【精编】2016-2017年广东省汕头市金山中学高二(上)数学期中试卷和参考答案(文科)

2016-2017学年广东省汕头市金山中学高二（上）12月月考数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．在空间中，设m表示直线，α，β表示不同的平面，则下列命题正确的是（）A．若α∥β，m∥α，则m∥βB．若α⊥β，m⊥α，则m∥βC．若α⊥β，m∥α，则m⊥βD．若α∥β，m⊥α，则m⊥β2．已知焦点在y轴上的椭圆方程为，则m的范围为（）A．（4，7） B．（5.5，7）C．（7，+∞）D．（﹣∞，4）3．如果椭圆的焦距、短轴长、长轴长成等差数列，则椭圆的离心率为（）A．B．C．D．4．若某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）A．B．C．2 D．65．如图，一个三棱柱形容器中盛有水，且侧棱AA1=8．若侧面AA1B1B水平放置时，液面恰好过AC，BC，A1C1，B1C1的中点．则当底面ABC水平放置时，液面高为（）A ．4B ．5C ．6D ．76．设命题甲：ax 2+2ax +1＞0的解集是实数集R ；命题乙：0＜a ＜1，则命题甲是命题乙成立的（ ）A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既非充分又非必要条件7．设圆（x +1）2+y 2=25的圆心为C ，A （1，0）是圆内一定点，Q 为圆周上任一点．线段AQ 的垂直平分线与CQ 的连线交于点M ，则M 的轨迹方程为（ ）A ．B ．C ．D ．8．若3a 2+3b 2﹣4c 2=0，则直线ax +by +c=0被圆x 2+y 2=1所截得的弦长为（ ）A ．B ．1C ．D ．9．直线x +a 2y +1=0与直线（a 2+1）x ﹣by +3=0互相垂直，a ，b ∈R 则|ab |的最小值为（ ） A ．1B ．2C ．4D ．510．如图，在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，O 是底面ABCD 的中心，E 为CC 1的中点，那么异面直线OE 与AD 1所成角的余弦值等于（ ）A ．B ．C ．D ．11．给出下列四个命题：①命题“∀x∈R，都有x2﹣x+1≥”的否定是“∃x∈R，使x2﹣x+1＜”②命题“设向量=（4sinα，3），=（2，3cosα），若∥，则α=的逆命题、否命题、逆否命题中真命题的个数为2；③集合A={x|x2﹣x=0}，B={y|y=﹣lg（sinx）}，C={y|y=}则x∈A是x∈B ∩C的充分不必要条件．其中正确命题的个数为（）A．0 B．1 C．2 D．312．已知F1、F2为椭圆的左、右焦点，若M为椭圆上一点，且△MF1F2的内切圆的周长等于3π，则满足条件的点M有（）个．A．0 B．1 C．2 D．4二、填空题（每小题5分，共20分.把答案填在答卷中相应横线上）13．设a∈R，则“a=1”是“直线l1：ax+2y=0与直线l2：x+（a+1）y+4=0平行”的条件．14．若直线2ax﹣by+2=0（a＞0，b＞0）经过圆x2+y2+2x﹣4y+1=0的圆心，则+的最小值是．15．已知O为坐标原点，F是椭圆C：=1（a＞b＞0）的左焦点，A，B 分别为C的左，右顶点．P为C上一点，且PF⊥x轴．过点A的直线l与线段PF 交于点M，与y轴交于点E．若直线BM经过OE的中点，则C的离心率为．16．在直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD是正方形，AB=2，AA1=2，点A、B、C、D在球O的表面上，球O与BA1的另一个交点为E，与CD1的另一个交点为F，且AE⊥BA1，则球O的表面积为．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．已知公差为正数的等差数列{a n}满足a1=1，2a1，a3﹣3，a4+5成等比数列．（1）求{a n}的通项公式；（2）若b n=（﹣1）n a n，求数列{b n}的前n项和T n．18．设函数f（x）=cos（x+π）+2cos2，x∈R．（1）求f（x）的值域；（2）记△ABC内角A、B、C的对边长分别为a，b，c，若f（B）=1，b=1，c=，求a的值．19．如图，已知三棱锥O﹣ABC的侧棱OA，OB，OC两两垂直，且OA=1，OB=OC=2，E是OC的中点．（1）求O点到面ABC的距离；（2）求二面角E﹣AB﹣C的正弦值．20．已知椭圆E： +=1（a＞b＞0）的一个焦点为F1（﹣，0），而且过点H（，）．（1）求椭圆E的方程；（2）设椭圆E的上下顶点分别为A1，A2，P是椭圆上异于A1，A2的任一点，直线PA1，PA2分别交x轴于点N，M，若直线OT与过点M，N的圆G相切，切点为T．证明：线段OT的长为定值，并求出该定值．21．设圆x2+y2+2x﹣15=0的圆心为A，直线l过点B（1，0）且与x轴不重合，l交圆A于C，D两点，过B作AC的平行线交AD于点E．（Ⅰ）证明|EA|+|EB|为定值，并写出点E的轨迹方程；（Ⅱ）设点E的轨迹为曲线C1，直线l交C1于M，N两点，过B且与l垂直的直线与圆A交于P，Q两点，求四边形MPNQ面积的取值范围．2016-2017学年广东省汕头市金山中学高二（上）12月月考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．在空间中，设m表示直线，α，β表示不同的平面，则下列命题正确的是（）A．若α∥β，m∥α，则m∥βB．若α⊥β，m⊥α，则m∥βC．若α⊥β，m∥α，则m⊥βD．若α∥β，m⊥α，则m⊥β【考点】命题的真假判断与应用；空间中直线与平面之间的位置关系；平面与平面之间的位置关系．【分析】利用直线与平面垂直的判定定理与线面平行的判断定理，平面与平面平行的判定与性质定理，对选项逐一判断即可．【解答】解：若α∥β，m∥α，则m∥β或m⊂β，故A错误；若α⊥β，m⊥α，则m∥β或m⊂β，故B错误；若α⊥β，m∥α，则m与β可能平行，可能相交，也可能线在面内，故C错误；若α∥β，m⊥α，根据两个平行的平面与同一直线的夹角相同，可得m⊥β，故D 正确故选D2．已知焦点在y轴上的椭圆方程为，则m的范围为（）A．（4，7） B．（5.5，7）C．（7，+∞）D．（﹣∞，4）【考点】椭圆的标准方程．【分析】利用椭圆焦点在y轴上，可得不等式，从而可求m的范围．【解答】解：由题意，m﹣4＞7﹣m＞0，∴5.5＜m＜7∴m的范围为（5.5，7）故选B．3．如果椭圆的焦距、短轴长、长轴长成等差数列，则椭圆的离心率为（）A．B．C．D．【考点】椭圆的简单性质；等差数列的性质．【分析】设出椭圆的标准方程，由题意结合等差中项的定义建立关于a、b、c的等式，结合b2=a2﹣c2消去b得到关于a、c的二次方程，解之可得c、a的比值，即得此椭圆的离心率．【解答】解：设椭圆的方程为∵椭圆的焦距、短轴长、长轴长成等差数列，∴2×2b=2c+2a，可得b=（a+c）∵b2=a2﹣c2，∴[（a+c）]2=a2﹣c2，化简得5c2+2ac﹣3a2=0等式两边都除以a2，得5e2+2e﹣3=0，解之得e=（﹣1舍去）即椭圆的离心率为故选：C4．若某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）A．B．C．2 D．6【考点】由三视图求面积、体积．【分析】通过三视图判断几何体的形状，通过三视图的数据，求出几何体的体积即可．【解答】解：由三视图可知，几何体是底面为直角梯形，一条侧棱垂直底面的四棱锥，底面直角梯形的底边长分别为：2，1；高为2，棱锥的高为：2；所以棱锥的体积为：=2．故选C．5．如图，一个三棱柱形容器中盛有水，且侧棱AA1=8．若侧面AA1B1B水平放置时，液面恰好过AC，BC，A1C1，B1C1的中点．则当底面ABC水平放置时，液面高为（）A．4 B．5 C．6 D．7【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；棱柱的结构特征．【分析】根据题意，当底面ABC水平放置时，水的形状为四棱柱形，由已知条件求出水的体积；当底面ABC水平放置时，水的形状为三棱柱形，设水面高为h，故水的体积可以用三角形的面积直接表示出，计算即可得答案．【解答】解：根据题意，当侧面AA1B1B水平放置时，水的形状为四棱柱形，底面是梯形，S，设△ABC的面积为S，则S梯形=S×AA1=6S，水的体积V水=当底面ABC水平放置时，水的形状为三棱柱形，设水面高为h，则有V水=Sh=6S，故h=6；故选：C．6．设命题甲：ax2+2ax+1＞0的解集是实数集R；命题乙：0＜a＜1，则命题甲是命题乙成立的（）A．充分非必要条件 B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分又非必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；一元二次不等式的解法．【分析】利用充分必要条件的判断方法判断两命题的推出关系，注意不等式恒成立问题的处理方法．【解答】解：ax2+2ax+1＞0的解集是实数集R①a=0，则1＞0恒成立②a≠0，则，故0＜a＜1由①②得0≤a＜1．即命题甲⇔0≤a＜1．因此甲推不出乙，而乙⇒甲，因此命题甲是命题乙成立的必要非充分条件．故选B．7．设圆（x+1）2+y2=25的圆心为C，A（1，0）是圆内一定点，Q为圆周上任一点．线段AQ的垂直平分线与CQ的连线交于点M，则M的轨迹方程为（）A．B．C．D．【考点】圆锥曲线的轨迹问题．【分析】根据线段中垂线的性质可得，|MA|=|MQ|，又|MQ|+|MC|=半径5，故有|MC|+|MA|=5＞|AC|，根据椭圆的定义判断轨迹椭圆，求出a、b值，即得椭圆的标准方程．【解答】解：由圆的方程可知，圆心C（﹣1，0），半径等于5，设点M的坐标为（x，y ），∵AQ的垂直平分线交CQ于M，∴|MA|=|MQ|．又|MQ|+|MC|=半径5，∴|MC|+|MA|=5＞|AC|．依据椭圆的定义可得，点M的轨迹是以A、C 为焦点的椭圆，且2a=5，c=1，∴b=，故椭圆方程为=1，即．故选D．8．若3a2+3b2﹣4c2=0，则直线ax+by+c=0被圆x2+y2=1所截得的弦长为（）A．B．1 C．D．【考点】直线与圆相交的性质．【分析】由已知中3a2+3b2﹣4c2=0，可以求出圆x2+y2=1的圆心（原点）到直线ax+by+c=0的距离，然后根据圆半径、弦心距、半弦长构造直角三角形，满足勾股定理，即可求出弦长．【解答】解：∵3a2+3b2﹣4c2=0∴a2+b2=c2则圆x2+y2=1的圆心到直线ax+by+c=0的距离d==；则直线ax+by+c=0被圆x2+y2=1所截得的弦长l=2=1；故选B．9．直线x+a2y+1=0与直线（a2+1）x﹣by+3=0互相垂直，a，b∈R则|ab|的最小值为（）A．1 B．2 C．4 D．5【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系．【分析】由直线与直线互相垂直的性质得a2+1﹣a2b=0，从而|b|=||，进而|ab|=|a•|=|a+|，由此能求出|ab|的最小值．【解答】解：∵直线x+a2y+1=0与直线（a2+1）x﹣by+3=0互相垂直，a，b∈R，∴a2+1﹣a2b=0∴|b|=||，∴|ab|=|a•|=|a+|≥2∴|ab|的最小值是2．故选：B．10．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，O是底面ABCD的中心，E为CC1的中点，那么异面直线OE与AD1所成角的余弦值等于（）A．B．C．D．【考点】异面直线及其所成的角．【分析】由正方体的结构特征，我们取BC的中点F，连接EF，OF，BC1，可证得∠OEF即为异面直线OE与AD1所成角，解△OEF即可得到答案．【解答】解：取BC的中点F，连接EF，OF，BC1，如图所示：∵E为CC1的中点，EF∥BC1∥AD1，故∠OEF即为异面直线OE与AD1所成角设正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，则在△OEF中，EF=，OE=故cos∠OEF==故选D11．给出下列四个命题：①命题“∀x∈R，都有x2﹣x+1≥”的否定是“∃x∈R，使x2﹣x+1＜”②命题“设向量=（4sinα，3），=（2，3cosα），若∥，则α=的逆命题、否命题、逆否命题中真命题的个数为2；③集合A={x|x2﹣x=0}，B={y|y=﹣lg（sinx）}，C={y|y=}则x∈A是x∈B ∩C的充分不必要条件．其中正确命题的个数为（）A．0 B．1 C．2 D．3【考点】命题的真假判断与应用．【分析】写出原命题的否定，可判断①；根据互为逆否的两个命题真假性相同，可判断②；根据充要条件的定义，可判断③．【解答】解：①命题“∀x∈R，都有x2﹣x+1≥”的否定是“∃x∈R，使x2﹣x+1＜”，故①正确；②命题“设向量=（4sinα，3），=（2，3cosα），若∥，则6sin2α﹣6=0，即sin2α=1，故原命题若∥，则α=为假命题，其逆否命题假命题，其逆命题、否命题为真命题，故②正确；③集合A={x|x2﹣x=0}={0，1}，B={y|y=﹣lg（sinx）}=[0，+∞），C={y|y=}=[0，1]，故B∩C=[0，1]，则x∈A是x∈B∩C的充分不必要条件．故③正确；故选：D．12．已知F1、F2为椭圆的左、右焦点，若M为椭圆上一点，且△MF1F2的内切圆的周长等于3π，则满足条件的点M有（）个．A．0 B．1 C．2 D．4【考点】直线与圆锥曲线的关系．【分析】设△MF1F2的内切圆的半径等于r，根据2πr=3π，求得r 的值，由椭圆的定义可得MF1 +MF2=2a，故△MF1F2的面积等于（MF1 +MF2+2c ）r=8r，又△MF1F2的面积等于2c y M=12，求出y M的值，可得答案．【解答】解：设△MF1F2的内切圆的半径等于r，则由题意可得2πr=3π，∴r=．由椭圆的定义可得MF1 +MF2=2a=10，又2c=6，∴△MF1F2的面积等于（MF1 +MF2+2c ）r=8r=12．又△MF1F2的面积等于•2c•|y M|=12，∴|y M|=4，故M是椭圆的短轴顶点，故满足条件的点M有2个，故选：C．二、填空题（每小题5分，共20分.把答案填在答卷中相应横线上）13．设a∈R，则“a=1”是“直线l1：ax+2y=0与直线l2：x+（a+1）y+4=0平行”的充分不必要条件．【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】根据充分必要条件的定义以及集合的包含关系判断即可．【解答】解：若直线l1：ax+2y=0与直线l2：x+（a+1）y+4=0平行，则a（a+1）=2，即a2+a﹣2=0，解得：a=1或a=﹣2，故“a=1”是“直线l1：ax+2y=0与直线l2：x+（a+1）y+4=0平行“的充分不必要条件，故答案为：充分不必要．14．若直线2ax﹣by+2=0（a＞0，b＞0）经过圆x2+y2+2x﹣4y+1=0的圆心，则+的最小值是4．【考点】基本不等式在最值问题中的应用；直线与圆的位置关系．【分析】求出圆的圆心坐标，代入直线方程，得到ab关系式，然后通过”1“的代换利用基本不等式求解即可．【解答】解：x2+y2+2x﹣4y+1=0的圆心（﹣1，2），所以直线2ax﹣by+2=0（a＞0，b＞0）经过圆心，可得：a+b=1，+=（+）（a+b）=2+≥4，当且仅当a=b=．+的最小值是：4．故答案为：4．15．已知O为坐标原点，F是椭圆C：=1（a＞b＞0）的左焦点，A，B 分别为C的左，右顶点．P为C上一点，且PF⊥x轴．过点A的直线l与线段PF交于点M，与y轴交于点E．若直线BM经过OE的中点，则C的离心率为．【考点】椭圆的简单性质．【分析】由题意可得F，A，B的坐标，设出直线AE的方程为y=k（x+a），分别令x=﹣c，x=0，可得M，E的坐标，再由中点坐标公式可得H的坐标，运用三点共线的条件：斜率相等，结合离心率公式，即可得到所求值．【解答】解：由题意可设F（﹣c，0），A（﹣a，0），B（a，0），令x=﹣c，代入椭圆方程可得y=±，可得P（﹣c，±）．设直线AE的方程为y=k（x+a），令x=﹣c，可得M（﹣c，k（a﹣c）），令x=0，可得E（0，ka），设OE的中点为H，可得H（0，），由B，H，M三点共线，可得k BH=k BM，即=，即为a=3c，可得e==，故答案为：．16．在直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD是正方形，AB=2，AA1=2，点A、B、C、D在球O的表面上，球O与BA1的另一个交点为E，与CD1的另一个交点为F，且AE⊥BA1，则球O的表面积为8π．【考点】球的体积和表面积．【分析】连结EF，DF，说明三棱柱ABE﹣DCF是球O的内接直三棱柱，求出球的半径，即可求解球的表面积．【解答】解：连结EF，DF，易证得BCEF是矩形，则三棱柱ABE﹣DCF是球O的内接直三棱柱，∵AB=2，AA1=2，∴tan∠ABA1=，即∠ABA1=60°，又AE⊥BA1，∴AE=，BE=1，∴球O的半径R==，球O表面积为：4πR2=4π=8π．故答案为：8π．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．已知公差为正数的等差数列{a n}满足a1=1，2a1，a3﹣3，a4+5成等比数列．（1）求{a n}的通项公式；（2）若b n=（﹣1）n a n，求数列{b n}的前n项和T n．【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】（1）公差d为正数的等差数列{a n}满足a1=1，2a1，a3﹣3，a4+5成等比数列．可得=2a1•（a4+5），即（2d﹣2）2=2（6+3d），解出即可得出．（2）由（1）可得，对n分类讨论即可得出．【解答】解：（1）公差d为正数的等差数列{a n}满足a1=1，2a1，a3﹣3，a4+5成等比数列．∴=2a1•（a4+5），即（2d﹣2）2=2（6+3d），化为：2d2﹣7d﹣4=0，d＞0，解得d=4，∴a n=4n﹣3．（2）由（1）可得，当n为偶数时，，当n为奇数时，n+1为偶数，T n=T n+1﹣b n+1=2（n+1）﹣（4n+1）=﹣2n+1，综上，．18．设函数f（x）=cos（x+π）+2cos2，x∈R．（1）求f（x）的值域；（2）记△ABC内角A、B、C的对边长分别为a，b，c，若f（B）=1，b=1，c=，求a的值．【考点】正弦函数的定义域和值域；正弦定理；余弦定理．【分析】（I）将f（x）=cos（x+π）+2化简，变形后可以用三角函数的有界性求值域．（II）由f（B）=1 求出∠B，利用余弦定理建立关于a的方程求出a．【解答】解：（I）f（x）=cos（x+π）+2=cosxcosπ﹣sinxsinπ+cosx+1=﹣cosx﹣sinx+cosx+1=cosx﹣sinx+1=sin（x+）+1因此函数f（x）的值域为[0，2]（II）由f（B）=1 得sin（B+）+1=1，即sin（B+）=0，即B+=0或π，B=或﹣又B是三角形的内角，所以B=由余弦定理得b2=a2+c2﹣2accosB即1=a2+3﹣3a，整理a2﹣3a+2=0解得a=1或a=2答：（I）函数f（x）的值域为[0，2]（II）a=1或a=219．如图，已知三棱锥O﹣ABC的侧棱OA，OB，OC两两垂直，且OA=1，OB=OC=2，E是OC的中点．（1）求O点到面ABC的距离；（2）求二面角E﹣AB﹣C的正弦值．【考点】用空间向量求平面间的夹角；点、线、面间的距离计算．【分析】通过以O为原点，OB、OC、OA分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系．利用点O到面ABC的距离公式d=，两个平面的法向量夹角公式=即可得出．．【解答】解：（1）以O为原点，OB、OC、OA分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系．则A（0，0，1），B（2，0，0），C（0，2，0），E（0，1，0）．∴，．设平面ABC的法向量为，则，令x=1，则z=2，y=1，∴．∴点O到面ABC的距离d===．（2）=（2，﹣1，0）．设平面EAB的法向量为，则，令a=1，得b=c=2，∴．由（1）知平面ABC的法向量．===．∴==．结合图形可知，二面角E﹣AB﹣C的正弦值是．20．已知椭圆E： +=1（a＞b＞0）的一个焦点为F1（﹣，0），而且过点H（，）．（1）求椭圆E的方程；（2）设椭圆E的上下顶点分别为A1，A2，P是椭圆上异于A1，A2的任一点，直线PA1，PA2分别交x轴于点N，M，若直线OT与过点M，N的圆G相切，切点为T．证明：线段OT的长为定值，并求出该定值．【考点】圆与圆锥曲线的综合；椭圆的定义；椭圆的标准方程．【分析】（Ⅰ）解法一：根据椭圆E：的一个交点为，过点，可得a2﹣b2=3，，联立即可求得椭圆E的方程；解法二：椭圆的两个焦点分别为，利用椭圆的定义，可求椭圆E的方程；（Ⅱ）解法一：由（Ⅰ）可知A1（0，1），A2（0，﹣1），设P（x0，y0），求出，同设圆G的圆心为，利用，即可得到线段OT的长度；解法二：由（Ⅰ）可知A1（0，1），A2（0，﹣1），设P（x0，y0），求出，，可得，由切割线定理可得线段OT的长度．【解答】（Ⅰ）解法一：由题意，∵椭圆E：的一个交点为，∴a2﹣b2=3，①∵椭圆过点．∴，②①②解得a2=4，b2=1，所以椭圆E的方程为．…解法二：椭圆的两个焦点分别为，由椭圆的定义可得，所以a=2，b2=1，所以椭圆E的方程为．…（Ⅱ）解法一：由（Ⅰ）可知A1（0，1），A2（0，﹣1），设P（x0，y0），直线PA1：，令y=0，得；直线PA2：，令y=0，得；设圆G的圆心为，则r2=，而，所以，所以，所以|OT|=2，即线段OT的长度为定值2．…解法二：由（Ⅰ）可知A1（0，1），A2（0，﹣1），设P（x0，y0），直线PA1：，令y=0，得；直线PA2：，令y=0，得；则，而，所以，所以，由切割线定理得OT2=|OM|•|ON|=4所以|OT|=2，即线段OT的长度为定值2．…21．设圆x2+y2+2x﹣15=0的圆心为A，直线l过点B（1，0）且与x轴不重合，l 交圆A于C，D两点，过B作AC的平行线交AD于点E．（Ⅰ）证明|EA|+|EB|为定值，并写出点E的轨迹方程；（Ⅱ）设点E的轨迹为曲线C1，直线l交C1于M，N两点，过B且与l垂直的直线与圆A交于P，Q两点，求四边形MPNQ面积的取值范围．【考点】直线与椭圆的位置关系；圆的一般方程．【分析】（Ⅰ）求得圆A的圆心和半径，运用直线平行的性质和等腰三角形的性质，可得EB=ED，再由圆的定义和椭圆的定义，可得E的轨迹为以A，B为焦点的椭圆，求得a，b，c，即可得到所求轨迹方程；（Ⅱ）设直线l：x=my+1，代入椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式，可得|MN|，由PQ⊥l，设PQ：y=﹣m（x﹣1），求得A到PQ的距离，再由圆的弦长公式可得|PQ|，再由四边形的面积公式，化简整理，运用不等式的性质，即可得到所求范围．【解答】解：（Ⅰ）证明：圆x2+y2+2x﹣15=0即为（x+1）2+y2=16，可得圆心A（﹣1，0），半径r=4，由BE∥AC，可得∠C=∠EBD，由AC=AD，可得∠D=∠C，即为∠D=∠EBD，即有EB=ED，则|EA|+|EB|=|EA|+|ED|=|AD|=4，故E的轨迹为以A，B为焦点的椭圆，且有2a=4，即a=2，c=1，b==，则点E的轨迹方程为+=1（y≠0）；（Ⅱ）椭圆C1： +=1，设直线l：x=my+1，由PQ⊥l，设PQ：y=﹣m（x﹣1），由可得（3m2+4）y2+6my﹣9=0，设M（x1，y1），N（x2，y2），可得y1+y2=﹣，y1y2=﹣，则|MN|=•|y1﹣y2|=•=•=12•，A到PQ的距离为d==，|PQ|=2=2=，则四边形MPNQ面积为S=|PQ|•|MN|=••12•=24•=24，当m=0时，S取得最小值12，又＞0，可得S＜24•=8，即有四边形MPNQ面积的取值范围是[12，8）．2017年4月7日。

2015-2016学年广东省汕头市金山中学高二（上）期中数学试卷（文科）一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知集合A={（x，y）|x，y为实数，且x2+y2=1}，B={（x，y）|x，y为实数，且y=x}，则A∩B的元素个数为（）A．0 B．1 C．2 D．32．一个四面体的顶点在空间直角坐标系O﹣xyz中的坐标分别是（1，0，1），（1，1，0），（0，1，1），（0，0，0），画该四面体三视图中的正视图时，以zOx平面为投影面，则得到正视图可以为（）A．B．C．D．3．圆（x+2）2+y2=4与圆（x﹣2）2+（y﹣1）2=9的位置关系为（）A．内切 B．相交 C．外切 D．相离4．下列命题中正确的有（）个．①若两条直线和第三条直线所成的角相等，则这两条直线互相平行．②空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．③四面体的四个面中，最多有四个直角三角形．④若两个平面垂直，则一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面的无数条直线．A．1 B．2 C．3 D．45．已知过点A（﹣2，m）和B（m，4）的直线与直线2x+y﹣1=0平行，则m的值为（）A．0 B．﹣8 C．2 D．106．已知x，y满足约束条件，则z=2x+y的最大值为（）A．1 B．2 C．3 D．47．直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，若∠BAC=90°，AB=AC=AA1，则异面直线BA1与AC1所成的角等于（）A．30° B．45° C．60° D．90°8．如果直线l经过圆x2+y2﹣2x﹣4y=0的圆心，且直线l不通过第四象限，那么直线l的斜率的取值范围是（）A．[0，2] B．[0，1] C．[0，] D．[0，]9．过点A（a，a）可作圆x2+y2﹣2ax+a2+2a﹣3=0的两条切线，则实数a的取值范围为（）A．a＜﹣3或B．C．a＜﹣3 D．﹣3＜a＜1或10．已知A，B是球O的球面上两点，∠AOB=90°，C为该球面上的动点，若三棱锥O﹣ABC 体积的最大值为36，则球O的表面积为（）A．36π B．64π C．144πD．256π11．已知矩形ABCD，AB=1，BC=．将△ABD沿矩形的对角线BD所在的直线进行翻折，在翻折过程中（）A．存在某个位置，使得直线AC与直线BD垂直B．存在某个位置，使得直线AB与直线CD垂直C．存在某个位置，使得直线AD与直线BC垂直D．对任意位置，三对直线“AC与BD”，“AB与CD”，“AD与BC”均不垂直12．在平面直角坐标系中，两点P1（x1，y1），P2（x2，y2）间的“L﹣距离”定义为|P1P2|=|x1﹣x2|+|y1﹣y2|．则平面内与x轴上两个不同的定点F1，F2的“L﹣距离”之和等于定值（大于|F1F2|）的点的轨迹可以是（）A．B．C．D．二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知两直线l1：ax﹣2y+1=0，l2：x﹣ay﹣2=0．当a= 时，l1⊥l2．14．若圆心在x轴上、半径为的圆O位于y轴左侧，且与直线x+y=0相切，则圆O的方程是．15．已知x2+y2=4x，则x2+y2的取值范围是．16．设m∈R，过定点A的动直线x+my=0和过定点B的动直线mx﹣y﹣m+3=0交于点P（x，y）．则|PA|•|PB|的最大值是．三、解答题：（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．在△ABC中，已知AB=2，AC=3，A=60°．（1）求BC的长；（2）求sin2C的值．18．S n为数列{a n}的前n项和，已知a n＞2，且a n2+4n=4S n+1．（1）求证：{a n}为等差数列；（2）设b n=，求数列{b n}的前n项和．19．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BAC=90°，AB=AC=2，AA1=4，A1在底面ABC的射影为BC的中点E，D是B1C1的中点．（1）证明：A1D⊥平面A1BC；（2）求点B到平面A1ACC1的距离．20．圆C过点M（﹣2，0）及原点，且圆心C在直线x+y=0上．（1）求圆C的方程；（2）定点A（1，3），由圆C外一点P（a，b）向圆C引切线PQ，切点为Q，且满足|PQ|=|PA|．①求|PQ|的最小值及此刻点P的坐标；②求||PC|﹣|PA||的最大值．21．在平面直角坐标系xoy中，已知圆C1：（x+3）2+（y﹣1）2=4和圆C2：（x﹣4）2+（y﹣5）2=4（1）若直线l过点A（4，0），且被圆C1截得的弦长为2，求直线l的方程（2）设P为平面上的点，满足：存在过点P的无穷多对互相垂直的直线l1和l2，它们分别与圆C1和C2相交，且直线l1被圆C1截得的弦长与直线l2被圆C2截得的弦长相等，求所有满足条件的点P的坐标．2015-2016学年广东省汕头市金山中学高二（上）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知集合A={（x，y）|x，y为实数，且x2+y2=1}，B={（x，y）|x，y为实数，且y=x}，则A∩B的元素个数为（）A．0 B．1 C．2 D．3【考点】交集及其运算．【专题】集合．【分析】据观察发现，两集合都表示的是点集，所以求两集合交集即为两函数的交点，则把两集合中的函数关系式联立求出两函数的交点坐标，交点有几个，两集合交集的元素就有几个．【解答】解：联立两集合中的函数解析式得：，把②代入①得：2x2=1，解得x=±，分别把x=±代入②，解得y=±，所以两函数图象的交点有两个，坐标分别为（，）和（﹣，﹣），则A∩B的元素个数为2个．故选C【点评】此题考查学生理解两个点集的交集即为两函数图象的交点个数，是一道基础题．2．一个四面体的顶点在空间直角坐标系O﹣xyz中的坐标分别是（1，0，1），（1，1，0），（0，1，1），（0，0，0），画该四面体三视图中的正视图时，以zOx平面为投影面，则得到正视图可以为（）A．B．C．D．【考点】简单空间图形的三视图．【专题】计算题；作图题．【分析】由题意画出几何体的直观图，然后判断以zOx平面为投影面，则得到正视图即可．【解答】解：因为一个四面体的顶点在空间直角坐标系O﹣xyz中的坐标分别是（1，0，1），（1，1，0），（0，1，1），（0，0，0），几何体的直观图如图，是正方体的顶点为顶点的一个正四面体，所以以zOx平面为投影面，则得到正视图为：故选A．【点评】本题考查几何体的三视图的判断，根据题意画出几何体的直观图是解题的关键，考查空间想象能力．3．圆（x+2）2+y2=4与圆（x﹣2）2+（y﹣1）2=9的位置关系为（）A．内切 B．相交 C．外切 D．相离【考点】圆与圆的位置关系及其判定．【专题】直线与圆．【分析】求出两圆的圆心和半径，计算两圆的圆心距，将圆心距和两圆的半径之和或半径之差作对比，判断两圆的位置关系．【解答】解：圆（x+2）2+y2=4的圆心C1（﹣2，0），半径r=2．圆（x﹣2）2+（y﹣1）2=9的圆心C2（2，1），半径R=3，两圆的圆心距d==，R+r=5，R﹣r=1，R+r＞d＞R﹣r，所以两圆相交，故选B．【点评】本题考查圆与圆的位置关系及其判定的方法，关键是求圆心距和两圆的半径．4．下列命题中正确的有（）个．①若两条直线和第三条直线所成的角相等，则这两条直线互相平行．②空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．③四面体的四个面中，最多有四个直角三角形．④若两个平面垂直，则一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面的无数条直线．A．1 B．2 C．3 D．4【考点】命题的真假判断与应用．【专题】空间位置关系与距离；简易逻辑；立体几何．【分析】结合空间直线与直线位置关系，平行角定理，棱锥的几何特征，面面垂直的几何特征，逐一分析四个结论的真假，可得答案．【解答】解：①若两条直线和第三条直线所成的角相等，则这两条直线相交，平行，或异面，故错误．②空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补，由平行角定理可得正确．③四面体的四个面中，最多有四个直角三角形，如下图中四面体故正确．④若两个平面垂直，则一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面内垂直于两面交线的直线，这样的直线有无数条，故正确．故正确的命题个数是3个，故选：C．【点评】本题以命题的真假判断与应用为载体，考查空间直线与直线位置关系，平行角定理，棱锥的几何特征，面面垂直的几何特征等知识点，难度中档．5．已知过点A（﹣2，m）和B（m，4）的直线与直线2x+y﹣1=0平行，则m的值为（）A．0 B．﹣8 C．2 D．10【考点】斜率的计算公式．【专题】计算题．【分析】因为过点A（﹣2，m）和B（m，4）的直线与直线2x+y﹣1=0平行，所以，两直线的斜率相等．【解答】解：∵直线2x+y﹣1=0的斜率等于﹣2，∴过点A（﹣2，m）和B（m，4）的直线的斜率K也是﹣2，∴=﹣2，解得，故选 B．【点评】本题考查两斜率存在的直线平行的条件是斜率相等，以及斜率公式的应用．6．已知x，y满足约束条件，则z=2x+y的最大值为（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】简单线性规划．【专题】计算题；数形结合；函数思想；方程思想；不等式的解法及应用．【分析】作出可行域，平移目标直线可得取最值时的条件，求交点代入目标函数即可．【解答】解：（如图）作出可行域，当目标直线过直线x+y﹣2=0与直线y=0的交点A（2，0）时取最大值，故最大值为z=2×2+0=4故选：D．【点评】本题考查简单线性规划，准确作图是解决问题的关键，属中档题．7．直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，若∠BAC=90°，AB=AC=AA1，则异面直线BA1与AC1所成的角等于（）A．30° B．45° C．60° D．90°【考点】异面直线及其所成的角．【专题】常规题型．【分析】延长CA到D，根据异面直线所成角的定义可知∠DA1B就是异面直线BA1与AC1所成的角，而三角形A1DB为等边三角形，可求得此角．【解答】解：延长CA到D，使得AD=AC，则ADA1C1为平行四边形，∠DA1B就是异面直线BA1与AC1所成的角，又A1D=A1B=DB=AB，则三角形A1DB为等边三角形，∴∠DA1B=60°故选C．【点评】本小题主要考查直三棱柱ABC﹣A1B1C1的性质、异面直线所成的角、异面直线所成的角的求法，考查转化思想，属于基础题．8．如果直线l经过圆x2+y2﹣2x﹣4y=0的圆心，且直线l不通过第四象限，那么直线l的斜率的取值范围是（）A．[0，2] B．[0，1] C．[0，] D．[0，]【考点】直线与圆的位置关系．【专题】计算题；转化思想；综合法；直线与圆．【分析】圆的方程可知圆心（1，2），直线l将圆：x2+y2﹣2x﹣4y=0平分，直线过圆心，斜率最大值是2，可知答案．【解答】解：由圆的方程可知圆心（1，2），且不通过第四象限，斜率最大值是2，如图．那么l的斜率的取值范围是[0，2]故答案为：[0，2]．【点评】本题采用数形结合，排除法即可解出结果．是基础题．9．过点A（a，a）可作圆x2+y2﹣2ax+a2+2a﹣3=0的两条切线，则实数a的取值范围为（）A．a＜﹣3或B．C．a＜﹣3 D．﹣3＜a＜1或【考点】圆的切线方程．【分析】圆x2+y2﹣2ax+a2+2a﹣3=0的圆心（a，0）且a＜，并且（a，a）在圆外，可求a 的范围．【解答】解：圆x2+y2﹣2ax+a2+2a﹣3=0的圆心（a，0）且a＜，而且（a，a）在圆外，即有a2＞3﹣2a，解得a＜﹣3或．故选A．【点评】本题考查圆的切线方程，点与圆的位置关系，是中档题．10．已知A，B是球O的球面上两点，∠AOB=90°，C为该球面上的动点，若三棱锥O﹣ABC 体积的最大值为36，则球O的表面积为（）A．36π B．64π C．144πD．256π【考点】球的体积和表面积．【专题】计算题；空间位置关系与距离．【分析】当点C位于垂直于面AOB的直径端点时，三棱锥O﹣ABC的体积最大，利用三棱锥O﹣ABC体积的最大值为36，求出半径，即可求出球O的表面积．【解答】解：如图所示，当点C位于垂直于面AOB的直径端点时，三棱锥O﹣ABC的体积最大，设球O的半径为R，此时V O﹣ABC=V C﹣AOB===36，故R=6，则球O的表面积为4πR2=144π，故选C．【点评】本题考查球的半径与表面积，考查体积的计算，确定点C位于垂直于面AOB的直径端点时，三棱锥O﹣ABC的体积最大是关键．11．已知矩形ABCD，AB=1，BC=．将△ABD沿矩形的对角线BD所在的直线进行翻折，在翻折过程中（）A．存在某个位置，使得直线AC与直线BD垂直B．存在某个位置，使得直线AB与直线CD垂直C．存在某个位置，使得直线AD与直线BC垂直D．对任意位置，三对直线“AC与BD”，“AB与CD”，“AD与BC”均不垂直【考点】空间中直线与直线之间的位置关系．【专题】空间位置关系与距离．【分析】先根据翻折前后的变量和不变量，计算几何体中的相关边长，再分别筛选四个选项，若A成立，则需BD⊥EC，这与已知矛盾；若C成立，则A在底面BCD上的射影应位于线段BC上，可证明位于BC中点位置，故B成立；若C成立，则A在底面BCD上的射影应位于线段CD上，这是不可能的；D显然错误【解答】解：如图，AE⊥BD，CF⊥BD，依题意，AB=1，BC=，AE=CF=，BE=EF=FD=，A，若存在某个位置，使得直线AC与直线BD垂直，则∵BD⊥AE，∴BD⊥平面AEC，从而BD⊥EC，这与已知矛盾，排除A；B，若存在某个位置，使得直线AB与直线CD垂直，则CD⊥平面ABC，平面ABC⊥平面BCD 取BC中点M，连接ME，则ME⊥BD，∴∠AEM就是二面角A﹣BD﹣C的平面角，此角显然存在，即当A在底面上的射影位于BC的中点时，直线AB与直线CD垂直，故B正确；C，若存在某个位置，使得直线AD与直线BC垂直，则BC⊥平面ACD，从而平面ACD⊥平面BCD，即A在底面BCD上的射影应位于线段CD上，这是不可能的，排除CD，由上所述，可排除D故选 B【点评】本题主要考查了空间的线面和面面的垂直关系，翻折问题中的变与不变，空间想象能力和逻辑推理能力，有一定难度，属中档题12．在平面直角坐标系中，两点P1（x1，y1），P2（x2，y2）间的“L﹣距离”定义为|P1P2|=|x1﹣x2|+|y1﹣y2|．则平面内与x轴上两个不同的定点F1，F2的“L﹣距离”之和等于定值（大于|F1F2|）的点的轨迹可以是（）A．B．C．D．【考点】轨迹方程．【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】设出F1，F2的坐标，在设出动点M的坐标，由新定义列式后分类讨论去绝对值，然后结合选项得答案．【解答】解：设F1（﹣c，0），F2（c，0），再设动点M（x，y），动点到定点F1，F2的“L﹣距离”之和等于m（m＞2c＞0），由题意可得：|x+c|+|y|+|x﹣c|+|y|=m，即|x+c|+|x﹣c|+2|y|=m．当x＜﹣c，y≥0时，方程化为2x﹣2y+m=0；当x＜﹣c，y＜0时，方程化为2x+2y+m=0；当﹣c≤x＜c，y≥0时，方程化为y=；当﹣c≤x＜c，y＜0时，方程化为y=c﹣；当x≥c，y≥0时，方程化为2x+2y﹣m=0；当x≥c，y＜0时，方程化为2x﹣2y﹣m=0．结合题目中给出的四个选项可知，选项A中的图象符合要求．故选：A．【点评】本题考查轨迹方程的求法，考查了分类讨论的数学思想方法，解答的关键是正确分类，是中档题．二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知两直线l1：ax﹣2y+1=0，l2：x﹣ay﹣2=0．当a= 0 时，l1⊥l2．【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系．【专题】数形结合；数形结合法；直线与圆．【分析】由垂直关系可得a的方程，解方程可得．【解答】解：∵两直线l1：ax﹣2y+1=0，l2：x﹣ay﹣2=0相互垂直，∴a×1﹣（﹣2）（﹣a）=0，解得a=0故答案为：0【点评】本题考查直线的一般式方程和垂直关系，属基础题．14．若圆心在x轴上、半径为的圆O位于y轴左侧，且与直线x+y=0相切，则圆O的方程是（x+2）2+y2=2 ．【考点】关于点、直线对称的圆的方程．【专题】直线与圆．【分析】设出圆心，利用圆心到直线的距离等于半径，可解出圆心坐标，求出圆的方程．【解答】解：设圆心为（a，0）（a＜0），则，解得a=﹣2．圆的方程是（x+2）2+y2=2．故答案为：（x+2）2+y2=2．【点评】圆心到直线的距离等于半径，说明直线与圆相切；注意题目中圆O位于y轴左侧，容易疏忽出错．15．已知x2+y2=4x，则x2+y2的取值范围是[0，16] ．【考点】两点间的距离公式．【专题】函数思想；换元法；直线与圆．【分析】三角换元，令x﹣2=2cosθ，y=2sinθ，代入式子由三角函数的知识可得．【解答】解：∵x2+y2=4x，∴（x﹣2）2+y2=4，故令x﹣2=2cosθ，y=2sinθ，∴x2+y2=（2+2cosθ）2+（2sinθ）2=4+8cosθ+4cos2θ+4sin2θ=8+8cosθ，∵cosθ∈[﹣1，1]，∴8+8cosθ∈[0，16]故答案为：[0，16]【点评】本题考查式子的最值，三角换元是解决问题的关键，属基础题．16．设m∈R，过定点A的动直线x+my=0和过定点B的动直线mx﹣y﹣m+3=0交于点P（x，y）．则|PA|•|PB|的最大值是 5 ．【考点】点到直线的距离公式．【专题】直线与圆．【分析】先计算出两条动直线经过的定点，即A和B，注意到两条动直线相互垂直的特点，则有PA⊥PB；再利用基本不等式放缩即可得出|PA|•|PB|的最大值．【解答】解：有题意可知，动直线x+my=0经过定点A（0，0），动直线mx﹣y﹣m+3=0即 m（x﹣1）﹣y+3=0，经过点定点B（1，3），注意到动直线x+my=0和动直线mx﹣y﹣m+3=0始终垂直，P又是两条直线的交点，则有PA⊥PB，∴|PA|2+|PB|2=|AB|2=10．故|PA|•|PB|≤=5（当且仅当时取“=”）故答案为：5【点评】本题是直线和不等式的综合考查，特别是“两条直线相互垂直”这一特征是本题解答的突破口，从而有|PA|2+|PB|2是个定值，再由基本不等式求解得出．直线位置关系和不等式相结合，不容易想到，是个灵活的好题．三、解答题：（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．在△ABC中，已知AB=2，AC=3，A=60°．（1）求BC的长；（2）求sin2C的值．【考点】余弦定理的应用；二倍角的正弦．【专题】解三角形．【分析】（1）直接利用余弦定理求解即可．（2）利用正弦定理求出C的正弦函数值，然后利用二倍角公式求解即可．【解答】解：（1）由余弦定理可得：BC2=AB2+AC2﹣2AB•ACcosA=4+9﹣2×2×3×=7，所以BC=．（2）由正弦定理可得：，则sinC===，∵AB＜BC，∴C为锐角，则cosC===．因此sin2C=2sinCcosC=2×=．【点评】本题考查余弦定理的应用，正弦定理的应用，二倍角的三角函数，注意角的范围的解题的关键．18．S n为数列{a n}的前n项和，已知a n＞2，且a n2+4n=4S n+1．（1）求证：{a n}为等差数列；（2）设b n=，求数列{b n}的前n项和．【考点】数列的求和．【专题】转化思想；数学模型法；配方法；等差数列与等比数列．【分析】（1）利用递推关系可得，又a n＞2，即可证明．（2）利用“裂项求和”即可得出．【解答】（1）证明：由，①可得，②②﹣①得，即，∵a n＞2，∴a n+1﹣2=a n，即a n+1﹣a n=2，∴{a n}为等差数列．（2）解：由已知得a12+4=4a1+1，即，解得a1=1（舍）或a1=3，∴a n=3+2（n﹣1）=2n+1，∴b n===，∴数列{b n}的前n项和T n=+…+==．【点评】本题考查了递推关系的应用、“裂项求和”方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．19．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BAC=90°，AB=AC=2，AA1=4，A1在底面ABC的射影为BC的中点E，D是B1C1的中点．（1）证明：A1D⊥平面A1BC；（2）求点B到平面A1ACC1的距离．【考点】点、线、面间的距离计算；直线与平面垂直的判定．【专题】计算题；转化思想；综合法；空间位置关系与距离．【分析】（1）设E为BC的中点，推导出A1E⊥AE，AE⊥BC，从而AE⊥平面A1BC，再推导出A1AED为平行四边形，由此能证明A1D⊥平面A1BC．（2）推导出A1E⊥BC，A1C=A1B，AE=BE，由，能求出B到平面A1ACC1的距离．【解答】证明：（1）设E为BC的中点，由题意得A1E⊥平面ABC，∴A1E⊥AE．∵AB=AC，∴AE⊥BC．又A1E∩BC=E，A1E、BC⊂平面A1BC故AE⊥平面A1BC．…由D，E分别为B1C1、BC的中点，得DE∥B1B，且DE=B1B，又AA1∥BE，AA1=BE从而DE∥A1A，且DE=A1A，∴A1AED为平行四边形．故A1D∥AE，…又∵AE⊥平面A1BC，∴A1D⊥平面A1BC．…（2）∵A1E⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，∴A1E⊥BC又E为BC的中点，∴A1C=A1B…∵∠BAC=90°，E为BC中点，∴AE=BE，∴Rt△A1EA≌RtA1EB，∴A1B=AA1=4，∴A1C=4…∴△A1AC中AC边上的高为，∴，而，…设B到平面A1ACC1的距离为d由得，∴B到平面A1ACC1的距离为．…【点评】本题考查线面垂直的证明，考查点到平面的距离的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意等体积法的合理运用．20．圆C过点M（﹣2，0）及原点，且圆心C在直线x+y=0上．（1）求圆C的方程；（2）定点A（1，3），由圆C外一点P（a，b）向圆C引切线PQ，切点为Q，且满足|PQ|=|PA|．①求|PQ|的最小值及此刻点P的坐标；②求||PC|﹣|PA||的最大值．【考点】直线和圆的方程的应用；直线与圆的位置关系．【专题】综合题；转化思想；集合思想；综合法；直线与圆．【分析】（1）由已知求出线段OM的垂直平分线方程为x=﹣1，与直线方程x+y=0联立，求出圆心坐标，进一步求出圆的半径，则圆的方程可求；（2）①设出P点坐标，由题意可得：|PQ|2=|PC|2﹣|CQ|2，结合|PQ|=|PA|可得P的横纵坐标的关系，代入两点间的距离公式，利用配方法求得|PQ|的最小值并求得点P的坐标；②求出C关于直线l：2x+2y﹣5=0的对称点为C′（m，n），结合三角形两边之差小于第三边得答案．【解答】解：（1）∵M（﹣2，0），∴线段OM的垂直平分线方程为x=﹣1，又圆心C在直线x+y=0上，联立，得，∴圆心C的坐标为（﹣1，1），则半径r=|OC|=，∴圆C的方程为（x+1）2+（y﹣1）2=2；（2）①设P（a，b），连结PC，CQ，∵Q为切点，∴PQ⊥CQ，由勾股定理得：|PQ|2=|PC|2﹣|CQ|2，∵|PQ|=|PA|，∴（a+1）2+（b﹣1）2﹣2=（a﹣1）2+（b﹣3）2，化简得2a+2b﹣5=0；∴==，∴当时，，此时P点坐标为；②设C关于直线l：2x+2y﹣5=0的对称点为C′（m，n），则，解得，∴，∴，故||PC|﹣|PA||的最大值为．【点评】本题考查圆的方程的求法，考查了直线和圆位置关系的应用，训练了配方法及放缩法求最值，是中档题．21．在平面直角坐标系xoy中，已知圆C1：（x+3）2+（y﹣1）2=4和圆C2：（x﹣4）2+（y﹣5）2=4（1）若直线l过点A（4，0），且被圆C1截得的弦长为2，求直线l的方程（2）设P为平面上的点，满足：存在过点P的无穷多对互相垂直的直线l1和l2，它们分别与圆C1和C2相交，且直线l1被圆C1截得的弦长与直线l2被圆C2截得的弦长相等，求所有满足条件的点P的坐标．【考点】直线和圆的方程的应用；直线的一般式方程．【专题】综合题．【分析】（1）因为直线l过点A（4，0），故可以设出直线l的点斜式方程，又由直线被圆C1截得的弦长为2，根据半弦长、半径、弦心距满足勾股定理，我们可以求出弦心距，即圆心到直线的距离，得到一个关于直线斜率k的方程，解方程求出k值，代入即得直线l 的方程．（2）与（1）相同，我们可以设出过P点的直线l1与l2的点斜式方程，由于两直线斜率为1，且直线l1被圆C1截得的弦长与直线l2被圆C2截得的弦长相等，故我们可以得到一个关于直线斜率k的方程，解方程求出k值，代入即得直线l1与l2的方程．【解答】解：（1）由于直线x=4与圆C1不相交；∴直线l的斜率存在，设l方程为：y=k（x﹣4）圆C1的圆心到直线l的距离为d，∵l被⊙C1截得的弦长为2∴d==1d=从而k（24k+7）=0即k=0或k=﹣∴直线l的方程为：y=0或7x+24y﹣28=0（2）设点P（a，b）满足条件，由题意分析可得直线l1、l2的斜率均存在且不为0，不妨设直线l1的方程为y﹣b=k（x﹣a），k≠0则直线l2方程为：y﹣b=﹣（x﹣a）∵⊙C1和⊙C2的半径相等，及直线l1被圆C1截得的弦长与直线l2被圆C2截得的弦长相等，∴⊙C1的圆心到直线l1的距离和圆C2的圆心到直线l2的距离相等即=整理得|1+3k+ak﹣b|=|5k+4﹣a﹣bk|∴1+3k+ak﹣b=±（5k+4﹣a﹣bk）即（a+b﹣2）k=b﹣a+3或（a﹣b+8）k=a+b﹣5因k的取值有无穷多个，所以或解得或这样的点只可能是点P1（，﹣）或点P2（﹣，）【点评】在解决与圆相关的弦长问题时，我们有三种方法：一是直接求出直线与圆的交点坐标，再利用两点间的距离公式得出；二是不求交点坐标，用一元二次方程根与系数的关系得出，即设直线的斜率为k，直线与圆联立消去y后得到一个关于x的一元二次方程再利用弦长公式求解，三是利用圆中半弦长、弦心距及半径构成的直角三角形来求．对于圆中的弦长问题，一般利用第三种方法比较简捷．本题所用方法就是第三种方法．。

2016-2017学年广东省汕头市金山中学高二（上）期末数学试卷（文科）一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知命题p：∀x∈R，x2﹣2x+4≤0，则¬p为（）A．∀x∈R，x2﹣2x+4≥0 B．C．∀x∉R，x2﹣2x+4≤0 D．2．曲线y=lnx﹣2x在点（1，﹣2）处的切线与坐标轴所围成的三角形的面积是（）A．B．C．1 D．23．设f（x）=xe x的导函数为f′（x），则f′（1）的值为（）A．e B．e+1 C．2e D．e+24．已知条件p：x2﹣3x+2＜0；条件q：|x﹣2|＜1，则p是q成立的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件5．已知椭圆，长轴在y轴上，若焦距为4，则m等于（）A．4 B．5 C．7 D．86．已知抛物线上一点A的纵坐标为4，则点A到抛物线焦点的距离为（）A．2 B．3 C．4 D．57．已知双曲线C：的焦距为10，点P（2，1）在C的渐近线上，则C的方程为（）A．B．C．D．8．如图所示，液体从一圆锥形漏斗漏入一圆柱形桶中，开始时，漏斗盛满液体，经过3分钟漏完．已知圆柱中液面上升的速度是一个常量，H是圆锥形漏斗中液面下落的距离，则H与下落时间t（分）的函数关系表示的图象只可能是（）A．B．C．D．9．已知抛物线y2=4x的焦点F与椭圆的一个焦点重合，它们在第一象限内的交点为T，且TF与x轴垂直，则椭圆的离心率为（）A．B．C．D．10．已知方程ax2+by2=ab和ax+by+c=0（其中ab≠0，a≠b，c＞0），它们所表示的曲线可能是（）A．B．C．D．11．若直线l：mx+ny=4和圆O：x2+y2=4没有交点，则过点（m，n）的直线与椭圆的交点个数为（）A．0个 B．至多有一个C．1个 D．2个12．在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为x2+y2﹣8x+15=0，若直线y=kx﹣2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，则k的取值范围是（）A．[0，]B．（0，）C．[﹣，]D．（0，]二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．在圆x2+y2﹣2x﹣6y=0内，过点E（0，1）的最长弦和最短弦分别是AC和BD，则四边形ABCD的面积为．14．若函数f（x）=x3+x2+ax+1既有极大值也有极小值，则实数a的取值范围是．15．命题p：关于x的不等式x2+2ax+4＞0，对一切x∈R恒成立；命题q：函数f （x）=（3﹣2a）x在R上是增函数．若p或q为真，p且q为假，则实数a的取值范围为．16．现有如下四个命题：①若动点P与定点A（﹣4，0）、B（4，0）连线PA、PB的斜率之积为定值，则动点P的轨迹为双曲线的一部分②设m，n∈R，常数a＞0，定义运算“*”：m*n=（m+n）2﹣（m﹣n）2，若x≥0，则动点的轨迹是抛物线的一部分③已知两圆A：（x+1）2+y2=1、圆B：（x﹣1）2+y2=25，动圆M与圆A外切、与圆B内切，则动圆的圆心M的轨迹是椭圆④已知A（7，0），B（﹣7，0），C（2，﹣12），椭圆过A，B两点且以C为其一个焦点，则椭圆的另一个焦点的轨迹为双曲线上述四个命题中真命题为．（请写出其序号）三、解答题：（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．在锐角△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C所对的边，且=2csinA（1）确定角C的大小；（2）若c=，且△ABC的面积为，求a+b的值．18．已知函数f（x）=ax3+bx2的图象经过点M（1，4），且在x=﹣2取得极值．（1）求实数a，b的值；（2）若函数f（x）在区间（m，m+1）上单调递增，求m的取值范围．19．如图，AB是圆O的直径，C是圆O上除A、B外的一点，DC⊥平面ABC，四边形CBED为矩形，CD=1，AB=4．（1）求证：ED⊥平面ACD；（2）当三棱锥E﹣ADC体积取最大值时，求此刻点C到平面ADE的距离．20．已知圆C：x2+y2+2x﹣3=0．（1）求圆的圆心C的坐标和半径长；（2）直线l经过坐标原点且不与y轴重合，l与圆C相交于A（x1，y1）、B（x2，y2）两点，求证：为定值；（3）斜率为1的直线m与圆C相交于D、E两点，求直线m的方程，使△CDE的面积最大．21．如图，已知椭圆C： +y2=1（a＞1）的左、右顶点为A，B，离心率为，点S是椭圆C上位于x轴上方的动点，直线AS，BS与直线l：x=﹣分别交于M，N两点．（1）求椭圆C的方程；（2）若A为线段MS的中点，求△SAB的面积；（3）求线段MN长度的最小值．2016-2017学年广东省汕头市金山中学高二（上）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知命题p：∀x∈R，x2﹣2x+4≤0，则¬p为（）A．∀x∈R，x2﹣2x+4≥0 B．C．∀x∉R，x2﹣2x+4≤0 D．【考点】命题的否定．【分析】利用全称命题的否定是特称命题写出结果即可．【解答】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以，命题p：∀x∈R，x2﹣2x+4≤0，则¬p为：．故选：B．2．曲线y=lnx﹣2x在点（1，﹣2）处的切线与坐标轴所围成的三角形的面积是（）A．B．C．1 D．2【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】根据求导公式求出函数的导数，把x=1代入求出切线的斜率，代入点斜式方程并化简，分别令x=0和y=0求出切线与坐标轴的交点坐标，再代入面积公式求解．【解答】解：由题意得y′=﹣2，则在点M（1，﹣2）处的切线斜率k=﹣1，故切线方程为：y+2=﹣（x﹣1），即y=﹣x﹣1，令x=0得，y=﹣1；令y=0得，x=﹣1，∴切线与坐标轴围成三角形的面积S==，故选A．3．设f（x）=xe x的导函数为f′（x），则f′（1）的值为（）A．e B．e+1 C．2e D．e+2【考点】导数的运算．【分析】求出导函数，再x=1代入导函数计算．【解答】解：f′（x）=e x+xe x，f′（1）=e+e=2e．故选：C．4．已知条件p：x2﹣3x+2＜0；条件q：|x﹣2|＜1，则p是q成立的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】分别化简命题p，q，即可判断出结论．【解答】解：条件p：x2﹣3x+2＜0，解得1＜x＜2；条件q：|x﹣2|＜1，∴﹣1＜x﹣2＜1，解得1＜x＜3．则p是q成立的充分不必要条件．故选：A．5．已知椭圆，长轴在y轴上，若焦距为4，则m等于（）A．4 B．5 C．7 D．8【考点】椭圆的简单性质．【分析】先把椭圆方程转换成标准方程，进而根据焦距求得m．【解答】解：将椭圆的方程转化为标准形式为，显然m﹣2＞10﹣m，即m＞6，，解得m=8故选D6．已知抛物线上一点A的纵坐标为4，则点A到抛物线焦点的距离为（）A．2 B．3 C．4 D．5【考点】抛物线的简单性质．【分析】先根据抛物线的方程求得准线的方程，进而利用点A的纵坐标求得点A 到准线的距离，进而根据抛物线的定义求得答案．【解答】解：依题意可知抛物线的准线方程为y=﹣1，∴点A到准线的距离为4+1=5，根据抛物线的定义可知点A与抛物线焦点的距离就是点A与抛物线准线的距离，∴点A与抛物线焦点的距离为5，故选：D．7．已知双曲线C：的焦距为10，点P（2，1）在C的渐近线上，则C的方程为（）A．B．C．D．【考点】双曲线的标准方程．【分析】利用双曲线C：的焦距为10，点P（2，1）在C的渐近线上，建立方程组，求出a，b的值，即可求得双曲线的方程．【解答】解：∵双曲线C：的焦距为10，点P（2，1）在C的渐近线上，∴a2+b2=25，=1，∴b=，a=2∴双曲线的方程为．故选：A ．8．如图所示，液体从一圆锥形漏斗漏入一圆柱形桶中，开始时，漏斗盛满液体，经过3分钟漏完．已知圆柱中液面上升的速度是一个常量，H 是圆锥形漏斗中液面下落的距离，则H 与下落时间t （分）的函数关系表示的图象只可能是（ ）A ．B ．C ．D ．【考点】函数的图象．【分析】利用特殊值法，圆柱液面上升速度是常量，表示圆锥漏斗中液体单位时间内落下的体积相同，当时间取1.5分钟时，液面下降高度与漏斗高度的比较． 【解答】解：由于所给的圆锥形漏斗上口大于下口，当时间取t 时，漏斗中液面下落的高度不会达到漏斗高度的， 对比四个选项的图象可得结果． 故选A ．9．已知抛物线y 2=4x 的焦点F 与椭圆的一个焦点重合，它们在第一象限内的交点为T ，且TF 与x 轴垂直，则椭圆的离心率为（ ）A ．B ．C ．D ．【考点】椭圆的简单性质．【分析】由抛物线的方程算出抛物线的焦点为F （1，0），由TF ⊥x 轴算出点T 坐标为（1，2），得到椭圆的半焦距c=1且点T （1，2）在椭圆上，由此建立关于a 、b 的方程组解出a=，由椭圆的离心率加以计算，可得答案．【解答】解：∵抛物线的方程为y2=4x，∴抛物线的焦点为F（1，0），又∵抛物线与椭圆在第一象限内的交点为T，且TF⊥x轴，∴设T（1，y0），代入抛物线方程得y02=4×1=4，得y0=2（舍负）．因此点T（1，2）在椭圆上，椭圆的半焦距c=1，∴，解之得a2=3+2，b2=2+2，由此可得a==，椭圆的离心率e=．故选：B10．已知方程ax2+by2=ab和ax+by+c=0（其中ab≠0，a≠b，c＞0），它们所表示的曲线可能是（）A．B．C．D．【考点】圆锥曲线的轨迹问题．【分析】根据题意，可以整理方程ax2+by2=ab和ax+by+c=0变形为标准形式和斜截式，可以判断其形状，进而分析直线所在的位置可得答案．【解答】解：方程ax2+by2=ab化成：，ax+by+c=0化成：y=﹣x﹣，对于A：由双曲线图可知：b＞0，a＜0，∴﹣＞0，即直线的斜率大于0，故错；对于C：由椭圆图可知：b＞0，a＞0，∴﹣＜0，即直线的斜率小于0，故错；对于D：由椭圆图可知：b＞0，a＞0，∴﹣＜0，即直线的斜率小于0，故错；故选B．11．若直线l：mx+ny=4和圆O：x2+y2=4没有交点，则过点（m，n）的直线与椭圆的交点个数为（）A．0个 B．至多有一个C．1个 D．2个【考点】椭圆的简单性质．【分析】通过直线与圆、圆与椭圆的位置关系可得点P（m，n）在椭圆内，进而可得结论．【解答】解：由题意可得：＞2，即m2+n2＜4，∴点P（m，n）是在以原点为圆心，2为半径的圆内的点，∵椭圆的长半轴3，短半轴为2，∴圆m2+n2=4内切于椭圆，∴点P是椭圆内的点，∴过点P（m，n）的一条直线与椭圆的公共点数为2，故选：D．12．在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为x2+y2﹣8x+15=0，若直线y=kx﹣2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，则k的取值范围是（）A．[0，]B．（0，）C．[﹣，]D．（0，]【考点】直线与圆的位置关系．【分析】求出圆的标准方程，根据条件确定圆心C到直线y=kx﹣2的距离d≤R+1=2，利用圆心到直线的距离公式进行求解即可．【解答】解：圆的标准方程为（x﹣4）2+y2=1，则圆心C坐标为（4，0），半径R=1，若直线y=kx﹣2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，则等价为圆心C到直线y=kx﹣2的距离d≤R+1=2，即圆心到直线kx﹣y﹣2=0的距离d=，即|2k﹣1|≤，平方得3k2﹣4k≤0，解得0≤k≤，故选：A二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．在圆x2+y2﹣2x﹣6y=0内，过点E（0，1）的最长弦和最短弦分别是AC和BD，则四边形ABCD的面积为10．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】根据圆的标准方程求出圆心M的坐标和半径，最长的弦即圆的直径，故AC的长为2，最短的弦BD和ME垂直，且经过点E，由弦长公式求出BD的值，再由ABCD的面积为求出结果．【解答】解：圆x2+y2﹣2x﹣6y=0 即（x﹣1）2+（y﹣3）2=10 表示以M（1，3）为圆心，以为半径的圆．由圆的弦的性质可得，最长的弦即圆的直径，AC的长为2．∵点E（0，1），∴ME==．弦长BD最短时，弦BD和ME垂直，且经过点E，此时，BD=2=2=2．故四边形ABCD的面积为=10，故答案为10．14．若函数f（x）=x3+x2+ax+1既有极大值也有极小值，则实数a的取值范围是（﹣∞，）．【考点】利用导数研究函数的极值．【分析】先求导函数，根据函数在区间（﹣∞，+∞）内既有极大值，又有极小值，故导函数为0的方程有不等的实数根，可求实数a的取值范围．【解答】解：求导函数：f′（x）=3x2+2x+a，∵函数f（x）既有极大值又有极小值，∴△=4﹣12a＞0，∴a＜，故答案为：（﹣∞，）．15．命题p：关于x的不等式x2+2ax+4＞0，对一切x∈R恒成立；命题q：函数f （x）=（3﹣2a）x在R上是增函数．若p或q为真，p且q为假，则实数a的取值范围为（﹣∞，﹣2）∪[1，2）．【考点】复合命题的真假．【分析】根据不等式的恒成立的等价条件及幂函数的单调性分别求得命题命题p、q为真时a的范围，再利用复合命题真值表判断：若p或q为真，p且q为假，则命题p、q一真一假，分别求出当p真q假时和当p假q真时a的范围，再求并集．【解答】解：关于x的不等式x2+2ax+4＞0，对一切x∈R恒成立，则△=4a2﹣16＜0，即a2＜4，解得﹣2＜a＜2；命题q为真命题，则3﹣2a＞1⇒a＜1，根据复合命题真值表知：若p或q为真，p且q为假，则命题p、q一真一假，当p真q假时，，则1≤a＜2；当p假q真时，，则a≤﹣2，∴实数a的取值范围是a≤﹣2或1≤a＜2，故答案为：（﹣∞，﹣2）∪[1，2）16．现有如下四个命题：①若动点P与定点A（﹣4，0）、B（4，0）连线PA、PB的斜率之积为定值，则动点P的轨迹为双曲线的一部分②设m，n∈R，常数a＞0，定义运算“*”：m*n=（m+n）2﹣（m﹣n）2，若x≥0，则动点的轨迹是抛物线的一部分③已知两圆A：（x+1）2+y2=1、圆B：（x﹣1）2+y2=25，动圆M与圆A外切、与圆B内切，则动圆的圆心M的轨迹是椭圆④已知A（7，0），B（﹣7，0），C（2，﹣12），椭圆过A，B两点且以C为其一个焦点，则椭圆的另一个焦点的轨迹为双曲线上述四个命题中真命题为①②③．（请写出其序号）【考点】曲线与方程．【分析】利用直译法，求①选项中动点P的轨迹方程，进而判断表示的曲线；利用新定义运算，利用直译法求选项②中曲线的轨迹方程，进而判断轨迹图形；利用圆与圆的位置关系，利用定义法判断选项③中动点的轨迹；利用椭圆定义，由定义法判断④中动点的轨迹即可．【解答】解：设P（x，y），因为直线PA、PB的斜率存在，所以x≠±4，直线PA、PB的斜率分别是k1=，k2=，∴，化简得9y2=4x2﹣64，即（x≠±4），∴动点P的轨迹为双曲线的一部分，①正确；∵m*n=（m+n）2﹣（m﹣n）2，∴=2，设P（x，y），则y=2，即y2=4ax（x≥0，y≥0），即动点的轨迹是抛物线的一部分，②正确；由题意可知，动圆M与定圆A相外切与定圆B相内切∴MA=r+1，MB=5﹣r∴MA+MB=6＞AB=2∴动圆圆心M的轨迹是以A，B为焦点的椭圆，③正确；设此椭圆的另一焦点的坐标D （x，y），∵椭圆过A、B两点，则CA+DA=CB+DB，∴15+DA=13+DB，∴DB﹣DA=2＜AB，∴椭圆的另一焦点的轨迹是以A、B为焦点的双曲线一支，④错误故答案为：①②③．三、解答题：（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．在锐角△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C所对的边，且=2csinA （1）确定角C的大小；（2）若c=，且△ABC的面积为，求a+b的值．【考点】解三角形．【分析】（1）利用正弦定理把已知条件转化成角的正弦，整理可求得sinC，进而求得C．（2）利用三角形面积求得ab的值，利用余弦定理求得a2+b2的值，最后求得a+b 的值．【解答】解：（1）∵=2csinA∴正弦定理得，∵A锐角，∴sinA＞0，∴，又∵C锐角，∴（2）三角形ABC中，由余弦定理得c2=a2+b2﹣2abcosC即7=a2+b2﹣ab，又由△ABC的面积得．即ab=6，∴（a+b）2=a2+b2+2ab=25由于a+b为正，所以a+b=5．18．已知函数f（x）=ax3+bx2的图象经过点M（1，4），且在x=﹣2取得极值．（1）求实数a，b的值；（2）若函数f（x）在区间（m，m+1）上单调递增，求m的取值范围．【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）将M的坐标代入f（x）的解析式，得到关于a，b的一个等式；求出导函数，根据f′（1）=﹣2，列出关于a，b的另一个等式，解方程组，求出a，b 的值．（2）求出f′（x），令f′（x）＞0，求出函数的单调递增区间，据题意知（m，m+1）⊆（﹣∞，﹣2]∪[0，+∞），列出端点的大小，求出m的范围．【解答】解：（1）∵f（x）=ax3+bx2的图象经过点M（1，4），∴a+b=4 ①式f′（x）=3ax2+2bx，则f′（﹣2）=0，即﹣6a+2b=0 ②式由①②式解得a=1，b=3；（2）f（x）=x3+3x2，f′（x）=3x2+6x，令f'（x）=3x2+6x≥0得x≥0或x≤﹣2，∵函数f（x）在区间（m，m+1）上单调递增∴（m，m+1）⊆（﹣∞，﹣2]∪[0，+∞）∴m≥0或m+1≤﹣2∴m≥0或m≤﹣3．19．如图，AB是圆O的直径，C是圆O上除A、B外的一点，DC⊥平面ABC，四边形CBED为矩形，CD=1，AB=4．（1）求证：ED⊥平面ACD；（2）当三棱锥E﹣ADC体积取最大值时，求此刻点C到平面ADE的距离．【考点】点、线、面间的距离计算；直线与平面垂直的判定．【分析】（1）先证明BC⊥平面ACD，再由BC∥ED，得出ED⊥平面ACD；=V三棱锥E﹣ACD，利用基本不等式求出三棱锥C﹣ADE体积的最大值，（2）由V三棱锥C﹣ADE再利用三棱锥的体积公式计算点C到平面ADE的距离．【解答】解：（1）证明：∵AB是圆O的直径，∴AC⊥BC，又DC⊥平面ABC，BC⊂平面ACD，∴DC⊥BC，又AC∩DC=D，AC⊂平面ACD，DC⊂平面ACD，∴BC⊥平面ACD；又四边形CBED为矩形，∴BC∥ED，∴ED⊥平面ACD；（2）解：由（1）知，V三棱锥C﹣ADE=V三棱锥E﹣ACD=S△ACD•DE=••AC•CD•DE=•AC•BC≤•（AC2+BC2）=•AB2=×42=，当且仅当AC=BC=2时等号成立；∴当AC=BC=2时，三棱锥C﹣ADE的体积最大，为；此时，AD==3，=•AD•DE=3，S△ADE设点C到平面ADE的距离为h，则V三棱锥C﹣ADE=S△ADE•h=；∴h=÷（×3）=．20．已知圆C：x2+y2+2x﹣3=0．（1）求圆的圆心C的坐标和半径长；（2）直线l经过坐标原点且不与y轴重合，l与圆C相交于A（x1，y1）、B（x2，y2）两点，求证：为定值；（3）斜率为1的直线m与圆C相交于D、E两点，求直线m的方程，使△CDE的面积最大．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】（1）把圆C的方程化为标准方程，写出圆心和半径；（2）设出直线l的方程，与圆C的方程组成方程组，消去y得关于x的一元二次方程，由根与系数的关系求出的值；（3）解法一：设出直线m的方程，由圆心C到直线m的距离，写出△CDE的面积，利用基本不等式求出最大值，从而求出对应直线方程；解法二：利用几何法得出CD⊥CE时△CDE的面积最大，再利用点到直线的距离求出对应直线m的方程．【解答】解：（1）圆C：x2+y2+2x﹣3=0，配方得（x+1）2+y2=4，则圆心C的坐标为（﹣1，0），圆的半径长为2；（2）设直线l的方程为y=kx，联立方程组，消去y得（1+k2）x2+2x﹣3=0，则有：；所以为定值；（3）解法一：设直线m的方程为y=kx+b，则圆心C到直线m的距离，所以，≤，当且仅当，即时，△CDE的面积最大，从而，解之得b=3或b=﹣1，故所求直线方程为x﹣y+3=0或x﹣y﹣1=0．解法二：由（1）知|CD|=|CE|=R=2，所以≤2，当且仅当CD⊥CE时，△CDE的面积最大，此时；设直线m的方程为y=x+b，则圆心C到直线m的距离，由，得，由，得b=3或b=﹣1，故所求直线方程为x﹣y+3=0或x﹣y﹣1=0．21．如图，已知椭圆C： +y2=1（a＞1）的左、右顶点为A，B，离心率为，点S是椭圆C上位于x轴上方的动点，直线AS，BS与直线l：x=﹣分别交于M，N两点．（1）求椭圆C的方程；（2）若A为线段MS的中点，求△SAB的面积；（3）求线段MN长度的最小值．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题．【分析】（1）由已知条件推导出，，由此能求出椭圆C的方程．（2）由（1）知A（﹣2，0），B（2，0），设S（x0，y0），则，，由此能求出△SAB的面积．（3）设直线AS的斜率为k（k＞0），则，由，得（1+4k2）x2+16k2x+16k2﹣4=0，由此利用韦达定理和均值定理能求出|MN|的最小值．【解答】（本小题满分14分）解：（1）∵椭圆的离心率为，∴，…∴，…∴a2=4，∴椭圆C的方程为．…（2）由（1）知A（﹣2，0），B（2，0），设S（x0，y0），∵A为线段MS的中点，∴，…∴，∴，…∴△SAB的面积为：．…（3）设直线AS的斜率为k（k＞0），则…由，消得y得x2+4[k（x+2）]2=4，即（1+4k2）x2+16k2x+16k2﹣4=0，…∴，∴，…将x S代入y=k（x+2），得，即，∴，∴直线BS的方程为：，…∴，∴…=，…当且仅当即k=1时等号成立，∴|MN|的最小值为．…2017年3月21日。

2016-2017学年广东省汕头市金山中学高二12月月考考试文科数学一、选择题：共12题1．已知过点的直线的倾斜角为45°，则的值为A.1B.2C.3D.4【答案】A【解析】本题主要考查直线的倾斜角与斜率.由题意可得,所以m=1.2．命题“若是奇函数，则是奇函数”的否命题是A.若是偶函数，则是偶函数B.若是奇函数，则是奇函数C.若不是奇函数，则不是奇函数D.若不是奇函数，则不是奇函数【答案】C【解析】本题主要考查四种命题.由否命题的定义可知，答案为C.3．设，则“或”是“直线与直线平行”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分又不必要条件【答案】B【解析】本题主要考查充分条件与必要条件、两条直线的位置关系，考查了逻辑推理能力.必要性：若直线与直线平行，则且,则a=，所以必要性成立；充分性：当a=2时，显然直线l1与直线l2重合，故充分性不成立，因此答案为B.4．在空间中，设表示直线，表示不同的平面，则下列命题正确的是A.若，，则B.若，，则C.若，，则D.若，，则【答案】D【解析】本题主要考查线面、面面平行与垂直的判定与性质，考查了空间想象能力.若，，则或在内，故A错误；若，，则或在内，故B错误；若，，则与的位置关系不确定，故C错误；因此答案为D.5．已知焦点在轴上的椭圆方程为，则的范围为A.（4,7）B.C.D.【答案】B【解析】本题主要考查椭圆的方程.因为焦点在轴上的椭圆方程为，所以,则,故答案为B.6．一空间几何体三视图如图所示，则该几何体的体积为A. B.2 C. D.6【答案】B【解析】本题主要考查空间几何体的三视图、表面积与体积，考查了空间想象能力.由三视图可知，该几何体是：底面是上、下底分别为1,2、高是2的直角梯形，高是2的四棱锥，所以该几何体的体积V=7．若，则直线被圆所截得的弦长为A. B.1 C. D.【答案】B【解析】本题主要考查直线与圆的位置关系、点到直线的距离公式，考查了转化思想与计算能力.因为，所以圆心O(0,0)到直线的距离,所以由垂径定理可得直线被圆所截得的弦长为8．直线与直线互相垂直，，则的最大值为A.1B.2C.4D.5【答案】B【解析】本题主要考查两条直线的位置关系，考查了计算能力.因为直线与直线互相垂直，所以,即,则,当且仅当a=b时，等号成立，故的最大值为29．若椭圆的一个短轴端点与两个焦点构成正三角形，则该椭圆的离心率是A. B. C. D.以上都不正确【答案】A【解析】本题主要考查椭圆的性质，考查了逻辑推理能力.设椭圆的长轴长为2a，短轴长为2b，焦距长为2c，由题意可知，b=,则a2=b2+c2=4c2,所以椭圆的离心率e=10．如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,O是底面ABCD的中心,E为CC1的中点,那么异面直线OE与AD1所成角的余弦值等于A. B. C. D.【答案】D【解析】取BC的中点F,连接OF,EF,BC1,因为四边形ABC1D1是平行四边形,所以AD1//BC1,因为EF是△BCC1的中位线,所以EF//BC1,所以EF//AD1,所以∠OEF(或其补角)是异面直线OE与AD1所成的角.设正方体的棱长为a,在△OEF中,所以所以11．直线与圆在第一象限内有两个不同交点，则的取值范围是A. B.C. D.【答案】C【解析】本题主要考查直线与圆的位置关系，考查了数形结合思想.由题意，作出直线与圆，如图所示，观察图像可得，的取值范围是12．已知中，，则的最大值是A. B. C. D.【答案】D【解析】本题主要考查正弦定理与余弦定理、三角形的面积公式，考查了逻辑推理能力与计算能力.令BC=x，则,由三角形的面积公式可得;由余弦定理可得，化简可得,代入上式得,由三角形的三边关系得,则，故当时，取得最大值是二、填空题：共4题13．命题“R，0”的否定是【答案】,【解析】本题主要考查全称命题与特称命题的否定.由特称命题否定的定义可知，答案为,14．将直线绕点(2,0)按顺时针方向旋转60°得到直线，则直线的方程是 .【答案】【解析】本题主要考查直线的倾斜角、斜率与方程，考查了逻辑推理能力.由直线的斜率为，所以倾斜角为，按顺时针方向旋转6可得直线的倾斜角为6，则斜率为，则直线的方程是15．已知实数满足，则的最大值是【答案】【解析】本题主要考查直线与圆的位置关系，考查了方程思想与计算能力.设,则,代入，化简可得,由题意可得,化简可得,求解可得,故答案为16．在直四棱柱中，底面是正方形，，点在球的表面上，球与的另一个交点为，与的另一个交点为F，且，则球的表面积为 .【答案】【解析】本题主要考查空间几何体、球的表面积与体积，考查了空间想象能力.由题意，因为，所以AB为三角形ABC的外接圆的直径，由对称性可知，三棱柱ABE-DCF 的外接球是球O，设AB的中点为O1，则平面ABE，所以球的半径R=，则球的表面积为三、解答题：共6题17．设函数.（1）求的值域；（2）记△的内角A、B、C的对边长分别为，若 =1，b=1,c=，求的值.【答案】(1) ===所以的值域为（2）由得1=1,即=0，又因0<B<π，故.由余弦定理得，解得a=1或a=2【解析】本题主要考查二倍角公式、两角和与差公式、三角函数的性质、正弦定理与余弦定理，考查了转化思想与计算能力.(1)化简可得，再利用正弦函数的性质求解即可；(2)由 =1求出B，再利用余弦定理求解即可.18．已知命题：点到直线的距离,命题：方程表示圆，若和都为真命题,求实数的取值范围. 【答案】由，解得或.即或.再由解得或，即或.因为和都为真命题，所以为假命题，为真命题.故有，所以或.或【解析】本题主要考查命题真假的判断、逻辑联结词、点到直线的距离公式与圆的方程，考查了逻辑推理能力.由点到直线的距离公式求解可得或；由圆的方程，求的充要条件可得或.易得为假命题，为真命题，则或解即可.19．如图，正三棱柱ABC—A1B1C1的底面边长为3，侧棱AA1=D是CB延长线上一点，且BD=B C.（1）求证：直线BC1//平面AB1D；（2）求三棱锥C1—ABB1的体积.【答案】（1）证明：CD//C1B1，BD=BC=B1C1∴四边形BDB1C1是平行四边形，∴BC1//DB1.又DB1平面AB1D，BC1平面AB1D，∴直线BC1//平面AB1D（2）过C1作C1F⊥A1B1于F由正三棱柱的性质有平面A1B1C1⊥平面BB1A1A又面A1B1C1面BB1A1A=A1B1∴C1F⊥面BB1A1A∵C1F=且，∴【解析】本题主要考查线面、面面平行与垂直的判定与性质、空间几何体的体积，考查了转化思想、逻辑推理能力与空间想象能力.(1)证明四边形BDB1C1是平行四边形，则易得结论；(2) 过C1作C1F⊥A1B1于F，再证明C1F⊥面BB1A1A，则结论易得.20．已知圆C：,平面上有两点，点是圆上的动点，(1)求的最小值；(2)若是轴上的点，分别切圆于两点，若，求直线的方程. 【答案】（1）设, 则==由于P为圆上的点，所以所以的最小值为20（2）设，因为圆的半径，而，则又又,由得所求直线的方程：【解析】本题主要考查点线圆的位置关系、圆的性质，考查了转化思想与逻辑推理能力.(1) 设 , 化简可得 ，又 ，则结论易得；(2)由题意可得，求出 ，即可求出点Q 坐标，则结论可得.21．如图，在四棱锥 中， 平面 ，四边形 是菱形， ，， 是 上任意一点。

2016-2017学年广东省汕头市金山中学高二（上）入学数学试卷一、选择题（每小题5分，共60分）1．若集合A={﹣2，﹣1，0，1，3}，集合B={x|x＜sin2}，则A∩B等于（）A．{﹣2}B．{﹣2，﹣1}C．{﹣2，﹣1，0}D．{0，1，3}2．如果a＜b＜0，那么下列不等式成立的是（）A．＜B．ab＜b2C．ac2＜bc2D．a2＞ab＞b23．设x，y∈R，向量=（x，1）=（1，y），=（2，﹣4）且⊥，∥，则x+y=（）A．0 B．1 C．2 D．﹣24．在△ABC中，角A，B，C所对边长分别为a，b，c，若a2+b2=2c2，则cosC的最小值为（）A．B．C．D．5．已知偶函数f（x）在内单调递减，若a=f（﹣1），，c=f（lg0.5），则a、b、c之间的大小关系是（）A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．b＞c＞a D．c＞a＞b6．设tanα，tanβ是方程x2﹣3x+2=0的两个根，则tan（α+β）的值为（）A．﹣3 B．﹣1 C．1 D．37．从甲乙两个城市分别随机抽取16台自动售货机，对其销售额进行统计，统计数据用茎叶图表示（如图所示），设甲乙两组数据的平均数分别为，，中位数分别为m甲，m乙，则（）A．，m甲＞m乙B．，m甲＜m乙C．，m甲＞m乙D．，m甲＜m乙8．把函数y=sinx（x∈R）图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再把图象上所有的点向左平行移动个单位长度，得到的图象所表示的函数是（）A．y=sin（2x﹣）（x∈R）B．y=sin（）（x∈R）C．y=sin（2x+）（x∈R）D．y=sin（2x+）（x∈R）9．若如图的框图所给的程序运行结果为S=20，那么判断框中应填入的关于k的条件是（）A．k=9 B．k≤8 C．k＜8 D．k＞810．在等差数列{a n}中，a1=3，a10=3a3，则{a n}的前12项和S12=（）A．120 B．132 C．144 D．16811．已知P、M、N是单位圆上互不相同的三个点，且满足||=||，则•的最小值是（）A．﹣B．﹣C．﹣D．﹣112．已知函数f（x）（x∈R）满足f（x）=f（2﹣x），若函数y=|x2﹣2x﹣3|与y=f（x）图象的交点为（x1，y1），（x2，y2），…，（x m，y m），则x i=（）A．0 B．m C．2m D．4m二、填空题（每小题5分，共20分）13．从某班5位老师中随机选两位老师值班，有女老师被选中的概率为，则在这5位老师中，女老师有人．14．已知O是坐标原点，点A（﹣1，1），若点M（x，y）为平面区域上的一个动点，则•的取值范围是．15．若0＜α＜，cos（+α）=，则cosα=．16．若不等式组的解集中所含整数解只有﹣2，求k的取值范围．三、解答题（共70分）17．正项数列{a n}的前n项和为S n，满足a n2+3a n=6S n+4（1）求{a n}的通项公式（2）设b n=2n a n，求数列{b n}的前n项和T n．18．已知向量=（sinωx，cosωx），=（cosωx，cosωx）（ω＞0），函数f（x）=•﹣的图象的一个对称中心与和它相邻的一条对称轴之间的距离为．（I）求函数f（x）的单调递增区间（II）在△ABC中，角A、B、C所的对边分别是a、b、c，若f（A）=且a=1，b=，求S△ABC．19．在一次抽样调查中测得样本的5个样本点，数值如表：x 9.5 13.5 17.5 21.5 25.5y 6 4 2.8 2.4 2.2（1）画散点图，并根据散点图判断，y=bx+a与y=+a那一个适宜作为y关于x的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）（2）根据（1）中判断结果及表中数据，求出y关于x的回归方程；（3）根据（2）中所求回归方程，估计x=40时的y值（精确到小数后1位）．参考数据：①（x i ﹣）（y i ﹣）（x i ﹣）2（W i ﹣）（y i ﹣）（（W i ﹣）217.5 0.06 3.5 ﹣36.8 160 0.165 0.003表中W i =，=W i．②由最小二乘法，回归方程y=bx+a中的b=，a=﹣b．20．已知函数f（x）=．（1）当a=1，b=2时，求函数f（x）（x≠1）的值域，（2）当a=0时，求f（x）＜1时，x的取值范围．21．对于定义域为D的函数y=f（x），若同时满足下列条件：①f（x）在D内单调递增或单调递减；②存在区间⊆D，使f（x）在上的值域为，则把y=f（x），x∈D叫闭函数．（1）求闭函数y=x3符合条件②的区间；（2）判断函数f（x）=x +，（x＞0）是否为闭函数？并说明理由；（3）已知是正整数，且定义在（1，m）的函数y=k ﹣是闭函数，求正整数m的最小值，及此时实数k的取值范围．2016-2017学年广东省汕头市金山中学高二（上）入学数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（每小题5分，共60分）1．若集合A={﹣2，﹣1，0，1，3}，集合B={x|x＜sin2}，则A∩B等于（）A．{﹣2}B．{﹣2，﹣1}C．{﹣2，﹣1，0}D．{0，1，3}【考点】交集及其运算．【分析】根据集合的交集的运算和三角函数的性质即可求出．【解答】解：集合A={﹣2，﹣1，0，1，3}，集合B={x|x＜sin2}=（﹣∞，sin2），∵sin2＜1，∴A∩B={﹣2，﹣1，0}，故选：C．2．如果a＜b＜0，那么下列不等式成立的是（）A．＜B．ab＜b2C．ac2＜bc2D．a2＞ab＞b2【考点】不等式的综合．【分析】结合已知中a＜b＜0，及不等式的基本性质，逐一分析四个答案的正误，可得结论．【解答】解：∵a＜b＜0，∴ab＞0，∴＜，即＞，故A错误；ab＞b2，故B错误；当c=0时，ac2=bc2，故C错误；a2＞ab＞b2，故D正确；故选：D3．设x，y∈R，向量=（x，1）=（1，y），=（2，﹣4）且⊥，∥，则x+y=（）A．0 B．1 C．2 D．﹣2【考点】平面向量的坐标运算．【分析】利用向量垂直与数量积的关系、向量共线定理即可得出．【解答】解：∵⊥，∥，∴2x﹣4=0，2y+4=0，解得x=2，y=﹣2．∴x+y=0．故选：A．4．在△ABC中，角A，B，C所对边长分别为a，b，c，若a2+b2=2c2，则cosC的最小值为（）A．B．C．D．【考点】余弦定理．【分析】通过余弦定理求出cosC的表达式，利用基本不等式求出cosC的最小值．【解答】解：因为a2+b2=2c2，所以由余弦定理可知，c2=2abcosC，cosC==．故选C．5．已知偶函数f（x）在内单调递减，若a=f（﹣1），，c=f（lg0.5），则a、b、c之间的大小关系是（）A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．b＞c＞a D．c＞a＞b【考点】函数单调性的性质．【分析】运用对数的运算性质和偶函数的定义，化简b=f（2），c=f（lg2），又a=f（1），再由单调性即可判断．【解答】解：偶函数f（x）在内单调递减，则f（﹣x）=f（x），a=f（﹣1）=f（1），=f（2），c=f（lg0.5）=f（﹣lg2）=f（lg2），由lg2＜1＜2，则f（lg2）＞f（1）＞f（2）．即有c＞a＞b．故选D．6．设tanα，tanβ是方程x2﹣3x+2=0的两个根，则tan（α+β）的值为（）A．﹣3 B．﹣1 C．1 D．3【考点】两角和与差的正切函数；根与系数的关系．【分析】由tanα，tanβ是方程x2﹣3x+2=0的两个根，利用根与系数的关系分别求出tanα+tanβ及tanαtanβ的值，然后将tan（α+β）利用两角和与差的正切函数公式化简后，将tanα+tanβ及tanαtanβ的值代入即可求出值．【解答】解：∵tanα，tanβ是方程x2﹣3x+2=0的两个根，∴tanα+tanβ=3，tanαtanβ=2，则tan（α+β）===﹣3．故选A7．从甲乙两个城市分别随机抽取16台自动售货机，对其销售额进行统计，统计数据用茎叶图表示（如图所示），设甲乙两组数据的平均数分别为，，中位数分别为m甲，m乙，则（）A．，m甲＞m乙B．，m甲＜m乙C．，m甲＞m乙D．，m甲＜m乙【考点】茎叶图；众数、中位数、平均数．【分析】直接求出甲与乙的平均数，以及甲与乙的中位数，即可得到选项．【解答】解：甲的平均数甲==，乙的平均数乙==，所以甲＜乙．甲的中位数为20，乙的中位数为29，所以m甲＜m乙故选：B．8．把函数y=sinx（x∈R）图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再把图象上所有的点向左平行移动个单位长度，得到的图象所表示的函数是（）A．y=sin（2x﹣）（x∈R）B．y=sin（）（x∈R）C．y=sin（2x+）（x∈R）D．y=sin（2x+）（x∈R）【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】先根据横坐标缩短到原来的倍时w变为原来的2倍进行变换，再根据左加右减的原则进行平移，即可得到答案．【解答】解：由y=sinx的所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍得到y=sin2x，再把图象向左平行移动个单位得到y=sin2（x+）=sin（2x+），故选C9．若如图的框图所给的程序运行结果为S=20，那么判断框中应填入的关于k的条件是（）A．k=9 B．k≤8 C．k＜8 D．k＞8【考点】程序框图．【分析】运行程序框图，确定条件．【解答】解：如图：K 10 9 8s 1 11 20可知，10，9时条件成立，8时不成立．故选D．10．在等差数列{a n}中，a1=3，a10=3a3，则{a n}的前12项和S12=（）A．120 B．132 C．144 D．168【考点】等差数列的前n项和．【分析】由等差数列的通项公式求出公差，由此能求出{a n}的前12项和S12．【解答】解：∵在等差数列{a n}中，a1=3，a10=3a3，∴3+9d=3（3+2d），解得d=2，∴{a n}的前12项和S12=12×=168．故选：D．11．已知P、M、N是单位圆上互不相同的三个点，且满足||=||，则•的最小值是（）A．﹣B．﹣C．﹣D．﹣1【考点】平面向量数量积的运算．【分析】由题意可得，点P在MN的垂直平分线上，不妨设单位圆的圆心为O（0，0），点P（0，1），点M（x1，y1），则点N（﹣x1，y1），由得•=，求出最小值．【解答】解：由题意可得，点P在MN的垂直平分线上，不妨设单位圆的圆心为O（0，0），点P（0，1），点M（x1，y1），则点N（﹣x1，y1），﹣1≤y1＜1∴=（x1，y1﹣1），=（﹣x1，y1﹣1），．∴•===2﹣，∴当y1=时•的最小值是故选：B．12．已知函数f（x）（x∈R）满足f（x）=f（2﹣x），若函数y=|x2﹣2x﹣3|与y=f（x）图象的交点为（x1，y1），（x2，y2），…，（x m，y m），则x i=（）A．0 B．m C．2m D．4m【考点】二次函数的性质；带绝对值的函数；函数迭代．【分析】根据已知中函数函数f（x）（x∈R）满足f（x）=f（2﹣x），分析函数的对称性，可得函数y=|x2﹣2x﹣3|与y=f（x）图象的交点关于直线x=1对称，进而得到答案．【解答】解：∵函数f（x）（x∈R）满足f（x）=f（2﹣x），故函数f（x）的图象关于直线x=1对称，函数y=|x2﹣2x﹣3|的图象也关于直线x=1对称，故函数y=|x2﹣2x﹣3|与y=f（x）图象的交点也关于直线x=1对称，故x i=×2=m，故选：B二、填空题（每小题5分，共20分）13．从某班5位老师中随机选两位老师值班，有女老师被选中的概率为，则在这5位老师中，女老师有2人．【考点】古典概型及其概率计算公式．【分析】设在这5为老师中，女老师有x人，则男老师有5﹣x人，由对立事件概率计算公式能求出结果．【解答】解：从某班5位老师中随机选两位老师值班，有女老师被选中的概率为，设在这5为老师中，女老师有x人，则男老师有5﹣x人，∴=，解得x=2．故答案为：2．14．已知O是坐标原点，点A（﹣1，1），若点M（x，y）为平面区域上的一个动点，则•的取值范围是．【考点】简单线性规划．【分析】由约束条件作出可行域，化•为线性目标函数，然后化为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，代入最优解的坐标得答案．【解答】由约束条件作出可行域如图，令z=•=﹣x+y，得y=x+z．由图可知，当直线y=x+z过C（1，1）时直线在y轴上的截距最小，z有最小值，等于0；当直线过B（0，2）时直线在y轴上的截距最大，z有最大值，等于2．∴•的取值范围是．故答案为：．15．若0＜α＜，cos（+α）=，则cosα=．【考点】两角和与差的余弦函数．【分析】由条件利用同角三角函数的基本关系求得sin（（+α）的值，再利用两角差的余弦公式，求得cosα=cos的值．【解答】解：∵0＜α＜，cos（+α）=，∴+α仍然是锐角，∴sin（（+α）==，则cosα=cos=cos（+α）cos+sin（+α）sin=+=，故答案为：．16．若不等式组的解集中所含整数解只有﹣2，求k的取值范围﹣3，2）故答案为：﹣π+kπ， +kπ﹣（x﹣1）﹣∪a，ba，ba，ba，ba，ba，ba，ba，ba，ba，ba，ba，b﹣1，1a，ba，ba，b hslx3y3h上单调递增，即，∴a，b为方程的两个实根，即方程在（1，m）上有两个不等的实根．由于，考察函数，∵函数g（x）在（1，2）上递减，∴m＞2．∵g（x）在（2，m）递增，而函数y=g（x）与y=k在（1，m）有两个交点，，∵，所以正整数m的最小值为3，此时，g（3）=，此时，k的范围是（5，）．2016年10月17日。

广东金山中学2016-17学年高二级（上)期中测试理科数学试卷第一部分选择题（共60分）一、(本大题共12小题，每小题5分，四选一项．) 1.某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为 A ．12＋4 2 B ．18＋8 2 C ．28 D ．20＋8 22．用斜二侧法画水平放置的ABC ∆的直观图，得到如图所示等腰直角A B C '''∆.已知点'O 是斜边B C ''的中点，且1A O ''=，则ABC ∆的BC 边上的高为A ．1B ．2 C．3．设,,l m n 是三条不同的直线，,,αβγ是三个不同的平面，则下列判断正确的是A ．若l m,m n ⊥⊥，则//l nB ．若,αββγ⊥⊥，则//αγC ．若,,m ααβ⊥⊥则//m βD ．若,//m m αβ⊥，则αβ⊥4．设l 为直线,,αβ是两个不同的平面,下列命题中正确的是A ．若//l α,//l β,则//αβB ．若l α⊥,l β⊥,则//αβC ．若l α⊥,//l β,则//αβD ．若αβ⊥,//l α,则l β⊥5.在空间四边形ABCD 中，E,F 分别是AB 和BC 上的点，若AE:EB=CF:FB=1:2,则AC 和平面DEF 的位置关系是A.平行B.相交C.在平面内D.不能确定6.将正方体（如图1所示）截去两个三棱锥，得到 图2所示的几何体，则该几何体的左视图为7．在三棱锥P ABC -中，PA ⊥平面ABC ，2AB BC AC ===，PA ,E F 分别是,PB BC 的中点，则EF 与平面PAB 所成的角等于A ．30︒B ．45︒C ．60︒D ．90︒ 8.圆2240x y +-=与圆22450x y x +--=的位置关系是A ．相切B ．相交C ．相离D ．内含9．直线12:210,:(1)0l x ay l a x ay +-=+-=，若12//l l ，则实数a 的值为A ．32-B ．0C ．32- 或 0 D ．210．直线1y kx =+与圆221x y +=相交于,A B 两点，且AB k 的值等于A ．1 C ．1或1-11．当点P 在圆x 2＋y 2＝1上变动时，它与定点Q (3,0)的连结线段PQ 的中点 的轨迹方程是A ．(x ＋3)2＋y 2＝4 B ．(x －3)2＋y 2＝1 C ．(2x －3)2＋4y 2＝1 D ．(2x ＋3)2＋4y 2＝112.在空间四边形ABCD 中，AB ＝CD ，AD ＝BC ，AB ≠AD ，M ，N 分别是对角线AC 与BD 的中点，则MN 与A ．AC ，BD 之一垂直B ．AC ，BD 都垂直 C ．AC ，BD 都不垂直 D ．AC ，BD 不一定垂直第二部分非选择题（共90分）二、填空题（每题5分，共20分）13.点)2,1(-到直线x y =的距离是_________.14.若点P 在直线03:1=++y x l 上，过点P 的直线2l 与曲线22:(5)16C x y -+=相切于点M ，则PM 的最小值为_________.15.两圆相交于两点(1,3)A 和(, )B m n ，且两圆圆心都在直线20x y --=上，则m n +的值是_________.16.在ABC ∆中，2,6,2==∠=∠AC B C ππ，M 为AB 中点，将ACM ∆沿CM 折起，使,A B 之间的距离为ABC M -的外接球的表面积为_________. 三、解答题（共6大题，共计70分）17.（本题满分10分）在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，向量m ＝(2sin B ，－3)，n ＝⎝⎛⎭⎪⎫cos 2B ，2cos 2B 2－1，且m ∥n .（Ⅰ）求锐角B 的大小；（Ⅱ）如果b ＝2，求S △ABC 的最大值．18．(本小题满分12分)设数列{}n a 的前n 项和为n S ，设n a 是n S 与2的等差中项, 数列{}n b 中，11b =，点1(,)n n P b b +在直线2y x =+上.（Ⅰ）求,n n a b ；（Ⅱ）若数列{}n b 的前n 项和为n B ，比较nB n nB B )1(322121++++ 与1的大小．19．（本题满分12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，PD ⊥平面ABCD ， //AB CD ， 90BAD ∠=︒，AD 22DC AB ==，E 为BC 中点．（Ⅰ）求证：平面PBC ⊥平面PDE ；（Ⅱ）线段PC 上是否存在一点F ，使PA ∥平面BDF ? 若存在，求PFPC的值；若不存在，说明理由．20.（本题满分12分）直三棱柱111ABC A B C -中， 平面1A BC ⊥侧面11A ABB ，且12AA AB ==． （Ⅰ） 求证：AB BC ⊥；（Ⅱ） 若直线AC 与平面1A BC 所成的角为6π，求锐二面角1A ACB --的大小．21．（本题满分12分）若定义域内的某一数0x ，使得00)(x x f =，则称0x 是)(x f 的一个不动点，已知函数)0(1)1()(2≠-+++=a b x b ax x f 。

广东省汕头市金山中学高二数学上学期期中试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合,,则=( )A. B. C. D. 2. 已知,,,则a ,b ,c 的大小关系为( )A. B.C. D.3. 命题“,”的否定是( )A. ,B. ,C. ,D.,4. 已知直线,直线,且,则m 的值为（ ）A.B.C. 或D.或5. 已知,l m 是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题正确的是（ ）A.若//l α，//m α，则//l mB.若l m ⊥，//m α，则l α⊥C.若l m ⊥，m α⊥，则//l αD.若//l α，m α⊥，则l m ⊥ 6. 在中,若点D 满足,则( ) A.B.C.D.7. 为了得到函数的图象,可以将函数的图象A. 向左平移个单位B. 向右平移个单位C. 向右平移个单位D. 向左平移个单位8. 若x ,,且,则的最小值是 A. 5 B. C.D.9. 设D 为椭圆上任意一点,,,延长AD 至点P ,使得,则点P的轨迹方程为( )A. B.C.D.10. 已知圆,直线l ：,若圆上恰有4个点到直线l 的距离都等于1,则b 的取值范围为( )A.B.[]11-，C. ]2,2[-D.11. 已知,分别是椭圆的左、右焦点,P 为椭圆上一点,且为坐标原点,若,则椭圆的离心率为( )A.B.C.D.12. 设函数()f x 的定义域为D ,若函数()f x 满足条件：存在[,]a b D ⊆，使()f x 在[,]a b 上的值域是[,]22a b，则称()f x 为“倍缩函数”，若函数2()log (2)x f x t =+为“倍缩函数”，则实数t 的范围是（ ）A.1(0,)4B.(0,1)C.1(0,)2 D.1(,)4-∞二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 一个骰子连续投2次,点数积大于21的概率为_________． 14. 过圆上一点作圆的切线, 则该切线的方程为_________．15. 已知A ,B ,C ,D 是同一球面上的四个点,其中是正三角形,平面ABC ,,则该球的体积为_________．16. 已知棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，点,,E F M 分别是1,,AB AD AA 的中点，又,P Q 分别在线段1111,A B A D 上，且11(01)A P AQ x x ==<<.设平面MEF 平面MPQ l =，现有下列结论：①//l 平面ABCD ；②l AC ⊥；③l 与平面11BCC B 不垂直；④当x 变化时，l 不是定直线. 其中不成立的结论是 .（填写所有不成立结论的编号）三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.（本小题满分10分）设等差数列的前n项和为,若,．求数列的通项公式；设,若的前n项和为,证明：．18.（本小题满分12分）某学校随机抽取部分学生调查其上学路上所需时间单位：分钟,并将所得数据制成频率分布直方图如图,若上学路上所需时间的范围为,样本数据分组为,．求直方图中a的值；如果上学路上所需时间不少于40分钟的学生可申请在学校住宿,若招收学生1200人,请估计所招学生中有多少人可以申请住宿；求该校学生上学路上所需的平均时间．19.（本小题满分12分）如图,正三棱柱中,各棱长均为4,M、N分别是的中点．求证：平面；求直线AB与平面所成角的余弦值．20. （本小题满分12分）已知以点C 为圆心的圆经过点和,且圆心在直线上．Ⅰ求圆C 的方程； Ⅱ设点P 在圆C 上,求的面积的最大值．21. （本小题满分12分）已知椭圆,四点,,,中恰有三点在椭圆C 上 求C 的方程；设直线l 不经过点，且与C 相交于两点.若直线与直线的斜率的和为,证明：l 过定点．22.（本小题满分12分）设a 为实数，函数()(2)||f x x x a a =---，x R ∈. （1）求证：()f x 不是R 上的奇函数；（2）若()f x 是R 上的单调函数，求实数a 的值；（3）若函数()f x 在区间[2,2]-上恰有3个不同的零点，求实数a 的取值范围.2018级高二上学期期中考试数学卷参考答案一、选择题1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12C C BD D D B A B D A A二、填空题13. 14. 15. 16. ④三、填空题17.解：等差数列的公差为d,由,得,又由,得,由上可得等差数列的公差,；证明：由题意得．所以．18.解：由,解得．上学路上所需时间不少于40分钟的学生可申请在学校住宿,招收学生1200人, 估计所招学生中有可以申请住宿人数为：．该校学生上学路上所需的平均时间为：．19.证明：因为且M为BC的中点,所以,又在正三棱柱中,因为平面平面ABC,平面ABC, 且平面平面,所以平面,因为平面,所以,因为M,N分别为BC,的中点,所以,又因为,,所以≌,所以,,所以,所以,又因为平面,平面,,所以平面．解：设,由可知平面,所以AO为斜线AB在平面内的射影,所以为AB与平面所成的角,由题可知,所以为等腰三角形,作于E,则E为AB的中点,所以,由等面积法可知,在中,,所以,所以直线AB与平面所成的角的余弦值为．20.解：Ⅰ依题意,所求圆的圆心C为AB的垂直平分线和直线的交点,中点为斜率为1,垂直平分线方程为即分联立,解得,即圆心,半径分所求圆方程为分Ⅱ,分圆心到AB的距离为分到AB距离的最大值为分面积的最大值为分21.解：根据椭圆的对称性,,两点必在椭圆C上,又的横坐标为1,椭圆必不过,,,三点在椭圆C上．把,代入椭圆C,得：,解得,,椭圆C的方程为；证明：当斜率不存在时,设l：,,,直线与直线的斜率的和为,,解得,此时l 过椭圆右顶点,不存在两个交点,故不满足． 当斜率存在时,设l ：,,,, 联立,整理,得,,,则,,又,,此时,存在k ,使得成立,直线l 的方程为,当时,, 过定点．22．解：（1）假设()f x 是R 上的奇函数，则对任意的x R ∈，都有()()f x f x -=- （*） 取0x =，得(0)0f =，即2||0a a -=，解得0a =，此时()(2)||f x x x =-，所以(1)3f -=，(1)1f -=-，从而(1)(1)f f -≠-， 这与（*）矛盾，所以假设不成立，所以()f x 不是R 上的奇函数；（2）22(2),()(2)3,x a x a x af x x a x a x a⎧-++≤⎪=⎨-++->⎪⎩①当2a >时，对称轴22a x a +=<，所以()f x 在2(,]2a +-∞上单减，在2(,]2a a +上单增，在(,)a +∞上单减，不符； ②当2a <时，对称轴22a x a +=>，所以()f x 在(,]a -∞上单减，在2(,]2a a +上单增，在2(,)2a ++∞上单减，不符；③当2a =时，对称轴22a x a +==，所以()f x 在(,2]-∞上单调递减，在(2,)+∞上单调递减，所以()f x 是R 上的单调减函数． 综上， 2a =．（3）①当2a =时，由（2）知， ()f x 是R 上的单调减函数，至多1个零点，不符； ②当2a >时，由（2）知， 222a x a +<=<，所以()f x 在[2,2]-上单调递减， 所以()f x 在[2,2]-上至多1个零点，不符； ③当2a <时，由（2）知， 222a x a +>=>，所以()f x 在(,]a -∞上单调递减，在2(,]2a a +上单调递增，在2(,2]2a +上单调递减． 因为()f x 在区间[2,2]-上恰有3个零点，所以(2)380f a -=+>，()0f a a =-<，2212(2)()024a a a f +-+=>-，(2)0f a =-<解得04a <<-4a >+又2a <，故04a <<-综上，实数a 的取值范围是(0,4-广东省汕头市金山中学高二物理上学期期中试题试卷分选择题和非选择题两部分，满分100分，考试时间75分钟.第一部分 选择题（共48分）一、单项选择题（本题共7小题，每小题4分，共28分，每小题的四个选项中只有一个符合题意）1．在电磁学的发展历程中，早期许多物理学家通过大量的科学实验寻找电和磁之间的联系和规律，首先发现通电导线周围存在磁场的物理学家是 A ．库仑 B ．奥斯特 C ．安培 D ．法拉第2．两个分别带有电荷量-Q 和+3Q 的相同金属小球（均可视为点电荷），固定在相距为r 的两处，它们间库仑力的大小为F ．两小球相互接触后将其固定距离变为2r，则两球间库仑力的大小为 A ．112F B ．34F C ．43F D ．12F 3．如图所示，A 、B 两点分别放有电荷量为+Q 和+2Q 的点电荷，A 、B 、C 、D 四点在同一直线上，且AC ＝CD ＝DB ，将一正电荷从C 点沿直线移到D 点过程，电场力 A ．一直做正功 B ．先做负功后做正功 C ．一直做负功 D ．先做正功后做负功 4．下列说法正确的是A ．电流通过导体的热功率与电流大小成正比B ．导体的电阻与电流大小成反比C ．电容器所带电荷量与两极间的电势差成正比D ．电场中某点的电势与电荷在该点的电势能成正比5．在如图所示的电路中，电源的电动势和内电阻均为定值，各电阻都不为零．电键S 接通后与接通前比较，电压表读数的变化情况是 A ．变大 B ．变小 C ．不变 D ．因电阻未知，无法判断6．在输液时，药液有时会从针口流出体外，为了及时发现，设计了一种报警装置，电路如图所示。

高二文科数学期中考试一、选择题(以下题目从4项答案中选出一项，每小题5分，共50分）参考公式：334R V π=球 1. 圆22460x y x y +-+=的圆心坐标是（ ）A ．（2，3）B ．（ -2，3）C ．（-2，-3）D ．（2，-3）2. 若三个点P (1，1)，A (2，－4)，B (x ，－9)共线，则x ＝( )A. －1B. 3 C 92D. 513. 圆25)4()1(:221=+++y x C 与圆9)2()2(:222=-+-y x C 的位置关系是（ ） A ．外离B ．外切C ．相交D ．内含4. 如右图，正三棱柱ABC C B A -111中，2,21==AA AB ，则1BC 与面11A ABB 所成的角大小是（ ）A 、︒30B 、︒45C 、︒60D 、︒905. 设A 、B 、C 、D 是空间四个不同的点，在下列命题中， 不正确的是（ ）A ．若直线AB 与CD 没有公共点，则AB ∥CD B ．若AC 与BD 共面，则AD 与BC 共面C ．若AC 与BD 是异面直线，则AD 与BC 是异面直线D ．若AB ＝AC ，DB ＝DC ，则AD ⊥BC6. 已知点P （3，2）与点Q （1，4）关于直线l 对称，则直线l 的方程为（ ）A ．01=+-y xB ．0=-y xC ．01=++y xD ．0=+y x7. 圆()3122=++y x 绕直线01=--y kx 旋转一周所得的几何体的体积为（ ）A. π36B. π12C ．π34D. π48. 已知点A(2,3),B(－3,－2).若直线l 过点P(1,1)且与线段AB 相交,则直线l 的斜率k 的取值范围是( ) A. 43≥k B. 243≤≤k C. 2≥k 或43≤k D. 2≤k 9. 一个圆柱内接于一个底面半径为2，高为3的圆锥，如下图是圆锥的轴截面图，则内接1A圆柱侧面积最大值是（ ） A 、π23B 、π3C 、π5D 、π410. 在平面直角坐标系中，点B A ,分别是x 轴、y 轴上两个动点，又有一定点)4,3(M ，则BM AB MA ++的最小值是（ ）A 、10B 、11C 、12D 、13第11题图二、填空题（每小题5分，共20分）11. 一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为 _12、已知两直线m y m x l -=++2)1(:1，1642:2-=+y mx l ，当=m 时， 有 1l ∥2l 。

12018-2019学年广东省汕头市金山中学高二上学期期中考试数学注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答：每小题选出答案后,用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

一、单选题 1．设，，则A ．B ．C ．D ．2．已知空间的两条直线及两个平面,β，下列四个命题中正确的是①若∥,⊥，则⊥ ；②若∥β， ，β，则∥；若∥，∥，则∥；④若∥β，∥，⊥，则⊥βA ．①③B ．②④C ．①④D ．②③3．已知点分别是椭圆的左、右焦点,点在此椭圆上,则的周长等于A ．20B ．18C ．16D ．144．已知三棱锥A －BCD 中，AD ⊥BC,AD ⊥CD ，则有 A ．平面ABC ⊥平面ADC B ．平面ADC ⊥平面BCD C ．平面ABC ⊥平面BDC D ．平面ABC ⊥平面ADB只装订不密封准考证号 考场号 座位号5．正方体ABCD-A1B1C1D1中,异面直线BD1与AC所成的角等于A．60° B．45° C．30° D．90°6．如果执行下面的框图,输入N＝5，则输出的数等于A ．B ．C ．D ．7．“”是“”的A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件8．椭圆的左右焦点分别为，点P在椭圆上,轴，且是等腰直角三角形，则该椭圆的离心率为A ．B ．C ．D ．9．如图，在等腰梯形中，，为中点。

将与分别沿、折起，使、重合于点,则三棱锥的外接球的体积为A ．B ．C ．D ．10．某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥的各个面中,最大的面积是2A ．B ． C．1 D ．11．已知方程有两个不同的实数解，则实数的取值范围是A ．B ．C ．D ．12．已知点P（1，1）及圆C ：,点M，N在圆C上，若PM⊥PN,则｜MN｜的取值范围为A ．B ．C ．D ．二、填空题13．已知向量＝（4，2），向量＝（，3），且//,则＝ _______14．已知正三棱锥S－ABC的侧棱长为2,底面边长为1，则侧棱SA与底面ABC所成角的余弦值等于______ 15．菱形ABCD的边长为2，且∠BAD＝60°,将三角形ABD沿BD折起，得到三棱锥A－BCD，则三棱锥A－BCD 体积的最大值为____________16．函数的图像与函数的图像所有交点的横坐标之和等于_________三、解答题17．已知A、B、C 是ABC的内角,分别是角A，B，C的对边。

广东省汕头金山中学2016—2017学年度上学期12月月考高二数学文试题一、选择题(本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知过点的直线的倾斜角为45°，则的值为A.1B.2C.3D.4 2．命题“若是奇函数，则是奇函数”的否命题是 A.若是偶函数，则是偶函数 B. 若是奇函数，则是奇函数 C.若不是奇函数，则不是奇函数 D.若不是奇函数，则不是奇函数 3．设，则“或”是“直线与直线平行”的A ．充分不必要条件 B.必要不充分条件 C ．充分必要条件 D.既不充分又不必要条件 4．在空间中，设表示直线，表示不同的平面，则下列命题正确的是 A ．若，，则B ．若，，则C ．若，，则D ．若，，则5．已知焦点在轴上的椭圆方程为，则的范围为 A ．（4,7） B . C . D .6．一空间几何体三视图如右图所示，则该几何体的体积为 A ． B ．2 C ． D ．67．若，则直线被圆所截得的弦长为 A. B. １ C. D. 8．直线与直线互相垂直，，则的最大值为A ． 1B ．2C ．4D ．59．若椭圆的一个短轴端点与两个焦点构成正三角形，则该椭圆的离心率是 A 、 B 、 C 、 D 、以上都不正确 10．如图，在正方体中，是底面的中心，为的中点， 那么异面直线与所成角的余弦值等于1A 1（第10题图）FDPEGA. B. C. D.11. 直线与圆在第一象限内有两个不同交点，则的取值范围是A. B. C. D. 12、已知中，，则的最大值是A 、B 、C 、D 、二、填空题（每小题5分，共20分.把答案填在答卷中相应横线上） 13． 命题“R ， 0”的否定是 14．将直线绕点(2,0)按顺时针方向旋转60°得到直线，则直线的方程是 ． 15、已知实数满足，则的最大值是 16．在直四棱柱中，底面是正方形，，点在球的表面上，球与的另一个交点为，与的另一个交点为F ，且，则球的表面积为三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤） 17．（10分）设函数()22cos 2cos ,32xf x x x R π⎛⎫=++∈ ⎪⎝⎭。