下载文档原格式
条件期望12条性质的证明考虑随机变量$X,Y,X_1,X_2,...on$ $L^1(\mathscr{X,A},\mathbb{P}),\mathscr{A_0 \sub A},f,g$为可积函数，则有：$X=c$ a.s. for $c\in R$ , 则有$E[X|\mathscr{A_0}]=c$ a.s.（都几乎处处为一个常数了，那么其条件期望也几乎处处等于这个常数）(a) $X$对$\mathscr{A_0}$可测, 则有$E[X|\mathscr{A_0}]=X$.(b) $\mathscr{A}_0=\mathscr{A},E[X|\mathscr{A_0}]=X$(c)$\mathscr{A_0}={\phi,\mathscr{X},E[X|\mathscr{A_0}]=E(X)}$(a), (b)都是很容易理解，事实上(b)可以由(a)推出，原因在于当$\mathscr{A_0=A}$时，就有$X$对$A_0$可测了.而为什么(a), (b)成立，可以回顾条件期望的定义，会发现$X$作为条件期望时满足条件期望的定义.但对于(c)我也不是很理解.If $X\leq Y a.s.$, 则有$E[X|\mathscr{A_0}]\leqE[Y|\mathscr{A_0}] a.s.$这个性质我没有太过思考，就是条件期望有类似于保序性的性质？If $a,b \in R$, 则有$E[af(x)+bg(Y)|\mathscr{A_0}]=aE[f(x)|\mathscr{A_0}]+bE[g(Y)|\ma thscr{A_0}]$这个性质说明了条件期望具有线性性，在运算的时候很有帮助.$E[E[X|\mathscr{A_0}]]=E(X)$, 推导一下：$E[E[X|\mathscr{A_0}]]=E[I_\mathscr{X}E[X|\mathscr{A_0}]]=E[I_\ mathscr{X}X]=E(X)$这个性质是双期望公式，非常有用，在各种定理证明时都经常用到.If $Y$对$\mathscr{A_0}$可测，且$E[\abs{XY}]<\infin$, 则有：$E[XY| \mathscr{A_0}]=YE[X|\mathscr{A_0}]$或者$E[h(T)f(X)|T]=h(T)E[f(x)|T]$.这个的推导其实我有点没能理解，到时候再拿出来写一下，如果有问题可以评论区问我怎么推导的.Jensen's inquality$\phi:(a,b)\rightarrow R$, 其为convex且有$-\infty\leq a<b\leq \infty$, $P(X\in(a,b))=1,E(\abs{\phi(X)})<\infty$,则有：这个和我们之前见过的Jensen's inquality没太大区别，都是要求凸函数. 我们还可以回想起，之前学过的Jensen's inquality等号成立当且仅当对$g(x)在x=EX处的切线l(x)=a+bx，有P(g(X)=a+bX)=1$.MCT(单调收敛定理):$X_n\leq X_{n+1} a.s., X=lim_{n\rightarrow\infty}X_n a.s.$，则有：$lim_{n\rightarrow\infty}E[X_n|\mathscr{A_0}]=E[X|\mathscr(A_0)]a .s.$单调收敛定理和控制收敛定理是在学习概率论时候非常重要的两个定理，在此处MCT对几乎处处都成立，而我们在学习期望的MCT时，有的只是如果$0\leq X_n\rightarrow X,则有E(X_n)\rightarrow E(X)$，即极限与期望可以交换顺序. 另外我们知道，收敛一定几乎处处收敛，故而条件期望的MCT对于收敛而言自然也是成立的.(1) DCT(控制收敛定理):若$X_n\rightarrow X$, 并且存在一个控制随机变量$Z\inL_1$使得$\abs{X_n}\leq Z$, 则有：$E[X_n]\rightarrow E(X)$且$E\abs{X_n-X}\rightarrow0.$上述写的并非是对于条件期望而言的DCT，只是写完MCT忍不住将DCT也写了一下，区别就在于如果我们不能确定$X$大于0和单调性的话，那么MCT就用不了了，只能用DCT找到一个控制随机变量来控制$X_n$的收敛.(2) DCT(控制收敛定理)：$\abs{X_n}\leq Y 对任意n成立，并且E(\abs{Y})<\infty，且X_n\rightarrow Xa.s.$，则$E[X_n|\mathscr{A_0}]\rightarrow E[X|\mathscr{A_0}] a.s.$可以看到，在此处也说明了DCT对几乎处处收敛成立.$E\abs{Y}<\infty$其实就是说明$Y\in L_1$Fatou's lemma:$0\leq X_n$对任意n都成立，则有：$E[\liminf_{n \rightarrow\infty}X_n|\mathscr{A_0}]\leq\liminf_{n\rightarrow\infty}E[X_n|\mathscr{A_0}]a.s.$Fatou's lemma也挺重要的，概率论考试里经常考到. 其实观察一下即可知道，其是由MCT推导得到的.ANOVA:$Var(X)=Var(E[X|\mathscr{A_0}])+E[Var[X|\mathscr{A_0}]]$ 这个也可叫做方差恒等式.For measuable $X,Y$ on $(\mathscr{X,A},P)$, 有：$E[YE[X|\mathscr{A_0}]]=E[XE[y|\mathscr{A_0}]]$这个的推导可以用到上述提到的性质，但是我在推导时也并不是很清晰.以上就是总结的条件期望的各种性质了，实际上对于数学期望的各种性质对于条件期望也是成立的.在此只不过是再总结了一下，感觉与条件期望更为相关的应该就是双期望公式以及方差恒等式，还有就是性质6和性质12. 另外一些性质我在此没有进行总结，因为感觉较为显然.最后提出一个性质，我不是很能理解$E[X|\mathscr{A_0}]=\int _0^\infty P(X>t|\mathscr{A_0} dt$。
数学期望的计算方法
数学期望的公式：
（1）期望的“线性”性质。
对于所有满足条件的离散型的随机变量X，Y和常量a，b，有：E(aX+bY)=aE(x)+bE(y)E(aX+bY)=aE(x)+bE(y)；
类似的，我们还有E(XY)=E(X)+E(Y)E(XY)=E(X)+E(Y)。
（2）全概率公式假设{Bn∣n=1,2,3,...Bn∣n=1,2,3,...}是一个“概率空间有限或可数无限”的分割，且集合BnBn是一个“可数集合”，则对于任意事件A有：
P(A)=∑nP(A∣Bn)P(Bn)P(A)=∑nP(A∣Bn)P(Bn)
（3）全期望公式 E(Y)=E(E(Y∣X))=∑iP(X=xi)E(Y∣X=xi)
数学期望亦称期望、期望值等。
在概率论和统计学中，一个离散型随机变量的期望值是试验中每一次可能出现的结果的概率乘以其结果的总和。
拓展资料：
在概率论和统计学中，数学期望(mean)（或均值，亦简称期望）是试验中每次可能结果的概率乘以其结果的总和，是最基本的数学特征之一。
它反映随机变量平均取值的大小。
需要注意的是，期望值并不一定等同于常识中的“期望”——“期望值”也许与每一个结果都不相等。
期望值是该变量输出值的平均数。
期望值并不一定包含于变量的输出值集合里。
大数定律规定，随着重复次数接近无穷大，数值的算术平均值几乎肯定地收敛于期望值。
概率论中的条件期望计算公式概率论是数学中的重要分支，研究随机事件和概率规律的数学理论。
条件期望是概率论中的一个重要概念，用于描述在给定条件下的期望值。
本文将介绍条件期望的计算公式及其应用。
一、条件期望的定义及性质条件期望是在给定条件下的期望值，记作E(X|Y)，其中X和Y为随机变量。
条件期望于普通期望相似，区别在于条件期望要求在给定条件下对随机变量进行求平均。
条件期望的计算公式如下：E(X|Y) = ∑[x P(X=x|Y)] （离散变量）E(X|Y) = ∫[x f(x|Y) dx] （连续变量）其中，P(X=x|Y)表示在给定随机变量Y的条件下，随机变量X取值为x的概率；f(x|Y)表示随机变量X在给定Y的条件下的概率密度函数。
条件期望的性质：1. 条件期望是随机变量Y的函数，它是Y的函数的期望；2. 如果X和Y相互独立，则条件期望等于普通期望，即E(X|Y) =E(X)；3. 若Z=g(X,Y)，则E(Z|Y) = E(g(X,Y)|Y)。
二、条件期望的计算举例为了帮助读者更好地理解条件期望的计算公式及应用，以下将通过两个具体的案例来说明。
案例一：假设有一批产品，其质量可以用随机变量X表示，X的取值范围为[1, 10]，代表产品的质量评分。
同时，还有一个随机变量Y表示产品的价格，Y的取值范围为[100, 1000]。
现在要求在给定产品价格的条件下，计算产品质量的条件期望。
解决方法如下：根据条件期望的计算公式，我们需要计算P(X=x|Y)。
假设随机变量Y的取值为y，则产品质量为x的条件概率为P(X=x|Y=y)。
如果我们已知产品价格与质量的关系，可以通过分析或者实验得到条件概率的分布。
然后，根据条件概率计算条件期望即可。
案例二：现假设随机变量X和Y相互独立，且它们都服从正态分布。
我们要计算X与Y的乘积Z的条件期望E(Z|Y)。
解决方法如下：根据条件期望的性质，当X和Y相互独立时，条件期望等于普通期望，即E(Z|Y) = E(Z)。
