2)x ∈-时，'0y >，所以函数()y f x =单调递增，故本命题是真命题，故正确命题的序号是①④.【点睛】本题考查了函数图象与导函数图象之间的关系，考查了极值的定义，考查了数形结合思想.三、解答题（本大题共6小题，共80分） 15.已知函数3()3 1 f x x ax =--1x =-处取得极值.（1）求实数a 的值；（2）当[2,1]x ∈-时，求函数()f x 的最小值. 【答案】（1）1；（2）3-. 【解析】 【分析】（1）求导，根据极值的定义可以求出实数a 的值；（2）求导，求出[2,1]x ∈-时的极值，比较极值和(2)(1)f f -、之间的大小的关系，最后求出函数的最小值.【详解】（1）3'2()31()33f x x ax f x x a =⇒=---，函数3()3 1 f x x ax =--在1x =-处取得极值，所以有2'3(1()01130)a f a --==⇒-=⇒；（2）由（1）可知：3'2()31()333(1)(1 )f x x x f x x x x =--=-=+-⇒，当(2,1)x ∈--时，'()0f x >，函数()f x 单调递增，当(1,1)x ∈-时，'()0f x <，函数()f x 单调递减，故函数在1x =-处取得极大值，因此3(1)(1) =13(1)1f -=--⨯--，3(2)(2)3(2) 1 3=f -=--⨯---，3(1)131 1=3f =-⨯--，故函数()f x 的最小值为3-.【点睛】本题考查了求闭区间上函数的最小值，考查了极值的定义，考查了数学运算能力.16.某外语学校的一个社团中有7名同学，其中2人只会法语，2人只会英语，3人既会法语又会英语，现选派3人到法国的学校交流访问. （1）在选派的3人中恰有2人会法语的概率.（2）在选派的3人中既会法语又会英语的人数的分布列与期望. 【答案】（1）47；（2）97. 【解析】 【分析】（1）直接用古典概型的概率公式求解即可；（2）设在选派的3人中既会法语又会英语的人数为ξ，可以知道ξ的可能取值为0,1,2,3，分别求出相应取值时的概率，列出分布列，求出数学期望.【详解】（1）设在选派的3人中恰有2人会法语为事件A ，2152374()7C C P A C ==； （2）设在选派的3人中既会法语又会英语的人数为ξ， ξ的可能取值为0,1,2,3，21123343433433337777418121(0),(1),(2),(3)35353535C C C C C C P P P P C C C C ξξξξ============， 分布列：18121459123353535357E ξ=⨯+⨯+⨯==. 【点睛】本题考查了古典概型概率的计算公式、离散型随机变量分布列和数学期望，考查了数学运算能力.17.已知甲同学每投篮一次，投进的概率均为23. （1）求甲同学投篮4次，恰有3次投进的概率；（2）甲同学玩一个投篮游戏，其规则如下：最多投篮6次，连续2次不中则游戏终止.设甲同学在一次游戏中投篮的次数为X ，求X 的分布列. 【答案】（1）3281；（2）分布列见解析. 【解析】 【分析】（1）由题意可知：甲同学投篮4次，投进的次数服从二项分布，根据二项分布的特点，可以求出甲同学投篮4次，恰有3次投进的概率；（2）根据题意可以求出X 的可能取值为2,3,4,5,6，分别求出相应取值时概率的大小，然后列出分布列.【详解】（1）由题意可知：甲同学投篮4次，投进的次数服从二项分布，所以甲同学投篮4次，恰有3次投进的概率为3342132()()3381C ⋅⋅=； （2）由题意可知X 的可能取值为2,3,4,5,6，111(2)339P X ==⨯=，2112(3)33327P X ==⨯⨯=，212112(4)3333327P X ⎛⎫==+⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭，2112116(5)13333243P X ⎡⎤⎛⎫==-⋅⋅⋅= ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭， 164(6)1[(2)(3)(4)(5)]243P X P X P X P X P X ==-=+=+=+==，所以X 的分布列为：【点睛】本题考查了二项分布的特点，考查了离散型随机变量分布列，考查了数学运算能力.18.已知函数()x x af x e+=.（1）若()f x 在区间(,2)-∞上为单调递增函数，求实数a 的取值范围；（2）若00,1a x =<，设直线()y g x =为函数()f x 的图象在0x x =处的切线，求证：()()f x g x ….【答案】（1）(],1-∞-；（2）见解析 【解析】试题分析：（1）求出函数的导函数()()1'xx a f x e--=-，通过()'0f x ≥对(),2x ∈-∞恒成立，推出12a -≥，即可求出a 的范围；（2）利用0a =，化简()xxf x e =，通过函数()f x 在0x x =处的切线方程为()()()()000'y g x f x x x f x ==-+，讨论当0x x =时，()()f x g x =；当0x x ≠时，利用分析法证明；构造函数()()()h x f x g x =-()()()()000'f x f x x x f x =---，求出()()()0011'x x x x x e x e h x e +---=，构造新函数()()()0011,xxx x e x e x R ϕ=---∈，利用公式的导数求解函数的最值，然后推出结论. 试题解析：(1)解 易知f ′(x)＝－，由已知得f ′(x)≥0对x∈(－∞，2)恒成立，故x≤1－a 对x∈(－∞，2)恒成立，∴1－a≥2，∴a≤－1. 即实数a 的取值范围为(－∞，－1]. (2)证明 a ＝0，则f (x)＝.函数f (x)的图象在x ＝x 0处的切线方程为y ＝g(x)＝f′(x 0)(x －x 0)＋f (x 0). 令h(x)＝f (x)－g(x)＝f (x)－f ′(x 0)(x －x 0)－f (x 0)，x∈R ， 则h′(x)＝f ′(x)－f ′(x 0)＝－＝.设φ(x)＝(1－x)e x 0－(1－x 0)e x ，x∈R ，则φ′(x)＝－e x 0－(1－x 0)e x ，∵x 0<1，∴φ′(x)<0， ∴φ(x)在R 上单调递减，而φ(x 0)＝0， ∴当x<x 0时，φ(x)>0，当x>x 0时，φ(x)<0，∴当x<x 0时，h′(x)>0，当x>x 0时，h′(x)<0，∴h(x)在区间(－∞，x 0)上为增函数，在区间(x 0，＋∞)上为减函数， ∴x∈R 时，h(x)≤h(x 0)＝0， ∴f (x)≤g(x).19.已知函数ln ()()a xf x a x+=∈R . （1）若4a =，求曲线()f x 在点(,())e f e 处的切线方程； （2）求()f x 的极值；（3）若函数()f x 的图象与函数()1g x =的图象在区间(20,e ⎤⎦上有公共点，求实数a 的取值范围.【答案】（1）2490x e y e +-=；（2）1a e -；（3）1a …. 【解析】 【分析】（1）求导，把x e =代入导函数中，求出曲线()f x 在点(,())e f e 处的切线的斜率，再求出()f e 的值，写出切线的点斜式方程，最后化为一般式；（2）对函数进行求导，让导函数为零，求出零点，然后判断函数的单调性，最后求出()f x 的极值；（3）函数()f x 的图象与函数()1g x =的图象在区间(20,e ⎤⎦上有公共点，即在区间(20,e ⎤⎦上，()1f x =有解，这就要求函数()f x 在(20,e ⎤⎦上的最大值大于等于1，最小值小于等于1即可，结合（2）进行分类讨论，利用导数判断出函数的单调区间，求出函数的最大值，最后求出实数a 的取值范围.【详解】（1）因为4a =，所以'24ln 3ln ()()x x f x f x x x +--=⇒=，所以有'24()f e e-=， 而5()f e e =，曲线()f x 在点(,())e f e 处的切线方程为： 2254()490y x e x e y e e e--=-⇒+-=；（2）函数()f x 的定义域为(0,)+∞，ln ()a x f x x +=⇒ 21(ln )()x a f x x'-+=，令'()0f x =，得1a x e -=，当()10,ax e-∈时，'()0,()f x f x >是增函数；当()1,ax e-∈+∞时，'()0,()f x f x <是减函数，所以函数()f x 在1a x e -=处取得极大值，即为()11aa f ee--=，所以()f x 的极值为1a e -；（3）①当12a e e -<时，即1a >-时，由（2）可知：当()10,ax e -∈时，函数()f x 单调递增，当()1,ax ee -∈时，函数()f x 单调递减，函数()f x 在1a x e -=处取得极大值，即为()11a a f e e --=，所以()f x 的最大值为1a e -，又当a x e -=时，函数()f x 的值为零，故当(0,a x e -⎤∈⎦时，()0f x ≤，当(2,a x e e -⎤∈⎦时，(1()0,a f x e -⎤∈⎦，函数()f x 的图象与函数()1g x =的图象在区间(20,e ⎤⎦上有公共点，等价于11a e -…，解得1a …； ②当12a e e -…时，即1a -…时，由（2）可知函数()f x 在(20,e ⎤⎦上单调递增，函数()f x 在(20,e ⎤⎦上的最大值为()222a f e e +=，原问题等价于221ae+…，解得22a e -…，而1a -…，所以无解，综上所述：实数a 的取值范围是1a …. 【点睛】本题考查了利用导数研究函数的极值，考查了利用导数求曲线切线问题，考查了利用导数研究两个曲线有公共点问题，考查了分类讨论思想、转化思想，利用导数求出函数的单调区间，是解题的关键.20. （本小题满分14分）已知函数()f x 的图象在[,]a b 上连续不断，定义：1()min{()|}f x f t a t x =≤≤([,])x a b ∈，2()max{()|}f x f t a t x =≤≤([,])x a b ∈．其中，min{()|}f x x D ∈表示函数()f x 在D 上的最小值，max{()|}f x x D ∈表示函数()f x 在D 上的最大值．若存在最小正整数k ，使得21()()()f x f x k x a -≤-对任意的[,]x a b ∈成立，则称函数()f x 为[,]a b 上的“k 阶收缩函数”．（Ⅰ）若()cos f x x =，[0,]x π∈，试写出1()f x ，2()f x 的表达式；（Ⅱ）已知函数2()f x x =，[1,4]x ∈-，试判断()f x 是否为[1,4]-上的“k 阶收缩函数”，如果是，求出对应的k ；如果不是，请说明理由；（Ⅲ）已知0b >，函数32()3f x x x =-+是[0,]b 上的2阶收缩函数，求b 的取值范围.【答案】解：（1）由题意可得：1()cos ,[0,]f x x x π=∈，2()1,[0,]f x x π=∈。

2017－2018高二下期中考数学测试卷一、选择题(12小题，每小题5分,共60分) 1．复数4312ii++的实部是( ) A ．－2 B ．2 C ．3 D ．42．张、王两家夫妇各带1个小孩一起到动物园游玩，购票后排队依次入园．为安全起见，首尾一定要排两位爸爸，另外，两个小孩一定要排在一起，则这6人的入园顺序排法种数共有( )A ．12B ．24C ．36D ．483．下列说法正确的是 ( )A.命题“若x 2=1,则x=1”的否命题为“若x 2=1,则x ≠1” B.命题“∀x ≥0,x 2+x-1<0”的否定是“∃x 0<0,+x 0-1<0”C.命题“若x=y,则sinx=siny ”的逆否命题为假命题D.若“p ∨q ”为真命题,则p,q 中至少有一个为真命题4.的展开式中的常数项为 ( )A.12B.-12C.6D.-65.使不等式x 2-3x<0成立的一个必要不充分条件是 ( )A.0<x<3B.0<x<4C.0<x<2D.x<0或x>36．已知a ，b ，c 是空间的一个基底，设p ＝a ＋b ，q ＝a －b ，则下列向量中可以与p ，q 一起构成空间的另一个基底的是( )A ．aB ．bC ．cD ．以上都不对7.如图1，已知F 是椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左焦点，P 是椭圆上的一点，PF ⊥x 轴，OP ∥AB (O为原点)，则该椭圆的离心率是( )图1A.22 B ．24 C ．12 D ．328. 定积分的值为（ ）A. 0B.C. 2D. 49. 若函数的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称具有T 性质，下列函数中具有T 性质的是（ ）A.B.C. D.10.若直线y=kx-2与抛物线y 2=8x 交于A,B 两个不同的点,且AB 的中点的横坐标为2,则k 等于 ( )A.2或-1B.-1C.2D.1±11．设f (x )，g (x )分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，当x ＜0时，f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )>0，且f (3)＝0，则不等式f (x )g (x )<0的解集是( )A ．(－3,0)∪(3，＋∞)B ．(－3,0)∪(0,3)C ．(－∞，－3)∪(3，＋∞)D ．(－∞，－3)∪(0,3)12. 已知AB 是平面α的斜线段，A 为斜足，若AB 与平面α成60︒角，过定点B 的动直线l 与斜线AB 成60︒角，且交α于点P ，则动点P 的轨迹是( )A. 圆B. 椭圆C.双曲线D.抛物线 二、填空题(4小题，每小题5分，共20分) 13、双曲线y 216－x29＝1的渐近线的方程为________．14.已知随机变量ξ服从正态分布2(2)N σ，， (4)0.84P ξ≤=，则(02)P ξ≤≤＝__________ 15．若三角形内切圆的半径为r ，三边长为a b c ，，，则三角形的面积等于1()2S r a b c =++，根据类比推理的方法，若一个四面体的内切球的半径为R ，四个面的面积分别是1234S S S S ，，，，则四面体的体积V = ．16. 定义域在R 上的可导函数y ＝f (x )的导函数为'()f x ，满足f (x )>'()f x ，且，则不等式的解集为___________.三、解答题(6小题，满分70分)17．(本小题满分10分)某校在两个班进行教学方式对比试验，两个月后进行了一次检测，试验班与对照班成绩统计如下表所示(单位：人)：(1)求m ，n ；(2)能否在犯错误的概率不超过0．005的情况下认为教学方式与成绩有关系？18. （本小题满分12分）已知函数()ln f x x bx c =-+，()f x 在点(1,(1))f 处的切线方程为40x y ++=． （Ⅰ）求()f x 的解析式； （Ⅱ）求()f x 的单调区间；19. (本小题满分12分)一盒中装有9张各写有一个数字的卡片，其中4张卡片上的数字是1，3张卡片上的数字是2，2张卡片上的数字是3.从盒中任取3张卡片．(1)求所取3张卡片上的数字完全相同的概率；(2)X 表示所取3张卡片上的数字的中位数，求X 的分布列与数学期望． (注：若三个数a ，b ，c 满足a ≤b ≤c ，则称b 为这三个数的中位数)20．（本小题满分12分）已知四棱锥P ABCD -的底面为直角梯形，//90AB CD DAB ∠=，,PA ⊥底面ABCD ，且112PA AD DC AB M ====，是PB 的中点. (1)证明：平面PAD ⊥平面PCD (2)求二面角A CM B --的余弦值.21.( 本小题满分12分)已知椭圆C 的中心在坐标原点,焦点在x 轴上,它的一个顶点恰好是抛物线y=x 2的焦点,离心率为.(1)求椭圆C 的标准方程.(2)过椭圆C 的右焦点F 作直线l 交椭圆C 于A,B 两点,交y 轴于点M,若=m ,=n ,试判断m+n 是否为定值，若是求出m+n 的值，若不是请说明理由.22．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝ln x －a x. (1)若f (x )存在最小值且最小值为2，求a 的值；(2)设g (x )＝ln x －a ，若g (x )＜x 2在(0，e]上恒成立，求a 的取值范围．2017－2018高二下期中考数学测试卷班级：座号：姓名：命题人：徐强审题人：吴元良一、选择题(12小题，每小题5分,共60分)1．复数4312ii++的实部是( )A．－2 B．2 C．3 D．4解析：选B2．张、王两家夫妇各带1个小孩一起到动物园游玩，购票后排队依次入园．为安全起见，首尾一定要排两位爸爸，另外，两个小孩一定要排在一起，则这6人的入园顺序排法种数共有( )A．12 B．24 C．36 D．48解析：选B 第一步，将两位爸爸排在两端有2种排法；第二步，将两个小孩视作一人与两位妈妈任意排在中间的三个位置上有2A33种排法，故总的排法有2×2×A33＝24种．3．下列说法正确的是( )A.命题“若x2=1,则x=1”的否命题为“若x2=1,则x≠1”B.命题“∀x≥0,x2+x-1<0”的否定是“∃x0<0,+x0-1<0”C.命题“若x=y,则sinx=siny”的逆否命题为假命题D.若“p∨q”为真命题,则p,q中至少有一个为真命题【解析】选D.4.的展开式中的常数项为( )A.12B.-12C.6D.-6【解析】选A.展开式中的通项公式为T r+1=·x6-2r·(-2)r·x-r=(-2)r··x6-3r,令6-3r=0,求得r=2,故展开式中的常数项为4×3=12.5.使不等式x2-3x<0成立的一个必要不充分条件是( )A.0<x<3B.0<x<4C.0<x<2D.x<0或x>3【解析】选B.6．已知a，b，c是空间的一个基底，设p＝a＋b，q＝a－b，则下列向量中可以与p，q一起构成空间的另一个基底的是( )A ．aB ．bC ．cD ．以上都不对解析 ∵a ，b ，c 不共面，∴a ＋b ，a －b ，c 不共面，∴p ，q ，c 可构成空间的一个基底． 答案 C7.如图1，已知F 是椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左焦点，P 是椭圆上的一点，PF ⊥x 轴，OP∥AB (O 为原点)，则该椭圆的离心率是()图1A.22 B ．24 C ．12 D ．32【解析】 因为PF ⊥x 轴，所以P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－c ，b 2a .又OP ∥AB ，所以b a ＝b 2ac，即b ＝c .于是b 2＝c 2，即a 2＝2c 2，所以e ＝c a ＝22. 【答案】 A8. 定积分的值为（ ）A. 0B.C. 2D. 4【答案】C9. 若函数的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称具有T 性质，下列函数中具有T 性质的是（ ） A. B. C. D.【答案】 A【解析】根据导数的几何意义，若具有T 性质，则存在使或且处切线与x 轴垂直.A 项，，，有具有T 性质，故A 项正确；B 项，，，切线斜率存在，不满足，不具有T 性质，故B 项错误；C 项，， 不具有T 性质，故C 项错误；D 项，，，不具有T 性质，故D 项错误.10.若直线y=kx-2与抛物线y 2=8x 交于A,B 两个不同的点,且AB 的中点的横坐标为2,则k 等于 ( ) A.2或-1B.-1C.2D.1±【解析】选C.由消去y 得,k 2x 2-4(k+2)x+4=0,故Δ=[-4(k+2)]2-4k 2×4=64(1+k)>0, 解得k>-1,由x 1+x 2==4,解得k=-1或k=2,又因为k>-1,故k=2. 【易错警示】本题易忽略Δ>0而错选A.11．设f (x )，g (x )分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，当x ＜0时，f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )>0，且f (3)＝0，则不等式f (x )g (x )<0的解集是( )A ．(－3,0)∪(3，＋∞)B ．(－3,0)∪(0,3)C ．(－∞，－3)∪(3，＋∞)D ．(－∞，－3)∪(0,3) 解析：选D 设F (x )＝f xg x， 则F ′(x )＝fx g x －f x gx[g x2，由题意知：F (x )为奇函数，F (x )在(－∞，0)上递增，F (3)＝0，数形结合易得F (x )<0的解集为(－∞，－3)∪(0,3)，从而f (x )g (x )<0的解集也为(－∞，－3)∪(0,3)． 12. 已知AB 是平面α的斜线段，A 为斜足，若AB 与平面α成60︒角，过定点B 的动直线l 与斜线AB 成60︒角，且交α于点P ，则动点P 的轨迹是( )A. 圆B. 椭圆C.双曲线D.抛物线 解析：选D二、填空题(4小题，每小题5分，共20分)13、双曲线y 216－x29＝1的渐近线的方程为________．答案： y ＝±43x14.已知随机变量ξ服从正态分布2(2)N σ，， (4)0.84P ξ≤=，则(02)P ξ≤≤＝__________ 答案：0.3415．若三角形内切圆的半径为r ，三边长为a b c ，，，则三角形的面积等于1()2S r a b c =++，根据类比推理的方法，若一个四面体的内切球的半径为R ，四个面的面积分别是1234S S S S ，，，，则四面体的体积V = ．答案：13R(S 1+S 2+S 3+S 4) 16. 定义域在R 上的可导函数y ＝f (x )的导函数为，满足，且，则不等式的解集为___________.【答案】【解析】令，，可得函数在R 上为减函数， 又， 故不等式即.不等式的解集为.三、解答题(6小题，满分70分)17．(本小题满分10分)某校在两个班进行教学方式对比试验，两个月后进行了一次检测，试验班与对照班成绩统计如下表所示(单位：人)：(1)求m ，n ；(2)能否在犯错误的概率不超过0．005的情况下认为教学方式与成绩有关系？解：(1)m ＝45－15＝30，n ＝50＋50＝100． (2)由表中的数据，得K 2的观测值为k ＝－250×50×55×45≈9．091．因为9．091>7．879，所以能在犯错误的概率不超过0．005的前提下认为教学方式与成绩有关系．18. （本小题满分12分）已知函数()ln f x x bx c =-+，()f x 在点(1,(1))f 处的切线方程为40x y ++=． （Ⅰ）求()f x 的解析式； （Ⅱ）求()f x 的单调区间；解：（Ⅰ）11(),()|1x f x b f x b x=''=-∴=- 又切线斜率为－１，故11b -=-，从而2b =将(1,(1))f 代入方程40x y ++=得：1(1)40f ++=，从而(1)5f =-(1)5f b c ∴=-+=-，将2b =代入得3c =-故()ln 23f x x x =-- （Ⅱ）依题意知0x >，1()2f x x'=- 令()0f x '>，得：102x <<，再令()0f x '<，得：12x > 故()f x 的单调增区间为1(0,)2，单调减区间为1(,)2+∞19. (本小题满分12分)一盒中装有9张各写有一个数字的卡片，其中4张卡片上的数字是1，3张卡片上的数字是2，2张卡片上的数字是3.从盒中任取3张卡片．(1)求所取3张卡片上的数字完全相同的概率；(2)X 表示所取3张卡片上的数字的中位数，求X 的分布列与数学期望． (注：若三个数a ，b ，c 满足a ≤b ≤c ，则称b 为这三个数的中位数) 解：(1)由古典概型的概率计算公式知所求概率为P ＝C 34＋C 33C 39＝584.(2)X 的所有可能值为1，2，3，且P (X ＝1)＝C 24C 15＋C 34C 39＝1742； P (X ＝2)＝C 13C 14C 12＋C 23C 16＋C 33C 39＝4384；P (X ＝3)＝C 22C 17C 39＝112. 故X 的分布列为：从而E (X )＝1×1742＋2×84＋3×12＝28.20．（本小题满分12分）已知四棱锥P ABCD -的底面为直角梯形，//90AB CD DAB ∠=，,PA ⊥底面ABCD ，且112PA AD DC AB M ====，是PB 的中点. (1)证明：平面PAD ⊥平面PCD(2)求二面角A CM B --的余弦值.【答案】(1)详见解析;(2)23-. (1)证明：PA ⊥面ABCD ，CD AD ⊥，∴由三垂线定理得：CD PD ⊥.因而，CD 与面PAD 内两条相交直线AD PD ，都垂直， CD ∴⊥面PAD ，又CD ⊂面PCD ，∴面PAD ⊥面PCD .(2)作AN CM ⊥，垂足为N ，连接BN .在Rt PAB ∆中，AM MB =，又AC CB =，AMC ∴∆≌BMC ∆,BN CM ∴⊥，故ANB ∠为所求二面角的平面角CB AC ⊥，由三垂线定理，得CB PC ⊥,在Rt PCB ∆中，CM MB =，所以CM AM =.在等腰三角形AMC 中，•AN MC AC =,2AN AB ∴∴=,2222cos 23AN BN AB ANB AN BN +-∴∠==-⨯⨯. 故二面角A CM B --余弦值为23-. 注：向量法请酌情给分。

2017-2018学年度高二年级期中考试数学（理科）试卷一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．设正弦函数y ＝sinx 在x ＝0和x ＝π2附近的瞬时变化率为k1、k2，则k1、k2的大小关系为( )A ．k1>k2B ．k1<k2C ．k1＝k2D ．不确定2．命题“对任意x R ∈,都有20x ≥”的否定为（ ）A ．对任意x R ∈,使得20x <B ．不存在x R ∈,使得20x <C ．存在0x R ∈,都有200x ≥D ．存在0x R ∈,都有200x <3．设z 是复数,则下列命题中的假命题是（ ）A ．若20z ≥, 则z 是实数B ．若20z <, 则z 是虚数C ．若z 是虚数, 则20z ≥D ．若z 是纯虚数, 则20z <4．一物体以速度v ＝(3t2＋2t)m/s 做直线运动，则它在t ＝0s 到t ＝3s 时间段内的位移是（ ）A ．31mB ．36mC ．38mD ．40m5．3．复数31iz i +=-（i 为虚数单位）在复平面内对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限6．对于命题p 和q ，若p 且q 为真命题，则下列四个命题：①p 或¬q 是真命题；②p 且¬q 是真命题；③¬p 且¬q 是假命题；④¬p 或q 是假命题．其中真命题是( )A ．①②B ．③④C ．①③D ．②④7．三次函数f(x)＝mx3－x 在(－∞，＋∞)上是减函数，则m 的取值范围是( )A ．m<0B ．m<1C ．m≤0D ．m≤18．已知抛物线y ＝－2x2＋bx ＋c 在点(2，－1)处与直线y ＝x －3相切，则b ＋c 的值为( )A ．20B ．9C ．－2D ．29．设f(x)=cos 2tdt ，则f =( )A.1B.sin 1C.sin 2D.2sin 410．“ a=b ”是“直线与圆22()()2x a y b -++=相切的 ( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分又不必要条件11．设函数f(x)的图象如图，则函数y ＝f ′(x)的图象可能是下图中的( )12．若关于x 的不等式x3－3x2－9x ＋2≥m 对任意x ∈[－2，2]恒成立，则m 的取值范围是( )A ．(－∞，7]B ．(－∞，－20]C ．(－∞，0]D ．[－12,7]二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，将正确答案填在题中横线上)13．若曲线f(x)＝x4－x 在点P 处的切线垂直于直线x －y ＝0，则点P 的坐标为________14．f(x)＝ax3－2x2－3，若f′(1)＝2，则a 等于________．15．220(4)x x dx --=⎰_______________．16．已知z C ，且|z|=1，则|z-2i|（i 为虚数单位）的最小值是________三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17. (本题满分10分) (1) 求导数22sin(25)y x x =+ (2)求定积分：10(1)x x dx +⎰18. (本题满分12分)设：x2-8x-9≤0，q ：，且非p 是非q 的充分不必要条件，求实数m 的取值范围.19．(本题满分12分)已知z 为复数，i z +和i z-2均为实数，其中i 是虚数单位. （Ⅰ）求复数z 和||z ；（Ⅱ）若immzz27111+--+=在第四象限，求m的范围.20．(本题满分12分)已知函数f(x)＝－x3＋3x2＋a.(1)求f(x)的单调递减区间；(2)若f(x)在区间[－2,2]上的最大值为20，求它在该区间上的最小值．21．(本题满分12分) 设y＝f(x)是二次函数，方程f(x)＝0有两个相等的实根，且f′(x)＝2x＋4.(1)求y＝f(x)的表达式；(2)求直线y=2x+4与y=f(x)所围成的图形的面积.22．(本题满分12分) 设函数f(x)=x2+ax+b，g(x)=ex(cx+d)，若曲线y=f(x)和曲线y=g(x)都过点P(0，4)，且在点P处有相同的切线y=4x+4.(1)求a，b，c，d的值.(2)若存在x≥-2时，f(x)≤k-g(x)，求k的取值范围.20[解析] (1)f ′(x)＝－3x2＋6x.令f ′(x)<0，解得x<0，或x>2，∴函数f(x)的单调递减区间为(－∞，0)和(2，＋∞)．(2)∵f(－2)＝8＋12＋a＝20＋a，f(2)＝－8＋12＋a＝4＋a，∴f(－2)>f(2)．∵在(0,2)上f ′(x)>0，∴f(x)在(0,2]上单调递增．又由于f(x)在[－2，0]上单调递减，因此f(0)是f(x)在区间[－2,2]上的最大值，于是有f(0)=a＝20∴f(x)＝－x3＋3x2－20∴f(2)＝＝－16，即函数f(x)在区间[－2，2]上的最小值为－16.21[解析] (1)f ′(x)＝－3x2＋6x.令f ′(x)<0，解得x<0，或x>2，∴函数f(x)的单调递减区间为(－∞，0)和(2，＋∞)．(2)∵f(－2)＝8＋12＋a＝20＋a，f(2)＝－8＋12＋a＝4＋a，∴f(－2)>f(2)．∵在(0,2)上f ′(x)>0，∴f(x)在(0,2]上单调递增．又由于f(x)在[－2，0]上单调递减，因此f(0)是f(x)在区间[－2,2]上的最大值，于是有f(0)=a＝20∴f(x)＝－x3＋3x2－20∴f(2)＝＝－16，即函数f(x)在区间[－2，2]上的最小值为－16.22【解题指南】(1)根据曲线y=f(x)和曲线y=g(x)都过点P(0，2)，可将P(0，2)分别代入到y=f(x)和y=g(x)中，再利用在点P处有相同的切线y=4x+2，对曲线y=f(x)和曲线y=g(x)进行求导，列出关于a，b，c，d的方程组求解.(2)构造函数F(x)=kg(x)-f(x)，然后求导，判断函数F(x)=kg(x)-f(x)的单调性，通过分类讨论，确定k的取值范围.【解析】(1)由已知得f(0)=2，g(0)=2，f′(0)=4，g′(0)=4.而f′(x)=2x+a，g′(x)=ex(cx+d+c).故b=2，d=2，a=4，d+c=4.从而a=4，b=2，c=2，d=2.(2)由(1)知f(x)=x2+4x+2，g(x)=2ex(x+1).设F(x)=kg(x)-f(x)=2kex(x+1)-x2-4x-2，则F′(x)=2kex(x+2)-2x-4=2(x+2)(kex-1).由题设可得F(0)≥0，即k≥1.令F′(x)=0，即2(x+2)(kex-1)=0，得x1=-lnk，x2=-2.①若1≤k<e2，则-2<x1≤0，从而当x∈(-2，x1)时，F′(x)<0，当x∈(x1，+∞)时，F′(x)>0，即F(x)在x∈(-2，x1)上单调递减，在x∈(x1，+∞)上单调递增，故F(x)在[-2，+∞)上有最小值为F(x1).F(x1)=2x1+2--4x1-2=-x1(x1+2)≥0.故当x≥-2时，F(x)≥0恒成立，即f(x)≤kg(x).②若当k=e2，则F′(x)=2e2(x+2)(ex-e-2)，当x>-2时，F′(x)>0，即F(x)在(-2，+∞)上单调递增，而F(-2)=0，故当且仅当x≥-2时，F(x)≥0恒成立，即f(x)≤kg(x).③若k>e2，则F(-2)=-2ke-2+2=-2e-2(k-e2)<0.从而当x≥-2时，f(x)≤kg(x)不可能恒成立.综上，k的取值范围为[1，e2].。

2017-2018学年度第二学期高二年级数学（理科）期中考试试卷（卷面分值：150分，考试时间：120分钟）选择题（共17题，每小题5分，共85分）1．从A 地到B 地，可乘汽车、火车、轮船三种交通工具，如果一天内汽车发3次，火车发4次，轮船发2次，那么一天内乘坐这三种交通工具的不同走法为 ( ) A ．1＋1＋1＝3 B ．3＋4＋2＝9 C ．3×4×2＝24 D ．以上都不对 2．已知C2n ＝10，则n 的值等于 ( ) A ．10 B ．5 C ．3 D ．23．男、女学生共有8人，从男生中选取2人，从女生中选取1人，共有30种不同的选法，其中女生有 ( ) A ．2人或3人 B ．3人或4人 C ．3人 D ．4人4．若100件产品中有6件次品，现从中任取3件产品，至少有1件次品的不同取法的种数是 ( ) A ．C16C294B ．C16C299C ．C3100－C394D ．C3100－C2945已知回归直线方程y ^ ＝b ^x ＋a ^ ，其中a ^＝3且样本点中心为(1,2)，则回归直线方程为 ( )A ．y ＝x ＋3B ．y ＝－2x ＋3C ．y ＝－x ＋3D ．y ＝x －3 6．若随机变量ξ的分布列如下表所示，则p1等于( )ξ －1 2 4P15 23 P1 A.0B.215C.115D ．17．一个口袋装有2个白球和3个黑球，则先摸出1个白球后放回，再摸出1个白球的概率是 ( ) A.23B.14C.25D.158．某同学通过计算机测试的概率为13，他连续测试3次，其中恰有1次通过的概率为( )A.49B.29C.427D.2279．若随机变量ξ的分布列为ξ1P m n，其中m ∈(0,1)，则下列结果中正确的是 ( ) A ．E(ξ)＝m ，D(ξ)＝n3B ．E(ξ)＝n ，D(ξ)＝n2C ．E(ξ)＝1－m ，D(ξ)＝m －m2D ．E(ξ)＝1－m ，D(ξ)＝m210．将一颗骰子连续抛掷三次，它落地时向上的点数依次成等差数列的概率为 ( )A.19B.112C.115D.11811．某大街在甲、乙、丙三处设有红绿灯，汽车在这三处因遇绿灯而通行的概率分别为13，12，23，则汽车在这三处因遇红灯而停车一次的概率为( ) A.19 B.16 C.13D.71812．位于西部地区的A 、B 两地，据多年的资料记载：A 、B 两地一年中下雨天仅占6%和8%，而同时下雨的比例为2%，则A 地为雨天时，B 地也为雨天的概率为 ( ) A.17 B.14 C.13 D.34 13. 一人有n 把钥匙，其中只有一把可把房门打开，逐个试验钥匙，房门恰好在第k 次被打开（1≤k ≤n ）的概率是（ ）A ．1!nB ．1nC ．k nD ．1(1)!k n - 14．将一枚骰子抛掷两次，若先后出现的点数分别为b 、c ，则方程20x bx c ++=有相等实根的概率为（ ）A ．112B ．19C ．136D ．11815．12名同学合影，站成前排4人后排8人，现摄影师要从后排8人中抽2人调整到前排(这样就成为前排6人，后排6人)，若其他人的相对顺序不变，则不同调整方法的总数是( ) A ．C28A23 B ．C28A66 C ．C28A26 D ．C28A2516．设(2－x)6＝a0＋a1x ＋a2x2＋…＋a6x6，则|a1|＋|a2|＋…＋|a6|的值是( )A ．665B ．729C ．728D ．6317．将正方体ABCD —A1B1C1D1的各面涂色，任何相邻两个面不同色，现在有5个不同的颜色，并且涂好了过顶点A 的3个面的颜色，那么其余3个面的涂色方案共有（ ） A ．15种 B ．14种 C ．13种 D ．12种 填空题（共4题，每5分，共20分）18.⎝⎛⎭⎫2x －1x 6的二项展开式中的常数项为______．(用数字作答)19．已知随机变量ξ～B(5，13)，随机变量η＝2ξ－1，则E(η)＝________.20.在15个村庄中有7个村庄交通不方便，现从中任意选10个村庄，用X 表示这10个村庄中交通不方便的村庄数，则P （X=4）=.（用数字表示）21．某药品研究所研制了5种消炎药a1，a2，a3，a4，a5,4种退烧药b1，b2，b3，b4，现从中取出两种消炎药和一种退烧药同时使用进行疗效实验，但又知a1，a2两种药必须同时使用，且a3，b4两种药不能同时使用，则不同的实验方案有________种． 解答题（共4题，共45分）22（11分）．从4名男同学中选出2人，6名女同学中选出3人，并将选出的5人排成一排． （1）共有多少种不同的排法？（2）若选出的2名男同学不相邻，共有多少种不同的排法？（用数字表示）23（12分）．在一次购物抽奖活动中，假设某10张券中有一等奖券1张，可获价值50元的奖品；有二等奖券3张，每张可获价值10元的奖品；其余6张没有奖，某顾客从此10张券中任抽2张，求： （1）该顾客中奖的概率；（2）该顾客获得的奖品总价值ξ（元）的概率分布列和期望ξE .24（12分）同时抛掷两颗均匀的骰子，请回答以下问题： 求两个骰子都出现2点的概率；（2）若同时抛掷两颗骰子180次，其中甲骰子出现20次2点，乙骰子出现30次2点，问两颗骰子出现2点是否相关？（χ2＝n n11n22－n12n212n1＋n2＋n ＋1n ＋2）25．（本小题满分10分） 选修4 - 4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，曲线C1：cos sin x t y t αα=⎧⎨=⎩（t 为参数，t ≠0），其中0≤α<π，在以O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：2sin ρθ=，C3：23cos ρθ=。