文科一轮学案4.1任意角、弧度制及任意角的三角函数

第1讲任意角和弧度制及任意角的三角函数一、知识梳理1．任意角的概念(1)定义：角可以看成平面内的一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形．(2)角的分类{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}．2．弧度制(1)定义：长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角．弧度记作rad.(2)公式α作cos α作tan α各象限符号Ⅰ正 正 正 Ⅱ 正 负 负 Ⅲ 负 负 正 Ⅳ 负正负口诀一全正，二正弦，三正切，四余弦三角函数线有向线段MP 为正弦线，有向线段OM 为余弦线，有向线段AT 为正切线1．象限角 2．轴线角3．三角函数定义的推广设点P (x ，y )是角α终边上任意一点且不与原点重合，r ＝|OP |，则sin α＝y r，cos α＝x r ，tan α＝y x.二、习题改编1．(必修4P10A 组T7改编)角－225°＝ 弧度，这个角在第 象限． 答案：－5π4二2．(必修4P15练习T2改编)设角θ的终边经过点P (4，－3)，那么2cos θ－sin θ＝ ．答案：1153．(必修4P10A 组T6改编)一条弦的长等于半径，这条弦所对的圆心角大小为 弧度．答案：π3一、思考辨析判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)锐角是第一象限的角，第一象限的角也都是锐角．( ) (2)角α的三角函数值与其终边上点P 的位置无关．( ) (3)不相等的角终边一定不相同．( ) (4)终边相同的角的同一三角函数值相等．( )(5)若α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，则tan α＞sin α.( )(6)若α为第一象限角，则sin α＋cos α＞1.( ) 答案：(1)× (2)√ (3)× (4)√ (5)√ (6)√ 二、易错纠偏常见误区(1)终边相同的角理解出错； (2)三角函数符号记忆不准；(3)求三角函数值不考虑终边所在象限．1．下列与9π4的终边相同的角的表达式中正确的是( )A ．2k π＋45°(k ∈Z )B ．k ·360°＋9π4(k ∈Z )C ．k ·360°－315°(k ∈Z )D ．k π＋5π4(k ∈Z )解析：选C.由定义知终边相同的角的表达式中不能同时出现角度和弧度，应为π4＋2k π或k ·360°＋45°(k ∈Z ).2．若sin α＜0，且tan α＞0，则α是( ) A ．第一象限角 B ．第二象限角 C ．第三象限角D ．第四象限角解析：选C.由sin α＜0知α的终边在第三、第四象限或y 轴的非正半轴上；由tan α＞0知α的终边在第一或第三象限，故α是第三象限角．故选C.3．已知角α的终边在直线y ＝－x 上，且cos α＜0，则tan α＝ ． 解析：如图，由题意知，角α的终边在第二象限，在其上任取一点P (x ，y )，则y ＝－x ，由三角函数的定义得tan α＝y x ＝－xx＝－1.答案：－1象限角及终边相同的角(典例迁移)(1)集合{α|k π＋π4≤α≤k π＋π2，k ∈Z }中的角所表示的范围(阴影部分)是( )(2)若角α是第二象限角，则α2是( )A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第一或第三象限角D ．第二或第四象限角【解析】 (1)当k ＝2n (n ∈Z )时，2n π＋π4≤α≤2n π＋π2，n ∈Z ，此时α的终边和π4≤α≤π2的终边一样；当k ＝2n ＋1时，2n π＋π＋π4≤α≤2n π＋π＋π2，此时α的终边和π＋π4≤α≤π＋π2的终边一样．故选C.(2)因为α是第二象限角，所以π2＋2k π＜α＜π＋2k π，k ∈Z ，所以π4＋k π＜α2＜π2＋k π，k ∈Z .当k 为偶数时，α2是第一象限角；当k 为奇数时，α2是第三象限角． 【答案】 (1)C (2)C【迁移探究】 (变问法)在本例(2)的条件下，判断2α为第几象限角？解：因为α是第二象限角，所以90°＋k ·360°＜α＜180°＋k ·360°(k ∈Z )，则180°＋2k ·360°＜2α＜360°＋2k ·360°(k ∈Z )，所以2α可能是第三象限角、第四象限角或终边在y 轴非正半轴上的角．(1)表示区间角的三个步骤①先按逆时针方向找到区域的起始和终止边界；②按由小到大分别标出起始和终止边界对应的－360°～360°范围内的角α和β，写出最简区间；③起始、终止边界对应角α，β再加上360°的整数倍，即得区间角集合． (2)象限角的两种判断方法①图象法：在平面直角坐标系中，作出已知角并根据象限角的定义直接判断已知角是第几象限角；②转化法：先将已知角化为k ·360°＋α(0°≤α<360°，k ∈Z )的形式，即找出与已知角终边相同的角α，再由角α的终边所在的象限判断已知角是第几象限角．[提醒] 注意“顺转减，逆转加”的应用，如角α的终边逆时针旋转180°可得角α＋180°的终边，类推可知α＋k ·180°(k ∈Z )表示终边落在角α的终边所在直线上的角．1．在－720°～0°范围内所有与45°终边相同的角为 ． 解析：所有与45°有相同终边的角可表示为：β＝45°＋k ×360°(k ∈Z )，则令－720°≤45°＋k ×360°<0°，得－765°≤k ×360°<－45°，解得－765360≤k <－45360，从而得k ＝－2和k ＝－1，代入得β＝－675°和β＝－315°. 答案：－675°和－315°2．若sin α·tan α<0，且cos αtan α<0，则α是第 象限角．解析：由sin α·tan α<0可知sin α，tan α异号，从而α为第二或第三象限角；由cos αtan α<0，可知cos α，tan α异号，从而α为第三或第四象限角．综上，α为第三象限角．答案：三扇形的弧长、面积公式(师生共研)已知扇形的圆心角是α ，半径为R ，弧长为l . (1)若α＝60°，R ＝10 cm ，求扇形的弧长l ；(2)若扇形的周长为20 cm ，当扇形的圆心角α为多少弧度时，这个扇形的面积最大？ 【解】 (1)α＝60°＝π3，l ＝10×π3＝10π3(cm)．(2)由已知得，l ＋2R ＝20，则l ＝20－2R ，0<R <10， 所以S ＝12lR ＝12(20－2R )R ＝10R －R 2＝－(R －5)2＋25，所以当R ＝5时，S 取得最大值25， 此时l ＝10 cm ，α＝2 rad.弧长、扇形面积问题的解题策略(1)明确弧度制下弧长公式l ＝|α|r ，扇形的面积公式是S ＝12lr ＝12|α|r 2(其中l 是扇形的弧长，α是扇形的圆心角)．(2)求扇形面积的关键是求扇形的圆心角、半径、弧长三个量中的任意两个量． [提醒] 运用弧度制下有关弧长、扇形面积公式的前提是角的度量单位为弧度． 1．已知扇形的半径是2，面积为8，则此扇形的圆心角的弧度数是( ) A ．4 B ．2 C ．8D ．1解析：选A.设扇形的弧长为l ，则12l ·2＝8，即l ＝8，所以扇形的圆心角的弧度数为82＝4.2．一扇形是从一个圆中剪下的一部分，半径等于圆半径的23，面积等于圆面积的527，则扇形的弧长与圆周长之比为 ．解析：设圆的半径为r ，则扇形的半径为2r 3，记扇形的圆心角为α，则12α⎝ ⎛⎭⎪⎫2r 32πr 2＝527，所以α＝5π6.所以扇形的弧长与圆周长之比为l C ＝5π6·2r32πr ＝518.答案：518三角函数的定义(多维探究) 角度一 利用三角函数定义求值(1)函数y ＝log a (x －3)＋2(a ＞0且a ≠1)的图象过定点P ，且角α的终边过点P ，则sin α＋cos α的值为( )A.75 B.65 C.55D ．355(2)已知角α的终边经过点P (－x ，－6)，且cos α＝－513，则tan α＝ ．【解析】 (1)因为函数y ＝log a (x －3)＋2的图象过定点P (4，2)，且角α的终边过点P ，所以x ＝4，y ＝2，r ＝25，所以sin α＝55，cos α＝255，所以sin α＋cos α＝55＋255＝355.故选D. (2)因为角α的终边经过点P (－x ，－6)，且cos α＝－513，所以cos α＝－xx 2＋36＝－513，即x ＝52. 所以P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52，－6，所以tan α＝125.【答案】 (1)D (2)125三角函数的定义中常见的三种题型及解决方法(1)已知角α的终边上的一点P 的坐标，求角α的三角函数值 方法：先求出点P 到原点的距离，再利用三角函数的定义求解．(2)已知角α的一个三角函数值和终边上一点P 的横坐标或纵坐标，求与角α有关的三角函数值方法：先求出点P 到原点的距离(带参数)，根据已知三角函数值及三角函数的定义建立方程，求出未知数，从而求解问题．(3)已知角α的终边所在的直线方程(y ＝kx ，k ≠0)，求角α的三角函数值方法：先设出终边上一点P (a ，ka )，a ≠0，求出点P 到原点的距离(注意a 的符号，对a 分类讨论)，再利用三角函数的定义求解．角度二 判断三角函数值的符号若sin αcos α>0，cos αtan α<0，则α的终边落在( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【解析】 由sin αcos α>0，得α的终边落在第一或第三象限，由cos αtan α＝cos α·sin αcos α＝sin α<0，得α的终边落在第三或第四象限，综上α的终边落在第三象限．故选C.【答案】 C三角函数值的符号及角的位置的判断已知一角的三角函数值(sin α，cos α，tan α)中任意两个的符号，可分别确定出角α终边所在的可能位置，二者的交集即为该角的终边位置．注意终边在坐标轴上的特殊情况．1．点P 从(1，0)出发，沿单位圆逆时针方向运动2π3弧长到达Q 点，则Q 点的坐标为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，－12 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－32D ．⎝⎛⎭⎪⎫－32，12 解析：选A.由三角函数定义可知Q 点的坐标(x ，y )满足x ＝cos 2π3＝－12，y ＝sin 2π3＝32. 所以Q 点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32.2．若角α的终边落在直线y ＝－x 上，则sin α|cos α|＋|sin α|cos α＝ ．解析：因为角α的终边落在直线y ＝－x 上，所以角α的终边位于第二或第四象限．当角α的终边位于第二象限时，sin α|cos α|＋|sin α|cos α＝sin α－cos α＋sin αcos α＝0；当角α的终边位于第四象限时，sin α|cos α|＋|sin α|cos α＝sin αcos α＋－sin αcos α＝0.所以sin α|cos α|＋|sin α|cos α＝0.答案：0核心素养系列9 数学建模——求扇形的面积数学建模就是根据实际问题来建立数学模型，对数学模型来进行求解，然后根据结果去解决实际问题．(2019·高考北京卷)如图，A ，B 是半径为2的圆周上的定点，P 为圆周上的动点，∠APB 是锐角，大小为β.图中阴影区域的面积的最大值为( )A ．4β＋4cos βB ．4β＋4sin βC ．2β＋2cos βD ．2β＋2sin β【解析】 如图，设点O 为圆心，连接PO ，OA ，OB ，AB ，在劣弧AB ︵上取一点C ，则阴影部分面积为△ABP 和弓形ACB 的面积和．因为A ，B 是圆周上的定点，所以弓形ACB 的面积为定值，故当△ABP 的面积最大时，阴影部分面积最大．又AB 的长为定值，故当点P 为优弧AB ︵的中点时，点P 到弦AB 的距离最大，此时△ABP 的面积最大，即当P 为优弧AB ︵的中点时，阴影部分面积最大．下面计算当P 为优弧AB ︵的中点时阴影部分的面积．因为∠APB 为锐角，且∠APB ＝β，所以∠AOB ＝2β，∠AOP ＝∠BOP ＝180°－β，则阴影部分的面积S ＝S △AOP ＋S △BOP ＋S 扇形OAB＝2×12×2×2sin(180°－β)＋12×22×2β＝4β＋4sin β，故选B.【答案】 B从本题的解析中可以得到，无论∠APB 是锐角，还是直角或钝角，都是当P 为优弧AB ︵的中点时，阴影部分的面积最大．在一块顶角为120°、腰长为2的等腰三角形厚钢板废料OAB 中，用电焊切割成扇形，现有如图所示两种方案，既要充分利用废料，又要切割时间最短，问哪一种方案最优？解：因为△AOB 是顶角为120°、腰长为2的等腰三角形， 所以A ＝B ＝30°＝π6，AM ＝BN ＝1，AD ＝2，所以方案一中扇形的弧长＝2×π6＝π3；方案二中扇形的弧长＝1×2π3＝2π3；方案一中扇形的面积＝12×2×2×π6＝π3，方案二中扇形的面积＝12×1×1×2π3＝π3.由此可见：两种方案中利用废料面积相等，方案一中切割时间短．因此方案一最优．[基础题组练]1．给出下列四个命题： ①－3π4是第二象限角；②4π3是第三象限角； ③－400°是第四象限角； ④－315°是第一象限角． 其中正确的命题有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个解析：选C.－3π4是第三象限角，故①错误.4π3＝π＋π3，从而4π3是第三象限角，②正确．－400°＝－360°－40°，从而③正确．－315°＝－360°＋45°，从而④正确．2．已知点P (tan α，cos α)在第三象限，则角α的终边在( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限解析：选B.由题意知tan α＜0，cos α＜0，根据三角函数值的符号规律可知，角α的终边在第二象限．故选B.3．若圆弧长度等于圆内接正方形的边长，则该圆弧所对圆心角的弧度数为( ) A.π4 B.π2C.22D ． 2解析：选D.设圆的直径为2r ，则圆内接正方形的边长为2r ， 因为圆的圆弧长度等于该圆内接正方形的边长， 所以圆弧的长度为2r ， 所以圆心弧度为2r r＝ 2.4．若角α的终边在直线y ＝－x 上，则角α的取值集合为( ) A ．{α|α＝k ·360°－45°，k ∈Z } B ．{α|α＝k ·2π＋3π4，k ∈Z }C ．{α|α＝k ·180°＋3π4，k ∈Z }D ．{α|α＝k ·π－π4，k ∈Z }解析：选D.由图知，角α的取值集合为{α|α＝2n π＋3π4，n ∈Z }∪{α|α＝2n π－π4，n ∈Z } ＝{α|α＝(2n ＋1)π－π4，n ∈Z }∪{α|α＝2n π－π4，n ∈Z }＝{α|α＝k π－π4，k ∈Z }．5．与角2 020°的终边相同，且在0°～360°内的角是 ．解析：因为2 020°＝220°＋5×360°，所以在0°～360°内终边与2 020°的终边相同的角是220°.答案：220° 6．函数y ＝sin x －32的定义域为 ． 解析：由题意可得sin x －32≥0即sin x ≥32.作直线y ＝32交单位圆于A ，B 两点，连接OA ，OB ，则OA 与OB 围成的区域(图中阴影部分)即为角x 的终边的范围，故满足条件的角x 的集合为{x |2k π＋π3≤x ≤2k π＋2π3，k ∈Z }．答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π＋π3，2k π＋2π3，k ∈Z7．(2020·许昌调研)设α是第二象限角，P (x ，4)为其终边上的一点，且cos α＝15x ，则tan α＝ ．解析：因为α是第二象限角， 所以cos α＝15x ＜0，即x ＜0.又cos α＝15x ＝xx 2＋16，解得x ＝－3，所以tan α＝4x ＝－43.答案：－438．已知角θ的终边上有一点P (x ，－1)(x ≠0)，且tan θ＝－x ，求sin θ＋cos θ的值．解：因为角θ的终边过点(x ，－1)(x ≠0)， 所以tan θ＝－1x，又tan θ＝－x ，所以x 2＝1，所以x ＝±1. 当x ＝1时，sin θ＝－22，cos θ＝22，此时sin θ＋cos θ＝0； 当x ＝－1时，sin θ＝－22，cos θ＝－22， 此时sin θ＋cos θ＝－ 2.[综合题组练]1．(2018·高考北京卷)在平面直角坐标系中，AB ︵，CD ︵，EF ︵，GH ︵是圆x 2＋y 2＝1上的四段弧(如图)，点P 在其中一段上，角α以Ox 为始边，OP 为终边．若tan α<cos α<sin α，则P 所在的圆弧是( )A.AB ︵B.CD ︵C.EF ︵D ．GH ︵解析：选C.设点P 的坐标为(x ，y )，利用三角函数的定义可得yx<x <y ，所以x <0，y >0，所以P 所在的圆弧是EF ︵，故选C.2．若－3π4＜α＜－π2，从单位圆中的三角函数线观察sin α，cos α，tan α的大小是( )A ．sin α＜tan α＜cos αB ．cos α＜sin α＜tan αC ．sin α＜cos α＜tan αD ．tan α＜sin α＜cos α解析：选C.如图所示，作出角α的正弦线MP ，余弦线OM ，正切线AT ，因为－3π4＜α＜－π2，所以角α终边位置在图中的阴影部分，观察可得AT ＞OM ＞MP ，故有sin α＜cos α＜tan α.3．已知角α的终边上一点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2π3，cos 2π3，则角α的最小正值为 ．解析：由题意知点P 在第四象限，根据三角函数的定义得cos α＝sin 2π3＝32，故α＝2k π－π6(k ∈Z )，所以α的最小正值为11π6. 答案：11π64．(综合型)若两个圆心角相同的扇形的面积之比为1∶4，则这两个扇形的周长之比为 ．解析：设两个扇形的圆心角的弧度数为α，半径分别为r ，R (其中r ＜R )，则12αr 212αR 2＝14，所以r ∶R ＝1∶2，两个扇形的周长之比为2r ＋αr2R ＋αR ＝1∶2.答案：1∶2。

§4.1任意角、弧度制及任意角的三角函数最新考纲考情考向分析1.了解任意角的概念和弧度制的概念．2.能进行弧度与角度的互化．3。

理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义.以理解任意角三角函数的概念、能进行弧度与角度的互化和扇形弧长、面积的计算为主，常与向量、三角恒等变换相结合,考查三角函数定义的应用及三角函数的化简与求值，考查分类讨论思想和数形结合思想的应用意识．题型以选择题为主,低档难度。

1．角的概念（1)角的分类（按旋转的方向)角错误!(2）象限角(3)终边相同的角所有与α终边相同的角，包括α本身构成一个集合，这个集合可记为S＝｛β|β＝α＋k·360°,k∈Z｝．2．弧度制(1)定义：长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角，正角的弧度数是正数，负角的弧度数是负数，零角的弧度数是零．(2）角度制和弧度制的互化：180°＝π rad,1°＝错误!rad,1 rad＝错误!°. (3）扇形的弧长公式:l＝｜α｜r，扇形的面积公式:S＝错误!lr＝错误!｜α|r2.3．任意角的三角函数的定义α为任意角,α的终边上任意一点P （异于原点）的坐标（x ，y ),它与原点的距离OP ＝r ＝错误! （r >0），则sin α＝y r ；cos α＝错误!；tan α＝错误!;cot α＝错误!；sec α＝错误!；csc α＝错误!.4．三角函数在各象限的符号规律及三角函数线（1）三角函数在各象限的符号：象限符号函数Ⅰ Ⅱ Ⅲ Ⅳsin α，csc α ＋ ＋ － －cos α，sec α ＋ － － ＋tan α，cot α ＋ － ＋ －(2)三角函数线：正弦线 如图，角α的正弦线为错误!。

余弦线 如图，角α的余弦线为错误!。

正切线 如图，角α的正切线为错误!.知识拓展三角函数值的符号规律三角函数值在各象限内的符号：一全正、二正弦、三正切、四余弦．题组一思考辨析1．判断下列结论是否正确（请在括号中打“√"或“×”）(1)锐角是第一象限的角，第一象限的角也都是锐角．（×）（2）角α的三角函数值与其终边上点P的位置无关．（√) (3)不相等的角终边一定不相同．(×）（4)若α为第一象限角,则sin α＋cos α〉1。

2013年高考数学一轮复习精品教学案4.1 任意角和弧度制及任意角的三角函数（新课标人教版，学生版）【考纲解读】1．了解任意角的概念．2．了解弧度制概念，能进行弧度与角度的互化．3．理解任意角三角函数（正弦、余弦、正切）的定义．【考点预测】高考对此部分内容考查的热点与命题趋势为:1.三角函数是历年来高考重点内容之一,弧度制与任意角的三角函数的考查，经常以选择题与填空题的形式出现,在考查三角函数知识的同时，又考查函数思想和分类讨论思想解决问题的能力.2.2013年的高考将会继续保持稳定,坚持考查弧度制与三角函数的定义,命题形式会更加灵活.【例题精析】考点一 三角函数的定义例1.（2011年高考海南卷文科7)已知角θ的顶点与原点重合,始边与x 轴的正半轴重合,终边在直线2y x =上,则cos2θ=( ) A.45- B.35- C.35 D.45 【变式训练】1.（2011年高考江西卷文科14)已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x 轴的正半轴，若()4,P y 是角θ终边上一点，且sin 5θ=-，则y=_______.考点二 扇形的弧长及面积例2. 已知一扇形的圆心角是α,半径为R,弧长为l .(1)若60α=,100R cm =,求扇形的弧长l ;(2)若扇形周长为20cm ,当扇形的圆心角α为多少弧度时,这个扇形的面积最大?【变式训练】2.弧长为3π,圆心角为135的扇形的半径为 ,面积为 .【易错专区】问题：忽视讨论例.已知角α的终边过点(,2)m m ,0m ≠,求角α的的正弦值、余弦值.【课时作业】1. (福建省莆田市2012年3月高三毕业班教学质量检查)已知角α的顶点在原点，始边 与x 轴的正半轴重合，终边与单位圆交点的横坐标为35-，若(0,)a π∈，则t a n α=（ ） A ．34 B ．34- C ．43 D ．43- 2．(福建省泉州市2012届高三3月质量检查)若角α的终边经过点()2,1P ，则α2sin 的值是 ． 3．(山东省潍坊市三县2012届高三10月联合考试18题)如图，点A ，B 是单位圆上的两点，A ，B 点分别在第一、二象限，点C 是圆与x 轴正半轴的交点，△AOB 是正三角形，若点A的坐标为(35，45)，记∠COA ＝α.(1)求1＋sin2α1＋cos2α的值； (2)求|BC |2的值.【考题回放】1.（2011年高考山东卷3)若点（a ,9）在函数3x y =的图象上，则tan=6a π的值为（ ） （A ）2. （2011年高考福建卷21)设函数f （θ）cos θθ+，其中，角θ的顶点与坐标原点重合，始边与x 轴非负半轴重合，终边经过点P （x,y ），且0θπ≤≤.（1）若点P的坐标为1(2，求f ()θ的值； （II ）若点P （x ，y ）为平面区域Ω：x+y 1x 1y 1≥⎧⎪≤⎨⎪≤⎩，上的一个动点，试确定角θ的取值范围，并求函数()f θ的最小值和最大值.。

第一节任意角和弧度制及三角函数的概念【课程标准】1.了解任意角的概念和弧度制;2.能进行弧度与角度的互化;3.借助单位圆理解三角函数(正弦、余弦、正切)的定义.【考情分析】考点考法:高考命题常以角为载体,考查扇形的弧长、面积、三角函数的定义;三角函数求值是高考热点,常以选择题或填空题的形式出现.核心素养:数学抽象、数学运算【必备知识·逐点夯实】【知识梳理·归纳】1.角的概念的推广(1)定义:角可以看成一条射线绕着它的端点旋转所成的图形.(2)分类按旋转方向正角、负角、零角按终边位置象限角和轴线角(3)相反角:我们把射线OA绕端点O按不同方向旋转相同的量所成的两个角叫做互为相反角.角α的相反角记为__-α__.(4)终边相同的角:所有与角α终边相同的角,连同角α在内,可构成一个集合S={β|β=α+k·360°,k∈Z}.2.弧度制的定义和公式(1)定义:把长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角,弧度单位用符号rad表示.(2)公式角α的弧度数公式|α|=l r(弧长用l表示)角度与弧度的换算1°=180rad;1rad=(180)°弧长公式弧长l=|α|r扇形面积公式S=12lr=12|α|r23.任意角的三角函数(1)任意角的三角函数的定义(推广):设P(x,y)是角α终边上异于原点的任意一点,其到原点O的距离为r,则sinα=, cosα=,tanα=(x≠0).(2)三角函数值在各象限内的符号:一全正、二正弦、三正切、四余弦.(3)三角函数的定义域三角函数sinαcosαtanα定义域R R{α|α≠kπ+π2,k∈Z}【基础小题·自测】类型辨析改编易错题号12,341.(多维辨析)(多选题)下列说法正确的是()A.-π3是第三象限角B.若角α的终边过点P(-3,4),则cosα=-35C.若sinα>0,则α是第一或第二象限角D.若圆心角为π3的扇形的弧长为π,则该扇形面积为3π2【解析】选BD.因为-π3是第四象限角,所以选项A错误;由三角函数的定义可知,选项B正确;由sinα>0可知,α是第一或第二象限角或终边在y轴的非负半轴上,所以选项C错误;由扇形的面积公式可知,选项D正确.2.(必修第一册P175练习T1改题型)-660°等于()A.-133πB.-256πC.-113πD.-236π【解析】选C.-660°=-660×π180=-113π.3.(必修第一册P176习题T2改条件)下列与角11π4的终边相同的角的表达式中正确的是()A.2kπ+135°(k∈Z)B.k·360°+11π4(k∈Z)C.k·360°+135°(k∈Z)D.kπ+3π4(k∈Z)【解析】选C.与11π4的终边相同的角可以写成2kπ+3π4(k∈Z)或k·360°+135°(k∈Z),但是角度制与弧度制不能混用,排除A,B,易知D错误,C正确.4.(忽视隐含条件)设α是第二象限角,P(x,8)为其终边上的一点,且sinα=45,则x=()A.-3B.-4C.-6D.-10【解析】选C.因为P(x,8)为其终边上的一点,且sinα=45,所以sinα=45,解得x=±6,因为α是第二象限角,所以x=-6.【巧记结论·速算】α所在象限与2所在象限的关系α所在象限一二三四α2所在象限一、三一、三二、四二、四【即时练】设θ是第三象限角,且|cos2|=-cos2,则2是()A.第一象限角B.第二象限角C.第三象限角D.第四象限角【解析】选B.因为θ是第三象限角,所以2的终边落在第二、四象限,又|cos2|= -cos2,所以cos2<0,所以2是第二象限角.【核心考点·分类突破】考点一象限角及终边相同的角[例1](1)(2023·宁波模拟)若α是第二象限角,则()A.-α是第一象限角B.2是第三象限角C.3π2+α是第二象限角D.2α是第三或第四象限角或在y轴负半轴上【解析】选D.因为α是第二象限角,可得π2+2kπ<α<π+2kπ,k∈Z,对于A,可得-π-2kπ<-α<-π2-2kπ,k∈Z,此时-α位于第三象限,所以A错误;对于B,可得π4+kπ<2<π2+kπ,k∈Z,当k为偶数时,2位于第一象限;当k为奇数时,2位于第三象限,所以B错误;对于C,可得2π+2kπ<3π2+α<5π2+2kπ,k∈Z,即2(k+1)π<3π2+α<π2+2(k+1)π,k∈Z,所以3π2+α位于第一象限,所以C错误;对于D,可得π+4kπ<2α<2π+4kπ,k∈Z,所以2α是第三或第四象限角或在y轴负半轴上,所以D正确.(2)在-720°~0°内所有与45°终边相同的角为-675°和-315°.【解析】所有与45°终边相同的角可表示为β=45°+k×360°(k∈Z),当k=-1时,β=45°-360°=-315°,当k=-2时,β=45°-2×360°=-675°.【解题技法】1.知α确定kα,(k∈N*)的终边位置的步骤(1)写出kα或的范围;(2)根据k的可能取值确定kα或的终边所在位置.2.求适合某些条件的角的方法(1)写出与这个角的终边相同的角的集合;(2)依据题设条件,确定参数k的值,得出结论.【对点训练】已知角θ在第二象限,且|sin2|=-sin2,则角2在()A.第一象限或第三象限B.第二象限或第四象限C.第三象限D.第四象限【解析】选C.因为角θ是第二象限角,所以θ∈(π2+2kπ,π+2kπ),k∈Z,所以2∈(π4+kπ,π2+kπ),k∈Z,所以角2在第一或第三象限.又|sin2|=-sin2,所以sin2<0,所以角2在第三象限.考点二弧度制及其应用[例2]已知扇形的圆心角是α,半径为R,弧长为l.(1)若α=π3,R=10cm,求扇形的弧长l.(2)(一题多法)若扇形的周长是16cm,当扇形的圆心角为多少弧度时,这个扇形的面积最大?(3)若α=π3,R=2cm,求扇形的弧所在的弓形的面积.【解析】(1)因为α=π3,R=10cm,所以l=|α|R=π3×10=10π3(cm).(2)方法一:由题意知2R+l=16,所以l=16-2R(0<R<8),则S=12lR=12(16-2R)R=-R2+8R=-(R-4)2+16,当R=4cm时,S max=16cm2,l=16-2×4=8(cm),α==2,所以S的最大值是16cm2,此时扇形的半径是4cm,圆心角α=2rad.方法二:S=12lR=14l·2R≤14·(r22)2=16,当且仅当l=2R,即R=4cm时,S的最大值是16cm2.此时扇形的圆心角α=2rad.(3)设弓形面积为S弓形,由题意知l=2π3cm,所以S弓形=12×2π3×2-12×22×sinπ3=(2π3-3)cm2.【解题技法】应用弧度制解决问题时的注意事项(1)利用扇形的弧长和面积公式解题时,要注意角的单位必须是弧度.(2)求扇形面积最大值的问题时,常转化为基本不等式或二次函数的最值问题.(3)在解决弧长和扇形面积问题时,要合理地利用圆心角所在的三角形.【对点训练】若扇形的周长是16cm,圆心角是360π度,则扇形的面积(单位cm2)是16.【解析】设扇形的半径为r cm,圆心角弧度数为α=360π·π180=2,所以αr+2r=16即4r=16,所以r=4,所以S=12αr2=12×2×16=16.答案:【加练备选】已知弧长为60cm的扇形面积是240cm2,求:(1)扇形的半径;(2)扇形圆心角的弧度数.【解析】设扇形的弧长为l,半径为r,面积为S,圆心角为α.(1)由题意得S=12lr=12×60r=240,解得r=8(cm),即扇形的半径为8cm.(2)α==608=152,所以扇形圆心角的弧度数为152rad.考点三三角函数的定义及应用【考情提示】三角函数的定义主要考查利用定义求三角函数值及三角函数值符号的应用,常与三角函数求值相结合命题,题目多以选择题、填空题形式出现.角度1利用定义求三角函数值[例3](1)已知角α的终边经过点P(2,-3),则sinα=-31313,tanα=-32.【解析】因为x=2,y=-3,所以点P到原点的距离r=22+(-3)2=13.则sinα===-31313,tanα==-32.(2)若角60°的终边上有一点A(4,a),则a=43.【解析】由题设知:tan60°=4=3,即a=43.角度2三角函数值的符号[例4](1)若sinαtanα<0,且cos tan>0,则角α是()A.第一象限角B.第二象限角C.第三象限角D.第四象限角【解析】选B.由sinαtanα<0,知α是第二象限或第三象限角,由cos tan>0,知α是第一象限或第二象限角,所以角α是第二象限角.(2)sin2cos3tan4的值()A.小于0B.大于0C.等于0D.不存在【解析】选A.因为π2<2<3<π<4<3π2,所以sin2>0,cos3<0,tan4>0.所以sin2cos3tan4<0.【解题技法】与三角函数定义有关的解题策略(1)利用三角函数的定义,已知角α终边上一点P的坐标,可以求出α的三角函数值;已知角α的三角函数值,也可以求出点P的坐标.(2)利用角所在的象限判定角的三角函数值的符号时,特别要注意不要忽略角的终边在坐标轴上的情况.【对点训练】1.(多选题)设△ABC的三个内角分别为A,B,C,则下列各组数中有意义且均为正值的是()A.tan A与cos BB.cos B与sin CC.tan2与cos2D.tan2与sin C【解析】选CD.因为A,B的范围不确定,所以A选项不满足条件;cos B与sin C都有意义,但cos B不一定为正值,故B选项不满足条件;因为B,C∈(0,π),所以2,2∈(0,π2),所以C选项满足条件;因为0<A<π,所以0<2<π2,所以tan2>0,又因为0<C<π,所以sin C>0,故D选项满足条件.2.已知角θ的终边经过点(2a+1,a-2),且cosθ=35,则实数a的值是()A.-2B.211C.-2或211D.1【解析】选B.由题设可知=35且2a+1>0,即a>-12,所以42+4r152+5=925,则11a2+20a-4=0,解得a=-2或a=211,又a>-12,所以a=211.【加练备选】已知角α的终边上一点P的坐标为(sin5π6,cos5π6),则角α的最小正值为5π3.【解析】因为sin5π6>0,cos5π6<0,所以角α的终边在第四象限,根据三角函数的定义,可知sinα=cos5π6=-32,故角α的最小正值为α=2π-π3=5π3.。

第一节 任意角、弧度制及任意角的三角函数2019考纲考题考情1．角的有关概念(1)从运动的角度看，角可分为正角、负角和零角。

(2)从终边位置来看，角可分为象限角与轴线角。

(3)若β与α是终边相同的角，则β用α表示为β＝2k π＋α，k ∈Z 。

2．弧度与角度的互化 (1)1弧度的角长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角。

(2)角α的弧度数如果半径为r 的圆的圆心角α所对弧的长为l ，那么角α的弧度数的绝对值是|α|＝l r。

(3)角度与弧度的换算①1°＝π180rad ；②1 rad ＝ ⎛⎪⎫180π°。

(4)弧长、扇形面积的公式设扇形的弧长为l ，圆心角大小为α(rad)，半径为r ，则l ＝|α|r ，扇形的面积为S ＝12lr ＝12|α|·r 2。

3．任意角的三角函数(1)定义：设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P (x ，y )，那么sin α＝y ，cos α＝x ，tan α＝yx(x ≠0)。

(2)几何表示：三角函数线可以看作是三角函数的几何表示。

正弦线的起点都在x 轴上，余弦线的起点都是原点，正切线的起点都是点(1,0)。

如图中有向线段MP ，OM ，AT 分别叫做角α的正弦线，余弦线和正切线。

1．区分两个概念(1)第一象限角未必是锐角，但锐角一定是第一象限角。

(2)不相等的角未必终边不相同，终边相同的角也未必相等。

2．一个口诀三角函数值在各象限的符号：一全正、二正弦、三正切、四余弦。

3．三角函数定义的推广设点P (x ，y )是角α终边上任意一点且不与原点重合，r ＝|OP |，则sin α＝y r，cos α＝x r ，tan α＝y x。

一、走进教材1．(必修4P 10A 组T 7改编)角－225°＝________弧度，这个角在第________象限。

答案 －5π4二2．(必修4P 15练习T 2改编)设角θ的终边经过点P (4，－3)，那么2cos θ－sin θ＝________。

"【走向高考】2015届高考数学一轮总复习 4-1任意角和弧度制及任意角的三角函数课后强化作业 北师大版 "基础达标检测一、选择题1．下列与9π4的终边相同的角的表达式中正确的是( )A ．2k π＋45°(k ∈Z )B ．k ·360°＋94π(k ∈Z )C ．k ·360°－315°(k ∈Z )D ．k π＋5π4(k ∈Z )[答案] C[解析] 与9π4的终边相同的角可以写成2k π＋94π(k ∈Z )，但是角度制与弧度制不能混用，所以只有答案C 正确．2．若α＝k ·180°＋45°(k ∈Z )，则α在( ) A ．第一或第三象限 B ．第一或第二象限 C ．第二或第四象限 D ．第三或第四象限 [答案] A[解析] 当k ＝2m ＋1(m ∈Z )时，α＝2m ·180°＋225°＝m ·360°＋225°，故α为第三象限角；当k ＝2m (m ∈Z )时，α＝m ·360°＋45°，故α为第一象限角．3．(文)若α的终边过点P (2sin30°，－2cos30°)，则sin α的值为( ) A.12 B ．－12C ．－32D ．－33[答案] C[解析] P (2sin30°，－2cos30°)即P (1，－3)， ∴r ＝2，故sin α＝－32，故选C. (理)点P (tan2 015°，cos2 015°)位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限[答案] D[解析] ∵2 015°＝5×360°＋215°，∴2 015°的角的终边在第三象限．∴tan2 015°>0，cos2 015°<0，∴点P 在第四象限．4．(2013·浙江高考)设α∈R ，则“α＝0”是“sin α<cos α”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 [答案] A[解析] 本题结合三角函数考查了充分条件，必要条件.由α＝0可以得出sin α＝0，cos α＝1，sin α<cos α，但当sin α<cos α时，α不一定为0，所以α＝0是sin α<cos α的充分不必要条件，选A.5．(文)若α是第三象限的角，则π－12α是( )A ．第一或第二象限的角B ．第一或第三象限的角C ．第二或第三象限的角D ．第二或第四象限的角 [答案] B[解析] 由已知，得2k π＋π<α<2k π＋32π(k ∈Z )∴－k π＋π4<π－α2<－k π＋π2(k ∈Z )．∴π－α2是第一或第三象限的角．(理)若3π2<α<2π，则直线x cos θ＋y sin α＝1必不经过( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限[答案] B[解析] 判断cos α>0，sin α<0，数形结合．6．圆弧长度等于其圆弧所在圆的内接正三角形的边长，则该圆弧所对圆心角的弧度数为( )A.π3B.23πC. 3 D ．2[答案] C[解析] 设圆半径为r ，则圆内接正三角形的边长为3r ，∴θ＝3rr＝ 3. 二、填空题7．已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x 轴的正半轴，若P (4，y )是角θ终边上的一点，且sin θ＝－255，则y ＝________.[答案] －8[解析] 本题主要考查三角函数的定义． |OP |＝42＋y 2，根据任意角三角函数的定义得，y42＋y 2＝－255，解得y ＝±8，又∵sin θ＝－255<0及P (4，y )是角θ终边上一点，可知θ为第四象限角，∴y ＝－8.8．(2014·南昌调研)若点P 在角23π的终边上，且|OP |＝2，则点P 的坐标为________．[答案] (－1，3)[解析] 设P (x ，y )，则x ＝2cos 23π＝－1，y ＝2sin 23π＝ 3.故点P 的坐标为(－1，3)．9．(2014·昆明模拟)已知α的顶点在原点，始边与x 轴非负半轴重合，点P (－4m,3m )(m >0)是α终边上一点，则2sin α＋cos α＝________.[答案] 25[解析] 由条件可求得r ＝5m ，所以sin α＝35，cos α＝－45，所以2sin α＋cos α＝25.三、解答题10．(1)设90°<α<180°.角α的终边上一点为P (x ，5)，且cos α＝24x ，求sin α与tan α的值；(2)已知角θ的终边上有一点P (x ，－1)(x ≠0)，且tan θ＝－x ，求sin θ，cos θ. [解析] (1)∵r ＝x 2＋5，cos α＝x x 2＋5.从而24x ＝x x 2＋5，解得x ＝0或x ＝±3.∵90°<α<180°，∴x <0，因此x ＝－ 3. 故r ＝22，sin α＝522＝104，tan α＝5－3＝－153.(2)∵θ的终边过点(x ，－1)，∴tan θ＝－1x ，又∴tan θ＝－x ，∴x 2＝1，∴x ＝±1. 当x ＝1时，sin θ＝－22，cos θ＝22； 当x ＝－1时，sin θ＝－22，cos θ＝－22. 能力强化训练一、选择题1．(文)若sin θ>0且sin2θ>0，则角θ的终边所在象限是( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限[答案] A[解析] 由⎩⎨⎧sin θ>0sin2θ>0，得⎩⎨⎧sin θ>0，cos θ>0，故θ终边在第一象限． (理)sin2cos3tan4的值( ) A ．小于0 B ．大于0 C ．等于0 D ．不存在[答案] A[解析] ∵sin2>0，cos3<0，tan4>0， ∴sin2cos3tan4<0.2．已知锐角α终边上一点P 的坐标是(2sin2，－2cos2)，则α等于( ) A ．2 B ．－2 C ．2－π2D.π2－2 [答案] C[解析] 点P 位于第一象限，且tan α＝－cot2＝－tan ⎝⎛⎭⎫π2－2＝tan ⎝⎛⎭⎫2－π2， ∵2－π2∈⎝⎛⎭⎫0，π2，∴α＝2－π2. 二、填空题3．若角α的终边与直线y ＝3x 重合且sin α<0，又P (m ，n )是α终边上一点，且|OP |＝10，则m －n 等于________．[答案] 2[解析] 依题意：⎩⎪⎨⎪⎧n ＝3m ，m 2＋n 2＝10.解得：m ＝1，n ＝3或m ＝－1，n ＝－3， 又sin α<0，∴α的终边落在第三象限，∴n <0， ∴m ＝－1，n ＝－3，∴m －n ＝2.4．函数y ＝sin x ＋－cos x 的定义域是________． [答案] ⎣⎡⎦⎤π2＋2k π，π＋2k π(k ∈Z ) [解析] 由题意知⎩⎪⎨⎪⎧ sin x ≥0，－cos x ≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧sin x ≥0，cos x ≤0，∴x 范围为π2＋2k π≤x ≤π＋2k π(k ∈Z )．三、解答题5．已知扇形的面积为S ，当扇形的中心角为多少弧度时，扇形的周长最小？并求出此最小值．[解析] 解法1：设l 为扇形的弧长，由S ＝12l ·r得l ＝2S r ，故扇形的周长C ＝2r ＋2S r.即2r 2－C ·r ＋2S ＝0.由于r 存在，故方程有解， 因此有Δ＝C 2－16S ≥0，即C ≥4S .∴周长C 的最小值为4S .此时，r ＝C ±Δ2×2＝S ，中心角α＝2Sr2＝2rad所以当扇形的中心角为2rad 时，扇形的周长最小，最小值为4S . 解法2：设l 为扇形的弧长，由S ＝12l ·r 得l ＝2Sr ，故扇形的周长C ＝2r ＋2Sr≥22r ·2Sr＝4S .当且仅当2r ＝2Sr ，即S ＝r 2时取“＝”，此时，α＝l r ＝2S r 2＝2r 2r2＝2rad.所以当扇形的中心角为2rad 时，扇形的周长最小，最小值为4S .6．(2014·绍兴月考)角α终边上的点P 与A (a,2a )关于x 轴对称(a >0)，角β终边上的点Q 与A 关于直线y ＝x 对称，求sin α·cos α＋sin β·cos β＋tan α· tan β的值．[解析] 由题意得，点P 的坐标为(a ，－2a )，点Q 的坐标为(2a ，a )． 所以，sin α＝－2a a 2＋(－2a )2＝－25， cos α＝aa 2＋(－2a )2＝15， tan α＝－2a a ＝－2，sin β＝a (2a )2＋a 2＝15， cos β＝2a(2a )2＋a 2＝25， tan β＝a 2a ＝12，故有sin α·cos α＋sin β·cos β＋tan α·tan β ＝－25×15＋15×25＋(－2)×12＝－1.。

3.任意角的三角函数设α是一个任意角，它的终边上任意一点P 的坐标为(x ，y )，|OP |＝r >0， 我们规定：①比值 叫做α的正弦，记作sin α，即sin α＝ ；②比值 叫做α的余弦，记作cos α，即cos α＝ ；③比值______(x ≠0)叫做α的正切，记作tan α，即tan α＝ . (1)三角函数值在各象限的符号各象限的三角函数值的符号如以下图所示：口诀：“一全正，二正弦，三正切，四余弦”．*(2)三角函数线(理解)以下图中有向线段MP ，OM ，AT 分别表示____________，__________和__________．二、基础练习训练1.判断下面结论是否准确(请在括号中打“√”或“×”) (1)小于90°的角是锐角.( ) (2)锐角是第一象限角，反之亦然.( ) (3)终边相同的角的同一三角函数值相等.( ) (4)点P (tan α，cos α)在第三象限，则角α终边在第二象限.( )*(5)α为第一象限角，则sin α＋cos α>1. ( )2.以下与9π4的终边相同的角的表达式中准确的是________.(填序号)①2k π＋45° (k ∈Z );②k ·360°＋94π (k ∈Z )；③k ·360°－315°(k ∈Z );④k π＋5π4 (k ∈Z ).3.已知扇形的周长是6 cm ，面积是2 cm 2，则扇形的圆心角的弧度数是________.4.已知sin α<0且tan α>0，则角α是第________象限角．5.已知角α的终边经过点)12,5(--P ，则sin ____,cos ___,tan ____ααα===．6．“α＝π6”是“sin α＝12”的________条件．三、典型例题分析题型一： 角及其表示例1：(1)终边在直线y ＝3x 上的角的集合是______________. (2)假如α是第三象限角，那么角2α的终边落在______________.变式训练：(1)终边在直线y x =-上的角的集合是______________. (2)假如α是第一象限角，那么角2α的终边落在______________. (3)已知角α＝45°，在区间[－720°，180°]内与角α有相同终边的角β＝________.(4)与2010°终边相同的最小正角为________，最大负角为________．(5)已知角x 的终边落在图示阴影局部区域，写出角x 组成的集合．(a )(b )题型二： 三角函数的概念例2：已知角α终边上一点),3(y P -，且y 42sin =α，求αcos 和αtan 的值．变式训练：(1)已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边在直线y ＝2x 上，则cos θ等于___________________.(2)已知角α的终边过点P (－8m ，－6sin 30°)，且cos α＝－45，则m 的值为________.(3) 已知角α的终边经过点P (－4a,3a ) (a ≠0)，求sin α，cos α，tan α的值．课后作业一轮复习作业纸：4.1任意角、弧度制及任意角的三角函数一、填空题1.角α的终边过点P (－1,2)，则cos α等于________.2.若α是第三象限角，则以下各式成立的是________.(填序号) ①sin α＋cos α<0； ②tan α－sin α<0； ③cos α－tan α<0； ④tan αsin α>0.3.已知角x 的终边落在图示阴影局部区域，写出角x 组成的集合．(1) (2)4．若α角与8π5角终边相同，则在[0,2π]内终边与α4角终边相同的角是________．5.设α为第二象限角，其终边上一点为P (m ，5)，且cos α＝24m ，则sin α的值为________. 6.给出以下命题：①第二象限角大于第一象限角；②三角形的内角是第一象限角或第二象限角；③不管是用角度制还是用弧度制度量一个角，它们与扇形的半径的大小无关； ④若sin α＝sin β，则α与β的终边相同； ⑤若cos θ<0，则θ是第二或第三象限的角. 其中准确命题的序号是________.7．已知点P (tan α，cos α)在第二象限，则在[0,2π)内α的取值范围是________． 假如点(sin θ，tan θ)在第三象限，则θ2的终边在第________象限.8．若点P 从(1,0)出发，沿单位圆x 2＋y 2＝1逆时针方向运动2π3弧长到达点Q ，则点Q 的坐标为________．9．已知扇形的周长为8 cm ，则该扇形面积的最大值为________cm 2.10.一个扇形OAB 的面积是1 cm 2，它的周长是4 cm ，则圆心角的弧度数为 弦长AB 为 .二、解答题11. 已知角θ的终边经过点P(－3，m) (m≠0)且sin θ＝24m，试判断角θ所在的象限，并求cos θ和tan θ的值.12．已知扇形OAB的圆心角α为120°，半径长为6，(1)求AB的弧长；(2)求弓形OAB的面积．3.任意角的三角函数设α是一个任意角，它的终边上任意一点P 的坐标为(x ，y )，|OP |＝r >0， 我们规定：①比值 叫做α的正弦，记作sin α，即sin α＝ ；②比值 叫做α的余弦，记作cos α，即cos α＝ ；③比值______(x ≠0)叫做α的正切，记作tan α，即tan α＝ . (1)三角函数值在各象限的符号各象限的三角函数值的符号如以下图所示，三角函数正值歌： 一全正，二正弦，三正切，四余弦．*(2)三角函数线(理解)以下图中有向线段MP ，OM ，AT 分别表示____________，__________和__________．二、基础练习训练1.判断下面结论是否准确(请在括号中打“√”或“×”) (1)小于90°的角是锐角.( × ) (2)锐角是第一象限角，反之亦然.( × ) (3)终边相同的角的同一三角函数值相等.( √ ) (4)点P (tan α，cos α)在第三象限，则角α终边在第二象限.( √ )*(5)α为第一象限角，则sin α＋cos α>1. ( √ )2.以下与9π4的终边相同的角的表达式中准确的是________.(填序号)①2k π＋45° (k ∈Z );②k ·360°＋94π (k ∈Z )；③k ·360°－315°(k ∈Z );④k π＋5π4 (k ∈Z ).3.已知扇形的周长是6 cm ，面积是2 cm 2，则扇形的圆心角的弧度数是________.4.已知sin α<0且tan α>0，则角α是第________象限角．5.已知角α的终边经过点)12,5(--P ，则sin ____,cos ___,tan ____ααα===．6．“α＝π6”是“sin α＝12”的________条件．三、典型例题分析题型一: 角及其表示例1：(1)终边在直线y ＝3x 上的角的集合是______________. (2)假如α是第三象限角，那么角2α的终边落在______________. 答案 (1){α|α＝k π＋π3，k ∈Z }(2)第一、二象限或y 轴的非负半轴上解析 (1)∵在(0，π)内终边在直线y ＝3x 上的角是π3，∴终边在直线y ＝3x 上的角的集合为{α|α＝π3＋k π，k ∈Z }.(2)∵2k π＋π<α<2k π＋32π，k ∈Z ，∴4k π＋2π<2α<4k π＋3π，k ∈Z .∴角2α的终边落在第一、二象限或y 轴的非负半轴上. 变式训练：(1)终边在直线y x =-上的角的集合是______________. (2)假如α是第一象限角，那么角2α的终边落在______________. (3)已知角α＝45°，在区间[－720°，180°]内与角α有相同终边的角β＝________.(4)与2010°终边相同的最小正角为________，最大负角为________．(5)已知角x 的终边落在图示阴影局部区域，写出角x 组成的集合．题型二: 三角函数的概念例2：已知角α终边上一点),3(y P -，且y 42sin =α，求αcos 和αtan 的值．变式训练：(1)已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边在直线y ＝2x 上，则cos θ等于___________________.2112 (2)()( 442RR R aR +=≤R=αR即α＝2时，扇形面积有最大值已知扇形的周长为4 cm，当它的半径为________一轮复习作业纸：4.1任意角、弧度制及任意角的三角函数一、填空题1.角α的终边过点P (－1,2)，则cos α等于________.答案-552.若α是第三象限角，则以下各式成立的是________.(填序号) ①sin α＋cos α<0； ②tan α－sin α<0； ③cos α－tan α<0； ④tan αsin α>0.答案 ①③3.已知角x 的终边落在图示阴影局部区域，写出角x 组成的集合．(1)(2)4．若α角与8π5角终边相同，则在[0,2π]内终边与α4角终边相同的角是________． 解析 由题意，得α＝8π5＋2k π(k ∈Z )，α4＝2π5＋k π2(k ∈Z )．又α4∈[0,2π]，所以k ＝0,1,2,3，α4＝2π5，9π10，7π5，19π10. 答案 2π5，9π10，7π5，19π105.设α为第二象限角，其终边上一点为P (m ，5)，且cos α＝24m ，则sin α的值为________. 答案 104解析 设P (m ，5)到原点O 的距离为r ，则m r ＝cos α＝24m ， ∴r ＝22，sin α＝5r ＝522＝104. 6.给出以下命题：①第二象限角大于第一象限角；②三角形的内角是第一象限角或第二象限角；③不管是用角度制还是用弧度制度量一个角，它们与扇形的半径的大小无关；④若sin α＝sin β，则α与β的终边相同；⑤若cos θ<0，则θ是第二或第三象限的角.其中准确命题的序号是________.答案 ③7．已知点P (tan α，cos α)在第二象限，则在[0,2π)内α的取值范围是________．解析 因为tan α<0且cos α>0，又0≤α<2π，所以3π2<α<2π. 答案 ⎝⎛⎭⎫3π2，2π假如点(sin θ，tan θ)在第三象限，则θ2的终边在第________象限.答案 二或四8．若点P 从(1,0)出发，沿单位圆x 2＋y 2＝1逆时针方向运动2π3弧长到达点Q ，则点Q 的坐标为________． 解析 点Q 的坐标为⎝⎛⎭⎫cos 2π3，sin 2π3，即⎝⎛⎭⎫－12，32. 答案 ⎝⎛⎭⎫－12，32 9．已知扇形的周长为8 cm ，则该扇形面积的最大值为________cm 2.解析 设扇形半径为r cm ，弧长为l cm ，则2r ＋l ＝8，S ＝12rl ＝12r ×(8－2r )＝－r 2＋4r ＝－(r －2)2＋4，所以S max ＝4 (cm 2)．答案 410.一个扇形OAB 的面积是1 cm 2，它的周长是4 cm ，求圆心角的弧度数和弦长AB .解 设圆的半径为r cm ，弧长为l cm ，则⎩⎪⎨⎪⎧ 12lr ＝1，l ＋2r ＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧r ＝1，l ＝2. ∴圆心角α＝l r＝2弧度. 如图，过O 作OH ⊥AB 于H ，则∠AOH ＝1弧度.∴AH ＝1·sin 1＝sin 1(cm)，∴AB ＝2sin 1(cm).二、解答题11. 已知角θ的终边经过点P (－3，m ) (m ≠0)且sin θ＝24m ，试判断角θ所在的象限，并求cos θ和tan θ的值.解 由题意，得r ＝3＋m 2， 所以sin θ＝m 3＋m 2＝24m . 因为m ≠0，所以m ＝±5，故角θ是第二或第三象限角. 当m ＝5时，r ＝22，点P 的坐标为(－3，5)，角θ是第二象限角，所以cos θ＝x r ＝－322＝－64， tan θ＝y x ＝5－3＝－153；当m ＝－5时，r ＝22，点P 的坐标为(－3，－5)，角θ是第三象限角，所以cos θ＝x r ＝－322＝－64， tan θ＝y x ＝－5－3＝153. 12．已知扇形OAB 的圆心角α为120°，半径长为6，(1)求AB 的弧长；(2)求弓形OAB 的面积．解 (1)∵α＝120°＝2π3，r ＝6， ∴AB 的弧长为l ＝αr ＝2π3×6＝4π.……………………………………………………(4分) (2)∵S 扇形OAB ＝12lr ＝12×4π×6＝12π，……………………………………………………(8分) S △ABO ＝12r 2·sin 2π3＝12×62×32＝93，…………………………………………………(12分) ∴S 弓形OAB ＝S 扇形OAB －S △ABO ＝12π－9 3.………………………………………………(14分)。

§4.1任意角和弧度制及任意角的三角函数1.任意角(1)角的概念的推广①按旋转方向不同分为________、________、________.②按终边位置不同分为____________和__________.(2)终边相同的角终边与角α相同的角可写成____________.(3)弧度制①1弧度的角：______________________________________叫做1弧度的角.②规定：正角的弧度数为________，负角的弧度数为________，零角的弧度数为______，|α|＝______，l是以角α作为圆心角时所对圆弧的长，r为半径.③用“弧度”做单位来度量角的制度叫做弧度制.比值lr与所取的r的大小________，仅与____________有关.④弧度与角度的换算：360°＝______弧度；180°＝________弧度.⑤弧长公式：________，扇形面积公式：S扇形＝________＝__________.2.任意角的三角函数(1)任意角的三角函数定义设α是一个任意角，角α的终边上任意一点P(x，y)，它与原点的距离为r (r>0)，那么角α的正弦、余弦、正切分别是：sin α＝______，cos α＝______，tan α＝______，它们都是以角为__________，以比值为__________的函数.(2)三角函数在各象限内的符号口诀是：一全正、二正弦、三正切、四余弦. 3.三角函数线设角α的顶点在坐标原点，始边与x 轴正半轴重合，终边与单位圆相交于点P ，过P 作PM 垂直于x 轴于M ，则点M 是点P 在x 轴上的__________.由三角函数的定义知，点P 的坐标为__________，即__________，其中cos α＝________，sin α＝________，单位圆与x 轴的正半轴交于点A ，单位圆在A 点的切线与α的终边或其反向延长线相交于点T ，则tan α＝__________.我们把有向线段OM 、MP 、AT 叫做α的__________、__________、__________.(Ⅰ) (Ⅱ)(Ⅲ) (Ⅳ)线段________正弦线；有向为余弦线；有向线段________为正切[1.对角概念的理解要准确(1)不少同学往往容易把“小于90°的角”等同于“锐角”，把“0°～90°的角”等同于“第一象限的角”.其实锐角的集合是{α|0°<α<90°}，第一象限角的集合为{α|k ·360°<α<k ·360°＋90°，k ∈Z }.(2)终边相同的角不一定相等，相等的角终边一定相同，终边相同的角的同一三角函数值相等.2.对三角函数的理解要透彻三角函数也是一种函数，它可以看成是从一个角(弧度制)的集合到一个比值的集合的函数，也可以看成是以实数为自变量的函数，定义域为使比值有意义的角的范围. 如tan α＝yx 有意义的条件是角α终边上任一点P (x ，y )的横坐标不等于零，也就是角α的终边不能与y 轴重合，故正切函数的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫α|α≠k π＋π2，k ∈Z .3.三角函数线是三角函数的几何表示(1)正弦线、正切线的方向同纵轴一致，向上为正，向下为负.(2)余弦线的方向同横轴一致，向右为正，向左为负.(3)当角α的终边在x 轴上时，点T 与点A 重合，此时正切线变成了一个点，当角α的终边在y 轴上时，点T 不存在，即正切线不存在.(4)在“数”的角度认识任意角的三角函数的基础上，还可以从图形角度考察任意角的三角函数，即用有向线段表示三角函数值，这是三角函数与其他基本初等函数不同的地方.1.已知角α的终边经过点P (－x ，－6)，且cos α＝－513，则x 的值为________.2.若点P 在角2π3的终边上，且|OP |＝2，则点P 的坐标是________.3.若4π<α<6π且α与－23π终边相同，则α＝________.4.(2011·江西)已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x 轴的正半轴，若P (4，y )是角θ终边上一点，且sin θ＝－255，则y ＝________.5.已知扇形的周长是6 cm ，面积是2 cm 2，则扇形的圆心角的弧度数是( )A.1B.4C.1或4D.2或4题型一 求与已知角终边相同的角 例1 已知角α＝45°，(1)在区间[－720°，0°]内找出所有与角α有相同终边的角β； (2)设集合M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＝k 2×180°＋45°，k ∈Z ， N ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＝k 4×180°＋45°，k ∈Z ，那么两集合的关系是什么？ 探究提高 1.第(1)小题与α角终边相同的角(连同角α在内)，可以表示为β＝k ·360°＋α，k ∈Z .2.第(2)小题也可对整数k 的奇、偶数情况展开讨论.(1)如果α是第三象限的角，那么－α，2α的终边落在何处？(2)写出终边在直线y ＝3x 上的角的集合；(3)若角θ的终边与6π7角的终边相同，求在[0,2π)内终边与θ3角的终边相同的角.题型二 三角函数的定义例2 已知角α的终边经过点P (x ，－2) (x ≠0)，且cos α＝36x ，求sin α＋1tan α的值.探究提高 任意角的三角函数值与终边所在的位置有关，与点在终边上的位置无关，故要首先判定P 点所在的象限，确定r ，最后根据定义求解.已知角α的终边在直线3x ＋4y ＝0上，求sin α，cos α，tan α的值.题型三 三角函数值的符号及判定例3 (1)如果点P (sin θcos θ，2cos θ)位于第三象限，试判断角θ所在的象限. (2)若θ是第二象限角，试判断sin (cos θ)cos (sin 2θ)的符号是什么？探究提高 (1)熟练掌握三角函数的符号法则是解决此类题目的关键. (2)由三角函数符号判断角所在象限，在写角的集合时，注意终边相同的角.已知sin 2θ<0，且|cos θ|＝－cos θ，问点P (tan θ，cos θ)在第几象限？题型四 扇形的弧长、面积公式的应用例4 已知一扇形的圆心角为α (α>0)，所在圆的半径为R .(1)若α＝60°，R ＝10 cm ，求扇形的弧长及该弧所在的弓形的面积；(2)若扇形的周长是一定值C (C >0)，当α为多少弧度时，该扇形有最大面积？ 探究提高 (1)在弧度制下，计算扇形的面积和弧长比在角度制下更方便、简捷. (2)从扇形面积出发，在弧度制下使问题转化为关于α的不等式或利用二次函数求最值的方法确定相应最值.(3)记住下列公式：①l ＝αR ；②S ＝12lR ；③S ＝12αR 2.其中R 是扇形的半径，l 是弧长，α(0<α<2π)为圆心角，S 是扇形面积.若扇形的面积为定值，当扇形的圆心角为多少弧度时，该扇形的周长取到最小值？9.数形结合具体体现三角函数线的应用试题：(12分)(1)求函数y ＝lg(3－4sin 2x )的定义域；(2)设θ是第二象限角，试比较sin θ2，cos θ2，tan θ2的大小.审题视角 (1)求定义域，就是求使3－4sin 2x >0的x 的范围.用三角函数线求解. (2)比较大小，可以从以下几个角度观察：①θ是第二象限角，θ2是第几象限角？首先应予以确定.②sin θ2，cos θ2，tan θ2不能求出确定值，但可以画出三角函数线.③借助三角函数线比较大小. 规范解答解 (1)∵3－4sin 2x >0，∴sin 2x <34，∴－32<sin x <32.[2分]利用三角函数线画出x 满足条件的 终边范围(如图阴影部分所示)， ∴x ∈⎝⎛⎭⎫k π－π3，k π＋π3(k ∈Z ).[4分](2)∵θ是第二象限角，∴π2＋2k π<θ<π＋2k π，k ∈Z ， ∴π4＋k π<θ2<π2＋k π，k ∈Z ， ∴θ2是第一或第三象限的角.[6分](如图阴影部分)，结合单位圆上的三角函数线可得： ①当θ2是第一象限角时，sin θ2＝AB ，cos θ2＝OA ，tan θ2＝CT ，从而得，cos θ2<sin θ2<tan θ2；[8分]②当θ2是第三象限角时，sin θ2＝EF ，cos θ2＝OE ，tan θ2＝CT ，得sin θ2<cos θ2<tan θ2.[10分]综上所得，当θ2在第一象限时，cos θ2<sin θ2<tan θ2；当θ2在第三象限时，sin θ2<cos θ2<tan θ2.[12分]批阅笔记 1.第(1)小题的实质是解一个简单的三角不等式，可以用三角函数图象，也可以用三角函数线，用三角函数线更方便.2.第(2)小题比较大小，由于没有给出具体的角度，所以用图形可以更直观的表示.3.本题易错点：①不能确定θ2所在的象限；②想不到应用三角函数线.原因在于概念理解不透，方法不够灵活.方法与技巧1.在利用三角函数定义时，点P 可取终边上任一点，如有可能则取终边与单位圆的交点.|OP |＝r 一定是正值.2.三角函数符号是重点，也是难点，在理解的基础上可借助口诀：sin α上正下负；cos α右正左负；tan α奇正偶负.3.在解简单的三角不等式时，利用单位圆及三角函数线是一个小技巧. 失误与防范1.注意易混概念的区别：第一象限角、锐角、小于90°的角是概念不同的三类角.第一类是象限角，第二、第三类是区间角.2.角度制与弧度制可利用180°＝π rad 进行互化，在同一个式子中，采用的度量制度必须一致，不可混用.3.注意熟记0°～360°间特殊角的弧度表示.答案要点梳理1.(1)①正角 负角 零角 ②象限角 轴线角 (2)α＋k ·360° (k ∈Z ) (3)①把长度等于半径长的弧所对的圆心角 ②正数 负数 零 lr ③无关 角的大小 ④2π π⑤l ＝|α|r12lr 12|α|r 2 2.(1)y r x r yx自变量 函数值3.正射影 (cos α，sin α) P (cos α，sin α) OM MP AT 余弦线 正弦线 正切线 MP OM AT 基础自测1.522.(－1，3)3.16π3 4.－8 5.C 题型分类·深度剖析例1 解 (1)所有与角α有相同终边的角可表示为：β＝45°＋k ×360°(k ∈Z )， 则令－720°≤45°＋k ×360°≤0°， 得－765°≤k ×360°≤－45°，解得－765360≤k ≤－45360，从而k ＝－2或k ＝－1，代入得β＝－675°或β＝－315°.(2)因为M ＝{x |x ＝(2k ＋1)×45°，k ∈Z }表示的是终边落在四个象限的平分线上的角的集合；而集合N ＝{x |x ＝(k ＋1)×45°，k ∈Z }表示终边落在坐标轴或四个象限平分线上的角的集合，从而：M N .变式训练1 解 (1)由α是第三象限的角得π＋2k π<α<3π2＋2k π (k ∈Z )⇒－3π2－2k π<－α<－π－2k π (k ∈Z )，即π2＋2k π<－α<π＋2k π (k ∈Z ). ∴角－α的终边在第二象限； 由π＋2k π<α<3π2＋2k π (k ∈Z )，得2π＋4k π<2α<3π＋4k π(k ∈Z ).∴角2α的终边在第一、二象限及y 轴的非负半轴. (2)在(0，π)内终边在直线y ＝3x 上的角是π3，∴终边在直线y ＝3x 上的角的集合为 {α|α＝π3＋k π，k ∈Z }.(3)∵θ＝6π7＋2k π (k ∈Z )，∴θ3＝2π7＋2k π3(k ∈Z ).依题意0≤2π7＋2k π3<2π⇒－37≤k <187，k ∈Z .∴k ＝0,1,2，即在[0,2π)内终边与θ3相同的角为2π7，20π21，34π21. 例2 解 ∵P (x ，－2) (x ≠0)， ∴点P 到原点的距离r ＝x 2＋2. 又cos α＝36x ，∴cos α＝x x 2＋2＝36x . ∵x ≠0，∴x ＝±10.∴r ＝2 3.当x ＝10时，P 点坐标为(10，－2)， 由三角函数的定义，有sin α＝－223＝－66，1tan α＝10－2＝－5，∴sin α＋1tan α＝－66－5＝－65＋66；当x ＝－10时，同理可求得sin α＋1tan α＝65－66.变式训练2 解 ∵角α的终边在直线3x ＋4y ＝0上，∴在角α的终边上任取一点P (4t ，－3t ) (t ≠0)，则x ＝4t ，y ＝－3t ，r ＝x 2＋y 2＝(4t )2＋(－3t )2＝5|t |， 当t >0时，r ＝5t ，sin α＝y r ＝－3t 5t ＝－35，cos α＝x r ＝4t 5t ＝45，tan α＝y x ＝－3t 4t ＝－34；当t <0时，r ＝－5t ，sin α＝y r ＝－3t －5t ＝35，cos α＝x r ＝4t －5t ＝－45，tan α＝y x ＝－3t 4t ＝－34.综上可知，sin α＝－35，cos α＝45，tan α＝－34或sin α＝35，cos α＝－45，tan α＝－34.例3 解 (1)因为点P (sin θcos θ，2cos θ)位于第三象限，所以sin θcos θ<0,2cos θ<0，即⎩⎨⎧sin θ>0cos θ<0，所以θ为第二象限角.(2)∵2k π＋π2<θ<2k π＋π (k ∈Z )，∴－1<cos θ<0,4k π＋π<2θ<4k π＋2π， －1≤sin 2θ<0，∴sin(cos θ)<0，cos(sin 2θ)>0.∴sin (cos θ)cos (sin 2θ)<0.∴sin (cos θ)cos (sin 2θ)的符号是负号. 变式训练3 解 方法一 由sin 2θ<0， 得2k π＋π<2θ<2k π＋2π (k ∈Z )， k π＋π2<θ<k π＋π (k ∈Z ).当k 为奇数时，θ的终边在第四象限； 当k 为偶数时，θ的终边在第二象限.又因cos θ≤0，所以θ的终边在左半坐标平面(包括y 轴)，所以θ的终边在第二象限. 所以tan θ<0，cos θ<0，点P 在第三象限. 方法二 由|cos θ|＝－cos θ知cos θ≤0， ① 又sin 2θ<0，即2sin θcos θ<0②由①②可推出⎩⎨⎧sin θ>0cos θ<0因此θ在第二象限，P (tan θ，cos θ)在第三象限. 例4 解 (1)设弧长为l ，弓形面积为S 弓，则α＝60°＝π3，R ＝10，l ＝π3×10＝10π3(cm)，S 弓＝S 扇－S △＝12×10π3×10－12×102×sin π3＝503π－5032＝50⎝⎛⎭⎫π3－32 (cm 2).(2)扇形周长C ＝2R ＋l ＝2R ＋αR ， ∴R ＝C2＋α，∴S 扇＝12α·R 2＝12α·⎝⎛⎭⎫C 2＋α2＝C 22α·14＋4α＋α2＝C 22·14＋α＋4α≤C 216. 当且仅当α2＝4，即α＝2时，扇形面积有最大值C 216.变式训练4 解 设扇形的圆心角为α，半径为R ，弧长为l ，根据已知条件12lR ＝S 扇，则扇形的周长为：l ＋2R ＝2S 扇R ＋2R ≥4S 扇，当且仅当2S 扇R ＝2R ，即R ＝S 扇时等号成立，此时l ＝2S 扇，α＝lR＝2，因此当扇形的圆心角为2弧度时，扇形的周长取到最小值.高)考╝试.题╬库。