立体几何基础题

立体几何证明基础题
一．解答题（共28小题）
1．如图，在三棱锥P﹣ABC中，PB⊥BC，AC⊥BC，点E，F，G分别为AB，BC，PC，的中点
（1）求证：PB∥平面EFG；
（2）求证：BC⊥EG．
2．如图，在三棱锥P﹣ABC中，PC⊥底面ABC，AB⊥BC，D，E分别是AB，PB 的中点．
（1）求证DE∥PA
（2）求证：DE∥平面PAC；
（3）求证：AB⊥PB．
3．如图所示，△ABC为正三角形，CE⊥平面ABC，BD∥CE且CE=AC=2BD，试在AE上确定一点M，使得DM∥平面ABC．
4．如图：在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是菱形，∠ABC=60°，PA⊥平面ABCD，点M，N分别为BC，PA的中点，且PA=AB=2．
（Ⅰ）证明：BC⊥平面AMN；
（Ⅱ）求三棱锥N﹣AMC的体积；
（Ⅲ）在线段PD上是否存在一点E，使得NM∥平面ACE；若存在，求出PE的长；若不存在，说明理由．
5．如图，四棱锥P﹣ABCD的底面是边长为1的正方形，侧棱PA⊥底面ABCD，且PA=2，E是侧棱PA上的动点．
（1）求四棱锥P﹣ABCD的体积；
（2）如果E是PA的中点，求证：PC∥平面BDE；
（3）是否不论点E在侧棱PA的任何位置，都有BD⊥CE？证明你的结论．。

立体几何试题及答案一、选择题1. 已知一个正方体的体积为8立方厘米，那么它的棱长为多少厘米？A. 2B. 4C. 3D. 2√2答案：C2. 一个长方体的长、宽、高分别为3厘米、4厘米、5厘米，那么它的表面积是多少平方厘米？A. 62B. 94C. 96D. 100答案：B3. 一个圆锥的底面半径为3厘米，高为4厘米，那么它的体积是多少立方厘米？A. 36πB. 48πC. 72πD. 96π答案：B二、填空题4. 如果一个圆柱的底面半径为5厘米，高为10厘米，那么它的体积是_____立方厘米。

答案：7855. 一个球的体积是4/3π立方厘米，那么它的半径是_____厘米。

答案：16. 一个棱锥的底面是边长为4厘米的正方形，高为5厘米，那么它的体积是_____立方厘米。

答案：32三、解答题7. 已知一个圆锥的底面半径为3厘米，高为5厘米，求圆锥的体积。

解：圆锥的体积公式为V = 1/3πr²h，代入数据得：V = 1/3 × π × 3² × 5 = 15π（立方厘米）答：圆锥的体积为15π立方厘米。

8. 一个正四面体的棱长为a厘米，求它的体积。

解：正四面体的体积公式为V = a³√2/12，代入数据得：V = a³√2/12（立方厘米）答：正四面体的体积为a³√2/12立方厘米。

9. 一个长方体的长、宽、高分别为2a厘米、a厘米、a厘米，求它的体积。

解：长方体的体积公式为V = 长× 宽× 高，代入数据得：V = 2a × a × a = 2a³（立方厘米）答：长方体的体积为2a³立方厘米。

立体几何试题及答案一、选择题1. 一个正方体的棱长为a，其表面积为：A. 3a²B. 4a²C. 6a²D. 8a²答案：C2. 一个长方体的长、宽、高分别为l、w、h，其体积为：A. lwhB. 2(lwh)C. l²wD. lw²答案：A3. 圆柱的底面半径为r，高为h，其体积为：A. πr²hB. 2πr²hC. πrhD. πr²答案：A二、填空题1. 一个球的体积公式为：_________________。

答案：\( V = \frac{4}{3}πr^3 \)2. 圆锥的体积公式为：_________________。

答案：\( V = \frac{1}{3}πr^2h \)3. 若一个棱锥的底面积为S，高为h，则其体积为：_________________。

答案：\( V = \frac{1}{3}Sh \)三、计算题1. 已知一个正四面体的棱长为a，求其表面积和体积。

解：正四面体的表面积为：\( S_{表} = 4 \times \frac{\sqrt{3}}{4}a^2 = \sqrt{3}a^2 \)正四面体的体积为：\( V = \frac{1}{3} \times \frac{\sqrt{3}}{4}a^2 \times\frac{\sqrt{2}}{2}a = \frac{\sqrt{2}}{12}a^3 \)2. 已知一个圆柱的底面半径为r，高为h，求其表面积和体积。

解：圆柱的表面积为：\( S_{表} = 2πr^2 + 2πrh \)圆柱的体积为：\( V = πr^2h \)四、证明题1. 证明：在一个球面上，任意两个大圆的弦所成的角都是直角。

证明：设球面上的两个大圆为O₁O₂和O₃O₄，弦AB和CD分别位于这两个大圆上，连接O₁A、O₁B、O₂A、O₂B、O₃C、O₃D、O₄C、O₄D。

立体几何题目集(基础)
1.两个正方体
两个正方体A和B的边长分别为$a$和$b$，它们的体积比为$4:1$，求正方体A的边长$a$与正方体B的边长$b$的比值。

2.圆柱体的体积
一个圆柱体的高度为$h$，半径为$r$，求它的体积$V$。

3.球体的表面积
一个球体的半径为$r$，求它的表面积$S$。

4.直方体的长、宽和高
一个直方体的表面积为$S$，它的长、宽和高的比为$a:b:c$，求直方体的长、宽和高分别是多少。

5.正方体的对角线
一个正方体的边长为$a$，求它的对角线的长度。

6.锥形的体积
一个圆锥的底面半径为$r$，高度为$h$，求它的体积$V$。

7.棱柱体和棱锥体的体积
一个棱柱体和一个棱锥体的高度都为$h$，棱柱体的底面积为$A$，棱锥体的底面积为$B$，求棱柱体的体积$V_1$与棱锥体的体积$V_2$的比值。

8.圆台的体积
一个圆台的底面半径为$r_1$，顶面半径为$r_2$，高度为$h$，求它的体积$V$。

9.正方体的表面积
一个正方体的边长为$a$，求它的总表面积$S$。

10.球体的体积
一个球体的半径为$r$，求它的体积$V$。

以上是立体几何题目集(基础)，共包含10道题目。

希望对您的学习有帮助！。

2020-2021高一下学期期末考试考前必刷题（苏教版 2019）（立体几何基础题）一、单选题1．（2021·江苏高一课时练习）已知直线a∥平面α，直线a∥平面β，α∩β＝b，直线a与直线b（）A．相交B．平行C．异面D．不确定2．（2021·江苏高一课时练习）已知平面与平面平行，且直线，则下列说法正确的是（）A．与内所有直线平行B．与内的无数条直线平行C．与内的任何一条直线都不平行D．与内的任何一条直线平行3．（2021·江苏高一课时练习）棱台的上、下底面面积分别是2，4，高为3，则该棱台的体积是（）A．18＋6B．6＋C．24D．184．（2021·江苏高一课时练习）在正方体ABCD－A1B1C1D1中，截面A1BD与底面ABCD所成的二面角A1－BD－A的正切值等于（）A．B．C．D．5．（2021·江苏高一课时练习）已知一个二面角的两个半平面分别平行于另一个二面角的两个半平面，若这两个二面角的平面角均为锐角，则这两个二面角的关系是（）A．相等B．互补C．相等或互补D．既不相等也不互补6．（2021·江苏高一课时练习）侧面都是等腰直角三角形的正三棱锥，底面边长为a时，该三棱锥的表面积是（）A．a2B．a2C．a2D．a27．（2021·江苏高一课时练习）已知长方体的表面积是24 cm2，过同一顶点的三条棱长之和是6 cm，则它的体对角线长是（）A．cm B．4 cm C．cm D．cm8．（2021·江苏高一课时练习）已知平面α与平面β、γ都相交，则这三个平面可能的交线有()A．1条或2条B．2条或3条C ．1条或3条D ．1条或2条或3条9．（2021·江苏高一课时练习）如图所示，定点A 和B 都在平面α内，定点P∥α，PB∥α，C 是平面α内异于A 和B 的动点，且PC∥AC ，则∥ABC 为 ( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．无法确定10．（2021·江苏高一课时练习）过球面上任意两点A ，B 作大圆，可能的个数是 ( )A ．有且只有一个B ．一个或无穷多个C ．无数个D ．以上均不正确11．（2021·江苏高一课时练习）如图所示，∥A′B′C′是水平放置的∥ABC 的直观图，则在∥ABC 的三边及中线AD 中，最长的线段是 ( )A ．AB B ．ADC ．BCD ．AC12．（2021·江苏高一课时练习）将半径为1，圆心角为的扇形围成一个圆锥，则该圆锥的体积为（ ） A ． B ． C ． D ．13．（2021·江苏高一课时练习）如图的正方体ABCD - A ’B ’C ’D ’中，二面角D ’-AB -D 的大小是A ．300B ．450C ．600D ．90014．（2021·江苏高一课时练习）已知S 为四边形外一点,分别为上的点,若平面,则A ．//GH SAB ．//GH SDC ．//GH SCD ．以上均有可能15．（2021·江苏高一课时练习）在三棱柱111ABC A B C 中，各棱长均相等，侧棱垂直于底面，点是侧面的中心，则与平面所成角的大小是A ．B ．C ．D ．16．（2021·江苏高一课时练习）下列命题正确的是（ ）A ．如果一条直线不在平面内，则这条直线就与这个平面平行B ．过直线外一点，可以作无数个平面与这条直线平行C．如果一条直线与平面平行，则它与平面内的任何直线平行D．如果一条直线平行于平面内的无数条直线，则该直线与平面平行二、填空题17．（2021·江苏高一课时练习）已知三个球的表面积之比是，则这三个球的体积之比为________. 18．（2021·江苏高一课时练习）已知和是异面直线，且平面，平面，，，则平面与的位置关系是________.19．（2021·江苏高一课时练习）已知一个正四棱柱的对角线的长是9 cm，表面积等于144 cm2，则这个棱柱的侧面积为________ cm2.20．（2021·江苏高一课时练习）有一塔形空间图形由3个正方体构成，构成方式如图所示，上层正方体下底面的四个顶点是下层正方体上底面各边的中点.已知最底层正方体的棱长为2，则该塔形空间图形的表面积(含最底层正方体的底面面积)为________.21．（2021·江苏高一课时练习）如图，在正方体ABCD —A1B1C1D1中，三棱锥D1—AB1C的表面积与正方体的表面积的比为________.22．（2021·江苏高一课时练习）一个正四棱台，其上、下底面均为正方形，边长分别为8 cm和18 cm，侧棱长为13 cm，则其表面积为____ cm2.23．（2021·江苏高一课时练习）下列说法正确的是________(填序号).①底面是正多边形的棱锥为正棱锥；②各侧棱都相等的棱锥为正棱锥；③各侧面都是等腰三角形的棱锥为正棱锥；④各侧面都是全等的等腰三角形的棱锥是正棱锥；⑤底面是正多边形且各侧面全等的棱锥为正棱锥.24．（2021·江苏高一课时练习）从正方体ABCD－A1B1C1D1的8个顶点中任意取4个不同的顶点，这4个顶点可能是：（1）矩形的4个顶点；（2）每个面都是等边三角形的四面体的4个顶点；（3）每个面都是直角三角形的四面体的4个顶点；（4）有三个面是等腰直角三角形，有一个面是等边三角形的四面体的4个顶点．其中正确结论的个数为________．25．（2021·江苏高一课时练习）水平放置的斜二测直观图如图所示，已知，，则边上的中线的长度为______.26．（2021·江苏高一课时练习）如图，在五面体FE－ABCD中，四边形CDEF为矩形，M、N分别是BF、BC的中点，则MN与平面ADE的位置关系是_______.27．（2021·江苏高一课时练习）已知正三棱锥的棱长都为2，则侧面和底面所成二面角的余弦值为________.28．（2021·江苏高一课时练习）若一个圆锥的轴截面是等边三角形，其面积为，则这个圆锥的母线长为________．29．（2021·江苏高一课时练习）在正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，E、F、G、H分别为棱CC1、C1D1、D1D、DC的中点，N是BC的中点，点M在四边形EFGH及其内部运动，则M满足条件________时，有MN∥平面B1BDD1.30．（2021·江苏高一课时练习）已知A、B、C、D四点不共面，且AB∥平面α，CD∥α，AC∩α＝E，AD∩α＝F，BD∩α＝H，BC∩α＝G，则四边形EFHG是_______四边形.31．（2021·江苏高一课时练习）如图．M是棱长为2cm的正方体ABCD-A1B1C1D1的棱CC1的中点，沿正方体表面从点A到点M的最短路程是______cm．32．（2021·江苏高一课时练习）三棱锥S-ABC中，G为∥ABC的重心，E在棱SA上，且AE=2ES，则EG与平面SBC的关系为________.。

初三数学立体几何基础练习题及答案练习题1：1. 计算一个边长为4cm的正方体的体积和表面积。

2. 已知一个正方体的体积为64cm³，求其边长。

3. 一个正方体的表面积为96cm²，求其边长。

4. 一个正方体的边长为10cm，求其体积和表面积。

练习题2：1. 已知一个立方体的体积为27cm³，求其边长。

2. 一个立方体的表面积为54cm²，求其体积和边长。

3. 一个立方体的体积为125cm³，求其表面积和边长。

4. 已知一个立方体的表面积为150cm²，求其体积和边长。

练习题3：1. 已知一个圆柱体的底面半径为3cm，高度为8cm，求其体积和侧面积。

2. 一个圆柱体的体积为72π cm³，底面半径为4cm，求其高度和侧面积。

3. 一个圆柱体的侧面积为96π cm²，底面半径为3cm，求其高度和体积。

4. 已知一个圆柱体的高度为6cm，侧面积为48π cm²，求其底面半径和体积。

答案：练习题1：1. 该正方体的体积为64cm³，表面积为96cm²。

2. 该正方体的边长为4cm。

3. 该正方体的边长为4cm。

4. 该正方体的体积为1000cm³，表面积为600cm²。

练习题2：1. 该立方体的边长为3cm。

2. 该立方体的体积为27cm³，边长为3cm。

3. 该立方体的表面积为150cm²，边长为5cm。

4. 该立方体的体积为250cm³，边长为5cm。

练习题3：1. 该圆柱体的体积为72π cm³，侧面积为48π cm²。

2. 该圆柱体的高度为4cm，侧面积为64π cm²。

3. 该圆柱体的高度为8cm，体积为288π cm³。

4. 该圆柱体的底面半径为2cm，体积为72π cm³。

501. 在长方体ABCD －1111D C B A 中，AB ＝2，11==B B BC ，M 、N 分别是AD 、DC 的中点． （1）证明AM ∥11C A ；（2）求异面直线MN 与1BC 所成角的余弦值．解析：（1）∵ 1AA ∥1BB ∥1CC ，1AA ＝1BB ＝1CC ，∴ C C AA 11是平行四边形，∴AC ∥11C A ，又MN ∥AC ，因此，MN ∥11C A ．（2）由（1），11A BC ∠是异面直线MN 与1BC 所成角．在△11C BA 中，21=BC ，5111==C A BA ．于是有1010cos 11=∠A BC ． 502. 在空间四边形ABCD 中，E 、F 、G 、H 分别是边AB 、BC 、CD 、DA 的中点，得到四边形EFGH ． （1）四边形EFGH 是______________；（2）当对角线AC ＝BD 时，四边形EFGH 是______________； （3）当对角线满足条件______________时，四边形EFGH 是矩形； （4）当对角线AC 、BD 满足条件_______时，四边形EFGH 是正方形． 解析：（1）由三角形中位线定理可知EF 21AC ，HG 21AC ，于是EF HG ，故四边形EFGH 为平行四边形；（2）当AC ＝BD 时，由EF ＝21AC ，EH ＝21BD ，得EF ＝EH ，即平行四边形EFGH 的邻边相等，故平行四边形EFGH 为菱形；（3）要使平行四边形EFGH 为矩形，需且只须一个角是直角．如需EF ⊥FG ，则AC ⊥BD ； （4）要使平行四边形EFGH 为正方形，需且只须AC ⊥ BD ，且AC ＝BD ； 503. 借助两支铅笔，试研究以下问题：（1）在平面内，过直线外一点有多少条直线与已知直线平行?在空间呢?图9－17（2）在一个平面内，过一点有多少条直线与已知直线垂直?在空间呢?（3）在一个平面内，与该平面内的已知直线所成角为60°的直线有多少条?这些直线与已知直线的位置关系如何?在空间，与一条直线所成角为60°的直线有多少条?这些直线与已知直线的位置关系如何? 解析：（1）在一个平面内，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行；在空间也如此．（2）在一个平面内，过一点（该点可在直线上，也可在直线外）有且只有一条直线与已知直线垂线；在空间过直线上或直线外一点都有无数条直线和已知直线垂直，这无数条直线在过已知点的一个平面上（以后可知该平面与直线垂直）．（3）在一个平面内，与已知直线成60°角的直线有无数条，这无数条直线平行，且都与已知直线相交；在空间也是有无数条直线与已知直线成60°角，它们与已知直线位置关系是相交或异面．504. 如图9－18，已知P 为△ABC 所在平面外一点，PC ⊥AB ，PC ＝AB ＝2，E 、F 分别为P A 和BC 的中点．（1）求证：EF 与PC 是异面直线； （2）EF 与PC 所成的角； （3）线段EF 的长．解析：（1）用反证法．假设EF 与PC 共面于α，则直线PE 、CF 共面α，则A ∈α，B ∈α，于是P 与A 、B 、C 共面于α，这与已知“P 是平面ABC 外一点”矛盾．故EF 与PC 是异面直线． （2）取PB 中点G ，连结EG 、FG ，由E 、F 分别是线段P A 、BC 中点，有EG21AB ，GF 21PC ∴ ∠GFE 为异面直线EF 与PC 所成的角，∠EGF 是异面直线PC 与AB 所成的角，∵ PC ⊥AB ，∴ EG ⊥GF ，即∠EGF ＝90°．∵ PC ＝AB ＝2，∴ EG ＝1，GF ＝1，故△EFG 是等腰直角三角形，∴ ∠GFE ＝45°，即EF 与PC 所成的角是45°．（3）由（2）知R t △EGF 中EG ＝1，GF ＝1，∠EGF ＝90°，∴ EF ＝2505. 如图9－19，在棱长为a 的正方体ABCD —111D C B A １中，O 是AC 、BD 的交点，E 、F 分别是AB 与AD 的中点．图9－19（1）求异面直线1OD 与11C A 所成角的大小； （2）求异面直线EF 与11C A 所成角的大小； （3）求异面直线EF 与1OD 所成角的正切值； （4）求异面直线EF 与1OD 的距离．解析：（1）∵ 11C A ∥AC ，∴ 1OD 与AC 所成的锐角或直角就是1OD 与11C A 所成的角，连结1AD 、1CD ，在△11D AA 和△11D CC ，∵ 1AA ＝1CC ，1111D C D A =，11D AA ∠11D CC ∠=90=，∴△11D AA ≌△11D CC ，∴11CD AD =．∴△C AD 1是等腰三角形．∵ O 是底边AC 的中点，∴ AC OD ⊥1，故1OD 与11C A 所成的角是90°．（2）∵ E 、F 分别是AB 、AD 中点，∴ EF ∥BD ，又∵ 11C A ∥AC ，∴ AC 与BD 所成的锐角或直角就是EF 与11C A 所成的角．∵ 四边形ABCD 是正方形，∴ AC ⊥BD ，∴ EF 与11C A 所成的角为90°（3）∵ EF ∥BD ，∴901=∠OD D 为异面直线EF 与1OD 所成的角．∵ 四边形D D BB 11是正方形，∴901=∠DO D ，∴ 在Rt △OD D 1中，a DD =1，DO ＝BD 21＝2221AD AB +a a a 222122=+=，∴ 222t a n 11==∠a aOD D D OD D ，即EF 与1OD 所成角的正切值为2．（4）∵ EF ∥BD ，BD ⊥AC ，∴ EF ⊥AC ，设交点为G ．∵ 1OD ⊥AC （由（1）知）于O ，则AC 是异面直线EF 与1OD 的公垂线，OG 的长即为EF 与1OD 间的距离，由于G 是OA 中点，O 是AC 中点，且a a a BC AB AC 22222=+=+=，∴ a AC OA OG 42412===，即EF 与1OD 间的距离为a 42． 506. 在空间中，①若四点不共面，则这四点中任何三点都不共线． ②若两条直线没有公共点，则这两条直线是异面直线． 以上两个命题中，逆命题为真命题的是__________． （把符合要求的命题序号都填上）解析：②．①的逆命题为：空间四点中若任何三点都不共线，则这四点不共面．此命题是假命题．平行四边形的四个顶点是其反例．②的逆命题为：若两条直线是异面直线，则这两条直线没有公共点，可知此命题为真命题． 507. 下列命题中是真命题的是( ) A.底面是正方形的棱锥是正四棱锥 B.各条侧棱都相等的棱锥是正棱锥C.由一个面是多边形，其余各个面是三角形所围成的几何体是棱锥D.正四面体是正三棱锥解析： 解此题时概念要明确，正棱锥不仅要求底面是正多边形，而且还要求其顶点在底面的射影是底面的中心，所以A 、B 不正确，C 中的各三角形没有指明共顶点，C 也不正确，D 是真命题，所以选D. 508. 三棱锥A —BCD 中，AC=BD,AD=BC,AB=CD ，三个侧面与底面所成的二面角分别为α、β、γ，则cos α+cos β+cos γ= .解析：如图所示，设AC=BD=a,AD=BC=b,AB=CD=c 由已知所有侧面三角形和底面三角形都是全等的三角形. 记为S ，侧面在底面的射影分别为S 1、S 2、S 3则SS 1=cos α, S S2=cos β, S S 3=cos γcos α+cos β+cos γ=S S S S 321++=SS=1509. 已知三棱锥S —ABC 的底面面积是a ，三棱锥的高是h ，M 、N 、P 、Q 分别是SB 、SC 、AC 、AB 的中点，求五面体MN —PQBC 的体积解析： 如图，过M 作MD ∥BA 交SA 于D ，则D 是SA 的中点，连结ND ，则ND ∥AC 所求五面体MN —PQBC 的体积等于原三棱锥的体积与五面体SA —MQPN 的体积之差而V S —ABC =31ah ， V S —DMN =31·41a ·2h =241ah ，V 三棱主柱DMN —APQ =S △AQP ·21h=81ah ，∴V MN —PQBC =V S —ABC -V SA —MQPN=31ah-(241ah+81ah) =61ah 510. 棱锥被平行于底的平面分成体积相等的三部分.求这棱锥的高被分成三部分的比. 解析：设棱锥的高为h ，它被截成的三部分自上而下设为h 1，h 2，h 3，则有 (h h 1)3=31,(123h h h +)3=2,(h h h 3-)3=32.所以h 1=393h,h 2=(32-1)h 1=393(32-1)h ，h 3=31833-h.所以h 1∶h 2∶h 3=1∶(32-1)∶(33-32).说明 求体积之比或面积之比常用相似比.511. 已知四棱锥S —ABCD 的底面是边长为6的正方形，SA ⊥底面ABCD ，且SA=8，M 是SA 的中点，过M 和BC 作截面交SD 于N.(1)求证：截面MBCN 是梯形，并求截面的面积； (2)求截面MBCN 与底面ABCD 的夹角α.解析：(1)先证MN ∥BC 且MN ≠BC.因为BC ∥AD ，所以AD ∥截面MBCN ，从而 AD ∥MN ，BC ∥MN. 又MN=21AD=21BC ，所以MN ≠BC.于是MN 和BC 平行但不相等，故MBCN 是梯形.再求截面的面积：SA ⊥平面ABCD.易证MN 和BC 都垂直于平面ABS.所以MB ⊥MN ，MB ⊥BC ，故 S 截=21(MN+BC)·MB =21(3+6)1636 =913. (2)首先要找到二面角的平面角.根据上面的证明，知∠MBA 的是截面与底面所成二面角的平面角，即∠MBA=α.于是tan α=AB MA =64=32∴α=arctan 32512. 以四面体各面的重心为顶点构成一个新的四面体.求这两个四面体的表面积的比.解析：因相似多面体全面积的比等于对应边的平方的比，故只须求出对应边的比.∵B 1D 1＝32EF ＝31BD ， ∴BD D B 11＝31.同理，AB B A 11＝AC C A 11＝AD D A 11＝BC C B 11＝CD D C 11＝31，故ABCD 和A ′B ′C ′D ′是相似多面体，其表面积的比为1∶9.513. 如图，四棱锥的高为h ，底面为菱形，侧面VDA 和侧面VDC 所成的二面角为120°，且都垂直于底面，另两个侧面与底面所成的角都是45°，求此棱锥的全面积.解析：由面面垂直的性质可证得VD ⊥底面，因为S ΔVDA ＝S ΔVDC ，∠ADC ＝120°，DB 是其平分线，而S ΔVBC ＝S ΔVAB ，所以全面积不难求得.解 由已知条件可得VD ⊥底面ABCD ，VD ⊥DA ，VD ⊥DC ，∴∠ADC ＝120°. ∵ABCD 为菱形，∴BD 是∠ADC 的平分线.ΔADB 和ΔDBC 是全等的等边三角形，取BC 的中点E ， 连DE ，BC ⊥DE ，BC ⊥VE ，∴∠VED ＝45°. 在直角ΔDEC 中，EC ＝DE ·ctg60°＝33h,BC ＝332h,VE ＝2h. ∴S 底＝BC ·DE ＝332h ·h ＝332h 2, S ΔVBC ＝S ΔV AB ＝21·332h ·2h ＝36h 2, S ΔV AD ＝S ΔVDC ＝21h ·332h ＝33h 2. ∴S 全＝332h 2+362h 2+332h 2 ＝32(23+6)h 2 评析：本题的关键是侧面VDA 和侧面VDC 都垂直于底面，则它们的交线VD ⊥底面ABCD ，从而∠ADC ＝120°.514. 已知三棱锥各侧面与底面成60°角.底面三角形的各角成等差数列，且最大边与最小边是方程3x 2-21x+13＝0的两根.求此三棱锥的侧面积和体积.解析： 如图，设底面三角形的边长为a 、b 、c.则由条件知∠B ＝60°，a+c ＝7,ac ＝313，得b 2＝a 2+c 2-2accosB ＝(a+c)2-2ac(1+cosB)＝72-2·313(1+21)＝36 b ＝6,由三角形面积公式，得21acsinB ＝pr(其中p 为半周长，r 为内切圆半径)，求得r ＝63. 由于各侧面与底面成的角相等，∴顶点在底面上的射影是三角形的内心，且各侧面上的高相等，∴h ＝rtg60°＝63·3＝21，h 侧＝︒60cos r ＝33.故S 侧＝21(7+6)×33＝6133 (平方单位)，V ＝31·21acsinBh ＝61×313×23×21＝72133 (立方单位).515. 正三棱锥A-BCD ，底面边长为a ，侧棱为2a ，过点B 作与侧棱AC 、AD 相交的截面，在这样的截面三角形中，求(1)周长的最小值；(2)周长为最小时截面积的值，(3)用这周长最小时的截面截得的小三棱锥的体积与三棱锥体积之比.解析：(1)沿侧棱AB 把正三棱锥的侧面剪开展成平面图.如图1，当周长最小时，EF 在直线BB ′上，∵ΔABE ≌ΔB ′AF ，∴AE ＝AF ，AC ＝AD ，∴B ′B ∥CD ，∴∠1＝∠2＝∠3，∴BE ＝BC ＝a ，同理B ′F ＝B ′D ＝a.∵ΔFDB ′∽ΔADB ′，∴B D DF '＝B A B D ''，a DF ＝a a 2＝21,∴DF ＝21a,AF ＝23a.又∵ΔAEF ∽ΔACD ，∴BB ′＝a+43a+a ＝411a,∴截面三角形的周长的最小值为411a.(2)如图2，∵ΔBEF 等腰，取EF 中点G ，连BG ，则BG ⊥EF.∴BG ＝22EG BE -＝22)83(a a -＝855a ∴S ΔBEF ＝21·EF ·BG ＝21·43a ·855a ＝64553a 2. (3)∵V A-BCD ＝V B-ACD ，而三棱锥B —AEF ，三棱锥B —ACD 的两个高相同，所以它们体积之比于它们的两底面积之比，即CADB AEF B V V --＝ACD AEF S S △△＝22CD EF ＝169 评析 把曲面上的最短路线问题利用展开图转化为平面上两点间距离的问题，从而使问题得到解决，这是求曲面上最短路线的一种常用方法.本题中的四面体，其中任何一个面都可以做为底面，因而它可有四个底面和与之对应的四条高，在解决有关三棱锥体积题时，需要灵活运用这个性质.516. 在三棱锥A —BCD 中，ΔABC 和ΔBCD 都是边长为a 的正三角形，二面角A —BC —D ＝φ，问φ为何值时，三棱锥的全面积最大。

立体几何题库100题1. 一个正方体的棱长扩大到原来的3 倍，它的体积扩大到原来的（）倍。

A. 3B. 9C. 27D. 812. 长方体的长、宽、高分别是6cm、4cm、5cm，它的棱长总和是（）cm。

A. 60B. 48C. 30D. 153. 一个圆柱的底面半径是2 厘米，高是5 厘米，它的侧面积是（）平方厘米。

A. 62.8B. 31.4C. 12.56D. 25.124. 一个圆锥的底面直径是6 分米，高是3 分米，它的体积是（）立方分米。

A. 28.26B. 84.78C. 169.56D. 56.525. 用同样大小的正方体摆成的物体，从正面和左面看到的图形都是，那么从上面看到的图形是（）。

A. B. C. D.6. 一个圆柱和一个圆锥等底等高，它们的体积之和是48 立方分米，圆锥的体积是（）立方分米。

A. 12B. 16C. 32D. 367. 把一个棱长为6 分米的正方体木块削成一个最大的圆柱，这个圆柱的体积是（）立方分米。

A. 169.56B. 113.04C. 216D. 56.528. 一个长方体的长、宽、高分别是a 米、b 米、h 米，如果高增加3 米，体积增加（）立方米。

A. 3abB. 3abhC. ab(h + 3)D. 3h9. 一个圆锥的底面半径扩大到原来的2 倍，高不变，它的体积扩大到原来的（）倍。

A. 2B. 4C. 8D. 1610. 一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，这个圆柱的底面直径与高的比是（）。

A. 1 : πB. 1 : 2πC. π: 1D. 2π: 111. 有一个长方体容器，从里面量长5 分米，宽4 分米，高6 分米，里面注有水，水深3 分米。

如果把一块边长 2 分米的正方体铁块浸入水中，水面上升（）分米。

A. 0.4B. 0.8C. 1.6D. 3.212. 一个圆柱的底面周长是12.56 分米，高是5 分米，它的表面积是（）平方分米。

状元源 免注册、免费提供中学高考复习各科试卷下载及高中学业水平测试各科资源下载状元源打造最全的免费高考复习、学业水平考试复习资料，更多资料请到状元源下载。

立体几何基础题题库二（有详细答案）361. 有一个三棱锥和一个四棱锥，棱长都相等，将它们一个侧面重叠后，还有几个暴露面 解析：有5个暴露面.如图所示，过V 作VS ′∥AB ，则四边形S ′ABV 为平行四边形，有∠S ′VA=∠VAB=60°，从而ΔS ′VA 为等边三角形，同理ΔS ′VD 也是等边三角形，从而ΔS ′AD 也是等边三角形，得到以ΔVAD 为底，以S ′与S 重合.这表明ΔVAB 与ΔVSA 共面，ΔVCD 与ΔVSD 共面，故共有5个暴露面.362. 若四面体各棱长是1或2，且该四面体不是正四面体，则其体积的值是 .(只须写出一个可能的值) 解析： 该题的显着特点是结论发散而不惟一.本题表面上是考查锥体求积公式这个知识点，实际上主要考查由所给条件构造一个四面体的能力，首先得考虑每个面的三条棱是如何构成的. 排除｛1，1，2｝，可得｛1，1，1｝，｛1，2，2｝，｛2，2，2｝，然后由这三类面在空间构造满足条件的一个四面体，再求其体积.由平时所见的题目，至少可构造出二类满足条件的四面体，五条边为2，另一边为1，对棱相等的四面体.对于五条边为2，另一边为1的四面体，参看图1所示，设AD=1，取AD 的中点为M ，平面BCM 把三棱锥分成两个三棱锥，由对称性可知AD ⊥面BCM ，且V A —BCM =V D —BCM ，所以V ABCD =31S ΔBCM ·AD. CM=22DM CD -=22)21(2-=215.设N 是BC 的中点，则MN ⊥BC ，MN=22CN CM -=1415-=211，从而S ΔBCM =21×2×211=211，故V ABCD =31×211×1=611.对于对棱相等的四面体，可参见图2.其体积的计算可先将其置于一个长方体之中，再用长方体的体积减去四个小三棱锥的体积来进行.亦可套公式V=122·)b a c )(a c b )(c b a (222222222-+-+-+， 不妨令a=b=2，c=1，则 V=122·)441)(414)(144(-+-+-+ =122·7=1214. 363. 湖结冰时，一个球漂在其上，取出后(未弄破冰)，冰面上留下了一个直径为24cm,深为8cm 的空穴，求该球的半径.解析：设球的半径为R ，依题意知截面圆的半径r ＝12,球心与截面的距离为d ＝R-8，由截面性质得：r 2+d 2＝R 2,即122+(R-8)2＝R 2.得R ＝13 ∴该球半径为13cm.364. 在有阳光时，一根长为3米的旗轩垂直于水平地面，它的影长为3米，同时将一个半径为3米的球放在这块水平地面上，如图所示，求球的阴影部分的面积(结果用无理数表示).解析：由题意知，光线与地面成60°角，设球的阴影部分面积为S ，垂直于光线的大圆面积为S ′，则Scos30°＝S ′,并且S ′＝9π，所以S ＝63π(米2)365. 设棱锥M —ABCD 的底面是正方形，且MA ＝MD ，MA ⊥AB ，如果ΔAMD 的面积为1，试求能够放入这个棱锥的最大球的半径.解析： ∵AB ⊥AD ，AB ⊥MA ， ∴AB ⊥平面MAD ， 由此，面MAD ⊥面AC. 记E 是AD 的中点， 从而ME ⊥AD.∴ME ⊥平面AC ， ME ⊥EF设球O 是与平面MAD 、AC 、平面MBC 都相切的球.不妨设O ∈平面MEF ，于是O 是ΔMEF 的内心. 设球O 的半径为r ，则r ＝MFEM EF S MEF++△2设AD ＝EF ＝a,∵S ΔAMD ＝1. ∴ME ＝a2.MF ＝22)2(a a +,r ＝22)2(22aa a a +++≤2222+＝2-1当且仅当a ＝a2，即a ＝2时，等号成立. ∴当AD ＝ME ＝2时，满足条件的球最大半径为2-1. 366. 在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，期棱长为a. (1)求证BD ⊥截面AB 1C ；(2)求点B 到截面AB 1C 的距离；(3)求BB 1与截面AB 1C 所成的角的余弦值。

立体几何证明基础题一．解答题（共28小题)1．如图,在三棱锥P﹣ABC中，PB⊥BC，AC⊥BC,点E，F，G分别为AB，BC，PC，的中点（1）求证:PB∥平面EFG；（2）求证：BC⊥EG．2．如图，在三棱锥P﹣ABC中，PC⊥底面ABC，AB⊥BC，D，E分别是AB，PB的中点．（1)求证DE∥PA(2）求证：DE∥平面PAC;（3)求证：AB⊥PB．3．如图所示，△ABC为正三角形，CE⊥平面ABC，BD∥CE且CE=AC=2BD,试在AE上确定一点M，使得DM∥平面ABC．4．如图:在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是菱形，∠ABC=60°，PA⊥平面ABCD,点M，N分别为BC，PA的中点，且PA=AB=2．（Ⅰ）证明：BC⊥平面AMN；(Ⅱ)求三棱锥N﹣AMC的体积；(Ⅲ）在线段PD上是否存在一点E,使得NM∥平面ACE；若存在,求出PE的长；若不存在，说明理由．5．如图,四棱锥P﹣ABCD的底面是边长为1的正方形，侧棱PA⊥底面ABCD,且PA=2，E是侧棱PA上的动点．（1）求四棱锥P﹣ABCD的体积；(2）如果E是PA的中点，求证：PC∥平面BDE；（3）是否不论点E在侧棱PA的任何位置，都有BD⊥CE？证明你的结论．6．已知四棱锥A ﹣BCDE ，其中AB=BC=AC=BE=1，CD=2,CD ⊥面ABC,BE ∥CD,F 为AD 的中点． （Ⅰ）求证：EF ∥面ABC ； (Ⅱ)求证：平面ADE ⊥平面ACD ； （Ⅲ)求四棱锥A ﹣BCDE 的体积．7．如图，四棱柱ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，平面A 1ABB 1⊥平面ABCD ，且∠ABC=．（1）求证：BC ∥平面AB 1C 1；（2）求证:平面A 1ABB 1⊥平面AB 1C 1．8．如图，三角形ABC中,AC=BC=，ABED是边长为1的正方形，平面ABED⊥底面ABC，若G、F分别是EC、BD的中点．（Ⅰ)求证：GF∥底面ABC;（Ⅱ)求证：AC⊥平面EBC；(Ⅲ）求几何体ADEBC的体积V．9．如图,在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AD|｜BC,PD⊥底面ABCD，∠ADC=90°，AD=2BC,Q为AD的中点,M为棱PC的中点．（Ⅰ)证明：PA∥平面BMQ;(Ⅱ）已知PD=DC=AD=2，求点P到平面BMQ的距离．10．已知直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1的底面△ABC 中，∠C=90°，BC=，BB 1=2，O 是AB 1的中点，D是AC 的中点，M 是CC 1的中点， (1)证明：OD ∥平面BB 1C 1C ； （2)试证:BM ⊥AB 1．11．如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，四边形ABCD 是平行四边形，E 、F 分别是AB 、PC 中点,求证：EF ∥面PAD ．12．如图，在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，E 是AA 1的中点，求证： （Ⅰ）A 1C ∥平面BDE ； （Ⅱ）平面A 1AC ⊥平面BDE ．13．如图，四棱锥P ﹣ABCD 中，底面ABCD 为矩形，E 为PD 的中点． (1）求证：PB ∥平面AEC ；（2)若PA ⊥平面ABCD ，PA=AD ，求证：平面AEC ⊥平面PCD ．14．如图,ABCD 是正方形,O 是正方形的中心，PO ⊥底面ABCD ，E 是PC 的中点． 求证： （1）PA ∥平面BDE ； （2）BD ⊥平面PAC ．15．如图，正四棱柱ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1，底面边长AB=1,侧棱长AA 1=2． （Ⅰ）求正四棱柱ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的表面积; （Ⅱ）证明：AC ⊥平面BDD 1B 1．16．已知正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1，O 是底ABCD 对角线的交点．求证： (1)C 1O ∥面AB 1D 1； （2）A 1C ⊥面AB 1D 1．17．如图所示,在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，M ，E,F,N 分别为A 1B 1,B 1C 1,C 1D 1，D 1A 1的中点，求证： （1）E ，F ，D ，B 四点共面； (2）面AMN ∥平面EFDB ．18．如图，长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中,AB=AD=1,AA 1=2,点P 是DD 1的中点． 求证：（1）直线BD 1∥平面PAC(2）①求异面直线PC 与AA 1所成的角． ②平面PAC ⊥平面BDD 1．19．如图,在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ACB=90°，AC=CB=CC1=2，E是AB中点．（Ⅰ）求证：AB1⊥平面A1CE；（Ⅱ）求直线A1C1与平面A1CE所成角的正弦值．20．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E、F、G分别是AB、AD、C1D1的中点．求证：平面D1EF∥平面BDG．21．（文科）如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1中,M,N，E，F分别是棱A1B1，A1D1，B1C1，C1D1的中点，求证：平面AMN∥平面EFDB．22．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，侧面PAD是正三角形,且与底面ABCD垂直，底面ABCD是边长为2的菱形，∠BAD=60°,N是PB的中点,过A、D、N三点的平面交PC于M,E为AD的中点,求证：（1）EN∥平面PDC；（2）BC⊥平面PEB；(3)平面PBC⊥平面ADMN．23．如图，在正三棱锥P﹣ABC中，D,E分别是AB，BC的中点．（1）求证:DE∥平面PAC；（2）求证：AB⊥PC．24．如图所示,在四棱锥P﹣ABCD中，底面是边长为1的正方形，侧棱PD=1，PA=PC=．(1)求证：PD⊥平面ABCD；（2）求证：平面PAC⊥平面PBD．25．如图，在三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，侧棱AA 1⊥底面ABC ，AB ⊥BC,D 为AC 的中点，A 1A=AB=2． （1）求证：AB 1∥平面BC 1D ；（2)过点B 作BE ⊥AC 于点E,求证：直线BE ⊥平面AA 1C 1C (3）若四棱锥B ﹣AA 1C 1D 的体积为3，求BC 的长度．26．如图,已知四棱锥P ﹣ABCD 的底面ABCD 是菱形，PA ⊥平面ABCD ，点F 为PC 的中点． （1）求证：PA ∥平面BDF ； (2）求证:PC ⊥BD ．27．如图，在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中,E 是CC 1的中点． （1）求证：AC 1⊥BD ． (2）求证：AC 1∥平面BDE ．28．已知空间四边形ABCD （如图所示），E 、F 分别是AB 、AD 的中点，G 、H 分别是BC 、CD 上的(完整)立体几何证明基础题点，且CG=BC，CH=DC．求证：①E、F、G、H四点共面；②三直线FH、EG、AC共点．立体几何证明基础题参考答案与试题解析一．解答题（共28小题）1．如图,在三棱锥P﹣ABC中，PB⊥BC，AC⊥BC，点E，F，G分别为AB，BC，PC，的中点(1）求证：PB∥平面EFG；（2）求证：BC⊥EG．【分析】（1）推导出GF∥PB,由此能证明PB∥平面EFG．（2）推导出EF⊥BC,GF⊥BC，从而BC⊥平面EFG，由此能证明BC⊥EG．【解答】证明：（1）∵点F，G分别为BC，PC，的中点，∴GF∥PB,∵PB⊄平面EFG，FG⊂平面EFG，∴PB∥平面EFG．(2）∵在三棱锥P﹣ABC中，PB⊥BC，AC⊥BC，点E,F，G分别为AB,BC，PC，的中点,∴EF∥AC，GF∥PB，∴EF⊥BC，GF⊥BC,∵EF∩FG=F，∴BC⊥平面EFG，∵EG⊂平面EFG，∴BC⊥EG．【点评】本题考查线面平行、线线垂直的证明，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．2．如图，在三棱锥P﹣ABC中，PC⊥底面ABC,AB⊥BC，D，E分别是AB,PB的中点．(1)求证DE∥PA（2)求证：DE∥平面PAC；(3）求证：AB⊥PB．【分析】（1）由D，E分别是AB，PB的中点，能证明DE∥PA．(2）由PA⊂平面PAC，DE∥PA，且DE⊄平面PAC，能证明DE∥平面PAC．(3）推导出AB⊥PC，AB⊥BC，得AB⊥平面PBC,由此能证明AB⊥PB．【解答】证明：（1）因为D，E分别是AB，PB的中点，所以DE∥PA．（2）因为PA⊂平面PAC，DE∥PA，且DE⊄平面PAC，所以DE∥平面PAC．(3）因为PC⊥平面ABC，且AB⊂平面ABC，所以AB⊥PC．又因为AB⊥BC，且PC∩BC=C．所以AB⊥平面PBC．又因为PB⊂平面PBC，所以AB⊥PB．【点评】本题考查线线平行、线面平行、线线垂直的证明，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是基础题．3．如图所示，△ABC为正三角形,CE⊥平面ABC，BD∥CE且CE=AC=2BD,试在AE上确定一点M，使得DM∥平面ABC．【分析】AE中点为M，取AC中点为N,通过证明四边形MNBD是平行四边形得出DM∥BN，从而可得DM∥平面ABC．【解答】解:取AE中点为M，取AC中点为N，连结MD，MN，NB，在△ABC中，∵M，N分别是边AC，AE的中点,∴CE=2MN且MN∥CE，又∵CE=2BD且BD∥CE，∴MN∥BD且MN=BD,∴四边形BDMN是平行四边形．∴DM∥BN，又∵BN⊂平面ABC，DM⊄平面ABC,∴DM∥平面ABC．故M为AE的中点时，DM∥平面ABC．【点评】本题考查了线面平行的判定，属于基础题．4．如图：在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是菱形，∠ABC=60°，PA⊥平面ABCD，点M，N分别为BC，PA的中点，且PA=AB=2．（Ⅰ)证明:BC⊥平面AMN;（Ⅱ）求三棱锥N﹣AMC的体积；（Ⅲ）在线段PD上是否存在一点E，使得NM∥平面ACE；若存在，求出PE的长；若不存在，说明理由．【分析】(I）要证线与面垂直，只要证明线与面上的两条相交线垂直，找面上的两条线，根据四边形是一个菱形,从菱形出发找到一条,再从PA⊥平面ABCD，得到结论．(II）要求三棱锥的体积，首先根据所给的体积确定用哪一个面做底面，会使得计算简单一些，选择三角形AMC,做出底面面积，利用体积公式得到结果．（III）对于这种是否存在的问题，首先要观察出结论，再进行证明,根据线面平行的判定定理,利用中位线确定线与线平行，得到结论．【解答】解：（Ⅰ）证明：∵ABCD为菱形，∴AB=BC又∠ABC=60°，∴AB=BC=AC，又M为BC中点，∴BC⊥AM而PA⊥平面ABCD,BC⊂平面ABCD，∴PA⊥BC 又PA∩AM=A,∴BC⊥平面AMN（II）∵又PA⊥底面ABCD，PA=2，∴AN=1•AN∴三棱锥N﹣AMC的体积S△AMC=（III）存在点E，取PD中点E，连接NE，EC，AE，∵N，E分别为PA，PD中点，∴又在菱形ABCD中,∴，即MCEN是平行四边形∴NM∥EC，又EC⊂平面ACE，NM⊄平面ACE∴MN∥平面ACE，即在PD上存在一点E,使得NM∥平面ACE，此时．【点评】本题考查空间中直线与平面之间的位置关系，是一个非常适合作为高考题目出现的问题，题目包含的知识点比较全面，重点突出,是一个好题．5．如图，四棱锥P﹣ABCD的底面是边长为1的正方形，侧棱PA⊥底面ABCD，且PA=2,E是侧棱PA上的动点．（1）求四棱锥P﹣ABCD的体积；(2）如果E是PA的中点,求证：PC∥平面BDE；（3）是否不论点E在侧棱PA的任何位置,都有BD⊥CE？证明你的结论．【分析】（1)利用四棱锥的体积计算公式即可；(2）利用三角形的中位线定理和线面平行的判定定理即可证明;（3)利用线面垂直的判定和性质即可证明．【解答】解:（1）∵PA⊥底面ABCD,∴PA为此四棱锥底面上的高．∴V==．四棱锥P﹣ABCD（2）连接AC交BD于O,连接OE．∵四边形ABCD是正方形，∴AO=OC,又∵AE=EP，∴OE∥PC．又∵PC⊄平面BDE，OE⊂平面BDE．∴PC∥平面BDE．（3）不论点E在侧棱PA的任何位置，都有BD⊥CE．证明：∵四边形ABCD是正方形,∴BD⊥AC．∵PA⊥底面ABCD,∴PA⊥BD．又∵PA∩AC=A，∴BD⊥平面PAC．∵CE⊂平面PAC．∴BD⊥CE．【点评】熟练掌握线面平行、垂直的判定和性质定理及四棱锥的体积计算公式是解题的关键．6．已知四棱锥A﹣BCDE，其中AB=BC=AC=BE=1，CD=2，CD⊥面ABC，BE∥CD,F为AD的中点．(Ⅰ）求证:EF∥面ABC；（Ⅱ）求证：平面ADE⊥平面ACD；（Ⅲ)求四棱锥A﹣BCDE的体积．【分析】（Ⅰ)取AC中点G，连接FG、BG，根据三角形中位线定理，得到四边形FGBE为平行四边形，进而得到EF∥BG，再结合线面平行的判定定理得到EF∥面ABC；(Ⅱ)根据已知中△ABC为等边三角形，G为AC的中点，DC⊥面ABC得到BG⊥AC，DC⊥BG,根据线面垂直的判定定理得到BG⊥面ADC，则EF⊥面ADC，再由面面垂直的判定定理，可得面ADE⊥面ACD；(Ⅲ）方法一：四棱锥四棱锥A﹣BCDE分为两个三棱锥E﹣ABC和E﹣ADC，分别求出三棱锥E﹣ABC和E﹣ADC的体积，即可得到四棱锥A﹣BCDE的体积．的高,求出底面面积和方法二：取BC的中点为O，连接AO，可证AO⊥平面BCDE,即AO为VA﹣BCDE高代入棱锥体积公式即可求出四棱锥A﹣BCDE的体积．【解答】证明：（Ⅰ)取AC中点G,连接FG、BG，∵F，G分别是AD，AC的中点∴FG∥CD,且FG=DC=1．∵BE∥CD∴FG与BE平行且相等∴EF∥BG．EF⊄面ABC，BG⊂面ABC∴EF∥面ABC…（4分）(Ⅱ)∵△ABC为等边三角形∴BG⊥AC又∵DC ⊥面ABC ，BG ⊂面ABC ∴DC ⊥BG ∴BG 垂直于面ADC 的两条相交直线AC,DC ，∴BG ⊥面ADC ． …(6分) ∵EF ∥BG ∴EF ⊥面ADC∵EF ⊂面ADE ，∴面ADE ⊥面ADC ． …(8分) 解：(Ⅲ)方法一:连接EC ，该四棱锥分为两个三棱锥E ﹣ABC 和E ﹣ADC ．．…（12分）方法二：取BC 的中点为O ，连接AO,则AO ⊥BC ，又CD ⊥平面ABC ， ∴CD ⊥AO ，BC ∩CD=C ，∴AO ⊥平面BCDE ， ∴AO 为V A ﹣BCDE 的高，，∴．【点评】本题考查的知识点是直线与平面平行的判定，平面与平面垂直的判定，棱锥的体积，其中熟练掌握空间线面平行或垂直的判定、性质、定义、几何特征是解答此类问题的关键．7．如图，四棱柱ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中,平面A 1ABB 1⊥平面ABCD,且∠ABC=．（1）求证：BC ∥平面AB 1C 1;（2)求证：平面A 1ABB 1⊥平面AB 1C 1．【分析】（1）根据BC ∥B 1C 1，且B 1C 1⊂平面AB 1C 1，BC ⊄平面AB 1C 1，依据线面平行的判定定理推断出BC ∥平面AB 1C 1．（2）平面A 1ABB 1⊥平面ABCD ，平面ABCD ∥平面A 1B 1C 1D 1，推断出平面A 1ABB 1⊥平面A 1B 1C 1D 1，又平面A 1ABB 1∩平面A 1B 1C 1D 1=A 1B 1，A 1B 1⊥C 1B 1，C 1B 1⊂平面AB 1C 1，根据面面垂直的性质推断出平面A 1ABB 1⊥平面AB 1C 1．【解答】证明：（1）∵BC ∥B 1C 1，且B 1C 1⊂平面AB 1C 1，BC ⊄平面AB 1C 1， ∴BC ∥平面AB 1C 1．（2）∵平面A 1ABB 1⊥平面ABCD ，平面ABCD ∥平面A 1B 1C 1D 1, ∴平面A 1ABB 1⊥平面A 1B 1C 1D 1，∵平面A 1ABB 1∩平面A 1B 1C 1D 1=A 1B 1,A 1B 1⊥C 1B 1, ∴C 1B 1⊂平面AB 1C 1，∴平面A 1ABB 1⊥平面AB 1C 1．【点评】本题主要考查了线面平行和面面垂直的判定定理．注重了对基础知识的考查．8．如图，三角形ABC 中，AC=BC=，ABED 是边长为1的正方形，平面ABED ⊥底面ABC ，若G 、F 分别是EC 、BD 的中点． （Ⅰ)求证:GF ∥底面ABC ；（Ⅱ）求证：AC⊥平面EBC；（Ⅲ）求几何体ADEBC的体积V．【分析】（1）证法一:证明一条直线与一个平面平行,除了可以根据直线与平面平行的判定定理以外,通常还可以通过平面与平面平行进行转化,比如取BE的中点H，连接HF、GH，根据中位线定理易证得：平面HGF∥平面ABC，进一步可得:GF∥平面ABC．证法二：根据直线与平面平行的判定定理可知：如果不在一个平面内的一条直线和平面内的一条直线平行，那么直线和这个平面平行．故只需在平面ABC中找到与GF平行的直线即可．因为G、F分别是EC、BD的中点，故平移是可以通过构造特殊的四边形、三角形来实现．证法三:根据直线与平面平行的判定定理可知:如果不在一个平面内的一条直线和平面内的一条直线平行，那么直线和这个平面平行．故只需在平面ABC中找到与GF平行的直线即可．因为G、F分别是EC、BD的中点，所以构造中位线是常用的找到平行直线的方法．（2）证明直线与平面垂直,关键要找到两条相交直线与之都垂直．有时候题目中没有现成的直线与直线垂直，需要我们先通过直线与平面垂直或者平面与平面垂直去转化一下．由第一问可知：GF∥平面ABC，而平面ABED⊥平面ABC，所以BE⊥平面ABC，所以BE⊥AC；又由勾股定理可以证明：AC⊥BC．（3）解决棱锥、棱柱求体积的问题，关键在于找到合适的高与对应的底面，切忌不审图形，盲目求解;根据平面与平面垂直的性质定理可知:CN⊥平面ABED，而ABED是边长为1的正方形,进一步即可以求得体积．【解答】解：（I）证法一：取BE的中点H，连接HF、GH,（如图）∵G、F分别是EC和BD的中点∴HG∥BC，HF∥DE,(2分）又∵ADEB为正方形∴DE∥AB，从而HF∥AB∴HF∥平面ABC,HG∥平面ABC,HF∩HG=H，∴平面HGF∥平面ABC∴GF∥平面ABC（5分）证法二:取BC的中点M,AB的中点N连接GM、FN、MN（如图）∵G、F分别是EC和BD的中点∴（2分）又∵ADEB为正方形∴BE∥AD，BE=AD∴GM∥NF且GM=NF∴MNFG为平行四边形∴GF∥MN，又MN⊂平面ABC，∴GF∥平面ABC（5分）证法三：连接AE，∵ADEB为正方形，∴AE∩BD=F，且F是AE中点，（2分）∴GF∥AC，又AC⊂平面ABC，∴GF∥平面ABC(5分）（Ⅱ）∵ADEB为正方形，∴EB⊥AB,∴GF∥平面ABC（5分）又∵平面ABED⊥平面ABC,∴BE⊥平面ABC(7分)∴BE⊥AC又∵CA2+CB2=AB2∴AC⊥BC，∵BC∩BE=B，∴AC⊥平面BCE（9分）（Ⅲ)连接CN，因为AC=BC,∴CN⊥AB，(10分）又平面ABED⊥平面ABC，CN⊂平面ABC，∴CN⊥平面ABED．（11分）∵三角形ABC是等腰直角三角形,∴,（12分）∵C﹣ABED是四棱锥，==（14分）∴VC﹣ABED【点评】本小题主要考查空间线面关系、面面关系、几何体的体积等知识，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力．9．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AD||BC，PD⊥底面ABCD，∠ADC=90°,AD=2BC,Q为AD的中点，M为棱PC的中点．（Ⅰ）证明：PA∥平面BMQ；（Ⅱ)已知PD=DC=AD=2,求点P到平面BMQ的距离．【分析】（1)连结AC交BQ于N，连结MN，只要证明MN∥PA,利用线面平行的判定定理可证；（2)由（1）可知，PA∥平面BMQ，所以点P到平面BMQ的距离等于点A到平面BMQ的距离．【解答】解：（1）连结AC交BQ于N,连结MN,因为∠ADC=90°，Q为AD的中点，所以N为AC的中点．…（2分）当M为PC的中点，即PM=MC时，MN为△PAC的中位线，故MN∥PA，又MN⊂平面BMQ，所以PA∥平面BMQ．…（5分)（2）由（1)可知，PA∥平面BMQ，所以点P到平面BMQ的距离等于点A到平面BMQ的距离，所以VP﹣BMQ =VA﹣BMQ=VM﹣ABQ,取CD的中点K,连结MK，所以MK∥PD，，…(7分）又PD⊥底面ABCD，所以MK⊥底面ABCD．又，PD=CD=2，所以AQ=1，BQ=2，,…（10分）所以VP﹣BMQ =VA﹣BMQ=VM﹣ABQ=.,…(11分）则点P到平面BMQ的距离d=…（12分）【点评】本题考查了线面平行的判定定理的运用以及利用三棱锥的体积求点到直线的距离．10．已知直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1的底面△ABC 中，∠C=90°，BC=，BB 1=2，O 是AB 1的中点,D 是AC 的中点，M 是CC 1的中点， （1）证明：OD ∥平面BB 1C 1C ； （2)试证:BM ⊥AB 1．【分析】（1)连B 1C 利用中位线的性质推断出OD ∥B 1C ，进而根据线面平行的判定定理证明出OD ∥平面BB 1C 1C ．（2)先利用线面垂直的性质判断出CC 1⊥AC ，进而根据线面垂直的判定定理证明出AC ⊥平面BB 1C 1C ，进而可知AC ⊥MB ．利用证明△BCD ∽△B 1BC,推断出∠CBM=∠BB 1C ，推断出BM ⊥B 1C ，最后利用线面垂直的判定定理证明出BM ⊥平面AB 1C ，进而可知BM ⊥AB 1． 【解答】证明：（1)连B 1C ，∵O 为AB 1中点，D 为AC 中点， ∴OD ∥B 1C ，又B 1C ⊂平面BB 1C 1C,OD ⊄平面BB 1C 1C,∴OD ∥平面BB 1C 1C ． （2)连接B 1C ，∵直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1，∴CC 1⊥平面ABC AC ⊂平面ABC, ∴CC 1⊥AC,又AC ⊥BC ，CC 1，BC ⊂平面BB 1C 1C ， ∴AC ⊥平面BB 1C 1C ，BM ⊂平面BB 1C 1C ， ∴AC ⊥MB ．在Rt △BCM 与Rt △B 1BC 中，==，∴△BMC ∽△B 1BC, ∴∠CBM=∠BB 1C,∴∠BB 1C+∠B 1BM=∠CBM+∠B 1BM=90°， ∴BM ⊥B 1C ，AC ，B 1C ⊂平面AB 1C ， ∴BM ⊥AB 1C ， ∵AB 1⊂平面AB 1C ， ∴BM ⊥AB 1．【点评】本题主要考查了线面平行和线面垂直的判定定理的应用．证明线线平行和线线垂直是解题的关键．11．如图,在四棱锥P ﹣ABCD 中，四边形ABCD 是平行四边形，E 、F 分别是AB 、PC 中点，求证:EF ∥面PAD ．【分析】取PD的中点G,连接FG、AG，由PF=CF，PG=DG,所以FG∥CD,且FG=CD．又因为四边形ABCD是平行四边形，且E是AB的中点．所以AE∥CD，且AE=CD．证得四边形EFGA是平行四边形,所以EF∥AG，由线面平行的判定定理即可得证．【解答】证明：取PD的中点G，连接FG、AG．因为PF=CF，PG=DG,所以FG∥CD,且FG=CD．又因为四边形ABCD是平行四边形，且E是AB的中点．所以AE∥CD，且AE=CD．所以FG∥AE，且FG=AE,所以四边形EFGA是平行四边形，所以EF∥AG．又因为EF⊄平面PAD,AG⊂平面PAD，所以EF∥平面PAD．【点评】本题考查直线与平面平行的证明，解题时要认真审题,仔细解答，注意等价转化思想的合理运用．12．如图，在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，E 是AA 1的中点，求证： （Ⅰ）A 1C ∥平面BDE ； （Ⅱ）平面A 1AC ⊥平面BDE ．【分析】（Ⅰ）连接AC 交BD 于O,连接EO ，△A 1AC 中利用中位线，得EO ∥A 1C ．再结合线面平行的判定定理，可得A 1C ∥平面BDE;（II ）根据正方体的侧棱垂直于底面，结合线面垂直的定义,得到AA 1⊥BD ．再结合正方形的对角线互相垂直，得到AC ⊥BD ，从而得到BD ⊥平面A 1AC,最后利用面面垂直的判定定理，可以证出平面A 1AC ⊥平面BDE ．【解答】证明:（Ⅰ）连接AC 交BD 于O ，连接EO ， ∵E 为AA 1的中点，O 为AC 的中点 ∴EO 为△A 1AC 的中位线 ∴EO ∥A 1C又∵EO ⊂平面BDE ，A 1C ⊄平面BDE ∴A 1C ∥平面BDE ；…(6分）（Ⅱ)∵AA 1⊥平面ABCD,BD ⊂平面ABCD ∴AA 1⊥BD又∵四边形ABCD 是正方形 ∴AC ⊥BD ，∵AA1∩AC=A，AA1、AC⊂平面A1AC∴BD⊥平面A1AC又∵BD⊂平面BDE∴平面A1AC⊥平面BDE．…（12分）【点评】本题以正方体为例，要求我们证明线面平行和面面垂直,着重考查了空间直线与平面的位置关系和平面与平面位置关系等知识点,属于基础题．13．如图,四棱锥P﹣ABCD中,底面ABCD为矩形，E为PD的中点．（1)求证：PB∥平面AEC；（2）若PA⊥平面ABCD,PA=AD,求证:平面AEC⊥平面PCD．【分析】（1）连接BD交AC于O点，连接EO，只要证明EO∥PB，即可证明PB∥平面AEC;（2）要证平面PDC⊥平面AEC，需要证明CD⊥AE,AE⊥PD，即垂直平面AEC内的两条相交直线．【解答】证明：(1）连接BD交AC于O点，连接EO，∵O为BD中点，E为PD中点，∴EO∥PB，又EO⊂平面AEC，PB⊄平面AEC,∴PB∥平面AEC．（2）∵PA⊥平面ABCD,CD⊂平面ABCD,∴PA⊥CD，又AD⊥CD，且AD∩PA=A，∴CD⊥平面PAD，又AE⊂平面PAD，∴CD⊥AE．∵PA=AD，E为PD中点,∴AE⊥PD．又CD∩PD=D，∴AE⊥平面PDC,又AE⊂平面PAD，∴平面PDC⊥平面AEC．【点评】本题考查了线面平行，面面垂直的判定定理，属于基础题．14．如图，ABCD是正方形，O是正方形的中心,PO⊥底面ABCD，E是PC的中点．求证:（1）PA∥平面BDE；（2）BD⊥平面PAC．【分析】（1）连接OE，根据三角形中位线定理，可得PA∥EO,进而根据线面平行的判定定理，得到PA∥平面BDE．（2）根据线面垂直的定义，可由PO⊥底面ABCD得到BD⊥PO，结合四边形ABCD是正方形及线面垂直的判定定理可得BD⊥平面PAC【解答】证明(1)连接OE，在△CAP中，CO=OA，CE=EP,∴PA∥EO，又∵PA⊄平面BDE，EO⊂平面BDE，∴PA∥平面BDE．（2）∵PO⊥底面ABCD，BD⊂平面ABCD，∴BD⊥PO又∵四边形ABCD是正方形，∴BD⊥AC∵AC∩PO=O，AC，PO⊂平面PAC∴BD⊥平面PAC【点评】本题考查的知识点是直线与平面平行的判定，直线与平面垂直的判定，熟练掌握空间线面关系的判定定理是解答的关键．15．如图，正四棱柱ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1，底面边长AB=1，侧棱长AA 1=2． (Ⅰ）求正四棱柱ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的表面积； (Ⅱ）证明：AC ⊥平面BDD 1B 1．【分析】（I)求出各面的面积即可得出表面积；（II ）根据BB 1⊥平面ABCD 可得AC ⊥BB 1，根据正方形ABCD 的性质可得AC ⊥BD ，从而有AC ⊥平面BDD 1B 1．【解答】解：(I)正四棱柱的表面积为1×1×2+1×2×4=10． （II ）连接AC,BD,B 1D 1,∵BB 1⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ， ∴AC ⊥BB 1，∵四边形ABCD 是正方形, ∴AC ⊥BD,又BD ⊂平面BDD 1B 1，BB 1⊂平面BDD 1B 1，BD ∩BB 1=B ， ∴AC ⊥平面BDD 1B 1．【点评】本题考查了直棱柱的结构特征，线面垂直的判定，属于基础题．16．已知正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1，O 是底ABCD 对角线的交点．求证： （1）C 1O ∥面AB 1D 1; (2)A 1C ⊥面AB 1D 1．【分析】(1)欲证C 1O ∥面AB 1D 1,根据直线与平面平行的判定定理可知只需证C 1O 与面AB 1D 1内一直线平行，连接A 1C 1，设A 1C 1∩B 1D 1=O 1，连接AO 1，易得C 1O ∥AO 1，AO 1⊂面AB 1D 1，C 1O ⊄面AB 1D 1，满足定理所需条件；（2）欲证A 1C ⊥面AB 1D 1,根据直线与平面垂直的判定定理可知只需证A 1C 与面AB 1D 1内两相交直线垂直根据线面垂直的性质可知A 1C ⊥B 1D 1，同理可证A 1C ⊥AB 1，又D 1B 1∩AB 1=B 1，满足定理所需条件．【解答】证明:（1)连接A 1C 1，设A 1C 1∩B 1D 1=O 1，连接AO 1, ∵ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1是正方体, ∴A 1ACC 1是平行四边形，∴A1C1∥AC且A1C1=AC，又O1，O分别是A1C1，AC的中点，∴O1C1∥AO且O1C1=AO,∴AOC1O1是平行四边形，∴C1O∥AO1,AO1⊂面AB1D1，C1O⊄面AB1D1,∴C1O∥面AB1D1；(2)∵CC1⊥面A1B1C1D1∴CC1⊥B1D!，又∵A1C1⊥B1D1，∴B1D1⊥面A1C1C，即A1C⊥B1D1，∵A1B⊥AB1,BC⊥AB1，又A1B∩BC=B,AB1⊥平面A1BC，又A1C⊂平面A1BC,∴A1C⊥AB1，又D1B1∩AB1=B1，∴A1C⊥面AB1D1【点评】本题主要考查了线面平行、线面垂直的判定定理，考查对基础知识的综合应用能力和基本定理的掌握能力．17．如图所示，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M,E,F，N分别为A1B1，B1C1，C1D1，D1A1的中点，求证:(1）E，F，D，B四点共面；（2）面AMN∥平面EFDB．【分析】（1)由E,E分别是B1C1,C1D1的中点，知EF∥B1D1，从而得到EF∥BD，由此能证明E，F，B，D，四点共面．（2）由题设条件推导出MN∥EF，AN∥CF，由此能够证明面MAN∥面EFDB．【解答】证明:（1）∵E，E分别是B1C1，C1D1的中点,∴EF∥B1D1 ,∵B1D1∥BD,∴EF∥BD，∴E，F，B，D，四点共面．（2）∵M,N分别是A1B1，D1A1的中点，∴MN∥B1D1，∵EF∥B1D1，∴MN∥EF，∵F，N分别是D1C1、A1B1的中点，∴NF A1D1，∵，∴NF AC,∴四边形NFCA是平行四边形，∴AN∥CF，∵MN∩AN=N，EF∩DF=F，∴面MAN∥面EFDB．【点评】本题考查四点共面的证明,考查两个平面平行的证明．解题时要认真审题，注意中位线定理和平行公理的合理运用．18．如图，长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中,AB=AD=1，AA 1=2，点P 是DD 1的中点． 求证:(1）直线BD 1∥平面PAC（2）①求异面直线PC 与AA 1所成的角． ②平面PAC ⊥平面BDD 1．【分析】(1)连接BD ，交AC 于O,连接PO ，由三角形的中位线定理和线面平行的判定定理，即可得证；（2）①连接PC 1，AA 1∥CC 1，∠C 1CP 即为异面直线PC 与AA 1所成的角，分别求出△C 1CP 的三边，由解三角形即可得到所求角;②运用正方形的对角线垂直和线面垂直的性质定理，可得AC ⊥平面BDD 1B 1，再由面面垂直的判定定理，即可得证．【解答】（1）证明:连接BD ，交AC 于O ，连接PO ， 在△BDD1中，OP 为中位线,可得OP∥BD1，又OP⊂平面PAC，BD1⊄平面PAC，则直线BD1∥平面PAC；（2）①连接PC1，AA1∥CC1，∠C1CP即为异面直线PC与AA1所成的角，在△C1CP中，C1C=2，PC===，PC1===,由PC2+PC12=CC12，可得△C1CP为等腰直角三角形，则异面直线PC与AA1所成的角为45°；②证明：在底面ABCD中，AB=AD，即有四边形ABCD为正方形，可得AC⊥BD，D1D⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD,即有D1D⊥AC,D1D∩BD=D,可得AC⊥平面BDD1B1，AC⊂平面PAC，则平面PAC⊥平面BDD1．【点评】本题考查线面平行的判定，注意运用中位线定理和线面平行的判定定理,考查异面直线所成角的求法,注意运用平移法，考查面面垂直的判定，注意运用线面垂直的判定和性质，考查空间想象能力和推理能力，属于基础题．19．如图，在直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，∠ACB=90°，AC=CB=CC 1=2，E 是AB 中点． (Ⅰ)求证:AB 1⊥平面A 1CE ；（Ⅱ）求直线A 1C 1与平面A 1CE 所成角的正弦值．【分析】（Ⅰ）由ABC ﹣A 1B 1C 1是直三棱柱，可知CC 1⊥AC ，CC 1⊥BC ，∠ACB=90°,AC⊥BC ．建立空间直角坐标系C ﹣xyz ．则A ，B 1，E ，A 1，可得，，，可知，根据，，推断出AB 1⊥CE ，AB 1⊥CA 1，根据线面垂直的判定定理可知AB 1⊥平面A 1CE ． (Ⅱ）由（Ⅰ)知是平面A 1CE 的法向量，，进而利用向量数量积求得直线A 1C 1与平面A 1CE 所成角的正弦值【解答】（Ⅰ）证明：∵ABC ﹣A 1B 1C 1是直三棱柱， ∴CC 1⊥AC,CC 1⊥BC, 又∠ACB=90°， 即AC ⊥BC ．如图所示，建立空间直角坐标系C ﹣xyz ．A （2，0,0)，B 1（0,2,2)，E(1，1，0），A 1(2，0，2）， ∴,,．又因为 ,，∴AB 1⊥CE ，AB 1⊥CA 1，AB 1⊥平面A 1CE ． （Ⅱ)解:由（Ⅰ)知，是平面A 1CE 的法向量，，∴｜cos ＜，＞｜==．设直线A 1C 1与平面A 1CE 所成的角为θ，则sinθ=｜cos ＜，＞｜=．所以直线A 1C 1与平面A 1CE 所成角的正弦值为．【点评】本题主要考查了线面垂直的判定定理，向量的数量积的运用，法向量的运用．综合考查了学生所学知识的灵活运用．20．如图,在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，E 、F 、G 分别是AB 、AD 、C 1D 1的中点．求证：平面D 1EF ∥平面BDG ．【分析】欲证平面D 1EF ∥平面BDG,根据面面平行的判定定理可知只需在一个平面内找两相交直线与另一平面平行，EF ∥BD 又EF ⊄平面BDG ，BD ⊂平面BDG 根据线面平行的性质可知EF ∥平面BDG ，同理可证D 1E ∥平面BDG ，EF ∩D 1E=E ，满足定理条件． 【解答】证明:∵E 、F 分别是AB 、AD 的中点，∴EF ∥BD 又EF ⊄平面BDG ，BD ⊂平面BDG ∴EF ∥平面BDG ∵D 1G EB ∴四边形D 1GBE 为平行四边形，D 1E ∥GB 又D 1E ⊄平面BDG,GB ⊂平面BDG∴D 1E ∥平面BDG,EF ∩D 1E=E ， ∴平面D 1EF ∥平面BDG【点评】本小题主要考查空间中的线面关系，考查线面平行的判定，考查识图能力和逻辑思维能力与推理论证能力，考查转化思想，属于基础题．21．（文科)如图，正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，M ，N,E ，F 分别是棱A 1B 1，A 1D 1，B 1C 1，C 1D 1的中点, 求证：平面AMN ∥平面EFDB ．【分析】连接B 1D 1，NE ，分别在△A 1B 1D 1中和△B 1C 1D 1中利用中位线定理，得到MN ∥B 1D 1，EF ∥B 1D 1，从而MN ∥EF,然后用直线与平面平行的判定定理得到MN ∥面BDEF ．接下来利用正方形的性质和平行线的传递性，得到四边形ABEN 是平行四边形，得到AN ∥BE ，直线与平面平行的判定定理得到AN ∥面BDEF,最后可用平面与平面平行的判定定理，得到平面AMN ∥平面EFDB ，问题得到解决．【解答】证明:如图所示,连接B 1D 1，NE∵M,N ，E ，F 分别是棱A 1B 1,A 1D 1，B 1C 1，C 1D 1的中点 ∴MN ∥B 1D 1，EF ∥B 1D 1 ∴MN ∥EF又∵MN ⊄面BDEF ，EF ⊂面BDEF ∴MN ∥面BDEF∵在正方形A 1B 1C 1D 1中,M ，E ，分别是棱 A 1B 1，B 1C 1的中点∴NE∥A1B1且NE=A1B1又∵A1B1∥AB且A1B1=AB∴NE∥AB且NE=AB∴四边形ABEN是平行四边形∴AN∥BE又∵AN⊄面BDEF，BE⊂面BDEF∴AN∥面BDEF∵AN⊂面AMN，MN⊂面AMN，且AN∩MN=N∴平面AMN∥平面EFDB【点评】本题借助于正方体模型中的一个面面平行位置关系的证明，着重考查了三角形的中位线定理、线面平行的判定定理和面面平行的判定定理等知识点，属于基础题．22．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，侧面PAD是正三角形，且与底面ABCD垂直,底面ABCD是边长为2的菱形,∠BAD=60°,N是PB的中点,过A、D、N三点的平面交PC于M，E为AD的中点，求证：（1)EN∥平面PDC;(2）BC⊥平面PEB；（3）平面PBC⊥平面ADMN．【分析】（1）先证明AD∥MN由N是PB的中点，E为AD的中点，底面ABCD是边长为2的菱形得EN∥DM，DM⊂平面PDC，可得EN∥平面PDC；（2）由侧面PAD是正三角形,且与底面ABCD垂直，E为AD的中点，得PE⊥AD，PE⊥EB,PE⊥BC，由∠BAD=60°，AB=2,AE=1,由余弦定理可得BE=,由正弦定理可得：BE⊥AD，有由AD∥BC可得BE⊥BC,可得BC⊥平面PEB；（3）由（2）知BC⊥平面PEB，EN⊂平面PEB可得PB⊥MN，由AP=AB=2,N是PB的中点，得PB ⊥AN，有MN∩AN=N．PB⊥平面ADMN，可证平面PBC⊥平面ADMN．【解答】解：（1）∵AD∥BC,AD⊂平面ADMN，BC⊄平面ADMN，∴BC∥平面ADMN，∵MN=平面ADMN∩平面PBC,BC⊂平面PBC，∴BC∥MN．又∵AD∥BC，∴AD∥MN．∴ED∥MN∵N是PB的中点，E为AD的中点，底面ABCD是边长为2的菱形，∴ED=MN=1∴四边形ADMN是平行四边形．∴EN∥DM，DM⊂平面PDC，∴EN∥平面PDC；（2）∵侧面PAD是正三角形，且与底面ABCD垂直，E为AD的中点，∴PE⊥AD，PE⊥EB,PE⊥BC∵∠BAD=60°，AB=2，AE=1，由余弦定理可得BE=，由正弦定理可得：BE⊥AD∴由AD∥BC可得BE⊥BC，∵BE∩PE=E∴BC⊥平面PEB；（3）∵由(2)知BC⊥平面PEB,EN⊂平面PEB∴BC⊥EN∵PB⊥BC，PB⊥AD∴PB⊥MN∵AP=AB=2，N是PB的中点，∴PB⊥AN,∴MN∩AN=N．PB⊥平面ADMN，∵PB⊂平面PBC∴平面PBC⊥平面ADMN．【点评】本题主要考察了平面与平面垂直的判定,直线与平面平行的判定，直线与平面垂直的判定，属于基本知识的考查．23．如图，在正三棱锥P﹣ABC中，D,E分别是AB,BC的中点．(1）求证:DE∥平面PAC；(2)求证：AB⊥PC．【分析】（1）推导出DE∥AC，由此能证明DE∥平面PAC．（2）连结PD，CD，则PD⊥AB，CD⊥AB，从而AB⊥平面PDC,由此能证明AB⊥PC．【解答】证明：（1）∵在正三棱锥P﹣ABC中，D，E分别是AB，BC的中点．∴DE∥AC，∵DE⊄平面PAC，AC⊂平面PAC，∴DE∥平面PAC．（2）连结PD,CD，∵正三棱锥P﹣ABC中，D是AB的中点,∴PD⊥AB，CD⊥AB,∵PD∩CD=D,∴AB⊥平面PDC，∵PC⊂平面PDC,∴AB⊥PC．【点评】本题考查线面平行的证明，考查线线垂直的证明，是中档题，解题时要认真审题,注意空间思维能力的培养．24．如图所示，在四棱锥P﹣ABCD中，底面是边长为1的正方形，侧棱PD=1,PA=PC=．(1)求证:PD⊥平面ABCD；（2）求证：平面PAC⊥平面PBD．【分析】(1）由勾股定理逆定理可证明AD⊥PD,PD⊥CD即可得出PD⊥平面ABCD；(2）由（1）可得PD⊥AC，结合AC⊥BD,得出AC⊥平面PBD,从而平面PAC⊥平面PBD．。