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10-3 毕奥-萨伐尔定律

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10-(3)毕奥—萨伐尔定律

10-(3)毕奥—萨伐尔定律
×内
2、 4、 6、 8 点 ：
外 6
dB
0 Id l
4π R
0 sin 45 2
4
二 运动电荷的磁场
S Id l
r
v
P
0 I d l r0 dB 4 r2
dB
n,q dl
dl dl v v
单位时间通过横截面S的电荷量即等于电流。
I
电流元的磁场：
4π
x

l
r2
0 IR 2 π R Bx dl 3 0 4πr
0 IR 2R 4（x R ）2
2 2 3
dB
dB x
0 I cosdl
4π r
2

0 IR 2 2 （x R ）2
2 2 3
13
I
o
R
x
*
B
x
B
0 IR 2
2 （x R ）2
10-3 毕奥—萨伐尔定律
1
一 毕奥─萨伐尔定律 (实验规律 1820)
在真空中，载流导线上任一电流元Idl，在真空中给定点 P所产生的磁感应强度dB的大小与电流元的大小Idl成正比， 与电流元到P点的矢量r之间的夹角的正弦 (sinα)成正比；与 电流元到P点的距离的平方(r2)成反比；dB的方向垂直于dl和 r所组成的平面，其指向由右手螺旋定则确定。 毕奥─萨伐尔定律
电流元中的运动电荷总数均为dN=nSdl
则每个运动电荷产生的电流元在P点产生的磁感应强度为：
dB 0 qv r0 运动电荷的磁场： B dN 4 r 2
适用条件： v <<C
6
运动电荷的磁场

毕奥萨伐尔定律内容及公式(一)

毕奥萨伐尔定律内容及公式(一)

毕奥萨伐尔定律内容及公式(一)毕奥萨伐尔定律内容及公式毕奥萨伐尔定律简介毕奥萨伐尔定律（也称作毕奥-斯沃特定律）是电磁学中的一个重要定律，描述了电流所产生的磁场的特性。

由法国物理学家安德烈-玛丽-安普尔毕奥和德国物理学家卡尔-戴维德斯洛特共同发现并命名。

毕奥萨伐尔定律公式在真空中，毕奥萨伐尔定律可以用公式表达为：B = μ0 * I * (l / 2πr)其中， - B 是磁场的磁感应强度，单位为特斯拉（T）； - I 是载流导线的电流，单位为安培（A）； - l 是载流导线的长度，单位为米（m）； - r 是从载流导线测量到的点的距离，单位为米（m）；- μ0（读作mu-null）是磁导率，也称真空磁导率，约等于4π * 10^-7 T·m/A。

毕奥萨伐尔定律的解释与示例毕奥萨伐尔定律表明，电流所产生的磁场的强度与电流强度、导线长度以及距离的关系。

以下是一些示例来解释毕奥萨伐尔定律的应用：•示例一假设一段10米长的电缆中有电流流过，电流强度为5安培。

现在我们想要计算距离电缆1米处的磁场强度。

使用毕奥萨伐尔定律的公式，代入I=5A，l=10m，r=1m，以及μ0≈4π * 10^-7 T·m/A，我们可以计算得到：B = 4π *10^-7 * 5 * (10 / 2π * 1) = * 10^-6 T•示例二假设在一个闭合导线圈中有电流流过，导线圈的半径为米，电流强度为10安培。

现在我们想要计算导线圈中心的磁场强度。

使用毕奥萨伐尔定律的公式，代入I=10A，l=2π * （周长），r=，以及μ0≈4π * 10^-7 T·m/A，我们可以计算得到：B = 4π * 10^-7 * 10 * (2π * / 2π * ) = * 10^-6 T这些示例展示了应用毕奥萨伐尔定律计算不同条件下的磁场强度的过程。

通过理解该定律，我们可以更好地研究和应用电磁学中与磁场相关的现象和设备。

毕奥---萨伐尔定律

毕奥---萨伐尔定律
毕奥---萨伐尔定律 毕奥 萨伐尔定律
两电流元之间的安培定律也可表示成 两电流元之间的安培定律也可表示成
u r r uur u r ˆ I1 I 2 dl2 × (dl1 × r12 ) d F12 = k = I 2 dl2 × dB1 2 r 12
电流元 I1d l1产生的磁场
ˆ ˆ Idl × r µ0 Idl × r dB = k = 2 2 r 4π r
• 求二阶导数
d 2B 在O 令x = 0处的 2 = 0 ⇒ 在O点附近磁场最均匀的条件 dx µ0 d 2B 2a 2 − 2 R 2 = 6π R 2 I = 0 ⇒ a2 = R2 7 2 dx 2 x =0 4π 2 a 2 2 R + 4
a=R
例1、无限长载流直导线弯成如图形状
大小
µ0 Idl dB = 4π r2
r r 方向 Idl × r0
分析对称性、 分析对称性、写出分量式
r r B⊥ = ∫ dB = 0
⊥
µ0 Idl sinα Bx = ∫ dBx = ∫ 4π r2
统一积分变量
µ0 Idl sinα Bx = ∫ dBx = ∫ 4π r2 µ0IR µ0IR dl = π = ⋅2 R 3 ∫ 3 4 r 4 r π π
a
•
•
P T
µ0I 3 BL′A = (cos π − cosπ ) 4πa 4
µ0I π BLA = (cos0 − cos ) 方向 ⊗ 4 a 4 π
方向 ⊗
T点
Bp = BLA + BL′A = 2.94×10−5T 方向 ⊗
r 电流元 Idl
——右手定则 右手定则 r r r µ0 Idl ×r 毕奥-萨伐尔定律 毕奥 萨伐尔定律 dB = 4 π r3 r r r r µ0 Idl ×r 对一段载流导线 B = ∫ dB = ∫ 4π L r3

.毕奥-萨伐尔定律

.毕奥-萨伐尔定律

.毕奥-萨伐尔定律摘要：1.引言2.毕奥- 萨伐尔定律的定义3.毕奥- 萨伐尔定律的公式表示4.毕奥- 萨伐尔定律的应用领域5.我国在毕奥- 萨伐尔定律研究方面的贡献6.结论正文：1.引言毕奥- 萨伐尔定律是电磁学中的一个基本定律，它描述了电流在磁场中的作用力。

这个定律是由法国物理学家毕奥和萨伐尔在19 世纪初提出的，为电磁学的发展奠定了基础。

2.毕奥- 萨伐尔定律的定义毕奥- 萨伐尔定律指出，一个电流在磁场中受到的磁场力与电流的大小、磁场的强度和电流与磁场之间的夹角有关。

具体来说，磁场力F 的大小与电流I、磁感应强度B 以及电流与磁场之间的夹角θ的关系可以表示为：F = I * (Bl * sinθ)。

3.毕奥- 萨伐尔定律的公式表示毕奥- 萨伐尔定律可以用数学公式表示为：F = I * (Bl * sinθ)，其中F 表示磁场力，I 表示电流，B 表示磁感应强度，l 表示电流元的长度，θ表示电流与磁场之间的夹角。

4.毕奥- 萨伐尔定律的应用领域毕奥- 萨伐尔定律在许多领域都有广泛的应用，如电磁制动、电磁起重机、磁悬浮列车等。

此外，这个定律还为研究电磁波、电磁感应和磁流体等现象提供了理论基础。

5.我国在毕奥- 萨伐尔定律研究方面的贡献我国科学家在毕奥- 萨伐尔定律研究方面取得了举世瞩目的成果。

例如，中国科学院物理研究所的科学家们通过对磁性材料的研究，为理解毕奥- 萨伐尔定律提供了新的视角。

此外，我国在磁悬浮列车、电磁制动等领域的研究也取得了重要突破，为国民经济的发展做出了巨大贡献。

6.结论毕奥- 萨伐尔定律是电磁学的基本定律之一，它对电磁学的发展产生了深远的影响。

毕奥-萨伐尔定律

毕奥-萨伐尔定律

l o
r
(2)半无限长载流直导线的磁场
(a semi-infinite straight wire )
z
1
a
1

2
, 2 ; B
0 I 4a
I
(2)
0 I (cos 1) 1 , 2 ; B 4a
(3)半无限长载流直导线的磁场
I
I
o
R
x
*
B
讨论 1) N 匝薄线圈
x
2） x 0, B 的方向不变( I 和 B 成右螺旋关系） I 0 3）x 0 B 磁偶极 2R
4）x பைடு நூலகம்R, B
N 0 R I B 2 2 3/ 2 （ 2 x R）
2
0 R 2 I
2 x3
0 m 3 2π x 2 x3
10-3
毕奥—萨伐尔定律
运动电荷的磁场
南
京
理
工
大
学
应
用
物
理
系
10.3
毕奥—萨伐尔定律
Idl
一、毕奥-萨伐尔定律 问题：电流产生磁场，如何计算？ 1. 电流元产生的磁场 (1)电流元：Idl
(differential current element)
dB
dB
r

Idl
I
•大小：Idl P * •方向：线元上电流的方向。 (2) 毕奥—萨伐尔定律：
(square current loop)
2
B B1 B2 B3 B4 4B1 0 I 根据 B1 （cos 1 cos 2） 4πa b 其中 a , 1 , 2 3 2

10-3 毕奥-萨伐尔定律-2

10-3 毕奥-萨伐尔定律-2

B0
0I
4 R2
0I
4 R1
0I
4 π R1
22
10.3 毕奥—萨伐尔定律
第10章 稳恒磁场
例：直电流和圆电流的组合。 求：圆心 o 点的磁感应强度。
解： I
OR
B
μ 0
I
4R
R
I
O
B 0 I 2 0 I 4R 4 R
I
OR
B
μ 0
I
8R
23
10.3 毕奥—萨伐尔定律
例：直电流和圆电流的组合。 求：圆心 O 处的磁感应强度。
I
B 0 I (cos 1) 4a
P
a
8
10.3 毕奥—萨伐尔定律
第10章 稳恒磁场
B
μ0 I（cos 4πa
θ1
cos θ2）
4）载流导线延长线上任一点的磁场:
Idl //
r,
Idl
r
0
B 0
a
P
I
9
10.3 毕奥—萨伐尔定律
B
μ0 I（cos 4πa
θ1
cos θ2）
2
解：O 点的 B 是由四条载流边分别 产生的，它们大小相等、方向相同，
θ2
B = B1+ B2+ B3+ B4 = 4B1
B
B
0I 4 a
cos1
cos 2
I 1 o
θ1
π 4
,
θ2
3π 4
b
B 4 μ0 I cos π cos 3π 2 2 μ0 I
4πb / 2 4
4 πb
11
Ib
cI d
1200

毕奥-萨伐尔定律公式

毕奥-萨伐尔定律公式
毕奥-萨伐尔定律公式是描述电磁感应现象的重要公式之一，它是由法国物理
学家毕奥和英国物理学家萨伐尔分别独立提出的，因此也被称为毕萨定律。

该定律表述了当一个闭合电路中的磁通量发生变化时，该电路内会产生电动势。

具体来说，如果一个电磁感应器中的磁通量Φ发生变化，那么在该感应器两端就
会产生一个电动势E，其大小与磁通量变化率的绝对值成正比。

毕奥-萨伐尔定律公式可以用一个简单的公式来表达：
E = -dΦ/dt
其中，E是感应电动势的大小，Φ是穿过感应电路的磁通量，t是时间，d/dt表示对时间的导数运算。

公式中的负号表示感应电动势的方向与磁通量变化的方向相反。

需要注意的是，该定律只适用于闭合电路中的感应电动势。

对于非闭合电路，根据法拉第电磁感应定律，产生的感应电动势大小与闭合电路中的相同，但方向可能不同。

总的来说，毕奥-萨伐尔定律公式是电磁学中一个非常重要的公式，广泛应用
于各种电磁感应现象的分析和设计中。

毕奥-萨伐尔定律

结果对比
将实验结果与毕奥-萨伐尔定律的理论值进行对比，评估定律的准确性。
结果分析
分析实验误差来源，如设备精度、环境干扰等，提高实验的可靠性和准确性。
05
毕奥-萨伐尔定律的扩展与 推广
对三维空间的推广
总结词
毕奥-萨伐尔定律最初是在二维空间中 推导出来的，但通过引入矢量运算， 该定律可以扩展到三维空间中。
Idl
电流元，表示电流的一 部分。
r
观察点到电流元的径矢 ，表示观察点与电流元
之间的距离。
03
毕奥-萨伐尔定律的应用场 景
电场与磁场的关系
磁场是由电流产生的，而电场是由电 荷产生的。毕奥-萨伐尔定律描述了 电流和磁偶极子产生的磁场，以及变 化的电场产生的磁场。
毕奥-萨伐尔定律揭示了电场和磁场之 间的相互关系，表明它们是电磁场的 两个方面，而不是独立存在的。
THANKS
对微观尺度的适用性问题
毕奥-萨伐尔定律在描述微观尺度的电磁场时，其精确度受 到限制。在量子尺度下，电磁场的涨落和量子效应可能导 致定律的不适用。
未来研究需要进一步探索毕奥-萨伐尔定律在微观尺度下 的适用性和修正，以更好地描述量子电磁场的行为。
对超导态物质的适用性问题
毕奥-萨伐尔定律在描述超导态物质的 电磁场时，可能存在局限性。超导态 物质的电磁行为与常规物质有所不同， 需要更复杂的理论模型来描述。
电流与磁场的相互作用
根据毕奥-萨伐尔定律，电流产生磁场，而磁场对电流有作用 力。这种作用力被称为洛伦兹力，它描述了电流在磁场中所 受到的力。
毕奥-萨伐尔定律是电动机和发电机等电气设备工作的基础， 它解释了电流如何在磁场中受到作用力，从而产生旋转或线 性运动。
磁力线的描绘

毕奥-萨伐尔定律 磁通量 磁场的高斯定理

0 Idz sin B dB 4 r2
解：（1）判断电流元产生 每个电流元产生磁场同方向
磁场的方向是否一致
z
D

2
z r 0 cot
dz
I

z
1
r
r0
x
C
o
r0 dz d 2 sin dB r0 又r * y P sin 0 Idl sin (1) 大小 dB 2 4 r
B
0 I
2πr
I
B
I
X
B
电流与磁感强度成右手螺旋关系
2013-7-5
10
[例14-2] 圆电流轴线上的磁场。
0 Idl 解： dB sin 90 2 4 r 0 Idl B dB sin 90 2 4 r
x 因为圆线圈上各个电流元在P点产生的磁感应强度 的方向是不同的，所以只能用它的矢量表示：
第五版
四.运动电荷的磁场
7-4
毕奥-萨伐尔定律
考虑一段导体，其截面积为S，其 中载流子的密度为n，载流子带电 q，以漂移速度 v 运动。
毕奥—萨伐尔定律：
0 Idl r dB 4 π r3 0 nSdlqv r dB 3 4π r
P r dB Idl j Sdl nSdlqv
z
o

r
Idl
y
R
0 I dl sin x 2 2 2 r2 r R z 4 2 2 R 0 IR 0 I sin dl 3 2 0 2 2 4 r 2( R z ) 2
B
0 IR
2
2 2 32
2( R z )

高二物理竞赛毕-萨定理课件


第10章 稳恒磁场
运动电荷的磁场
B4π0 qvr2r0
大小：
B40
qvsinv,(r0)
r2
方向：垂直于
v和
r0
所确定的平面，右手螺旋
q+ r0
v
+B
q
r0
v
B
10- 3 毕奥—萨伐尔定律
第10章 稳恒磁场
三 毕奥---萨伐尔定律应用举例 例1 载流长直导线的磁场.
dB方向均沿
x 轴的负方向
2
a
10- 3 毕奥—萨伐尔定律
例7 载流直螺旋管的磁场
第10章 稳恒磁场
如图所示，有一长为L，半径为R的载流密绕直 螺旋管，螺线管的总匝数为N，通有电流I. 设把螺旋 管放在真空中，求管内轴线上一点处的磁感强度.
L
R
dl
p*
l
+++++++++++++ +
解
由圆形电流磁场公式
B
0IR2
2（l2 R2）3/2
10- 3 毕奥—萨伐尔定律
L
第10章 稳恒磁场
1
dl
p 2
++ + + + + + + + + + + + + +
l
dB0 R2Indl
R2l2R2cs2c
2 R2 l2 3/2 dlRcs2cd
l Rctg
B0nI2
2 1
R3cs2cd 0n R3cs3cd 2
I2sind 1
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第10章 稳恒磁场 10章
例：一正方形载流线圈边长为 b，通有电流为 I， ， ， 求：正方形中心的磁感应强度 B。 。 解：O 点的 B 是由四条载流边分别 产生的，它们大小相等 方向相同， 相等、 产生的，它们大小相等、方向相同， B = B1+ B2+ B3+ B4 = 4B1
θ2
µ0 I π 3 π 2 2 µ0 I B = 4× cos − cos = 4 πb / 2 4 4 πb
µ0 I (cosθ1 − cosθ2 ) B= 4π a π 3π θ1 = , θ2 = 4 4
θ1
⊗
o
r B
I
b
10
10.3 毕奥—萨伐尔定律 毕奥—
第10章 稳恒磁场 10章
的磁场。 求：边长为 a 的正三角形中心 O 点的磁场。 经三角形分流后， 电流 I 经三角形分流后，在 点产生的磁场为零。 中心 O 点产生的磁场为零。 CD段在三角形中心 点产 段在三角形中心o点产 段在三角形中心 生的磁场也为零。 生的磁场也为零。 只有AB段在三角形中心 只有 段在三角形中心 O 点产生磁场： 点产生磁场： D I a C B r o I A
r 是从电流元 指向场点 P 的矢量。 是从电流元Idl 的矢量。 r是电流元Idl 到 P 点的距离。 是电流元 点的距离。
3
10.3 毕奥—萨伐尔定律 毕奥—
二、毕奥---萨伐尔定律的应用 毕奥 萨伐尔定律的应用
第10章 稳恒磁场 10章
v v v µ0 Idl × r dB = 3 4π r
第10章 稳恒磁场 10章
例：载流长直导线的磁场。一段有限 载流长直导线的磁场。 长载流直导线， 长载流直导线，通有电流为 I ，求： 磁感应强度。 距直导线 a 处的 P 点的磁感应强度。
v dB 方向均沿
x 轴的负方向
z
D
θ2
dz
I
θ
z
o
θ1
v r
a
v dB
* y P
µ0 Idz sin θ 解： d B = 4π r2 µ0 Idz sinθ B = ∫ dB = ∫ 4 π CD r 2
讨论： 讨论： 1）无限长载流长直导线的磁场： ）无限长载流长直导线的磁场：
第10章 稳恒磁场 10章
z
D
θ2
θ1 → 0 θ2 → π
I B
I
B=
µ0 I
2πr
I B
o
C
θ1
* y
P
电流与磁感强 度成右螺旋关系 度成右螺旋关系
7
10.3 毕奥—萨伐尔定律 毕奥—
µ0 I B= （cos θ1 − cos θ2） 4πa
v B 的方向沿 x 轴的负方向。 轴的负方向。
I
o
θ1 µ0 I B= （cos θ1 − cos θ2） C 4πa
（一段有限长载流直导线外的磁感应强度） 一段有限长载流直导线外的磁感应强度） 磁感应强度
⊗y * P
r B
6
10.3 毕奥—萨伐尔定律 毕奥—
µ0 I B= （cos θ1 − cos θ2） 4πa
第10章 稳恒磁场 10章
2）半无限长载流长直导线的磁场： ）半无限长载流长直导线的磁场：
π θ1 → 2 θ2 → π
BP =
µ0I
4π r
I
I
r P
3）半无限长载流直导线的磁场： ）半无限长载流直导线的磁场：
θ1 = β , θ2 = π; µ0 I ∴ B= (cos β + 1) 4π a
β
P
a
8
10.3 毕奥—萨伐尔定律 毕奥—
µ0 I B= （cos θ1 − cos θ2） 4πa
第10章 稳恒磁场 10章
4）载流导线延长线上任一点的磁场: ）载流导线延长线上任一点的磁场
r r Q Id l // r , r r Id l × r = 0
a
P
I
r ∴B = 0
9
10.3 毕奥—萨伐尔定律 毕奥—
10.3 毕奥—萨伐尔定律 毕奥—
第10章 稳恒磁场 10章
点的磁感应强度。 例：计算组合载流导体在 o 点的磁感应强度。 由三段载流导体产生。 解：o 点 B 由三段载流导体产生。 r r r r Bo = Bab + Bbc + Bcd
a
规定向里为正向， 规定向里为正向，
Bo = − Bab + Bbc
I
P
x
b
dx
µ0 dI µ0 Idx dB = = 2 πx 2πax
B = ∫ dB =
a +b
x
a
12
∫
b
µ 0 Idx µ0 I a + b = ln 2πax 2 πa b
10.3 毕奥—萨伐尔定律 毕奥—
第10章 稳恒磁场 10章
例：圆形载流导线轴线上的磁场。真空中，半径 圆形载流导线轴线上的磁场。真空中， 轴线上的磁场 的载流导线， 为 R 的载流导线，通有电流 I， 称圆电流。 ， 圆电流。 的磁感强度的方向和大小。 求：其轴线上一点 p 的磁感强度的方向和大小。
z = −a cotθ , r = a / sinθ
dz = adθ / sin2 θ µ0 I θ2 B= ∫θ1 sin θd θ 4πa
x
C
5
10.3 毕奥—萨伐尔定律 毕奥—
µ0 I B= 4πa
第10章 稳恒磁场 10章
∫
θ2
θ1
sin θ d θ
z
D
θ2
µ0 I = （cos θ1 − cos θ2） 4πa
） （1） I （2 ） R o （3） I ） R o
第10章 稳恒磁场 10章 （4） ）
v R B x 0 µ0 I o B0 = 2R
I
BA =
d （5） ） I *A
µ0 I
4 πd
B0 =
µ0 I
4R
R1
R2
*o
B0 =
µ0 I
8R
B0 =
µ0 I
4R2
−
µ0 I
4R1
−
µ0 I
4 π R1
第10章 稳恒磁场 10章
e b I f
o R c
I b I
R o d r
c
µo I Bo= × + 2R 4 4πR
µo I 3
µo I + − Bo = 4πr 4r 4R
µo I
方向：垂直纸面向里。 方向：垂直纸面向里。
20
µo I
方向：垂直纸面向外。 方向：垂直纸面向外。
10.3 毕奥—萨伐尔定律 毕奥—
2
10.3 毕奥—萨伐尔定律 毕奥— 10章 第10章 稳恒磁场 v v v v v µ0 Idl × r v v µ0 Idl × r 说明： 说明： dB = B = ∫ dB = 3 ∫ r3 4π r 4π
1）该公式只适用于稳恒电流元； ）该公式只适用于稳恒电流元； 载流导线 2）电流元在自身的方向上不激发磁场。 ）电流元在自身的方向上不激发磁场。 3）它是一个矢量积分，实际使用时， 3）它是一个矢量积分，实际使用时，要化成标量 进行积分计算。 进行积分计算。 4）毕奥—萨伐尔定律是一个实验定律，是由实验数 ）毕奥 萨伐尔定律是一个实验定律， 萨伐尔定律是一个实验定律 据归纳得出。 据归纳得出。
r 电流元 Idl
I 大小： 大小：
Idl
v Idl 电流元
方向：线元上通过的电流的方向。 方向：线元上通过的电流的方向。
1
10.3 毕奥—萨伐尔定律 毕奥—
一、毕奥—萨伐尔定律 毕奥 萨伐尔定律
µ0 Idl sin θ dB = 4π r2 v v v µ0 Idl × r dB = 3 4π r
真空磁导率
第10章 稳恒磁场 10章 v v Idl dB
v dB
P *
v r
θ
v Idl
I
µ0 = 4 π× 10 N ⋅ A −7 = 4π ×10 T ⋅ m / A
−7
−2
v r
任意载流导线在点 P 处的磁感强度 磁感强度叠加原理
v v v v µ0 I dl × r B = ∫ dB = ∫ 3 4π r
v dB
α
cosα = R
r 2 2 2 r =R +x
x B=
B=
µ 0 I cos αdl
4π
∫
l
r2
dB =
µ 0 Idl
4π r2
µ0 IR
4πr
3
∫
2π R
0
dl
dB x =
µ 0 I cos αdl
4π r2
B=
µ0 IR2
2 （x + R ） 2 15 2 2 3
10.3 毕奥—萨伐尔定律 毕奥—
2 2
1）若线圈有 N 匝 ）
B=
N µ 0 IR
2 3
10.3 毕奥—萨伐尔定律 毕奥—
4） x >> R ）
2
第10章 稳恒磁场 10章
µ0 IR µ0 IS B= ，B = 3 3 2x 2π x
载流线圈磁矩
I S
n
r Pm r
r r Pm = IS n
r Pm
圆电流磁感应强度也可写成: 圆电流磁感应强度也可写成
R
µ0 I µ0 I =− + 4πR 4 R
µ0 I 1 = 1 − 4R π
c
b
d
23