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2019-2020学年新教材高中数学第七章复数7.2.2 复数的乘、除运算学案新人教A版必修第二册编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2019-2020学年新教材高中数学第七章复数7.2.2 复数的乘、除运算学案新人教A版必修第二册）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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7．2。
2 复数的乘、除运算考点学习目标核心素养复数的乘除运算掌握复数乘除运算的运算法则，能够进行复数的乘除运算数学运算复数乘法的运算律理解复数乘法的运算律逻辑推理解方程会在复数范围内解方程数学运算问题导学预习教材P77－P79的内容，思考以下问题:1．复数的乘法和除法运算法则各是什么?2．复数乘法的运算律有哪些？3．如何在复数范围内求方程的解？1．复数乘法的运算法则和运算律（1）复数乘法的运算法则设z1＝a＋b i，z2＝c＋d i(a，b，c，d∈R),则z1·z2＝(a＋b i)(c＋d i）＝（ac－bd)＋(ad＋bc)i．(2）复数乘法的运算律对任意复数z1，z2，z3∈C，有交换律z1z2＝z2z1结合律（z1z2)z3＝z1(z2z3)乘法对加法的分配律z1（z2＋z3）＝z1z2＋z1z3对复数乘法的两点说明（1）复数的乘法运算与多项式乘法运算很类似，可仿多项式乘法进行运算，但结果要将实部、虚部分开(i2换成－1）．（2)多项式乘法的运算律在复数乘法中仍然成立，乘法公式也适用．2．复数除法的运算法则设z1＝a＋b i，z2＝c＋d i（c＋d i≠0)(a，b，c，d∈R)，则z1z2＝错误!＝错误!＋错误!i(c＋d i≠0）．■名师点拨对复数除法的两点说明（1）实数化：分子、分母同时乘以分母的共轭复数,化简后即得结果,这个过程实际上就是把分母实数化，这与根式除法的分母“有理化”很类似．（2)代数式：注意最后结果要将实部、虚部分开．判断(正确的打“√”，错误的打“×”）(1）两个复数的积与商一定是虚数．( ）（2)两个共轭复数的和与积是实数．（）（3）复数加减乘除的混合运算法则是先乘除，后加减．( ）答案:(1)×（2)√(3）√(1＋i)（2－i)＝( )A．－3－i B．－3＋iC．3－i D．3＋i答案:D(2019·高考全国卷Ⅲ）若z(1＋i)＝2i，则z＝( )A．－1－i B．－1＋iC．1－i D．1＋i解析：选D.由z（1＋i)＝2i，得z＝错误!＝错误!＝错误!＝i（1－i)＝1＋i.复数z＝错误!的虚部为________．解析：z＝错误!＝错误!＝错误!＝错误!－错误!i。
复数的加减法一、教学目标：1、 掌握复数的加法以及其运算律，理解复数加法与向量加法的关系；2、 掌握复数的减法，理解复数减法与向量减法的关系；3、 会利用复数模的概念，计算平面上两点之间的距离。
二、教学过程：复习：复数的代数表示以及与复数对应的点和向量引入：同过实数加、减的运算结果仍然在实数域内，那么复数的加、减法运算呢？（引出今天上课的主要内容复数的加减法）板书：复数的加、减法；记：)R d 、c 、b 、a (dic z ,bi a z 21∈+=+= 一、 复数的加法：规定)R d 、c 、b 、a (i）d b （）c a （z z 21∈+++=+ 例1、 计算：)i 27()i 41)(1(-++)i 41()i 27)(2(++-i 5)]i 34()i 23)[(3(+++-+-]i 5)i 34[()i 23)(4(+++-+-复数运算律：交换律：1221z z z z +=+结合律：)z z (z z )z z (321321++=++ （学生自己给出证明）例2、 在复平面上，分别标出：i 28、i 2-7、i 41++对应的向量，观察，有何发现？ 复数的加法，可以用对应向量的加法来解释。
二、 复数的减法：（复数的减法可以看成是复数减法的逆运算）)R d 、c 、b 、a (i ）d b （）c a （z z 21∈-+-=-例3、（1）计算：)i 27()i 41(--+（2）在复平面中，标出)i 27(、)i 41(-+以及（1）中运算结果对应的向量，观察，有何发现？复数的减法运算，也可以用其对应的向量减法来解释。
小结：（1） 复数的加、减法运算，就是实部与虚部分别对应相加减。
（2） 复数的加、减法运算，都可以用其对应的向量加、减法来解释。
三、 复平面上两点之间的距离令复平面上)R b 、a (bi a z 1∈+=对应的点为）b ,a （Z 1，)R d 、c (di c z 2∈+=对应的点为）d ,c （Z 22221)d b ()c a (|z z |-+-=-（1） |z z |21-的值可以理解为点1Z 和2Z 的距离；（2）|z z |21-的值也可以理解为对应向量12Z Z 的模。
13.4（1）复数的乘法与乘方一、教学内容分析复数的乘法与乘方是在复数加减法之后引入的，基于以上内容及实数的四则运算及多项式的运算，可以类比引入乘法与乘方的概念及运算律.由复数乘法定义可知复数的乘法可以按多项式的乘法进行，但必须把所得的结果中2i换成－1，并分别整理出积的实部与虚部；复数集对乘法、乘方等运算是“封闭的”.通过三个例题的学习，巩固对乘法、乘方运算法则运用，加深对它们的理解.二、教学目标设计掌握复数的乘法法则，能熟练地进行乘法运算，理解复数的乘法满足的运算律；理解复数乘方的意义，理解复数的正整数幂的运算律，掌握i的乘方的运算结果.三、教学重点及难点复数的乘法、乘方法则，相应的运算律，以及i的幂.四、教学流程设计五、教学过程设计一、情景引入1、复习和回顾复数的加、减法法则，同时与多项式加减法法则类比.2、类比实数乘法与乘方，提出复数是否也有乘法、乘方运算以及怎样进行运算等问题，从而引入课题.二、学习新课复数的加减法，其运算法则与两多项式相加减的方法一致，那么两个复数的乘法运算是否也可以按照两个多项式相乘的类似方法进行呢？（1）复数乘法法则：i ad bc bd ac di c bi a )()())((++-=++按多项式乘法法则2))((bdi adi bci ac di c bi a +++=++bd adi bci ac -++=),,,(,)()(R d c b a i ad bc bd ac ∈++-=可知两复数的乘积，也可以按多项式乘法先展开，再将2i 换成1-，再按i 合并同类项即可.（2）例题选讲例1 计算（1）)24)(32(i i +-（2）)2)(43)(21(i i i +-++（3）))((bi a bi a -+布置： 第一组计算)24)(32(i i +-第二组计算)32)(24(i i -+第三组计算[])2()43)(21(i i i +-++第四组计算[])2)(43()21(i i i +-++，[说明]通过此例巩固乘法法则，加深对法则的理解，同时为复数运算律及其22z z z z ==的导出提供感性材料.（3）引导学生提出并证明复数乘法满足的运算律：交换律、结合律及分配律. 31213213213211221)()()(z z z z z z z z z z z z z z z z z ⋅+⋅=+⋅⋅=⋅⋅⋅=⋅即（4）观察例1（3）归纳出：22z zz z ==特别地，当1=z 时1=z z（5）例题选讲例2 当y x ,为何实数时，复数i 43-与复数yi x +的积为i 21+？[说明]通过此例，加深对实部、虚部系数含有字母的条件下复数乘法的理解，以期多角度达成对复数乘法法则的掌握，同时进一步深化对复数相等的概念的理解.（6）复数乘方①定义：把个n z z z ⋅⋅⋅⋅ ）（*N n ∈ 称为复数z 的几次幂，类似于实数的乘方，记为nz . 即=nz个n z z z ⋅⋅⋅⋅②类比实数正实数幂的运算法则导出复数的正整数幂的运算法则：mn n m n m n m z z z z z ==⋅+)(,nn n z z z z 2121)(⋅=⋅，并规定10=i（7）例题选讲例3 计算：4)21(i +[说明]通过此例，实践复数乘方的运算法则，加深对复数乘方意义的理解，同时为i 的正整数幂的引入埋下伏笔.（8）由乘方的法则及i 的意义，探究并得出i 的幂的结果：i i i i i i n n n n -=-===+++342414411 ()∙∈N n（9）例题选讲例4 当*N n ∈时，计算nn i i )(-+所有可能的取值.[说明]通过此例，加深对i 的幂的结果认识，进一步深化对i 幂的周期性的理解. 三、巩固练习P85 练习 13.4（1） 1、2、3、4四、课堂小结（1） 复数的乘法及运算律 （2） 复数的乘方及运算律五、作业布置练习册：P51 13.4 A 组 1P52 13.4 A组 2六、教学设计说明复数的乘法和乘方的概念及运算律是本节课的重点。
3．2 复数代数形式的四则运算3．2.3 复数综合问题1．能熟练应用复数的概念、几何意义和四则运算解决复数的综合问题． 2．运用数形结合思想处理复数的平面问题．基础梳理1．复数代数式的加减法运算，按照实数代数式运算的合并同类项法则进行，即将实部合并，虚部合并，中间用加号连接．2．复数代数式的乘法运算，按照实数中多项式展开法则进行，再将实部合并，虚部合并，中间用加号连接；复数代数式的除法运算，先将分母乘以其共轭复数化为实数，再在分子上进行乘法运算．3．z 1、z 2是常数，则满足|z －z 1|＝|z －z 2|的复数z 对应的点Z 在复平面上的轨迹是直线．4．z 0是常数，则满足|z －z 0|＝a (a ＞0，a 是常数)的复数z 对应的点Z 在复平面上的轨迹是圆．5．z 0是常数，则满足|z －z 0|＜a (a ＞0，a 是常数)的复数z 对应的点Z 在复平面上的轨迹是圆面(不包括圆周)．自测自评1．a 为正实数，i 为虚数单位，⎪⎪⎪⎪⎪⎪a ＋i i ＝2，则a ＝(B )A ．2 B. 3 C. 2 D ．1解析：因为⎪⎪⎪⎪⎪⎪a ＋i i ＝2，故可化为|1－a i|＝2，又由于a 为正实数，所以1＋a 2＝4，得a ＝3，故选B.2．已知 (3－3i)＝z ·(－23i)，那么复数z 在复平面内对应的点位于(A ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 3．若复数z 满足|z |－z ＝101－2i ，则z ＝(D )A ．－3＋4iB ．－3－4iC ．3－4iD ．3＋4i基础巩固1．复数z ＝－2(sin 100°－icos 100°)在复平面内所对应的点Z 位于(C ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限解析：z ＝－2sin 100°＋2icos 100°，因为－2sin 100°＜0，2cos 100°<0，所以点Z 在第三象限．故选C.2．设i 是虚数单位．z 是复数z 的共轭复数．若z ·z i ＋2＝2z ，则z ＝(A ) A ．1＋i B ．1－i C ．－1＋i D ．－1－i解析：设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)，代入z ·z i ＋2＝2z ，整理得：(a 2＋b 2)i ＋2＝2a ＋2b i ，则⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝2，a 2＋b 2＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝1，因此z ＝1＋i. 3．复数z ＝(a 2＋1)＋a i(a ∈R)在复平面上对应的点的轨迹方程是(D ) A ．x 2＝y ＋1 B ．x 2＝y －1 C ．y 2＝x ＋1 D ．y 2＝x －1解析：设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R)，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a 2＋1，y ＝a ，消去a 可得x ＝y 2＋1，所以复数z 对应的点的轨迹方程是y 2＝x －1.故选D.4．已知复数z 的共轭复数z －的实部为－1，虚部为－2，且z i ＝a ＋b i(a ，b ∈R)，则a ＋b ＝________．解析：由题意知z －＝－1－2i ，所以z ＝－1＋2i ， 又z i ＝a ＋b i ，所以(－1＋2i)i ＝a ＋b i ，即－2－i ＝a ＋b i ，所以a ＝－2，b ＝－1，所以a ＋b ＝－3. 答案：－3 能力提升5．若i 为虚数单位，图中复平面内点Z 表示复数z ，则表示复数z1＋i的点是(D )A ．EB ．FC ．GD ．H解析：由图知复数z ＝3＋i ，则z 1＋i ＝3＋i 1＋i ＝（3＋i ）（1－i ）（1＋i ）（1－i ）＝2－i ，所以复数z1＋i所对应的点是H .6．设集合M ＝{y |y ＝|cos 2x －sin 2x |，x ∈R}，N ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ||x －1i |<2，i 为虚数单位，x ∈R ，则M ∩N ＝则(C )A ．(0，1)B ．(0，1]C ．[0，1)D ．[0，1]解析：y ＝|cos 2x －sin 2x |＝|cos 2x |∈[0，1]，所以M ＝[0，1]；因为⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －1i <2，所以|x ＋i|<2，又因为x ∈R，|x ＋i|＝x 2＋1，所以x 2＋1<2，所以－1<x <1，即N ＝(－1，1)，所以M ∩N ＝[0，1)，故选C.7．i2 015＋(2＋2i)4－⎝ ⎛⎭⎪⎫21－i 10＝________．解析：原式＝i 4×503＋3＋[2(1＋i)2]2－⎣⎢⎡⎦⎥⎤2（1－i ）25＝i 3＋(2×2i)2－⎝ ⎛⎭⎪⎫2－2i 5＝－i －16－i 5＝－16－2i.答案：－16－2i8．已知复数a i1＋i(a ∈R)对应的点都在以原点为圆心，半径为2的圆内(不包括边界)，则a 的取值范围是_________________．解析：因为a i 1＋i＝a i （1－i ）2＝a 2＋a2i ，所以复数a i 1＋i (a ∈R)对应的点为Z ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，a 2，又复数a i1＋i (a ∈R)对应的点都在以原点为圆心，半径为2的圆内(不包括边界)，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫a 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 22＜2，解得－2＜a ＜2. 答案：(－2，2)9．已知复数z 满足|z |＝5，且(1－2i)z 是实数，求z －.解析：设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)，则(1－2i)z ＝(1－2i)(a ＋b i)＝(a ＋2b )＋(b －2a )i ， 又因为(1－2i)z 是实数，所以b －2a ＝0，即b ＝2a ，又|z |＝5， 所以a 2＋b 2＝5，解得a ＝±1，b ＝±2， ∴z ＝1＋2i 或－1－2i ， ∴z －＝1－2i 或－1＋2i ， ∴z －＝±(1－2i)．10．设z 是虚数，w ＝z ＋1z是实数，且－1<w <2，求|z |的值及z 的实部的取值范围．解析：∵z 是虚数，∴可设z ＝x ＋y i(x 、y ∈R 且y ≠0)，可得w ＝z ＋1z ＝(x ＋y i)＋1x ＋y i ＝x ＋y i ＋x －y i x 2＋y 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋x x 2＋y 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －y x 2＋y 2i. ∵w 是实数，且y ≠0，∴1－1x 2＋y2＝0，即x 2＋y 2＝1， ∴|z |＝1，此时w ＝2x .由－1<w <2得－1<2x <2， ∴－12<x <1，即z 的实部的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，1.。
5.2.1 复数的加法与减法学习目标：会进行复数的代数形式的加、减运算，并理解复数的几何意义。
教学重点：复数的代数形式的加、减运算及其几何意义教学难点：加、减运算的几何意义教学过程：忆一忆：1.与复数一一对应的有？2. 试判断下列复数14,72,6,,20,7,0,03i i i i i i +----在复平面中落在哪象限？并画出其对应的向量。
3. 同时用坐标和几何形式表示复数121472z i Z i =+=-与所对应的向量，并计算12OZ OZ +。
向量的加减运算满足何种法则？4. 类比向量坐标形式的加减运算，复数的加减运算如何？想一想：复数的加法法则：12z a bi Z c di =+=+与，则12()()Z Z a c b d i +=+++。
试一试：例1．计算（1）(14)(72)i i +-+ （2）(72)(14)i i -++（3）[(32)(43)](5)i i i --++++（4）(32)(43)(5)]i i i --++++[观察上述计算，复数的加法运算是否满足交换、结合律，试给予验证。
例2．例1中的（1）、（3）两小题，分别标出(14),(72)i i +-，(32),(43),(5)i i i --++所对应的向量，再画出求和后所对应的向量，看有所发现。
想一想：1.复数加法的几何意义：复数的加法可以按照向量的加法来进行（满足平行四边形、三角形法则）2．复数的减法及几何意义：类比实数，规定复数的减法运算是加法运算的逆运算,即若12Z Z Z +=，则Z 叫做21Z Z 减去的差,21Z Z Z =-记作。
议一议：1.若12,Z a b Z c di =+=+，试确定12Z Z Z =-是否是一个确定的值？2.复数的减法法则及几何意义：()()()()a bi c di a c b d i +-+=-+-，复数的减法运算也可以按向量的减法来进行。
练一练：例3．计算（1）(14)(72)i i +-- （2）(52)(14)(23)i i i --+--+（3）(32)(43)(5)]i i i --+-+-[测一测：1．计算（1）()845i -+（2）()543i i --（3())29i i ---2．（1）若(310)(2)19i y i x i -++=-，求实数,x y 的取值。
3.2 复数的运算 3.2.1 复数的加法和减法一、复数代数形式的加减运算 1．运算法则设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i(a ，b ，c ，d ∈R )，则 (1)z 1＋z 2＝(a ＋c )＋(b ＋d )i ； (2)z 1－z 2＝(a －c )＋(b －d )i. 2．加法运算律1．复数加法的几何意义如图，设复数z 1，z 2对应向量分别为OZ 1→，OZ 2→，四边形OZ 1ZZ 2为平行四边形，则与z 1＋z 2对应的向量是OZ→.2．复数减法的几何意义如图所示，设OZ 1→，OZ 2→分别与复数z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i对应，且OZ 1→，OZ 2→不共线，则这两个复数的差z 1－z 2与向量OZ 1→－OZ 2→(即Z 2Z 1→)对应，这就是复数减法的几何意义．这表明两个复数的差z 1－z 2(即OZ 1→－OZ 2→)与连接两个终点Z 1，Z 2，且指向被减数的向量对应．1．已知复数z 1＝3＋4i ，z 2＝3－4i ，则z 1＋z 2＝( ) A ．8i B ．6 C ．6＋8iD ．6－8i[解析] z 1＋z 2＝(3＋4i)＋(3－4i)＝(3＋3)＋(4－4)i ＝6. [答案] B2．已知z 1＝2＋i ，z 2＝1＋2i ，则复数z ＝z 1－z 2对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限[解析] z ＝z 1－z 2＝(2＋i)－(1＋2i)＝(2－1)＋(1－2)i ＝1－i ，对应的点为(1，－1)位于第四象限．[答案] D3．在复平面内，向量OZ 1→对应的复数为－1－i ，向量OZ 2→对应的复数为1－i ，则OZ 1→＋OZ 2→对应的复数为________． [解析] 由复数加法运算的几何意义知，OZ 1→＋OZ 2→对应的复数即为(－1－i)＋(1－i)＝－2i.[答案] －2i(1)(1＋3i)＋(－2＋i)＋(2－3i)； (2)(2－i)－(－1＋5i)＋(3＋4i)； (3)5i －[(3＋4i)－(－1＋3i)]；(4)(a ＋b i)－(3a －4b i)＋5i(a ，b ∈R )．[思路探究] 复数的加减运算，只需把“i ”看作一个字母，完全可以按照合并同类项的方法进行．[解] (1)原式＝(－1＋4i)＋(2－3i)＝1＋i. (2)原式＝(3－6i)＋(3＋4i)＝6－2i. (3)原式＝5i －(4＋i)＝－4＋4i.(4)原式＝(－2a ＋5b i)＋5i ＝－2a ＋(5b ＋5)i.1．复数运算类比实数运算，若有括号，括号优先，若无括号，可从左到右依次进行．2．算式中出现字母时，首先确定其是否为实数，再提取各复数的实部与虚部，将它们分别相加．3．准确提取虚、实部，正确进行符号运算有利于提高解题的准确率．1．计算：(1)(－2＋3i)＋(5－i)； (2)(－1＋2i)＋(1＋2i)；(3)(a ＋b i)－(2a －3b i)－3i(a ，b ∈R )．[解] (1)(－2＋3i)＋(5－i)＝(－2＋5)＋(3－1)i ＝3＋2i. (2)(－1＋2i)＋(1＋2i)＝(－1＋1)＋(2＋2)i ＝22i.(3)(a ＋b i)－(2a －3b i)－3i ＝(a －2a )＋(b ＋3b －3)i ＝－a ＋(4b －3)i.【例2】 设OZ 1及OZ 2分别与复数z 1＝5＋3i 及复数z 2＝4＋i 对应，试计算z 1＋z 2，并在复平面内作出OZ 1→＋OZ 2→.[思路探究] 利用加法法则求z 1＋z 2，利用复数的几何意义作出OZ 1→＋OZ 2→. [解] ∵z 1＝5＋3i ，z 2＝4＋i ， ∴z 1＋z 2＝(5＋3i)＋(4＋i)＝9＋4i. ∵OZ 1→＝(5,3)，OZ 2→＝(4,1)， 由复数的几何意义可知，OZ 1→＋OZ 2→与复数z 1＋z 2对应， ∴OZ 1→＋OZ 2→＝(5,3)＋(4,1)＝(9,4)， 作出向量OZ 1→＋OZ 2→，如图所示．1．根据复数加减运算的几何意义可以把复数的加减运算转化为向量的坐标运算．2．利用向量进行复数的加减运算时，同样满足平行四边形法则和三角形法则．3．复数加减运算的几何意义为应用数形结合思想解决复数问题提供了可能．2．复平面内三点A ，B ，C ，A 点对应的复数为2＋i ，向量BA →对应的复数为1＋2i ，向量BC→对应的复数为3－i ，求点C 对应的复数．[解] ∵BA→对应的复数为1＋2i ，BC →对应的复数为3－i ，∴AC→＝BC →－BA →对应的复数为(3－i)－(1＋2i)＝2－3i. 又∵OC→＝OA →＋AC →，∴C点对应的复数为(2＋i)＋(2－3i)＝4－2i.1．|z1－z2|的几何意义是什么？[提示]|z1－z2|表示复数z1，z2对应的两点Z1与Z2间的距离．2．满足条件|z－i|＝|3＋4i|的复数z在复平面上对应点的轨迹是什么曲线？[提示]∵|z－i|＝|3＋4i|＝5，∴复数z在复平面上对应点的轨迹是以(0,1)为圆心，5为半径的圆．【例3】已知|z＋1－i|＝1，求|z－3＋4i|的最大值和最小值．[思路探究]利用复数加减法的几何意义，以及数形结合的思想解题．[解]法一：设w＝z－3＋4i，∴z＝w＋3－4i，∴z＋1－i＝w＋4－5i.又|z＋1－i|＝1，∴|w＋4－5i|＝1.可知w对应的点的轨迹是以(－4,5)为圆心，1为半径的圆．如图(1)所示，∴|w|max＝41＋1，|w|min＝41－1.图(1)图(2)法二：由条件知复数z对应的点的轨迹是以(－1,1)为圆心，1为半径的圆，而|z－3＋4i|＝|z－(3－4i)|表示复数z对应的点到点(3，－4)的距离，在圆上与(3，－4)距离最大的点为A，距离最小的点为B，如图(2)所示，所以|z－3＋4i|max＝41＋1，|z－3＋4i|min＝41－1.|z1－z2|表示复平面内z1，z2对应的两点间的距离.利用此性质，可把复数模的问题转化为复平面内两点间的距离问题，从而进行数形结合，把复数问题转化为几何图形问题求解.3．已知|z|＝2，则|z＋3－4i|的最大值是________．[解析]由|z|＝2知复数z对应的点在圆x2＋y2＝4上，圆心为O(0,0)，半径r＝2.而|z＋3－4i|＝|z－(－3＋4i)|表示复数z对应的点与M(－3,4)之间的距离，由于|OM|＝5，所以|z＋3－4i|的最大值为|OM|＋r＝5＋2＝7.[答案]71．复数(1－i)－(2＋i)＋3i等于()A．－1＋i B．1－iC．i D．－i[解析](1－i)－(2＋i)＋3i＝(1－2)＋(－1－1＋3)i＝－1＋i.[答案] A2．已知z1＝3＋i，z2＝1＋5i，则复数z＝z2－z1对应的点位于()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限[解析]∵z＝z2－z1＝(1＋5i)－(3＋i)＝(1－3)＋(5－1)i＝－2＋4i.[答案] B3．若|z －1|＝|z ＋1|，则复数z 对应的点Z ( ) A ．在实轴上 B ．在虚轴上 C ．在第一象限D ．在第二象限[解析] 设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，由|z －1|＝|z ＋1|，得(x －1)2＋y 2＝(x ＋1)2＋y 2， 化简得x ＝0. [答案] B4．在复平面内，O 是原点，OA →，OC →，AB →对应的复数分别为－2＋i,3＋2i,1＋5i ，那么BC→对应的复数为________．[解析] ∵BC →＝－(OA →－OC →＋AB →)，∴BC →对应的复数为－[(－2＋i)－(3＋2i)＋(1＋5i)]＝－[(－2－3＋1)＋(1－2＋5)i] ＝－(－4＋4i)＝4－4i. [答案] 4－4i 5．计算：(1)(10－9i)＋(－8＋7i)－(3＋3i)；(2)(1－2i)－(2－3i)＋(3－4i)－(4－5i)＋…＋(2 015－2 016i)－(2 016－2 017i)．[解] (1)(10－9i)＋(－8＋7i)－(3＋3i) ＝(10－8－3)＋(－9＋7－3)i ＝－1－5i.(2)原式＝(1－2＋3－4＋…＋2 015－2 016)＋(－2＋3－4＋5－…－2 016＋2 017)i ＝－1 008＋1 008i.。
高中数学必修二复数教案教学内容：复数一、复数的定义1. 定义：形如a+bi的数称为复数，其中a为实部，b为虚部，i为单位虚数，满足i²=-1。
2. 实部和虚部：复数a+bi中，a称为实部，bi称为虚部。
3. 复数的运算：加法、减法、乘法、除法。
二、复数的表示形式1. 代数形式：a+bi2. 幅角形式：r(cosθ + isinθ)，其中r为模，θ为幅角。
三、复数的性质1. 复数相等：两个复数相等当且仅当它们的实部和虚部分别相等。
2. 共轭复数：若z=a+bi是一个复数，则其共轭复数为z*=a-bi。
3. 模运算法则：|z|^2 = a² + b²四、复数的运算1. 加法和减法：实部相加/相减，虚部相加/相减。
2. 乘法：展开后应用i²=-1。
3. 除法：分母有理化后可以使用乘法的性质。
五、复数在平面直角坐标系中的表示1. 复数a+bi可以在平面直角坐标系中表示为(a,b)。
2. 复平面：横坐标为实部，纵坐标为虚部。
3. 复数的加减乘除对应平面向量的加减乘除。
六、复数的应用1. 解方程：一元二次方程、二次函数。
2. 解几何问题：平面几何中的相关问题。
3. 电路分析：交流电路中的应用。
七、练习题1. 计算以下复数的和、差、积、商：(3+2i)、(1-i)、(-4+5i)。
2. 计算以下复数的共轭：(2+3i)、(4-2i)、(-1+i)。
3. 求以下复数的模：(3+4i)、(2-i)、(-5+12i)。
八、实例分析1. 一根长度为4单位的棍子和一根长度为3单位的棍子交叉后，交点到两个端点的距离分别为1单位和2单位，求这两根棍子的夹角。
2. 求下列方程的所有实数根：x² + 2x + 5 = 0；x² + 4x + 5 = 0。
教学结束。
13.2（2）复数的坐标表示一、教学目标设计理解复数的模（绝对值）的概念及它与实数绝对值的关系，并会求复数的模.渗透数形结合的数学思想．二、教学重点及难点复数的模在复平面上的几何意义及求复数的模.三、教学用具准备多媒体设备四、教学流程设计五、教学过程设计一、类比引入1.复习13.2（1）的内容，实数绝对值的定义，几何意义.2.类比猜测复数模（绝对值）的定义，几何意义.[说明]这里由于还没有学习复数的运算，共轭复数的概念.因此在模的学习中，还是以简单的运算和几何意义为主，因此为了加强几何意义的理解，从实数绝对值的几何意义入手，因为实数的几何意义是数轴上的点到原点的距离，让学生猜测复数的“绝对值”的几何意义，学生应该很容易猜测到复平面上的点到原点的距离.再从几何意义上距离的理解又很容易得到模的运算公式就是距离公式.最后只需交代在复数这里更多时候说的是复数模，这样，这部分内容就变成了给绝对值取了个新名字，其他知识都是顺理成章的.二．学习新课1.学习复数模的定义|z|=|a+bi|=22b a +.2.|z|的几何意义.通过|z|＝2，|z|<4, 2<|z|<4等一系列相似但不相同的问题，帮助学生巩固概念，加深对模的理解.3.体会z ＝a+bi, |z|与向量OZ 的模|OZ |两者之间的关系.4.例题分析例3.求下列复数的模1）z 1=3+4i2）z 2＝i 221-- 3）z 3＝icos θ+sin θ[说明]这里增加第3小题，出现字母的情况.课堂小练习：求复数z 1=3+4i 及z 2=-1+2i 的模，并比较它们的大小例4. 求证：复平面内分别和复数z 1＝1，z 2＝-i ，z 3＝cos150+sin150i ，z 4＝i 2222+对应的四点Z 1，Z 2，Z 3，Z 4共圆.三、巩固练习课本p78 T3.4复平面内，方程|z|2+2|z|-3＝0所表示的轨迹是什么？（|z|＝1，一个圆）[说明]进一步理解复数模的一些性质，为什么这里要舍去一解等等.四、课堂小结1. 复数模的定义，几何意义.2. 会求复数的模.五、作业布置：课本p78 T5 练习册 p47 T3 p48 T5，6补充作业：1212z ,,,,||||6,x yi z x yi x y R z z ==∈+=已知：求x 、y 满足的等式.（答案：14y 9x 22＝+） 已知：z 1=x 2+12+x i ，z 2=(x 2+a)i 对于任意x ∈R 均有|z 1|＞|z 2|成立，试求实数a 的取值范围.答案：(－1，12] 六、教学设计说明这节课主要是认识、掌握复数模的概念，通过对已有的实数的绝对值概念的拓展，对复数的模从“数”和“形”的两个角度进行理解和学习.在第一堂课的设计中更加偏重一点“形”，在直观的基础上，对抽象的概念理解和运用才会水到渠成。
复数的平方根和立方根
【学习目标】
理解并掌握复数的平方根和立方根的定义及平方根的求法，并能熟练计算复数平方根；理解并掌握1的立方根简单性质并能在实际问题中加以简单应用。
【学习重难点】
复数平方根和立方根的定义和平方根的求法；理解和掌握复数立方根的定义和1的立方根基本性质。
【学习过程】
（一）旧识回顾
1．复习复数相等的定义；
2．复习复数乘法和乘方的运算法则。
（二）新知学习
复数平方根：
在复数集C内，如果满足：
____________________________则称是的一个平方根。
复数的立方根：
类似地，若复数满足_____________，则称是的立方根。
（三）自我检测
1．求复数的平方根：3+4i
2．利用1的立方根，求实数27的立方根。
3．设，求证：
（1）都是1的立方根。
（2）
4．求5．求。
上海市高中数学2019-2020学年度高二数学同步教学案复数的平方根与立方根，实系数一元二次方程【知识梳理】1、复数的平方根如果),,,(,R d c b a di c bi a ∈++满足：di c bi a +=+2)(，则称bi a +是di c +的一个平方根。
【注】（1）一个非零复数的平方根都有相应的两个复数；（2）复数的平方根一般不要记为z 。
2、复数的立方根若复数21,z z 满足231z z =，则称1z 是2z 的立方根。
【注】1的立方根有三个：1，ω，2ω（其中i 2321+-=ω），满足210ωω++=。
3、实系数的一元二次方程:实系数的一元二次方程02=++c bx ax （a 、b 、c R ∈，且0≠a ）(1)当042>-=∆ac b 时，方程有两个不相等的实数根；(2)当042=-=∆ac b 时，方程有两个相等的实数根；(3)当042<-=∆ac b 时，方程在复数集范围内有一组共轭虚根 i ab ac a b a i b ac b x 2422422-±-=-±-= 21x x =—，∴2121||x x x ⋅=，1212Re x x x +=. 这时两根仍然满足韦达定理：a b x x -=+21，ac x x =⋅21 【注】（1）实系数一元二次方程有虚根必定成对出现，并且共轭。
（2）实系数一元二次方程02=++c bx ax 在复数范围内总有两个解1x 、2x ，总可以进行因式分解：))((212x x x x a c bx ax --=++。
【典型例题分析】（一）复数的平方根与立方根例1、求下列复数的平方根（1）-7（2）-3+4i答案：（1）（2）1+2i 或-1-2i变式练习：设2,,,z C z a a R ∈=∈求实数z. 解析：分类讨论a>0时，z =a<0时，z =；a=0时，z=0.223212101ωωωωωωωωω=-+===设复数则1，，都是1的立方根。
的性质：+，， 例2、利用1的立方根ω，求下列实数的立方根。
(1)64 ；(2)-125答案：略变式练习：计算复数12z =的值。
答案：-64。
（二）实系数一元二次方程例1、在复数范围内分解因式：2223x x ++【分析】若12,x x 是实系数一元二次方程20ax bx c ++=的根，则有2ax bx c ++=()()12a x x x x --【解】222223244x x x x ⎛⎫⎛⎫-+-++=-- ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭2x x ⎛=+ ⎝⎭⎝⎭变式练习1：已知1-i 是实系数一元二次方程20xpx q ++=的一个根，则p q ⋅=【答案】8-例2、复数z 满足方程210z z ++=，求()41z z ++的值 【分析】由210z z ++=知，z 是1的两个立方虚根，故令z w =【解】由210z z ++=得，21102z w z w w w ==-+=∴++= 所以原式()()4428211w w w w w w w w =++=-+=+=+=-【点拨】本题的关键是由210z z ++=得，z w =z w =或例3、若12,z z 为虚数且为实系数一元二次方程20x px q ++=的两个根，且212z z =，求,p q 的值。
【分析】由条件虚数且为实系数一元二次方程两根，故两根互为共轭，即21z z =，又212z z =，由两个条件可求出12,z z ，再利用根与系数求,p q【解】设()1,,0z a bi a b R b =+∈≠，则2z a bi =-，于是()2a bi a bi +=-，即222a b abi a bi -+=-，从而221222a ab a ab b b ⎧=-⎪⎧-=⎪⇒⎨⎨=-⎩⎪=±⎪⎩即此一元二次方程的根为12-±所以1112222p i ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=--++--=⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦1112222q i i ⎛⎫⎛⎫=-+--= ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ 例4、设,αβ为实系数一元二次方程两虚根，且2R αβ∈，求αβ的值。
【分析】本题未给出具体方程，但要求αβ具体的值，两个人条件中第一个条件只能说明αβ=，而条件2R αβ∈有两个等价形式：2αβ的虚部为零或22ααββ⎛⎫= ⎪⎝⎭，由于条件一中涉及到共轭问题，因此考虑第二种形式 由2R αβ∈得22ααββ⎛⎫= ⎪⎝⎭，即22ααββ=，因,αββα==，故22αββα= 从而31αβ⎛⎫= ⎪⎝⎭，因,αβ为共轭复数，故αβ为虚数，即αβ=本题若直接设(),,0a bi a b R b α=+∈≠,a bi β=-代入2R αβ∈得出a 与b 的关系，同样可求出αβ的值，不妨试一试。
例5、已知z 为复数（1）若10z z+=，求z （2）若122z z -<+<，求z 【解】（1）22110010z z z z z++=∴=∴+= 21z z i ∴=-∴=± （2）设1k z z=+，则22,k k R -<<∈故 从而2210,40z kz k -+==-<V 故该实系数一元二次方程有两共轭虚根,αβ，由韦达定理1αβ=g ，即21ααα==g 所以1αβ==，即满足122z z -<+<的复数z 必然有1z =例6、设虚数12,z z 满足212z z =，若12,z z 又是一个实数系一元二次方程的两根，求12,z z【分析】由于12,z z 是实数系一元二次方程的两根，因此12,z z 互为共轭。
【解】设12,z a bi z a bi =+=-(),,0a b R b ∈≠由212z z =，得222a b abi a bi -+=-于是2211222a a a b a ab b b b ⎧⎧=-=-⎪⎪⎧-=⎪⎪⇒⎨⎨⎨=-⎩⎪⎪==⎪⎪⎩⎩1211,22z z ∴=-=--或1211,22z z =--=- 例7、求实数m ，使方程()()2210x m i x mi ++++=至少有一个实根。
【错解】由()()2224180m i mi m =+-+=-≥V2m m ⇒≤-≥【错解分析】本题错在把实数系一元二次方程的根判别式套用到复数系一元二次方程中，事实上，判别式对复数系一元二次方程不成立，正确的解法是将复数问题实数化。
【正解】设,z t t R =∈为原方程的根，则原方程化为()()2120t mt t m i ++++= 2110220t t mt m t m =±⎧++=⎧⇒⎨⎨=+=⎩⎩m 故当2m =±时，方程至少有一个实数。
例8、设方程0222=+-m x x 的两根为21,x x ，且321=-x x ，求实数m 的值。
【答案】11744m =-或变式练习：设α，β是关于x 的方程230x x m -+=的两根，m ∈R ，且9αβ+=，试求m 的值。
【答案】81184-或【课堂小练】1、已知关于x 的二次方程0342=++-i zx x 有实根，求复数z 的模的最小值。
答案：2、设,2321i w --=则23,__________w w ==2,1_____w w ++=。
·【答案】1,22i -+ 1， 0 3、若i 21+是方程),(,022R c b c bx x ∈=++的一个根，则=b __________，=c _________。
【答案】4,- 104、在复数范围内分解因式：8522+-x x =_________________________。
【答案】11222x x ⎛⎫⎛⎫---- ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭5、164-x 在复数范围内分解成一次式的乘积为 。
【答案】()()()()2222x x x i x i +-+- 6、在复数集中分解因式：2321x x -+= 。
【答案】3x x ⎛⎝⎭⎝⎭7、若方程220()x ax a R -+=∈有虚数根z ，则|z|= 。
8、已知实系数方程0)1(2=+--k x k x 的虚根的模等于5，求k 的值，并解此方程。
【答案】5k = 2x i =±9、已知关于x 的方程222440xax a a -+-+=()a R ∈的两根为α、β，且3αβ+=，求实数a 的值。
【答案】1322a =或10、已知方程02=++m x x 有两个根1x ，2x ，R m ∈。
（1）若3||21=-x x ，求m ； （2）若3||||21=+x x ，求m 。
【答案】（1）522-或 （2）924-或 11、若关于x 的实系数一元二次方程052=++m x x 的两个虚根1x 、2x 满足321=-x x ，则实数m 的值是( ) (A) 17 (B)217 (C) 8 (D ） 4 【答案】B12、复数i 43+-的平方根是 。
【答案】2,2i i +--13、1的立方根是 。
【答案】1，12-±14、求值：（1）()()615122143i i i i --+++- （2）()()()i i i 4091123+-+ 【答案】（1）111i - （2）4931241i -15、设复数()()R a i a a a a z ∈+-+-+=其中,67222，当a 取何值时，z 所对应的点在复平面的第四象限内？【答案】16a <<16、若()R b a bi a z ∈+=,满足5=z ,且()()i b a b a 3443++-是纯虚数，求复数z 。
【答案】4,34,3a b a b ===-=-或17、复数()()i k k k k -+--22232在复平面内对应的点在第二象限，求实数k 的取值范围。
【答案】20k -<<18、设复数()0,,≠∈+=b R b a bi a z ，22b a bi a bi a w +-++=是实数，且21<<-w 。
（1）求z 的值； （2）求z 的实部a 的取值范围。
【答案】（1）1 （2）112a -<<19、已知复数()()ii i z +-++=21312，且i b az z +=++12，求实数b a ,的值。
【答案】3,4a b =-=【课堂总结】1、关于复系数一元二次方程()200,,,ax bx c a a b c C ++=≠∈24b ac =-V 一般不能用来判断这个方程根的情况，然而实系数一元二次方程中根与系数的关系对于复系数一元二次方程仍适用，即有1212,b c x x x x a a+=-=。
