高三上学期中段考试试题(数学理)

宁夏六盘山高级中学2023届高三（提升班）上学期期中考试数学（理）试题1.已知集合，，则为（）A ．B ．C ．D ．2.“关于的不等式的解集为”的一个必要不充分条件为（）A．B．C ．D ．或3.已知，则（）D．2 A．B．C．4.已知等腰直角，，为边上一个动点，则的值为（）A．1 B．2 C．D．5.已知在等比数列中，，，则（）A．B．C．D．6.定义为a，b，c中的最小值，设，则M的最大值是（）A．B．C．1 D．27.《周髀算经》中有这样一个问题：冬至､小寒､大寒､立春､雨水､惊蛰､春分､清明､谷雨､立夏､小满､芒种这十二个节气，自冬至日起，其日影长依次成等差数列，立春当日日影长为9.5尺，立夏当日日影长为2.5尺，则春分当日日影长为（）A．4.5尺B．5尺C．5.5尺D．6尺8.定义在R上的奇函数满足，当时，，则在上（）A．是减函数，且B．是增函数，且C．是减函数，且D．是增函数，且9.在△ABC中，若22=，则△ABC是（）A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等边三角形10.已知函数，若，则实数的取值范围为（）A．B．C．D．11.已知函数，若存在实数（且），使得成立，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．12.已知函数（其中），恒成立，且在区间上单调，给出下列命题①是偶函数；②；③是奇数；④的最大值为3；其中正确的命题有（）A．①②③B ．①②④C．②③④D ．①③④13.已知平面向量，，若，则________．14.已知数列的前项和，那么它的通项公式为__．15.若，，且，，则的值是______．16.已知函数，且，给出下列命题：①；②；③当时，；④，其中正确的命题序号是_____．17.已知数列各项均为正数，且．(1)求的通项公式；(2)记数列前项的和为，求的取值范围．18.已知向量，，函数．将函数的图像向左平移个单位长度后得到函数的图像．(1)求函数的零点；(2)若锐角的三个内角的对边分别是，，，且，求的取值范围．19.在中，角，，的对边分别为，，，且．(1)求角的大小；(2)如图，若为外一点，且，，，，求的面积．20.函数，．(1)求的单调递增区间；(2)对，，使成立，求实数的取值范围．21.已知函数.(1)求函数在处的切线方程；(2)求证：.22.在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为：．(1)写出的直角坐标方程和的普通方程；(2)设的交点为P，Q，点M在上，当的面积最大时，求点M的直角坐标．23.函数的最大值为4，．（1）求的值；（2）若，，为正实数，且，求证：．。

兰州一中2022-2023-1学期期中考试试题高三数学（理）说明：本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，满分150分，考试时间120分钟. 答案写在答题卷(卡)上，交卷时只交答题卷(卡).第Ⅰ卷(选择题)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1．已知集合{3,1,0,2,4}U =--，{1,0}A =-，{0,2}B =，则()U A B ⋃=( ) A ．{3,1}- B ．{3,4}- C ．{3,1,2,4}--D ．{1,0,2}-2．已知a R ∈，()13ai i i +=+，(i 为虚数单位)，则=a ( ) A ．1-B ．1C ．3-D ．33．已知()f x 是R 上的偶函数，()g x 是R 上的奇函数，它们的部分图像如图，则()()⋅f x g x 的图像大致是( )A ．B ．C ．D ．4．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且918S =，71a =，则1a =( ) A ．4B ．2C ．12-D ．1-5．已知x 、y 都是实数，那么“x y >”的充分必要条件是( )．A ．lg lg x y >B ．22x y >C ．11x y> D ．22x y >6．我国南北朝时期的数学家祖暅提出了一个原理“幂势既同，则积不容异”，即夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等．现有某几何体和一个圆锥满足祖暅原理的条件，若该圆锥的侧面展开图是半径为2的一个半圆，则该几何体的体积为( ) A 3π B 3πC 3πD 3π 7．设x ，y 满足约束条件23250y x x y ≤⎧⎪≤⎨⎪+-≥⎩，则z x y =-+的最小值为( )A ．2B ．1-C ．2-D ．3-8．已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，当0x ≥时，()x f x e x =+，则32(2)a f =-，2(log 9)b f =，(5)c f =的大小关系为( )A ．a b c >>B ．a c b >>C ．b c a >>D ．b a c >>9．设函数()f x 定义域为R ，()1f x -为奇函数，()1f x +为偶函数，当()1,1x ∈-时，()21f x x =-+，则下列结论错误的是( )A ．7324f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ B ．()7f x +为奇函数C ．()f x 在()6,8上为减函数D ．()f x 的一个周期为810．已知函数222,2,()366,2,x ax x f x x a x x ⎧--≤⎪=⎨+->⎪⎩若()f x 的最小值为(2)f ，则实数a的取值范围为( ) A ．[2,5]B ．[2,)+∞C ．[2,6]D ．(,5]-∞11．已知双曲线2221x y a-=（0a >）的左､右焦点分别为1F ，2F ，过点2F 作一条渐近线的垂线，垂足为P 若12PF F △的面积为22率为( ) A 23B 32C ．3D 1412．已知函数3()5()R f x x x x =+∈，若不等式()22(4)0f m mt f t ++<对任意实数2t ≥恒成立，则实数m 的取值范围为（ ） A ．(2,2-- B ．4,3⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭ C ．((),22,-∞+∞D ．(,2-∞第Ⅱ卷(非选择题)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．有甲、乙、丙三项任务，甲、乙各需1人承担，丙需2人承担且至少1人是男生，现有2男2女共4名学生承担这三项任务，不同的安排方法种数是______．（用数字作答）14．已知()1,2a =，()1,1b =，且a 与a b λ+的夹角为锐角，则实数λ的取值范围为______．15．已知()f x 是R 上的奇函数，()g x 是在R 上无零点的偶函数，()20f =，当0x >时，()()()()0f x g x f x g x ''-<，则使得()()lg 0lg f x g x <的解集是________16．已知0x >，0y >，且24x y +=，则112x y y ++最小值为________. 三、解答题(本大题共6小题，共70分)（一）必考题：共五小题，每题12分，共60分。

合肥一六八中学2025届高三10月段考试卷数学考生注意：1．试卷分值：150分，考试时间：120分钟．2．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答案区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效．3．所有答案均要答在答题卡上，否则无效．考试结束后只交答题卡．一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）1．已知集合，，则（ ）A ．B ．C ．D ．2．设，均为单位向量，则“”是“”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件3．已知数列满足，若，则（ ）A ．2B ．－2C ．－1D ．4．已知实数a ，b ，c 满足，则下列不等式中成立的是（ ）A ．B ．C ．D ．5．已知，，则（ ）A．B ．C ．D ．6．10名环卫工人在一段直线公路一侧植树，每人植一棵，相邻两棵树相距15米，开始时需将树苗集中放置在某一树坑旁边，现将树坑从（1）到（10）依次编号，为使每名环卫工人从各自树坑前来领取树苗所走的路程总和最小，树苗可以放置的两个最佳坑位的编号为（ ）A ．（1）和（10）B ．（4）和（5）C ．（5）和（6）D ．（4）和（6）7．设，，，则（ ）A ．B ．C ．D ．{A x x =<1ln 3B x x ⎧⎫=<⎨⎬⎩⎭A B = {x x <{x x <{0x x <<{0x x <<a b 55a b a b -=+a b ⊥ {}n a ()111n n a a +-=11a =-10a =120a b c <<<11a b b a+>+22a b aa b b+<+a b b c a c<--ac bc>a ∈R 2sin cos αα+=tan 2α=433443-34-0.1e1a =-111b =ln1.1c =b c a<<c b a<<a b c<<a c b<<8．定义在R 上的奇函数，且对任意实数x 都有，．若，则不等式的解集是（ ）A ．B ．C ．D ．二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分）9．已知O 为坐标原点，点，，，，则（）A ．B ．C ．D ．10．三次函数叙述正确的是（ ）A ．当时，函数无极值点B ．函数的图象关于点中心对称C ．过点的切线有两条D ．当a <－3时，函数有3个零点11．已知，对任意的，都存在，使得成立，则下列选项中，可能的值是（ ）A ．B ．C ．D ．三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）12．已知复数与3i 在复平面内用向量和表示（其中i 是虚数单位，O 为坐标原点），则与夹角为______．13．函数在上的最大值为4，则m 的取值范围是______．14．设a 、b 、，则______．四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15．（13分）已知中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，．（1）求角A ；（2）已知，从下列三个条件中选择一个作为已知，使得存在，并求出的面积．()f x ()302f x f x ⎛⎫--+=⎪⎝⎭()12024e f =()()0f x f x '+->()11ex f x +>()3,+∞(),3-∞()1,+∞(),1-∞()1cos1,sin1P ()2cos 2,sin 2P -()3cos3,sin 3P ()1,0Q 12OP OP = 12QP QP =312OQ OP OP OP ⋅=⋅ 123OQ OP OP OP ⋅=⋅ ()32f x x ax =++1a =()f x ()f x ()0,2()0,2()f x ()2sin 2f x x =+π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦2π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦()()123f x f x α=+α3π44π76π78π71+OA OB OAOB2x y m m =-+(],2-∞[]0,1c ∈M ABC △cos sin 0a C C b c --=8b =ABC △ABC △条件①：；条件②：；条件③：AC．（注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．）16．（15分）某地区上年度天然气价格为2.8元/，年用气量为．本年度计划将天然气单价下调到2.55元/至2.75元/之间．经调查测算，用户期望天然气单价为2.4元/，下调单价后新增用气量和实际单价与用户的期望单价的差成反比（比例系数为k ）．已知天然气的成本价为2.3元/．（1）写出本年度天然气价格下调后燃气公司的收益y （单位：元）关于实际单价x （单位：元/）的函数解析式；（收益=实际用气量×（实际单价－成本价））（2）设，当天然气单价最低定为多少时，仍可保证燃气公司的收益比上年度至少增加20%?17．（15分）已知函数（a 为常数，且，），且是奇函数．（1）求a 的值；（2）若，都有成立，求实数m 的取值范围．18．（17分）已知函数（1）讨论函数的单调性；（2）求函数在处切线方程；（3）若有两解，，且，求证：．19．（17分）（1）若干个正整数之和等于20，求这些正整数乘积的最大值．（2）①已知，都是正数，求证：；②若干个正实数之和等于20，求这些正实数乘积的最大值．2cos 3B =-7a =3m 3m a 3m 3m 3m 3m 3m 0.2k a =()824x x xa f x a +⋅=⋅0a ≠a ∈R ()f x []1,2x ∀∈()()20f x mf x -≥()()2ln f x x x =-()f x ()f x ()()22e ,ef ()f x m =1x 2x 12x x <2122e e x x <+<12,,,n a a a ⋅⋅⋅12n a a a n++⋅⋅⋅+≥合肥一六八中学2025届高三10月段考试卷·数学参考答案、提示及评分细则题号1234567891011答案DCCBBCACACABDAC一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）1．【答案】D【解析】，∵，∴．故选D ．2．【答案】C【解析】∵“”，∴平方得，即，则，即，反之也成立．故选C ．3．【答案】C 【解析】因为，，所以，，，所以数列的周期为3，所以．故选C ．4．【答案】B【解析】对于A ，因为，所以，所以，故A 错误；对于B ，因为，所以，故B 正确；对于C ，当，，时，，，，故C 错误；对于D ，因为，，所以，故D 错误．故选B ．5．【答案】B【解析】，则，即，可得，解得或．那么．故选B ．6．【答案】C【解析】设树苗可以放置的两个最佳坑位的编号为x ，则各位同学从各自树坑前来领取树苗所走的路程总和为：．131ln 0e 3x x <⇒<<23e 2<661132e 2⎛⎫⎛⎫<⇒< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭55a b a b -=+ 222225102510a b a b a b a b +-⋅=++⋅200a b ⋅= 0a b ⋅= a b ⊥111n na a +=-11a =-212a =32a =41a =-{}n a 101a =-0a b <<11a b >11a b b a+<+0a b <<()()()()222220222a b b a a b a b a b a a b b a b b a b b+-++--==<+++2a =-1b =-1c =13b a c =-1a b c =-b aa cb c<--a b <0c >ac bc <2sin cos αα+=()252sin cos 2αα+=2254sin 4sin cos cos 2αααα++=224tan 4tan 15tan 12ααα++=+tan 3α=-1322tan 3tan 21tan 4ααα==-1152151015S x x x =-⨯+-⨯+⋅⋅⋅+-⨯若S 取最小值，则函数也取最小值，由二次函数的性质，可得函数的对称轴为，又∵x 为正整数，故或6．故选C 7．【答案】A【解析】构造函数，，则，，当时，，时，，单调递减；时，，单调递增．∴在处取最小值，∴，（且），∴，∴；构造函数，，，∵，，，∴，在上递增，∴，∴，即，∴．故选A ．8．【答案】C【解析】因为是奇函数，所以是偶函数，因为，所以，令，，在R 上单调递增．又因为且是奇函数，所以的周期为3，，则，所以，则不等式，因为在R 上单调递增，所以，即．故选C ．二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分）9．【答案】AC()()()()22222221210101101210y x x x x x =-+-+⋅⋅⋅+-=-+++⋅⋅⋅+()2222101101210y x x =-+++⋅⋅⋅+ 5.5x =5x =()1ln f x x x =+0x >()211f x x x'=-0x >()0f x '=1x =01x <<()0f x '<()f x 1x >()0f x '>()f x ()f x 1x =()11f =1ln 1x x>-0x >1x ≠101ln1.111111>-=c b >()1e 1ln x g x x -=--1x >()11ex g x x-'=-1x >1e1x ->11x<()0g x '>()g x ()1,+∞()()10g x g >= 1.11e 1ln1.1-->0.1e 1ln1.1->a c >()f x ()f x '()()0f x f x '+->()()0f x f x '+>()()e xg x f x =()()()e 0xg x f x f x ''=+>⎡⎤⎣⎦()g x ()302f x f x ⎛⎫--+=⎪⎝⎭()f x ()f x ()12024e f =()12ef =()212e e e g =⨯=()()()()111e 1e 12ex x f x f x g x g ++>⇒+>⇒+>()g x 12x +>1x >【解析】∵，，，，∴，，，，，，易知，故A 正确；∵，，∴，故B 错误；，，∴，故C 正确；，，故D 错误．故选AC ．10．【答案】ABD【解析】对于A ：，，，单调递增，无极值点，故A 正确；对于B ：因为，所以函数的图象关于点中心对称，故B 正确；对于C ：设切点，则切线方程为，因为过点，所以，，解得，即只有一个切点，即只有一条切线，故C 错误；对于D ：，当时，，，当时，，单调递增，当时，，单调递减，当时，，单调递增，有极大值为，所以若函数有3个零点，有极小值为，得到，故D 正确．故选ABD ．11．【答案】AC【解析】∵，∴，∴，∵对任意的，都存在，使得成立，()1cos1,sin1P ()2cos 2,sin 2P -()()()3cos 12,sin 12P ++()1,0Q ()1cos1,sin1OP = ()2cos 2,sin 2OP =- ()()()3cos 12,sin 12OP =++ ()1,0OQ = ()1cos11,sin1QP =- ()2cos 21,sin 2QP =-- 121OP OP ==1QP= 2QP = 12QP QP ≠ ()3cos 12cos1cos 2sin1sin 2OQ OP ⋅=+=- 12cos1cos 2sin1sin 2OP OP ⋅=- 312OQ OP OP OP ⋅=⋅1cos1OQ OP ⋅= 23cos 2cos3sin 2sin 3cos5cos1OP OP ⋅=-=≠1a =()32fx x x =++()2310f x x '=+>()f x ()()4f x f x +-=()f x()0,2()()1,x f x ()()()111y f x f x x x '-=-()0,2()()()112f x f x x '-=-331111223x ax x ax ---=--10x =()23f x x a '=+3a <-()0f x '=x =,x ⎛∈-∞ ⎝()0f x '>()f x x ⎛∈ ⎝()0f x '<()f x x ⎫∈+∞⎪⎪⎭()0f x '>()f x ()f x 20f ⎛=> ⎝()f x ()f x 20f =+<3a <-π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦[]1sin 0,1x ∈()[]12,4f x ∈1π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦2π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦()()123f x f x a =+∴，，∴，∴，，在上单调递减．在上单调递增．当时，，，，故A 正确，当时，，，故B 错误，当时，，，，故C 正确，当时，，．故错误．故选AC ．三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）12．【答案】【解析】由题知，，．故本题答案为．13．【答案】【解析】当时，函数的图象是由向上平移个单位后，再向下平移个单位，函数图象还是的图象，满足题意，当时，函数图象是由向下平移m 个单位后，再把x 轴下方的图象对称到上方，再向上平移m 个单位，根据图象可知满足题意，时不合题意．()2min 23f x α+≤()2max 43f x α+≥()2sin 2f x x =+()2min 2sin 3x α+≤-()2max 1sin 3x α+≥-sin y x =π3π,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦3π,2π2⎡⎤⎢⎥⎣⎦3π4α=23π5π,44x α⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦()2max 3π1sin sin 043x α+=>>-()2min5πsin sin 4x α+==23<-4π7α=24π15π,714x α⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦()2max 15π7π12sin sin sin 14623x α+=>=->-6π7α=26π19π,714x α⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦()2max 6π1sin sin 073x α+=>>-()2min 19πsin sin 14x α+=<4π2sin33=<-8π7α=28π23π,714x α⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦()2max 8π9π1sin sin sin 783x α+=<=<-π6(OA = ()0,3OB = cos ,OA OB OA OB OA OB⋅==⋅π6AOB ∠=π6(],2-∞0m ≤2x y m m =-+2xy =m m 2xy =02m <≤2x y m m =-+2xy =02m <≤2m >故本题答案为．14．【解析】不妨设，则，∴，当且仅当，，，即，，时，等号成立．．四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15．【解析】（1）因为，由正弦定理得．即：，，即，因为，所以，得；（2）选条件②：．在中，由余弦定理得：，即．整理得，解得或．当时，的面积为：，当c=5时，的面积为：，(],2-∞301a b c ≤≤≤≤M=≤=33M =+≤+≤b a c b -=-0a =1c =0a =12b =1c =3+cos sin 0a C C b c +--=sin cos sin sin sin 0A C A C B C +--=()sin cos sin sin sin 0A C A C A C C +-+-=()sin cos sin sin 0sin 0A C A C C C --=>cos 1A A -=π1sin 62A ⎛⎫-= ⎪⎝⎭0πA <<ππ66A -=π3A =7a =ABC △2222cos a b c bc A =+-222π7816cos3c c =+-⋅28150c c -+=3c =5c =3c =ABC △1sin 2ABC S bc A ==△ABC △1sin 2ABC S bc A ==△选条件③：AC，设AC 边中点为M ，连接BM ，则，，在中，由余弦定理得，即．整理得，解得或（舍）．所以的面积为．16．【解析】（1），；（2）由题意可知要同时满足以下条件：，∴，即单价最低定为2.6元/．17．【解析】（1），因为是奇函数，所以，所以，所以，所以，；（2）因为，，所以，所以，，令，，，由于在单调递增，所以．18．【解析】（1）的定义域为，，当时，，当时，BM =4AM =ABM △2222cos BM AB AM AB AM A =+-⋅⋅2π21168cos3AB AB =+-⋅2450AB AB --=5AB =1AB =-ABC △1sin 2ABC S AB AC A =⋅⋅=△()2.32.4k y a x x ⎛⎫=+-⎪-⎝⎭[]2.55,2.75x ∈()()[]0.2 2.3 1.2 2.8 2.32.42.55,2.75a a x a x x ⎧⎛⎫+-≥-⎪⎪-⎝⎭⎨⎪∈⎩2.6 2.75x ≤≤3m ()1122x x f x a =⨯+()f x ()()f x f x -=-11112222x x x x a a⎛⎫⨯+=-⨯+ ⎪⎝⎭111202x xa ⎛⎫⎛⎫++=⎪⎪⎝⎭⎝⎭110a +=1a =-()122x x f x =-[]1,2x ∈22112222x x xx m ⎛⎫-≥- ⎪⎝⎭122x x m ≥+[]1,2x ∈2xt =[]1,2x ∈[]2,4t ∈1y t t=+[]2,4117444m ≥+=()f x ()0,+∞()1ln f x x '=-()0f x '=e x =()0,e x ∈，当时，，故在区间内为增函数，在区间为减函数；（2），，所以处切线方程为：，即；（3）先证，由（1）可知：，要证，也就是要证：，令，，则，所以在区间内单调递增，，即，再证，由（2）可知曲线在点处的切线方程为，令，，∴在处取得极大值为0，故当时，，，则，即，又，，∴．19．【解析】（1）将20分成正整数之和，即，假定乘积已经最大．若，则将与合并为一个数，其和不变，乘积由增加到，说明原来的p 不是最大，不满足假设，故，同理．将每个大于2的拆成2，之和，和不变，乘积．故所有的只能取2，3，4之一，而，所以将取2和3即可．如果2的个数≥3，将3个2换成两个3，这时和不变，乘积则由8变成9，故在p 中2的个数不超过2个．那只能是，最大乘积为；（2）①证明：先证：．令，则，，且，()0f x '>()e,x ∈+∞()0f x '<()f x ()0,e ()e,+∞()2e 0f =()22e 1ln e 1f '=-=-()()22e ,ef ()()201e y x -=--2e 0x y +-=122e x x +>2120e e x x <<<<12212e 2e x x x x +>⇔>-()()()()21112e 2ef x f x f x f x <-⇔<-()()()2eg x f x f x =--()0,e x ∈()()()2ln 2e 2ln e 2e e 0g x x x '=--≥--=()g x ()0,e ()()e 0g x g <=122e x x +>212e x x +<()f x ()2e ,0()2e x x ϕ=-()()()()()222ln e 3ln e m x f x x x x x x x x ϕ=-=---+=--()2ln m x x '=-()m x e x =()0,e x ∈()()f x x ϕ<()()12m f x f x ==()()2222e m f x x x ϕ=<=-22e m x +<10e x <<()()111111112ln 1ln m f x x x x x x x x ==-=+->2122e x x m x +<+<1,,n x x ⋅⋅⋅120n x x =+⋅⋅⋅+1n p x x =⋅⋅⋅11x =1x 2x 1221x x x +=+122x x x =21x +2i x ≥()21,2,,i x i n ≥=⋅⋅⋅22i i x x =+-2i x -()224i i i x x x -≤⇒≤i x 42222=⨯=+i x 202333333=++++++6321458⨯=1ex x -≥()1e x f x x -=-()1e 1x f x -'=-()10f '=()()10f x f ≥=，，，∴②让n 固定，设n 个正实数之和为20，，，要是最大，最大即可，令，其中，，∴时，单调递增，时，单调递减，而，所以这些正实数乘积的最大值为．1-≥1,2,,i n =⋅⋅⋅1111--≥=1n ≥0n ≥12n a a a n ++⋅⋅⋅+≥1,,n x x ⋅⋅⋅120n x x n n +⋅⋅⋅+≤=1220nn p x x x n ⎛⎫=⋅⋅⋅≤ ⎪⎝⎭20nn ⎛⎫ ⎪⎝⎭20ln nn ⎛⎫⎪⎝⎭()()20ln ln 20ln tg t t t t ⎛⎫==- ⎪⎝⎭*t ∈N ()20ln ln e g t t '=-7t ≤()g t 8t ≥()g t ()()()()87787ln 207ln 78ln 208ln 8ln 8ln 7200g g -=---=-⨯>7207⎛⎫⎪⎝⎭。

广东梅县东山中学2012届高三上学期中段考试题（数学理）一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．已知函数()f x =M ，函数()ln(1)g x x =+的定义域为N ， 则MN = ( )A ．{|1}x x >-B ．{|1}x x <C ．{|11}x x -<<D ．∅2．若向量,,a b c 满足//a b ，且a c ⊥，则(2)c a b ⋅+= ( ) A ．4 B ．3 C ．2 D ．0 3．已知3(,0),sin 25παα∈-=-，则cos()πα-的值为 ( ) A ．45- B ．54 C ．53 D ．－534．将函数2y x =的图象向右平移6π个单位后，其图象的一条对称轴方程为 ( )A ．512x π=B ．712x π=C ．3x π= D ．6x π=5．若函数tan (0)(2)lg()(0)x x f x x x ≥⎧+=⎨-<⎩，则(2)(98)4f f π+⋅-= ( )A ．12B ．12- C ．2 D ．2-6．若02πα<<，02πβ-<<，1cos()43πα+=，cos()423πβ-=， 则cos()2βα+= ( )A ．3 B ．3- C ．9- D ．97．对于任意[1,1]a ∈-，函数2()(4)42f x x a x a =+-+-的值恒大于零，那么x 的取值范围是 ( ) A ．(1,3)B ．(,1)(3,)-∞+∞C ．(1,2)D ．(3,)+∞8．函数)(x f 的定义域为R ，2)1(=-f ，对任意x R ∈，2)(>'x f ，则42)(+>x x f 的解集为 ( ) A ．（1-，1）B ．（1-，+∞）C ．（∞-，1-）D ．（∞-，+∞）二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，满分30分） 9．若209ax dx =⎰，则a =10．在△ABC 中，已知222sin sin sin sin A C B C B =+，则角A 的值为 11．函数3sin 2)(-=x x f 的图象在3π=x 处的切线方程为12．若不等式|23|4x ->与不等式20x px q ++>的解集相同，则pq= 13．已知函数()2x f x e x a =-+有零点，则实数a 的取值范围是 14．设函数()y f x =由方程||||1x x y y +=确定,下列结论正确的是 (请将你认为正确的序号都填上)①()f x 是R 上的单调递减函数；②对于任意x R ∈，()0f x x +>恒成立；③对于任意a R ∈，关于x 的方程()f x a =都有解；④()f x 存在反函数1()f x -，且对于任意x R ∈，总有1()()f x f x -=成立．三、解答题（本大题共6小题，满分80分. 解答须写出文字说明，证明过程或演算步骤）15．(本小题满分12分)在△ABC 中，a ，b ，c 分别是三个内角A ，B ，C 的对边．若2a =，4C π=，cos2B = （1）求角B 的余弦值； （2）求△ABC 的面积S ． 16．(本小题满分12分) 已知a R ∈,命题:p 实系数一元二次方程220x ax ++=无实根；命题:q 存在点(,)x y 同时满足224x y +=且22()1x a y ++=．试判断：命题p 是命题q 的什么条件(充分、必要、充分不必要、必要不充分、充要或既不充分也不必要条件)？请说明你的理由．17．(本小题满分14分) 已知函数2()(2cos sin )2xf x a x b =++ (1)当1a =时，求函数()f x 的单调递增区间；(2)当0a <，且[0,]x π∈时，函数()f x 的值域为[3,4]，求a ，b 的值．18．(本小题满分14分)请你设计一个包装盒．如图所示，ABCD 是边长为60cm 的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得A ,B ,C ,D 四个点重合于图中的点P ，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒．E 、F 在AB 上，是被切去的等腰直角三角形斜边的两个端点．设()AE FB x cm ==． (1)某广告商要求包装盒侧面积S （cm 2）最大，试问x 应取何值？(2)某厂商要求包装盒容积V （cm 3）最大，试问x 应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值．19．(本小题满分14分) 已知函数()2ln f x x a x =+()a R ∈ (1)讨论函数()f x 的单调性；(18)第题图(2)若函数()f x 有两个零点，求实数a 的取值范围；(3)若函数()f x 的最小值为()h a ，m ，n 为()h a 定义域A 中的任意两个值， 求证：()()()22h m h n m nh ++<20．(本小题满分14分)对于正整数a ，b ，存在唯一一对整数q 和r ，使得a bq r =+，0r b ≤<.特别地，当0r =时，称b 能整除a ，记作|b a ，已知{1,2,3,,23}A =．(1)存在q A ∈，使得201191(091)q r r =+≤<，试求q ，r 的值；(2)求证：不存在这样的函数:{1,2,3}f A →，使得对任意的整数,x y A ∈，若||{1,2,3}x y -∈，则()()f x f y ≠； (3)若B A ⊆，()12card B =(()card B 指集合B 中的元素的个数)，且存在,,,|a b B b a b a ∈<，则称B 为“和谐集”.求最大的m A ∈，使含m 的集合A 的有12个元素的任意子集为“和谐集”，并说明理由．2011~2012年度广东梅县东山中学高三上学期期中考试数学试题答案（理科）9． 3 10．56π 11．3y x π=- 12．12713．(,2ln22]-∞- 14．①②③④三、解答题（本大题共6小题，满分80分） 15．(本小题满分12分) 解：(1)由题意，得223cos 2cos 12(1255B B =-=-=； ………… 4分 (2)由(1)得4sin 5B =，由4C π=得333sin sin()sin cos cos sin 44410A B B B πππ=-=-=由正弦定理得10sin sin 7a c c A C =⇒=⇒=, ∴111048sin 222757S ac B ==⨯⨯⨯= 故△ABC 的面积是87……12分16．(本小题满分12分)解： 若命题p为真，可得280(a a ∆=-<⇒∈- ………… 4分若命题q 为真，可知圆224x y +=和圆22()1x a y ++=有交点，于是由图形不难得到[3,1][1,3]a ∈--，若令集合(A =-，集合[3,1][1,3]B =--， …… 9分可知集合A 和集合B 之间互不包含，于是命题p 是命题q 的既不充分也不必要条件. 12分17．(本小题满分14分) 解：(1)2()(2cos sin )(1cos sin )(sin cos )2xf x a x b a x x b a x x a b =++=+++=+++sin()4x a b π=+++ ………… 5分若1a =,则())14f x x b π=+++由22242k x k πππππ-≤+≤+，k Z ∈ 得32244k x k ππππ-≤≤+，k Z ∈ ∴1a =时，()f x 的单调递增区间为3[2,2]()44k k k Z ππππ-+∈ …………… 9分⑵ 由0x π≤≤得5444x πππ≤+≤∴sin()14x π≤+≤ 又0a <∴1)sin()4a b x a b b π+≤+++≤依题意，得1)34a b b ⎧++=⎪⎨=⎪⎩解得14a b ⎧=-⎪⎨=⎪⎩故1a =-4b = …………… 14分18．(本小题满分14分) 解：(1)根据题意有2222604(602)2408S x x x x =---=-28(15)1800(030)x x =--+<< 所以x =15cm 时包装盒侧面积S 最大. ………… 6分(2)根据题意有22)(602)(30)(030)2V x x x =-=-<<，所以，(20)V x '=-；当020x <<时，0V '>，当2030x <<时，0V '< 所以， 当x =20时，V 取极大值也是最大值. 此时，包装盒的高与底面边长的比值为(602)12x -=答:当x =20(cm )时包装盒容积V （cm 3）最大,此时包装盒的高与底面边长的比值为12. 14分19．(本小题满分14分) 解：(1)()2(0)a f x x x '=+> 令()0f x '=得2a x =- 当0a ≥时，()0f x '≥ ∴函数()2ln f x x a x =+在区间(0,)+∞上单调递增；当0a <时， 若02a x <<-，则()0f x '<；若2ax >-，则()0f x '> ∴函数()2ln f x x a x =+在区间(0,)2a -上单调递减，在区间(,)2a-+∞上单调递增.综上所述，当0a ≥时，函数()f x 的单调增区间为(0,)+∞；(18)第题图当0a <时，函数()f x 的单调减区间为(0,)2a -，单调增区间为(,)2a-+∞. ……… 4分 (2)由(1)知，当0a ≥时，函数()f x 至多有一个零点，不符合题意，∴0a < 又由(1)知，若0a <，则函数()f x 在2a x =-处取得极小值()ln()22a a f a a -=-+- ∴函数()f x 有两个零点0ln()02a aa a <⎧⎪⇔⎨-+-<⎪⎩ 解得2a e <- ∴a 的取值范围是(,2)e -∞- …………8分 (3) 由(1) (2)知，当0a ≥时，函数()f x 无最小值；当0a <时，min ()()()ln()22aa h a f x f a a ==-=-+-对于,(,0)m n ∀∈-∞且m n ≠，有ln()ln()()()22()[ln()]222224m n m m n n h m h n m n m n m n m n h -+--+-+++++-=--+-22ln()ln()ln()ln ln22222422m m n n m n m n m m n nm n m n++=-+---=+++ ………10分 不妨设0m n <<，则1m n >，令(1)mt t n=>，则2()()222()(lnln )(ln ln )22221111m h m h n m n n m n t n h t m m n t t n n⋅++-=+=+++++ 设22()ln ln ln 2ln(1)ln 2ln(1)11t u t t t t t t t t t =+=-++-+++则12()ln 21ln(1)ln 0111t tu t t t t t t '=+-+--=≥+++ 当且仅当1t =时取“=”所以函数()u t 在[1,)+∞上单调递增，故1t >时，()(1)0u t u >=又0n <，∴22(ln ln )0211n t t t t +<++ 即()()()022h m h n m nh ++-< 所以()()()22h m h n m nh ++< ……… 14分 20．(本小题满分14分)解：(1)因为201191229=⨯+，所以22,9q r ==. …………2分 (2)证明：假设存在这样的函数:{1,2,3}f A →，使得对任意的整数,x y A ∈，若||{1,2,3}x y -∈，则()()f x f y ≠. 设(1),{1,2,3},(2),{1,2,3}f a a f b b =∈=∈， 由已知a b ≠，由于|31|2,|32|1-=-=，所以(3)(1),(3)(2)f f f f ≠≠.不妨令(3),{1,2,3}f c c =∈，这里c a ≠，且c b ≠，同理，(4)f b ≠，且(4)f c ≠，因为{1,2,3}只有三个元素，所以(4)f a =.即(1)(4)f f =，但是|41|3-=，与已知矛盾. 因此假设不成立，即不存在这样的函数:{1,2,3}f A →，使得对任意的整数,x y A ∈，若||{1,2,3}x y -∈，则()()f x f y ≠. ………… 8分(3)当8m =时，记{7|1,2,,16}M i i =+=，{2(7)|1,2,3,4}N i i =+=，记P = M N则()12card P =，显然对任意116i j ≤<≤，不存在3n ≥，使得7(7)j n i +=+成立.故P 是非“和谐集”，此时{8,9,10,11,12,13,14,15,17,19,21,23}P =.同样的，当9,10,11,12m =时，存在含m 的集合A 的有12个元素的子集为非“和谐集”. 因此7m ≤.下面证明：含7的任意集合A 的有12个元素的子集为“和谐集”. 设1211{,,,,7}B a a a =，若1,14,21中之一为集合B 的元素，显然为“和谐集”.现考虑1,14,21都不属于集合B ，构造集合1{2,4,8,16}B =，2{3,6,12}B =，3{5,10,20}B =，4{9,18}B =，5{11,22}B =，{13,15,17,19,23}B '=.以上12345,,,,B B B B B 每个集合中的元素都是倍数关系.考虑B B ⊆'的情况，也即B '中5个元素全都是B 的元素，B 中剩下6个元素必须从12345,,,,B B B B B 这5个集合中选取6个元素，那么至少有一个集合有两个元素被选，即集合B 中至少有两个元素存在倍数关系.综上所述，含7的任意集合A 的有12个元素的子集B 为“和谐集”，即m 的最大值为7.………… 14分。

焦作市博爱一中2024—2025学年高三（上）期中考试数 学考生注意：1.答题前，考生务必用黑色签字笔将自己的姓名、准考证号、座位号在答题卡上填写清楚；2.每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，在试卷上作答无效；3.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知函数过定点M ，点M 在直线上且，则的最小值为（ ）A. B. C. D.2.设，，，则，，的大小关系为（ ）A. B. C. D.3.人脸识别就是利用计算机检测样本之间的相似度，余弦距离是检测相似度的常用方法.假设二维空间中有两个点为坐标原点，定义余弦相似度为，余弦距离为.已知点，若P ，Q 的余弦距离为（ ）A. B.C. D.4.若复数且，则满足的个数为（ ）A.0B.2C.1D.45.已知在中，.若与的内角平分线交于点，的外接圆半径为，则面积的最大值为（ ）A. B.6.已知点为椭圆上第一象限的一点，左、右焦点为的平分线与轴交于点，过点作直线的垂线，垂足为为坐标原点，若，则面积为（ ）B.C.D.3()1x f x a -=1mx ny +=,0m n >12m n+3+4+34128a =3log 2b =2log 3c =a b c a b c<<b a c<<b c a<<c a b<<()()1122,,,,A x y B x y O cos(,)A B =cos ,OA OB 〈〉1cos(,)A B -(sin ,cos ),(1,0)P Q ααcos 2=α15-1535-35()i ,z x y x y =+∈R 5i z -+=21x y --=z ABC V cos cos sin a B b A c C +=BAC ∠ABC ∠I ABC V 1ABI △1+11-1P 22:143x y C +=1212,,F F F PF ∠x M 1F PM ,H O 12OH =12F PF 327.假设甲袋中有3个白球和2个红球,乙袋中有2个白球和2个红球.现从甲袋中任取2个球放入乙袋,再从乙袋中任取2个球.已知从乙袋中取出的是2个白球,则从甲袋中取出的也是2个白球的概率为（ ）A.37150B.975C.1837D.128.已知数列满足，且，若函数，记，则数列的前9项和为（ ）A.0B. C.D.二、多项选择题：本题共３小题，每小题６分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，若只有2个正确选项，每选对1个得3分；若只有3个正确选项，每选对1个得2分.9.记实数，，，中的最大数为，最小数为.已知函数，，其中，，分别为内角，，的对边，且，则下列说法正确的是（ ）A.当时，的最小值为B.若的图象关于直线对称，则C.“”是“为等边三角形”的充要条件D.“”是“为等边三角形”的必要不充分条件10.已知函数，下列结论正确的是（ ）A.的最小正周期为B.若直线是图象的对称轴，则C.在上的值域为D.若，且，则11.如图，正方体的棱长为4，点E 、F 、G 分别在棱、、上，满足，，记平面与平面的交线为，则（ ）{}n b *211,n n n n b b b b n +++-=-∈N 5π2b =()2cos sin cos 2xg x x x =+()n n a gb ={}n a 92-12921x 2x L n x {}12max ,,,n x x x {}12min ,,,n x x x (){}min ,f x x x t =+max ,,min ,,a b c a b c k b c a b c a ⎧⎫⎧⎫=⋅⎨⎬⎨⎩⎭⎩⎭a b c ABC V A B C a b c ≤≤1t =-()f x 12()f x 12x =-1t =1k =ABC V 1k =ABC V ()sin 2cos f x x x =+()f x 2π0x x =()f x 0sin x =()f x []0,π⎡-⎣(],,0,2παβαβ≠∈()()2f f αβ==-()3cos 5αβ+=1111ABCD A B C D -11D A 11D C 1A A 11111114D E D F D A D C ==11(0)A GA Aλλ=>EFG 11A B CD lA.存在使得平面截正方体所得截面图形为四边形B.当时，三棱锥体积为C.当时，三棱锥的外接球表面积为D.当时，直线与平面所成的角的正弦值为三、填空题：本大题共3个小题，每小题5分，共15分.12.从，，，2，3，4，6，9中任取两个不同的数，分别记为，，记“”，则 .13.已知函数，在区间上的单调函数，其中是直线l 的倾斜角，则的所有可能取值区间为 .14.已知函数，若不等式仅有1个整数解，则实数的取值范围为 .四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.（13分）已知函数 f (x )=a ⋅3x +13x−1是定义域为 R 的偶函数.（1）求 a 的值；（2）若 g (x )=9x +9−x +mf (x )+m 2−1，求函数g (x ) 的最小值.16.（15分）在某地区进行高中学生每周户外运动调查，随机调查了名高中学生户外运动的时间（单位：小时），得到如下样本数据的频率分布直方图.(0,1)λ∈EFG 34λ=B EFG -3234λ=1A EFG -34π12λ=l ABCD 141312m n A =log 0m n <()P A =()21tan 32f x x x θ=++2πθ⎛⎫≠ ⎪⎝⎭⎡⎤⎢⎥⎣⎦θθ43()()ln f x a x x x x =--()0f x <a 1000(1)求的值，估计该地区高中学生每周户外运动的平均时间；（同一组数据用该区间的中点值作代表）(2)为进一步了解这名高中学生户外运动的时间分配，在，两组内的学生中，采用分层抽样的方法抽取了人，现从这人中随机抽取人进行访谈，记在内的人数为，求的分布列和期望；(3)以频率估计概率，从该地区的高中学生中随机抽取名学生，用“”表示这名学生中恰有名学生户外运动时间在内的概率，当最大时，求的值.17.（15分）记的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知.(1)求A 取值的范围；(2)若，求周长的最大值；(3)若，求的面积.a 1000(]14,16(]16,18553(]14,16X X 8()8P k 8k (]8,10()8P k k ABC V ()()sin sin sin sin C A B B C A -=-2a =ABC V 2,2b A B ==ABC V18.（17分）如图，正方形的边长为2，，分别为，的中点.在五棱锥中，为棱上一点，平面与棱，分别交于点，.(1)求证：；(2)若底面，且，直线与平面所成角为.（i ）确定点的位置，并说明理由；（ii ）求线段的长.19.（17分）已知数列的前n 项和.若，且数列满足.(1)求证：数列是等差数列；(2)求证：数列的前n 项和；(3)若对一切恒成立，求实数的取值范围.焦作市博爱一中2024—2025学年高三（上）期中考试数学 参考答案一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个AMDE B C AM MD P ABCDE -F PE ABF PD PC G H AB FG ∥PA ⊥ABCDE PA AE =BC ABF π6F PH {}n a ()()113n n S a n *=-∈N 1423log n n b a +={}n c n n n c a b =⋅{}n b {}n c 23n T <()2114n c t t ≤+-n *∈N t选项中，只有一项是符合题目要求的.1.【答案】A2.【答案】C3.【答案】D4.【答案】A5.【答案】C6.【答案】C7.【答案】C8.【答案】D二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，若只有2个正确选项，每选对1个得3分；若只有3个正确选项，每选对1个得2分.9.【答案】BD 10.【答案】ACD 11.【答案】BD三、填空题：本大题共3个小题，每小题5分，共15分.12.【答案】13.【答案】，14.【答案】四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.（13分）（1）由偶函数定义知 f (−x )=f (x ) ，即 a ⋅3−x +13−x−1=a ⋅3−x +3⋅3x=a ⋅3x +3⋅3−x ，所以 (a−3)(3x −3−x )=0，对 ∀x ∈R 成立，所以a =3.（2）由题意知 g (x )=9x +9−x +mf (x )+m 2−1=32x +3−2x +m (3⋅3x+13x−1)+m 2−1，令 u =3x +3−x ,u⩾2，所以 u 2=(3x +3−x )2=32x +3−2x +2，所以 32x +3−2x =u 2−2，所以 y =g (x )=u 2−2+3mu +m 2−1=u 2+3mu +m 2−3,u⩾2.当 −3m 2⩽2 ，即 m⩾−43时，y =u 2+3mu +m 2−3 在 [2,+∞) 上单调递增，所以 y min =22+3m ×2+m 2−3=m 2+6m +1 ，即 g (x )min =m 2+6m +1；15283ππ,π[46⎡⎫⋃⎪⎢⎣⎭π2ln 3ln 2[,184当 −3m 2>2 ，即 m <−43时，y =u 2+3mu +m 2−3 在 (2,−3m 2) 上单调递减，在(−3m 2,+∞) 上单调递增，所以 g (x )min =−54m 2−3 .综上， g (x )min ={−54m 2−3,m <−43,m 2+6m +1,m⩾−43.16.（15分）（1）由已知，解得，所以平均数为.（2）这名高中学生户外运动的时间分配，在，两组内的学生分别有人，和人；所以根据分层抽样可知人中在的人数为人，在内的人数为人，所以随机变量的可能取值有，，所以，，则分布列为期望；（3）由频率分布直方图可知运动时间在内的频率为，则，若为最大值，则，即，即，解得，又，且，则.17.（15分）【答案】(1)；(2)6；(3).()20.020.030.050.050.150.050.040.011a ++++++++=0.1a =10.0430.0650.170.190.3⨯+⨯+⨯+⨯+⨯110.2130.1150.081706290.1.+++⨯=⨯+⨯⨯1000(]14,16(]16,1810000.0880⨯=10000.0220⨯=5(]14,1680548020⨯=+(]16,18541-=X 23()2435C 32C 5P X ===()3435C 23C 5P X ===()321223555E X =⨯+⨯=(]8,1030.1520.310⨯==()888883337C 1C 10101010kkkkk k P k --⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅-=⋅⋅ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭()8P k ()()()()888811P k P k P k P k ⎧≥+⎪⎨≥-⎪⎩8171888191883737C C 101010103737C C 10101010k k k kk k k k k kk k -+-+----⎧⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅⋅≥⋅⋅⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎨⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⋅⋅≥⋅⋅ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎩1713810110131710910k k k k ⎧⋅≥⋅⎪⎪-+⎨⎪⋅≥⋅⎪-⎩ 1.7 2.7k ≤≤N k ∈08k ≤≤2k =π(0,]3A ∈218.（1）在正方形中，，又平面平面，所以平面，又平面，平面平面，则；（2）（i ）当为中点时，有直线与平面所成角为，证明如下：由平面，可得建立空间直角坐标系，如图所示：则，又为中点，则，设平面的一个法向量为n =(x,y,z )，则有，即，令，则，则平面的一个法向量为，设直线与平面所成角为，则，故当为中点时，直线与平面所成角的大小为.（ii ）设点的坐标为，因为点在棱上，所以可设，即，所以，因为是平面的法向量，所以，即，解得，故，则，所以.19.（17分）（1）证明：由题意知，当时，，所以.当时，，所以，AMDE //AB DE AB ⊄,PDE DE ⊂PDE //AB PDE AB ⊂ABFG ABFG ⋂PDE FG =AB FG ∥F PE BC ABF π6PA ⊥ABCDE ,,PA AB PA AE ⊥⊥A xyz -()()()()0,0,0,1,0,0,2,1,0,0,0,2A B C P F PE ()()()()0,1,1,1,1,0,1,0,0,0,1,1F BC AB AF ===ABF 00n AB n AF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 00x y z =⎧⎨+=⎩1z =1y =-ABF ()0,1,1n =-BC ABF α||1sin |cos ,|2||||n BC n BC n BC α⋅=<>==F PE BC ABF π6H (),,u v w H PC ()01PH PC λλ=<<()(),,22,1,2u v w λ-=-2,,22u v w λλλ===-()0,1,1n =-ABFGH 0n AH ⋅=()()0,1,12,,220λλλ-⋅-=23λ=422,,333H ⎛⎫⎪⎝⎭424,,333PH ⎛⎫=- ⎪⎝⎭2PH ==1133n n S a =-2n ≥111133n n n n n a S S a a --=-=-114n n a a -=1n =1111133S a a =-=114a =所以数列是以为首项，为公比的等比数列，所以.因为，所以，所以，令，可得，所以数列是以1为首项，3为公差的等差数列.（2）证明：由（1）知，所以，所以，两式相减，可得，所以，所以.（3）若对一切恒成立，只需要的最大值小于或等于.因为，所以，所以数列的最大项为和，且.所以，即，解得或，即实数的取值范围是.{}n a 1414()14nn a n *⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭N 1423log n n b a +=114413log 23log 2324nn n b a n ⎛⎫=-=-=- ⎪⎝⎭11b =()11n b b n d =+-3d ={}n b ()1324nn n n c a b n ⎛⎫=⋅=⨯- ⎪⎝⎭()()211211111435324444n nn n T c c c n n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++=⨯+⨯++⨯-+⨯- ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭()()2311111114353244444n n n T n n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯++⨯-+⨯- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭()231311111133332444444nn n T n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯+⨯++⨯-⨯- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭()21111114411113233214424414n n n n n n -++⎡⎤⎛⎫⎛⎫-⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭-⎢⎥⎛⎫⎣⎦=+⨯-⨯-=-- ⎪⎝⎭-2321334nn n T +⎛⎫=-⨯ ⎪⎝⎭23n T <()2114n c t t ≤+-n *∈N n c ()2114t t +-()()111119931320444n nn n n nc c n n +++-⎛⎫⎛⎫-=+⨯--⨯=≤ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭1234c c c c =>>> {}n c 1c 2c 1214c c ==()211144t t ≤+-220t t +-≥1t ≥2t ≤-t (][),21,-∞-+∞。

南阳市2022年秋期高中三年级期中质量评估数学试题（理）注意事项:1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.考生做题时将答案答在答题卡的指定位置上,在本试卷上答题无效.2.答题前,考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.3.选择题答案使用2B 铅笔填涂,非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性(签字)笔或碳素笔书写,字体工整,笔迹清楚.4.请按照题号在各题的答题区域(黑色线框)内作答,超出答题区域书写的答案无效.5.保持卷面清洁,不折叠、不破损．第Ⅰ卷 选择题(共60分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1. 已知集合40,{54}1x A x B x x x -⎧⎫=≤=-<<⎨⎬+⎩⎭∣∣, 则()R A B ⋂=ðA. (,1](4,)-∞-⋃+∞B. (,1)(4,)-∞-⋃+∞C. (-5,-1)D. (-5,-1]2. 若||||2z i z i +=-=, 则||z = A. 1D. 23. 若,x y 满足3020x x y x y ≤⎧⎪+≥⎨⎪-+≥⎩ 则2y -的最小值是A. -1B. -3C. -5D. -74. 已知数列{}n a 的前n 项和211n S n n =-. 若710k a <<, 则k = A. 9B. 10C. 11D. 125.已知sin 12x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭, 则cos 26x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭A. 58-B. 58C. 4-D.46. 在ABC 中,30,C b c x ︒===. 若满足条件的ABC 有且只有一个, 则x 的可能取值是 A.12B.2C. 17. 若函数()(sin )x f x e x a =+在点(0,(0))A f 处的切线方程为3y x a =+, 则实数a 的值为 A. 1B. 2C. 3D. 48. 在ABC 中, 角,,A B C所对的边分别为,,cos ),a b c c b A a b -==则ABC 的外接圆面积为A. 4πB. 6πC. 8πD. 9π9. 函数()sin()0,02f x x πωϕωϕ⎛⎫=+><< ⎪⎝⎭在区间5,66ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的图像如图所示, 将该函数图像上各点的横坐标缩短到原来的一半 (纵坐标不变), 再向右平移(0)θθ>个单位长度后, 所得到的图像关于点7,024π⎛⎫⎪⎝⎭对称, 则θ的最小值为A.76π B. 6πC. 8πD. 724π10. 已知定义在R 上的函数()f x 满足:(3)(3),(6)(6)f x f x f x f x +=-+=--, 且当[0,3]x ∈时,()21()x f x a a =⋅-∈R , 则(1)(2)(3)(2023)f f f f ++++=A. 14B. 16C. 18D. 2011. 已知:2221tan log 38,21tan 8a b c ππ-===+, 则 A. a b c << B. a c b << C. c a b << D. c b a <<12. 已知正数,a b 满足221ln(2)ln 1a a b b +≤-+, 则22a b +=A.52C.32第Ⅱ卷 非选择题（共 90 分)二、填空题 (本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13. 已知2()lg5lg(10)(lg )f x x x =⋅+, 则(2)f =_____.14. 在ABC 中,3,4,8AB BC CA CB ==⋅=, 则AB 边上中线CD 的长为_____.15. 已知函数sin ,sin cos ,()cos ,sin cos ,x x x f x x x x ≤⎧=⎨>⎩则1()2f x <的解集是_____.16. 若方程2ln 1x x e ax x -=--存在唯一实根,则实数a 的取值范围是_____.三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17. (本题满分 10 分)已知函数22()2cos sin 3f x x x π⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭.(1)求函数()y f x =的单调递增区间;(2) 若函数()()02g x f x πϕϕ⎛⎫=+<< ⎪⎝⎭的图像关于点,12π⎛⎫ ⎪⎝⎭中心对称,求()y g x =在,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域.18. (本题满分 12 分)已知数列{}n a 和{}n b 满足:)*121,2,0,n n a a a b n ==>=∈N ,且{}n b 是以 2 为公比的等比数列. (1) 证明: 24n n a a +=;(2) 若2122n n n c a a -=+, 求数列{}n c 的通项公式及其前n 项和n S . 19. (本题满分 12 分)已知函数()ln ,()(1)f x x x g x k x ==-. (1) 求()f x 的极值;(2) 若()()f x g x ≥在[2,)+∞上恒成立, 求实数k 的取值范围. 20. (本题满分 12 分)数列{}n a 中,n S 为{}n a 的前n 项和,()()*24,21n n a S n a n ==+∈N . (1)求证: 数列{}n a 是等差数列,并求出其通项公式;(2) 求数列12n S n ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的前n 项和n T .21. (本题满分 12 分)已知,,a b c 分别是ABC 的内角,,A B C 所对的边, 向量(sin ,sin ),(cos ,cos )A B B A ==m n（1）若234,cos 3a b C ==, 证明: ABC 为锐角三角形; （2）若ABC 为锐角三角形, 且sin 2C ⋅=m n , 求ba的取值范围.22. (本题满分 12 分)已知函数21()12x f x e x ax =---, 若()()()2g x h x f x +=, 其中()g x 为偶函数,()h x 为奇函数.（1）当1a =时,求出函数()g x 的表达式并讨论函数()g x 的单调性;(2) 设()f x '是()f x 的导数. 当[1,1],[1,1]a x ∈-∈-时,记函数|()|f x 的最大值为M , 函数()f x '的最大值为N . 求证:M N <.高三（理）数学参考答案第1页（共6页）2022年秋期高中三年级期中质量评估数学试题（理）参考答案一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）题号123456789101112答案DCDBBDBDCABA二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.114．215．13(2,2)()36k k k Z ππππ++∈16．(]1,01e ⎧⎫-∞⋃+⎨⎬⎩⎭三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．【解析】(1)211cos 21cos 221cos 21cos 2322()2222x x x x x f x π⎛⎫-++ ⎪++⎝⎭=+=+31sin 2cos 21sin 24423x x x π⎛⎫=++=++ ⎪⎝⎭．………………………………3分令5222,,2321212k x k k k x k πππππππππ-+≤+≤+∈-+≤≤+Z，∴()y f x=的单调递增区间为5,,1212k k k ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦Z ……………………5分(2)()12()12233g x x x ππϕϕ⎡⎤⎛⎫=+++=+++ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭．………………6分∵()y g x =关于点,12π⎛⎫⎪⎝⎭中心对称，高三（理）数学参考答案第2页（共6页）∴222,,2332k k k ππππϕπϕ⋅++=∈=-+Z ，……………………………………7分∵02πϕ<<，∴3πϕ=．∴()1)1sin 222g x x x π=++=-………………………………………8分当2,,2,6333x x ππππ⎡⎤⎡⎤∈∈⎢⎢⎥⎣⎦⎣⎦∴sin 2x ⎤∈⎥⎣⎦…………………………………9分所以1()1,24g x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦.………………………………………………………10分18．【解析】(1)由n b =得，2211==a a b ，故211222--=⋅=n n n b …………………………………………………………2分则12212)(-+==n n n n b a a ①所以，12212+++=n n n a a ②………………………………………………………4分由①②得，n n a a 42=+．…………………………………………………………6分(2)由（1）知数列}{2n a 和数列}{12-n a 均为公比为4的等比数列，…………8分所以，1212224--=⋅=n n n a a ，22111-224--=⋅=n n n a a 2122n n n c a a -=+=1122245222---⨯=⋅+n n n .…………………………………10分所以，)14(3541455-=-⨯-=nn n S ………………………………………………12分高三（理）数学参考答案第3页（共6页）19．【解析】(1)()f x 的定义域是(0,)+∞,()ln 1f x x '=+,令()0,f x '=则1x e=，……………………………………………………………2分当1(0,)x e∈，()0,f x '<()f x 单调递减，当1(,)x e∈+∞，()0,f x '>()f x 单调递增，所以()f x 在1x e=处取得极小值，………………………………………………4分故()f x 有极小值1e-，无极大值.…………………………………………………5分(2)（法一）由()()f x g x ≥在[)2,+∞上恒成立,即ln 1x x k x ≤-在[)2,+∞上恒成立，只需min ln ()1x xk x ≤-…………………………7分令ln ()1x xh x x =-，则2ln 1()(1)x x h x x --'=-，………………………………………9分令()ln 1x x x ϕ=--，则1()x x xϕ-'=，………………………………………10分易知当(1,)x ∈+∞时，()0x ϕ'>，()x ϕ单调递增，所以()(0)0x ϕϕ≥=，所以ln 10x x -->，即()0h x '>，即()h x 单调递增，故min ()(2)2ln 2h x h ==.…………………………………………………………11分所以k 的取值范围是(],2ln 2-∞.…………………………………………………12分（法二）由题(ln 1)k x x x -≥，即(n 1)l k x x x -≥，令(1)()ln h x x k x x=--………6分则22(11())kx k x x kh x xx x '=--=--，…………………………………………………7分高三（理）数学参考答案第4页（共6页）当2k ≤时，0x k ->，()0f x '>，()f x 递增，所以min ()(2)ln 202kh x h ==-≥，所以2ln 2k ≤；…………………………………9分当2k >时，有x k >时，()0f x '>，()f x 递增，x k <时，()0f x '<，()f x 递减，即min ()()ln (1)h x h k k k ==--，可证ln (1)0k k --<，显然不合题意，舍去.…11分综上，所以k 的取值范围是(],2ln 2-∞.…………………………………………………12分20．【解析】(1)当1n =时，则1121a a =+，所以11a =，因为)1(2+=n n a n S ①所以，当2n ≥时，)1(1-21-1-+=n n a n S ）（②…………………………2分①-②得：()()()1211,2n n n a n a n --=--≥，③故，()()()12321,3n n n a n a n ---=--≥，④③-④得：()1223n n n a a a n --=+≥，所以{}n a 为等差数列，…………………………5分又213d a a =-=，所以，()13132n a n n =+-=-；…………………………6分(2)由()()21n n S n a n N *=+∈得2)13(-=n n S n ，故1221211(2(33)3(1)31n S n n n n n n n ==⋅=-++++，.………………………9分故1231111211111...)()...()]246232231n n T S S S S n n n =++++=-+-+++++++212(1313(1)nn n =-=++…………………………………………………………12分21．【解析】高三（理）数学参考答案第5页（共6页）（1）令3412(0)a b k k ==>，由2222222(4)(3)cos ,32243a b c k k c C ab k k +-+-===⨯⋅3c k ∴=.………………………………………………………………………………2分即4,3,3a k b k c k ===，从而a 边最大，…………………………………………3分又222222(3)(3)(4)21cos 02233189b c a k k k A bc k k +-+-====>⋅⋅，即A 为锐角,………5分∴ABC ∆为锐角三角形．……………………………………………………………6分（2）因为sin cos sin cos sin()A B B A A B ⋅=⋅+⋅=+m n ，而在ABC △中，π,0πA B C C +=-<<，所以sin()sin A B C +=，又sin 2C ⋅=m n ，所以sin 2sin ,C C =得1cos 2C =，所以π3C =.……………………………………7分又ABC ∆为锐角三角形，1022π1032A A ππ⎧<<⎪⎪∴⎨⎪<-<⎪⎩，解得,tan 623A A ππ<<>, (8)分1sin sin sin 1322sin sin sin 2A A Ab B a A A A π⎛⎫+ ⎪⎝⎭==== ,………………………10分结合3tan 3A >12+∈1,22⎛⎫⎪⎝⎭.…………………………………………11分所以1,22b a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭.………………………………………………………………………12分22．【解析】(1)当1=a 时，21()12xf x e x x =---，由题()()()2g x h x f x +=，其中)(x g 为偶函数，)(x h 为奇函数，易知()()()g x f x f x =+-，从而得2()2x x g x e e x -=+--.………2分所以'()2x x g x e e x -=--.令()'()x g x ϕ=，则'()2x x x e e ϕ-=+-.因为'()220x x x e e ϕ-=+-≥=，当且仅当0x =时等号成立，高三（理）数学参考答案第6页（共6页）所以'()g x 在R 上单调递增.………………………………………………………………4分注意到()'00g =，当(,0)x ∈-∞时，'()0g x <，(0,)x ∈+∞时，'()0g x >.所以()g x 在(,0)-∞上单调递减，在(0,)+∞上单调递增.………………………………5分（2）由()f x 的定义域是R .'()x f x e x a =--，设函数()x h x e x a =--，则'()1x h x e =-.令'()0h x =，得0x =.……………………6分因为)'(h x 在R 上单调递增，所以当(,0)x ∈-∞时'()0h x <，当(0,)x ∈+∞时'()0h x >.因此()h x 在(,0)-∞上单调递减，在(0,)+∞上单调递增.于是()()010h x h a ≥=-≥，即'()0f x ≥,所以()f x 在R 上单调递增..………………………………………………………………7分注意到()00f =，所以在(),0-∞上()0f x <，在()0,∞+上()0f x >.所以函数(),0()(),0f x x y f x f x x -<⎧==⎨≥⎩，()y f x =在(),0-∞上单调递减，在()0,∞+上单调递增.故()(){}()-1,1max f x maxf f =，…………………………………………………8分又]1,1[-∈a ()()3313311,12222f e a e a f a a e e=--=---=-+=--|(1)||(1)|f f --=013<--e e ，因此max 3|()||(1)|2f x f e a ==--.……………9分又()max max 3|'()|111|()|2f x f e a e a e a f x '≥=--=-->--=，……………11分所以|()||'()|max max f x f x <,即M N <…………………………………………………12分。

A10联盟2024届高三上学期11月段考数学试题本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.满分150分，考试时间120分钟.请在答题卷上作答.第Ⅰ卷选择题（共60分）一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.2023i 25i-的虚部为（）A.529-B.529C.229-D.2292.已知集合2,3k M x x k +⎧⎫==∈⎨⎬⎩⎭Z ，2,3N x x k k ⎧⎫==+∈⎨⎬⎩⎭Z ，则（）A.M N M= B.M N M= C.M N =∅ D.M N=3.函数()3e e x xx f x -=-的部分图象大致为（）A. B.C. D.4.在ABC △中，点M 是线段BC 上靠近B 的三等分点，点N 是线段AC 的中点，则AM =（）A.23BN AC-+ B.2433BN AC-+ C.53BN AC-+D.2233BN AC-+ 5.在平面直角坐标系xOy 中，设角α的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，若角α的终边过点()4,3P -，则()3sin 2cos 22παπα⎛⎫++-= ⎪⎝⎭（）A.1425-B.1425C.1725-D.17256.已知m ，n ，l 为三条不同的直线，α，β为两个不同的平面，则下列命题错误的是（）A.若m n ∥，n α∥，m α⊄，则m α∥ B.若m n ⊥，m l ⊥，n α∥，l α∥，则m α⊥C.若m β∥，m α⊂，n αβ= ，则m n ∥ D.若αβ∥，m α⊥，n β⊥，则m n ∥7.已知定义在R 上的函数()F x 满足：()10F =，当1,32x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0F x '<.若()()f x xF x =，则下列说法错误的是（）A.()10f '< B.()20f <C.()1,3x ∀∈，()0f x '< D.1,12x ⎛⎫∀∈⎪⎝⎭，()0f x >且()0f x '>8.已知正三棱锥S ABC -底面边长为1，侧棱长为2，过棱SA 的中点D 作与该棱垂直的截面分别交SB ，SC 于点E ，F ，则截面DEF 的面积为（） A.1149B.21149 C.31149D.117二、选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）9.若函数()f x 的图象关于点()2,3中心对称，则()f x 的解析式可以是（）A.()sin 3f x x π=+B.()372x f x x -=-C.()32619f x x x =-+ D.())lg 3f x x =+10.已知单位向量a ，b的夹角为θ，则（）A.1cos 22a bθ=+ B.1sin 22a bθ=- C.若21a b += ，则56πθ=D.若21a b += ，则23πθ=11.已知a ，b ，c ，()0,d ∈+∞，且46a b +=，22c d +=，则（）A.22542c d +≥B.22226485a b c d +++≥C.1153a b +≥+≤12.已知函数()()221f x x x λ=--+在11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上无极值点，则实数λ的值可能是（）A.1- B.1 C.2D.4第Ⅱ卷非选择题（共90分）三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分.）13.已知函数()ln f x x x =+，过原点作曲线()y f x =的切线l ，则切线l 的斜率为______.14.已知向量a ，b 满足2a b ⋅=- ，4a =，b 在a 方向上的投影向量为c ，则c = ______a .（用数字作答）15.，体积为3cm ，则经过该圆锥的两条母线的截面面积的最大值为______2cm .16.当异物卡在气管内迫使人咳嗽时，膈肌向上推动，导致肺部压力增加，与此同时，气管收缩，导致排出物移动更快，并增加异物的压力.已知咳嗽的数学模型()42121log log 1232v r r r r ⎛⎫=+≤≤ ⎪+⎝⎭，其中v （厘米/秒）表示通过人的气管的气流速度，r （厘米）表示气管半径，则咳嗽的气流最大速度约为______厘米/秒.（结果精确到0.1，参考数据：2log 3 1.585≈）四、解答题（本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.（本小题满分10分）已知幂函数()()22255m mf x m m x-=-+在()0,+∞上单调递减，函数()2xg x k =-.（1）求m 的值；（2）记集合()[]{},1,2A y y f x x ==∈，集合()[]{},1,1B y y g x x ==∈-，若A B A = ，求实数k 的取值范围.18.（本小题满分12分）已知M ，N 分别为函数()()()cos 0,0,0f x A x A ωϕωϕπ=+>><<图象上相邻的最高点和最低点，MN =，将函数()f x 的图象向左平移6π个单位长度后得到函数()g x 的图象，()g x 为奇函数.（1）求函数()f x 的解析式；（2）当3,04x π⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，关于x 的方程()0f x m -=有两个不同的实数解，求实数m 的取值范围.19.（本小题满分12分）如图，在直五棱柱ABCDE A B C D E '''''-中，22AB AE DE AA '====，BC CD ==，2BAE BCD π∠=∠=，F 为AE 的中点.（1）求证：B C E F ''⊥；（2）求平面B E F ''与平面CE F '夹角的余弦值.20.（本小题满分12分）如图，平面四边形ABCD 的对角线分别为AC ，BD ，其中AB =，BC CD ⊥，23BCD ABC ∠=∠.（1）若2BC =，ACD △的面积为3142，求BCD △的面积；（2）若13ADC BCD ∠=∠，2AD AB =，求cos ACD ∠的值.21.（本小题满分12分）已知()f x 是定义在R 上的奇函数，且当0x <时，()12xf x =-.（1）求函数()f x 的解析式；（2）若()2212n f n λλ--≤⋅对任意*n ∈N 恒成立，求实数λ的取值范围.22.（本小题满分12分）已知()()2e e213xxf x a a x -=-++-.（1）讨论函数()f x 的单调性；（2）若函数()f x 有两个零点，求a 的取值范围.·A10联盟2024届高三上学期11月段考数学参考答案一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）题号12345678答案CBADABDB1.C 由题意得，()()()2023i 25i i 52i 25i 25i 25i 2929-+==---+，故所求虚部为229-，故选C.2.B 由题意得，32,3k N x x k +⎧⎫==∈⎨⎬⎩⎭Z ，故N M Ü，则M N M = ，故选B.3.A 由题意得，()f x 的定义域为{}0x x ≠，且()()()33e e e ex xx x x x f x f x ----===--，所以()f x 为偶函数，排除CD ；又()1110e ef -=<-，排除B.故选A.4.D 作出图形如图，则12BN BA AN AB AC =+=-+，所以()1133AM AB BC AB AC AB =+=+- 21212223333333AB AC AB AC AC BN AC =+=-+=-+，故选D.5.A 由题意得，3sin 5α=-，则()3sin 2cos 2cos 2cos 22cos 22παπαααα⎛⎫++-=--=- ⎪⎝⎭()22314212sin 212525α⎡⎤⎛⎫=--=-⨯-⨯-=-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦.故选A.6.B B 中，若n l ∥，则未必有m α⊥，则B 的说法不一定正确.故选B.7.D由题意得，()()()f x F x xF x ''=+，∴()()()111f F F ''=+，∴()()110f F ''=<，故A 的说法正确；()()222f F =，∵1,32x ⎛⎫∈⎪⎝⎭时，()0F x '<，∴()F x 在1,32⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，又()10F =，∴()20F <，∴()20f <，故B 的说法正确；∵()()()f x F x xF x ''=+，()1,3x ∀∈，()0F x <，()0F x '<，∴()1,3x ∀∈，()0f x '<，故C 的说法正确；∵()F x 在1,32⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，又()10F =，∴1,12x ⎛⎫∀∈ ⎪⎝⎭，()0F x >，∴()()0f x xF x =>，∵1,12x ⎛⎫∀∈ ⎪⎝⎭，()0F x '<，∴()()()f x F x xF x ''=+的正负性无法判断，故D 的说法错误.故选D.8.B 由题易知，DE SA ⊥，DF SA ⊥，在SAB △中，由余弦定理得，4417cos 88ASB +-∠==，∴15tan 7ASB ∠=，157DE =，187cos 78SD SE ASB ===∠，同理，87SF SE ==，∴EF BC ∥，∴SE EF SB BC =，∴8721EF =，∴47EF =.过D 作DH EF ⊥于点H，则117DH ==，∴11411211227749DEF S EF DH =⨯⨯=⨯=△，故选B.二、选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）题号9101112答案ABCABDBDBD9.ABC对A ，sin y x π=关于()2,0中心对称，故()sin 3f x x π=+关于点()2,3中心对称，故A 正确；对B ，()371322x f x x x -==---，故()372x f x x -=-关于点()2,3中心对称，故B 正确：对C ，因为()()46f x f x +-=，所以()32619f x x x =-+关于点()2,3中心对称，故C 正确；对D ，易得()03f =，())4lg43f =+，不满足()()046f f +=，故D 错误.故选ABC.10.ABD由题意得，[]0,θπ∈，∴sin02θ≥，cos 02θ≥.∵()222211211cos a ba b a b θ+=++⋅=++⨯⨯⨯222cos 4cos 2θθ=+=，∴1cos 22a b θ=+ ，故A 正确；∵()2222a ba b a b -=+-⋅211211cos 22cos 4sin 2θθθ=+-⨯⨯⨯=-=，∴1sin 22a b θ=- ，故B正确；若21a b += ，则222221a b a b a b ++⋅=+⋅= ，∴12a b ⋅=- ，∴1cos 2θ=-，∴23πθ=，故C错误，D 正确.故选ABD.11.BD()2222422c d c d ++≥=，故A 错误；()()22222222886422a b c d a a d d +++=+-+-+()22464642415555a d ⎛⎫=-+-+≥ ⎪⎝⎭，故B 正确；()11111144566b a a b a b a b a b ⎛⎫⎛⎫+=++=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭13562⎛≥+≥ ⎝，当且仅当2b a =时等号成立，故C 错误；()()42a b c d ++48242442ac bc ad bd ac bd ac bd=+++≥+=+(222==+≤，故D 正确.故选BD.12.BD方法一：设()()221h x x x λ=--+，要使()f x 在无极值点，即()f x 在11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调，只需要2122102h λ-⎧≥⎪⎪⎨⎛⎫⎪≥ ⎪⎪⎝⎭⎩或2122102h λ-⎧≥⎪⎪⎨⎛⎫⎪-≤ ⎪⎪⎝⎭⎩或2122102h λ-⎧≤-⎪⎪⎨⎛⎫⎪-≥ ⎪⎪⎝⎭⎩或2122102h λ-⎧≤-⎪⎪⎨⎛⎫⎪≤ ⎪⎪⎝⎭⎩，解得932λ≤≤或112λ-≤≤，所以实数λ的取值范围19,13,22⎡⎤⎡⎤-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦.故选BD.方法二：用区间没有零点也可解答.三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分.）13.11e+由题意得，()11f x x '=+，设切点为()000,ln P x x x +，则切线方程为()000011ln y x x x x x ⎛⎫=+-++ ⎪⎝⎭，因为切线过原点，所以()00000101ln ln 1x x x x x ⎛⎫=+-++=-⎪⎝⎭，解得0e x =，所以()()01e 1ef x f ''==+.14.18-由投影向量定义知，b 在a 方向上的投影向量221168a ba abc a aa a⋅⋅-=⋅=⋅==-.15.4设该圆锥的底面半径和母线长分别为r ，l ，则213r π=，解得r =，∴)cm l ==.设SA ，SB 为圆锥的两条母线，当AB为底面直径时，221cos 2ASB +-∠==-，∴当2ASB π∠=时，经过该圆锥的两条母线的截面面积最大，为142⨯=.16.1.3由题意得，()42222212121212log log log log log log 2232323v r r r r r=+===++++()()22211log log 1log 31 1.585 1.322≤==+≈⨯+≈=，即23r =时取等号，即咳嗽的气流最大速度约为1.3厘米/秒.四、解答题（本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.（本小题满分10分）（1）由题意得，2551m m -+=，解得1m =或4m =，……2分当1m =时，()11f x xx-==，满足题意；……3分当4m =时，()8f x x =，此时()f x 在()0,+∞上单调递增，不满足题意.……4分综上，1m =.……5分（2）由（1）知，()1f x x =，则1,12A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦.……6分∵()2xg x k =-，∴1,22B k k ⎡⎤=--⎢⎥⎣⎦.……7分∵A B A = ，∴A B ⊆，∴112221k k ⎧-≤⎪⎨⎪-≥⎩，……9分解得01k ≤≤，即实数k 的取值范围为[]0,1.……10分18.（本小题满分12分）（1）由题意得，MN ==，……1分则2ω=，1A =，∴()()cos 2f x x ϕ=+，……2分∴()cos 2cos 263g x x x ππϕϕ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++=++ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，……3分∵()g x 为奇函数，∴()32k k ππϕπ+=+∈Z ，∴()6k k πϕπ=+∈Z ，……4分∵0ϕπ<<，∴6πϕ=，∴()cos 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.……5分（2）∵304x π-≤≤，∴42366x πππ-≤+≤，作出函数()f x 在3,04x π⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦上的图象和直线y m =，……8分由图知，当131,22m ⎫⎛⎤∈--⎪⎢ ⎥⎪⎝⎦⎣⎭ 时，函数()f x 在3,04x π⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦上的图象和直线y m =有两个不同的交点，即关于x 的方程()0f x m -=有两个不同的实数解，……9分综上，实数m 的取值范围是131,22⎫⎛⎤--⎪ ⎥⎪⎝⎦⎣⎭ .……12分19.（本小题满分12分）（1）证明：连接BD ，A F '，FC，∵BC CD ==，2BCD π∠=，∴2BD =，∵2AB AE DE ===，2BAE π∠=，∴四边形ABDE 是正方形，∵F 为AE 的中点，∴CF AE ⊥.……1分由题意得，EE '⊥平面ABCDE ，∴EE CF '⊥，……2分∵AE EE E '= ，∴CF ⊥平面AEE A ''，∴CF E F '⊥.……3分∵A B AB CF ''∥∥，∴A '，B '，C ，F 四点共面.……4分∵A F E F ''==，2A E ''=，∴222A F E F A E ''''+=，∴A F E F ''⊥，……5分∵CF A F F '= ，∴E F '⊥平面A B CF ''，∴B C E F ''⊥.……6分（2）如图，分别以EA ，ED ，EE '为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，则()0,0,0E ，()1,0,0F ，()0,0,1E '，()2,2,1B '，()1,3,0C ，∴()2,2,0E B ''= ，()1,0,1E F '=- ，()0,3,0FC =.……7分设平面B E F ''的法向量为()111,,m x y z = ，由0m E B m E F ⎧''⋅=⎪⎨'⋅=⎪⎩可得11112200x y x z +=⎧⎨-=⎩，令11x =，得11y =-，11z =，∴()1,1,1m =-.……9分设平面CE F '的法向量为()222,,n x y z = ，由0n E F n FC ⎧'⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩可得222030x z y -=⎧⎨=⎩，令21x =，得20y =，21z =，∴()1,0,1n =，……11分∴111011cos ,3m n m n m n⨯+-⨯+⨯⋅==，∴平面B EF ''与平面CE F '夹角的余弦值为3.……12分20.（本小题满分12分）（1）由题意得，2BCD π∠=，34ABC π∠=，在ABC △中，由余弦定理得，AC =……2分由余弦定理得，cos ACB ∠==3分∵2ACB ACD π∠+∠=，∴cos sin ACB ACD ∠=∠=，……4分∴11314sin 222ACD S AC CD ACD CD =⋅⋅⋅∠=⋅⋅△，故CD =5分∴11222BCD S BC CD =⋅⋅==△……6分（2）在ABC △中，由正弦定理得，sin sin AB AC ACB ABC =∠∠，∴1sin AC ACB =∠.……8分在ACD △中，由正弦定理得，sin sin AD AC ACD ADC =∠∠，∴2sin AC ACD =∠.……10分∵2ACB ACD π∠+∠=，∴cos sin ACD ACB ∠=∠，∴1cos sin ACD ACD=∠∠，∴sin 0ACD ACD ∠=∠>，……11分又22sin cos 1ACD ACD ∠+∠=，解得3cos 3ACD ∠=.……12分21.（本小题满分12分）（1）∵()f x 是定义在R 上的奇函数，∴()00f =.……1分当0x >时，0x -<，则()()122x x f x f x --=-=-=-，即()2x f x =.……3分综上，()1,020,02,0x x x f x x x ⎧-<⎪⎪==⎨⎪>⎪⎩.……4分（2）由（1）得，22122n n λλ--≤⋅对任意*n ∈N 恒成立.……5分①当0λ=时，20-≤成立，所以0λ=符合题意；……6分②当0λ>时，由22212n n λλ--≤恒成立，得22min212n n λλ⎛⎫--≤ ⎪⎝⎭.易知当1n =时，2102n n -=；当2n ≥时，2102n n ->，故2min102n n ⎛⎫-= ⎪⎝⎭.由220λλ-≤和0λ>，得0λ<≤；……8分③当0λ<时，由22212n n λλ--≥恒成立，得22min212n n λλ⎛⎫--≥ ⎪⎝⎭.由()2221111122222n n n n n n n +++---++-=，得当1n =，2时，()22111122n n n n ++-->；当3n ≥时，()22111122n n n n ++--<，且2223213122--<，∴223max 131122n n ⎛⎫--== ⎪⎝⎭.由221λλ-≥和0λ<，得10λ-≤<；……11分综上所述，实数λ的取值范围为⎡-⎣.……12分22.（本小题满分12分）（1）()()()()22e e 21e 2e 21e e e 2e 1x x x x x x x x f x a a a a a ---'⎡⎤=+++=+++=++⎣⎦.……1分当0a ≥时，()0f x '>，则()f x 在(),-∞+∞上单调递增；……2分当0a <时，令e 0xa +=，可得()ln x a =-，……3分当()(),ln x a ∈-∞-时，()0f x '<，()f x 在()(),ln a -∞-上单调递减；当()()ln ,x a ∈-+∞时，()0f x '>，()f x 在()()ln ,a -+∞上单调递增.……4分（2）由（1）得，要使函数()f x 有两个零点，则0a <，且()()()()()min ln 21ln 220f x f a a a a =-=+---<.……5分令()()()()21ln 220g x x x x x =+---<，则()()12ln g x x x'=-+，令()()()()12ln 0h x g x x x x '==-+<，则()()221110x h x x x x x -'=-=<，∴()h x 即()g x '在(),0-∞上单调递减.……6分∵()110g '-=-<，()1122ln 2ln 4022g '-=-=->，∴()02,1x ∃∈--，使得()()00012ln 0g x x x '=-+=，即()001ln 2x x -=-，......7分且()g x 在()0,x -∞上单调递增，在()0,0x 上单调递减，故只需()()0max 0g x g x =<，......8分即()()()000021ln 2200x x x x +---<<，则()()000012122002x x x x ⎛⎫+⨯---<< ⎪⎝⎭，即()200046100x x x ++<<， (10)分解得03344x --+<<，……11分故当3535,44a ⎛---+∈ ⎝⎭时，函数()f x 有两个零点.……12分以上各解答题如有不同解法并且正确，请按相应步骤给分.。

成都市高2022级高三11月月考数学试题（答案在最后）总分150分时间120分钟一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若命题p ：20430x x x ∃>-+>，，则命题p ⌝为（）A.20430，∃>-+≥x x xB.20430，∃≤-+≤x x xC.20430，∀>-+≤x x xD.20430，∀≤-+≤x x x 【答案】C 【解析】【分析】根据存在量词命题的否定为全称量词命题，写出结论即可.【详解】命题p 是一个存在性命题，说明存在使2430x x -+>的正数x ，则它的否定是：不存在使2430x x -+>的正数x ，即对任意的正数2430x x -+>都不能成立，由以上的分析，可得p ⌝为：20430，∀>-+≤x x x ，故选：C.2.在ABC V 中，“π6A >”是“1sin 2A >”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】【分析】结合正弦函数的性质由1sin 2A >，可得π5π66A <<，再根据充分条件和必要条件的定义判断即可.【详解】在ABC V 中，()0,πA ∈，由1sin 2A >，可得π5π66A <<，所以“π6A >”是“1sin 2A >”的必要不充分条件.故选：B .3.已知向量,a b的夹角为2π3，且5,4a b == ，则a 在b 方向上的投影向量为（）A.38b -B.58b -C.58bD.78b- 【答案】B 【解析】【分析】根据投影向量的计算公式，结合已知条件，直接求解即可.【详解】由题可知：12π54cos 523448a b a b b b b b bb bb⎛⎫⨯⨯- ⎪⋅⎝⎭⋅=⨯=⨯=-，故a在b 方向上的投影向量为58b - .故选：B.4.已知等差数列{}n a 和{}n b 的前n 项和分别为n S 、n T ，若342n n S n T n +=+，则62102a b b +（）A.11113B.3713C.11126D.3726【答案】B 【解析】【分析】计算出11113713S T =，由等差数列的性质得611116a S T b =，6621062a a b b b =+，从而得到答案.【详解】因为等差数列{}n a 和{}n b 的前n 项和分别为n S 、n T ，满足342n n S n T n +=+，所以111131143711213S T ⨯+==+，又11161116111111()211()2a a a Sb b T b +==+，故666210662322371a a a b b b b ===+，故选：B5.遗忘曲线由德国心理学家艾宾浩斯研究发现，描述了人类大脑对新事物遗忘的规律，某同学利用信息技术拟合了“艾宾浩斯遗忘曲线”，得到记忆率y 与初次记忆经过的时间x （小时）的大致关系：0.0610.6y x =-，则记忆率为20%时经过的时间约为（）（参考数据：lg 20.30≈，lg 30.48≈）A.80小时B.90小时C.100小时D.120小时【答案】C 【解析】【分析】根据题设得到0.0643x =，两边取对数求解，即可得出结果.【详解】根据题意得0.06110.65x =-，整理得到0.0643x =，两边取以10为底的对数，得到4lg 0.06lg 3x =，即2lg 2lg 30.06lg x -=，又lg 20.30,lg 30.48≈≈，所以0.60.48lg 2lg1000.06x -≈==，得到100x ≈，故选：C.6.已知圆锥的侧面展开图是一个半径为43，面积为4π3的扇形，则该圆锥的外接球的表面积为（）A.256π63B.4πC.9π2D.9π【答案】A 【解析】【分析】求出圆锥的底面圆半径和高，再求出外接球的半径，由此求得圆锥的外接球的面积.【详解】设圆锥的底面圆半径为r ，则该圆锥的侧面展开图扇形弧长为2πr ，于是144π2π233r ⋅⋅=，解得1r =，该圆锥的高为73h ==，设该圆锥的外接球的半径为R ，则球心到圆锥底面圆距离||d h R =-，由球的性质知，2227)13R R -+=，解得R =所以该圆锥的外接球的面积为22564ππ63S R ==.故选：A 7.若()*n n ∈N次多项式()()1212100nn nnn n P t a ta t a t a t a a --=++⋅⋅⋅+++≠满足()cos cos n P x nx =，则称这些多项式()n P t 为切比雪夫多项式．如，由2cos 22cos 1θθ=-可得切比雪夫多项式()2221P x x =-，同理可得()3343P x x x =-．利用上述信息计算sin 54︒=（）A.14+ B.14C.48 D.48【答案】A 【解析】【分析】根据切比雪夫多项式得()33cos 4cos 3cos cos3P θθθθ=-=，即可取18θ= ，结合二倍角公式以及同角关系求解.【详解】由于()33cos 4cos 3cos cos3P θθθθ=-=,cos54sin 36︒=︒，即3cos544cos 183cos182sin18cos18︒=︒-︒=︒︒，变形可得24cos 1832sin18︒-=︒，即214sin 182sin18-=︒，解可得：51sin184︒=或514-（舍)，则有21cos3612sin 184+︒=-=︒，即1sin 544+︒=，故选：A8.函数()2e 12e 21x x xh x -=++，不等式()()2222h ax h ax -+≤对x ∀∈R 恒成立，则实数a 的取值范围是（）A.()2,-+∞ B.(),2-∞ C.()0,2 D.[]2,0-【答案】D 【解析】【分析】令()()1f x h x =-，根据奇偶性定义判断()f x 为奇函数，再应用导数研究()f x 的单调性，进而将目标式转化为2220ax ax +-≤在R 上恒成立，求参数范围.【详解】因为()2e 122e e e 2121x x xx x xh x --=+=-+++，所以()()22222e e e e 221212121x x x x xx x x x h x h x ---⋅+-=+-++-=+=++++，令()()1f x h x =-，则()()0f x f x +-=，得()f x 为奇函数，又()()()222ln41ln4e e e e e 121e 21222x x x x x xx x x x xf x --'⎛⎫=+-=+-=+- ⎪+⎝⎭+++''，1e 2e x x +≥，当且仅当1e e xx =，即0x =时等号成立；ln4ln4ln2142222x x ≤=++，当且仅当122xx=，即0x =时等号成立；所以()0f x '>，得()f x 在R 上为增函数，因为()()()()()()22222222022h ax h ax f ax f ax f ax f ax -+≤⇔-+≤⇔-≤-，所以2220ax ax +-≤在R 上恒成立，显然0a =时满足；当0a ≠，需满足20Δ480a a a <⎧⎨=+≤⎩，解得20a -≤<，综上，[]2,0a ∈-.故选：D【点睛】关键点点睛：注意构造()()1f x h x =-，判断其奇偶性、单调性，最后将问题化为2220ax ax +-≤在R 上恒成立为关键.二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.设1z ，2z 为复数，且120z z ≠，则下列结论正确的是（）A.1212z z z z = B.1212z z z z +=+C.若12=z z ，则2212z z = D.1212z z z z ⋅=⋅【答案】ABD 【解析】【分析】根据题意，由复数的运算，代入计算，逐一判断，即可得到结果.【详解】设1i z a b =+，2i z c d =+(,,,)a b c d ∈R ，对于选项A ，因为12(i)(i)()()i z z a b c d ac bd ad bc =++=-++，所以12z z =且12z z 1212z z z z =，故A 正确；对于选项B ，因为12()()i z z a c b d +=+++，1i z a b =-，2i z c d =-，则12()()z z a c b d i +=+-+，12()()i z z a c b d +=+-+，所以1212z z z z +=+，故B 正确；对于选项C ，若12=z z ，例如11i z =+，21i z =-，满足12z z ==，但221(1i)2i z =+=，222(1i)2i z =-=-，即2212z z ≠，故C 错误；对于选项D ，因为21(i)(i)()()i z a b c d ac bd c z ad b ⋅=++=-++，所以21()()i z ac bd a b z d c ⋅=--+，12(i)(i)()()i z z a b c d ac bd ad bc ⋅=--=--+，所以1212z z z z ⋅=⋅，故D 正确.故选：ABD.10.下列关于概率统计的知识，其中说法正确的是（）A.数据1-，0，2，4，5，6，8，9的第25百分位数是1B.已知随机变量(),X B n p ，若()40E X =，()30D X =，则160n =C.若事件M ，N 的概率满足()()0,1P M ∈，()()0,1P N ∈且()()1P N M P N +=，则M 与N 相互独立D.若一组样本数据(),i i x y （1i =，2，…，n ）的对应样本点都在直线132y x =-+上，则这组样本数据的相关系数为12-【答案】ABC 【解析】【分析】根据百分位数的定义计算判断A ，由二项分布的数学期望与方差公式计算可判断B ，根据相互独立事件及条件概率的概率公式计算可判断C ，根据相关系数的定义可判断D.【详解】对于选项A ，8个数据从小到大排列，由于825%2⨯=，所以第25百分位数应该是第二个与第三个的平均数0+2=12，故A 正确；对于选项B ，因为(),X B n p ~，()40E X =，()30D X =，所以40(1)30np np p =⎧⎨-=⎩，解得1,1604p n ==，故B 正确；对于选项C ，由()()1P N M P N +=，可得()()1P N M P N =-，即()()()P NM P N P M =，即()()()P NM P N P M =，所以M 与N 相互独立，故C 正确；对于选项D ，因为样本点都在直线132y x =-+上，说明是负相关且线性相关性很强，所以相关系数为1-，故D 错误.故选：ABC.11.“曼哈顿距离”是十九世纪的赫尔曼•闵可夫斯省所创词汇，用以标明两个点在标准坐标系上的绝对轴距总和，其定义如下：在直角坐标平面上任意两点()()1122,,,A x y B x y 的曼哈顿距离()1212,d A B x x y y =-+-，则下列结论正确的是（）A.若点()()1,3,2,4P Q ，则(),2d P Q =B.若对于三点,,A B C ，则“()()(),,,d A B d A C d B C +=”当且仅当“点A 在线段BC 上”C.若点M 在圆224x y +=上，点P 在直线280x y -+=上，则(),d P M 的最小值是25-D.若点M 在圆224x y +=上，点P 在直线280x y -+=上，则(),d P M 的最小值是4【答案】AD 【解析】【分析】由定义即可判断A 选项，由数形结合即可判断出B 选项，C,D 选项是求点与点的“曼哈顿距离”距离，由基本不等式转化成点到点的平面距离，借助数形结合即可得出判断．【详解】对于A 选项：由定义可知(),21432d P Q =-+-=，故A 选项正确；对于B 选项：设点()()()112233,,,,,A x y B x y C x y 则()()()121213132323,,,,d A B d A C x x y y x x y y d B C x x y y +=-+-+-+-=-+-显然，当点A 在线段BC 上时，121323121323,x x x x x x y y y y y y -+-=--+-=-，()()(),,,d A B d A C d B C ∴+=成立，如图：过点B 作BE y ⊥轴，过点C 作EE x ⊥轴，且相交于点E ，过点A 作AD BE ⊥与D ，过点A 作AF CE ⊥与F ，由图可知121213132323x x y y x x y y BD AD AF CF BE CE x x y y -+-+-+-=+++=+=-+-，显然此时点A 不在线段BC 上，故B 选项不正确；对于C ，D 选项：当0,0a b >>a b ≥+≥∴想要(),d P M 最小，点M 到直线距离最小时取得，∴过原点O 作OM ⊥直线280x y -+=交圆于M ，如图：设(),M a b ，则25452,55OMbk M a ⎛⎫==-∴- ⎪ ⎪⎝⎭设点0,0，则()00,d P M x y =+-，又 当0,ab a b =+≥①当005x +=时，由()00544,25x y d P M =+=-+004x y =++-=-②当04505y -=时，由002885x y =-=-()00,8d P M x y =+-=-又48-<- ；(),d P M ∴的最小值为：4.故C 选项错误，D 选项正确.故选：AD【点睛】思路点睛：本题考查了新概念问题，解决新概念问题首先要确定新概念的定义或公式，将其当做一种规则和要求严格按照新概念的定义要求研究，再结合所学相关知识处理即可.三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.6(12)(13)x x -+的展开式中，含2x 的项的系数为________．（用数字作答）【答案】99【解析】【分析】先求二项式6(13)x +的展开式的通项，再由乘法法则求出6(12)(13)x x -+的展开式中含2x 的项即可得解.【详解】由题意得6(13)x +的展开式的通项为()166C 33C rr r r rr T x x +==，所以6(12)(13)x x -+的展开式中，含2x 的项为2221112663C 23C 99x x x x -⋅=，所以展开式中含2x 的项的系数为99.故答案为：99.13.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的右焦点和上顶点分别为F 和A ，连接AF 并延长交椭圆C 于B ，若32AOB AOF S S = ，则椭圆C 的离心率为_______．【答案】3【解析】【分析】先根据面积比例关系得出点B 的横坐标，点在直线AF 上得出B 的坐标，最后应用点B 在椭圆上得出2213c a =得出离心率.【详解】因为32AOB AOF S S = ，所以132122BAOB AOF OA x S S OA c ⨯==⨯ ，所以32B x c =，设()()0,,,0A b F c ，设直线():bAF y x c c =--，点B 在直线AF 上，所以2B by =-，点B 在椭圆上，可得22229441b ca b +=，所以2213c a =，即得3c a =.故答案为:3.14.设数列{}n a 的前n 项和为21212,1,1,23n nn n a a S a a a +++===．对任意()()*22221N ,21log log n n n n S a a λ+∈++>恒成立，则λ的取值范围为______.【答案】3,2∞⎛⎫-+ ⎪⎝⎭【解析】【分析】根据递推关系可得{}1n n a a +-为等比数列，即可结合累加法求解12n n a -=，由等比求和公式得21nn S =-，即可代入不等式化简得()22212n n n λ+>-⋅，构造()2212n nn b n =-⋅，作差得数列单调性，即可求解.【详解】由21213n nn a a a +++=，得()2112n n n n a a a a +++-=-，又211a a -=，所以数列{}1n n a a +-是以2为公比，1为首项的等比数列，所以112n n n a a -+-=，则()()()1231111221112222211212n n n n n n n n n a a a a a a a a --------=-+-++-+=+++++=+=- ，进而数列{}n a 是以2为公比，1为首项的等比数列，可得122112nn n S -==--，不等式()()2222121log log n n n S a a λ+++>恒成立，即()()()2222122212nnn n n n λλ-+>⇒+>-⋅．设()2212n n n b n =-⋅，则()()()()()223211112121221221212n n n n n n n n n b b n n n n ++++-+--=-=+⋅-⋅-⋅+⋅，当1n ≥时，10n n b b +-<，为递减数列，所以()1max 12n b b ==，所以122λ+>，解得32λ>-．故答案为：3,2∞⎛⎫-+ ⎪⎝⎭.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.锐角ABC V 的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若2cos 2b a B c +=，且a =，3b =.（1）求边c 的值；（2）求内角A 的角平分线AD 的长．【答案】（1）2c =（2）5AD =【解析】【分析】（1）根据正弦定理结合三角恒等变换运算求解可得1cos 2A =，即可利用余弦定理求解1c =或2c =，利用锐角三角形即可得2c =；（2）利用等面积法，结合三角形的面积公式即可求解．【小问1详解】因为2cos 2b a B c +=，由正弦定理可得：()sin 2sin cos 2sin 2sin 2sin cos 2cos sin B A B C A B A B A B +==+=+，即sin 2cos sin B A B =，又因为π02B <<，则sin 0B ≠，可得1cos 2A =，又因为π02A <<，所以π3A =．由余弦定理可得2222cos a b c bc A =+-，即227323cos60c c =+-⨯⨯⨯︒，则2320c c -+=，解得：1c =，或2c =，由于三角形为锐角三角形，故2220a c b +->，故220c ->，进而只取2c =，故2c =.【小问2详解】根据面积关系可得ABC ABD ACD S S S =+ ，即11123sin 602sin 303sin 30222AD AD ⨯⨯⨯︒=⨯⨯⨯︒+⨯⨯⨯︒，解得：5AD =．16.如图，在四棱锥P ABCD -中，2PD =，1AD =，PD DA ⊥，PD DC ⊥，底面ABCD 为正方形，M ，N 分别为AD ，PD 的中点.（1）求点B 到平面MNC 的距离；（2）求直线MB 与平面BNC 所成角的余弦值.【答案】（1）63（2）5【解析】【分析】（1）建立空间直角坐标系，运用向量点到平面的距离公式计算即可；（2）先求出直线与平面所成的角，可通过向量法，求出平面的法向量，再根据向量的夹角公式求出直线与平面所成角的正弦值，最后根据三角函数关系求出余弦值.【小问1详解】因为2PD =，1AD =，PD DA ⊥，PD DC ⊥，底面ABCD 为正方形，以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，DP 为z 轴建立空间直角坐标系，则(0,0,0)D ，(1,0,0)A ，(1,1,0)B ，(0,1,0)C ，(0,0,2)P ，因为M ，N 分别为DA ，DP 中点，所以1(,0,0)2M ，(0,0,1)N ，则1(,0,1)2MN =- ，1(,1,0)2MC =- ，1(,1,0)2MB = ，设平面MNC 的法向量为(,,)n x y z =，由00n MN n MC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ，即102102x z x y ⎧-+=⎪⎪⎨⎪-+=⎪⎩，令2x =，则1y =，1z =，所以(2,1,1)n = ，则12111022MB n ⋅=⨯+⨯+⨯=，||n == 根据点B 到平面MNC的距离公式|63|||MB n d n ==⋅=.【小问2详解】首先设平面BNC 的法向量(,,)m a b c =，(1,1,1)BN =-- ，(1,0,0)BC =- ，由00m BN m BC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即00a b c a --+=⎧⎨-=⎩，令1c =，则0a =，1b =，所以(0,1,1)m = ，设直线MB 与平面BNC 所成角为θ，则10111012MB m ⋅=⨯+⨯+⨯=，5||2MB ==，||m == ，所以||10sin 5||||MB m MB m θ⋅== ，因为22sin cos 1θθ+=，所以cos 5θ==，则直线MB 与平面BNC 所成角的余弦值155.17.某工厂生产某款电池，在满电状态下能够持续放电时间不低于10小时的为合格品，工程师选择某台生产电池的机器进行参数调试，在调试前后，分别在其产品中随机抽取样本数据进行统计，制作了如下的22⨯列联表：产品合格不合格合计调试前451560调试后35540合计8020100（1）根据表中数据，依据0.01α=的独立性检验，能否认为参数调试与产品质量有关联；（2）现从调试前的样本中按合格和不合格，用分层随机抽样法抽取8件产品重新做参数调试，再从这8件产品中随机抽取3件做对比分析，记抽取的3件中合格的件数为X ，求X 的分布列和数学期望；（3）用样本分布的频率估计总体分布的概率，若现在随机抽取调试后的产品1000件，记其中合格的件数为Y ，求使事件“Yk =”的概率最大时k 的取值.参考公式及数据：()()()()22()n ad bc a b c d a c b d χ-=++++，其中n a b c d =+++.α0.0250.010.0050.001x α5.0246.6357.87910.828【答案】（1）依据0.01α=的独立性检验，可认为参数调试与产品质量无关联（2）分布列见解析，数学期望为94（3）875【解析】【分析】（1）计算2χ的值，将其与0.01α=对应的小概率值比较即得；（2）先算出抽取的8件产品中的合格品与不合格品的数目，再从中抽取3件，根据合格品件数X 的可能值运用超几何分布概率计算出概率，列出分布列计算数学期望即得；（3）分析得出7(1000,8Y B ，利用二项分布概率公式得出1000100071()C ()(),0,1,,1000,88kk k P Y k k -=== 再利用作商法分析得875k =时，事件“Y k =”的概率最大.【小问1详解】零假设为0H ：假设依据0.01α=的独立性检验，认为参数调试与产品质量无关联；则220.01100(4553515) 2.344 6.63580204060x χ⨯-⨯=≈<=⨯⨯⨯，故依据0.01α=的独立性检验，没有充分证据说明零假设0H 不成立，因此可认为0H 成立，即认为参数调试与产品质量无关联；【小问2详解】依题意，用分层随机抽样法抽取的8件产品中，合格产品有458660⨯=件，不合格产品有2件，而从这8件产品中随机抽取3件，其中的合格品件数X 的可能值有1,2,3.则126238C C 3(1),C 28P X ===216238C C 15(2),C 28P X ===363802C C 10(3)C 28P X ===.故X 的分布列为：X123P32815281028则15109()12328284328E X =⨯+⨯+⨯=；【小问3详解】依题意，因随机抽取调试后的产品的合格率为357408=，故7(1000,8Y B ，则1000100071()C ()(),0,1,,1000,88kkkP Y k k -=== 由1199910001000100071C (()(1)10007000788771()11C ()()88k k k kk k P Y k k k P Y k k k ++--=+--====++，故由7000711k k ->+可解得78748k <，因Z k ∈，故当0874k <≤时，()P Y k =单调递增；由7000700011k k -≤+可解得78748k ≥，即当875k ≥时，()P Y k =单调递减.故当事件“Y k =”的概率最大时，875k =.【点睛】方法点睛：（1）计算卡方值，并与小概率值比较得出结论；（2）求随机变量的分布列关键在于判断X 满足的概率模型；（3）对于二项分布中概率最大值问题，一般考虑作商后分析判断商与1的大小即得.18.已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的实轴长为4，渐近线方程为12y x =±.（1）求双曲线C 的标准方程；（2）双曲线的左､右顶点分别为12A A ､，过点()3,0B 作与x 轴不重合的直线l 与C 交于P Q ､两点，直线1A P 与2A Q 交于点S ，直线1AQ 与2A P 交于点T .（i ）设直线1A P 的斜率为1k ，直线2A Q 的斜率为2k ，若12k k λ=，求λ的值；（ii ）求2A ST 的面积的取值范围.【答案】（1）2214x y -=（2）（i ）15-；（ii ）2522,,933∞⎡⎫⎛⎫⋃+⎪⎢ ⎪⎪⎝⎭⎣⎭【解析】【分析】（1）根据双曲线性质计算即可；（2）设直线l 方程及P Q 、坐标，联立双曲线方程，根据韦达定理得出纵坐标和积关系，（i ）利用两点斜率公式消元计算即可；（ii ）联立直线方程求出S T 、坐标，并求出ST ，利用三角形面积公式及2t 范围计算即可.【小问1详解】由题意知：124,2b a a ==，解得2,1a b ==，双曲线方程为2214xy -=.【小问2详解】因为直线l 斜率不为0，设直线l 方程为3x ty =+，易知()()122,0,2,0A A -，设()()1122,,,P x y Q x y ，联立2214x y -=，得()224650t y ty -++=，则212212240Δ06454t t y y t y y t ⎧-≠⎪>⎪⎪⎨+=--⎪⎪=⎪-⎩，且()121256y y y y t =-+，（i ）()()21121121212121223222325ty k y x y ty y y k x y ty y ty y y λ+--+==⋅=⋅=++++()()121121212255165525556y y y y y y y y y y -++-===--+-++；（ii ）由题可得：()()2211:2,:2A Q y k x A P y k x =-=+.联立可得：()2112124410,333s k k x S k k k +⎛⎫==⇒ ⎪-⎝⎭，即()11104,332y S x ⎛⎫ ⎪ ⎪+⎝⎭，同理()22104,332y T x ⎛⎫ ⎪ ⎪+⎝⎭.()()()121212121212125101010532235535256y y y y y y ST x x ty ty t y y t y y -∴=-=-=++++-++++==，故2212A ST A S S ST x x =-= ，20t ≥且24t ≠，222,,933A STS ∞⎡⎫⎛⎫∴=∈⋃+⎪⎢ ⎪⎪⎝⎭⎣⎭ .【点睛】关键点点睛：反设直线线并设点，联立双曲线方程后得出P Q 、纵坐标的和积关系，为后面消元转化减轻计算量.19.已知定义：函数()f x 的导函数为()f x '，我们称函数()f x '的导函数()f x ''为函数()f x 的二阶导函数，如果一个连续函数()f x 在区间I 上的二阶导函数()0f x ''≥，则称()f x 为I 上的凹函数;二阶导函数()0f x ''≤，则称()f x 为I 上的凸函数.若()f x 是区间I 上的凹函数，则对任意的12,,x x n x I ∈，有不等式()()()1212n n f x f x f x x x x f n n ++++++⎛⎫≤⎪⎝⎭恒成立（当且仅当12n x x x === 时等号成立）.若()f x 是区间I 上的凸函数，则对任意的12,,n x x x I ∈ ，有不等式()()()1212n n f x f x f x x x x f n n ++++++⎛⎫≥⎪⎝⎭恒成立（当且仅当12n x x x === 时等号成立）.已知函数()1f x x x =+，π0,2x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦.（1）试判断()f x 在π0,2⎛⎤ ⎥⎝⎦为凹函数还是凸函数?（2）设12,x x ，L ，0n x >，2n ≥，且121n x x x +++= ，求1212111n nx x xW x x x =++++++ 的最大值;（3）已知*N a ∈，且当π0,2x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，都有()()()sin sin 31cos 0x ax x f x x +-+>恒成立，求实数a 的所有可能取值.【答案】（1）凸函数（2）1n f n ⎛⎫⋅⎪⎝⎭（3）{}2【解析】【分析】（1）根据凹凸函数的定义判断即可；（2）由（1）知()f x 在π0,2⎛⎤⎥⎝⎦为凸函数，根据凸函数的性质结合题意即可求解；（3）令()sin sin 3cos h x x ax x x =+-，π0,2x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，则问题转化为ℎ>0在π0,2⎛⎤ ⎥⎝⎦上恒成立，对a 分类讨论，结合导数的运算研究函数的单调性即可求解.【小问1详解】()1x f x x =+，π0,2x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，所以()()211f x x ='+，″()321x =-+，因为π0,2x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，所以″0<，所以()f x 在π0,2⎛⎤ ⎥⎝⎦为凸函数.【小问2详解】由（1）知()1x f x x =+在π0,2⎛⎤⎥⎝⎦内为凸函数，又1212111n nx x xW x x x =++++++ ，且121n x x x +++= （12,x x ，L ，0n x >，2n ≥），所以()()()12121.nn x x x W f x f x f x n f n f n n +++⎛⎫⎛⎫=+++≤⋅=⋅ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭所以max 1.W n f n ⎛⎫=⋅ ⎪⎝⎭【小问3详解】令()sin sin 3cos h x x ax x x =+-，π0,2x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，则ℎ>0在π0,2⎛⎤ ⎥⎝⎦上恒成立，则()cos 2cos 3sin h x a ax x x x =+'-，且()02h a '=-，当1a =，πππ3ππ3πsin sin cos 204444424h ⎛⎫⎫=+-=-<⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，不合题意舍去;当2a =，则()sin sin23cos h x x x x x =+-，故()2cos22cos 3sin h x x x x x =-+'，令()()k x h x ='，则()4sin25sin 3cos 8sin cos 5sin 3cos k x x x x x x x x x x=-++=-++'5sin 5sin cos 3cos 3sin cos x x x x x x x =-+-()()5sin 1cos 3cos sin x x x x x =-+-，令()sin g x x x =-，π0,2x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，则()1cos 0g x x ='->，所以()g x 在π0,2x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦上递增，所以sin x x >，所以()'0k x >，即()()'k x h x =在π0,2x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦上递增，又()020h a -'==，则ℎ′>0，所以ℎ在π0,2x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦上递增，又()00h =，即ℎ>0，π0,2x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，符合题意;当3a ≥，令0ππ0,12x a ⎛⎤=∈ ⎥-⎝⎦，则()0001πax x x a -=-=，()00sin sin πax x =+，所以()()00000000000sin sin 3cos sin sin 3cos 3cos 0h x x ax x x x x x x x x π=+-=++-=-≤，不合题意舍去，综上，正整数a 的取值集合为{}2.【点睛】方法点睛：求解“新定义”题目，主要分如下几步：（1）对定义进行信息提取，明确新定义的名称和符号；（2）对新定义所提取的信息进行加工，探求解决方法和相近的知识点，明确它们的相同点和相似点；（3）对定义中提取的知识进行提取和转换，如果题目是新定义的运算、法则，直接按照法则计算即可；如果新定义是性质，一般要判断性质的适用性，能否利用定义的外延，可用特值排除.。