三角恒等式证明9种基本技巧
三角恒等式的证明是三角函数中一类重要问题，这类问题主要以无条件和有条件恒等式出现。根据恒等式的特点，可采用各种不同的方法技巧，技巧常从以下各个方面表示出来。 1．化角
观察条件及目标式中角度间联系，立足于消除角间存在的差异，或改变角的表达形式以便更好地沟通条件与结论使之统一，或有利于公式的运用，化角是证明三角恒等式时一种常用技巧。
例1求证：tan
23x - tan 21x =x
x x 2cos cos sin 2+ 思路分析：本题的关键是角度关系：x=23x -2
1
x ，可作以下证明：
2．化函数
三角函数中有几组重要公式，它们不仅揭示了角间的关系，同时揭示了函数间的相互关系，三角变换中，以观察函数名称的差异为主观点，以化异为为同（如化切为弦等）的思路，恰当选用公式，这也是证明三角恒等式的一种基本技巧。
例2 设A B A tan )tan(-+A
C
2
2sin sin =1，求证：tanA 、tanC 、tanB 顺次成等比数列。 思路分析：欲证tan 2
C = tanA ·tanB ，将条件中的弦化切是关键。
3．化幂
应用升、降幂公式作幂的转化，以便更好地选用公式对面临的问题实行变换，这也是三角恒等式证明的一种技巧。
例3求证 cos4α-4cos2α+3=8sin 4
α 思路分析：应用降幂公式，从右证到左：
4．化常数
将已知或目标中的常数化为特殊角的函数值以适应求征需要，这方面的例子效多。如
1=sin 2α+cos 2α=sec 2α-tan 2α=csc 2α-cot 2
α=tan αcot α=sin αcsc α=cos αsec α，
1=tan450=sin900=cos00
等等。如何对常数实行变换，这需要对具体问题作具体分析。 例4 求证
αααα2
2sin cos cos sin 21--=α
α
tan 1tan 1+- 思路分析：将左式分子中“1”用“sin 2
α+cos 2
α”代替，问题便迎刃而解。
用代入、加减、乘除及三角公式消去参数的方法同样在证明恒等式时用到。
例5 已知acos 2α+bsin 2α=mcos 2β，asin 2α+bcos 2α=nsin 2β，mtan 2α=ntan 2
β(β≠n π) 求证：(a+b)(m+n)=2mn
6．化比
一些附有积或商形式的条件三角恒等式证明问题，常可考虑应用比例的有关定理。用等比定理，合、分比定理对条件加以变换，或顺推出结论，或简化条件，常常可以为解题带来方便。
例6 已知(1+ cos α)(1- cos β)=1- 2
( ≠0，1)。求证：tan
2
2α= -+11tan 22
β 思路分析：综观条件与结论，可考虑从条件中将 分离出来，以结论中
-+11为向导，应用
合比定理即可达到论证之目的。
7．化结构
观察等式左右结构上的差异，立足于统一结构形式也是三角恒等式的一种技巧。
例7设A+B+C=π，求证：sinA+sinB+sinC=4cos
2A cos 2B cos 2
C 思路分析：这里等式左右分别为和积的形式，现将左边化成积。
、
这一类恒等式可与数学求和结合起来，常拆项相消法。
例8 求cosx+cos2x+…+cosnx=
2
sin 2sin 21cos
x x n
x n
思路分析：左边同乘以sin
2
x
,去括号，积化和差可得
9.数学归纳法
与自然数有关的命题，还可以用数学归纳法解决。 上述例题可用数学归纳法证明。
三角恒等式证明答案 ：
1.右式=
x x x x 21cos 23cos 2)2123sin(2-=x
x x
x x x 2
1cos 23cos 21sin 23cos 21cos 23sin -= tan 23x - tan 21x 。 2. ∵ sin 2
C=C C 22tan 1tan + ，sin 2
A=A
A 22tan 1tan + ∴ A C 22sin sin =)tan 1(tan )tan 1(tan 2222C A A C ++ 由已知可得
A C 2
2sin sin =1-A B A tan )tan(-=)
tan tan 1(tan )
tan 1(tan 2B A A A B ++， ∴ )tan tan 1(tan )tan 1(tan 2B A A A B ++=)
tan 1(tan )
tan 1(tan 2222C A A C ++ ∴C C 22tan 1tan +=B A A B tan tan 1tan tan +
即tan 2
C = tanA ·tanB 命题成立。
3. 思路分析：应用降幂公式，从右证到左： 右边=8(
22cos 1α-)2=2(1-2cos2α+cos 2
2α)= 2(1-2cos2α+2
4cos 1α-)=cos4α-4cos2α+3=左边。
4. 思路分析：将左式分子中“1”用“sin 2α+cos 2
α”代替，问题便迎刃而解。
左边=)
sin )(cos sin (cos )cos (sin 2
αααααα+--=ααααsin cos )cos (sin +--=ααtan 1tan 1+-=右边
5. 思路分析：消去参数，当m=0时，由mtan 2
α=ntan 2
β得n=0，显然成立。当m ≠0时，只
须消去α、β即可。由acos 2α+bsin 2α=mcos 2β，asin 2α+bcos 2α=nsin 2
β得
αααα2222sin cos cos sin b a b a ++=m n tan 2β，再由mtan 2α=ntan 2β得αααα2222sin cos cos sin b a b a ++=tan 2
α即可得α
α22tan tan b a b a ++=tan 2α，解得tan 2α=1，所以sin 2α=cos 2
α=21。
求得cos 2
β=
m b a 2+，sin 2β=n b a 2+，又由cos 2β+sin 2
β=1不得。∴m b a 2++n
b a 2+=1 ， 即 (a+b)(m+n)=2mn
6. 思路分析：综观条件与结论，可考虑从条件中将 分离出来，以结论中
-+11为向导，应用合比定理即可达到论证之目的。 由已知得1+ cos α- cos β- 2cos αcos β=1- 2
,
2(cos αcos β-1)= (cos α-cos β)，∴ =
1
cos cos cos cos --βαβ
α 依合分比定理得
-+11=βαβαβαβαcos cos 1cos cos 1cos cos cos cos +---+-=)
1)(cos cos 1()
1)(cos cos 1(-+--βααβ=2
sin 2cos 42sin 2
cos 42
2
22βααβ
=tan
2
2αcot 22β ∴ tan 22α= -+11tan 22
β 7. 思路分析：这里等式左右分别为和积的形式，现将左边化成积。
∵ A+B+C=π ∴ sinC=sin[π-(A+B)]=sin(A+B) ∴左边=2sin 2
B A +cos 2B
A -+
sin(A+B)= 2sin 2B A +(cos 2B A -+cos 2B A +)=2sin 2B A +2cos 2A cos 2
B
=4 cos 2A cos 2B cos 2
C
8. 思路分析：左边同乘以sin 2
x
,去括号，积化和差可得
左边=21[(sin 23x -sin 2x )+(sin 25x -sin 23x )+…+(sin 2)12(x n +-sin 2)12(x n -)]
=21(sin 2)12(x n +- sin 2x )=cos 2)1(x n +sin 2
nx
三角函数公式和相关证明 倒数关系： tanα ·cotα=1 sinα ·cscα=1 cosα ·secα=1 商的关系： sinα/cosα=tanα=secα/cscα cosα/sinα=cotα=cscα/secα 平方关系： sin^2(α)+cos^2(α)=1 1+tan^2(α)=sec^2(α) 1+cot^2(α)=csc^2(α) 平常针对不同条件的常用的两个公式 sin^2(α)+cos^2(α)=1 tan α *cot α=1 一个特殊公式 （sina+sinθ）*（sina-sinθ）=sin（a+θ）*sin（a-θ） 证明：（sina+sinθ）*（sina-sinθ）=2 sin[(θ+a)/2] cos[(a-θ)/2] *2 cos[(θ+a)/2] sin[(a-θ)/2] =sin（a+θ）*sin（a-θ） 坡度公式 我们通常半坡面的铅直高度h与水平高度l的比叫做坡度（也叫坡比），用字母i表示， 即i=h / l, 坡度的一般形式写成l : m 形式，如i=1:5.如果把坡面与水平面的夹角记作 a(叫做坡角），那么i=h/l=tan a. 锐角三角函数公式 正弦：sin α=∠α的对边/∠α 的斜边 余弦：cos α=∠α的邻边/∠α的斜边 正切：tan α=∠α的对边/∠α的邻边 余切：cot α=∠α的邻边/∠α的对边 二倍角公式 正弦 sin2A=2sinA·cosA 余弦 1.Cos2a=Cos^2(a)-Sin^2(a) 2.Cos2a=1-2Sin^2(a) 3.Cos2a=2Cos^2(a)-1 即Cos2a=Cos^2(a)-Sin^2(a)=2Cos^2(a)-1=1-2Sin^2(a) 正切 tan2A=（2tanA）/（1-tan^2(A)） 三倍角公式
排列组合公式及恒等式推导、证明（word 版） 说明：因公式编辑需特定的公式编辑插件，不管是word 还是pps 附带公式编辑经常是出错用不了。下载此word 版的，记得下载MathType 公式编辑器哦，否则乱码一堆。如果想偷懒可下截同名的截图版。另外，还有PPt 课件（包含了排列组合的精典解题方法和精典试题）供学友们下载。 一、排列数公式： !(1)(2)(1)()!m n n A n n n n m n m =---+= -L (1)(1)321n n A n n n =--创 L 推导：把n 个不同的元素任选m 个排次序或n 个全排序，按计数原理分步进行： 第一步，排第一位： 有 n 种选法； 第二步，排第二位： 有（n-1） 种选法； 第三步，排第三位： 有（n-2） 种选法； ┋ 第m 步，排第m 位： 有（n-m+1）种选法； ┋ 最后一步，排最后一位：有 1 种选法。 根据分步乘法原理，得出上述公式。 二、组合数公式： (1)(2)(1)! !!()!m m n n m m A n n n n m n C A m m n m ---+=== -L 1n n C =
推导：把n 个不同的元素任选m 个不排序，按计数原理分步进行： 第一步，取第一个： 有 n 种取法； 第二步，取第二个： 有（n-1） 种取法； 第三步，取第三个： 有（n-2） 种取法； ┋ 第m 步，取第m 个： 有（n-m+1）种取法； ┋ 最后一步，取最后一个：有 1 种取法。 上述各步的取法相乘是排序的方法数，由于选m 个，就有m!种排排法，选n 个就有n!种排法。故取m 个的取法应当除以m!,取n 个的取法应当除以n!。遂得出上述公式。 证明：利用排列和组合之间的关系以及排列的公式来推导证明。 将部分排列问题m n A 分解为两个步骤： 第一步，就是从n 个球中抽m 个出来，先不排序，此即定义的组合数问题m n C ； 第二步，则是把这m 个被抽出来的球全部排序，即全排列m m A 。 根据乘法原理，m m m n n m A C A = 即： (1)(2)(1)!!!()!m m n n m m A n n n n m n C A m m n m ---+=== -L
三角形内有关角的三角函数恒等式的证明 张思明 课型和教学模式：习题课，“导学探索，自主解决”模式 教学目的： （1）掌握利用三角形条件进行角的三角函数恒等式证明的主要方法，使学生熟悉三角变换的一些常用方法和技巧（如定向变形，和积互换等）。 （2）通过自主的发现探索，培养学生发散、创造的思维习惯和思维能力，体验数形结合、特殊一般转化的数学思想。并利用此题材做学法指导。 （3）通过个人自学、小组讨论、互相启发、合作学习，培养学生自主与协作相结合的学习能力和敢于创新，不断探索的科学精神。 教学对象：高一（5）班 教学设计： 一．引题：（A，B环节） 1．1复习提问：在三角形条件下，你能说出哪些有关角的三角恒等式？ 拟答： ， …… ， ， …… 这些结果是诱导公式，的特殊情况。 1．2今天开始的学习任务是解决这类问题：在三角形条件下，有关角的三角恒等式的证明。学习策略是先分若干个学习小组（四人一组），分头在课本P233---P238，P261-266的例题和习题中，找出有三角形条件的所有三角恒等式。 1．3备考：期待找出有关△ABC内角A、B、C的三角恒等式有： （1）P233：例题10：sinA+sinB+sinC=4cosA/2cosB/2cosC/2
(2)P238:习题十七第6题：sinA+sinB-sinC=4sinA/2sinB/2cosC/2. (3) cosA+cosB+cosC=1+4sinA/2sinB/2sinC/2. (4) sin2A+sin2B+sin2C=4sinAsinBsinC. (5)cos2A+cos2B+cos2C=-1-4cosAcosBcosC. (6)P264:复参题三第22题：tgA+tgB+tgC = tgAtgBtgC. (7) 也许有学生会找出:P264--（23）但无妨。 1．4请各组学生分工合作完成以上恒等式的证明： 提示：建议先自学例题10，注意题目之间的联系，以减少证明的重复劳动。 二．第一层次的问题解决（C，D环节） 2．1让一个组上黑板，请学生自主地挑出有“代表性”的3题（不超过3题）书写证明过程。然后请其他某一个组评判或给出不同的证法。 证法备考：（1）左到右：化积---->提取----->化积。 （2）左到右：化积---->提取----->化积sin(A+B)/2=cosC/2 (3)左到右：化积--->--->留“1”提取-->化积 （4）左到右：化积--->提取---->化积sin2C=sin2(A+B) (5)左到右： （6）左到右：tgA+tgB=tg(A+B)(1-tgAtgB) (7)左到右：通分后利用（4）的结果 2．2教师注意记录学生的“选择”，问：为什么认为你们的选择有代表性？ 体现学法的“暗导”。选择的出发点可以多种多样，如从品种、不同的证法、逻辑源头等考虑。 2．3另一组学生判定结果或给出其他解法，（解法可能多样。）也可对前一组学生所选择书写的“例题”的“代表性”进行评价。教师记录之。注意学生的书写中的问题（不当的跳步等……）。 2．4其他证法备考： 1．如右到左用积化和差，（略） 2．利用已做的习题：
证明组合恒等式的方法与技巧 摘要本文是以高中二项式定理和排列组合知识为理论基础，对几个常见重要的例题作分析，总结组合恒等式常见的证明方法与技巧。对组合恒等式的证明方法本文主要讲了组合公式法，组合数性质法，二项式定理法，比较系数法，数列求和法，数学归纳法，组合分析法。 关键字组合，组合数，组合恒等式，二项式定理 Proof Methods and Skills of Combinatorial Identity ABSTRACT This thesis primarily analyses some common but significant examples on the basis of binomial theorem and permutation and combination knowledge of senior middle school to summarize the common demonstrating methods and technique of combinatorial identity. For combinatorial identity, here it mainly introduces the methods of combination formula, unitized construction, mathematical induction ，and so on . KEY WORDS combination，combinatorial identity，binomial theorem 前言 组合恒等式在数学及其应用中占有不可忽视的地位,它是以高中排 列组合、二项式定理为基础。组合恒等式的证明有一定的难度和特殊的
常见的三角恒等式及其证明 设A，B，C是三角形的三个内角 (1) tanA＋tanB＋tanC=tanAtanBtanC 证明： tanA+tanB+tanC=tan(A+B)(1-tanAtanB)+tanC=tan(π-c)(1-tanAtanB)+tanC=-ta nC(1-tanAtanB)+tanC=tanAtanBtanC (2) cotAcotB＋cotBcotC+cotCcotA=1 证明： tanA＋tanB＋tanC=tanAtanBtanC cotX*tanX=1 tanA*cotAcotBcotC＋tanB*cotAcotBcotC＋tanC*cotAcotBcotC=tanAtanBtanC* cotAcotBcotC cotAcotB＋cotBcotC+cotCcotA=1 (3) (cosA)^2+(cosB)^2+(cosC)^2+2cosAcosBcosC=1 证明： (cosA)^2+(cosB)^2+x^2+2cosAcosBx=1 x^2+2cosAcosBx+(cosA)^2+(cosB)^2-1=0 x={-2cosAcosB+-√[(2cosAcosB)^2-4((cosA)^2+(cosB)^2-1)]}/2 x=-cosAcosB+-√[(cosAcosB)^2-((cosA)^2+(cosB)^2-1)] x=-cosAcosB+-√[1-(cosA)^2][1-(cosB)^2] x=-cosAcosB+-√[(sinA)^2(sinB)^2] x=-cosAcosB+-sinAsinB x=-cos(A+B)或x=-cos(A-B) x=cosC或x=-cos(A-B) 所以 cosC是方程的一个根 所以 (cosA)^2+(cosB)^2+(cosC)^2+2cosAcosBcosC=1 (4) cosA+cosB+cosC＝1＋4sin(A/2)sin(B/2)sin(C/2) 证明： cosA+cosB+cosC=1+4sin(A/2)sin(B/2)sin(C/2) cos(180-B-C)+cosB+cosC=1+2sin(A/2)[2sin(B/2)sin(C/2)] cos(180-B-C)+cosB+cosC=1+2cos(B/2+C/2)[2sin(B/2)sin(C/2)] -cos(B+C)+cosB+cosC=1+2cos(B/2+C/2)[2sin(B/2)sin(C/2)]
诱导公式 目录·诱导公式 ·诱导公式记忆口诀 ·同角三角函数基本关系 ·同角三角函数关系六角形记忆法 ·两角和差公式 ·倍角公式 ·半角公式 ·万能公式 ·万能公式推导 ·三倍角公式 ·三倍角公式推导 ·三倍角公式联想记忆 ·和差化积公式 ·积化和差公式 ·和差化积公式推导 诱导公式 ★诱导公式★ 常用的诱导公式有以下几组： 公式一： 设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： sin（2kπ＋α）＝sinα cos（2kπ＋α）＝cosα tan（2kπ＋α）＝tanα cot（2kπ＋α）＝cotα 公式二： 设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系：sin（π＋α）＝－sinα cos（π＋α）＝－cosα tan（π＋α）＝tanα cot（π＋α）＝cotα 公式三： 任意角α与 -α的三角函数值之间的关系： sin（－α）＝－sinα cos（－α）＝cosα
tan（－α）＝－tanα cot（－α）＝－cotα 公式四： 利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系：sin（π－α）＝sinα cos（π－α）＝－cosα tan（π－α）＝－tanα cot（π－α）＝－cotα 公式五： 利用公式一和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系：sin（2π－α）＝－sinα cos（2π－α）＝cosα tan（2π－α）＝－tanα cot（2π－α）＝－cotα 公式六： π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系： sin（π/2＋α）＝cosα cos（π/2＋α）＝－sinα tan（π/2＋α）＝－cotα cot（π/2＋α）＝－tanα sin（π/2－α）＝cosα cos（π/2－α）＝sinα tan（π/2－α）＝cotα cot（π/2－α）＝tanα sin（3π/2＋α）＝－cosα cos（3π/2＋α）＝sinα tan（3π/2＋α）＝－cotα cot（3π/2＋α）＝－tanα sin（3π/2－α）＝－cosα cos（3π/2－α）＝－sinα tan（3π/2－α）＝cotα cot（3π/2－α）＝tanα (以上k∈z) 诱导公式记忆口诀 ※规律总结※
证明组合恒等式的方法与技巧 前言 组合恒等式在数学及其应用中占有不可忽视的地位,它是以高中排前言列组合、二项式定理为基础．组合恒等式的证明有一定的难度和特殊的技巧，且灵活性很强，要求学生掌握这部分知识，不但要学好有关的基础知识，基本概念和基本技能，而且还要适当诱导学生拓宽思路、发挥才智，培养解决问题方法多样化的思想．下面就以例题讲解的形式，把证明组合恒等式的常见方法与技巧一一列举出来． 1. 利用组合公式证明 组合公式：m n C = n! !n m m （－）！ 例1． 求证：m m n C =n 1 1m n C －－ 分析：这是组合恒等式的一个基本性质，等式两边都只是一个简单的组合数．由此，我们只要把组合公式 代入，经过简化比较，等号两边相等即可． 证：∵ m m n C = m n! !n m m （－）！ … 1 1m n C －－= n n !1!n m m （－1）（－）（－）！=n n !m 1!n m m m （－1）（－）（－）！=m n! !n m m （－）！ ∴ m m n C =n －－1 1m n C . 技巧：利用组合公式证明时，只须将等式中的组合数用公式代入，经过化简比较即可，此方法思路清晰，对处理比较简单的等式证明很有效，但运算量比较大，如遇到比较复杂一点的组合恒等式，此方法而不可取． 2. 利用组合数性质证明 组合数的基本性质：（1）m n C =n m n C － （2）1m n C ＋=m n C +1 m n C － （3）k k n C =n k 11n C －－ （4）＋＋...＋＝012n 2n n n n n C C C C ?
三角恒等式证明9种基本技巧 三角恒等式的证明是三角函数中一类重要问题，这类问题主要以无条件和有条件恒等式出现。根据恒等式的特点，可采用各种不同的方法技巧，技巧常从以下各个方面表示出来。 1．化角 观察条件及目标式中角度间联系，立足于消除角间存在的差异，或改变角的表达形式以便更好地沟通条件与结论使之统一，或有利于公式的运用，化角是证明三角恒等式时一种常用技巧。 例1求证：tan 23x - tan 21x =x x x 2cos cos sin 2+ 思路分析：本题的关键是角度关系：x=23x -2 1 x ，可作以下证明： 2．化函数 三角函数中有几组重要公式，它们不仅揭示了角间的关系，同时揭示了函数间的相互关系，三角变换中，以观察函数名称的差异为主观点，以化异为为同（如化切为弦等）的思路，恰当选用公式，这也是证明三角恒等式的一种基本技巧。 例2 设A B A tan )tan(-+A C 22sin sin =1，求证：tanA 、tanC 、tanB 顺次成等比数列。 思路分析：欲证tan 2 C = tanA ·tanB ，将条件中的弦化切是关键。 3．化幂 应用升、降幂公式作幂的转化，以便更好地选用公式对面临的问题实行变换，这也是三角恒等式证明的一种技巧。 例3求证 cos4α-4cos2α+3=8sin 4 α 思路分析：应用降幂公式，从右证到左：
将已知或目标中的常数化为特殊角的函数值以适应求征需要，这方面的例子效多。如 1=sin 2 α+cos 2 α=sec 2 α-tan 2 α=csc 2 α-cot 2 α=tan αcot α=sin αcsc α=cos αsec α，1=tan450 =sin900 =cos00 等等。如何对常数实行变换，这需要对具体问题作具体分析。 例4 求证 αααα2 2sin cos cos sin 21--=α α tan 1tan 1+- 思路分析：将左式分子中“1”用“sin 2 α+cos 2 α”代替，问题便迎刃而解。 5．化参数 用代入、加减、乘除及三角公式消去参数的方法同样在证明恒等式时用到。 例5 已知acos 2 α+bsin 2 α=mcos 2 β，asin 2 α+bcos 2 α=nsin 2 β，mtan 2 α=ntan 2 β(β≠n π) 求证：(a+b)(m+n)=2mn 6．化比 一些附有积或商形式的条件三角恒等式证明问题，常可考虑应用比例的有关定理。用等比定理，合、分比定理对条件加以变换，或顺推出结论，或简化条件，常常可以为解题带来方便。 例6 已知(1+ cos α)(1- cos β)=1- 2 ( ≠0，1)。求证：tan 2 2α= -+11tan 22 β 思路分析：综观条件与结论，可考虑从条件中将 分离出来，以结论中 -+11为向导，应用合比定理即可达到论证之目的。
第十讲组合恒等式 、知识概要 数学竞赛中组合数计算和组合恒等式的证明，是以高中排列、组合、二项式定理为基础, 并加以推广和补充而形成的一类习题，它往往会具有一定的难度且灵活性较强。解决这类问题常常对学生良好的运算能力和思维的灵活性都有较高的要求。同时，此类问题的解决也有着自身特殊的解题技巧。因此，在各类数学竞赛中经常被采用。 1,基本的组合恒等式 简单的组合恒等式的化简和证明，可以直接运用课本所学的基本组合恒等式。事实上, 许多竞赛中出现的较复杂的组合数记算或恒等式证明，也往往运用这些基本组合恒等式，通过转化，分解为若干个简单的组合恒等式而加以解决。课本中的组合恒等式有: ①c n 丄 ② cn i=c F +cn ③ kC： = nC n；; zTx m m r __m ④ C n C r —C n C n_m ； ⑤ c；?+cn+c2+iii+C n n=2n； ⑥ C -cn +Cn2+|H+(-1)n Cn n =0. 2, 解题中常用方法 运用基本组合恒等式进行变换; 运用二项展开式作为辅助函数，通过比较某项的系数进行计算或证明; 运用数学归纳法; 变换求和指标; 运用赋值法进行证明; 建立递推公式，由初始条件及递推关系进行计算和证明; 构造合理的模型。
二、运用举例 例 1，求证：C ： +2C 2 +3C 3+i|| + nc n = n 左边=nC ；丄+ nC ：丄+ nC ；」中川中nC ；： " n 例2,求和式2 k 2 C n k 的值。 k 1 基本思路：将k 2 c nk 改写为k kCn ，先将kCn 用恒等式3提取公因式n ，然后再将kC ：：变形 k 1 k 1 k 1 成为（k -1 ）C n 4 +C n 4，而（k -1 ）C n 4又可以继续运用上述恒等变形，这样就使得各项系数 中均不含有变动指标 k 了。 n n n k nC ：；=迄 k c n ；； =n E (k -1 +1)C ：； k 经 k 壬 k=t n =n S [(k -1)C ：； +c n ：；r n ^ [(n -1 心 km = n (n -1 严 + n2n4 = n (n +1)2：/ 2004 例 3,求艺(—1^2005 kz0 2004 解：s( -1) k C 2005 = 1 -c 爲5 + C 爲5 -川 + (-1 )2004 C 誥 kzQ R-(C 2004 +C 2004 +C 2004)-川+(T )(c 2003 +c 200： n -1 例 4，设 m, n 忘 N 十，求证：送(m +k )(m +k +1 ) = - (3m 2 + 3m n + n 2 T 卜 心 3 证明：根据前面提到的基本的组合恒等式第三条, 可得: n 解：S k 'c nk kA n -Z k kC n ； k i = (n —1)C L k =2 n T n 鳥+送H 卜-1正C 鳥+：送C k=1 」 k=2 n nJ k=i 的值。
第七章 三角恒等式的证明 要证明三角恒等式就必须了解证明三角恒等式的方法，为此我们将在下面一一介绍。 第一节 一般恒等式 （一）基本思想、方法和技巧 三角恒等变形的基本思想是：首先考察函数式能不能直接应用三角公式（或者三角公式的变形）进行变形；若不能则用代数法对三角函数中的角进行适当的变换，使之变形为可以应用三角公式的形式。 1、熟悉公式的变形，做到“三会”（会正用，会逆用，会变形用） 例题1：在非直角三角形中，求证：C B A C B A tan tan tan tan tan tan =++. 证明：由题有A+B+C=π则 左=()()C B A B A tan tan tan 1tan +-+ =-()C B A C tan tan tan 1tan +-=右 例题2：求证：340tan 20tan 340tan 20tan =??+?+?. 分析： 在正切恒等式中常常出现3，应于33 tan =π 相联系，这样问题就好解决了。 证明： 仿例题1即可。 例题3：求证：8 1804020= ???Cos Cos Cos 。 分析：角度成倍数增长，就应该和二倍角联系在一起，构造适合条件形式，从而解决问题。 证明：左= ?????202804020202Sin Cos Cos Cos Sin =?? 2016081Sin Sin =右。 例题4：求证：x x x Sin x Cos SinxCosx tan 1tan 1212 2-+=-+. 分析：弦化切（先降次）或者切化弦。 证明：左= ()x x Sinx Cosx Cosx Sinx x Sin x Cos Cosx Sinx tan 1tan 1222 -+=-+= -+=右。 2、注意角间的关系，正确应用三角公式进行变换 必须领会和掌握公式的实质，决不能停留在表面上。若：SinxCosx x Sin 22=， 也可以改写为2 32323222x Cos x Sin x Sin x Cos x Sin Sinx ==或者，因此，对三角公式要善于变换其中角的表现形式以及发现恒等式变形问题中角之间的相互关系： ⑴改变角的表现形式； 如()()βαβαββααα α-+=-+-=? =，，2 2。
“算两次”思想在证明组合恒等式中的应用 1.m n m n n C C -=，取走和剩下的一一对应； 2. 2n k n n k C ==∑ 我们可令等式122(1)1n n n n n n x C x C x C x +=++++ 中的x 等于1，得到该式。 另外，我们可考察集合1{,,}n b b 的子集的个数： 一方面，采取加法原理，根据子集中元素个数分类： n k n k C =∑； 另一方面，采取乘法原理，设其子集为S ，我们逐一考察,1,2,,i b i n = 是否在S 内，每个元素都有两种可能，考察完毕，子集S 确定，或者我没把子集看成一个排列，如 0,0,,0n ?? ；{}11 1,0,0,,0n b -? 。共2n 。 所以得证。 3.11m m m n n n C C C -+=+，从1{,,,}n a b b 取m 个有1m n C +种：一类含a ：1 m n C -，一类不含a ：m n C 。 推广①： 11m m m n n n A A mA -+=+ 从1{,,,}n a b b 取m 个排成一排1m n A +：一类含a ：1m n mA -，一类不含a ：m n A 。 推广②：11121n n n n n n n m m n m n m n n n C C C C C C +++++-+-+=+++++ 解释：有m+n+1不同小球，其中黑球m+1个，白球n 个。从中选取n+1个小球， 选法共：11n n m C +++种， 考虑另外一种算法：若有黑1则在剩余小球中选n 个，即n n m C +，若无黑1，则考虑是否有黑2，若有则从剩余n+m-1个小球中取n 个，即1n n m C +-，依次考虑下去，到考虑是否有黑m ，若有，则在剩余n 个小球取n 个，即1n n C +，若无黑m 。则必有黑m+1，最后剩下的m 个白球全取。总共121n n n n n m n m n m n n n C C C C C ++-+-++++++ 。所以得证。
三角函数恒等式证明的基本方法 三角函数恒等式是指对定义域内的任何一个自变量x 都成立的等式；三角函数恒等式的证明问题是指证明给定的三角函数等式对定义域内的任何一个自变量x 都成立的数学问题。这类问题主要包括：①三角函数等式一边较繁杂，一边较简单；②三角函数等式的两边都较繁杂两种类型。那么在实际解答三角函数恒等式的证明问题时，到底应该怎样展开思路，它的基本方法如何呢？下面通过典型例题的解析来回答这个问题。 【典例1】解答下列问题： 1、证明下列三角函数恒等式： （1）4222sin sin cos cos 1αααα++=； （2） 22(cos 1)sin 22cos ααα-+=-； （3）若sin α.cos α＜0,sin α.tan α＜0， =±2tan 2 α 。 【解析】 【知识点】①同角三角函数的基本关系；②二次根式的定义与性质；③分式的定义与性质。 【解题思路】（1）对左边运用同角三角函数的基本关系，通过运算就可得到右边，从而证明恒等式；（2）对左边运用同角三角函数的基本关系，通过运算就可得到右边，从而证明恒等式；（3）对左边运用分式的性质，同角三角函数的基本关系和二次根式的性质，通过运算就
可得到右边，从而证明恒等式。 【详细解答】（1）Q 左边=sin 2α( sin 2α+ cos 2α)+ cos 2α= sin 2α+ cos 2α=1 =右边，∴4222sin sin cos cos 1αααα++=；（2）Q 左边= cos 2α-2 cos α+1+ sin 2α =2-2 cos α=右边，∴22(cos 1)sin 22cos ααα-+=-；（3） Q sin α.cos α＜0，sin α.tan α＜0，∴α是第二象限的角，?2 α 是第一象限或第三象限的角，①当 2 α 是第一象限的角时，左边 |1sin |2|cos | 2α α+- |1sin |2|cos | 2 α α-=1sin 1sin 2 2cos 2 α α α +-+=2tan 2α；②当2 α是第一象限的角时，左边 |1sin |2|cos |2α α+-|1sin | 2|cos | 2α α- = 1sin 1sin 2 2cos 2 α α α --+-=-2tan 2α；?左边=±2tan 2 α=右边，∴若若 sin α.cos α＜0，sin α.tan α＜0 ±2tan 2α。 2、求证：22sin()sin() sin cos αβαβαβ+-=1-22tan tan βα ； 【解析】
证明组合恒等式的方法与技巧 前言 组合恒等式在数学及其应用中占有不可忽视的地位,它是以高中排前言列组合、二项式定理为基础．组合恒等式的证明有一定的难度和特殊的技巧，且灵活性很强，要求学生掌握这部分知识，不但要学好有关的基础知识，基本概念和基本技能，而且还要适当诱导学生拓宽思路、发挥才智，培养解决问题方法多样化的思想．下面就以例题讲解的形式，把证明组合恒等式的常见方法与技巧一一列举出来． 1. 利用组合公式证明 组合公式：m n C = n ! !n m m （－）！ 例1． 求证：m m n C =n 11 m n C －－ 分析：这是组合恒等式的一个基本性质，等式两边都只是一个简单的组合数．由此，我们只要把组合公式代入，经过简化比较，等号两边相等即可． 证：∵ m m n C = m n ! !n m m ?（－）！ 11 m n C －－= n n ! 1!n m m ?（－1）（－）（－）！= n n !m 1!n m m m ???（－1）（－）（－）！= m n ! !n m m ?（－）！ ∴ m m n C =n －－11 m n C . 技巧：利用组合公式证明时，只须将等式中的组合数用公式代入，经过化简比较即可，此方法思路清晰，对处理比较简单的等式证明很有效，但运算量比较大，如遇到比较复杂一点的组合恒等式，此方法而不可取． 2. 利用组合数性质证明 组合数的基本性质：（1）m n C =n m n C － （2）1 m n C ＋=m n C +1 m n C － （3）k ?k n C =n ?k 1 1n C －－ （4）＋＋...＋＝0 1 2 n 2n n n n n C C C C －＋－＋...＋（－1）＝00 1 2 3 n n n n n n n C C C C C （5）
高中奥林匹克数学竞赛讲座 三角恒等式和三角不等式 知识、方法、技能 三角恒等变形，既要遵循代数式恒等变形的一般法则，又有三角所特有的规律. 三角恒等式包括绝对恒等式和条件恒等式两类。证明三角恒等式时，首先要观察已知与求证或所证恒等式等号两边三角式的繁简程度，以决定恒等变形的方向；其次要观察已知与求证或所证恒等式等号两边三角式的角、函数名称、次数以及结构的差别与联系，抓住其主要差异，选择恰当的公式对其进行恒等变形，从而逐步消除差异，统一形式，完成证明.“和差化积”、“积化和差”、“切割化弦”、“降次”等是我们常用的变形技巧。当然有时也可以利用万能公式“弦化切割”，将题目转化为一个关于2 tan x t =的代数恒等式的证明问题. 要快捷地完成三角恒等式的证明，必须选择恰当的三角公式. 为此，同学们要熟练掌握 上图为三角公式脉络图，由图可见两角和差的三角函数的公式是所有三角公式的核心和基础. 此外，三角是代数与几何联系的“桥梁”，与复数也有紧密的联系，因而许多三角问题往往可以从几何或复数角度获得巧妙的解法. 三角不等式首先是不等式，因此，要掌握证明不等式的常用方法：配方法、比较法、放缩法、基本不等式法、数学归纳法等. 其次，三角不等式又有自己的特点——含有三角式，因而三角函数的单调性、有界性以及图象特征等都是处理三角不等式的锐利武器. 三角形中有关问题也是数学竞赛和高考的常见题型. 解决这类问题，要充分利用好三角
形内角和等于180°这一结论及其变形形式. 如果问题中同时涉及边和角，则应尽量利用正弦定理、余弦定理、面积公式等进行转化，实现边角统一. 求三角形面积的海伦公式 )](2 1 [))()((c b a p c p b p a p p S ++= ---=其中，大家往往不甚熟悉，但十分有用. 赛题精讲 例1：已知.cos sin )tan(:,1||),sin(sin A A A -= +>+=ββ βαβαα求证 【思路分析】条件涉及到角α、βα+，而结论涉及到角βα+，β.故可利用 αβαβββαα-+=-+=)()(或消除条件与结论间角的差异，当然亦可从式中的“A ” 入手. 【证法1】 ),sin(sin βαα+=A ),sin()sin(βαββα+=-+∴A ), cos(sin ))(cos sin(), sin(sin )cos(cos )sin(βαβββαβαββαββα+=-++=+-+A A . cos sin )tan(, 0)cos(, 0cos ,1||A A A -= +≠+≠-∴>ββ βαβαβ从而 【证法2】 αβαβββαβααββββ sin )sin(cos sin )sin() sin(sin cos sin sin sin -++= +- = -A ). tan(sin )cos(sin )sin(])sin[()sin(cos sin )sin(βαββαβ βαββαβαββ βα+=++=-+-++= 例2：证明：.cos 64cos 353215cos 77cos 7x x x ocs x x =+++ 【思路分析】等号左边涉及角7x 、5x 、3x 、x 右边仅涉及角x ，可将左边各项逐步转化为x sin 、 x cos 的表达式，但相对较繁. 观察到右边的次数较高，可尝试降次. 【证明】因为,cos 33cos cos 4,cos 3cos 43cos 3 3 x x x x x x +=-=所以 从而有x x x x x 226cos 9cos 3cos 63cos cos 16++= = )2cos 1(2 9 )2cos 4(cos 326cos 1x x x x +++++
三角函数公式看似很多、很复杂，但只要掌握了三角函数的本质及内部规律，就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。接下来分享三角函数万能公式及推导过程。 三角函数万能公式 (1)(sinα)^2+(cosα)^2=1 (2)1+(tanα)^2=(secα)^2 (3)1+(cotα)^2=(cscα)^2 (4)tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC（任意非直角三角形） 三角函数万能公式推导过程 由余弦定理：a^2+b^2-c^2-2abcosC=0 正弦定理：a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R 得（sinA）^2+（sinB）^2-（sinC）^2-2sinAsinBcosC=0 转化1-(cosA）^2+1-(cosB）^2-[1-(cosC）^2]-2sinAsinBcosC=0 即(cosA）^2+(cosB）^2-(cosC）^2+2sinAsinBcosC-1=0 又cos（C）=-cos(A+B)=sinAsinB-cosAcosB 得(cosA）^2+(cosB）^2-(cosC）^2+2cosC[cos（C）+cosAcosB]-1=0 (cosA）^2+(cosB）^2+(cosC）^2=1-2cosAcosBcosC 得证（sinA）^2+（sinB）^2+（sinC）^2=2+2cosAcosBcosC 同角三角函数的关系公式 倒数关系公式 ①tanαcotα=1 ②sinαcscα=1 ③cosαsecα=1 商数关系公式 tanα=sinα/cosα
cotα=cosα/sinα平方关系公式 ①sin2α+cos2α=1 ②1+tan2α=sec2α ③1+cot2α=csc2α
排列组合公式及恒等式推导、证明（WOrd 版） 说明：因公式编辑需特定的公式编辑插件，不管是 word 还是PPS 附带公式编辑经常是 出错用不了。下载此 word 版的，记得下载 MathTyPe 公式编辑器哦，否则乱码一堆。如果 想偷懒可下截同名的截图版。另外，还有 PPt 课件（包含了排列组合的精典解题方法和精 典试题）供学友们下载。 一、排列数公式: An l =n （n -1）（n-1） 3创2 1 推导：把n 个不同的元素任选m 个排次序或n 个全排序，按计数 原理分步进行： 第步，排第位： 有 n 种选法; 第二步，排第二位： 有（n-1）种选法; 第三步，排第三位： 有（n-2）种选法; 第m 步，排第m 位： 有（n-m+1）种选法; I I I I 最后一步，排最后一位：有 1 种选法。 根据分步乘法原理，得出上述公式。 二、组合数公式： C m =A m = n(n- 1)(n- 2)…(n - m+1)= n! n A r m m! m!( n-m)! n JI C n = 1 A m =n(n -1)(n - 2) (n - m +1) = n! (n - m)!
推导：把n个不同的元素任选m个不排序，按计数原理分步进行：第步，取第个：有n种取法； 第二步，取第二个：有（n-1）种取法； 第三步，取第三个： I I 有(n-2) 种取法； I I 第m步，取第m个：I I 有(n-m+1) 种取法; I I 最后一步，取最后一个：有1 种取法。 上述各步的取法相乘是排序的方法数，由于选m个，就有m!种排排法，选n个就有n!种排法。故取m个的取法应当除以m!,取n 个的取法应当除以n!。遂得出上述公式。 证明：利用排列和组合之间的关系以及排列的公式来推导证明 将部分排列问题A n n分解为两个步骤： 第一步，就是从n个球中抽m个出来，先不排序，此即定义的组合数问题C n n； 第二步，则是把这m个被抽出来的球全部排序，即全排列A m。 根据乘法原理，A n n=C n n A m 即: C m A Tl n(n -1)0-2厂(n-m+1) n! A Tl m!m!(n- m)! 组合公式也适用于全组合的情况，即求C（n, n）的问题。根据 m!
实用文档 3．8 三角恒等式的证明 【考点回顾】 1．三角公式在恒等变形中的应用； 2．常规恒等变形方法、定义法、分析法、综合法、比较法、切割化弦等方法. 例1．求证：.0)60tan(tan )60tan(tan )60tan()60tan(3=-+++-++ A A A A A A 例2．求证：.)cos 1(2)1cos(cos cos 3cos 2cos cos 21 ααααααα-+-= +++++n n n 例3．求证：.cos sin 1)sin (cos 2cos 1sin sin 1cos α ααααααα++-=+-+ 【基础训练】 1．求证：(sin α+tan α)(cos α+cot α)=(1+sin α)(1+cos α). 2．求证：(1－tan α)=(cos 2α-cot α)(sec 2α+1tan α). 3．求证：.1sin 1sin 2sin 3sin 22 -= 4．求证：tan13x －tan8x －tan5x = tan13x tan8x tan5x . 【拓展练习】 1．条件甲：3sin αcos(α+β)=sin(2α+β)，条件乙：tan(α+β)=2tan α，则甲是乙的 （ ）
实用文档 A ．充分条件 B ．必要条件 C ．充要条件 D ．即不充分也不必要条件 2．2tan 2cot cos 42α α α -等于 （ ） A ．ααcos sin 21 ? B ．sin2α C ．－sin2α D ．α2sin 16 1 3．已知α、β均为锐角，且则),sin(21sin βαα+=α、β的大小关系是 （ ） A ．α>β B ．α<β C ．α≤β D ．α与β的大小不确定 4．求证：).3tan 5(tan 44cos 2cos 3tan 5tan x x x x x x -=?+ 5．求证：(cscA+cotA)(1－sinA)－(secA+tanA)(1-cosA)=(cscA －secA)[2－(1－cosA)(1－sinA)].
1 引言 组合恒等式是组合数学的一个重要部分.它在数学的各个分支中都有广泛应用,而且它的证明方法多种多样,具有很强的灵活性.下面通过几个实例具体讲述一下，几种证法在组合恒等式中的运用. 2 代数法 通常利用组合恒等式的一些性质进行计算或化简，使得等式两边相等， 或者利用二项式定理∑ 0==+n r r n r r n n y x C )y x (在展开式中令x 和y 为某个特定的 值，也可以先对二项式定理利用幂级数的微商或积分后再代值，得出所需要的 恒等式. 例1 111 22m m m m n n n n C C C C n m +-++++=>， . 分析：这个等式两边都很简单，我们可以利用一些常用的组合恒等式去求证. 证明:1 +2+11+=2++m n m n m n m n C C C C m n m n m n m n C m n m C ,C m m n C 1+=1+= 11 + )m n m m m n (C m n 2+1++1+∴左边＝ 2()11m n n m m C m n m +++++-= 2(2)(1)()(1)(1) m n n m n m m m C m n m +++-++=++- 232 () (1)(1) (2)(1)() (1)(1) m n m n n n C m n m n n C m n m ++=++-++=++- 右边=()1 2(2)!(2)(1)! (1)!1!(1)(1)()!! m n n n n n C n m m m n m n m m +++++= =+-+++--
(1)(2)(1)(1)m n n n C n m m ++=+-+ 左边=右边 即证. 例2 求证:n n n n n n n n n n C C C C 20112211233333=+++++--- . 分析：看到上式，很容易想到二项式的展开式，尝试利用二项式定理去做. 证明： 由二项式定理建立恒等式， 112221 1(3)3333n n n n n n n n n n n C x C x C x x ----+=+++++ 令1x =,即得 2112214233331 n n n n n n n n n C C C ---==+++++ 即证. 例3（1）设n 是大于2的整数，则 0)1(32321=-+++-n n n n n nC C C C . （2）n 为正整数，则 )12(1 11131211131-+=++++++n n n n n n C n C C . 分析：观察上面两式的系数，很容易想到它们和微分积分有关，我们可以尝试利用求积分或微分的方法去解决这道题目. 证明：（1）0122(1)n n n n n n n x C C x C x C x +=++++ 等式两边对x 求导， 112 1 (1)2n n n n n n n x C C x n C x --+=++ + 令0x =得， 1231023(1)n n n n n n C C C nC -=-+++- 即证. （2）由二项式定理有，