第六章 6.3.5平面向量数量积的坐标表示

6.3.5 平面向量数量积的坐标表示基础过关练题组一 向量数量积的坐标运算 1.(2019北京师范大学附属中学高一期中)设a =(1,-2),b =(-3,4),c =(3,2),则(a +2b )·c =( ) A.12 B.0 C.-3 D.-112.已知a =(cos 75°,sin 15°),b =(cos 15°,sin 75°),则a ·b 的值为( ) A.0 B.12 C .√32D.13.已知向量a =(1,-1),b =(2,x),若a ·b =1,则x=( ) A.-1 B.-12C.12D .14.已知OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,2),OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(4,1),OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x,0),则当AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BP ⃗⃗⃗⃗⃗ 的值最小时,x 的值是( )A.-3B.3C.-1D.15.已知点A(-1,1),B(1,2),C(-2,-1),D(3,4),CD ⃗⃗⃗⃗⃗ 方向上的单位向量为e ,则向量AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 在CD ⃗⃗⃗⃗⃗ 上的投影向量为 . 题组二 向量的模6.已知点A(1,-1),B(-2,3),则与向量AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 方向相同的单位向量为( )A.(-35,45) B.(35,-45)C.(-45,35) D.(45,-35)7.(2020广东惠州高一上期末)已知向量a =(1,1),向量b =(2,0),则|a +3b |= .8.(2020北京西城高一上期末)已知向量a =(1,-2),b =(-3,m),其中m ∈R .若a,b 共线,则|b |= .9.已知向量a =(x,2),b =(-1,1),若|a -b |=|a +b |,则x 的值为 .10.在直角梯形ABCD 中,AD ∥BC,∠ADC=90°,AD=2,BC=1,P 是腰DC 上的动点,求|PA ⃗⃗⃗⃗⃗ +3PB ⃗⃗⃗⃗⃗ |的最小值.题组三 向量的夹角11.已知向量a =(1,-√3),b =(0,-2),则a 与b 的夹角为( ) A.π6B .π3C .5π6D.2π312.已知向量a =(12,-√32),|b |=2√3,若a ·(b -a )=2,则向量a 与b 的夹角为( ) A.π6B .π4C .π3D .π213.(2020北京首师大附中高一上期末)已知向量a,b 在正方形网格中的位置如图所示,那么向量a,b 的夹角为( )A.45°B.60°C.90°D.135°14.(2020吉林长春外国语学校高二上期末)已知向量a =(2,t),b =(-1,3),若a,b 的夹角为钝角,则t 的取值范围是( ) A.t<23 B.t>23C.t<23且t ≠-6 D.t<-6 题组四 向量的垂直15.已知i =(1,0),j =(0,1),则下列与2i +3j 垂直的向量是( ) A.3i +2j B.-2i +3j C.-3i +2j D.2i -3j16.(2020广西柳州高级中学高二上期末)已知平面向量a =(1,-3),b =(4,-2),若λa +b 与a 垂直,则λ=( ) A.-1 B.1 C.-2 D.217.已知平面向量a =(1,1),b =(x,-3),且a ⊥b ,则|a +2b |=( ) A.√74 B.7√2 C.2√6 D.5√218.已知向量a =(2,m),b =(4,-2),且(a +b )⊥(a -b ),则实数m= .19.已知a =(2,0),b =(3,1).(1)当k 为何值时,k a-b 与a+2b 垂直;(2)若AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =5a -2b ,BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =a +m b ,且A,B,C 三点共线,求m 的值.能力提升练题组一 向量的模、夹角与向量的垂直 1.(2020山东枣庄三中高一期中,)下列向量中,一定是单位向量的有( )①a =(cos θ,-sin θ);②b =(√lg2,√lg5);③c =(2x ,2-x );④d =(1-x,x).A.1个B.2个C.3个D.4个2.(2020河北衡水武邑中学高一期中,)已知向量a =(1,1),b =(1,m),其中m 为实数,当两向量的夹角在(0,π12)内变动时,m 的取值范围是( )A.(0,1)B.(√33,√3)C.(√33,1)∪(1,√3) D.(1,√3)3.()如图,以AB 为直径在正方形ABCD 内部作半圆O,P 为半圆上与A,B 不重合的一动点,下面关于|PA ⃗⃗⃗⃗⃗ +PB ⃗⃗⃗⃗⃗ +PC⃗⃗⃗⃗⃗ +PD ⃗⃗⃗⃗⃗ |的说法正确的是(深度解析)A.无最大值,但有最小值B.既有最大值,又有最小值C.有最大值,但无最小值D.既无最大值,又无最小值 4.()若AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(cos θ,-1),AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2cos θ,2sin θ),其中θ∈[0,π],则|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |的最大值为 . 5.(2020河南九师商周联盟高二联考,)已知p:x-a<0,q:向量a =(2,-1)与b =(3,x)的夹角为锐角.若p 是q 的充分不必要条件,则实数a 的取值范围为 .易错题组二 向量数量积的坐标表示的综合应用 6.(2020北京四中高三下统练,)函数y=tan (π4x -π2)的部分图象如图所示,则(OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗ )·AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =( )A.6B.5C.4D.3 7.(2020浙江温州高一上期末,)已知等边△ABC 的边长为2,M 为BC的中点,若|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ -t AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |≥2,则实数t 的取值范围为( ) A.[1,2] B.[0,2]C.(-∞,0]∪[2,+∞)D.(-∞,-1]∪[2,+∞) 8.()已知向量a =(3,2),b =(-1,m +72),且函数f(x)=(a +x b )·(x a -b )的图象是一条直线,则|b |=( ) A.√132B.√14C.2√7D.2√109.(2020江西上饶高一期末,)如图,已知矩形ABCD 中,AB=3,BC=2,该矩形内一点P 满足|CP ⃗⃗⃗⃗⃗ |=1,记I 1=AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ,I 2=AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ,I 3=AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则( )A.存在点P,使得I 1=I 2B.存在点P,使得I 1=I 3C.对任意的点P,有I 2>I 1D.对任意的点P,有I 3>I 1 10.()定义f(x )=x -2(a ·x )·a ,给出下列四个向量:①a =(0,0),②a =(√24,√24),③a =(√22,-√22),④a =(-12,√32).对于任意非零向量x,y ,使f(x )·f(y )=x ·y 恒成立的向量a 的序号是 . 11.()已知△OAB 的顶点坐标为O(0,0),A(2,9),B(6,-3),点P 的横坐标为14,且OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =λPB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,点Q 是边AB 上一点,且OQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =0. (1)求实数λ的值与点P 的坐标; (2)求点Q 的坐标;(3)若R 为线段OQ(含端点)上的一个动点,试求RO ⃗⃗⃗⃗⃗ ·(RA ⃗⃗⃗⃗⃗ +RB ⃗⃗⃗⃗⃗ )的取值范围.答案全解全析 基础过关练1.C ∵a =(1,-2),b =(-3,4),c =(3,2), ∴a +2b =(-5,6),∴(a +2b )·c =-5×3+6×2=-3.2.B a ·b =cos 75°cos 15°+sin 75°sin 15°=cos(75°-15°)=cos 60°=12,故选B.3.D ∵a ·b =(1,-1)·(2,x)=2-x=1, ∴x=1.4.B 由已知可得AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =OP ⃗⃗⃗⃗⃗ -OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x-2,-2), BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =OP ⃗⃗⃗⃗⃗ -OB⃗⃗⃗⃗⃗ =(x-4,-1), 所以AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x-2)(x-4)+2=x 2-6x+10=(x-3)2+1,故当x=3时,AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BP ⃗⃗⃗⃗⃗ 的值最小.故选B. 5.答案3√22e 解析 由已知得AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,1),CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(5,5),因此AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 在CD ⃗⃗⃗⃗⃗ 上的投影向量为AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·CD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |CD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |e =5√2e =3√22e . 6.A 由题意得AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-3,4).设与向量AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 方向相同的单位向量为a ,则a =λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ =λ(-3,4)=(-3λ,4λ),其中λ>0,所以|a |=√(-3λ)2+(4λ)2=1,解得λ=15或λ=-15(舍去),所以与向量AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 方向相同的单位向量为a =(-35,45).故选A.7.答案 5√2解析 由题意得a +3b =(7,1), 所以|a +3b |=2+12=√50=5√2. 8.答案 3√5解析 ∵a,b 共线,∴m-6=0,即m=6, ∴|b |=√(-3)2+62=3√5. 9.答案 2解析 因为a =(x,2),b =(-1,1), 所以a +b =(x-1,3),a -b =(x+1,1).因为|a -b |=|a +b |,所以√(x +1)2+1=√(x -1)2+9,解得x=2. 10.解析 建立如图所示的平面直角坐标系,设DC=h,则A(2,0),B(1,h).设P(0,y)(0≤y ≤h),则PA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,-y),PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,h-y), ∴|PA ⃗⃗⃗⃗⃗ +3PB⃗⃗⃗⃗⃗ |=√25+(3ℎ-4y)2≥√25=5,当且仅当3h=4y,即DP=34DC 时,等号成立.故|PA ⃗⃗⃗⃗⃗ +3PB⃗⃗⃗⃗⃗ |的最小值为5. 11.A 设向量a 与向量b 的夹角为θ(θ∈[0,π]), 则cos θ=a ·b|a||b| =√3)√1+3×√0+4=√32,所以θ=π6.故选A.12.A 由已知可得a 2=|a |2=1,a ·b -a 2=2,所以a ·b =3.设向量a 与b 的夹角为θ,θ∈[0,π],则cos θ=a ·b |a||b|=√32,所以θ=π6. 所以向量a 与b 的夹角为π6.故选A.13.A 将向量b 平移,建立如图所示的平面直角坐标系.设每个小正方形网格的边长为1,则a =(3,1),b =(1,2).设向量a,b 的夹角为θ,则cos θ=a ·b|a|·|b|=√9+1·√1+4=√22,又因为0°≤θ≤180°,所以θ=45°.故选A.14.C 由题意得,a ·b =-2+3t. ∵a 与b 的夹角为钝角, ∴a ·b <0,且a,b 不平行, ∴-2+3t<0且6+t ≠0, 解得t<23且t ≠-6.故选C.15.C ∵i =(1,0),j =(0,1), ∴2i +3j =(2,3).对于选项A,3i +2j =(3,2),∵(2i +3j )·(3i +2j )=6+6=12≠0,∴A 不符合题意; 对于选项B,-2i +3j =(-2,3),∵(2i +3j )·(-2i +3j )=-4+9=5≠0,∴B 不符合题意; 对于选项C,-3i +2j =(-3,2),∵(2i +3j )·(-3i +2j )=-6+6=0,∴2i +3j 与-3i +2j 垂直,∴C 符合题意;对于选项D,2i -3j =(2,-3),∵(2i +3j )·(2i -3j )=4-9=-5≠0,∴D 不符合题意. 故选C.16.A 由题意可得λa +b =(λ+4,-3λ-2),∵λa +b 与a 垂直,∴(λa +b )·a =λ+4+9λ+6=0,∴λ=-1.故选A. 17.A ∵a =(1,1),b =(x,-3),a ⊥b , ∴a ·b =x-3=0,∴x=3,b =(3,-3), ∴a +2b =(7,-5),∴|a +2b |=√72+(−5)2=√74,故选A.18.答案 ±4解析 ∵a =(2,m),b =(4,-2), ∴a +b =(6,m-2),a -b =(-2,m+2). 又∵(a +b )⊥(a -b ),∴(a +b )·(a -b )=6×(-2)+(m-2)(m+2)=0,∴m 2=16, ∴m=±4.19.解析 (1)因为a =(2,0),b =(3,1), 所以k a-b =(2k-3,-1),a+2b =(8,2),由k a-b 与a+2b 垂直,得8(2k-3)+(-1)×2=0,所以k=138. (2)由题得AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =5a-2b =(4,-2),BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =a +m b =(2+3m,m), 因为A,B,C 三点共线,所以AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 共线. 从而4m+2(2+3m)=0, 解得m=-25.能力提升练1. B 1.B|a |=1,|b |=1,|c |=√(2x )2+(2-x )2≥√2,|d |=√(1-x)2+x 2=√2x 2-2x +1=√2(x -12)2+12≥√22,所以一定是单位向量的有2个.故选B.2.C 设向量a,b 的起点均为O(O 为坐标原点),终点分别为A,B.由题意可知,OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,1),即A(1,1).如图所示,当点B 位于B 1或B 2时,a 与b 的夹角为π12,即∠AOB 1=∠AOB 2=π12,此时∠B 1Ox=π4-π12=π6,∠B 2Ox=π4+π12=π3,故B 1(1,√33),B 2(1,√3),又a与b 的夹角不为零,故m ≠1.所以m 的取值范围是(√33,1)∪(1,√3).3.A 设正方形的边长为2.建立如图所示的平面直角坐标系,连接OP,则C(1,2),D(-1,2),|OP ⃗⃗⃗⃗⃗ |=1, 设P(cos θ,sin θ),其中0<θ<π,则PA ⃗⃗⃗⃗⃗ +PB ⃗⃗⃗⃗⃗ +PC ⃗⃗⃗⃗⃗ +PD ⃗⃗⃗⃗⃗ =2PO ⃗⃗⃗⃗⃗ +PC ⃗⃗⃗⃗⃗ +PD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-2cos θ,-2sin θ)+(1-cos θ,2-sin θ)+(-1-cos θ,2-sin θ) =(-4cos θ,4-4sin θ),∴|PA ⃗⃗⃗⃗⃗ +PB ⃗⃗⃗⃗⃗ +PC ⃗⃗⃗⃗⃗ +PD ⃗⃗⃗⃗⃗ | =√(-4cosθ)2+(4-4sinθ)2 =√32−32sinθ,∵θ∈(0,π),∴sin θ∈(0,1], ∴|PA ⃗⃗⃗⃗⃗ +PB ⃗⃗⃗⃗⃗ +PC ⃗⃗⃗⃗⃗ +PD ⃗⃗⃗⃗⃗ |∈[0,4√2).故选A.导师点睛本题考查了向量的加法及向量模的计算,利用建系、坐标表示的方法,通过引入三角函数使问题变得思路清晰,计算简便.遇见正方形、圆、等边三角形、直角三角形等特殊图形常用建系的方法. 4.答案 3解析 由题意可得,BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ -AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(cos θ,2sin θ+1), 所以|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |2=cos 2θ+(2sin θ+1)2=3sin 2θ+4sin θ+2=3(sinθ+23)2+23,因为θ∈[0,π],所以sinθ∈[0,1],所以当sin θ=1时,|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |2取得最大值 9,所以|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |的最大值为3. 5.答案 (-∞,-32]解析 由题意知,p:x-a<0,即x<a;q:向量a =(2,-1)与b =(3,x)的夹角为锐角,即a ·b >0,且a 与b 不共线,∴{2×3−x >0,2x +3≠0,∴x<6且x ≠-32. ∵p 是q 的充分不必要条件, ∴a ≤-32,故a 的取值范围为(-∞,-32]. 易错警示本题答案易错写为a ≤6,要注意q 中x 的取值范围为x<6且x ≠-32,即q 中x 的值不能取-32,所以要满足p 是q 的充分不必要条件,实数a 的取值范围应为(-∞,-32]. 6.A 令y=tan (π4x -π2)=0,即π4x-π2=kπ,k∈Z ,当k=0时,解得x=2;令y=tan (π4x -π2)=1,即π4x-π2=π4+kπ,k∈Z ,当k=0时,解得x=3. ∴A(2,0),B(3,1),∴OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,0),OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(3,1),AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,1), ∴(OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗ )·AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =5+1=6.7.C 如图所示,建立平面直角坐标系.∵等边△ABC 的边长为2, ∴M(0,0),A(0,√3),B(-1,0). ∴AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1,-√3),AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,-√3), ∴AB ⃗⃗⃗⃗⃗ -t AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1,-√3+√3t),∴|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ -t AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√(-1)2+(−√3+√3t)2≥2,化简,得t 2-2t ≥0, ∴t ≥2或t ≤0,故选C.8.A f(x)=(a +x b )·(x a -b )=x|a |2-a ·b +x 2a ·b -x|b |2,因为函数f(x)的图象是一条直线,所以a ·b =0,且|a |2≠|b |2,所以3×(-1)+2×(m +72)=0且13≠1+(m+72)2,解得m=-2,所以b =(-1,32),|b |=√(-1)2+(32)2=√132.9.C 如图,以C 为原点,CD 、CB 所在直线分别为x 轴、y 轴建立平面直角坐标系, 则C(0,0),A(-3,-2),B(0,-2),D(-3,0),∴AB⃗⃗⃗⃗⃗ =(3,0),AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(3,2),AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2).∵|CP⃗⃗⃗⃗⃗ |=1,且P 在矩形内,∴P 在第三象限,设P(cos α,sin α)(π<α<32π),∴AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(cos α+3,sin α+2),I 1=AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =3cos α+9,I 2=AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =3cos α+2sin α+13,I 3=AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AP⃗⃗⃗⃗⃗ =2sin α+4, ∴I 2-I 1=2sin α+4>0,即I 2>I 1,故A 错误,C 正确;I 3-I 1=2sin α-3cos α-5=√13sin(α-θ)-5<0(其中tanθ=32),即I 3<I 1,故B 、D 错误.10.答案 ①③④解析 当a =(0,0)时, f(x )=x , f(y )=y ,满足f(x )·f(y )=x ·y ,故①满足题意;当a ≠0时,f(x )·f(y )=[x -2(a ·x )·a ]·[y -2(a ·y )·a ]=x ·y -4(a ·x )·(a ·y )+4(a ·x )·(a ·y )·a 2,要满足f(x )·f(y )=x ·y ,需满足4(a ·x )·(a ·y )·a 2=4(a ·x )·(a ·y ),∴a 2=1, ②中,a 2=(√24)2+(√24)2=14,不满足题意;③中,a 2=(√22)2+(-√22)2=1,满足题意;④中,a2=(-12)2+(√32)2=1,满足题意.故符合题意的序号为①③④.11.解析 (1)设P(14,y),则OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(14,y),PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-8,-3-y),由OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =λPB⃗⃗⃗⃗⃗ ,得(14,y)=λ(-8,-3-y),解得λ=-74,y=-7, ∴点P 的坐标为(14,-7). (2)设Q(a,b),则OQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(a,b), 由(1)得AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(12,-16), ∵OQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·AP⃗⃗⃗⃗⃗ =0, ∴12a-16b=0,即3a-4b=0.① ∵点Q 在边AB 上,∴AQ ⃗⃗⃗⃗⃗ ∥AB ⃗⃗⃗⃗⃗ , 又AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(4,-12),AQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =(a-2,b-9), ∴4(b-9)+12(a-2)=0,即3a+b-15=0.②联立①②,解得a=4,b=3, ∴Q 点坐标为(4,3).(3)由(2)得OQ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(4,3),∵R 为线段OQ 上的一个动点,∴设OR ⃗⃗⃗⃗⃗ =t OQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(4t,3t),且0≤t ≤1,则R(4t,3t),RO ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-4t,-3t),RA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2-4t,9-3t),RB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(6-4t,-3-3t), ∴RA⃗⃗⃗⃗⃗ +RB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(8-8t,6-6t), ∴RO ⃗⃗⃗⃗⃗ ·(RA⃗⃗⃗⃗⃗ +RB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=-4t ·(8-8t)-3t ·(6-6t)=50t 2-50t=50(t -12)2-252(0≤t ≤1),当t=0或1时,上式取得最大值0;当t=12时,上式取得最小值-252. 故RO ⃗⃗⃗⃗⃗ ·(RA⃗⃗⃗⃗⃗ +RB ⃗⃗⃗⃗⃗ )的取值范围为[-252,0].。

§6.3.5平面向量数量积的坐标表示一、内容和内容解析本节是高中数学人教A版必修2第六章第3节第五课时的内容．由于平面向量数量积涉及了向量的模向量的夹角，因此在实现向量的数量积的坐标表示后，向量的模、夹角也都可以与向量的坐标联系起来.通过对平面向量数量积的坐标表示的学习，培养学生数学运算的数学素养；能根据向量的坐标计算向量的模、夹角及判定两个向量垂直，培养学生数学运算、逻辑推理的数学素养.二、目标和目标解析目标：（1）掌握平面向量数量积坐标表示及模、夹角的公式.（2）能用公式求向量的数量积、模、夹角．（3）掌握两个向量垂直的坐标判断，会证明两向量垂直，以及能解决一些简单问题.目标解析：（1）利用平面向量正交分解将向量用基底表示，利用数量积的运算律计算，注意到单位向量的数量积为1，推导出向量数量积的坐标表示．（2）利用数量积的坐标公式，将数量积的性质用坐标表示出来，得到模、夹角、垂直的坐标表示.（3）数学核心素养是数学教学的重要目标，但数学核心素养需要在每一堂课中寻找机会去落实．在平面向量数量积的坐标表示的教学中，从已知向量的坐标推导平面向量数量积的坐标是进行数学推理教学的很好机会．基于上述分析，本节课的教学重点定为：平面向量数量积坐标表示及模、夹角公式．三、教学问题诊断分析1．教学问题一：研究向量数量积运算的坐标表示是本节课的第一个教学问题．解决方案：利用正交分解表示向量，结合数乘向量的运算律推导出结论．2. 教学问题二：用公式求向量的数量积、模、夹角及垂直问题的证明是本节课的第二个教学问题．解决方案：公式变形推导，通过数量积性质的复习，结合数量积的坐标运算推导出结论．基于上述情况，本节课的教学难点定为：平面向量数量积的应用．四、教学策略分析本节课的教学目标与教学问题为我们选择教学策略提供了启示．为了让学生通过观察、归纳得到平面向量数量积的坐标表示，应该为学生创造积极探究的平台．因此，在教学过程中以问题串的形式引导学生探究，可以让学生从被动学习状态转到主动学习状态中来．在教学设计中，采取问题引导方式来组织课堂教学．问题的设置给学生留有充分的思考空间，让学生围绕问题主线，通过自主探究达到突出教学重点，突破教学难点．在教学过程中，重视平面向量数量积的坐标表示，让学生体会数学推理的基本过程．因此，本节课的教学是实施数学具体内容的教学与核心素养教学有机结合的尝试．五、教学过程与设计教学环节问题或任务师生活动设计意图回顾前知引出新知[问题1]平面向量的数量积(内积)的定义？[问题2]两个向量的数量积的性质？[问题3]在平面直角坐标系中，设i，j分别是x轴和y轴方向上的单位向量，a＝(3，2)，b＝(2，1)，则a·b的值为多少？教师1：提出问题1．学生1：cosa b a bθ⋅=.教师2：提出问题2．学生2：2a a a a a a⋅==⋅或，cos.0a ba b a ba bθ⋅=⊥⇔⋅=．教师3：提出问题3．学生3：由题意知，a＝3i＋2j，b＝2i＋j，则a·b＝(3i＋2j)·(2i＋j)＝6i2＋7i·j＋2j2.由于i2＝i·i＝1，j2＝j·j＝1，i·j＝0，故a·b＝8.通过复习向量的坐标表示、数量积的运算引入本节新课.建立知识间的联系，提高学生概括、类比推理的能力.探索交流解决问题[问题4]已知两个非零向量a=（x1，y1），b=（x2，y2），怎样用向量的坐标表示a·b？[问题5]若a＝（x，y），如何计算向量的模|a| ？[问题6]若点A（x1，y1），B（x2，y2），如何计算向量AB的模？[问题7]已知两个非零向量a＝（x1，y1），b＝（x2，y2），怎样用坐标表示a⊥b？教师4：提出问题4．学生4：1122,a x i y jb x i y j=+=+所以1122)()a b x i y j x i y j⋅=++（2212122112x x i x y i j x y i j y y j=+++2121yyxx+=教师5：提出问题5．学生5：|a|＝x2＋y2．教师6：提出问题6学生6：()()221212AB x x y y=-+-（两点间的距离公式）教师7：提出问题7.学生7：设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a⊥b⇔a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0通过探究让学生理解数量积的坐标表示，培养数学抽象的核心素养.[问题8]已知两个非零向量a＝（x1，y1），b＝（x2，y2），怎样用坐标表示a，b的夹角呢？教师8：提出问题8.学生8：设θ是a与b的夹角，则cos θ＝a·b|a||b|＝x1x2＋y1y2x21＋y21x22＋y22.教师9：一起来梳理总结一下这部分内容.学生9：平面向量数量积的坐标表示：已知a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝x1x2＋y1y2．即两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和．平面向量的模与夹角的坐标表示：(1)向量的模长公式：若a＝(x，y)，则|a|＝x2＋y2．(2)两点间的距离公式：若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB→|＝（x1－x2）2＋（y1－y2）2.(3)向量的夹角公式：设a，b都是非零向量，a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ是a与b的夹角，则cos θ＝a·b|a||b|＝x1x2＋y1y2x21＋y21x22＋y22．(4)两个向量垂直的充要条件：设非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0．注意区分两向量平行与垂直的坐标形式，二者不能混淆，可以对比学习、记忆.若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b⇔x1y2－x2y1＝0，a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0.典例分析巩固落实1.平面向量数量积的运算例1.在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝2，点M，N分别在DC，BC上，且DM＝12MC，BN＝12BC，则AM→·AN→＝________.2.平面向量模长的坐标运算教师10：完成例1.学生10：AM→·AN→＝(AD→＋13AB→)·(AB→＋12AD→)＝0＋12·22＋13·32＋13·0＝5.教师11：完成例2.学生11：设a＝(x，y)，则由|a|＝213，得x2＋y2＝52.①例2.已知|a |＝213，b ＝(2，－3)，若a ⊥b ，求a ＋b 的坐标及|a ＋b |.3.平面向量夹角的坐标运算 例3.已知向量a ＝e 1－e 2，b ＝4e 1＋3e 2，其中e 1＝(1，0)，e 2＝(0，1).求向量a 与b 夹角的余弦值.4.向量垂直的坐标运算例4. 已知在△ABC 中，A (2，－1)，B (3，2)，C (－3，－1)，AD 为BC 边上的高，求|AD →|与点D 的坐标.[课堂练习]1.已知点A (0，1)，B (1，－2)，向量AC →＝(4，－1)，则|BC →|＝________．2.已知a ＝⎝⎛⎭⎫－12，32，OA →＝a －b ，OB →＝a ＋b ，若△AOB 是以O 为直角顶点的等腰直角三角形，求向量b .由a ⊥b ，解得2x －3y ＝0.② 联立①②，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6，y ＝4或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－6，y ＝－4.所以 a ＝(6，4)或a ＝(－6，－4)． 所以a ＋b ＝(8，1)或a ＋b ＝(－4，－7)， 所以|a ＋b |＝65.教师12：完成例3.学生12：设a ，b 的夹角为θ，由a ·b ＝|a ||b |cos θ，∴cos θ＝a ·b |a ||b |＝12×5＝210.教师13：完成例4.学生13：设D 点坐标为(x ，y )，则AD →＝(x －2，y ＋1)，BC →＝(－6，－3)，BD →＝(x －3，y －2). ∵D 在直线BC 上，即BD →与BC →共线， ∴－6(y －2)＋3(x －3)＝0，即x －2y ＋1＝0.① 又∵AD ⊥BC ，∴AD →·BC →＝0， 即(x －2，y ＋1)·(－6，－3)＝0，∴－6(x －2)－3(y ＋1)＝0.即2x ＋y －3＝0.②由①②可得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1，∴|AD →|＝（1－2）2＋（1＋1）2＝5，即|AD →|＝5，点D 的坐标为(1，1).教师14：布置课堂练习1、2． 学生14：完成课堂练习，并核对答案．课堂小结升华认知[问题9]通过这节课，你学到了什么知识？在解决问题时，用到了哪些数学思想？[课后练习]1．已知a＝(1，－1)，b＝(2，3)，则a·b＝()A．5 B．4C．－2 D．－12．已知a＝(－2，1)，b＝(x，－2)，且a⊥b，则x的值为()A．－1 B．0C．1 D．23．平行四边形ABCD中，AB→＝(1，0)，AC→＝(2，2)，则AD→·BD→等于()A．－4 B．－2C．2 D．44．已知a＝(3，－4)，则|a|＝________.5．已知向量a＝(3，－1)，b＝(1，－2)，求：(1)a·b；(2)(a＋b)2；(3)(a＋b)·(a－b)．教师15：提出问题9．学生15：学生16：学生课后进行思考，并完成课后练习．答案：DAD，5，5师生共同回顾总结：引领学生感悟数学认知的过程，体会数学核心素养．课后练习：是对定理巩固，是对本节知识的一个深化认识，同时也为下节内容做好铺垫．。