18.1.2平行四边形的判定(一)导学案

18.1.2平行四边形的判定导学案（1）一、学习目标1．在探索平行四边形的判别条件中，理解并掌握用边、对角线来判定平行四边形的方法．2．会综合运用平行四边形的判定方法和性质来解决问题．3．培养用类比、逆向联想及运动的思维方法来研究问题． 二、复习引入 如图ABCD 中对角线AC 、BD 相交于点O,则下列结论不一定成立的是（ ） A. OB=OD B. CD=AB C. ∠BAD=∠BCD D. AC=BD 三、探究新知从定义出发可知两组对边分别平行的四边形是平行四边形。

除此之外，我们可以通过研究平行四边形性质定理的逆命题得到平行四边形的其他判定方法。

1、写出平行四边形的三条性质定理的逆命题：性质定理1（边）的逆命题：性质定理2（角）的逆命题：性质定理3（对角线）的逆命题：2、以上命题成立吗？请证明。

（1）证明逆命题1：已知:如图，四边形 ABCD 中,AB=CD, AD=BC.求证:四边形ABCD 是平行四边形.(提示：转化为三角形,根据定义证明.)（2）证明逆命题2：已知:如图，四边形 ABCD 中,∠A =∠C, ∠B =∠D. 求证:四边形ABCD 是平行四边形.（3）证明逆命题3：已知:如图，四边形 ABCD 中,OA=OC , OB=OD .求证:四边形ABCD 是平行四边形.C DBAOA DBC A B DCA DB C O归纳总结:平行四边形的判定定理:1. ;2. ;3. .三、巩固训练1.下列几个条件中，不能判定一个四边形是平行四边形的是（ ）A ．两组对边分别相等 B. 两组对边分别平行 C ．两组对角分别相等 D. 对角线相等2．四边形ABCD 中，AC 、BD 相交于点O ，且OA=OC ，如果要使四边形ABCD 是平行四边形，则还需补充的条件是（ ）A ． AC ⊥BD B. OA=OBC . OC=OD D. OB=OD3.在平行四边形ABCD 中，AC 、BD 相交于O 点，点E 、F 分别为AO 、CO 的中点.（1）求证:四边形DEBF 是平行四边形.（3）如果E 、F 点分别在AC 的延长线上时（如图2），且满足AE=CF ，上述结论仍然成立吗？总结反思:18.1.2平行四边形的判定导学案（2）C B A F E 图1一、学习目标：1．掌握用一组对边平行且相等来判定平行四边形的方法．2．会综合运用平行四边形的四种判定方法和性质来证明问题．3、 使学生熟练掌握平行四边形判定的五种方法，并通过定理，习题的证明提高学生的逻辑思维能力；进一步掌握平行四边形性质与判定之间的区别与联系。

学习目标：1．在探索平行四边形的判别条件中，理解并掌握用边、对角线来判定平行四边形的方法．
2．会综合运用平行四边形的判定方法和性质来解决问题．
学习重点：平行四边形的判定方法及应用．
学习难点：平行四边形的判定定理与性质定理的灵活应用．
学习过程：
一、自主预习（10分钟）
【活动一】
提出问题：1.平行四边形的定义是什么？它有什么作用？
2.平行四边形具有哪些性质？
3.平行四边形的对边相等、对角相等、对角线互相平分，那么反过来，对边相等或对角相等或对角线互相平分的四边形是不是平行四边形呢？
【活动二】
★探究：小明的父亲手中有一些木条，他想通过适当的测量、割剪，钉制一个平行四边形框架，你能帮他想出一些办法来吗？
利用手中的学具——硬纸板条，通过观察、测量、猜想、验证、探索构成平行四边形的条件，思考并探讨：
（1）你能适当选择手中的硬纸板条搭建一个平行四边形吗？
（2）你怎样验证你搭建的四边形一定是平行四边形？
（3）你能说出你的做法及其道理吗？
（4）能否将你的探索结论作为平行四边形的一种判别方法？你能用文字语言表述出来吗？（5）你还能找出其他方法吗？
从探究中得到：
平行四边形判定方法1两组对边分别相等的四边形是平行四边形。

新人教版八年级数学下册导学案教案18.1.2 第1课时平行四边形的判定(1)----ed2a4e5c-6eb3-11ec-bf82-7cb59b590d7d新人教版八年级数学下册导学案教案18.1.2第1课时平行四边形的判定(1)第1八章平行四边形教学备注学生在课前完成自主学习部分配套ppt讲授1.情景引入（见幻灯片3-4）2.探究点1新知讲授（见幻灯片5-10）18.1.2平行四边形的判定第1课平行四边形的确定（1）学习目标：1.经历平行四边形判定定理的猜想与证明过程，体会类比思想及探究图形判定的一般思路；2.掌握平行四边形的三个判定定理，能根据不同条件灵活选取适当的判定定理进行推理论证.重点：经历平行四边形判定定理的猜想与证明过程，体会类比思想及探究图形判定的一般思路.难点：掌握平行四边形的三个判定定理，能根据不同条件灵活选取适当的判定定理进行推理论证.自主学习一、知识回顾 1.平行四边形的定义是什么？有什么作用？2.除了两组对边分别平行，平行四边形还有哪些性质？3.平行四边形上面的三条性质的逆命题各是什么？课堂探究一、要点探究探究点1：两组对边分别相等的四边形是平行四边形猜一猜将两长两短的四根细木条用小钉固定在一起,任意拉动，所得的四边形是平行四边形吗?证一证已知：四边形abcd中，ab=dc，ad=bc.求证：四边形abcd是平行四边形.证明：连接ac，在△abc和△cda中,ab=cd，ac=ca，∴△abc_____△cda(________).bc=da，∴∠1____∠4,∠2_____∠3，∴ab_____cd,ad_____bc，∴四边形abcd是________________.要点总结：平行四边形的判定定理：两组对边_____________________第1页共6页几何语言描述：在四边形ABCD中，≓ AB=CD，ad=BC，∴四边形abcd是_________________.如图1所示，在RT中△ 周一，∠ mon=90°验证：四边形ponm是平行四边形教学备注配套ppt讲授3.探究点2新知讲授（见幻灯片11-15）例2如图所示△ ABC，分别以AB、AC和BC为边，等边△ abd，等边△ ace和等边△ 位于BC同一侧的BCF试图解释四边形DAEF是平行四边形针对训练如图,ad⊥ac,bc⊥ac,且ab=cd,求证：四边形abcd是平行四边形.询问点2：两组对角相等的四边形是平行四边形猜一猜对于两组对角分别相等的四边形的形状你的猜想是什么?证一证已知：在四边形ABCD中，∠ a=∠ C∠ B=∠ D、验证：四边形ABCD是一个平行四边形证明：∵∠a+∠c+∠b+∠d=_______°，≓∠ a=∠ C∠ B=∠ D∴___∠a+___∠b=_______°，即∠a+∠b=______°，∴公元前。

授课人年级八学科数学授课时间课题18.1.2平行四边形的判定1 课型新授学习目标1．在探索平行四边形的判别条件中，理解并掌握用边、对角线来判定平行四边形的方法．2．会综合运用平行四边形的判定方法和性质来解决问题．3．培养用类比、逆向联想及运动的思维方法来研究问题．学习关键重点平行四边形的判定方法及应用难点平行四边形的判定定理与性质定理的灵活应用学教过程一、回顾旧知平行四边形的定义：的四边形叫做平行四边形．平行四边形的性质：（1）平行四边形的对边。

（2）平行四边形的对角。

（3）平行四边形的对角线。

二、合作交流问题：如何判定四边形是平行四边形？平行线性质（逆命题）平行线判定两直线平行，同位角相等。

同位角相等，两直线平行。

猜想：平行四边形性质平行四边形判定对边相等对角相等对角线互相平分命题1：两组对边分别相等的四边形是平行四边形.已知：四边形ABCD,AB=CD，AD=BC。

求证：四边形ABCD是平行四边形。

◆平行四边形的判定定理1：两组对边分别相等的四边形是平行四边形.符号语言：∵AB=CD ，AD=BC ∴四边形ABCD是平行四边形命题2：两组对角分别相等的四边形是平行四边形。

已知：四边形ABCD,∠A=∠C，∠B=∠D。

求证：四边形ABCD是平行四边形。

◆平行四边形的判定定理2:两组对角分别相等的四边形是平行四边形。

符号语言：∵∠A=∠C，∠B=∠D∴四边形ABCD是平行四边形命题3：对角线互相平分的四边形是平行四边形.已知：四边形ABCD,对角线AC、BD交于点O，OA=OC，OB=OD。

求证：四边形ABCD是平行四边形。

◆平行四边形的判定定理3：对角线互相平分的四边形是平行四边形.符号语言：∵ OA=OC ，OB=OD∴四边形ABCD是平行四边形三、例题精讲例1 已知：如图ABCD的对角线AC、BD交于点O，E、F是AC上的两点，并且AE=CF．求证：四边形BFDE是平行四边形．变式在上题中，若点E，F 分别在AC 两侧的延长线上，如图，其他条件不变，结论还成立吗？请证明你的结论．例2 已知：如图，A′B′∥BA，B′C′∥CB，C′A′∥AC．求证：(1) ∠ABC＝∠B′，∠CAB＝∠A′，∠BCA＝∠C′；(2) △ABC的顶点分别是△B′C′A′各边的中点．例3 小明用手中六个全等的正三角形做拼图游戏时，拼成一个六边形．你能在图中找出所有的平行四边形吗？并说说你的理由．四、达标检测（4分）1、在四边形ABCD中，AC、BD相交于点O，（1）若AD=8cm，AB=4cm，那么当BC= ___ cm， CD= ____cm时，四边形ABCD为平行四边形；（2）若AC=8cm，BD=10cm，那么当AO=___ cm，DO= ____cm时，四边形ABCD为平行四边形．（4分）2、在下列条件中,不能判定四边形是平行四边形的是( )(A) AB∥CD,AD∥BC (B) AB=CD,AD=BC(C) AB∥CD,AD=BC（D） OA=OC,OB=OD（8分）3、已知：ABCD中，点E、F分别在CD、AB上，DF∥BE，EF交BD于点O．求证：EO=OF．（8分）4、已知：如图，△ABC，BD平分∠ABC，DE∥BC，EF∥AC，求证：BE=CF(4分)选做题：如图：由火柴棒拼出的一列图形，第n个图形由（n+1）个等边三角形拼成，通过观察，分析发现：①第4个图形中平行四边形的个数为___ __．②第8个图形中平行四边形的个数为___ __．答案：命题1 证明：连接BD．∵AB=CD，AD=BC，BD是公共边，∴△ABD≌△CDB．∴∠1=∠2，∠3=∠4．∴AB∥DC，AD∥BC．∴四边形ABCD是平行四边形．命题2 证明：∵多边形ABCD是四边形，∴∠A+∠B+∠C+∠D=360°．又∵∠A=∠C，∠B=∠D，∴∠A+∠B=180°，∠B+∠C=180°．∴AD∥BC，AB∥DC．∴四边形ABCD是平行四边形．命题3 证明：∵OA=OC，OB=OD，∠AOD=∠COB，∴△AOD≌△COB．∴∠OAD=∠OCB．∴AD∥BC．同理AB∥DC．∴四边形ABCD是平行四边形．例1 证明：∵四边形ABCD是平行四边形∴OA=OC,OB=OD ∵AE=CF ∴OA -AE=OC -CF ∴OE=OF ∵OB=OD ∴四边形BFDE是平行四边形变式证明：∵四边形ABCD是平行四边形∴OA=OC,OB=OD ∵AE=CF ∴OA +AE=OC +CF ∴OE=OF ∵OB=OD ∴四边形BFDE是平行四边形例2 证明：(1) ∵ A′B′∥BA，C′B′∥BC，∴四边形ABCB′是平行四边形．∴∠ABC＝∠B′(平行四边形的对角相等)．同理∠CAB＝∠A′，∠BCA＝∠C′．(2) 由(1)证得四边形ABCB′是平行四边形．同理，四边形ABA′C是平行四边形．∴ AB＝B′C， AB＝A′C(平行四边形的对边相等)．∴ B′C＝A′C．同理 B′A＝C′A， A′B＝C′B．∴△ABC的顶点A、B、C分别是△B′C′A′的边B′C′、C′A′、A′B′的中点．例3 解：有6个平行四边形，分别是ABOF，ABCO，BCDO，CDEO，DEFO，EFAO．理由是：因为正△ABO≌正△AOF，所以AB=BO，OF=FA．根据“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”，可知四边形ABCD是平行四边形．其它五个同理．1、（1）8,4 （2）4,52、C3、证明：∵四边形ABCD是平行四边形∴CD∥AB ∵DF∥BE∴四边形DEBF是平行四边形∴EO=OF4、证明：∵BD平分∠ABC∴∠EBD=∠DBC ∵DE∥BC∴∠EDB=∠DBC ∴∠EBD=∠EDB ∴BE=DE ∵DE∥BC，EF∥AC∴四边形DEFC是平行四边形∴DE=CF ∴BE=CF选做题：6、 20。

BA CD ADO18.1.2平行四边形的判定（1）学习目标： 1．理解并掌握用边、对角线来判定平行四边形的方法．2．会综合运用平行四边形的判定方法和性质来解决问题． 3．培养用类比、逆向联想及运动的思维方法来研究问题．学习重点和难点重点：平行四边形的判定方法及应用．难点：平行四边形的判定定理与性质定理的灵活应用． 一、 预习内容：看谁更仔细！ 1、 平行四边形的概念： 2、平行四边形的性质：边： 角： 线：3、思考：对边相等或对角相等或对角线互相平分的四边形是不是平行四边形呢？二、数学概念：看谁认得快！1、定义法判定：有两组对边 的四边形是平行四边形.∵AB ∥CD,AD ∥BC ∴四边形ABCD 是2、判定1：两组对边 的四边形是平行四边形.∵AB= ,AD= ∴四边形ABCD 是 . 3、判定2：有两组对角 的四边形是平行四边形. ∵ ∴四边形ABCD 是 4、判定3：对角线 的四边形是平行四边形. ∵ ∴四边形ABCD 是 .以判定3为例进行证明已知：在四边形ABCD 中，AC 、BD 相交于点O,若OA=OC,OB=OD.求证：四边形ABCD 是平行四边形 .证明：三、例题讲解：（精讲）例1已知：如图ABCD 的对角线AC 、BD 交于点O ，E 、F 是AC 上的两点，并且AE=CF ． 求证：四边形BFDE 是平行四边形． 证明：四、总结反思：看谁说得好！ 1. 说说你的收获； 2. 你还有什么问题？ 五、反馈练习：看谁学得好！*变式1：若E 、F 移至OA 、OC 的延长线上，且AE=CF ，结论有改变吗？为什么？*变式2：如图, ABCD 的对角线AC 、BD 交于点O ，且E 、F 、G 、H 分别是AO,BO,CO,DO 的中点， 求证：四边形EFGH 是平行四边形．HF GEOAOABCDFEAED B FC3、如图，,,AB DC EF AD BC DE CF ====，图中有哪些互相平行的线段？六、能力提升：看谁写得棒！1、下列条件中能判断四边形是平行四边形的是（ ）． （A ）对角线互相垂直 （B ）对角线相等 （C ）对角线互相垂直且相等 （D ）对角线互相平分2、如图，在四边形ABCD 中，AC 、BD 相交于点O ，（1）若AD=8cm ，AB=4cm ，那么当BC=___ _cm ，CD=___ _cm 时，四边形ABCD 为平行四边形；（2）若AC=10cm ，BD=8cm ，那么当AO=__ _cm ，DO=__ _cm 时，四边形ABCD 为平行四边形．3、如图，已知在ABCD 中， AE 、CF 分别是DAB ∠、BCD ∠的角平分线，试说明四边形AFCE 是平行四边形．4、已知：如图，平行四边形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，M 、N 分别是OA 、OC 的中点，求证：BM ∥DN ，且BM=DN .七、作业布置：CA F DBE八年级上学期期末数学试卷一、选择题（每题只有一个答案正确）1．若（a+b)2=4，(a -b)2=6，则 a 2+b 2 的值为（ ） A ．25 B ．16 C ．5 D ．4【答案】C【分析】由()()222222a b a b a b ++-=+可得答案． 【详解】解：()22224a b a ab b +=++=①，()22226a b a ab b -=-+=②∴ ①＋②得：222210,a b +=22 5.a b ∴+=故选C ． 【点睛】本题考查了完全平方公式的应用，掌握两个完全平方公式的结合变形是解题的关键． 2．已知点P 关于x 轴对称点的坐标是(-1，2)，则点P 的坐标为( ) A ．(1，2) B ．(1，-2)C ．(2，-1)D ．(-1，-2)【答案】D【解析】关于x 轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数．【详解】根据平面直角坐标系中两个关于坐标轴成轴对称的点的坐标特点， ∴点P 关于x 轴对称点的坐标是(-1，2)，则点P 的坐标为（-1，-2）． 故选：D ． 【点睛】解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：关于x 轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数． 3．如图，在ABC ∆中，90C ∠=︒，AC BC =,AD 是BAC ∠的平分线，DE AB ⊥，垂足为E ，若10AC cm =,则DBE ∆的周长为（ ）A ．10B ．15C ．2D ．20【答案】C【分析】根据勾股定理即可求出AB ，然后根据角平分线的性质和定义DC=DE ，∠CAD=∠EAD ，利用直角三角形的性质即可求出∠ADC=∠ADE ，再根据角平分线的性质可得AE=AC ，从而求出BE ，即可求出DBE ∆的周长．【详解】解：∵在ABC ∆中，90C ∠=︒，10AC BC cm ==,∴=∵AD 是BAC ∠的平分线，DE AB ⊥ ∴DC=DE ，∠CAD=∠EAD ，∠DEA=90° ∴∠ADC=90°－∠CAD=90°－∠EAD=∠ADE 即DA 平分∠CDE ∴AE=AC=10cm∴BE=AB －AE=()10cm -∴DBE ∆的周长=DE ＋DB ＋BE=DC ＋DB ＋BE=BC ＋BE=10＋()10= 故选C ． 【点睛】此题考查的是勾股定理、角平分线的性质和直角三角形的性质，掌握用勾股定理解直角三角形、角平分线的性质和直角三角形的两个锐角互余是解决此题的关键．4．在平面直角坐标系中，将函数3y x =的图象向上平移6个单位长度，则平移后的图象与x 轴的交点坐标为（ ） A ．(2,0) B ．(-2,0) C ．(6,0) D ．(-6,0)【答案】B【分析】先求出平移后的解析式，继而令y=0，可得关于x 的方程，解方程即可求得答案.【详解】根据函数图象平移规律，可知3y x =向上平移6个单位后得函数解析式应为36y x =+， 此时与x 轴相交，则0y =， ∴360x +=，即2x =-， ∴点坐标为(-2，0)， 故选B. 【点睛】本题考查了一次函数图象的平移，一次函数图象与坐标轴的交点坐标，先出平移后的解析式是解题的关键. 5．下列命题是假命题的是( ) A ．同旁内角互补，两直线平行B．若两个数的绝对值相等，则这两个数也相等C．平行于同一条直线的两条直线也互相平行D．全等三角形的周长相等【答案】B【解析】根据平行线的判定，绝对值和全等三角形的性质判断即可．【详解】A．同旁内角互补，两直线平行，是真命题；B．若两个数的绝对值相等，则这两个数相等或互为相反数，是假命题；C．平行于同一条直线的两条直线也互相平行，是真命题；D．全等三角形的周长相等，是真命题．故选B．【点睛】本题考查了命题与定理：判断事物的语句叫命题；正确的命题称为真命题，错误的命题称为假命题；经过推理论证的真命题称为定理．6．点P是第二象限的点且到x轴的距离为3、到y轴的距离为4，则点P的坐标是（）A．（﹣3，4）B．（ 3，﹣4）C．（﹣4，3）D．（ 4，﹣3）【答案】C【详解】由点且到x轴的距离为2、到y轴的距离为1，得|y|=2，|x|=1．由P是第二象限的点，得x=-1，y=2．即点P的坐标是（-1，2），故选C．7）A B．C．D．3【答案】B【分析】根据相反数的意义，可得答案．故选B．【点睛】本题考查了实数的性质，在一个数的前面加上负号就是这个数的相反数．8．若()()23x x m -+计算的结果中不含关于字母x 的一次项，则m 的值为（ ） A ．4 B ．5C ．6D ．7【答案】C【分析】根据题意，先将代数式()()23x x m -+通过多项式乘以多项式的方法展开，再将关于x 的二次项、一次项及常数项分别合并，然后根据不含字母x 的一次项的条件列出关于x 的方程即可解得． 【详解】()()23x x m -+2662x mx x m =+-- ()2662x m x m =+--∵计算的结果中不含关于字母x 的一次项 ∴60m -= ∴6m = 故选：C 【点睛】本题考查的知识点是多项式乘以多项式的方法，掌握多项式乘法法则，能根据不含一次项的条件列出方程是关键，在去括号时要特别注意符号的准确性． 9．下列命题中，真．命题是( ) A ．同旁内角互补 B ．在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行 C ．相等的角是内错角 D ．有一个角是60︒的三角形是等边三角形【答案】B【分析】分别根据平行线的性质和判定、内错角的定义和等边三角形的判定方法逐项判断即可得出答案． 【详解】解：A 、同旁内角互补是假命题，只有在两直线平行的前提下才成立，所以本选项不符合题意； B 、在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行，是真命题，所以本选项符合题意； C 、相等的角是内错角，是假命题，所以本选项不符合题意；D 、有一个角是60︒的三角形是等边三角形，是假命题，应该是有一个角是60︒的等腰三角形是等边三角形，所以本选项不符合题意． 故选：B ． 【点睛】本题考查了真假命题的判断、平行线的性质和判定以及等边三角形的判定等知识，属于基本题型，熟练掌握基本知识是解题的关键．10．如图，已知S △ABC ＝12，AD 平分∠BAC，且AD⊥BD 于点D ，则S △ADC 的值是( )A ．10B ．8C ．6D ．4【答案】C【解析】延长BD 交AC 于点E ，则可知△ABE 为等腰三角形，则S △ABD =S △ADE ，S △BDC =S △CDE ，可得出S △ADC =12S △ABC ． 【详解】解：如图，延长BD 交AC 于点E ，∵AD 平分∠BAE ，AD ⊥BD ， ∴∠BAD=∠EAD ，∠ADB=∠ADE ， 在△ABD 和△AED 中，BAD EAD AD AD BDA EDA ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩, ∴△ABD ≌△AED （ASA ）， ∴BD=DE ，∴S △ABD =S △ADE ，S △BDC =S △CDE ， ∴S △ABD +S △BDC =S △ADE +S △CDE =S △ADC ， ∴S △ADC =12S △ABC =12×12=6（m 2）， 故答案选C ． 【点睛】本题主要考查等腰三角形的判定和性质，由BD=DE 得到S △ABD =S △ADE ，S △BDC =S △CDE 是解题的关键． 二、填空题11．某种大米的单价是2.4元/千克，当购买x 千克大米时，花费为y 元，则x 与y 的函数关系式是_______． 【答案】 2.4y x =【分析】关系式为：花费=单价×数量，把相关数值代入即可. 【详解】大米的单价是2.4元/千克，数量为x 千克， ∴y=2.4x ，故答案为：y=2.4x. 【点睛】此题主要考查一次函数的实际应用，熟练掌握，即可解题.12．如图，长方形ABCD 中，AD ＝8，AB ＝4，BQ ＝5，点P 在AD 边上运动，当BPQ 为等腰三角形时，AP 的长为_____．【答案】3或52或2或1 【分析】根据矩形的性质可得∠A ＝90°，BC ＝AD ＝1，然后根据等腰三角形腰的情况分类讨论，根据勾股定理和垂直平分线等知识即可求解． 【详解】解：∵四边形ABCD 是矩形， ∴∠A ＝90°，BC ＝AD ＝1， 分三种情况： ①BP ＝BQ ＝5时，AP ＝22BP AB -＝2254-＝3； ②当PB ＝PQ 时，作PM ⊥BC 于M ， 则点P 在BQ 的垂直平分线时，如图所示：∴AP ＝12BQ ＝52； ③当QP ＝QB ＝5时，作QE ⊥AD 于E ，如图所示：则四边形ABQE 是矩形， ∴AE ＝BQ ＝5，QE ＝AB ＝4，∴PE 3， ∴AP ＝AE ﹣PE ＝5﹣3＝2； ④当点P 和点D 重合时， ∵CQ=3，CD=4，∴根据勾股定理，PQ=5=BQ ， 此时AP=AD=1，综上所述，当BPQ 为等腰三角形时，AP 的长为3或52或2或1； 故答案为：3或52或2或1． 【点睛】此题考查的是矩形的性质、等腰三角形的性质和勾股定理，掌握矩形的性质、等腰三角形的性质、分类讨论的数学思想和勾股定理是解题关键．13．如果Rt △ABC 是轴对称图形，且斜边AB 的长是10cm ，则Rt △ABC 的面积是_____cm 1． 【答案】15【分析】根据题意可得，△ABC 是等腰直角三角形，根据斜边AB 是10cm ，求出直角边的长，最后根据三角形面积公式得出答案即可.【详解】解：∵Rt △ABC 是轴对称图形， ∴△ABC 是等腰直角三角形， ∵斜边AB 的长是10cm ，(cm)，∴Rt △ABC 的面积=1×2(cm 1)； 故答案为：15． 【点睛】本题主要考察了勾股定理以及轴对称图形的性质，根据题意得出△ABC 是等腰直角三角形是解题的关键.14n 的最小正整数值为__________． 【答案】1∴1n为完全平方数，∴n的最小值是1．故答案为：1.【点睛】本题主要考查的是二次根式的定义，熟练掌握二次根式的定义是解题的关键．15．已知xy=3，那么______．【解析】分析：先化简，再分同正或同负两种情况作答．详解：因为xy=3，所以x、y同号，于是原式=当x>0，y>0时，原式；当x<0，y<0时，原式=(故原式.点睛：本题考查的是二次根式的化简求值，能够正确的判断出化简过程中被开方数底数的符号是解答此题的关键.16．若（x+2）（x﹣6）＝x2+px+q，则p+q＝_____．【答案】-1【分析】已知等式左边利用多项式乘多项式法则计算，利用多项式相等的条件求出p与q的值，再代入计算即可求解．【详解】解：（x+2）（x﹣6）＝x2﹣4x﹣12＝x2+px+q，可得p＝﹣4，q＝﹣12，p+q＝﹣4﹣12＝﹣1．故答案为：﹣1．【点睛】本题考查了多项式与多项式的乘法运算，多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项分别乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.17．因式分解：（a+b）2﹣64＝_____．【答案】（a+b﹣8）（a+b+8）【分析】直接利用平方差公式分解因式得出答案．【详解】解：（a+b ）2﹣64＝（a+b ﹣8）（a+b+8）．故答案为（a+b ﹣8）（a+b+8）．【点睛】此题主要考查了平方差公式分解因式，正确应用公式是解题关键．三、解答题18．如图，ABC 中，,108AB AC A =∠=，BD 平分ABC ∠交AC 于D 点．求证：BC=AC+CD ．【答案】证明见解析.【分析】如图，在线段BC 上截取BE BA =，连结DE ，由角平分线的性质可得∠ABD=∠EBD=12∠ABC ，利用SAS 可证明△ABD ≌△EBD ，即可得BED A 108∠∠==，ADB EDB ∠∠=，根据等腰三角形的性质可求出∠ACB=∠ABC=36°，根据三角形内角和定理及外角性质可得CDE DEC ∠∠=，即可证明CD=CE ，进而可得结论.【详解】如图，在线段BC 上截取BE BA =，连结DE ，∵BD 平分ABC ∠， ∴1ABD EBD ABC,2∠∠∠== 在ABD 和EBD 中，,BE BA ABD EBD BD BD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴()ABD EBD SAS ≅，∴BED A 108∠∠==，ADB EDB ∠∠=．∵AB AC A 108∠==，， ∴()1ACB ABC 180108362∠∠==⨯-=， ∴ABD EBD 18∠∠==，∴ADB EDB 1801810854,∠∠==--=∴CDE 180ADB EDB 180545472∠∠∠=--=--=，∴DEC 180DEB 18010872,∠∠=-=-=∴CDE DEC ∠∠=，∴CD CE =，∴BC BE EC AB CD AC CD =+=+=+．【点睛】本题考查角平分线的定义、全等三角形的判定与性质、三角形内角和定理、外角性质及等腰三角形的性质，熟练掌握相关性质和判定定理是解题关键.19．如图，在平面直角坐标系中，△ABC 的三个顶点的位置如图所示．（1）若△ABC 内有一点P （a ，b ）随着△ABC 平移后到了点P ′（a+4，b ﹣1），直接写出A 点平移后对应点A ′的坐标．（2）直接作出△ABC 关于y 轴对称的△A ′B ′C ′（其中A ′、B ′、C ′分别是A 、B 、C 的对应点） （3）求四边形ABC ′C 的面积．【答案】（1）点A'（2，2）；（2）详见解析；（3）5.5【分析】（1）根据平移的特点得出坐标即可；（2）根据轴对称的性质画出图形即可；（3）利用三角形的面积公式解答即可．【详解】解：（1）∵△ABC 内有一点P （a ，b ）随着△ABC 平移后到了点P ′（a+4，b ﹣1），点A （﹣2，3），∴点A'（2，2）；（2）如图所示：（3）这里给到了网格图，所以直接补全所求面积为5×4的长方形，即可求得四边形ABC ′C 的面积＝11154213543 5.5222⨯-⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯=． 【点睛】本题主要考查的是轴对称的变换以及相关的几何问题，这里需要注意得出正确的对应点，面积的计算借助网格图直接补全长方形即可求得最后答案．20．计算（1）（﹣12）﹣2﹣23×1．125+21151+|﹣1|； （2）[（a+b ）2﹣（a ﹣b ）2]÷2ab 【答案】（1）5；（2）2．【分析】（1）分别根据负整数指数幂、幂的运算、零指数幂、绝对值运算计算出各部分，再进行加减运算即可；（2）先利用完全平方公式计算小括号，再合并同类项，最后根据整式的除法运算法则计算即可．【详解】解：（1）230120.125200512-⎛⎫--⨯++- ⎪⎝⎭ 480.12511=-⨯++4111=-++5=；（2）()()222a b a b ab ⎡⎤+--÷⎣⎦()2222222a ab b a ab b ab ⎡⎤=++--+÷⎣⎦2222222a ab b a ab b ab ⎡⎤=++-+-÷⎣⎦42ab ab =÷2=．【点睛】本题考查实数的混合运算、整式的混合运算，掌握运算法则是解题的关键．21．先化简，再求值：22121x x x --+÷1111x x x x+--+，其中x ＝12． 【答案】11x x -+，13． 【分析】先将分式的分子和分母分解因式，将分式约分化简得到最简结果，再将未知数的值代入计算即可.【详解】221112111x x x x x x x-+-÷-+-+, 2(1)(1)11(1)11x x x x x x x +---=⋅⋅-++ =11x x-+, 当x ＝12时，原式＝11121312-=+. 【点睛】此题考查分式的化简求值，化简时需先分解因式约去公因式得到最简分式，再将未知数的值代入求值即可. 22．某汽车制造厂生产一款电动汽车，计划一个月生产200辆．由于抽调不出足够的熟练工来完成电动汽车的安装，工厂决定招聘一些新工人，他们经过培训后上岗，也能独立进行电动汽车的安装．生产开始后，调研部门发现：1名熟练工和2名新工人每月可安装8辆电动汽车；2名熟练工和3名新工人每月可安装14辆电动汽车．（1）每名熟练工和新工人每月分别可以安装多少辆电动汽车？（2）若工厂现在有熟练工人30人，求还需要招聘多少新工人才能完成一个月的生产计划？【答案】（1）每名熟练工每月可以按装4辆电动汽车，每名新工人每月可以按装2辆电动汽车；（2）1名【分析】（1）设每名熟练工每月可以按装x 辆电动汽车，每名新工人每月可以按装y 辆电动汽车，根据“1名熟练工和2名新工人每月可安装8辆电动汽车；2名熟练工和3名新工人每月可安装14辆电动汽车”，即可得出关于x ，y 的二元一次方程组，解之即可得出结论；（2）设还需要招聘m 名新工人才能完成一个月的生产计划，根据工作总量＝工作效率×人数结合计划一个月生产200辆，即可得出关于m 的一元一次方程，解之即可得出结论．【详解】解：（1）设每名熟练工每月可以按装x 辆电动汽车，每名新工人每月可以按装y 辆电动汽车，依题意，得：282314x y x y +=⎧⎨+=⎩， 解得：42x y =⎧⎨=⎩． 答：每名熟练工每月可以按装4辆电动汽车，每名新工人每月可以按装2辆电动汽车．（2）设还需要招聘m 名新工人才能完成一个月的生产计划，依题意，得：4×30+2m ＝200，解得：m ＝1．答：还需要招聘1名新工人才能完成一个月的生产计划．【点睛】本题考查的是用二元一次方程组解决问题中的工程问题，理解题意，找准数量关系列出方程组是解答关键. 23．如图，在等边ABC ∆中，边长为10cm ．点P 从点C 出发，沿C B A C →→→方向运动，速度为4/cm s ；同时点Q 从点B 出发，沿B A C →→方向运动，速度为3/cm s ，当两个点有一个点到达终点时，另一个点随之停止运动．设运动时间为()t s ，解答下列问题：（1）当2.55t <<时，BP =_______（用含t 的代数式表示）；（2）当//PQ BC 时，求t 的值，并直接写出此时APQ ∆为什么特殊的三角形？（3）当05t <<，且2BP cm =时，求t 的值．【答案】（1）410t -；（2）307t =，等边三角形；（1）2或1． 【分析】（1）当2.55t <<，可知点P 在BA 上，所以BP 长等于点P 运动的总路程减去BC 长； （2）若//PQ BC ，可证得AP AQ =，用含t 的式子表示出AP 、AQ ，可求出t 值，结合平行与等边ABC ∆的性质可知APQ ∆为等边三角形.（1）分类讨论，当05t <<时，点P 可能在BC 边上或在AB 边上，用含t 的式子表示出BP 的长，可得t 值.【详解】（1）设点P 运动的路程为s ，当2.55t <<时，2.5454s ⨯<<⨯，即1020s <<，因为10BC AB AC ===，所以点P 在BA 上，所以410BP s BC t =-=-；（2）如图ABC 为等边三角形60A B C ︒∴∠=∠=∠=//PQ BC ，60,60APQ B AQP C ︒︒∴∠=∠=∠=∠=60APQ AQP A ︒∴∠=∠=∠=APQ ∴△是等边三角形∴=AP AQ ．204,310AP t AQ t =-=-∴204310t t -=-． 解得307t =． 所以APQ ∆等边三角形．（1）当点P 在BC 边上时，1042t -=．∴2t =．当点P 在AB 边上时，4102t -=．∴3t =．【点睛】本题主要考查了等边三角形中的动点问题，涉及了等边三角形的性质与判定，灵活的用代数式表示线段长是解题的关键.24．如图，AC=DC ，BC=EC ，∠ACD=∠BCE ．求证：∠A=∠D ．【答案】证明见试题解析．【解析】试题分析：首先根据∠ACD=∠BCE得出∠ACB=∠DCE，结合已知条件利用SAS判定△ABC和△DEC 全等，从而得出答案.试题解析：∵∠ACD=∠BCE ∴∠ACB=∠DCE 又∵AC=DC BC=EC ∴△ABC≌△DEC ∴∠A=∠D考点：三角形全等的证明25．如图1，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，CD平分∠ACB，BE⊥CD，垂足E在CD的延长线上．请解答下列问题：（1）图中与∠DBE相等的角有：；（2）直接写出BE和CD的数量关系；（3）若△ABC的形状、大小不变，直角三角形BEC变为图2中直角三角形BED，∠E＝90°，且∠EDB＝12∠C，DE与AB相交于点F．试探究线段BE与FD的数量关系，并证明你的结论．【答案】（1）∠ACE和∠BCD；（2）BE＝12 CD；（3）BE＝12DF，证明见解析【分析】（1）根据三角形内角和定理得到∠DBE＝∠ACE，根据角平分线的定义得到∠BCD＝∠ACE，得到答案；（2）延长BE交CA延长线于F，证明△CEF≌△CEB，得到FE＝BE，证明△ACD≌△ABF，得到CD＝BF，证明结论；（3）过点D作DG∥CA，交BE的延长线于点G，与AE相交于H，分别证明△BGH≌△DFH、△BDE≌△GDE，根据全等三角形的性质解答即可．【详解】解：（1）∵BE⊥CD，∴∠E＝90°，∴∠E ＝∠BAC ，又∠EDB ＝∠ADC ，∴∠DBE ＝∠ACE ，∵CD 平分∠ACB ，∴∠BCD ＝∠ACE ，∴∠DBE ＝∠BCD ，故答案为：∠ACE 和∠BCD ；（2）延长BE 交CA 延长线于F ，∵CD 平分∠ACB ，∴∠FCE ＝∠BCE ，在△CEF 和△CEB 中，FCE BCECE CE CEF CEB∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△CEF ≌△CEB （ASA ），∴FE ＝BE ，在△ACD 和△ABF 中，ACD ABFAC AB CAD BAF 90︒∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠=⎩，∴△ACD ≌△ABF （ASA ），∴CD ＝BF ，∴BE ＝12CD ；（3）BE ＝12DF证明：过点D 作DG ∥CA ，交BE 的延长线于点G ，与AE 相交于H ，∵DG ∥AC ，∴∠GDB ＝∠C ，∠BHD ＝∠A ＝90°， ∵∠EDB ＝12∠C ，∴∠EDB ＝∠EDG ＝12∠C ，∵BE ⊥ED ，∴∠BED ＝90°，∴∠BED ＝∠BHD ，∵∠EFB ＝∠HFD ，∴∠EBF ＝∠HDF ，∵AB ＝AC ，∠BAC ＝90°， ∴∠C ＝∠ABC ＝45°，∵GD ∥AC ，∴∠GDB ＝∠C ＝45°，∴∠GDB ＝∠ABC ＝45°，∴BH ＝DH ，在△BGH 和△DFH 中，HBG HDFBH DH BHG DHF 90︒∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠=⎩， ∴△BGH ≌△DFH （ASA ） ∴BG ＝DF ，∵在△BDE 和△GDE 中，BDE GDEDE DE BED GED 90︒∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠=⎩， ∴△BDE ≌△GDE （ASA ）∴BE ＝EG ，∴BE＝11BG DP 22．【点睛】本题考查了三角形内角和定理，角平分线的意义，三角形全等的判定和性质等相关知识，解决本题的关键是：①熟练掌握三角形内角和定理，理清角与角之间存在的关系；②正确理解角平分线的性质③熟练掌握三角形全等的判定方法。

2020春人教版八下数学第18.1.2平行四边形的判定导学案设计第1课时平行四边形的判定教学目标1．掌握平行四边形的判定定理．2．灵活运用平行四边形的判定定理．3．灵活运用平行四边形性质和判定解决实际问题．预习反馈阅读教材P45～47，完成下列问题．1．两组对边分别平行的四边形是平行四边形．图1如图1，在四边形ABCD中，∵AB∥CD，BC∥AD，∴四边形ABCD是平行四边形．2．两组对边分别相等的四边形是平行四边形．如图1，在四边形ABCD中，∵AB＝CD，BC＝DA，∴四边形ABCD是平行四边形．3．两组对角分别相等的四边形是平行四边形．如图1，在四边形ABCD中，∵∠A＝∠C，∠B＝∠D，∴四边形ABCD是平行四边形．图24．对角线互相平分的四边形是平行四边形．如图2，在四边形ABCD中，AC，BD相交于点O，∵AO＝CO，BO＝DO，∴四边形ABCD是平行四边形．5．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．如图1，在四边形ABCD中，∵AB∥CD，AB＝CD，∴四边形ABCD是平行四边形．名校讲坛例1(教材P46例3)如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E，F是AC上的两点，并且AE＝CF.求证：四边形BFDE是平行四边形.【思路点拨】根据平行四边形的性质可以得出OA＝OC，OB＝OD，再结合AE＝CF，得出四边形BFDE的对角线互相平分，即可得出四边形BFDE是平行四边形．【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴BO＝DO，AO＝CO.又∵AE＝CF，∴EO＝FO.∴四边形BFDE是平行四边形．【跟踪训练1】如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，对角线AC，BD相交于点O，且AO＝CO.求证：四边形ABCD 是平行四边形．证明：∵AB∥CD，∴∠ABO＝∠CDO，∠BAO＝∠DCO.又∵AO＝CO，∴△ABO≌△CDO(AAS)．∴BO＝DO.∴四边形ABCD是平行四边形．例2(教材P47例4) 如图，在▱ABCD中，E，F分别是AB，CD的中点，求证：四边形EBFD是平行四边形.【思路点拨】 根据E ，F 分别是AB ，CD 的中点，四边形ABCD 是平行四边形，可得BE 平行且等于DF . 【解答】 ∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AB ＝CD ，EB ∥FD . 又EB ＝12AB ，FD ＝12CD ，∴EB ＝FD .∴四边形EBFD 是平行四边形．【方法归纳】 判定平行四边形的基本思路：(1)若已知一组对边平行，可以证这一组对边相等或另一组对边平行； (2)若已知一组对边相等，可以证这一组对边平行或另一组对边相等； (3)若已知一组对角相等，可以证另一组对角相等； (4)若已知条件与对角线有关，可以证明对角线互相平分．【跟踪训练2】 如图，在▱ABCD 中，点E ，F 分别在AD ，BC 上，且AE ＝CF ，EF ，BD 相交于点O ，求证：OE ＝OF .证明：连接BE ，DF .∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AD ∥BC ，AD ＝BC . ∵AE ＝CF ，∴DE ＝BF . 又∵DE ∥BF ，∴四边形BEDF 是平行四边形． ∴OE ＝OF .巩固训练1．如图所示，AD ∥BC ，要使四边形ABCD 成为平行四边形还需要条件(D )A ．AB ＝DC B ．∠1＝∠2 C ．AB ＝AD D ．AD ＝BC2．下面给出的是四边形ABCD 中∠A ，∠B ，∠C ，∠D 的度数比，其中能判断出四边形是平行四边形的是(B )A ．4∶3∶2∶1B ．3∶2∶3∶2C ．3∶3∶2∶2D ．3∶2∶2∶13．如图，四边形ABCD 的对角线相交于点O ，AO ＝CO ，请添加一个条件BO ＝DO (答案不唯一)(只添一个即可)，使四边形ABCD 是平行四边形．4．如图，点E ，F 在▱ABCD 的边BC ，AD 上，BE ＝13BC ，FD ＝13AD ，连接BF ，DE .求证：四边形BEDF 是平行四边形．证明：∵四边形ABCD 为平行四边形， ∴AD 平行且等于BC . ∵BE ＝13BC ，FD ＝13AD ，∴BE ＝FD . 又∵BE ∥FD ，∴四边形BEDF 是平行四边形．5．如图，在四边形ABCD 中，AB ∥CD ，点E ，F 为对角线AC 上两点，且AF ＝CE ，DF ∥BE .求证：四边形ABCD 为平行四边形．证明：∵AB ∥CD ， ∴∠DCA ＝∠BAC .∵DF ∥BE ，∴∠DF A ＝∠BEC . ∴∠CFD ＝∠AEB . ∵AF ＝CE ，∴AF －EF ＝CE －EF ，即AE ＝CF .在△AEB 和△CFD 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠BAE ＝∠DCF ，AE ＝CF ，∠AEB ＝∠CFD ，∴△AEB ≌△CFD (ASA )． ∴AB ＝CD . ∵AB ∥CD ，∴四边形ABCD 为平行四边形． 课堂小结1．平行四边形判定定理：(1)定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形； (2)两组对边分别相等的四边形是平行四边形； (3)对角线互相平分的四边形是平行四边形； (4)两组对角分别相等的四边形是平行四边形； (5)一组对边平行且相等的四边形是平行四边形． 2．平行四边形性质和判定的运用．第2课时 三角形的中位线教学目标1．理解三角形中位线的概念，掌握它的性质．2．能较熟练地应用三角形中位线性质进行有关的证明和计算． 预习反馈阅读教材P 47～49，完成下列问题．1．三角形的中位线的定义：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线．2．三角形的中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半．如图，∵DE 是△ABC 的中位线， ∴DE ∥BC ，且DE ＝12BC ．3．一个三角形有三条中位线．名校讲坛例1 (教材P 48探究)如图，D ，E 分别为△ABC 边AB ，AC 的中点，求证：DE ∥BC ，且DE ＝12BC .【思路点拨】 本题既要证明两条线段所在的直线平行，又要证明其中一条线段的长等于另一条线段长的一半．将DE 延长一倍后，可以将证明DE ＝12BC 转化为证明延长后的线段与BC 相等．又由于E 是AC 的中点，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形构造一个平行四边形，利用平行四边形的性质进行证明．【解答】 证明：如图，延长DE 到点F ，使EF ＝DE ，连接FC ，DC ，AF .∵AE ＝EC ，DE ＝EF .∴四边形ADCF 是平行四边形，CF 平行且等于DA . ∴CF 平行且等于BD .∴四边形DBCF 是平行四边形，DF 平行且等于BC . 又∵DE ＝12DF ，∴DE ∥BC ，且DE ＝12BC .【跟踪训练1】 如图，在▱ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，点E 是AB 的中点，OE ＝5 cm ，则AD 的长为10cm .例2 (教材P 49练习T 1)如图，在△ABC 中，D ，E ，F 分别是AB ，BC ，CA 的中点，以这些点为顶点，在图中，你能画出多少个平行四边形？为什么？【解答】 能画出三个平行四边形，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可得四边形BEFD 、四边形DECF 、四边形ADEF 为平行四边形．【跟踪训练2】 如图，在△ABC 中，D ，E ，F 分别为边AB ，BC ，CA 的中点．求证：四边形DECF 是平行四边形．证明：∵D ，E ，F 分别为AB ，BC ，CA 的中点， ∴DF ，DE 为△ABC 的中位线． ∴DF ∥BC ，DE ∥AC .∴四边形DECF 是平行四边形． 巩固训练1．如图，在等边△ABC 中，点D ，E 分别为AB ，AC 的中点，则∠DEC 的度数为(B )A ．150°B ．120°C ．60°D ．30°2．如图，△ABC 中，D ，E ，F ，G 分别是AB ，AC ，AD ，AE 的中点，若BC ＝8，则DE ＋FG ＝(B )A ．4.5B ．6C ．7D ．83．已知△ABC 的各边长度分别为3 cm ，4 cm ，5 cm ，则连接各边中点的三角形周长为(D )A ．2 cmB ．7 cmC ．5 cmD ．6 cm4．如图，在△ABC 中，D ，E 分别是AB 和AC 的中点，F 是BC 延长线上一点，CF ＝1，DF 交CE 于点G ，且EG ＝CG ，则BC ＝2．5．如图，在△ABC 中，CF 平分∠ACB ，CA ＝CD ，AE ＝EB ，求证：EF ＝12BD .证明：∵CA ＝CD ，CF 平分∠ACB ，∴CF 为AD 边上的中线． ∴F 为AD 的中点． ∵AE ＝EB ， ∴E 为AB 中点．∴EF 为△ABD 的中位线． ∴EF ＝12BD .6．如图，在四边形ABCD 中，P 是对角线BD 的中点，E ，F 分别是AB ，CD 的中点，AD ＝BC ，∠PEF ＝18°.求∠PFE 的度数．解：∵P ，E ，F 分别是DB ，AB ，DC 的中点， ∴PF 是△DCB 的中位线，PE 是△DAB 的中位线， ∴PF ＝12BC ，PE ＝12AD .∵BC ＝AD ，∴PF ＝PE .∵∠PEF ＝18°，∴∠PFE ＝∠PEF ＝18°. 课堂小结1．三角形的中位线定理．2．三角形的中位线定理不仅给出了中位线与第三边的位置关系，而且给出了他们的数量关系，在三角形中给出一边的中点时，要转化为中位线． 。

18．1.2 平行四边形的判定第一课时教学目标1．理解平行四边形的判定方法，并学会简单运用．2．在问题的解决过程中，增强学生的思维发散性和灵活性．教学重难点重点：平行四边形的两个判定方法．难点：平行四边形判定方法的证明和运用．教学过程一、情境引入前面，我们已经学习了平行四边形的定义和性质，请同学们来思考以下几个问题：【问题1】平行四边形的定义是什么？它有什么作用？(平行四边形的定义既可以作为平行四边形的性质，又可以作为平行四边形的判定．) 【问题2】平行四边形具有哪些性质？【问题3】我们知道，平行四边形的对边相等、对角相等、对角线互相平分．反过来，对边相等或对角线互相平分的四边形是平行四边形呢？也就是说，平行四边形的性质定理的逆命题成立吗？引入：本节课我们一起来学习平行四边形的判定方法．二、互动新授下面，我们以“对角线互相平分的四边形是平行四边形”为例，通过三角形全等进行证明．【问题4】如教材图18.1－10，在四边形ABCD中，AC，BD相交于点O，且OA＝OC，OB＝OD.求证：四边形ABCD是平行四边形．教材图18.1－10【证明】∵OA＝OC，OB＝OD，∠AOD＝∠COB，∴△AOD≌△COB.∴∠OAD＝∠OCB.∴AD∥BC，同理AB∥DC.∴四边形ABCD是平行四边形．由上我们知道，平行四边形的判定定理与相应的性质定理互为逆定理，也就是说，当定理的条件与结论互换以后，所得命题仍成立．同样，我们也可以证明“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”．这样，我们就得到平行四边形的判定定理：(1)两组对边分别相等的四边形是平行四边形．(2)两组对角分别相等的四边形是平行四边形．(3)对角线互相平分的四边形是平行四边形．【例3】如教材图18.1－11，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E，F是AC上的两点，并且AE＝CF.求证：四边形BFDE是平行四边形．教材图18.1－11【证明】 ∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AO ＝CO ，BO ＝DO.∵AE ＝CF ，∴AO －AE ＝CO －CF ，即EO ＝FO.又BO ＝DO ，∴四边形BFDE 是平行四边形．【问题5】 我们知道，如果一个四边形是平行四边形，那么它的任意一组对边平行且相等．反过来，一组对边平行且相等的四边形是平行四边形吗？学生独自思考，进行小组交流讨论．教师评析：我们猜想这个结论正确，下面进行证明．如教材图18.1－12，在四边形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ＝CD.求证：四边形ABCD 是平行四边形．教材图18.1－12【证明】 连接AC.∵AB ∥CD ，∴∠1＝∠2.又AB ＝CD ，AC ＝CA ，∴△ABC ≌△CDA.∴BC ＝DA.∴四边形ABCD 的两组对边分别相等，它是平行四边形．于是我们又得到平行四边形的一个判定定理：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．【例4】 如教材图18.1－13，在▱ABCD 中，E ，F 分别是AB ，CD 的中点．求证：四边形EBFD 是平行四边形．教材图18.1－13【证明】 ∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB ＝CD ，EB ∥FD.又EB ＝12AB ，FD ＝12CD ，∴EB ＝FD. ∴四边形EBFD 是平行四边形．三、课堂小结通过本节课的学习，你有什么收获？本节课主要学习了平行四边形的判定定理：(1)两组对边分别平行的四边形是平行四边形；(2)两组对角分别相等的四边形是平行四边形；(3)两组对角分别相等的四边形是平行四边形；(4)对角线互相平分的四边形是平行四边形；(5)一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．四、板书设计五、教学反思教学中，教师改变教材对判定方法的呈现顺序，符合知识的逻辑顺序、学生的思维顺序和学习顺序，体现了本教案设计的科学性和合理性．另外本节课既有按教材上的探究方式进行，又有变化后的探究活动，不拘泥于固定的模式，这样的改变可以避免操作中的一些困难，有助于学生的猜想，也有利于教师的教学．学习本节课内容后，学生会觉得平行四边形的判定方法比较多且易混淆，教师要给予归纳：(1)与四边形的边有关：①两组对边分别平行的四边形是平行四边形；②两组对边分别相等的四边形是平行四边形；③一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；(2)与四边形的角有关：两组对角分别相等的四边形是平行四边形；(3)与四边形对角线有关：对角线互相平分的四边形是平行四边形．这样，学生就容易形成知识体系．导学方案一、学法点津学生在判定平行四边形时，从“边”的角度出发有三种方法：(1)两组对边分别平行的四边形是平行四边形；(2)一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；(3)两组对边分别相等的四边形是平行四边形．从“角”的角度看，可用“两组对角分别相等的四边形是平行四边形”；从“对角线”角度看，可用“对角线互相平分的四边形是平行四边形”．二、学点归纳总结1.知识要点总结（1）．两组对边分别平行的四边形是平行四边形．（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形．（3）．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．（4）对角线互相平分的四边形是平行四边形．（5）两组对角分别相等的四边形是平行四边形．2.规律方法总结判定四边形是平行四边形时，若已知条件出现在四边形的边上，则应考虑：(1)利用“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”来证明；(2)利用“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”来证明；(3)利用“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”来证明．若已知条件出现在四边形的“角”上，则应考虑利用“两组对角分别相等的四边形是平行四边形”来证明．若已知条件出现在“对角线”上，则应考虑利用“对角线互相平分的四边形是平行四边形”来证明．第一课时作业设计一、选择题1．在下列给出的条件中，能判定四边形ABCD 是平行四边形的是( )．A ．AB ∥CD ，AD ＝BC B ．∠A ＝∠B ，∠C ＝∠DC ．AB ＝CD ，AD ＝BC D ．AB ＝AD ，CB ＝CD2．能判定一个四边形是平行四边形的条件是( )．A ．一组对角相等B ．两条对角线互相平分C ．两条对角线互相垂直D ．一对邻角的和为180°3．下面给出了四边形ABCD 中在∠A ，∠B ，∠C ，∠D 的度数之比，其中能判定四边形ABCD 是平行四边形的是( )．A ．1∶2∶3∶4B ．2∶2∶3∶3C ．2∶3∶3∶2D ．2∶3∶2∶3二、填空题4．在四边形ABCD 中，AB ＝12cm ，BC ＝6cm ，则当CD ＝__________，AD ＝__________时，四边形ABCD 是平行四边形．5．在四边形ABCD 中，AB ∥CD ，请你添加一个条件__________，使四边形ABCD 是一个平行四边形．6．若E 是在△ABC 的中线BD 上的任意一点，延长BD 到点F ，使DF ＝ED ，连接AE ，EC ，AF ，FC ，则四边形AECF 是__________四边形．三、解答题7．如图所示，点E ，F ，G ，H 分别是平行四边形ABCD 的边AB ，BC ，CD ，DA 上的点，且AE ＝CG ，BF ＝DH.求证：四边形EFGH 是平行四边形．Ｋ8．如图所示，在▱ABCD 中，点E ，F 分别是对角线AC 的两个三等分点，试说明四边形BFDE 是平行四边形．Ｋ【参考答案】一、1.C 2.B 3.D二、4.12cm 6cm 5.AB ＝CD 或BC ∥AD 等(答案不唯一)6．平行三、7.证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴∠B ＝∠D ，AB ＝CD.∵AE ＝CG ，∴AB －AE ＝CD －CG ，∴BE ＝DG .在△BEF 和△DGH 中，⎩⎪⎨⎪⎧BE ＝DG ，∠B ＝∠D ，BF ＝DH.∴△BEF ≌△DGH(SAS)，∴EF ＝GH .同理，EH ＝GF .∴四边形EFGH 是平行四边形．8．证明：连接BD ，交AC 于点O.∵四边形ABCD 是平行四边形，∴OA ＝OC ，OB ＝OD.又∵E ，F 分别为AC 的两个三等分点，∴AE ＝EF ＝CF ，∴OA －AE ＝OC －CF ，∴OE ＝OF ，∴四边形BFDE 是平行四边形．第二课时教学目标1．了解三角形的中位线及其性质，并会简单运用．2．通过三角形中位线性质的探索，培养学生的探究能力．3．了解简单图形的面积之间的关系，并进行计算，体验探究学习的乐趣．教学重难点重点：三角形的中位线及其性质．难点：中位线性质的探索和证明．教学过程一、情境引入请同学们思考以下几个问题：【问题1】 要判定一个四边形是平行四边形，你有哪些方法？指名让学生回答．【问题2】 现有一张三角形纸片，你能通过裁剪，将它拼成一个平行四边形吗？ 以小组合作的方式进行实验操作，主要从以下几个方面去尝试：1．需要把三角形剪成几块？2．如何将剪开的几个部分拼成一个平行四边形？学生讨论后进行汇报，其主要目的是让学生能够得到下面的剪拼方法：(如下图所示)Ｋ ―→Ｋ教学时注意两点：(1)DE 这条线段的位置如何确定？(2)如何将△ADE 拼到△CFE 的位置上？学生解决了拼图后，再引入问题：【问题3】 这样拼出的图形为什么是一个平行四边形？你能用推理方法给出证明吗？ 本节课我们将一起探究通过拼图，还能得出哪些结论．二、互动新授【探究】 如教材图18.1－14，D ，E 分别是△ABC 的边AB ，AC 的中点，求证：(1)四边形DBCF 是平行四边形；(2)DE ∥BC ，且DE ＝12BC.教材图18.1－14【分析】 本题既要证明两条线段所在的直线平行，又要证明其中一条线段的长等于另一条线段长的一半，将DE 延长一倍后，可以将证明DE ＝12BC 转化为证明延长后的线段与BC 相等，又由于E 是AC 的中点，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形构造一个平行四边形，利用平行四边形的性质进行证明．【证明】 如教材图18.1－15，延长DE 到点F ，使EF ＝DE ，连接FC ，DC ，AF.教材图18.1－15∵AE ＝EC ，DE ＝EF ，∴四边形ADCF 是平行四边形，CF 綊DA ，∴CF 綊BD ，∴四边形DBCF 是平行四边形，DF 綊BC ，又DE ＝12DF ， ∴DE ∥BC ，且DE ＝12BC. 【问题4】 (1)在上面的裁剪过程中，线段DE 叫做三角形的中位线，你能不能给三角形的“中位线”下一个定义？连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线．(2)从前面的拼图及证明中你能否找到三角形的中位线有什么特征？学生通过回顾、交流、讨论后，共同得出三角形中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半． (3)一个三角形有几条中位线？请画出三角形所有的中位线．学生尝试画图后，交流，得出三角形共有三条中位线．(如下图所示)Ｋ(4)三角形的三条中位线把原三角形分成四个小三角形，这四个小三角形之间有什么关系？有几个平行四边形？学生独自思考后，交流．得出四个全等的三角形．(5)平行四边形的两条对角线把原图形分成四个小三角形如下图所示．这四个小三角形之间有什么关系？学生思考后，教师点拨：四个小三角形的面积相等．Ｋ三、课堂小结通过本节课的学习，你有什么收获？本节课主要学习了三角形的中位线定理，了解简单图形的面积之间的关系．四、板书设计18．1.2 平行四边形的判定 第二课时 三角形的中位线定理：三角形中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半．五、教学反思本节课主要从学生的角度出发设计问题：考虑到学生的学习能力和添辅助线的难点，首先安排了一个拼图实验，在拼图中自然产生辅助线，使学生知道怎么添，又理解了为什么要这样添；二是把原本比较枯燥的一个定理的学习，以动手拼图的方式引入，调动了学生的学习热情．从拼图、三角形的中位线性质，到三角形围成的面积等，形成一条循序渐进的问题链，学生在解开这些问题链的过程中掌握了知识，提高了能力．其中教师应注意引导学生理解三角形的中位线不同于三角形的中线，三角形的中位线是连接三角形两边中点所形成的线段，而三角形的中线是连接三角形的顶点与对边中点所形成的线段，不能把三角形的中位线与三角形的中线混为一谈．导学方案一、学法点津学生在学习三角形的中位线时要明确：它是连接三角形两边中点的线段，即三角形的中位线的两个端点均为三角形边的中点，它与第三边平行且等于第三边的一半，每个三角形的中位线都有三条，且每一条中位线都与其第三边有相应的位置关系与数量关系，应用时要根据具体情况选用．二、学点归纳总结1.知识要点总结（1）三角形中位线的定义：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线．（2）三角形中位线的定理：三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半．2.规律方法总结（1）三角形中位线定理反映的是中位线与第三边的位置和数量关系，在许多推理论证和计算题中经常用到．（2）三角形中位线定理的作用：(1)可以证明两条直线平行；(2)可以证明两条线段相等或倍分关系；(3)可以判定平行四边形．（3）．通过添加辅助线，将三角形中位线问题转化为平行四边形和全等三角形问题来解决．第二课时作业设计一、选择题1．以三角形的三个顶点及三边中点为顶点的平行四边形共有( )．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个2．如图1，E 为▱ABCD 边AD 上一点，若S ▱ABCD ＝8，则图中阴影部分的面积为( )．A ．3B ．4C ．5D ．63．如图2，在▱ABCD 中，点M ，N 分别是AB ，CD 的中点，BD 分别交AN ，CM 于点P ，Q ，在下列结论：①DP ＝PQ ＝QB ；②AP ＝CQ ；③CQ ＝2MQ ；④S △ADP ＝14S ▱ABCD 中，正确的个数是( )． A ．1 B ．2 C ．3 D ．4图1 图2二、填空题4．如图3，在△ABC 中，点D ，E 分别是边AB ，AC 的中点，已知DE ＝6cm ，则BC ＝__________cm.5．如图4，▱ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，点E 是CD 的中点，若AD ＝4cm ，则OE 的长为________cm.6．三角形的三条中位线的长分别是3cm ，4cm ，5cm ，则这个三角形的周长为__________cm.图3 图4三、解答题7．如图5，点D ，E ，F 分别是△ABC 各边的中点．(1)若EF ＝8cm ，则BC ＝__________cm ，若AB ＝13cm ，则DF ＝__________cm.(2)猜想中线AD 与中位线EF 存在怎样的特殊关系？并证明你的猜想．图58．如图6，在△ABC 中，AC ＝6cm ，BC ＝8cm ，AB ＝10cm ，点D ，E ，F 分别是AB ，BC ，CA 的中点，求△DEF 的面积．图6【参考答案】一、1.C 2.B 3.C二、4.12 5.2 6.24三、7.(1)16 6.5 (2)猜想AD 与EF 相互平分．提示：连ED ，证明四边形BEFD 是平行四边形．8．证明：∵AC 2＝36，BC 2＝64，AB 2＝100，∴AB 2＝AC 2＋BC 2，∴△ABC 是直角三角形．又∵点D ，E ，F 分别是AB ，BC ，CA 的中点，则DF ＝12BC ＝4，EF ＝12AB ＝5，DE ＝12AC ＝3，∴EF 2＝DE 2＋DF 2，则△DEF 是直角三角形，且∠FDE ＝90°，则S △DEF ＝12DE ·DF ＝12×3×4＝6.。